2019年高考数学(理科)二轮专题复习：第二部分 数列的求和及综合应用 (2).ppt

解：(1)设等比数列{an}的公比为 q(q＞0)， 由题意，得aa41＝q＋a1aq13q＝2＝813，（a1＋a1q）， 解得aq1＝＝33. ， 所以 an＝a1qn－1＝3n.
(2)由(1)得 bn＝log3a2n－1＝log332n－1＝2n－1. 则 Sn＝n（b12＋bn）＝n[1＋（22n－1）]＝n2，
(2)证明：由(1)知abnn＝2nn， 所以 Sn＝12＋222＋233＋…＋n2－n－11＋2nn，
12Sn＝212＋223＋234＋…＋n2－n－12＋n－2n 1＋2nn＋1，
两
式
相
减
得
1 2
Sn
＝
1 2
＋
1 22
＋
1 23
＋
…
＋
1 2n
－
n 2n＋1
＝
1211－－1212n－2nn＋1， 所以 Sn＝2－12n－1－2nn，所以 Sn＜2.
(2)由题意知 S2n＋1＝（2n＋1）（2 b1＋b2n＋1）＝(2n＋ 1)bn＋1，
又 S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0， 所以 bn＝2n＋1. 令 cn＝bann，则 cn＝2n2＋n 1， 因此 Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝32＋252＋273＋…＋22nn－－11＋ 2n2＋n 1，
又 n＝1 时，a1＝2 适合上式， 从而{an}的通项公式为 an＝2n2－1.
(2)记2na＋n 1的前 n 项和为 Sn，
由
(1)
知
an 2n＋1
＝
2 （2n－1）（2n＋1）
＝
1 2n－1
－
2n1＋1，
则 Sn＝1－13＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1＝1－ 2n1＋1＝2n2＋n 1.
[变式训练] 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，Sn＝2n2 ＋5n.
(1)求证：数列{3an}为等比数列； (2)设 bn＝2Sn－3n，求数列annbn的前 n 项和 Tn.
(1)证明：Sn＝2n2＋5n， 所以当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝4n＋3. 又当 n＝1 时，a1＝S1＝7 也满足 an＝4n＋3， 故 an＝4n＋3(n∈N*)．
[变式训练] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2 n，n
∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前 2n 项和． 解：(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1；
当
n≥2
时
，
an＝Biblioteka Sn－Sn
－
1
＝
n2＋n 2
－
（n－1）2＋2 （n－1）＝n.
解得 a1＝1，且 d＝1. 所以 an＝1＋(n－1)×1＝n. (2)令 cn＝a3nn＝3nn， 则 Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝13＋322＋333＋…＋n3－n－11＋3nn， ① 13Tn＝312＋323＋…＋n－3n 1＋3nn＋1，②
①－②得，
2 3
Tn
＝
13＋312＋…＋31n
(17－4n1＋7)＝7（4nn＋7）.
命题视角 错位相减法求和
【例 1－3】 (2018·长郡中学联考)已知{an}是等差数
列，{bn}是等比数列，a1＝1，b1＝2，b2＝2a2，b3＝2a3＋2.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)若abnn的前 n 项和为 Sn，求证：Sn＜2. (1)解：设数列{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q. 由题意得22qq＝2＝22（（11＋＋d2）d），＋2， 解得dq＝＝12，，或dq＝＝－0，1，(舍去)， 所以 an＝n，bn＝2n.
所以 cn＝4n21－1＝122n1－1－2n1＋1， 所以 Tn＝12[1－13＋13－15＋…＋(2n1－1－2n1＋1)]＝ n 2n＋1. 若 Tn＝2nn＋1＜λn 恒成立，则 λ＞2n1＋1(n∈N*)恒成 立， 则 λ＞2n1＋1max，所以 λ＞13.
[规律方法] 1．裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项 或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注 意消去了哪些项，保留了哪些项． 2．消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项， 前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
而 a1 也满足 an＝n，故数列{an}的通项公式为 an＝n.
(2)由(1)知 an＝n，故 bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n， 则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋ 2n)． 记 A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则 A＝2（11－－222n）＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前 2n 项和 T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
①－②得 2an－2an－1＝an， 所以 an＝2an－1(n≥2)，且 a1＝1. 所以数列{an}是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 an＝a1qn－1＝1·2n－1＝2n－1. (2)由 an·bn＝1＋2nan 得 bn＝a1n＋2n， 所以 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝a11＋2＋a12＋4＋…＋a1n＋2n
专题三 数 列
第 2 讲 数列的求和及综合应用
1．(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n －1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式； (2)求数列2na＋n 1的前 n 项和． 解：(1)因为 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，① 故当 n≥2 时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，② ①－②得(2n－1)an＝2，所以 an＝2n2－1，
【例 2】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，对任意的正 整数 n，都有 an＝5Sn＋1 成立，bn＝－1－log2|an|，数列 {bn}的前 n 项和为 Tn，cn＝TbnTn＋n1＋1.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{cn}的前 n 项和 An，并求出 An 的最值． 解：(1)因为 an＝5Sn＋1，n∈N*， 所以 an＋1＝5Sn＋1＋1， 两式相减，得 an＋1＝－14an，
命题视角 裂项相消法求和 【例 1－2】 (2018·石家庄质检)设正项等比数列 {an}，a4＝81，且 a2，a3 的等差中项为32(a1＋a2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝log3a2n－1，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，数列 {cn}满足 cn＝4Sn1－1，Tn 为数列{cn}的前 n 项和，若 Tn＜λn 恒成立，求 λ 的取值范围．
2．(2017·山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数 列，且 a1＋a2＝6，a1a2＝a3.
(1)求数列{an}的通项公式； (2){bn}为各项非零的等差数列，其前 n 项和为 Sn，
已知 S2n＋1＝bnbn＋1，求数列bann的前 n 项和 Tn. 解：(1)设{an}的公比为 q， 由题意知 a1(1＋q)＝6，a21q＝a1q2， 又 an＞0， 解得 a1＝2，q＝2，所以 an＝2n.
[规律方法] 1．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数 列，求数列{an·bn}的前 n 项和时，可采用错位相减法求和， 一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求 解． 2．在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达 式．
热点 1 数列求和(多维探究) 数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法 有倒序相加、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组转化求 和．裂项相消法和错位相减法是常用的两种方法． (1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不 是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变 成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并． (2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和， 其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．
所以 An＝112－212＋212－312＋…＋n12－（n＋1 1）2＝1－ 1 （n＋1）2. 因此{An}是单调递增数列， 所以当 n＝1 时，An 有最小值 A1＝1－14＝34；An 没有 最大值．
[规律方法] 1．给出 Sn 与 an 的递推关系求 an，常用思路是：一 是利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为 an 的递推关系，再求其 通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之 间的关系，再求 an. 2．形如 an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的 等比数列．
又当 n＝1 时，a1＝5a1＋1，知 a1＝－14， 所以数列{an}是公比、首项均为－14的等比数列． 所以数列{an}的通项公式为 an＝－14n. (2)bn＝－1－log2|an|＝2n－1， 所以数列{bn}的前 n 项和 Tn＝n2， cn＝TbnTn＋n1＋1＝n2（2nn＋＋11）2＝n12－（n＋1 1）2，
由 an＋1－an＝4，得33aan＋n1＝3an＋1－an＝34＝81.
所以数列{3an}是公比为 81 的等比数列．
(2)解：因为 bn＝2Sn－3n＝4n2＋10n－3n＝4n2＋7n.
所
以
n anbn
＝
n （4n＋3）（4n2＋7n）
＝
1 4
4n1＋3－4n1＋7. 因此 Tn＝14(17－111＋111－115＋…＋4n1＋3－4n1＋7)＝14
＝a11＋a12＋…＋a1n＋(2＋4＋…＋2n) ＝1·11－－1221n＋（2＋22n）·n ＝n2＋n＋2－2n1－1.
[规律方法] 1．在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思 想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行 求和．在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个表达式． 2．分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组； (2)根据正号、负号分组．