12.3.1角平分线的性质(1)课件ppt

O
C A E
D B
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6， 2 则PN=_______。
N
0 A
P
M
C B
2、如图:△ABC中, ∠C=900，AD是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF，求证：CF=EB
A
F
E
C
并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
B
P
C● O
D●
A
知识拓展
如图，在△ABC中， A AC=BC，∠C=90°， AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB，垂足为E。 （1）已知CD=4cm，求 AC的长； C （2）求证：AB=AC+CD
E D
B
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公 路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度 假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平
分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于 点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ 所在直线的距离相等．
Ｃ F H
Ｄ
Ｐ
Ｂ G
Ｅ
Ａ
练习2： 如图,求作一点P,使PC=PD,
PD
第一次 第二次 第三次
PE
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
PD=PE 写出结论：____________
结论：
角平分线的性质：角的平分线上的点
到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. A 求证：PD=PE.
角平分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成 相等的两个角的射线叫做这个角的角
平分线。
B O A
C
B
O A
C
∠AOC =∠BOC ∠AOB =2∠AOC =2∠BOC
= =
在△ADC和 △ABC中， AD= AB DC=BC
AC=AC
（SSS） ∴△ADC ≌ △ABC ∴ ∠DAE=∠DAE
尺规作图
用尺规作角的平分线.
A D C
已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 作法:
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长
O
E
B
为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C..
3.作射线OC.
则射线OC就是∠AOB的平分线. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.
老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法 要确实掌握.
角平分线有什么性质呢？
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作 PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的 长.将三次数据填入下表：
A D p O E B C
D C P O B E
已知：∠AOC= ∠BOC ，点P在OC上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E 求证: PD=PE 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°
D
C
A
在△POD和△PEO中
∠ PDO＝∠PEO ∠ AOC＝∠BOC OP=OP ∴ △PDO≌△PEO（AAS） ∴ PD＝PE
D
B
3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。
求证：△DBE的周长等于AB。
C D
A
E
B
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么?
E A O P C
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等.
O E
P
B
角平分线性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言: ∵OC是∠AOB的平分线, 且PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE
D C P O A
(角的平分线上的点到角的两边距离相等)
E
Bห้องสมุดไป่ตู้
1、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则 PE=__________cm. 4
A D E O C P
B
例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分 ∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点 D到AB的距离为？
A E
E B
C
D
例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交 于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。
A F N P G M E
B
C
例3：在△OAB中，OE是∠ AOB的角平分线， 且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足 为C，D，求证：AC=BD。