第1讲 集合与简单逻辑用语

第一讲集合与简单逻辑用语考点解读：1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．3. 已知集合A、B，当A∩B＝ 时，你是否注意到“极端”情况：A＝ 或B＝ ？求集合的子集时是否忘记 ？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1，2n－2.5. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．基础训练1. A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且x A∩B}，若A＝{x∈R|y＝x2－3x}，B＝{y|y＝3x，x∈R}，则A×B＝______________.2. 已知命题P：n∈N,2n＞1 000，则P为________．3. 条件p：a∈M＝{x|x2－x<0}，条件q：a∈N＝{x||x|<2}，p是q的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)4. 若命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围为________．例题精讲【例1】已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若B A，求实数p的取值范围．【例2】设A＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，B＝{(x，y)|4x2＋2x－2y＋5＝0}，C＝{(x，y)|y＝kx＋b}，是否存在k、b∈N，使得(A∪B)∩C＝ ？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由．【例3】(2011·广东)设S是整数集Z的非空子集，如果 a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z且 a，b，c∈T，有abc∈T， x，y，z∈V，有xyz∈V.则下列结论恒成立的是________．A. T，V中至少有一个关于乘法封闭B. T，V中至多有一个关于乘法封闭C. T，V中有且只有一个关于乘法封闭D. T，V中每一个关于乘法封闭【例4】已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2.(1) 当b>0时，若 x∈R，都有f(x)≤1，证明：0<a≤2b；(2) 当b>1时，证明： x∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2 b.高考回顾1. (2011·江苏)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.2.(2011·天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是________．3.(2009·江苏)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.4.(2009·陕西)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．5.(2011·陕西)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有正整数根的充要条件是n＝________.6.(2011·福建)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是________个．(2011·全国)(本小题满分14分)设a∈R，二次函数f(x)＝ax2－2x－2a.若f(x)>0的解集为A，B＝{x|1<x<3}，A∩B≠ ，求实数a的取值范围．解：由f(x)为二次函数知a ≠0，令f(x)＝0解得其两根为x 1＝1a －2＋1a 2，x 2＝1a＋2＋1a2， 由此可知x 1<0，x 2>0，(3分)① 当a>0时，A ＝{x|x<x 1}∪{x|x>x 2}，(5分) A ∩B ≠ 的充要条件是x 2＜3，即1a ＋2＋1a 2<3，解得a>67，(9分) ② 当a<0时， A ＝{x|x 1<x<x 2}，(10分)A ∩B ≠ 的充要条件是x 2>1，即1a＋2＋1a2>1，解得a<－2，(13分) 综上，使A ∩B ≠ 成立的实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞.(14分)一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲 集合与简单逻辑用语1. (2011·安徽)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7}，则满足S A 且S ∩B ≠ 的集合S 的个数为________．A. 57B. 56C. 49D. 8【答案】 B 解析：集合A 的所有子集共有26＝64个，其中不含4,5,6,7的子集有23＝8个，所以集合S 共有56个．故选B.2. (2011·江苏)设集合A ＝{(x ，y)|m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R }, B ＝{(x ，y)|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }, 若A ∩B ≠ ，则实数m 的取值范围是________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤12，2＋2 解析：由A ∩B ≠ 得，A ≠ ，所以m 2≥m 2，m ≥12或m ≤0.当m ≤0时，|2－2m|2＝2－2m ＞－m ，且|2－2m －1|2＝22－2m ＞－m ，又2＋0＝2＞2m＋1，所以集合A 表示的区域和集合B 表示的区域无公共部分；当m ≥12时，只要|2－2m|2≤m或|2－2m －1|2≤m ，解得2－2≤m ≤2＋2或1－22≤m ≤1＋22，所以实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2＋2. 点评：解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数m 的取值范围的相关条件．基础训练1. (－∞，3) 解析：A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B ＝(0，＋∞)，A ∪B ＝(－∞，＋∞)，A ∩B ＝[3，＋∞)．2. n ∈N,2n ≤1 0003. 充分不必要 解析：M ＝(0,1) N ＝(－2,2)．4. a ≥3或a ≤－1 解析：Δ＝(a －1)2－4≥0，a ≥3或a ≤－1. 例题选讲例1 解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x ≤5. ∴ A ＝[－2,5]． ① 当B ≠ 时，即p ＋1≤2p －1 p ≥2.由B A 得－2≤p ＋1且2p －1≤5.得－3≤p ≤3.∴ 2≤p ≤3.② 当B ＝ 时，即p ＋1>2p －1 p ＜2.B A 成立．综上得p ≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A ∩B ＝ ，A ∪B ＝A ，A ∪B ＝B 或A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．变式训练 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M [1,4]，求实数a 的取值范围．解： M [1,4]有n 种情况：其一是M ＝ ，此时Δ＜0；其二是M ≠ ，此时Δ≥0，分三种情况计算a 的取值范围．设f(x)＝x 2－2ax ＋a ＋2，有Δ＝(－2a)2－(4a ＋8)＝4(a 2－a －2)， ① 当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M ＝ [1,4]成立； ② 当Δ＝0时，a ＝－1或2，当a ＝－1时，M ＝{－1} [1,4]，当a ＝2时，M ＝{2} [1,4]； ③ 当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f(x)＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，M [1,4] 1≤x 1＜x 2≤4 ⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≥0且f (4)≥0，1≤a ≤4且Δ＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，18－7a ≥0，1≤a ≤4，a ＜－1或a ＞2，解得：2＜a ≤187，综上实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，187. 例2 解： ∵ (A ∪B)∩C ＝ ，∵A ∩C ＝ 且B ∩C ＝ ，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋1，y ＝kx ＋b得k 2x 2＋(2bk －1)x ＋b 2－1＝0， ∵ A ∩C ＝ ，∴ k ≠0，Δ1＝(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0，∴ 4k 2－4bk ＋1<0，此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0，即b 2>1，①∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋2x －2y ＋5＝0，y ＝kx ＋b ，∴ 4x 2＋(2－2k)x ＋(5－2b)＝0， ∵ B ∩C ＝ ，∴ Δ2＝4(1－k)2－16(5－2b)<0，∴ k 2－2k ＋8b －19<0, 从而8b<20，即b<2.5， ②由①②及b ∈N ，得b ＝2，代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2－8k ＋1＜0，k 2－2k －3＜0， ∴ k ＝1，故存在自然数k ＝1，b ＝2，使得(A ∪B)∩C ＝ ．点评：把集合所表示的意义读懂，分辨出所考查的知识点，进而解决问题.变式训练 已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪1－y x ＋1＝3，B ＝{(x ，y)|y ＝kx ＋3}，若A ∩B ＝ ，求实数k 的取值范围．解： 集合A 表示直线y ＝－3x －2上除去点(－1,1)外所有点的集合，集合B 表示直线y ＝kx ＋3上所有点的集合，A ∩B ＝ ，所以两直线平行或直线y ＝kx ＋3过点(－1,1)，所以k ＝2或k ＝－3.例3 【答案】 A 解析：由于T ∪V ＝Z ，故整数1一定在T ，V 两个集合中的一个中，不妨设1∈T ，则 a ，b ∈T ，由于a ，b,1∈T ，则a·b·1∈T ，即ab ∈T ，从而T 对乘法封闭；另一方面，当T ＝{非负整数}，V ＝{负整数}时，T 关于乘法封闭，V 关于乘法不封闭，故D 不对；当T ＝{奇数}，V ＝{偶数}时，T ，V 显然关于乘法都是封闭的，故B ，C 不对． 从而本题就选A.例4 证明：(1) ax －bx 2≤1对x ∈R 恒成立，又b ＞0, ∴ a 2－4b ≤0，∴ 0＜a ≤2 b. (2) 必要性，∵ x ∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，∴ bx 2－ax ≤1且bx 2－ax ≥－1， 显然x ＝0时成立，对x ∈(0,1]时a ≥bx －1x 且a ≤bx ＋1x ，函数f(x)＝bx －1x 在x ∈(0,1]上单调增，f(x)最大值f(1)＝b －1.函数g(x)＝bx ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，1b 上单调减，在⎣⎡⎦⎤1b ，1上单调增，函数g(x)的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1b ＝2b ，∴ b －1≤a ≤2b ，故必要性成立；充分性：f(x)＝ax －bx 2＝－b(x －a 2b )2＋a 24b ，a 2b ＝a 2b ×1b ≤1×1b≤1，f(x)max ＝a 24b≤1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a －b ，f(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a －b 中取最小的，又a －b ≥－1， ∴ －1≤f(x)≤1，故充分性成立； 综上命题得证．变式训练 命题甲：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m 的取值范围．解： 使命题甲成立的条件是： ⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－m ＜0 m ＞2.∴ 集合A ＝{m|m>2}．使命题乙成立的条件是：Δ2＝16(m －2)2－16<0，∴ 1＜m ＜3. ∴ 集合B ＝{m|1<m<3}．若命题甲、乙有且只有一个成立，则有： ① m ∈A ∩B ，② m ∈A ∩B.若为①，则有：A ∩B ＝{m|m>2}∩{m|m ≤1或m ≥3}＝{m|m ≥3}； 若为②，则有：B ∩A ＝{m|1<m<3}∩{m|m ≤2}＝{m|1<m ≤2}；综合①、②可知所求m 的取值范围是{m|1<m ≤2或m ≥3}． 点评：明确命题为真时的充要条件，再分类确定．高考回顾1. {－1,2}2. 若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数3. 4解析：A＝(0,4]，A B, ∴ a＞4, ∴ c＝4.4. 8解析：画韦恩图．设同时参加数学和化学小组的有x人，则20－x＋11＋x＋4＋9－x＝36，x＝8.5. 3或4解析：令f(x)＝x2－4x＋n，n∈N*，f(0)＝n＞0, ∴ f(2)≤0即n≤4，故n＝1,2,3,4，经检验，n＝3,4适合，或直接解出方程的根，x＝2±4－n，n∈N*，只有n＝3,4适合．6. 3解析：正确的是①③④，在②中－3∈[2]才对．。