课时作业62
高考数学课时作业62 文(含解析)北师大版
课时作业(六十二)一、选择题1．已知ξ的分布列ξ＝－1,0,1，对应P ＝12，16，13，且设η＝2ξ＋1，则η的期望是( )A ．－16B.23C.2936D ．1解析：E (ξ)＝(－1)×12＋0×16＋1×13＝－16，∵η＝2ξ＋1，∴E (η)＝2E (ξ)＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋1＝23.答案：B2．(2012年黄山二模)已知随机变量X 的分布列为则E (6X ＋8)＝( )A ．13.2B ．21.2C ．20.2D ．22.2解析：由题意知E (X )＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2， ∴E (6X ＋8)＝6E (X )＋8＝6×2.2＋8＝21.2. 答案：B3．设随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝1.6，D (ξ)＝1.28，则 ( )A ．n ＝8，p ＝0.2B ．n ＝4，p ＝0.4C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.45解析：∵ξ～B (n ，p )，∴E (ξ)＝np ＝1.6，D (ξ)＝np (1－p )＝1.28，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝8，p ＝0.2.答案：A4．正态总体N (1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m ，n 则 ( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定解析：正态总体N (1,9)的曲线关于x ＝1对称，区间(2,3)与(－1,0)与对称轴距离相等，故m ＝n .答案：C5．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)＝ ( ) A.12＋p B.12－p C ．1－2pD ．1－p解析：P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝12[1－2P (ξ>1)]＝12－P (ξ>1) ＝12－p . 答案：B6．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( )A ．5B ．5.25C ．5.8D ．4.6解析：由题意可知，X 可以取3,4,5,6， P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得E (X )＝5.25. 答案：B 二、填空题7．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.解析：∵x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，∴s 2＝10－72＋6－72＋8－72＋5－72＋6－725＝165. 答案：1658．(2011年浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.解析：由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X 的分布列为：E (X )＝0×112＋1×13＋2×12＋3×6＝3.答案：539．(2012年韶关调研)某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交保险金为________．解析：设保险公司要求顾客交x 元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：－a )·p ＝x －ap . 为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，只需E (ξ)＝0.1a ，即x －ap ＝0.1a ，故可得x ＝(0.1＋p )a . 即顾客交的保险金为(0.1＋p )a 时，可使公司期望获益10%a . 答案：(0.1＋p )a 三、解答题10．一个袋中有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的数学期望E (X )． 解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球”为事件A ， 设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3，其中P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0,1,2,3.于是X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝12×0＋12×1＋12×2＋12×3＝2.11．(2012年陕西)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望． 解：设Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y 的分布列如下：(1)A 表示事件 则事件A 对应三种情形： ①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P (A )＝P (Y ＝1)P (Y ＝3)＋P (Y ＝3)P (Y ＝1)＋P (Y ＝2)P (Y ＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)X 所有可能的取值为0,1,2.X ＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P (X ＝0)＝P (Y >2)＝0.5；X ＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P (X ＝2)＝P (Y ＝1)P (Y ＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝0.49.所以X 的分布列为E (X )12．(2012年济宁一模)某高中社团进行社会实验，对[25,55]岁的人群随机抽取1 000人进行了一次是否开通“微博”的调查．若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在[40,45)岁、[45,50)岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的40%,30%.请完成以下问题：(1)求[40,45)岁与[45,50)岁年龄段“时尚族”的人数；(2)从[40,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取9人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，已选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和数学期望E (X )．解：(1)由频率分布直方图可知，[40,45)岁的频率为0.03×5＝0.15， 所以该组中“时尚族”人数为1 000×0.15×40%＝60； [45,50)岁的频率为0.02×5＝0.1，所以该组中“时尚族”人数为1 000×0.1×30%＝30.(2)因为[40,45)岁与[45,50)岁年龄段的“时尚族”人数的比值为60∶30＝2∶1， 所以采用分层抽样法抽取9人，[40,45)岁中有6人，[45,50)岁中有3人． 随机变量X 所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 06C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝314，P (X ＝2)＝C 26C 13C 39＝1528，P (X ＝3)＝C 36C 03C 39＝521.所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P1843141528521E (X )＝0×184＋1×314＋2×28＋3×21＝2.[热点预测]13．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是 ( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6D ．6和5.6解析：若两个随机变量η，X 满足一次关系式η＝aX ＋b (a ，b 为常数)，当已知E (X )、D (X )时，则有E (η)＝aE (X )＋b ，D (η)＝a 2D (X )．由已知随机变量X ＋η＝8，所以有η＝8－X .因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.答案：B14．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝3，则D (ξ)的值是________．解析：根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ，－a ＋c ＝13，解得b ＝13，a ＝16，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝59.答案：5915．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空，比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止，设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立，求：(1)打满3局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E (ξ)． 解：令A k ，B k ，C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P (A 1C 2B 3)＋P (B 1C 2A 3)＝123＋123＝14.(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6，且P (ξ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝122＋122＝12， P (ξ＝3)＝P (A 1C 2C 3)＋P (B 1C 2C 3)＝123＋123＝14，P (ξ＝4)＝P (A 1C 2B 3B 4)＋P (B 1C 2A 3A 4)＝124＋124＝18， P (ξ＝5)＝P (A 1C 2B 3A 4A 5)＋P (B 1C 2A 3B 4B 5)＝125＋125＝116， P (ξ＝6)＝P (A 1C 2B 3A 4C 5)＋P (B 1C 2A 3B 4C 5)＝125＋125＝116.故ξ的分布列为从而E (ξ)＝2×12＋3×4＋4×8＋5×16＋6×16＝16(局)．。
课时作业62：概括分析
概括分析(45分钟56分)题组一对点练注：每小题3分。
请比对下面的“原文片段”和“试题选项”，判断正误并说明理由。
1.[原文信息]皇太子欲临国学行齿胄礼，崇敬以学与官名皆不正，乃建议：请以国子监为辟雍省。
祭酒、司业之名，非学官所宜。
请以祭酒为太师氏，位三品；司业为左师、右师，位四品。
有诏尚书省集百官议。
皆以习俗久，制度难分明，国学非世官，不得名辟雍省、太师氏。
大抵惮改作，故无施行者。
[试题选项]归崇敬建言献策，均被采纳。
百官上朝时穿袴褶，他建议停止；他还认为国子学与官名都不正规，建议修改。
这些建议都得到实施。
[比对辨析]“均被采纳”“这些建议都得到实施”错，原文“大抵惮改作，故无施行者”说明后一个建议没有施行。
【参考译文】皇太子要到国子学举行齿胄礼，归崇敬认为国子学与官名都不正规，于是建议说：请把国子监作为辟雍省。
祭酒、司业的名称，不适合学官。
请把祭酒作为太师氏，官位为三品；司业作为左师、右师，官位为四品。
皇帝下诏让尚书省召集百官商议。
都认为习惯已久，制度难分辨清楚，国子学不是世官，不能叫作辟雍省、太师氏。
大概是害怕改作，所以没有施行。
2.[原文信息]玄宗开元初，大旱，关中饥，诏求直言。
廷珪上疏曰：“古有多难兴国，殷忧启圣，盖事危则志锐，情苦则虑深，故能转祸为福也。
今受命伊始，华夷百姓清耳以听，刮目以视，冀有闻见，何遽孤其望哉？”再迁黄门侍郎。
监察御史蒋挺坐法，诏决杖朝堂，廷珪执奏：“御史有谴，当杀杀之，不可辱也。
”士大夫服其知体。
王琚持节巡天兵诸军，方还，复诏行塞下，议者皆谓将袭回纥，廷珪陈五不可。
又请复十道按察使，巡视州县，帝然纳之。
坐漏禁内语，出为沔州刺史。
频徙苏、宋、魏三州。
[试题选项]张廷珪仕宦多朝，历任多职。
他在武则天、中宗、玄宗朝任过官职，仕途顺利；先后任过白水尉、监察御史、中书舍人、太子詹事等职务。
[比对辨析]“仕途顺利”错，根据“坐漏禁内语，出为沔州刺史”可知，张廷珪在仕宦生涯中也曾获罪遭贬。
高三数学第一轮复习课时作业(62)离散型随机变量及其分布列
课时作业(六十二) 第62讲 离散型随机变量及其分布列时间：45分钟 分值：100分基础热身1．10件产品中有3件次品，从中任取两件，可作为随机变量的是( ) A ．取到产品的件数 B ．取到正品的概率 C ．取到次品的件数 D ．取到次品的概率2．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( )A ．第一枚6点，第二枚2点B ．第一枚5点，第二枚1点C ．第一枚1点，第二枚6点D ．第一枚6点，第二枚1点3．已知随机变量的分布列如下表：则m 的值为( A.115 B.215 C.15 D.4154．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于C 47C 68C 15的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4) 能力提升5．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有( )A ．17个B ．18个C ．19个D ．20个6．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a ·⎝⎛⎭⎫23i，i ＝1,2,3，则a 的值为( )A.1738B.2738C.1719D.27197．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a，(i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于( ) A.19 B.16 C.13 D.148．50个乒乓球中，合格品为45个，次品为5个，从这50个乒乓球中任取3个，出现次品的概率是( )A.C 35C 350B.C 15＋C 25＋C 35C 350C ．1－C 345C 350 D.C 15C 245C 3509．随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝c k (k ＋1)(k ＝1,2,3,4)，其中c 为常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝( )A.23B.34C.45D.5610．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取2个球，则取出的红球个数X 的取值集合是________．11．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________(结果用数值表示)．12．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设一年内E 发生的概率为p ，公司要求投保人交x 元，则公司收益X 的分布列是________．13．已知随机变量X若η＝2X －3，则η14．(10分)一批产品共100件，其中20件为二等品，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的分布列．15．(13分)袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到1个红球得2分，取到1个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的分布列；(2)求得分大于6分的概率．难点突破16．(12分)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．(1)记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率； (2)记所取出的非空子集的元素个数为X ，求X 的分布列．课时作业(六十二)【基础热身】1．C 解析 A 中件数是2，是定值；B 、D 中的概率也是定值；C 中件数为0,1,2，次品件数可作为随机变量．2．D 解析 第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5，故选D .3．C 解析 利用概率之和等于1，得m ＝315＝15.4．C 解析 此题为超几何分布问题，15个村庄中有7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，C 47C 68表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便，6个交通方便，故P(X ＝4)＝C 47C 68C 1015.【能力提升】5．A 解析 1～10任取两个的和可以是3～19中的任意一个，共有17个． 6．B 解析 根据题意及随机变量分布列的性质得：a·23＋a·⎝⎛⎭⎫232＋a·⎝⎛⎭⎫233＝1，解得a ＝2738.7．C 解析 由分布列的性质，得1＋2＋32a ＝1，解得a ＝3，所以P(X ＝2)＝22×3＝13.8．C 解析 出现次品，可以是一个，两个或是三个，与其对立的是都是合格品，都是合格品的概率是C 345C 350，故有次品的概率是1－C 345C 350.9．D 解析 ∵c ⎝⎛⎭⎫11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1，∴c ⎝⎛⎭⎫1－15＝1，解得c ＝54，将其代入P ⎝⎛⎭⎫12<X<52＝P(1)＋P(2)＝c ⎝⎛⎭⎫1－13，得P ⎝⎛⎭⎫12<X<52＝56.10．{0,1,2,3} 解析 甲袋中取出的红球个数可能是0,1,2，乙袋中取出的红球个数可能是0,1，故取出的红球个数X 的取值集合是{0,1,2,3}．11．0.3 解析 剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，所以剩下两个数字都是奇数的概率是P ＝C 22C 13C 35＝310＝0.3.12.解析 P(X ＝x －a)＝p ，P(X ＝x)＝1－所以X 的分布列为13.解析 由η＝2X －314．解答 X 的可能取值为0,1,2.P(X ＝0)＝C 280C 2100＝316495；P(X ＝1)＝C 180C 120C 2100＝160495；P(X ＝2)＝C 220C 2100＝19495.所以X 的分布列为15.解答 (1)5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P(X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P(X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P(X ＝7)＝C 34C 13C 7＝1235，P(X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求得分X 的分布列为(2)P(X>6)＝P(X ＝7)＋P(X ＝8)＝1235＋135＝1335.【难点突破】16．解答 (1)记“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A.基本事件总数n ＝C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝31，事件A 包含的基本事件是{1,4,5}、{2,3,5}、{1,2,3,4}，事件A 包含的基本事件数m ＝3，所以P(A)＝m n ＝331.(2)依题意，X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，又P(X ＝1)＝C 1531＝531，P(X ＝2)＝C 2531＝1031P(X ＝3)＝C 3531＝1031P(X ＝4)＝C 4531＝531P(X ＝5)＝C 5531＝131故X 的分布列为。
2015届【北师大版】高三数学一轮课时作业及答案解析(共62课时)
课时作业1 集合一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2013²辽宁理，2)已知集合A＝{x|0<log4x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝( ) A．(0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．(1,2]解析：因为A＝(1,4)，所以A∩B＝(1,4)∩(－∞，2]＝(1,2]，选D.答案：D2．(2012²广东)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M＝( )A．U B．{1,3,5}C．{3,5,6} D．{2,4,6}解析：∁U M＝{3,5,6}．答案：C3．(2013²天津理，1)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝( ) A．(－∞，2] B．[1,2]C．[－2,2] D．[－2,1]解析：A∩B＝{x||x|≤2}∩{x|x≤1}＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x≤1}＝{x|－2≤x≤1}．答案：D4．(2014²山西四校联考)已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是( )A．2 B．3C．4 D．8解析：满足M∪N＝{0,1,2}的集合N有：{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}共4个．答案：C5．(2014²合肥质检)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{x∈Z||x|≤a}，则满足A B的实数a的一个值为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：当a＝0时，B＝{0}；当a＝1时，B＝{－1,0,1}；当a＝2时，B＝{－2，－1,0,1,2}；当a＝3时，B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，显然只有a＝3时满足条件．答案：D6．(2013²新课标Ⅱ理，1)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}解析：M＝{x|－1<x<3}，又∵N＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{0,1,2}．答案：A7．(2014²郑州一模)设集合U＝{x|x<5，x∈N＋}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M＝( ) A．{1,4} B．{1,5}C．{2,3} D．{3,4}解析：U＝{1,2,3,4}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，∴∁U M＝{1,4}．答案：A8．(2014²德州模拟)设S＝{x|x<－1，或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是( )A．(－3，－1)B ．[－3，－1]C ．(－∞，－3]∪(－1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)解析：在数轴上表示两个集合，因为S ∪T ＝R ，由图可得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8>5，解得－3<a <－1.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)9．(2014²湘潭模拟)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.解析：∵3∈B ，又a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3， ∴a ＝1. 答案：110．(2014²大连调研)已知R 是实数集，M ＝{x |2x<1}，N ＝{y |y ＝x －1}，则N ∩(∁R M )＝________.解析：M ＝{x |x <0，或x >2}，所以∁R M ＝[0,2]， 又N ＝[0，＋∞)，所以N ∩(∁R M )＝[0,2]． 答案：[0,2]11．(2013²江苏，4)集合{－1,0,1}共有________个子集．解析：共8个子集，分别为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}． 答案：8三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B ，∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3，经检验a ＝5或a ＝－3符合题意． ∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ， 由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}， 此时A ∩B ＝{9}，当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}， 此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意． ∴a ＝－3.13．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围.解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1， ∴m >5或m <－3，即m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．14．(2014²衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}， 当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．课时作业2 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2012²福建)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件解析：因为∀x ∈R ，e x >0，故排除A ；取x ＝2，则22＝22，故排除B ；a ＋b ＝0，取a ＝b ＝0，则不能推出a b＝－1，故排除C ，应选D.答案：D2．(2014²徐州模拟)命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数 解析：否命题既否定题设又否定结论，故选B. 答案：B3．(2012²重庆)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．充要条件解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在[0,1]上为增函数，∴f (x )在[－1,0]上为减函数，∴当3≤x ≤4时，－1≤x －4≤0，∴当x ∈[3,4]时，f (x )是减函数，反之也成立，故选D.答案：D4．(2014²潍坊一模)下列说法中正确的是( )A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”是逆命题是真命题B ．若函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2x ＋1的图像关于原点对称，则a ＝3 C ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件解析：A 中命题的逆命题是“若a <b ，则am 2<bm 2”是假命题，因为m ＝0时，上述命题就不正确，故A 错误；B 选项，若f (x )的图像关于原点对称，则f (x )为奇函数，则f (0)＝ln(a＋2)＝0，解得a ＝－1，故B 错误；C 选项，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，且43∈[－2，2]，因此C 是真命题．选项D ，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件．故选C. 答案：C5．(2014²武汉适应性训练)设a ，b ∈R ，则“a >0，b >0”是“a ＋b2>ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a >0，b >0时，a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，故a >0，b >0，推不出a ＋b2>ab ，而a ＋b 2>ab 亦推不出a >0，b >0，故选D.答案：D6．(2013²浙江理，4)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若f (x )是奇函数，则f (x )＋f (－x )＝0，即A cos(ωx ＋φ)＋A cos(－ωx ＋φ)＝0，整理得cos ωx cos φ＝0恒成立，故cos φ＝0，φ＝k π＋π2，k ∈Z ，故“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件．答案：B7．(2014²广州模拟)命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( )A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：x 2<1的否定为：x 2≥1；－1<x <1的否定为x ≥1或x ≤－1，故原命题的逆否命题为：若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1.答案：D8．(2013²山东理，7)给定两个命题p ，q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：由q ⇒綈p 且綈p ⇒/ q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/ p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件．答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)9．(2014²盐城调研)“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．解析：x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14.答案：充分不必要10．(2014²绍兴模拟)“－3<a <1”是“方程x 2a ＋3＋y 21－a＝1表示椭圆”的________条件．解析：方程表示椭圆时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3>0，1－a >0，a ＋3≠1－a ，解得－3<a <1，且a ≠－1，故“－3<a <1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 答案：必要不充分11．(2014²扬州模拟)下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． 其中说法不正确的序号是________．解析：①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．答案：①②三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：p ：x 2－8x －20≤0⇔－2≤x ≤10， q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0⇔1－a ≤x ≤1＋a . ∵p ⇒q ，q ⇒/p ， ∴{x |－2≤x x |1－a ≤x ≤1＋a }．故有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤－2，1＋a ≥10，a >0，且两个等号不同时成立，解得a ≥9.因此，所求实数a 的取值范围是[9，＋∞)．13．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明：充分性：若a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－a －c ，∴ax 2＋bx ＋c ＝0化为ax 2－(a ＋c )x ＋c ＝0， ∴(ax －c )(x －1)＝0，∴当x ＝1时，ax 2＋bx ＋c ＝0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.必要性：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0， ∴a ＋b ＋c ＝0.综上可知，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.14．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x －a ＋<0， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x －2x －52<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －94x －12<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94， ∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥94.∴(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}． ①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B . ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＋1≤a 2＋2， 即13<a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2.∴－12≤a <13.综上所述，实数a 的取值范围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.课时作业3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2014²北京朝阳一模)如果命题“p ∧q ”是假命题，“綈q ”也是假命题，则( ) A ．命题“(綈p )∨q ”是假命题 B ．命题“p ∨q ”是假命题C ．命题“(綈p )∧q ”是真命题D ．命题“p ∧(綈q )”是真命题解析：由“綈q ”为假命题得q 为真命题，又“p ∧q ”是假命题，所以p 为假命题，(綈p )为真命题．所以命题“(綈p )∨q ”是真命题，A 错；命题“p ∨q ”是真命题，B 错；命题“p ∧(綈q )”是假命题，D 错；命题“(綈p )∧q ”是真命题，故选C.答案：C2．(2014²吉林模拟)已知命题p ：有的三角形是等边三角形，则( ) A ．綈p ：有的三角形不是等边三角形 B ．綈p ：有的三角形是不等边三角形 C ．綈p ：所有的三角形都是等边三角形 D ．綈p ：所有的三角形都不是等边三角形解析：命题p ：有的三角形是等边三角形，其中隐含着存在量词“有的”，所以对它的否定，应该改存在量词为全称量词“所有”，然后对结论进行否定，故有綈p ：所有的三角形都不是等边三角形，所以选D.答案：D3．(2014²吉林一模)给出如下几个结论：①命题“∃x ∈R ，cos x ＋sin x ＝2”的否定是“∃x ∈R ，cos x ＋sin x ≠2”；②命题“∃x ∈R ，cos x ＋1sin x ≥2”的否定是“∀x ∈R ，cos x ＋1sin x<2”；③对于∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＋1tan x ≥2；④∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝ 2.其中正确的为( )A ．③B ．③④C ．②③④D ．①②③④解析：根据全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题，知①不正确，②正确；由均值不等式如③正确；由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]知④正确．答案：C 4．(2013²四川理，4)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B 解析：∵p ：∀x ∈A,2x ∈B . ∵綈p ：∃x ∈A,2x ∉B . 故选D. 答案：D5．(2014²石家庄质检)已知命题p 1：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0；p 2：∀x ∈[1,2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是( )A ．(綈p 1)∧(綈p 2)B ．p 1∨(綈p 2)C ．(綈p 1)∧p 2D ．p 1∧p 2解析：∵方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x 2＋x ＋1<0无解，故命题p 1为假命题，綈p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1，∴∀x ∈[1,2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，綈p 2为假命题．∵綈p 1为真命题，p 2为真命题．∴(綈p 1)∧p 2为真命题．答案：C6．(2014²“江南十校”联考)下列说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x ＋1x >2，则綈p ：∀x ∈R ，均有x ＋1x≤2B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题解析：显然选项A 正确；对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确；对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确；对于D ，若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故选项D 错误．答案：D7．(2014²石家庄模拟)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＝1或a ≤－2B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1解析：若命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0真，则a ≤1.若命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0真，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，a ≥1或a ≤－2，又p 且q 为真命题，所以a ＝1或a ≤－2.答案：A8．(2013²陕西文，6)设z 是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2<0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2<0解析：本题考查复数的相关概念．z 2能与0比较大小且z 2≥0，则z 为实数，A 正确．由i 2＝－1知，B 、D 正确．C 中不防取z ＝1＋i ，则z 2＝2i 不能与0比较大小．答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)9．若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图像知Δ＝a 2－4>0，解得a >2或a <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)10．已知命题p ：∃a ∈R ，曲线x 2＋y 2a ＝1为双曲线；命题q ：x －1x －2≤0的解集是{x |1<x <2}．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是真命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．其中正确的是________．解析：因为命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以命题“p ∧q ”是假命题，命题“p ∧(綈q )”是真命题，命题“(綈p )∨q ”是假命题，命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．答案：②④11．(2014²大连期中)下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)解析：在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的；在②中l 1⊥l 2⇔a ＋3b ＝0，所以②不正确；在③中“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”正确．答案：①③三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形．解：(1)存在一个矩形不是平行四边形，假命题． (2)存在一个素数不是奇数，真命题．(3)所有的实数的绝对值都不是正数，假命题． (4)每一个平行四边形都不是菱形，假命题．13．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上的解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值范围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0， 得(2x －a )(x ＋a )＝0，∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2. 又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p ∨q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为{a |a >2，或a <－2}．14．已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x＋1x >1c恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值范围．解：∵y ＝c x为减函数，∴0<c <1，∴p ：0<c <1；∵x ∈[12，2]时，f (x )＝x ＋1x ，f ′(x )＝1－1x2令f ′(x )＝0得x ＝1，∴x ∈[12，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 又f (12)＝52，f (2)＝52f (1)＝2，∴f (x )∈[2，52]．∵f (x )>1c 恒成立，∴1c <2，∴c >12，∵“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， ∴p 与q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ 0<c <1，c ≤12，∴0<c ≤12.当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，c >12，∴c ≥1.综上知c 的取值范围是0<c ≤12或c ≥1.课时作业4 函数及其表示一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2012²江西理，2)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x解析：本题考查函数的定义域，因为y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，满足条件的函数只有D ，故选D.答案：D2．(2014²北京海淀)如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝________.( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 解析：令1x ＝t ，得x ＝1t.∴f (t )＝1t 1－1t＝1t －1∴f (x )＝1x －1. 答案：B3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α＝( )A. －4或－2B. －4或2 C ．－2或4 D ．－2或2 解析：本题主要考查分段函数求函数值等基础知识． 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4；当α>0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2. 综之：α＝－4或2，选B.答案：B4．下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( )①A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2②A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x③A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：对于①，当0∈A 时，y ＝0∉B ，故①所给的对应法则不是A 到B 的映射，当然它不是A 上的函数关系；对于②，当2∈A 时，y ＝2∉B ，故②所给的对应法则不是A 到B 的映射，当然它不是A 上的函数关系；对于③，对于A 中的任一个数，按照对应法则，在B 中都有唯一元素0和它对应，故③所给的对应法则是A 到B 的映射，这两个数集之间的关系是集合A 上的函数关系．答案：B5．(2014²福建厦门3月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4 D ．±2或4解析：(1)当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1得x ＝ 2. (2)当x ∈(2,5]时，由x －3＝1得x ＝4. 综上，f (x )＝1的解为2或4. 答案：C6．(2013²全国大纲理，4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)解析：f (x )的定义域为(－1,0)∴－1<2x ＋1<0，∴－1<x <－12.答案：B7．(2014²吉林模拟)已知函数y ＝f (x )的图像关于点(－1,0)对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝1x，则当x ∈(－∞，－2)时，f (x )的解析式为( )A ．－1xB.1x ＋2C ．－1x ＋2 D.12－x解析：因为函数y ＝f (x )的图像关于点(－1,0)对称，则－y ＝f (－2－x )． 设x ∈(－∞，－2)，则－2－x >0，故－y ＝f (－2－x )＝－1x ＋2，即y ＝1x ＋2.答案：B8．(2014²赣州一模)对于实数x ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数．例如，[π]＝3，[－1.08]＝－2.如果定义函数f (x )＝x －[x ]，那么下列命题中正确的一个是( )A ．f (5)＝1B ．方程f (x )＝13有且仅有一个解C ．函数f (x )是周期函数D ．函数f (x )是减函数解析：f (5)＝5－[5]＝0，故A 错误；因为f (13)＝13－[13]，f (43)＝43－[43]＝13，所以B 错误；函数f (x )不是减函数，D 错误；故C 正确．答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)9．(2013²上海春季高考)函数y ＝log 2(x ＋2)的定义域是________． 解析：要使函数y ＝log 2(x ＋2)有意义，须使x ＋2>0，即x >－2. 答案：(－2，＋∞)10．函数y ＝－x 12＋x －x2＋(x －1)0的定义域是________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，12＋x －x 2>0，x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－3<x <4.x ≠1，所以－3<x <2且x ≠1，故所求函数的定义域为{x |－3<x <2且x ≠1}． 答案：{x |－3<x <2且x ≠1}11．(2014²海口模拟)对a ，b ∈R ，记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧aa <b ，b a ≥b ，函数f (x )＝min{12x ，－|x －1|＋2}(x ∈R )的最大值为________．解析：y ＝f (x )是y ＝12x 与y ＝－|x －1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.答案：1三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的表达式． 解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝3－1＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0，故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0，故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.∴g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.13．已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，它在[0,3]上是一次函数，在[3,6]上是二次函数，且当x ∈[3,6]时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的解析式． 解：∵x ∈[3,6]时，y ＝f (x )是二次函数， f (6)＝2且f (x )≤f (5)＝3，∴当x ＝5时，二次函数有最大值3，当x ∈[3,6]时可设f (x )＝a (x －5)2＋3，由f (6)＝2，a ＋3＝2，得a ＝－1，∴当x ∈[3,6]时，f (x )＝－(x －5)2＋3，则f (3)＝－1，由y ＝f (x )为奇函数，∴f (0)＝0. 当x ∈[0,3]时，y ＝f (x )为一次函数，由f (0)＝0，f (3)＝－1，得f (x )＝－13x ，由y ＝f (x )为奇函数知，当x ∈[－3,0]时，f (x )＝－f (－x )＝－13x .当x ∈[－6，－3]时，f (x )＝－f (－x )＝(x ＋5)2－3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2＋3，x－13x ，－3≤xx ＋2－3，－6≤x <－.14．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x )的表达式； (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)解：(1)设一次订购量为m 个时，零件的实际出厂单价恰降为51元． 由题意，得60－(m －100)³0.02＝51，得m ＝550.故当一次订购550个时，零件实际出厂单价恰降为51元． (2)由题意知，当0<x ≤100时，f (x )＝60；当100<x <550时，f (x )＝60－(x －100)²0.02＝62－x50；当x ≥550时，f (x )＝51.∴函数P ＝f (x )的表达式是 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤100，x ∈N ＋，62－x50，100<x <550，x ∈N＋，51，x ≥550，x ∈N ＋.(3)由(2)知当销售商一次订购500个零件和1 000个零件时销售单价分别为62－50050＝52(元)和51元，故其利润分别是 500³52－500³40＝6 000(元)和1 000³51－1 000³40＝11 000(元)．课时作业5 函数的单调性与最值一、选择题(每小题5分，共40分)1．关于函数y ＝－3x的单调性的叙述正确的是( )A ．在(－∞，0)上是递增的，在(0，＋∞)上是递减的B ．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递增C ．在[0，＋∞)上递增D ．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的解析：由于函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上是递减的，且－3<0，因此函数y ＝－3x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的，这里特别注意两区间之间只能用“和”或“，”，一定不能用“∪”．答案：D 2．(2014²南昌一模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－lg|x |D ．y ＝2|x |解析：对于C 中函数，当x >0时，y ＝－lg x ，故为(0，＋∞)上的减函数，且y ＝－lg|x |为偶函数．答案：C 3．(2014²青岛模拟)已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)解析：由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增，∴f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．答案：C4．(2013²重庆理，3)－a a ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92C ．3D.322解析：－a a ＋＝－a 2－3a ＋18 ＝－a ＋322＋814∴当a ＝－32时，(－a a ＋)max＝814＝92，故选B. 答案：B5．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：3x >0⇒3x ＋1>1⇒log 2(3x＋1)>log 21＝0，选A. 答案：A6．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1)解析：由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减． 答案：A7．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上是增函数，而f (2)＝0，所以当x 1∈(1,2)时，有f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，有f (x 2)>f (2)＝0.故选B.答案：B8．(2014²黄冈模拟)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为( )A.14B.12C.22D.32解析：显然函数的定义域是[－3,1]且y ≥0，故y 2＝4＋2－x x ＋＝4＋2－x 2－2x ＋3＝4＋2－x ＋2＋4，根据根式内的二次函数，可得4≤y 2≤8，故2≤y ≤22，即m ＝2，M ＝22，所以m M ＝22.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)9．(2012²上海理，7)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e |x |的对称轴为x ＝0，∴f (x )＝e |x －a |的对称轴为x ＝a ，若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴a ≤1. 答案：(－∞，1]10．(2014²台州模拟)若函数y ＝|2x－1|，在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝|2x－1|的图像如下：而函数在(－∞，m ]上单调递减，故m ≤0.答案：m ≤011．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝ax ＋2a ＋1－2a x ＋2＝a ＋1－2ax ＋2要使f (x )在(－2，＋∞)上为增函数，只需1－2a <0，即a >12.答案：a >12三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.(1)求f (1)的值，并判断f (x )的单调性；(2)若f (4)＝2，求f (x )在[5,16]上的最大值．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )>0， ∴f (x 1x 2)>0，即f (x 1)－f (x 2)>0，因此f (x 1)>f (x 2)， ∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增加的． (2)∵f (x )在(0，＋∞)上是增加的， ∴f (x )在[5,16]上的最大值为f (16)． 由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，得f (164)＝f (16)－f (4)，而f (4)＝2，∴f (16)＝4.∴f (x )在[5,16]上的最大值为4.13．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调增加的；(2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．解：(1)设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调增加的．(2)f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧1a －2＝121a －12＝2，∴a ＝25.14．函数f (x )＝log 9(x ＋8－a x)在(1，＋∞)上是增加的，求a 的取值范围．解：由已知f (x )在(1，＋∞)是单调递增的，设任意x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)即log 9(x 1＋8－ax 1)<log 9(x 2＋8－a x 2)， 得x 1＋8－a x 1<x 2＋8－a x 2， 即：(x 1－x 2)(1＋ax 1x 2)<0. ∵x 1－x 2<0，∴1＋a x 1x 2>0，a x 1x 2>－1，a >－x 1x 2. ∵x 2>x 1>1，∴欲使a >－x 1x 2恒成立，只要a ≥－1.同时欲使x >1时x ＋8－ax >0恒成立，只要x ＝1时x ＋8－ax≥0即可，得a ≤9.∴所求a 的范围是－1≤a <9.课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2012²陕西理，2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：因为y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ≥0－x 2x <0，是奇函数且在(－∞，＋∞)上是增函数，故选D.答案：D2．下面四个结论中，正确命题的个数是( ) ①偶函数的图像一定与y 轴相交；②函数f (x )为奇函数的充要条件是f (0)＝0； ③偶函数的图像关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①错误，如函数f (x )＝1x2是偶函数，但其图像与y 轴没有交点；②错误，因为奇函数的定义域可能不包含x ＝0；③正确；④错误，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f (x )＝0，x ∈(－a ，a )．答案：A3．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：因为函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 为奇函数，且在x ＝0处有定义，故f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1.故函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg 1＋x 1－x .令f (x )<0，得0<1＋x 1－x <1，即x ∈(－1,0)．答案：A4．(2014²长春月考)函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (－a )＝2，则f (a )的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2解析：令g (x )＝x 3＋sin x ，显然g (x )是奇函数，则f (－a )＝g (－a )＋1＝2. ∴g (－a )＝1，即g (a )＝－1，∴f (a )＝g (a )＋1＝－1＋1＝0. 答案：B5．(2014²诸城模拟)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f (x )不恒为0，且对于定义域内的任意实数x ，y 都有f (xy )＝f y x ＋f xy成立，则f (x )( ) A ．是奇函数，但不是偶函数B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数 解析：令x ＝y ＝1，则f (1)＝f1＋f1，∴f (1)＝0. 令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f －－1＋f －－1，∴f (－1)＝0. 令y ＝－1，则f (－x )＝f －x＋f x－1，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )是奇函数． 又∵f (x )不恒为0，∴f (x )不是偶函数．故选A. 答案：A6．(2012²天津文，6)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R解析：y ＝e x －e －x 2是奇函数，y ＝x 3＋1是非奇非偶函数，而y ＝cos2x 在(1,2)上是先减后增的，选B.答案：B7．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)等于( )A ．0.5B ．－0.5C ．1.5D ．－1.5解析：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2) ＝－[－f (x )]＝f (x )． ∴4是f (x )的一个周期．故f (7.5)＝f (8－0.5)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5. 答案：B8．(2014²芜湖一模)设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是( ) A ．a <－1或a ≥23 B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23解析：由函数f (x )为奇函数，得f (1)＝－f (－1)． 由f (1)＝－f (－1)≥1，得f (－1)≤－1.又函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)， 由2a －3a ＋1≤－1，解得－1<a ≤23. 答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)9．(2014²吉林一模)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＋b ＝________.解析：由函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a －1＝－2a ，即a ＝13，所以a ＋b ＝13.答案：1310．(2014²金华十校模拟)已知函数f (x －1)为奇函数，函数f (x ＋3)为偶函数，f (0)＝1，则f (8)＝________.解析：由y ＝f (x －1)为奇函数得f (－x －1)＝－f (x －1)，由y ＝f (x ＋3)为偶函数得f (－x ＋3)＝f (x ＋3)，则f (8)＝f (5＋3)＝f (－5＋3)＝f (－2)＝f (－1－1)＝－f (1－1)＝－f (0)＝－1.答案：－111．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图像的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 以上命题中所有真命题的序号为________． 解析：令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0.又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确；根据f (2)＝0可得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图像关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图像关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故真命题的序号为①②④.答案：①②④三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知f (x )＝x －ax 2＋bx ＋1是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间，并加以证明； (3)求f (x )(x >0)的最值．解：(1)∵f (x )＋f (－x )＝0恒成立，即x －a x 2＋bx ＋1－x ＋a x 2－bx ＋1＝0恒成立， 则2(a ＋b )x 2＋2a ＝0对任意的实数x 恒成立． ∴a ＝b ＝0. (2)∵f (x )＝xx 2＋1(x ∈R )是奇函数，∴只需研究(0，＋∞)上f (x )的单调区间即可． 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 2－x 1x 1x 2－x 21＋x 22＋. ∵x 21＋1>0，x 22＋1>0，x 2－x 1>0， 而x 1，x 2∈[0,1]时，x 1x 2－1<0，∴当x 1，x 2∈[0,1]时，f (x 1)－f (x 2)<0， 函数y ＝f (x )是增函数；当x 1，x 2∈[1，＋∞)时，f (x 1)－f (x 2)>0， 函数y ＝f (x )是减函数． 又f (x )是奇函数，∴f (x )在[－1,0]上是增函数，在(－∞，－1]上是减函数． 又x ∈[0,1]，u ∈[－1,0]时，恒有f (x )≥f (u )，等号只在x ＝u ＝0时取到，故f (x )在[－1,1]上是增函数．(3)由(2)知函数f (x )在(0,1)上递增，在[1，＋∞)上递减，则f (x )在x ＝1处可取得最大值 .∴f (1)＝12，∴函数的最大值为12，无最小值．13．已知函数y ＝f (x )的定义域为R .且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．且当x >0时，f (x )<0恒成立，f (3)＝－3.(1)证明：函数y ＝f (x )是R 上的减函数； (2)证明：函数y ＝f (x )是奇函数；(3)试求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n ∈N ＋)上的值域． 解：(1)设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)] ＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)<f (x 1)， 故f (x )是R 上的减函数．(2)∵f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )恒成立， ∴可令a ＝－b ＝x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)．又令a ＝b ＝0，则有f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.从而任意的x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )．故y ＝f (x )是奇函数． (3)由于y ＝f (x )是R 上的单调递减函数， ∴y ＝f (x )在[m ，n ]上也是减少的，故f (x )在[m ，n ]上的最大值f (x )max ＝f (m )， 最小值f (x )min ＝f (n )． 由于f (n )＝f [1＋(n －1)]＝f (1)＋f (n －1)＝…＝nf (1)， 同理f (m )＝mf (1)． 又f (3)＝3f (1)＝－3，∴f (1)＝－1.∴f (m )＝－m ，f (n )＝－n .因此函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域为[－n ，－m ]． 14．设函数f (x )是定义在[－1,0)∪(0,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝2ax ＋1x2(a ∈R )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若a >－1，试判断f (x )在(0,1]上的单调性；(3)是否存在实数a ，使得当x ∈(0,1]时，f (x )有最大值－6. 解：(1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)，∴f (－x )＝－2ax ＋1x2∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )∴当x ∈(0,1]时，f (x )＝2ax －1x2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2ax －1x2 x ∈，1]2ax ＋1x 2x ∈[－1，.(2)当x ∈(0,1]时，∵f ′(x )＝2a ＋2x3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1x 3，∵a >－1，x ∈(0,1]，∴a ＋1x3>0.即f ′(x )>0.∴f (x )在(0,1]上是单调递增函数． (3)当a >－1时，f (x )在(0,1]上单调递增． f (x )max ＝f (1)＝2a －1＝－6，∴a ＝－52(不合题意，舍去)，当a ≤－1时，由f ′(x )＝0得，x ＝－31a.↗↘此时x ＝22∈(0,1)， ∴存在a ＝－22，使f (x )在(0,1]上有最大值－6.课时作业7 二次函数与幂函数一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)解析：f (a )＝g (b )⇔e a －1＝－b 2＋4b －3⇔e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－2<b <2＋ 2.答案：B2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，2a ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3.答案：A3．(2013²安徽，4)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当a ＝0时，f (x )＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )＝|ax 2－x |的图像如图(1)所示，由图像可知f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图像如图(2)所示，由图像可知f (x )在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件．所以，要使f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增，只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件． 答案：C4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析：∵f (x )是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3. 答案：A。
课时作业62：第14课 荷塘月色
荷塘月色一、基础巩固(15分，每小题3分)1．下列词语中，加点的字的注音全都正确的一项是( )A．明眸．(móu)倩．影(qiàn)独处．(chù) 鹢．首徐回(yì)B．宁．静(níng) 悄．悄(qiāo)曲．折(qǔ) 妖童媛．女(yuàn)C．脉．脉(mò) 霎．时(chà)乍．看(zhà) 缕．缕清香(lǚ)D．羞涩．(sè) 煤屑．(xiè)踱．步(duó) 参差．斑驳(cī)2．下列词语中，有错别字的一项是( )A．凝碧轻歌曼舞丰姿清澈见底B．浩渺名门望族朗照烘云托月C．敛裾格外风致梵语宛然存在D．灌木不拘礼法树梢神彩飞扬3．选出修辞手法与例句相同的一项( )例：微风过处，送来缕缕清香，仿佛远处高楼上渺茫的歌声似的。
A．叶子出水很高，像亭亭的舞女的裙。
B．月光如流水一般，静静地泻在这一片叶子和花上。
C．层层的叶子中间，零星地点缀着些白花，有袅娜地开着的，有羞涩地打着朵儿的。
D．塘中的月色并不均匀；但光与影有着和谐的旋律，如梵婀玲上奏着的名曲。
4．下列各句中，加点的成语使用恰当的一句是( )A．1930年最后一条野生袋狼被杀于墨本纳……袋狼这个曾经繁盛的物种从地球上销声．．匿迹．．了。
B．展厅里几乎看不见买车的顾客，销售人员没精打采．．．．地打发时间，而待售新车倒是停得满满的……C．楼市步入调整期后，放松“一套房贷”政策的呼声不绝如缕．．．．，但银行界普遍担心，房价正在下降，房贷风险高，不敢轻易改变政策。
D．发展低碳经济首当其冲．．．．的是要坚持节约资源、保护环境的基本国策，协调资源利用和环境保护的关系，实现可持续发展。
5．下列各句中，没有语病的一项是( )A．中心思想是针对文章的整体内容而言的，要求具有较高的分析概括能力和准确的语言表达能力。
B．虽然有国家资源作支撑，但面临重重困难，国有企业能取得现在这样的成绩，确实可说堪称不易。
课时作业62
大一轮复习 ·高三数学 ·新高考
第21页
C．20
D．40
解析：∵Tr＋1＝Cr5(x2)5－r1xr＝Cr5x10－3r，令 10－3r＝1，得 r ＝3，∴x 的系数为 C35＝10.
大一轮复习 ·高三数学 ·新高考
第5页
系列丛书
4．若二项式(x－ 1 )n 的展开式中第 m 项为常数项，则 m，n x
应满足( A ) A．2n＝3(m－1) B．2n＝3m C．2n＝3(m＋1) D．2n＝m
B．2n－1
C．2n＋1－1
D．2n
解析：令 x＝1，得 1＋2＋22＋…＋2n＝1×22－n＋11－1＝2n＋1
－1.
大一轮复习 ·高三数学 ·新高考
第8页
系列丛书
7．(3－2x－x4)(2x－1)6 的展开式中，含 x3 项的系数为( C )
A．600
B．360
C．－600
D．－360
解析：由二项展开式的通项公式可知，展开式中含 x3 项的 系数为 3×C6323(－1)3－2×C2622(－1)4＝－600.
019x＋C22
019x2＋C32
019x3＋…＋C22
019 019
x2 019＝(1＋x)2 019－1＝i2 019－1＝－1－i.故选 D.
大一轮复习 ·高三数学 ·新高考
第19页
系列丛书
16．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－ x)2＋…＋an(1－x)n，则 a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝( D )
大一轮复习 ·高三数学 ·新高考
第11页
系列丛书
10．(多选题)对于二项式1x＋x3n(n∈N*)，以下判断正确的有 ( AD )
二年级下册课时作业本第62页。第五题。
二年级下册课时作业本第62页。
第五题。
一、根据语境写词语。
（10分）1、农忙季节又到了，大街上看不到人们在xián ɡuànɡ（），只有在农田里才看到他们ɡēnɡ yún（）的身影。
2、园子里种了一棵yīng táo（）树,我们常常用chú tou （）除草，拿着shuǐ piáo（）给它浇水，施肥。
终于，果子成熟了，一个个yuánɡǔnɡǔn（）的樱桃挂在树上，我们心里乐开了花。
3、春天到了，爷爷把我家院子后面的空地上的杂草bádiào （），用来种菜。
我用脚把那下了种的土窝一个一个地溜平，还东一脚西一脚地xiānào（）。
几天后，爷爷种的菜发芽了，我和爷爷一起chǎn dì（），我往往把菜苗当做野菜个（ɡē diào），把野菜留着。
二、判断下列加点字读音的对错，正确的在括号里打“√”，错误的在括号里改正过来。
（8分）浩渺miǎo（）万顷qīnɡ（）耄耋zhì （）旖旎nǐ（）葬zhànɡ身（）瑞ruì士（）无垠yín（）玷zhàn污 ( ）三、选择题。
（10分）1、下列选项中画线字读音完全正确的一项是（）。
A、拴（shuān）着樱（yīn）桃B、河蚌（fēnɡ）逛（ɡuànɡ）街C、倭瓜（wō）葬（zànɡ）身D、萌（mēnɡ）动菜种（zhǒnɡ）2、下列对《祖父的园子》中句子理解有误的一项是（）。
A、“因为我太小，拿不到锄头杆，祖父就把锄头杆拔下来。
”这一句说明祖父对“我”很疼爱。
B、“（我）往往把谷穗当作野草割掉，把狗尾巴草当作谷穗留着。
”这句话说明“我”做错了以后，祖父没有骂“我”，反而笑，对“我”很宽容。
C、“祖父把我叫过去，慢慢讲给我听，说谷子是有芒针的，狗尾草却没有，只是毛嘟嘟的，很像狗尾巴。
红对勾理科数学课时作业62
课时作业62排列与组合时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()A．36种B．30种C．42种D．60种解析：从8名同学中选出3名，有C38种方法，其中全是男生的有C36种，∴至少有1名女生的选法有C38－C36＝36种．答案：A2．有6人被邀请参加一项活动，必然有人去，去几人自行决定，共有()种不同去法()A．36种B．35种C．63种D．64种解析：每个人都有参加活动和不参加活动两种选择，故6个人的参加方式共26＝64种，而要求至少有一人参加，所以去掉无人参加的方式，即64－1＝63种，故选C.答案：C3．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有()A．120个B．80个C．40个D．20个解析：任选3个数，其中最大的数字作十位数，其余2个数作个位和百位再排列，所以有C36A22＝40(个)．答案：C4．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A．12种B．18种C．24种D．48种解析：将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A22·A22种排法．而后将丙、丁进行插空，有3个空，有A23种排法，故共有A22·A22·A23＝24种排法．答案：C5．如图所示是某个区域的街道示意图(每个小矩形的边表示街道)，那么从A到B的最短线路有()条()A．100 B．400C．200 D．250(题图)(答图)解析：A经C到B的线路为C25C25＝100条．A经D到B也为C25C25＝100条，故A到B的路径为200条，故选C.答案：C6．为继续实施区域发展总体战略，加大对革命老区、民族地区、边疆地区、贫困地区扶持力度，某市教育局再次号召本市重点中学教师和领导自愿到观阁、广兴、天池、龙滩四个边远山区中学支教，得到了积极响应，统计得知各边区学校教师需求情况如下表：C．26 D．30解析：3名物理教师不用排列，天池中学需2名英语教师，其中有1名干部，C12种选法，再排列剩余的2名干部，每个学校一名，A22，第三步观阁中学选数学教师C13种，剩余的2名数学教师去广兴和天池中学A22种．所以总的分配方法有C12·A22·C13A22＝24种，选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)7．某班由8名女生和12名男生组成，现要组织5名学生外出参观，若这5名成员按性别分层抽样产生，则参观团的组成方法共有________种．(用数字作答)解析：由题意按分层抽样应抽2名女生和3名男生，则有C28C312＝6 160种组成方法．答案：6 1608．为举办校园文化节，某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人、舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为________．(用数字作答)解析：3名女生参加三个项目A33A22＝12,3名女生参加两个项目C23A22A22＝12.故共有不同推荐方案为12＋12＝24.答案：249．(2013·浙江卷)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：六个字母占六个位置，先选三个位置排列A、B、C，再排列D、E、F，所以排法共有C36C12A22·A33＝480.答案：480三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)10．(15分)要从12人中选出5人去参加一项活动．(1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法？(2)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？(3)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？解：(1)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C29＝36种选法．(2)可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C13种选法，再从余下的9人中选4人，有C49种选法，所以共有C13×C49＝378种选法．(3)可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都入选的情况有C29种，所以共有C512－C29＝756种选法．11．(20分)从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ 解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C 34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C 45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A 77种情况．所以符合题意的七位数有C 34C 45A 77＝100 800个．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C 34C 45A 55A 33＝14 400个．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C 34C 45A 33A 44A 22＝5 760个．——创新应用——12．(20分)在m (m ≥2)个不同数的排列p 1p 2…p m 中，若1≤i <j ≤m 时p i >p j (即前面某数大于后面某数)，则称p i 与p j 构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n ＋1)n (n －1)…321的逆序数为a n .如排列21的逆序数a 1＝1，排列321的逆序数a 2＝3，排列4 321的逆序数a 3＝6.(1)求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；(2)令b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n，证明：2n <b 1＋b 2＋…＋b n <2n ＋3，n ＝1,2，….解：(1)由已知条件a 4＝C 25＝10，a 5＝C 26＝15，则a n ＝C 2n ＋1＝n (n ＋1)2.(2)证明：b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＝n n ＋2＋n ＋2n＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2∴b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝2n ＋2(32－1n ＋1－1n ＋2)，∴2n <b 1＋b 2＋…＋b n <2n ＋3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时作业(六十二)1．若椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )A ．25B ．2 3C ．4 5D ．4 3答案 D解析 ∵椭圆过(－2，3)，则有416＋3b 2＝1，b 2＝4，c 2＝16－4＝12，c ＝23，2c ＝4 3.故选D.2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8 答案 D解析 椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m . 又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝c 2＝4. ∴m ＝8.3．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为 ( )A ．3B ．3或253 C.15 D.15或5153答案 B解析若焦点在x 轴上，则有⎩⎨⎧5>m ，5－m5＝105.∴m ＝3.若焦点在y 轴上，则有⎩⎨⎧m >5，m －5m ＝105.∴m ＝253.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20答案 D解析 如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又 e ＝c a ＝35，即c ＝35a ， ∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16. ∴a ＝5，△ABF 2的周长为20.5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c .若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.34答案 A解析 由d 1＋d 2＝2a ＝4c ，∴e ＝c a ＝12.6．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233 B.263 C.33D. 3答案 B解析 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3.①又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1， 即y 2＝1－x 24.②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263. 故点M 到y 轴的距离为263.7．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(3，163) C ．(0,3)∪(163，＋∞) D ．(0,2)答案 C解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163； 当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3，综上知选C.8．(2013·温州五校)已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.12 B.23 C.13 D.53答案 D解析 由PF 1→·PF 2→＝0，得△PF 2F 2为直角三角形，由tan ∠PF 1F 2＝12，设|PF 2|＝s ，则|PF 1|＝2s ，又|PF 2|2＋|PF 1|2＝4c 2(c ＝a 2－b 2)，即4c 2＝5s 2，c ＝52s ，而|PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝3s ，∴a ＝3s 2.∴离心率e ＝c a ＝53，故选D.9．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，点P 为该椭圆上一动点，则当PF 2→·P A 1→取最小值时|P A 1→＋PF 2→|的取值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由已知得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以 F 2(1,0)，A 1(－2,0)，设P (x ，y )， 则PF 2→·P A 1→＝(1－x ，－y )·(－2－x ，－y ) ＝(1－x )(－2－x )＋y 2.又点P (x ，y )在椭圆上，所以y 2＝3－34x 2，代入上式， 得PF 2→·P A 1→＝14x 2＋x ＋1＝14(x ＋2)2. 又x ∈[－2,2]，所以x ＝－2时，PF 2→·P A 1→取得最小值． 所以P (－2,0)，求得|PF 2→＋P A 1→|＝3.10．设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M ，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率为( )A.3－1 B ．2－ 3 C.22 D.32答案 A解析 由题意知∠F 1MF 2＝π2，|MF 2|＝c ，|F 1M |＝2a －c ，则c 2＋(2a －c )2＝4c 2，e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1.11．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为______________．答案 8解析 直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.12．已知点A (4,0)和B (2,2)，M 是椭圆x 225＋y 29＝1上一动点，则|MA |＋|MB |的最大值为________．答案 10＋210 解析显然A 是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A 1(－4,0)，连BA 1并延长交椭圆于M 1，则M 1是使|MA |＋|MB |取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M 有：|MA |＋|MB |＝2a －|MA 1|＋|MB |≤2a ＋|A 1B |(当M 1与M 重合时取等号)，∴|MA |＋|MB |的最大值为2a ＋|A 1B |＝2×5＋62＋22＝10＋210.13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，记椭圆C 的离心率为e .若直线l 的倾斜角为π3，且恰好经过椭圆的右顶点，则e的大小为______．答案 12 解析如图所示，设直线l 与圆O 相切于C 点，椭圆的右顶点为D ，则由题意，知△OCD 为直角三角形，且OC ＝b ，OD ＝a ，∠ODC ＝π3，∴CD ＝OD 2－OC 2＝a 2－b 2＝c (c 为椭圆的半焦距)，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝cos π3＝12.14．F 1，F 2是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为________．答案 23解析 由椭圆的定义可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝1，|BF 1|＋|BF 2|＝1，相加得 |AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝2.∴|AF 2|＋|BF 2|＝2－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2－|AB |. ∵|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列， ∴2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|.于是2|AB |＝2－|AB |，∴|AB |＝23.15.如右图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解析 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )， 由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2. 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1. 即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.16．(2013·沧州七校联考)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．答案 (1)x 216＋y 212＝1 (2)1≤m ≤4解析(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a b ＝23，a 2＝b 2＋4，解之得⎩⎨⎧a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)设P (x 0，y 0)，且x 2016＋y 2012＝1， ∴|MP →|2＝(x 0－m )2＋y 20 ＝x 20－2mx 0＋m 2＋12(1－x 2016)＝14x 20－2mx 0＋m 2＋12 ＝14(x 0－4m )2－3m 2＋12.∴|MP →|2为关于x 0的二次函数，开口向上，对称轴为4m . 由题意知，当x 0＝4时，|MP →|2最小，∴4m ≥4，∴m ≥1. 又点M (m,0)在椭圆长轴上，∴1≤m ≤4.17．(2013·潍坊质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且与椭圆x 2＋y 22＝1有相同的离心率，斜率为k 的直线l 经过点M (0,1)，与椭圆C 交于不同的两点A 、B .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围． 解析 (1)∵椭圆C 的焦距为4，∴c ＝2. 又∵椭圆x 2＋y 22＝1的离心率为22，∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b ＝2. ∴椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 24＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2. 由(1)知椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2,0)， ∵右焦点F 在圆的内部，∴AF →·BF →<0. ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2<0，即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1<0. ∴(1＋k 2)x 1x 2＋(k －2)(x 1＋x 2)＋5＝(1＋k 2)·－61＋2k 2＋(k －2)·－4k 1＋2k 2＋5＝8k －11＋2k 2<0，∴k <18.经检验，当k <18时，直线l 与椭圆C 相交． ∴直线l 的斜率k 的取值范围为(－∞，18)．1．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．解析 (1)由已知，点P (－2，1)在椭圆上， ∴有2a 2＋1b 2＝1.①又∵PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上， ∴M 为PF 2的中点． ∴－2＋c ＝0，c ＝ 2. ∴a 2－b 2＝2，②解得①②，得b 2＝2(b 2＝－1舍去)， ∴a 2＝4.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y 1x 0－x 1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x 12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x 05.∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点N (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上， ∴－2≤x 0≤2. ∴－10≤－5x 0≤10，即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 及点A (0，b )，原点O 到直线F A 的距离为22b .(1)求椭圆C 的离心率e ；(2)若点F 关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点P 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．解析 (1)由点F (－ae,0)，点A (0，b )及b ＝1－e 2a 得直线F A 的方程为x －ae＋y 1－e 2a＝1，即1－e 2x －ey ＋ ae 1－e 2＝0，∵原点O 到直线F A 的距离为22b ＝a 1－e 22，∴ae 1－e 21－e 2＋e 2＝a1－e 22，解得e ＝22.(2)∵F (－22a,0)关于直线l 的对称点P 在圆O 上，且直线l ：2x ＋y ＝0经过圆O ：x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)，∴F (－22a,0)也在圆O 上．从而(－22a )2＋02＝4，得a 2＝8，∴b 2＝(1－e 2)a 2＝4. ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.∵F (－2,0)与P (x 0，y 0)关于直线l 对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0＋2＝12，2·x 0－22＋y 02＝0.解得x 0＝65，y 0＝85.∴点P 的坐标为(65，85)．3.如图，从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 与短轴端点B 的连线AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任一点，F 2是右焦点，F 1是左焦点，求∠F 1QF 2的取值范围；(3)设Q 是椭圆上任一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程．解析 (1)∵MF 1⊥x 轴，∴x M ＝－c .代入椭圆方程，得y M ＝b 2a ，∴k OM ＝－b 2ac .又∵k AB ＝－b a 且OM ∥AB ，∴－b 2ac ＝－b a .故b ＝c ，从而e ＝22.(2)设|QF 1|＝r 1，|QF 2|＝r 2，∠F 1QF 2＝θ. ∵r 1＋r 2＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，∴cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝4b 22r 1r 2－1＝a 2r 1r 2－1≥a 2(r 1＋r 22)2－1＝0.(当且仅当r 1＝r 2时，等号成立)∵0≤cos θ≤1，故θ∈[0，π2]．(3)∵b ＝c ，a ＝2c ，∴设椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.∵PQ ⊥AB ，k AB ＝－22，k PQ ＝2，∴直线PQ 的方程为y ＝2(x －c )． 联立可得5x 2－8cx ＋2c 2＝0. ∴|PQ |＝[(8c 5)2－4×2c 25](1＋2)＝62c 5.又点F 1到PQ 的距离d ＝263c ，∴S △F 1PQ ＝12d |PQ |＝12×263c ×625c ＝435c 2. 由435c 2＝203，得c 2＝25，故2c 2＝50.∴所求椭圆方程为x 250＋y 225＝1.。