信号与系统PPT
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2.对于(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信 号的展缩特性将其化为(t+b/a) /|a|形式后，
方可利用冲激信号的抽样特性与筛选特性。
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25
二、奇异信号
3. 斜坡信号
定义：
r(t)
t 0
t 0 t 0
或 r(t)tu(t)
r (t )
1
0
1
t
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26
二、奇异信号
x(t)(t t0)x(t0)(t t0)
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x(t ) (1)
t t0 x(t) (t t0 )
( x(t0 ) ) t
t0
19
二、奇异信号
2. 冲激信号
(6) 冲激信号的性质
② 抽样特性
x(t)(tt0)dtx(t0)
证明：
x(t)(t t0)dt
利用筛
选特性
x(t0)(t t0)dt x(t0) (t t0)dt x(t0)
(7)e4t (22t) (8)e2tu(t)(t1)
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23
解:
(1 ) sit)n ((tπ 4)d t siπ 4 n )(2/2
(2 ) 2 3 e 5 t (t 1 )d t e 5 1 1 /e 5
(3) 4 6e2t (t8)dt0
(4 ) e t(2 2 t)d t e t1 2( t 1 )d t 2 1 e
(2) x ( t) u ( t 1 ) 2 r ( t) 2 r ( t 1 )
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28
二、奇异信号
4. 冲激偶信号 定义： '(t) d(t)
dt
方可利用冲激信号的抽样特性与筛选特性。
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25
二、奇异信号
3. 斜坡信号
定义：
r(t)
t 0
t 0 t 0
或 r(t)tu(t)
r (t )
1
0
1
t
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26
二、奇异信号
x(t)(t t0)x(t0)(t t0)
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x(t ) (1)
t t0 x(t) (t t0 )
( x(t0 ) ) t
t0
19
二、奇异信号
2. 冲激信号
(6) 冲激信号的性质
② 抽样特性
x(t)(tt0)dtx(t0)
证明：
x(t)(t t0)dt
利用筛
选特性
x(t0)(t t0)dt x(t0) (t t0)dt x(t0)
(7)e4t (22t) (8)e2tu(t)(t1)
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23
解:
(1 ) sit)n ((tπ 4)d t siπ 4 n )(2/2
(2 ) 2 3 e 5 t (t 1 )d t e 5 1 1 /e 5
(3) 4 6e2t (t8)dt0
(4 ) e t(2 2 t)d t e t1 2( t 1 )d t 2 1 e
(2) x ( t) u ( t 1 ) 2 r ( t) 2 r ( t 1 )
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28
二、奇异信号
4. 冲激偶信号 定义： '(t) d(t)
dt
信号与系统第2章ppt课件
，这种频谱搬移技术在通信系统中
得到广泛的应用。调幅，调频都是
在该基础上进行的。
精选ppt
由此可见，将时间信号f(t)
乘以Cos(ω0t) 或Sin(ω0t)
，等效于将f(t)的频谱一分
为二，即幅度减小一半，沿
频率轴向左和向右各平移ω0.
第二章 傅立叶变换
例2 求如下矩形调幅信号的频谱函数
f(t) G (t)c o s 0 t
例7 如图a所示系统，已知乘法器的输入为
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
系统的频率响应为：
求输出y(t).
精选ppt
第二章 傅立叶变换
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
乘法器的输出信号为： x(t)f(t)s(t)
依频域卷积定理可知：X(j)21F(j)*S(j) 这里 f(t)F(j) s(t)S(j)
当 0 时 当 0 时
A () li m 0 A e () lim A e ( 0) lim 2 0 2 0
所以
A () li m 0A e()()
B()li m0Be()j
精选ppt
第二章 傅立叶变换
（6）符号函数 符号函数sgn(t)如图所示
由于sgn(t)不符合绝对可积条件， 故使用间接方法计算。
利用傅里叶反变换公式计算
第二章 傅立叶变换
例4 试求图示周期信号的频谱函数，图(b)中冲激函数的强度均为1.
(b)
[提示：（a）F()F[1]1F[cos(t)]
22
）
（b
Cn
1 T
T
2 T
fT(t)ejntdt
2
fT(t)(t)(tT2)
得到广泛的应用。调幅，调频都是
在该基础上进行的。
精选ppt
由此可见，将时间信号f(t)
乘以Cos(ω0t) 或Sin(ω0t)
，等效于将f(t)的频谱一分
为二，即幅度减小一半，沿
频率轴向左和向右各平移ω0.
第二章 傅立叶变换
例2 求如下矩形调幅信号的频谱函数
f(t) G (t)c o s 0 t
例7 如图a所示系统，已知乘法器的输入为
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
系统的频率响应为：
求输出y(t).
精选ppt
第二章 傅立叶变换
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
乘法器的输出信号为： x(t)f(t)s(t)
依频域卷积定理可知：X(j)21F(j)*S(j) 这里 f(t)F(j) s(t)S(j)
当 0 时 当 0 时
A () li m 0 A e () lim A e ( 0) lim 2 0 2 0
所以
A () li m 0A e()()
B()li m0Be()j
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第二章 傅立叶变换
（6）符号函数 符号函数sgn(t)如图所示
由于sgn(t)不符合绝对可积条件， 故使用间接方法计算。
利用傅里叶反变换公式计算
第二章 傅立叶变换
例4 试求图示周期信号的频谱函数，图(b)中冲激函数的强度均为1.
(b)
[提示：（a）F()F[1]1F[cos(t)]
22
）
（b
Cn
1 T
T
2 T
fT(t)ejntdt
2
fT(t)(t)(tT2)
信号与系统-系统函数与信号流图_图文_图文
（3）反馈 等效系统函数为
对于负反馈，总有
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方 向，一般称为支路，每一条支路上有增益，所以每一条支路相当于乘法器 。
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系， 而且可以有不同方向输出。
对于连续时间动态LTI系统的模拟，通常由加法器、标量乘 法器和积分器三种部件构成。
系统模拟可以理解为就是用这三种部件画出系统的信号流图 或是系统的方框图，使得流图或方框图实现了指定的系统函数。
四．系统模拟
例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描
述的系统
解：首先考虑下面的系统
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
节点:
三．Mason公式
表示系统中的变量或信号的点称为节点。
支路:
连接两节点间的有向线段称为支路。 支路增益就是两节点间的增益。
输入节点（源点）: 仅有输出支路的节点， 一 般为系统的输入。
输出节点（阱点）: 仅有输入支路的节点，一般为系统的输出
混合节点:
既有输入支路又有输出支路的节点
三．Mason公式
四．系统模拟
方程两边积分三次得到
说明
是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。
四．系统模拟
第一个积分器的输入信号实际是 可以画出部分系统框图
四．系统模拟
可以画出完整的系统框图
四．系统模拟
对应的信号流图为
其中
若 则
表示积分器（拉普拉斯变换的性质）
通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。
对于负反馈，总有
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方 向，一般称为支路，每一条支路上有增益，所以每一条支路相当于乘法器 。
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系， 而且可以有不同方向输出。
对于连续时间动态LTI系统的模拟，通常由加法器、标量乘 法器和积分器三种部件构成。
系统模拟可以理解为就是用这三种部件画出系统的信号流图 或是系统的方框图，使得流图或方框图实现了指定的系统函数。
四．系统模拟
例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描
述的系统
解：首先考虑下面的系统
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
节点:
三．Mason公式
表示系统中的变量或信号的点称为节点。
支路:
连接两节点间的有向线段称为支路。 支路增益就是两节点间的增益。
输入节点（源点）: 仅有输出支路的节点， 一 般为系统的输入。
输出节点（阱点）: 仅有输入支路的节点，一般为系统的输出
混合节点:
既有输入支路又有输出支路的节点
三．Mason公式
四．系统模拟
方程两边积分三次得到
说明
是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。
四．系统模拟
第一个积分器的输入信号实际是 可以画出部分系统框图
四．系统模拟
可以画出完整的系统框图
四．系统模拟
对应的信号流图为
其中
若 则
表示积分器（拉普拉斯变换的性质）
通路: 从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过 各相连支路到达另一节点的路径称为通路。
信号与系统ppt课件
结果解释
对实验结果进行解释，说明实验结果所反映 出的系统特性。
总结归纳
对实验过程和结果进行总结归纳，概括出实 验的重点内容和结论。
06
总结与展望
信号与系统的总结
信号与系统是通信、电子、生物医学工程等领域的重 要基础课程，其理论和方法在信号处理、图像处理、
数据压缩等领域有着广泛的应用。
信号与系统的主要内容包括信号的时域和频域表示、 线性时不变系统、调制与解调、滤波器设计等。
信号与系统ppt课件
目录
• 信号与系统概述 • 信号的基本特性 • 系统的基本特性 • 信号与系统的应用 • 信号与系统的实验与实践 • 总结与展望
01
信号与系统概述
信号的定义与分类
信号的定义
信号是传递信息的一种方式，可以表示声音、图像、文字等。在通信系统中， 信号是传递信息的载体。
信号的分类
系统的分类
根据系统的复杂程度，可以分为线性系统和非线性系统；根据系统的稳定性，可以分为稳定系统和不稳定系统； 根据系统的时域特性，可以分为时域系统和频域系统。
信号与系统的重要性
01
信号是信息传递的载体，系统 是实现特定功能的整体，因此 信号与系统在信息处理中具有 非常重要的地位。
02
在通信系统中，信号的传输和 处理是实现信息传递的关键环 节，而系统的设计和优化直接 影响到通信系统的性能和可靠 性。
03
信号可以用数学函数来表示，其中离散信号常用序列
表示，连续信号常用函数表示。
信号的时域特性
01
02
03
信号的幅度
信号的幅度是表示信号强 弱的量，通常用振幅来表 示。
信号的相位
信号的相位是表示信号时 间先后顺序的量，通常用 角度来表示。
信号与系统_精解课件§1[1].5_奇异函数
![信号与系统_精解课件§1[1].5_奇异函数](https://img.taocdn.com/s3/m/9edd53a4b0717fd5360cdc2c.png)
1 sgn(t) = −1 t >0 t <0
−
τ O
2
τ
2
sgn(t )
O
t
1 sgn(t ) = −u(−t ) + u(t ) = 2u(t ) − 1 u(t ) = [sgn(t ) + 1] 2
X
三．单位冲激（难点）
概念引出 定义1 定义1 定义2 定义2 冲激函数的性质
X
定义1
t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 δ(t)
(-∞<t< ∞) ∞
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
（5）冲激偶 δ ′(−t ) = −δ ′(t )
∫
+∞
−∞
f (t)δ (t)dt = f (0)
∫
∫
δ ′(t)dt = 0 −∞
−∞
∞
3、 δ ′(−t ) = −δ ′(t ) , δ ′(t − t) = −δ ′(t − t ) 、 0 0
所以 ′(t )是奇函数 δ
∫
δ ′(t)dt = 0 , −∞
−∞
∞
X
四.总结： R(t)，u(t)， δ(t) 之间的关系
R(t) 1
O
u(t) 1 t 1
O
δ (t)
∞
(1)
t0 u(t + t0 )
t
1
− t0 O
t
X
3．用单位阶跃信号描述其他信号
门函数： 门函数：也称窗函数
τ τ f (t ) = u t + − u t − 2 2
−
τ O
2
τ
2
sgn(t )
O
t
1 sgn(t ) = −u(−t ) + u(t ) = 2u(t ) − 1 u(t ) = [sgn(t ) + 1] 2
X
三．单位冲激（难点）
概念引出 定义1 定义1 定义2 定义2 冲激函数的性质
X
定义1
t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 δ(t)
(-∞<t< ∞) ∞
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
（5）冲激偶 δ ′(−t ) = −δ ′(t )
∫
+∞
−∞
f (t)δ (t)dt = f (0)
∫
∫
δ ′(t)dt = 0 −∞
−∞
∞
3、 δ ′(−t ) = −δ ′(t ) , δ ′(t − t) = −δ ′(t − t ) 、 0 0
所以 ′(t )是奇函数 δ
∫
δ ′(t)dt = 0 , −∞
−∞
∞
X
四.总结： R(t)，u(t)， δ(t) 之间的关系
R(t) 1
O
u(t) 1 t 1
O
δ (t)
∞
(1)
t0 u(t + t0 )
t
1
− t0 O
t
X
3．用单位阶跃信号描述其他信号
门函数： 门函数：也称窗函数
τ τ f (t ) = u t + − u t − 2 2
信号与系统(郑君里)ppt
t
f(t)
t/2
f(t/2)
0
1
0
1
T
2
T
2
时间尺度压缩：t t 2 ,波形扩展
求新坐标
t
f(t/2)
0
1
2T
2
f(t)f(2t)
f t
2 1
O
Tt
宗量相同，函数值相同
t
f(t)
2t
f(2t)
0
1
0
1
T
2
T
2
求新坐标
t
f(2t)
0
1
T/2
2
t2t，时间尺度增加，波形压缩。
比较
f t
2 1
O
Tt
•三个波形相似，都是t 的一次 函数。 •但由于自变量t 的系数不同， 则达到同样函数值2的时间不同。 •时间变量乘以一个系数等于改 变观察时间的标度。
a 1 压缩,保持信号的时间缩短 f (t) f (at)0 a 1 扩展,保持信号的时间增长
4．一般情况
f t f at b f at b a 设a 0
f (t) K sin(t )
f
t
T
K
2π
O
2π
衰减正弦信号：
K et sint
f (t) 0
振幅：K 周期：T
2π
1
f
频率：f
角频率： 2 π f t 初相：
t0 0
t0
欧拉(Euler)公式
sin t 1 ejt ejt 2j
cos t 1 ejt ejt 2
t
间为，t0时函数有断点，跳变点
宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
《信号与系统》课件第1章 (3)
41
4. 指数信号 指数信号的一般数学表达式为
f(t)=Aest
根据式中s的不同取值，可以分下列两种情况讨论： (1) s=σ时，此时为实指数信号，即
(1-23)
f(t)=Aeσt
(1-24)
当σ>0时，信号呈指数规律增长；当σ<0时，信号随指数规律
衰减；当σ=0时，指数信号变成恒定不变的直流信号，如图1-
16所示。
42
图1-16 实指数信号
43
(2) s=σ+jω，此时为复指数信号。利用欧拉公式，可以进 一步表示为
(1-25) 可见，复指数信号的实部和虚部都是振幅按指数规律变化的 正弦振荡，当σ>0(σ<0)时，其实部和虚部的振幅按指数规律增 长(衰减)；当σ=0时，复指数信号变为虚指数信号
(1-26) 此时信号的实部和虚部都是等幅振荡的正弦波。复指数信号 虚部的波形如图1-17所示。
f(t)δ(t)=f(0)δ(t)
若f(t)在t=t0时连续，则有
f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)
(1-16) (1-17)
36
对上面两式取积分，可得到下面两个重要的积分结果: (1-18) (1-19)
式(1-19)说明，δ(t)函数可以把信号f(t)在某时刻的值采样(筛选) 出来，这就是δ(t)的筛选性。
11
图1-4 非周期能量信号
12
图1-5 非周期功率信号
13
图1-6 非功率非能量信号
14
1.2.2 几种常用的基本信号 1. 单位斜变信号 斜变信号是指从某一时刻开始随时间成正比例增加的信
号。斜变信号也称斜坡信号。若斜变信号增长的变化率为1， 斜变的起始点发生在t=0时刻，就称其为单位斜变信号(如图 1-7所示)，其数学表达式为
4. 指数信号 指数信号的一般数学表达式为
f(t)=Aest
根据式中s的不同取值，可以分下列两种情况讨论： (1) s=σ时，此时为实指数信号，即
(1-23)
f(t)=Aeσt
(1-24)
当σ>0时，信号呈指数规律增长；当σ<0时，信号随指数规律
衰减；当σ=0时，指数信号变成恒定不变的直流信号，如图1-
16所示。
42
图1-16 实指数信号
43
(2) s=σ+jω，此时为复指数信号。利用欧拉公式，可以进 一步表示为
(1-25) 可见，复指数信号的实部和虚部都是振幅按指数规律变化的 正弦振荡，当σ>0(σ<0)时，其实部和虚部的振幅按指数规律增 长(衰减)；当σ=0时，复指数信号变为虚指数信号
(1-26) 此时信号的实部和虚部都是等幅振荡的正弦波。复指数信号 虚部的波形如图1-17所示。
f(t)δ(t)=f(0)δ(t)
若f(t)在t=t0时连续，则有
f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)
(1-16) (1-17)
36
对上面两式取积分，可得到下面两个重要的积分结果: (1-18) (1-19)
式(1-19)说明，δ(t)函数可以把信号f(t)在某时刻的值采样(筛选) 出来，这就是δ(t)的筛选性。
11
图1-4 非周期能量信号
12
图1-5 非周期功率信号
13
图1-6 非功率非能量信号
14
1.2.2 几种常用的基本信号 1. 单位斜变信号 斜变信号是指从某一时刻开始随时间成正比例增加的信
号。斜变信号也称斜坡信号。若斜变信号增长的变化率为1， 斜变的起始点发生在t=0时刻，就称其为单位斜变信号(如图 1-7所示)，其数学表达式为
信号与系统§1-2 常用信号介绍ppt课件
0
2
25
二、离散时间信号：
1、单位样值序列： (n)
函数式：(n)
1 0
n0 n0
波形图：
(n)
1
0
n
位移：
1 (n n0 ) 0
n n0 n n0
(n n0)
1
0 n0
n
26
• 抽样性：
设有序列x(n) ，则有
x(n)
1 2 0
12 3 4 5
0
t0
t
x(t)(t t0 ) x(t0 )(t t0 )
(x(t0 )) (x(0))
0
t0
t
x(t)(t)dt x(0) (t)dt x(0)
x(t)(t t0)dt x(t0 ) (t t0 )dt x(t0 )
t
Au(t t0 ) A
0
t0
t
函数式：x(t)
A t0
[R(t)
R(t
t0
)]
Au(t
t0
)
A t0
tu(t)
A t0
(t
t0
)u(t
t0
)
Au(t
t0
)
6
? 试用单位斜变信号表示以下三角波形：
x(t)
A
0
2 t
A R(t)
A
0
A R(t )
A
1
0R
不管电阻值的大小，始终为1。
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2 2
t sin 0 t
2 0 s (s 0 )
2 2 2
t cos 0 t
s 0
2 2
2 2
(s 0 )
2
4.2 拉普拉斯变换的性质
与傅里叶变换类似，拉普拉斯变换也有许多重要性质。掌握好这些性质，有助于求 解一些复杂信号的拉普拉斯变换。 1. 线性性质 若 f1 t F1 s 和 f 2 t F2 s ，则
0
s 0
2 2
2. 时移（延时）性质 st f t F s ，则 f t t 0 t t 0 F s e 若 证明： f t t t t L 0 0
L f t t0 t t0
d
，得
1 2 1 2
f t
F j e
st
( j ) t
d
F s e d
（4.4）
由 s j ，得 ds jd ，即d d s j ，并相应地改变积分上下限，上式可写为
f
t
1 2 j
0
（4.10）
此即拉普拉斯变换存在的充要条件。
j
s平面
收 敛 轴 收 敛 区
0
0
图4.1 收敛域
例4.1求函数 f t A t A t 的拉氏变换的收敛域。 解：
lim A t A t e t
F s
0_
f t e
st
dt
（4.6）
而原函数 f t 为有始函数，即在 t 0 时为零，由式（4.5）得
1 j st f t j F s e ds t 2 j
（4.7）
称式（4.6）和（4.7）为单边拉普拉斯变换对。通常用下列符号分别表示，即
2
j e j t d
为了使更多的函数存在变换，并简化变换形式，引入一个衰减因子（收敛因子） t e 与 f t 相乘。只要 取适当正值，可使 f t e t 满足绝对可积条件。写出 t f t e 的傅里叶变换，并用 F1 j 表示，有
三. 常用信号的拉普拉斯变换 下面根据定义给出几个简单信号的拉普拉斯变换对。为使用方便，在表4.1中还列 出了一些常用信号的拉普拉斯变换。读者在学习了拉普拉斯变换的性质后，可自行 证明。 1. 单位冲激函数 t
F s L t
0
t e dt e
F1
t j F f t e
f t e
t
e
j t
dt
f t e
( j ) t
dt
（4.2）
将上式与式（4.1）正变换比较，可以看出 F1 j 是 F j 将中 j 的换成 j 的 结果。 即
F f
s t
L[ f
1
t ] s ]
L [F
（4.8） （4.9）
也可用双箭头表示
f t F s
本书中无特别说明均指单边拉普拉斯变换。
二．拉普拉斯变换的收敛域 t 从以上讨论可知，当函数 f t 乘以收敛因子 e 后，就有可能满足绝对可积条件。然 而是否一定满足，还要看f t 的性质与 值的大小。也就是说，并不是对所有的 值
n t
t
lim
t e
t
t
lim
n!
t
e
n t
0
0
即 0 0 ，收敛坐标位于坐标原点，收敛轴为虚轴，收敛域为右半S平面。 f 通常称满足式（4.10）的函数 f t 为“指数阶函数”，即此类 t 可以借助乘衰减的 指数函数满足绝对可积条件。
分析法，并应用系统函数及其零极点来分析系统的时域特性、频域特性和系统稳 定性等问题。
4.1 拉普拉斯变换
一．拉普拉斯变换的定义 由前章可知，当函数 f t 满足狄里赫利条件时，可构成一对傅里叶变换：
F f
j t
1
f
t e j t d t
F
（4.1）
f 例4.3 设函数 f1 t e t ， 0 ；2 t e F2 s ，并画出各自的收敛域。
t
t
t ，
st
0
。求它们的双边拉氏变换F1 s 和
e
( ) j t
解：根据定义 F1 s
0
（4.15）
st
0
f t t0 t t0 e
dt
t0
f t t0 e
st
dt
令t t 0 x ，有 t x t 0 , dx dt
，则
s ( x t0 )
0
f xe
dx e
st 0
0
人们就寻求新的变换方法，以解决这些问题。 19世纪末法国数学家拉普拉斯提出了一种新的积分变换即拉普拉斯变换，简称 拉氏变换。运用拉氏变换可以简便地对线性非时变系统的时域模型进行变换， 从而大大简化了微分方程的求解。 本章首先由傅里叶变换导出拉普拉斯变换，重点讨论拉普拉斯变换的基本性质和
常用信号的拉普拉斯变换对，再以此为基础，着重讨论线性系统的拉普拉斯变换
f xe
sx
dx e
st 0
F s
f f f 在使用这一性质时，要注意区分下列不同的4种时间函数： t t 0 ， t t 0 t ， t t t 0 和 f t t 0 t t 0 。其中只有最后一个函数才是原有始信号 f t t 延时 t 0 后所得的延时
j
j
F
s e st d s
（4.5）
式（4.3）中 F s 的称为象函数，式（4.5）中的 f t 称为原函数，f t 与 F s 就构成一对 拉普拉斯变换对，称之为双边拉普拉斯变换。 在实际应用中，人们用物理手段和实验方法所能记录与产生的信号大都是有起始时刻 的，不妨令起始时刻 t 0 ，并考虑到信号f t 在 t 0 时刻可能包含有冲激函数及其 导数项，取积分的下限为 0 。于是，式（4.3）改写为
0
1
0t
t
1 j t 1 j t L e 0 t L e 0 t 2 2
1 1 1 2 s j 0 s j 0 s 2 2 s 0
同理
sin 0 t t
e
t
t e dt
st
e
0
t
e dt
0
e
dt
1 s
由绝对可积条件，得 0 同理
F2 s
，因此收敛域为
0
e
t
t e
st
dt
e
( s )t
a1
0_
f1 t e
st
dt a2
0_
f 2 t e
st
dt
a1 F1 s a 2 F2 s
例4.4求函数 f t cos 0 t t 的拉普拉斯变换 F s 。
解：由欧拉公式和线性性质 L co s 0 t t L e j t e j 2
dt
1 s
由绝对可积条件， 0 ， 因此收敛域为 。 图4.2、图4.3中阴影区分别表示了F1 s 和 F2 s 的收敛域。
j j
0
0
图4.2F1 s 的收敛域 图4.3 F 2 s 的收敛域 F1 由例4.2可知， s 和 F2 s 虽然有相同的表达式，但由于收敛域的不同，而表示了完 全不同的函数，所以时间函数只有在给定收敛域内与其拉普拉斯变换式一一对应。
t
n
n!
（n为正整数）
te t e
n t
s
n 1
1
s
n!
2
t
s
0
2
2
n 1
sin 0 t
s 0
cos 0 t
e
t
s s 0
2 2
10 11 12 13
e
t
sin 0 t
0
(s ) 0
2 2
co s 0 t
s (s ) 0
而言，函数 f t 都存在拉普拉斯变换。
通常把使 f t e 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉普拉斯变换的收敛域。 t f t e d t 。从而要求满足 F s 存在的条件是被积函数收敛，即
t
lim f
t
t e
t
0
第四章 连续时间信号与系统的复频域分析
Chapter4
引言：
傅里叶变换建立了信号与其频谱之间一一对应的关系，具有明确的物理意义。 但是在实际应用上，傅里叶变换存在一定的局限性，其变换式的形式和运算较 为复杂，一些常用信号因不满足狄里赫利条件而不存在傅里叶变换。特别是对
t sin 0 t
2 0 s (s 0 )
2 2 2
t cos 0 t
s 0
2 2
2 2
(s 0 )
2
4.2 拉普拉斯变换的性质
与傅里叶变换类似，拉普拉斯变换也有许多重要性质。掌握好这些性质，有助于求 解一些复杂信号的拉普拉斯变换。 1. 线性性质 若 f1 t F1 s 和 f 2 t F2 s ，则
0
s 0
2 2
2. 时移（延时）性质 st f t F s ，则 f t t 0 t t 0 F s e 若 证明： f t t t t L 0 0
L f t t0 t t0
d
，得
1 2 1 2
f t
F j e
st
( j ) t
d
F s e d
（4.4）
由 s j ，得 ds jd ，即d d s j ，并相应地改变积分上下限，上式可写为
f
t
1 2 j
0
（4.10）
此即拉普拉斯变换存在的充要条件。
j
s平面
收 敛 轴 收 敛 区
0
0
图4.1 收敛域
例4.1求函数 f t A t A t 的拉氏变换的收敛域。 解：
lim A t A t e t
F s
0_
f t e
st
dt
（4.6）
而原函数 f t 为有始函数，即在 t 0 时为零，由式（4.5）得
1 j st f t j F s e ds t 2 j
（4.7）
称式（4.6）和（4.7）为单边拉普拉斯变换对。通常用下列符号分别表示，即
2
j e j t d
为了使更多的函数存在变换，并简化变换形式，引入一个衰减因子（收敛因子） t e 与 f t 相乘。只要 取适当正值，可使 f t e t 满足绝对可积条件。写出 t f t e 的傅里叶变换，并用 F1 j 表示，有
三. 常用信号的拉普拉斯变换 下面根据定义给出几个简单信号的拉普拉斯变换对。为使用方便，在表4.1中还列 出了一些常用信号的拉普拉斯变换。读者在学习了拉普拉斯变换的性质后，可自行 证明。 1. 单位冲激函数 t
F s L t
0
t e dt e
F1
t j F f t e
f t e
t
e
j t
dt
f t e
( j ) t
dt
（4.2）
将上式与式（4.1）正变换比较，可以看出 F1 j 是 F j 将中 j 的换成 j 的 结果。 即
F f
s t
L[ f
1
t ] s ]
L [F
（4.8） （4.9）
也可用双箭头表示
f t F s
本书中无特别说明均指单边拉普拉斯变换。
二．拉普拉斯变换的收敛域 t 从以上讨论可知，当函数 f t 乘以收敛因子 e 后，就有可能满足绝对可积条件。然 而是否一定满足，还要看f t 的性质与 值的大小。也就是说，并不是对所有的 值
n t
t
lim
t e
t
t
lim
n!
t
e
n t
0
0
即 0 0 ，收敛坐标位于坐标原点，收敛轴为虚轴，收敛域为右半S平面。 f 通常称满足式（4.10）的函数 f t 为“指数阶函数”，即此类 t 可以借助乘衰减的 指数函数满足绝对可积条件。
分析法，并应用系统函数及其零极点来分析系统的时域特性、频域特性和系统稳 定性等问题。
4.1 拉普拉斯变换
一．拉普拉斯变换的定义 由前章可知，当函数 f t 满足狄里赫利条件时，可构成一对傅里叶变换：
F f
j t
1
f
t e j t d t
F
（4.1）
f 例4.3 设函数 f1 t e t ， 0 ；2 t e F2 s ，并画出各自的收敛域。
t
t
t ，
st
0
。求它们的双边拉氏变换F1 s 和
e
( ) j t
解：根据定义 F1 s
0
（4.15）
st
0
f t t0 t t0 e
dt
t0
f t t0 e
st
dt
令t t 0 x ，有 t x t 0 , dx dt
，则
s ( x t0 )
0
f xe
dx e
st 0
0
人们就寻求新的变换方法，以解决这些问题。 19世纪末法国数学家拉普拉斯提出了一种新的积分变换即拉普拉斯变换，简称 拉氏变换。运用拉氏变换可以简便地对线性非时变系统的时域模型进行变换， 从而大大简化了微分方程的求解。 本章首先由傅里叶变换导出拉普拉斯变换，重点讨论拉普拉斯变换的基本性质和
常用信号的拉普拉斯变换对，再以此为基础，着重讨论线性系统的拉普拉斯变换
f xe
sx
dx e
st 0
F s
f f f 在使用这一性质时，要注意区分下列不同的4种时间函数： t t 0 ， t t 0 t ， t t t 0 和 f t t 0 t t 0 。其中只有最后一个函数才是原有始信号 f t t 延时 t 0 后所得的延时
j
j
F
s e st d s
（4.5）
式（4.3）中 F s 的称为象函数，式（4.5）中的 f t 称为原函数，f t 与 F s 就构成一对 拉普拉斯变换对，称之为双边拉普拉斯变换。 在实际应用中，人们用物理手段和实验方法所能记录与产生的信号大都是有起始时刻 的，不妨令起始时刻 t 0 ，并考虑到信号f t 在 t 0 时刻可能包含有冲激函数及其 导数项，取积分的下限为 0 。于是，式（4.3）改写为
0
1
0t
t
1 j t 1 j t L e 0 t L e 0 t 2 2
1 1 1 2 s j 0 s j 0 s 2 2 s 0
同理
sin 0 t t
e
t
t e dt
st
e
0
t
e dt
0
e
dt
1 s
由绝对可积条件，得 0 同理
F2 s
，因此收敛域为
0
e
t
t e
st
dt
e
( s )t
a1
0_
f1 t e
st
dt a2
0_
f 2 t e
st
dt
a1 F1 s a 2 F2 s
例4.4求函数 f t cos 0 t t 的拉普拉斯变换 F s 。
解：由欧拉公式和线性性质 L co s 0 t t L e j t e j 2
dt
1 s
由绝对可积条件， 0 ， 因此收敛域为 。 图4.2、图4.3中阴影区分别表示了F1 s 和 F2 s 的收敛域。
j j
0
0
图4.2F1 s 的收敛域 图4.3 F 2 s 的收敛域 F1 由例4.2可知， s 和 F2 s 虽然有相同的表达式，但由于收敛域的不同，而表示了完 全不同的函数，所以时间函数只有在给定收敛域内与其拉普拉斯变换式一一对应。
t
n
n!
（n为正整数）
te t e
n t
s
n 1
1
s
n!
2
t
s
0
2
2
n 1
sin 0 t
s 0
cos 0 t
e
t
s s 0
2 2
10 11 12 13
e
t
sin 0 t
0
(s ) 0
2 2
co s 0 t
s (s ) 0
而言，函数 f t 都存在拉普拉斯变换。
通常把使 f t e 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉普拉斯变换的收敛域。 t f t e d t 。从而要求满足 F s 存在的条件是被积函数收敛，即
t
lim f
t
t e
t
0
第四章 连续时间信号与系统的复频域分析
Chapter4
引言：
傅里叶变换建立了信号与其频谱之间一一对应的关系，具有明确的物理意义。 但是在实际应用上，傅里叶变换存在一定的局限性，其变换式的形式和运算较 为复杂，一些常用信号因不满足狄里赫利条件而不存在傅里叶变换。特别是对