公开课：角平分线性质

• 你能说明这是为什么吗？
动脑想一想
证明： 在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等）
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗？
A
试试自己写
DC=DE (因为角的平分线的性质) 证明。你一
再用HL证明.
定行！
动笔练一练
A
F Байду номын сангаасD
证明：
∵AD平分∠CAB
且DE⊥AB，∠C＝90°（已知）
∴CD＝DE
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
E
CD=DE （已证）
DF=DB （已知）
B ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
∴ CF=EB
A
如 图 ： 在 △ ABC 中 ， F
E
∠C=90° AD是∠BAC的平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上，
BD=DF；
求证：CF=EB
C
D
B
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它
们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需
要我们找什么条件
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公 路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度 假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的
平分线上呢？
画出几何图形，写出已知 和求证，证明这个猜想。
给出图形和数学语言
动脑想一想
• 我们之间就学习了三角形的角分线，之前 谈到过，三条角分线一定交于一点，不过 当时我们没有给出证明，而只是通过画图 的方法给出了印证。
• 现在我们学习了角分线的性质和判定定理， 怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例 题。
动脑想一想
• 如图，△ABC的平分线 BM，CN相交于点P。
• 求证：点P到三边AB， BC，CA的距离相等。
EB
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言：∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
思考：
EA
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意
O
P C 一点,问PE=PD?为什么?
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
平分线
O
B
尺规法画角平分线
A M
O
NB
以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，
交OA于点M，交OB于点N
尺规法画角平分线
A M
C
O
NB
分别以点M，N为圆心，大于½MN的长度为半径画
弧，两弧在∠AOB的内部交于点C
尺规法画角平分线
A M
C
O
NB
画射线OC，即为∠AOB的角平分线
例3：在△OAB中，OE是∠ AOB的角平分线， 且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为 C，D，求证：AC=BD。
O
C
D
A
E
B
A E
C
B
D
2.如图,在△ABC中，
AC⊥BC，AD为∠BAC的平
分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，
AC＝3㎝，求BE的长。
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个 集贸中心，使它到铁路、 公路的距离相等，并且 离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应 建在哪里？
已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交 点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
M C D
F
A
EB
N
动笔练一练
• 如图，AD⊥OB于D， BC⊥OA于C，AD与BC相交 于点P，若PA=PB，则∠1和
∠2的大小关系是（ A ）
A. ∠1=∠2 B. ∠1>∠2 C. ∠1<∠2 D. 无法确定
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不
是角平分线上任一点这个角两
边的距离,所以不一定相等
△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
（点D到AB的距离是3）
C
D
A
E
B
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD： DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。
动脑想一想
• 现在有一张用纸做 的角，怎样不利用 其他工具把它平分？
• 对折之后的折痕和 这个角有什么关系？
• 如果是木板不能对 折，该怎么平分？
动脑想一想
• 如图是一个平分角的仪器， 其中AB=AD，BC=DC，将 点A放在角的顶点，AB和 AD沿着角的两边放下，则 AC所在直线就是这个角的 平分线。
动脑想一想
证明： 过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB， BC，CA，垂足分别为D，E，F。 ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上 ∴PD=PE，同理PE=PF ∴PD=PE=PF 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等
思考和交流
• 在你刚才画好的角平分线OC 上任意取一点P，过点P画出 OA和OB的垂线段，分别记 垂足为D，E。PD和PE的长 度有什么关系？
• 在OC上再取几个点试一下， 并和你的伙伴交流结论，你 们发现角平分线有什么性质？
思考和交流
• 经过测量，PD=PE总成立。 • 经过讨论，我们猜想： • 角分线上的点到角两边的距
角的内部到角的两边的距离
相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
C
∴OP平分∠AOB．
P
不必再证全等
课堂练习 如图，△ABC中，D是BC
的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别
是E、F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线
A
E
F
B
C D
课堂练习
离相等。
你能用全等三角 形证明吗？
给出图形和数学语言
• 如图，已知 ∠AOC=∠BOC， 点P在OC上，且 PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E。
• 求证：PD=PE。
证明过程
角的平分线的性质
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
• 如图，P是∠AOB上 的一点，PD⊥OA 于D，PE⊥OB于E， 且PD=PE。
• 求证：OP是∠AOB 的平分线。
证明过程
角的平分线的判定
角的内部到角的两边距离相等的点在 角的平分线上
D A ∵P是∠AOB内的一点，
PD⊥OA，PE⊥OB，且
O
P
PD=PE
E B ∴OP是∠AOB的平分线
角平分线性质的逆定理 （角平分线的判定）