信息光学第四章
信息光学(第二版)4-数学基础3-卷积、相关、傅里叶级数
τ
1/2
-1< x <0; g(x) = 1×[x+1/2-(-1/2)]=1+x 0 < x <1; g(x) = 1×[1/2-( x-1/2)]= 1- x
卷积通常具有(1)加宽 (2)平滑 的作用
§0-3 卷积 convolution
四、性质
1. 卷积满足交换律 Commutative Property f(x)*h(x) = h (x) * f (x) 2. 卷积满足分配律 Distributive Property [v(x) + w(x)]*h(x) = v(x)*h (x) + w(x)*f (x) 推论:卷积是线性运算 Linearity
(n = 0, 1, 2... ),
f0 =
1
τ
展开系数
a0 =
τ∫
2
τ
0
g ( x)dx an =
τ∫
2
τ
0
g ( x) cos(2πnf 0 x)dx bn =
τ∫
2
τ
0
g ( x) sin(2πnf 0 x)dx
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开
三角傅里叶展开的例子
+∞
即任意函数与δ(x) 卷积后不变 利用卷积的位移不变性可得: f(x)*δ(x - x0) = f (x - x0)
任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平 移到脉冲所在的位置. f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x) 的函数波形,用于描述各种重复性的结构.
a b a
−∞
=
a
*
《信息光学》第四章章透镜的位相调制和傅里叶变换性质
tl x, y exp jk 0 exp jk n 1 x, y
x, y 0
x
2
y2 1 1 2 R1 R2
x2 y 2 1 1 tl x, y exp jkn0 exp jk n 1 2 R1 R2
f
f
f
j f
2f
2
2
f
f
k 2 U 2 x, y exp j x 2 y 2 exp j xx f yy f dxdy 2f f
?
2、透镜的傅里叶变换性质
后焦面上的场分布为
透镜的复振幅透过率：
tl x , y
U l x, y U x, y
在旁轴近似下，忽略透镜对光波振幅的影响，紧靠透镜前后的平面上产生的 复振幅分布为
k U l x, y A exp jkd 0 exp j x 2 y 2 2d 0
y2 2 R12 2 2 x y 1 2 2 R2
2
x, y 0
x
2
y2 1 1 2 R1 R2
1、透镜的位相调制作用
1.3 透镜的复振幅透过率 根据厚度函数的表达式，可得到在旁轴近似下，光波通过透镜时在(x,y)点发生 的位相延迟
1、透镜的位相调制作用
因此，透镜的位相调制因子：
Ul x, y k 2 2 tl x, y exp jk d d exp j x y 0 i 2f Ul x, y
傅里叶信息光学Chap4-2
gi ( x, y ), gt ( x, y ), f ( x, y )
设A为在入射平行光的振幅。 透镜后光波是会聚球面波，物的前表面复振幅分布：
f
Af k gi ( x , y ) exp i ( x 2 y 2 ) d 2d
暂不考虑透镜和物的孔径大小。物的后表面复振幅：
1 2 2 g ( x0 , y0 ) exp i ( f d1 )( f x f y ) F ( f x , f y ) if
ik 1 d1 2 2 exp (1 )( x0 y0 ) F ( f x , f y ) if f 2 f x0 y0 2 , fy ,k 其中 f x f f
k 2 2 f l ( x, y ) f l ( x, y ) PL ( x, y ) f ( x, y ) exp i ( x y )可以看作是菲涅耳衍射， 其复振幅，（2－4－11）
' k 1 2 2 2 2 g ( x0 , y0 ) exp if ( f x f y ) F f l ( x, y ) exp i ( x y ) if 2f
4-2. 透镜的傅立叶变换性质
会聚透镜最突出的的性质之一就是它固有的进行二维傅立叶变换 的本领。 假定光源是单色的，也就是说我们所研究的系统是相干系统。
我们讨论一下正透镜后面某个特定平面上的复振幅分布。
在一般意义上讨论P2平面上的复振幅分布，计算量非常大，为此 我们只讨论透镜后焦面上的复振幅分布，这种情况下
这正是教材上的3-1-11式，这样我们分两步走，在频域处 理，就避免了复杂的两次卷积积分。 当d1＝f时，即物放置在透镜前焦面时，
陈家璧版-光学信息技术原理及应用习题解答(4-7章)
第四章习题4.1 若光波的波长宽度为λΔ，频率宽度为νΔ，试证明：λλννΔΔ=。
设光波波长为nm 8632=.λ，nm 8-10⨯2=λΔ，试计算它的频宽νΔ。
若把光谱分布看成是矩形线型，那么相干长度?=c l证明：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.1题答案。
421.510c λνλ∆∆==⨯赫，32010()c c cl ct m ν===⨯∆4.2 设迈克尔逊干涉仪所用的光源为nm 0589=1.λ，nm 6589=.2λ的钠双线，每一谱线的宽度为nm 010.。
（1）试求光场的复自相干度的模。
（2）当移动一臂时，可见到的条纹总数大约为多少？（3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？ 答：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.2题答案。
假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为 ()^1212rect rect νννννδνδνδν⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦G (1)光场的复相干度为^1()()exp(2)1sin ()exp(2)[1exp(2)]2r j d c j j τνπντνδντπντπντ∞==+∆⎰G式中12ννν-=∆，复相干度的模为ντπδνττ∆=cos )(sin )(c r 由于νδν∆，故第一个因子是τ的慢变化非周期函数，第二个因子是τ的快变化周期函数。
相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在δντ1=c 的地方，c τ为相干时间，故相干长度δλλδλλδντ22≈===cc l c c 。
（2）可见到的条纹总数589301.05893====δλλλcl N （3）复相干度的模中第二个因子的变化周期ντ∆=1，故可见度的变化周期数601.06==∆=∆==δλλδννττc n 每个周期内的条纹数9826058930===n N4.3假定气体激光器以N 个等强度的纵模振荡，其归一化功率谱密度可表示为()()()()∑21-21--=+-1=N N n n NνννδνΔgˆ 式中，νΔ是纵模间隔，ν为中心频率并假定N 为奇数。
信息光学 1、常用函数
信息光学信息光学（傅立叶光学）是综合性大学、工科院校和高等师范院校近代光学、信息光学、激光、光电子等专业研究生和大学高年级的必修课，它是从事光学和光电子领域科学研究和产品开发人员必须的理论基础。
其主要内容一般包括傅立叶光学、标量衍射理论、透镜的性质、部分相干光理论、光学全息及光信息处理等。
限于本课程的课时限制，我们准备主要讲授傅立叶光学、透镜性质、标量衍射理论、部分相干光理论的内容本课程的主要内容讲授拟分八章。
第一章：数学预备知识；第二章：二维傅立叶分析；第三章：衍射理论基础；第四章：菲涅耳衍射、夫琅和费衍射；第五章：透镜的傅立叶变换特性与成象性质；第六章：成象光学系统的传递函数；第七章：部分相干光理论；主要参考书①黄婉云，傅立叶光学教程，北师大出版社，1984②羊国光，宋菲君，高等物理光学，中国科大出版社，1991③J. W. Goodman, 詹达三译，傅立叶光学导论，科学出版社，1976④朱自强等，现代光学教程，四川大学出版社，1990⑤卞松玲等，傅立叶光学，兵器工业出版社，⑥蒋秀明等，高等光学，上海交大出版社⑦M. 波恩，E. 沃耳夫，光学原理，科学出版社，1978⑧吕乃光等，傅立叶光学基本概念和习题⑨谢建平等，近代光学基础，中国科技大学出版社，1990第一章：数学预备知识为了方便后面的学习，我们复习一下有关的数学知识。
§1-1 几个常用函数一、 矩形函数（rectangle function ）1、一维矩形函数表达式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤-=-21||021||1)(rect 000a x x a x x a x x其函数图形为：当x 0=0，a =1时，矩形函数为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=21||021||1)(rect x x x [此时rect(x )=rect(-x )]其图形为2、二维矩形函数表达式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-≤-≤-=-⋅-21||,21||021||,21||1)()(000000b y y a x x b y y a x x b y y rect a x x rect其函数图形为：二维矩形函数可以用来描述屏上矩形孔的透过系数。
信息光学(傅里叶光学)Chap4-1
z
y
z
在无穷远处观察到衍射屏的二维傅里叶变换. 能否在有限远处观察和利用? 可以用透镜实现. 几何光学中,透镜是折射成像 元件, 将物点变换为像点, 物、 像点均可在无穷远 物理光学中,透镜是实现位相 变换的元件, 其前后表面的光 场复振幅分布不同. 本章解决: 透镜的位相变换, 透镜的F.T.性质
只要正确决定R1、R2的符号, 以上推导适合于任何透镜
透镜的焦距
1 1 f (n 1) R R 2 1
1
仅决定于透镜材料和几何参数.
此结果与几何光学一致. f >0: 凸(正)透镜; f <0: 凹(负)透镜
x2 y2 不考虑常数位相因子, 则透镜的位相变换因子为 exp jk 2f 此变换与入射波的复振幅无关, 它实现变换:
m为整数
令ar02 = u, 则复振幅透过率是u的周期函数, 周期为2p. 方波, 可以展开为复指数 1 1 sgn(cosu ) cn exp( jnu ) 形式的傅里叶级数: n (1)求出傅氏系数cn, 2 2 (2)讨论n为奇数和偶数的情形 (3)与上例的结果相比较.
§4-1 透镜的位相调制作用: 例 讨论
此屏类似透镜, 等效于平、凹、凸三个透镜,可作位相变换 三个透镜的直径为2l, 焦距分别为∞, -p/a和 p/a. 当单色平面 波垂直入射时, 有三部分出射光束 (1)直接透过,循原方向传播 (2)会聚到透镜后焦面处, 与透镜距离为p/a (3)从透镜前焦点p/a处发散的球面波 正、负透镜的焦距与波长有关, 即有很大的色差. 只有用单色光照明,才能得到清晰的像 三个衍射级不能完全分开
与(x,y)平面上球面波复振幅分布的位相因子相比较 f >0: Ul’(x,y)代表会聚到透镜后焦点的会聚球面波; f <0: Ul’(x,y)代表从透镜前焦点发出的发散球面波 这与几何光学的结果相同 若考虑透镜的有限尺寸, 可引入孔径函 P ( x, y ) 1 数P(x,y), (一般是圆域函数或矩孔函数), 0
信息光学习题答案及解析
信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。
1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。
于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。
信息光学_第四章
x0 y0
x y
xf yf
U2
Uf
Fresnel U ( x, y) exp jkz exp[j k ( x 2 y 2 )] U x , y exp[j k ( x 2 y 2 )]exp[ j 2 ( xx yy )]dx dy 0 0 0 0 0 0 0 0 jz 2z 2z z 公式：
exp[ jk ( p q)]
常数相位因子，改变光波整体的位相分布，可略掉
k 1 1 调制项，影响观察面上位相的相对分布， exp[ j ( x 2 y 2 )( )] 把发散球面波变换成会聚球面波 2 p q
透镜成像的高斯公式：
1 1 1 p q f
所以，透镜的位相变换因子为：
k ( x 2 y 2 )] 2f
将公式
U 2 ( x, y ) U1 ( x, y ) exp[ j
代入上式
x0 y0
x y
xf yf
U2
Uf
exp jkf k 2 2 2 U f (x f , y f ) exp[j ( x f y f )] U1 x, y exp[ j ( xx f yy f )]dxdy jf 2f f
xf yf
Uf
U 2 ( x, y)
透镜位相变换因子
• 透镜后端面光场复振幅
k U 2 ( x, y ) U1 ( x, y ) exp[ j ( x 2 y 2 )] 2f
• 透镜焦平面上光场复振幅 U f ( x f , y f )
透镜后端面光场
透镜后焦面光场， 属于Fresnel衍射。
令：
exp jkf k 2 2 U f (x f , y f ) exp[ j ( x f y f )] j f 2f U 2 x, y exp[ j
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2 2 2 2 t x t x t x t x ls 1 s 1 s l0 1 s 1 s 2ls ls 2l s l s 2l0 l0 2l0 l0
I ( P) I ( P 1) I (P 2) Re 12 ( ) 2 I (P 1)I (P 2)
如果再测出I1(P1)、I2(P2)值，即可得
Re 12 1 2 11 0 22 0 Re 12 I1 P 1 I2 P 2 I P I1 P I 2 P I1 P I 2 P I1 P 1 I2 P 2 Re 12
M2
1) 两束光光程相等时，条纹最清晰，调制度最大；
2) 随着光程差增大，条纹清晰（对比)度降低，最终条 纹消失；
3) 其中一束通过平移一反射镜调节合并的两束的光程差。
波列长度0、光谱宽度、时间相干性
有限光谱宽度的影响： 各波长的明、暗条纹的位置不同，导致干涉条纹对比度下降，
时间相干性变差；
准单色光： / 1 式中＝2－ （光谱两端波长差），＝ 2＋1 /2 1 2l 2l
当光源尺寸满足：
2bt /(ls ) 1
bt / ls 2
时条纹消失，故得光源的极限尺寸(或称光源的临界宽度)为
2bc ls / t /
干涉孔径角
光源宽度不超过其临界宽度的 1/4 时， 条纹对比度大于0.9，干涉条纹仍清晰
可见。欲使干涉条纹有较好的清晰度，
光源的尺寸应进一步减小到：
12 ( ) 1, 表示完全相干，干涉项的光强在 2 I(P1 )I(P2 )之间； 12 ( ) 0, 表示完全非相干，I(P)＝I(P1 )＋I(P2 )；
0 12 ( ) 1，部分相干。
干涉条纹对比度：
I max I min V I max I min
整个光源在观察屏上 x 处的总强度则可由该式在光源宽度
2b积分得到。
1 b 2 I x I cos 0 2b b
1 I x I0 2
kt xs x dxs l0 2 ls
sin 2 bt /(ls ) 2 tx cos 1 2 bt /( l ) l s 0
I( P 1 )I( P 2)
0 12 ( ) 1
如果令 12 ( )＝ 12 ( ) ei , 有 I ( P) I ( P 1) I (P 2 ) 2 I (P 1)I (P 2 ) 12 ( ) cos
为由r1 -r2引起的相位差
0 代 表 各 个 波列的平均 持续时间。
如果时间间隔 t0,则在t与t+t时刻的两个光场具有确定的 位相关系；而对于 t0 的两个光场，即使是由同一光源发 出的光波，它们之间也几间隔内，这两个光场仍然是相干的。 0称为辐射的相
干时间，相应地波列的长度称为相干长度Lc，有
A A
Source
B
B
xs
b
P1 t/2 t/2
r1 x r2
-b Source P 2 ls
l0
从b点发出的光经P1、P2孔后到达观测屏上某点的光程差
r ls2 t / 2 xs l02 t / 2 x ls2 t / 2 xs l02 t / 2 x
由于
x, xs , t l0 , l2
txs tx r ls l0
根据杨氏干涉场的强度分布
I I1 I 2 2 I1 I 2 cos , 当I1 I 2 I 0时,有 kt xs x I I 0 cos l0 2 ls
光场中两点P1、P2之间的互相干函数：
* 12 ( )＝12 ( P , P ) u ( P , t ) u 1 2 1 1 2 (P 2 , t)
1 ）P 1, P 2重合,且＝0时，相干函数就等于光强。 2）自相干函数：研究同一点光扰动有时间延迟的相干情况。表示为
* 11 ( )＝ u1 ( P , t ) u 1 1 (P 1 , t ) 时间相干性
I max I min sin 2 bt /( ls ) 对比度为 V I I 2 bt /(l ) sin c 2 bt /(ls ) max min s
显然，只有当光源尺寸趋于零 (b=0) 时，条纹对比度才最好 (V=1) 。随着光源尺寸的增加，条纹对比度降低，相干性变差。
成分的第m级极大。换言之，观察屏上每一点都落有某一
光谱成分的极大值，又落有另一光谱成分的极小值，因 而各点条纹强度趋于一个平均位，即条纹消失。对应的
光程差即为相干长度，有
从理论上解释频谱宽度和波列长度之间的关系 对于波列长度为 0 的光波，时间域 函数可以表示成
ei 2 0t , t 0 f t 0, else
第四章
部分相干理论
主讲老师：徐世祥
教学内容
1）光场的空间相干性概念及其相关性； 2）光场的时间相干性概念及其相关性； 3）光场的复相干度。
教学目的和要求
了解掌握光场的空间、时间相干性和复相干度概念及其与 哪些因素有关。
4.1 光源的空间相干性与光源线度
光源的空间相干性： 指光场中空间任意两点的光场的相干关系。 方法： 将空间任意两点的光场引出来，并使之相遇、叠加，观测干 涉特性：杨氏干涉。
场的相干性应同时包含时间相干性和空间相干性的双重影响。
对于光谱线很窄的扩展光源，应主要考虑空间相干性； 对于有限频宽的尺寸很小的光源，则主要考虑时间相干性。
激光具有较好的时间和空间相关性：
基横模运转：空间相关性好； 单纵模运转：时间相关性好。
4.2 互相干函数
相干度：度量光场的相干性。
光源有一定线度； 光源发出多色光。
有特别好的空间相干性。
光源的时间相干性与光波频谱 光源的时间相干性是指在同一空间点处．在任意相等的时
间区间 t 内测得该点的位相差随时间的变化情况。光源的
时间相干性取决于光源的频谱宽度。 实际的光源都是以不连续的许多有限长的波列形式 ( 称为 “波串”)发射光波的。而任何有限长的波列必然包含着不 同波长的光波，只有纯单色光才是无限长的波列。
2
在观测屏上的干涉条纹的亮暗取决于不同的 x 、 xs 值。但条 纹间隔与x、xs值无关。
kt x 2 l0
x
2 l0 l0 kt t
光源上一点 发出的光
实际上，并不是对所有x都能观测到条纹的，在多大的范围
内能观测到条纹与光源本身的性质和光路布置有关。
关于光源本身的性质： 1）每个光源不可能是点光源，而且光源上各点独立发光； 2）光源上各点发出的光频率或波长是相同的； 3）光源上各点发出的光之间位相是随机的。 线光源 不同的发光点对应于不同的 xs ，于是不同发光点各自产生直 线条纹，它们的亮或暗条纹位置不同，降低了整体条纹图样 的对比度。
光源的许 可宽度
1 2b / 4t 4
ls
对于选定的光源尺寸2b，两个小孔的距离t越小，干涉条纹就越清
晰，而随着t增大，干涉条纹对比度下降，直至条纹最后消失。两 小孔间最大允许间隔应为：
tc ls / 2b /
横向相 干宽度
光源的张角
光源极限尺寸与干涉孔径角成反比；而横向相干宽度与光
P
P点光场为
u( P, t ) u1 ( P, t ) u2 (P, t )
I ( P) u( P, t )u* ( P, t ) u1 ( P, t )u1* ( P, t ) u2 ( P, t )u2* ( P, t ) u1 ( P, t )u2* ( P, t ) u2 ( P, t )u1* ( P, t )
Lc c 0 , 而且 Lc＝02 /
迈克尔逊干涉仪考察时间相关性 1) 对一点光源发出的光进行适当准直，提高光的利用率； 2) 用点光源可有效的消除空间相干性的影响；
3) 将同一准直光分成两束，然后合并，观测两束光的干涉；
4) 其中一束通过平移一反射镜调节合并的两束的光程差。
M1
是空间坐标和时间函数。 4）对于非单色光，空间任一点的光扰动随时间无规则变化，
表现出的是统计性质。互相干函数是描述光场的基本参量。
5）光在不同空间点传播，光场的相干性也随之传播。
y x
O1 z O2
P1
P2
范西特─泽尼克定理：当光源线度以及观测区域线度都比两者 间距小得多时，观测区域上复空间相干度正比于光源强度分
相应的频谱为
F f t e
i 2t
dt F sin c 2 0 0
2
频谱宽度： 0 1 0 于是
0 0 1
时间相干性的反比公式，它表示了谱线 越窄，相干时间越长，时间相干性越好。
实际光源都是具有有限频带宽度的扩展光源，故其辐射光
3）P 1, P 2不重合,但＝0时，有
* 12 (0)＝ u1 ( P 1 , t )u1 ( P 2 , t ) 空间相干性
互相干函数包含了时间相干性和空间相干性的信息。
复相干度：归一化的复相干函数。
12 ( )＝
12 ( ) ＝ 11 ( ) 22 ( )
* u1 ( P , t ) u 1 2 (P 2 , t)
布的归一化傅里叶变换。
总结：
空间相关性概念及其相关因素；
时间相关性概念及其相关因素； 激光的高时间和空间相关性;