角平分线的性质和判定专题培训课件

角平分线的性质和判 定
操作与思考1：
★ 什么是角的平分线？怎样画一 个角的平分线？
A C
O B
信不信由你
A·
B· C·
如图，AB＝AD，BC＝DC，沿着 AC画一条射线AE，AE就是∠BAC
·的角平分线， 你知道为什么吗？ D
E
探究
如何用尺规作角的平分线？
作法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
拓展与延伸
1、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
M C D
F
A
EB
N
2、已知PA=PB， ∠1+ ∠2=1800， 求证：OP平分∠AOB
E
A1
P
2
O
FB
3 已知：如图，△ABC 的∠B的外角的平分 线BD和∠C的外角平 分线CE相交于点P。
P E
B
角平分线
的判定 到角的两边的距离相等的点
的平分线上。
在角
D
A
已知：如图，PD ^ OA，PE ^ OB ，
垂足分别是 D、E，PD=PE，
O
求证：点P在 AOB的角平分线上。
证明： 作射线OP
∵ PD ^ OA PE ^ OB
\ PDO PEO 90
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
OP = OP （公共边） PD = PE （ 已 知 ）
\ RtPDO≌ RtPEO （ HL）
P E
B
\ AOP BOP （全等三角形的对应角相等） \ 点P在 AOB 角的平分线上
角平分线的判定的应用书写格式：
DA
∵ PD ^ OA
PE ^ OB
O
P
PD= PE
\OP 是 两A边O的B距的离平相分等线的（点到，一在个这角个的角的E平分线B 上）
A
C C′
B
课堂练习
5已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 求证： AD平分∠BAC 。
B
F
A
D
E
C
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相 交于 点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
• 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直 于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
Ｍ
ห้องสมุดไป่ตู้
交ＯＢＮ于．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1ＭＮ的长为
2
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
探索1
• 将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第 一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠 形成的三条折痕,你能得到什么结论? A
A
D
O
B
O
B
E
画一画,想一想,议一议
（点D到AB的距离是3）
C
D
A
E
B
议一议
如图，由 PD ^ OA 于点 D ， PE ^ OB
于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？
到一个角的两边的距离相等 的点， 在这个角的平分线上。
已知：如图， PD ^ OA ，
D
A
PE ^ OB ，垂足分别是
O
A、B，PD=PE ，
求证：点P在AOB 的角平分线上。
在∠AOB的平分线OC上
任取一点P，然后，作 点P到∠AOB两边的垂 线段PD、PE，画一画， 量一量，从中你有什么 O
A
D
·P C
新发现？你能说明其中
E
的道理吗？
B
角平分线上的点到角的两
边的距离相等。
命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD
⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
A
求证：PD=PE.
D
P
O
B
E
角平分线的性质
定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
∵∠1= ∠2
D
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
1
O
2
P
B E
随堂练习
1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
用途：判定一条射线是角平分线
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E
F
B
D
C
4.已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ . 求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要求不 用三角形全等的判定）
求证：点P在∠BAC的 平分线上。
A
B
C
EP D
课堂小结
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定 理是证明角相等、线段相等的新途径.
角平分线的性质：在角的平分线上的点到这
个角的两边的距离相等。
D
∵ OP 是 AOB 的平分线
PD ^ OA PE ^ OB
O
\ PD = PE
用途：证线段相等
E
角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的
点， 在这个角的平分线上。
∵ PD ^ OA PE ^ OB
A C
P B
PD = PE
\ OP 是 AOB 的平分线
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长。
A E
D
B
C
练一练
A E
C
B
D
3在△ABC中，AC⊥BC，AD为
∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝
7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
4.△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
∴PD=PE
A
D
C P·
O
E B
2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD： DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。
动脑筋
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E， 则：⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
• ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM
上（已知）
A
• ∴PD=PE（在角平分线上的点到角的
两边的距离相等）
D
F
• 同理 PE=PF.
N PM
• ∴ PD=PE=PF.
B
C
• 即点P到边AB、BC、CA的距离相等
E
练习：
如图，三条公路相交，现在要修建一加 油站，使加油站到三条公路的距离相等， 问加油站该选在什么位置上？