信息光学chap2

正透镜f>0, U1 是向透镜后方焦点F/会聚的球面波。 负透镜f<0, U1 是向透镜前方虚焦点F发散的球面波。
实际透镜有一孔径，透镜孔径函数（光瞳函数）为
1， 透镜孔径内 P( x, y) 0， 其它
透镜的相位变换因子为
t ( x, y ) P( x, y ) exp[ j k ( x 2 y 2 )] 2f
二 惠更斯－菲涅耳原理 目的：以子波相干叠加的方法对衍射结果进行定量描述。 Z Q R S Z/ 研究方法：单色点光源S发出的球面波波面为，波面半径为R， 光波传播空间内任意一点P的振动应是波面上发出的所有子波 在该点振动的相干叠加。 r
P
三
基尔霍夫衍射公式
基尔霍夫的贡献：1.给出了倾斜因子 K 2.给出了常数C的具体形式
本章重点：
1.标量衍射理论的适用条件 2.衍射的角谱理论 3.夫琅和费衍射的计算 4.透镜的傅立叶变换作用及变换特性
根据物放置的位置（透镜之前和透镜之后）讨论。
1.物在透镜之前
( x0 , y0 )
( x, y)
透明片的复振幅透过率：
P1
P2
( x, y )
t ( x0 , y0 )
所在位置称为输入面 光源共轭面为输出面 薄透镜P1和P2平面重合
S
0
S/
p d0
p
q
单色点光源发出的球面波在物表面上的场分布为：
2.1.4 相干光场在自由空间传播的脉冲响应的近似表达式
1、傍轴近似 脉冲响应表达式为
h( x0 , y0 ; x, y ) 1 exp[ jk z 2 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] h( x x0 , y y0 ) jkz
表达式很复杂。r可表示为 x x0 2 y y0 2 1 / 2 r z[1 ( ) ( ) ] z y y z x x0 2 0 2 ) 都是小量，r可展开为 ) 、( 当 cos( n, r ) 1 时 (
2 2 x0 y0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ]dx0 dy0 t ( x0 , y0 ) exp[ jk 2( p d0 ) ] exp[ jk 2d 0 0
总结分析过程： （1）求球面波在物前表面上的场分布； （2）根据物的透过率函数求出物后表面 即输入面的出射光场分布； （3）求出输入平面到达透镜前表面的复 振幅分布U1(x/,y/) （4）求出透镜后的复振幅分布U/1(x/,y/) （5）应用菲涅耳衍射公式求出共轭面上 光场分布U(x,y)
方法：将光场当作标量处理，只考虑电场的一个横向分量的标量 振幅，而假定其它分量也可以用同样的方法处理，忽略电 磁场矢量间的耦合特性，称之为标量衍射理论。
标量衍射理论适用条件： （1）衍射孔径比波长大得多 （2）观察平面远离孔径平面 主要研究问题： 研究光源S发出的球面波照明无限大的不透明屏上的孔， 计算孔径右边空间衍射场中某点P的场值－－小孔衍射问题
• 相干光场在自由空间传播的平移不变性 • 相干光场在自由空间传播的脉冲响应
2.1. 惠更斯—菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式
一 惠更斯原理 表述：任何时刻的波面上的每 一点都可作为发射子波的波源， 各自发出球面子波。其后任一时刻所有子波波面的包络面形成 整个波动在该时刻的新波面。 优点：① 可以直观描述波的传播并解释衍射产生的原因。 ② 可由已知波面求另一时刻的波面。 不足：对衍射仅有定性解释，无法用波长、振幅、位相等物理 量对衍射结果作定量描述。
本章讲述标量衍射理论，需要指出的是，在现代衍 射 光学、微光学、二元光学及光子晶体分析中，常利 用矢量波衍射理论。
本章主要研究内容
• 基尔霍夫衍射理论
• 衍射的角谱理论
• 菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射 • 透镜的傅里叶变换性质
2.1 基尔霍夫衍射理论
• 惠更斯－菲涅尔原理与基尔霍夫衍射公式
• 惠更斯－菲涅尔原理与叠加积分
当z足够大时，展开式中第三项可忽略。这种近似称菲涅耳近似或 傍轴近似。
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ]2 r z[1 ] 4 2z 8z
z
z
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] 这时指数部分的r取为 r z[1 2z
2 2 x0 y0 A0 exp[ jk ] 2( p d 0 )
a0 k U ( x, y ) A exp( jkz) exp{ j [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ]} z 2z
透过物体后，即从输入面上出射的光场为
2 2 x0 y0 A0t ( x0 , y0 ) exp[ jk ] 2( p d 0 )
z=z
z=0
基尔霍夫理论与角谱理论的比较
• （1）基尔霍夫理论和角谱理论是统一的，它们都 证明了光的传播现象可看作线性系统。－－共同 的物理基础（标量波动方程） • （2）基尔霍夫理论是在空域讨论光的传播，是把 孔径平面光场看作点源的集合，观察平面上的场 分布等于它们发出的不同权重的球面波的相干叠 加。球面子波在观察平面上的复振幅分布就是系 统的脉冲响应。角谱理论是在频域讨论光的传播， 是把孔径平面场分布看作许多不同方向传播的平 面波分量的线性组合。观察平面上场分布仍然等 于这些平面波分量的叠加，但每个平面波引入了 相移。相移的大小决定系统的传递函数，它是系 统脉冲响应的傅里叶变换。
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 exp( jkz) U ( x, y ) ]dx0 dy0 U 0 ( x0 , y0 ) exp[ jk jkz 2z

其中Σ 0为物函数所在的范围。透过透镜后的场分布为：
x2 y2 U 1 ( x, y) U 1 ( x, y) P( x, y) exp( jk ) 2f

r展开式中第三项引起的相位变换
2 [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ]2 max 2 3 8z 2 2 2 [( x x0 ) ( y y0 ) ] max 3 即 z 8
这是充分条件，但不是必要条件，实际上当z较小不满足 上式，也能观察到菲涅耳衍射。
孔径输出
cos cos cos cos cos cos cos cos A0 ( , ) ( , ) *T ( , ) T( , )








上式说明通过衍射屏后，由δ 函数所表征的入射光 场的角谱变成了孔径函数的傅里叶变换，显然角谱 分量大大增加。
只要满足傍轴条件，就可以对任意的入射波进行变换。薄透 镜的相位变换特性与入射波无关，由透镜本身性质决定。
2.4.2 透镜的傅里叶变换特性
会聚透镜除具有成像性质外，另一个性质就是能作 傅里叶变换。 正因如此，傅里叶分析方法才得以广泛用于光学。
用正透镜观察夫琅和费衍射（实现傅立叶变换）的途径 （1）平行光照明下，在透镜的后焦平面上观察（在无穷远 处照明光源的共轭面） （2）照明光源的共轭面上。 物的位置会影响衍射图样的大小，但图样分布不变。
在输出面上，即光源S的共轭面上的光场分布为
x2 y2 ( x x) 2 ( y y) 2 U ( x, y) ]dxdy U1 ( x, y) exp[ jk 2 f ] exp[ jk jq P 2q 1 A U 1 ( x, y) 0 jd 0
（夫琅和费近似）
+
2.2 衍射的角谱理论
孔径平面和观察平面上的光场分布都可以分别看成 是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。每 一平面波分量的相对振幅和相位取决于相应的角谱。 x0 y0
U 0 ( x0 , y0 )
cos cos A0 ( , )
xy
U ( x, y )


z cos cos A( , )
结论：
（1）从空域上看，孔径的作用是限制了入射光波的大 小； （2）从频域上看则是展宽了入射光场的角谱
2.3 菲涅耳衍射和夫琅和费衍射
菲涅耳衍射公式
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 exp( jkz) U ( x, y ) ]dx0 dy0 U 0 ( x0 , y0 ) exp[ jk j，由菲涅耳衍射公式得
A U 1 ( x, y) 0 jd 0
2 2 x0 y0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ]dx0 dy0 t ( x0 , y0 ) exp[ jk 2( p d0 ) ] exp[ jk 2d 0 0
第二章 标量衍射理论
光波的传播过程就是光波衍射过程
矢 量 波 衍 射 理 论 标 量 (1)整个光波场内光矢量振动方向 波 不变，或只考虑光矢量的一个分量。 衍 (2)衍射屏的最小尺寸远大于波长。 射 理 (3)观察距离远大于波长。 论
(4)折射率与光强无关。
假设与近似
波动光学
波动光学 （基础）
由cos ; cos , 传递函数可表示为
2 2 2（x0 y0） 1 2 2 max 2或z （x0 y0） max 2z 2
夫琅和费近似范围 z
1 2 2 （x0 y0） max 2
用单位振幅平面波垂直于P1面入射时U1(x,y)=1,P2上的场分布为 k 2 U1 ( x, y )t ( x, y ) exp[ j U1 ( x y 2 )] 2f