平面向量全部讲义

gs
All thin | AM |＝________.
11 C B D B －4a＋4b 2
1 4．向量的中线公式: 若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内一点，则 OP ＝2( OA ＋ OB )．
5．三点共线等价关系
A，P，B 三点共线⇔ AP ＝λ AB (λ≠0)⇔ OP ＝(1－t)· OA ＋t OB (O 为平面内异于 A，P，B 的任
in th 平面向量基本定理及其应用：如果，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
gs a＝λ1e1＋λ2e2，其中 e1，e2 是一组基底．
ll thin 特别注意：若 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，
a
＝λ1e1＋λ2e2， b
1e1
2e2
则a
b
21
1 2
A O→A O→B O→C
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB ＝(x2－x1，y2－y1)，| AB |＝ x2－x12＋y2－y12.
3．平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
and 1
e 例 5．－3 例 6． [解] (1)证明：∵ AB ＝a＋b， BC ＝2a＋8b， CD ＝3(a－b)，
Suf 第一节平面向量的概念及其线性运算 nd 1．向量的有关概念 a (1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． ing (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的． th (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量． e (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线． om (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． s (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
an 3．已知向量 a＝(－3,2)，b＝(x，－4)，若 a∥b，则 x＝( ) A．4 B．5 C．6 D．7
thing 4．设点 A(2,0)，B(4,2)，若点 P 在直线 AB 上，且|A→B|＝2|A→P|，则点 P 的坐标为( )
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．无数多个
C．16,0 D．4,0
d 7．已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,1)，若用 a 和 b 表示 c，则 c＝________.
are goo 8．已知向量 a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则 k＝________.
（3）．如图，已知 C 为 OAB 边 AB 上一点，且 AC 2CB, OC mOA nOB(m, n R) ,则 mn =__________
g 其中正确命题的序号是( )
in A．②③ Biblioteka ．①②C．③④D．④⑤
ir be CA
the 2．向量的线性运算
in 向量运算
定义
法则(或几何意义)
ll things 加法
求两个向量和的运 算
三角形法则
time and A 减法 nly one thing at a 数乘
平行四边形法则
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
C→ A
C→ B
C→D C→E
6．如图，在△ABC 中，D，E 为边 AB 的两个三等分点， ＝3a， ＝2b，求 ， .
1
DD2
巩固练习 1。16a＋6b 2。C 3。2
4。A
5。C
A→B A→C C→B ＝ ＋ ＝－3a＋2b，∵D，E
为A→B的两个三等分点，∴A→D＝13A→B＝－a＋23b＝D→E.
求 a 与 b 的相反向
量－b 的和的运算
叫做 a 与 b 的差
三角形法则
(1)|λa|＝|λ||a|；
求实数 λ 与向量 a 的积的运算
(2)当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ＜0 时， λa 的方向与 a 的方向相反；
当 λ＝0 时，λa＝0
运算律 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝
ing .例 7．(－3，－3) 例 8.A 例 9．解：由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． be (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． ir (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴Error!解得Error! e B C C C C D 2a－b 5
g 的长为( )
ein A．2 3
B．3 3 C．4 3
D．5 3
b
ir 5．在▱ABCD 中， AB ＝a， AD ＝b， AN ＝3 NC ，M 为 BC 的中点，则
e
th MN ＝________(用 a，b 表示)．
in
6．设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， BC 2＝16，| AB ＋ AC |＝| AB － AC |，则
tim ∴ BD ＝ BC ＋ CD ＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5 AB .∴ AB ， BD 共线，
a 又∵它们有公共点 B，∴A，B，D 三点共线．
at (2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线，∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，
g 即 ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b 是不共线的两个非零向量，
d for 例 1．若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定( )
oo A．有不相等的模 B．不共线 C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量 g
例 2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则 a＝b；②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 AB ＝ DC 等价于四边形
are ABCD 为平行四边形；③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；④a＝b 等价于|a|＝|b|且 a∥b；⑤若 a∥b，b∥c，则 a∥c.
一点，t∈R)⇔ OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ x21＋y21. (2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
thin ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.
A→B B→C
例 7．若 A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，则 －2 ＝________ 例 8.已知点 M(5，－6)和向量 a＝(1，－2)，若 MN ＝－3a，则点 N 的坐标为( )
A．(2,0) B．(－3,6)
C．(6,2)
11 C.4a＋4b
31 D.4a＋4b
fo 3．已知向量 a，b，c 中任意两个都不共线，但 a＋b 与 c 共线，且 b＋c 与 a 共线，则
od 向量 a＋b＋c＝( )
go A．a B．b
C．c
D．0
re 1 a 4 如图，在△ABC 中，∠A＝60°，∠A 的平分线交 BC 于 D，若 AB＝4，且 AD ＝4 AC ＋λ AB (λ∈R)，则 AD
in 为实数)，则 λ 必为零．④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线．其中错误的命题的个数为( )
th A．1
B．2
C．3
D．4
e
m 2.如图，已知 AB ＝a， AC ＝b， BD ＝3 DC ，用 a，b 表示 AD ，则 AD ＝( )
so 3
13
r A．a＋4b B.4a＋4b
2．若|O→A＋O→B|＝|O→A－O→B|，则非零向量O→A，O→B的关系是( )
定
3．若菱形 ABCD 的边长为 2，则| AB － CB ＋ CD |＝________
4．D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量 CD 等于( )
A．平行
B．重合
C．垂直
D．不确
1
1
1
1
e 1
1
11
m 5．已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 ka＋b 与 a－3b 平行时，k＝( )
A.4 B．－4 C．－3 D.3
r so 6．已知向量 a＝(cosθ，sinθ)，向量 b＝( 3，－1)，则|2a－b|的最大值、最小值分别是( )D
fo A．4 2，0 B．4 2，4
例 6． 设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1)若 AB ＝a＋b， BC ＝2a＋8b， CD ＝3(a－b)，
6．解：
uf 求证：A，B，D 三点共线．(2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
d S 巩固练习：
n 1．给出下列命题：
g a ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ
A．－ BC ＋2 BA B．－ BC －2 BA C． BC －2 BA
D． BC ＋2 BA
5．若 A，B，C，D 是平面内任意四点，给出下列式子：① AB ＋ CD ＝ BC ＋ DA ；② AC ＋ BD ＝ BC ＋