江苏省扬州市宝应县曹甸高级中学2013届高三10月第二次效益检测(数学)
江苏省扬州中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题及参考答案
一、单选题1. sin1050︒=高三江苏省扬州中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题（ ）A.12B. 12-C.D. 2. 已知集合{}210xA x =->，{}2230B x x x =+-<，则A B = （ ） A. ()0,3 B. ()0,1C. ()3,-+∞D. ()1,-+∞3.已知()f x =，则()f x '=（ ）A.B.C.D.4. 已知函数()()sin R f x ax x a =-∈，则“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）A.1s 3B.2s 3C. 1sD.4s 36. 已知α为锐角，若π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.B.C.D.7. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 4(0,]9B. 48[,]99C. 48(,99D. 8(0,]98. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足()2(6)f x f x =--，()2(4)f x f x ''=--，(3)1f '=-，若()(3)5g x f x =-+，则()181k g k ='=∑（ ）A. 18-B. 20-C. 88D. 90二、多选题9. 下列求解结果正确的是（ ）A.3= B. ()22lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 256+++= C. 不等式(10x -≥的解集为[)1,+∞ D. 若sin 1cos 12αα=--，则1cos 1sin 2αα+= 10. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（ ） A. 若sin sin A B >，则A B >B. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 锐角三角形C. 若10a =，8b =，60A =︒，则符合条件的ABC 有两个D. 对任意ABC ，都有cos cos 0A B +>11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；是B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点.12. 在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin A B C =，则下列说法正确的是（ ）A. 2222tan 2b c a A a+-= B. 212ABC S a = C.sin sin sin sin B CC B +有最大值 D. 245a bc ≤三、填空题13. 若函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，则实数m 的取值范围是________________．14. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()22x x f x a -=-⋅，当0x <时，()f x =________． 15. 已知lg lg lg 5a b c a b c =，lg lg lg b c a a b c =，则abc 的值为___________.16. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin A a B +=，则ABC 周长的取值范围为______.四、解答题17. 已知0x >，0y >，且21x y +=． （1）求xy 的最大值； （2）求21x y+的最小值． 18. 已知函数()e 1e xxa f x -=+奇函数. （1）求a 的值；（2）若存在实数t ，使得()()22220f t t f t k -+->成立，求k 的取值范围. 19.在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且____． （1）求角C ；的的为（2）若2c =，求2a b -取值范围． 20. 已知函数()()sin cos 2sin 22f x x x b x =++-，（R a ∈，R b ∈）（1）若1a =，0b =，证明：函数()()12g x f x =+在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点； （2）若对于任意的R x ∈，()0f x ≤恒成立，求a b +的最大值和最小值.21. 铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，,OA OC 就是一个合页的抽象图，AOC ∠可以在[]0,π上变化，其中28OC OA cm ==，正常把合页安装在家具门上时，AOC ∠的变化范围是π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以AC 为边长的正三角形ABC 区域内不能有障碍物.（1）若π2AOC ∠=使，求OB 的长； （2）当AOC ∠为多少时，OBC △面积取得最大值？最大值是多少？ 22. 已知函数sin ()2cos xf x ax x=-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若0x ∀>都有()0f x >，求a 的取值范围．的高三数学10月考试一、单选题1. sin1050︒=（ ）A.12B. 12-C.D. 【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式化简，即可计算得结果. 【详解】()1sin1050sin 336030sin 302︒︒︒︒=⨯-=-=-.故选：B【点睛】本题考查诱导公式的化简求值，属于基础题.2. 已知集合{}210xA x =->，{}2230B x x x =+-<，则A B = （ ） A. ()0,3 B. ()0,1C. ()3,-+∞D. ()1,-+∞【答案】B 【解析】【分析】先将集合A 和集合B 化简，再利用集合的交集运算可得答案. 【详解】210x -> ，即0212x >=， 由指数函数的单调性可得，0x >，{}0A x x ∴=>，由2230x x +-<，解得31x -<<，{}31B x x ∴=-<<， {}()010,1A B x x ∴⋂=<<=.故选：B.3. 已知()f x =，则()f x '=（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．【详解】()()124f x x ==+，则()()12142f x x -'=+=． 故选：D4. 已知函数()()sin R f x ax x a =-∈，则“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用导数求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当1a =时，()sin x x x f -=，()1cos 0f x x '=-≥，∴()f x 在R 上单调递增，故充分性成立， 当()f x 在π,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，∴()cos 0x a x f '=-≥，即cos a x ≥，∴1a ≥，故必要性不成立， 所以“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的充分不必要条件. 故选：B5. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）A.1s 3B.2s 3C. 1sD.4s 3【答案】C 【解析】【分析】先根据周期求出2π3ω=，再解不等式2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+>⎪⎝⎭，得到t 的范围即得解. 【详解】因为122t t +=，235t t +=，31t t T -=，所以3T =，又2πT ω=，所以2π3ω=， 则2πsin 3y t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由0.5y >可得2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 所以π2π5π2π2π636k t k ϕ+<+<+，Z k ∈， 所以13533342π42πk t k ϕϕ+-<<-+，Z k ∈，故531333142π42πk k ϕϕ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为1s. 故选：C.6. 已知α为锐角，若π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据α为锐角，π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得到πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式得到πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后再由7πππsin 2sin 21234αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求解. 【详解】αQ 为锐角，ππ2ππ4,cos 66365αα⎛⎫<+<+= ⎪⎝⎭， π3sin 65α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πππ24sin 22sin cos 36625ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且2ππ7cos 22cos 13625αα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故7πππsin 2sin 21234αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ππππsin 2cos cos 2sin 3434αα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2472525=+=， 故选：D ．7. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 4(0,]9B. 48[,]99C. 48(,99D. 8(0,]9【答案】A 【解析】【分析】由函数()cos f x x =，根据三角函数的图象变换得到()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数()cos f x x =，向右平移6π个单位长度，得cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 得62x k ππωπ-=+，所以123x k ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则需3222T πππ>-=，所以22ππω>，所以01ω<<， 若函数()g x 在3(,)22ππ上有零点，则123232k ππππω⎛⎫<+< ⎪⎝⎭， 当k =0时，得123232ω<<，解得4493ω<<，当k =1时，得153232ω<<，解得101093ω<<， 综上：函数()g x 在3(,22ππ上有零点时，4493ω<<或101093ω<<， 所以函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，409ω<≤. 所以ω的取值范围是4(0,]9.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题. 8. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足()2(6)f x f x =--，()2(4)f x f x ''=--，(3)1f '=-，若()(3)5g x f x =-+，则()181k g k ='=∑（ ）A. 18-B. 20-C. 88D. 90【答案】B 【解析】【分析】根据复合函数导数运算求得正确答案.【详解】由()2(6)f x f x =--得()()()266f x f x f x ''''=--=-⎡⎤⎣⎦，()()6f x f x ''=-①，则()f x '关于直线3x =对称.另外()2(4),()(4)2f x f x f x f x ''''=--+-=②，则()f x '关于点()2,1对称. 所以()()()()()4244226f x f x f x f x ''''+=--+=--=-+()()()()()()22462628f x f x f x f x ⎡⎤''''=---+=--=---=+⎣⎦，所以()()4f x f x ''=+，所以()f x '是周期为4的周期函数.()(3)5g x f x =-+，()(3)g x f x ''=--，则(0)(3)1g f ''=-=，由②，令2x =，得()()222,21f f ''==. 所以()()121g f ''=-=-，由②，令1x =，得(1)(3)2,(1)2(3)3f f f f ''''+==-=； 所以(2)(1)3g f ''=-=-，由①，令4x =，得()()421f f ''==；令5x =，得()()513f f ''==. 由②，令0x =，得(0)(4)2,(0)1f f f '''+==；令=1x -，得(1)(5)2,(1)2(5)1f f f f ''''-+=-=-=-， 则(3)(0)1g f ''=-=-，()()411g f '=--=；()()()5221g f f '''=--=-=-，()()()6313g f f '''=--=-=-，以此类推， ()g x '是周期为4的周期函数.所以()()()181131141320k g k ='=---+⨯+--=-∑.故选：B【点睛】函数的对称性有多种呈现方式，如()()f a x f a x +=-，则()f x 关于直线x a =对称；如()()2f a x f x +=-，则()f x 关于直线x a =对称；如()()f a x f a x +=--，则()f x 关于点(),0a 对称；如()()2f a x f a x b +=--+，则()f x 关于点(),a b 对称.二、多选题9. 下列求解结果正确的是（ ）A.3= B. ()22lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 256+++=C. 不等式(10x -≥的解集为[)1,+∞D. 若sin 1cos 12αα=--，则1cos 1sin 2αα+= 【答案】AD 【解析】【分析】对于A 选项：把根式化为分数指数幂，利用幂的运算法则求值可判断A 选项；对于B 选项：利用对数的运算法则化简求值可判断B 选项；对于C 选项：根据根式的定义域和值域，求不等式的解集可判断C 选项；对于D 选项：分子和分母同时乘sin α,再利用同角三角函数关系化简可判断D 选项.【详解】对于A 111111126363223243243232-⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭()5151121106636622=33222332332--⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以A 选项正确；对于B 选项：()()()()2222lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 252lg 2lg 5lg 210lg 2lg 510lg 5+++=+⨯+⨯+ ()()()22lg 2lg 5lg 21lg 2lg 512lg 5=+++++ ()22lg 22lg 2lg 5lg 23lg 5=+++()()2lg 2lg 2lg 5lg 2lg 52lg 5=++++ ()2lg 2lg 513=++=，所以B 选项错误；对于C 选项：因为0y =≥且2x ≥-，当2x =-时取等号，则(10x -≥，即210x x >-⎧⎨-≥⎩或2x =-，解得：1x ≥或2x =-，所以不等式(10x -≥的解集为{}[)21,-+∞ ，所以C 选项错误； 对于D 选项：若sin 1cos 12αα=--，则cos 1α≠且sin 0α≠，即()()()()()221cos 1cos sin 1cos 1cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin 2αααααααααααα-+-+===-=----，所以1cos 1sin 2αα+=，所以D 选项正确.故选：AD.10. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（ ） A. 若sin sin A B >，则A B >B. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 是锐角三角形C. 若10a =，8b =，60A =︒，则符合条件的ABC 有两个D. 对任意ABC ，都有cos cos 0A B +> 【答案】ABD 【解析】【分析】由正弦定理边角转化可判断A ；根据两角和的正切公式结合三角形内角和定理可判断B ；由正弦定理及三角形性质可判断C ；由三角形内角性质及余弦函数单调性可判断D. 【详解】对于A 选项，由sin sin A B >，根据正弦定理得22a br r>，（r 为ABC 外接圆半径），即a b >，则A B >， 故A 正确；对于B ，()()tan tan tan tan πtan 1tan tan A BC A B A B A B+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦-，所以()tan tan tan tan tan 1A B C A B +=-，所以()tan tan tan 1tan tan tan tan 0tan tan tan A B C A B C A C B C +-=++=>， 所以tan ,tan ,tan A B C 三个数有0个或2个为负数，又因,,A B C 最多一个钝角， 所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，即,,A B C 都是锐角， 所以ABC 一定为锐角三角形，故B 正确；对于C ，由正弦定理得sin sin a b A B=，则sin sin 1b A B a ===<， 又b a <，则60B A <= ，知满足条件的三角形只有一个，故C 错误；对于D ，因为πA B +<，所以0ππA B <<-<，又函数cos y x =在()0,π上单调递减， 所以()cos cos πcos A B B >-=-，所以cos cos 0A B +>，故D 正确； 故选：ABD11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点. 【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB ；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A ，当a b =时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()e e =x x f x a b f x --=+，故函数()f x 为偶函数；当函数()f x 为偶函数时，()()=0f x f x --，故()()0e e x xa b b a --+-=，即()()2e =xa b a b --，又2e 0x >，故a b =，所以a b =是函数()f x 为偶函数的充要条件，故A 错误； 对于B ，当0a b +=时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()=e e ()()=0x x f x f x a b a b -+-+++，故函数()f x 为奇函数，当函数()f x 为奇函数时，()()=e e ()()=0xxf x f x a b a b -+-+++，因为e 0x >，e 0x ->，故0a b +=.所以0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件，故B 正确； 对于C ，()=e exxa f xb --'，因为0ab <，若0,0a b ><，则()e e 0=xxa xb f -->'恒成立，则()f x 为单调递增函数，若0,0a b <>则()e e 0=x xa xb f --<'恒成立，则()f x 为单调递减函数，故0ab <，函数()f x 为单调函数，故C 正确；对于D ，()2e e e ==ex xxxa ba b f x ---'， 令()=0f x '得1=ln 2bx a，又0ab >，若0,0a b >>， 当1,ln 2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.函数()f x 存在唯一的极小值. 若0,0a b <<， 当1ln2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减.故函数()f x 存在唯一的极大值.所以函数存在极值点，故D 正确. 故答案为：BCD.12. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin A B C =，则下列说法正确的是（ ）A. 2222tan 2b c a A a+-= B. 212ABC S a = C.sin sin sin sin B CC B +有最大值 D. 245a bc ≤【答案】BCD 【解析】【分析】由条件及正弦定理得，2sin a bc A=，再由正、余弦定理，三角形的面积公式，三角函数的最值等知识逐一判断选项即可．【详解】由sin sin sin A B C =及正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：2sin a bc A=， 对于A 选项：22222222cos 2cos cos sin tan 222sin a A b c a bc A A A Aa a a A+-===≠，故A 错误； 对于B 选项：22111sin sin 22sin 2ABCa S bc A A a A ==⨯⨯= ，故B 正确； 对于C 选项：222sin sin 2cos sin sin B Cbc b c a bc AC B c b bc bc+++=+==sin 2cos sin 2cos )bc A bc A A A A bcϕ+==+=+，其中sin ϕϕ==∴sin sin sin sin B CC B+，故C 正确； 对于D 选项：因为2sin a bc A =，222b c bc +≥,当且仅当b c =时取等号.所以222sin cos 1022b c a AA bc +-=≥->，两边平方得：22sin cos 1sin 4AA A ≥+-，又22cos 1sin A A =-，化简得：sin (5sin 4)0A A -≤，且(0,π)A ∈，sin (0,1]A ∈, 解得4sin 0,5A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以24sin 5sin bc A a bc bc A ==≤，即245a bc ≤成立，故D 正确.故选：BCD ．三、填空题13. 若函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，则实数m 的取值范围是________________．【答案】(][),22,-∞-+∞U 【解析】【分析】根据对数函数值域列不等式，从而求得m 的取值范围. 【详解】依题意，函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，所以240m ∆=-≥，解得(][),22,m ∈-∞-⋃+∞. 故答案为：(][),22,-∞-+∞U14. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()22x x f x a -=-⋅，当0x <时，()f x =________． 【答案】22x x -- 【解析】【分析】先根据奇函数性质求a ，然后设0x <，利用奇函数定义和已知条件求解可得. 【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以00(0)220f a =-⋅=，解得1a =.的设0x <，则0x ->，所以()22x x f x --=-， 又()f x 为奇函数，所以()()22x x f x f x -=--=-， 即当0x <时，()22x x f x -=-. 故答案为：22x x --15. 已知lg lg lg 5a b c a b c =，lg lg lg b c a a b c =，则abc 的值为___________.【答案】10或110【解析】【分析】对已知等式左右同时取对数，结合对数运算法则化简可得()2lg 1abc =，由此可求得结果. 【详解】由lg lg lg 5a b c a b c =得：()()()222lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 5a b c a b c a b c ++=++=，由lg lg lg b c a a b c =lg lg lg 1lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 22bc a ab c a b b c a c ++=++==，2lg lg 2lg lg 2lg lg lg 2a b b c a c ∴++=，()()()()2222lg lg lg 2lg lg 2lg lg 2lg lg lg lg lg a b c a b b c a c a b c ∴+++++=++()2lg lg 5lg 21abc ==+=，lg 1abc ∴=或lg 1abc =-，10abc ∴=或110abc =. 故答案为：10或110. 16. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin A a B +=，则ABC 周长的取值范围为______.【答案】+【解析】【分析】由正弦定理及已知可得sin A =，结合锐角三角形得π3A =、ππ62B <<，再由正弦边角关系、三角恒等变换得912tan 2a b c B ++=，即可求范围.【详解】由sin sin a bA B=，则sin sin a B b A =，故sin sin 4sin A b A A +==所以sin A =，又ABC 为锐角三角形，则π3A =，且π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则ππ62B <<，而sin sin sin a b c A B C ==，则sin sin b A a B ==，2π3sin()sin 3sin sin B b C c B B -==32=+，所以22cos 91cos 99122sin 222sin cos tan 222B B a b c B B BB +++===+， 又ππ1224B <<，且ππtan tanπππ34tan tan()2ππ12341tan tan 34-=-==+所以tan (22B ∈-，则912tan 2a b c B ++=+∈+.故答案为：+.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理以及三角恒等变换得912tan 2a b c B ++=，再求出角B 的范围，利用正切函数的值域即可得到答案.四、解答题17. 已知0x >，0y >，且21x y +=． （1）求xy 的最大值； （2）求21x y+的最小值． 【答案】（1）18（2）8 【解析】【分析】（1）由基本不等式得到2x y +≥，从而求出18xy ≤； （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.小问1详解】【因为0x >，0y >，由基本不等式得2x y +≥，即1≥18xy ≤， 当且仅当11,24x y ==时，等号成立，故xy 的最大值为18； 【小问2详解】因为0x >，0y >，21x y +=，故()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y =，即11,24x y ==时，等号成立，故21x y +的最小值为8. 18. 已知函数()e 1exxa f x -=+为奇函数. （1）求a 的值；（2）若存在实数t ，使得()()22220f t t f t k -+->成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1 （2）1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质)00f =求解即可.（2）首先利用根据题意得到()()2222f t t f t k ->-+，利用单调性定义得到()f x 是R 上的减函数，再利用单调性求解即可. 【小问1详解】因()f x 定义域为R ，又因为()f x 为奇函数，所以()00f =，即102a -=，得1a = 当1a =时，()1e 1e xx f x -=+， 所以()()1e e 11e e 1x x xx f x f x -----===-++，所以1a = 【小问2详解】()()22220f t t f t k -+->可化为()()2222f t t f t k ->--，因为()f x 是奇函数，所以()()()2222f t t f t k->-+*为又由（1）知()1e 211e 1ex x xf x -==-+++， 设12,x x ∈R ，且12x x <，则()()()()()211212122e e 221e 1e 1e 1e x x x x x x f x f x --=-=++++， 因为12x x <，所以21e e 0x x ->，11e 0x +>，21e 0x +>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >故()f x 是R 上的减函数， 所以（*）可化为2222t t t k -<-+.因为存在实数t ，使得2320t t k --<成立， 所以4120k ∆=+>，解得13k >-.所以k 的取值范围为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭19.在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且____． （1）求角C ；（2）若2c =，求2a b -的取值范围． 【答案】（1）π3（2）()2,4- 【解析】【分析】（1）选①利用三角形内角和定理与两角和的正弦公式求出π3C =，选②利用正弦定理和余弦定理求出π3C =，选③利用面积公式和余弦定理求出π3C =．（2）利用正弦定理得,a A b B ==，再利用两角差的正弦公式以及角的范围计算求得结果．【小问1详解】若选①：2sin sin 2sin cos A B C B -=， 则()2sin sin 2sin cos B C B C B +-=，∴2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B +-= ∴2sin cos sin 0B C B -=∵()0,πB ∈，sin 0B ≠， ∴1cos 2C =，∵()0,πC ∈，∴π3C =.若选②：()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-， 由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-， ∴222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,πC ∈，∴π3C =． 若选③：()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△， 则()sin sin sin 12s n 12i C A B b c a b C a c =+-，由正弦定理得()2221122abc c a b c =+-，∴∴222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,πC ∈，∴π3C =． 【小问2详解】由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ===，,a A b B ==，则π23A B A A a b ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， π2cos 4sin 6A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∵2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,662A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，π16sin ,12A ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪- ⎝⎭⎝-⎪⎭， ∴()22,4a b -∈-.20. 已知函数()()sin cos 2sin 22f x x x b x =++-，（R a ∈，R b ∈）（1）若1a =，0b =，证明：函数()()12g x f x =+在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点； （2）若对于任意的R x ∈，()0f x ≤恒成立，求a b +的最大值和最小值.【答案】（1）证明见解析（2）最小值为2-，最大值为1【解析】【分析】（1）代入,a b 的值，化简()f x ，即可求得()g x ，根据()g x 单调性即可求解；（2）令sin cos t x x =+，问题转化为t ⎡∈⎣时，()()22120t b t ϕ=+--≤，要求a b +的最值，则需要a 和b 的系数相等进行求解.【小问1详解】证明：当1a =，0b =时， ())sin cos 2f x x x =+-2x x ⎫=-⎪⎪⎭π2sin 24x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则()()132sin 22π4g x f x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， ()3002g =< ，0π142g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，且()g x 是一个不间断的函数， ()g x ∴在π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在零点， π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴πππ,442x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()g x ∴在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点. 【小问2详解】由（1）知，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣， ∴()22sin22sin cos sin cos 11x x x x x t =⋅=+-=-，∵对于任意的x ∈R ，()0f x ≤()22120b t +--≤恒成立.令()()2212 t b tϕ=+--，则t⎡∈⎣时，()0tϕ≤恒成立()22120t b+--≤，()221t=-，解得t=或.当t=时，解得1a b+≤，取1a=，0b=成立，则()220tϕ=-≤=恒成立，∴()max1a b+=，当t=时，解得2a b+≥-，取43a=-，23b=-成立，则()()224412033t t tϕ⎛=---=-≤⎝恒成立.∴()min2a b+=-，综上，a b+的最小值为2-，a b+的最大值为1.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，从以下几个角度分析：（1）赋值法和换元法的应用；（2）三角函数图像和性质的应用；（3）转化化归思想的应用.21. 铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，,OA OC 就是一个合页的抽象图，AOC∠可以在[]0,π上变化，其中28OC OA cm==，正常把合页安装在家具门上时，AOC∠的变化范围是π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以AC为边长的正三角形ABC区域内不能有障碍物.（1）若π2AOC∠=使，求OB的长；（2）当AOC∠为多少时，OBC△面积取得最大值？最大值是多少？.【答案】（1）BO =（2）5π6AOC ∠=，(16+cm 3 【解析】【分析】（1）根据题意利用三角比可得AC AB ==，在OAB 中，由余弦定理知2222cos BO AO AB AO AB OAB =+-⋅⋅∠即可得解；（2）设AOC α∠=，ACO β∠=，BC AC x ==，利用正余弦定理换算可得28064cos x α=-，248cos 16x xβ+=，代入整理可得=BOC S 16πsin 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用α的范围即可得解. 【小问1详解】如图所示，因为28cm OC OA ==，π2AOC ∠=，易知sin ∠==OAC ，cos OAC ∠=，AC AB ==，在OAB 中，由余弦定理易知2222cos BO AO AB AO AB OAB =+-⋅⋅∠， 且π3OAB OAC ∠=∠+，πππcos cos cos cos sin sin 333⎛⎫∠=∠+=∠-∠ ⎪⎝⎭OAB OAC OAC OAC12==， 在OAB 中，由余弦定理可得：所以((222424165BO =+-⨯⨯=+，解得BO =；【小问2详解】设AOC α∠=，ACO β∠=，BC AC x ==，在AOC 中，由余弦定理易知，2222cos AC AO OC AO OC α=+-⋅⋅，即22248248cos x α=+-⨯⨯⨯，28064cos x α=-①，222cos 2AC OC AO ACO AC OC+-∠=⋅，即248cos 16x x β+=②， 由正弦定理易知4sin sin x αβ=③， 将①②③代入下列式子中：21sin 2sin cos 8sin 23πBOC BC CO x S βββα⎛⎫⋅⋅⋅+=+=++ ⎪⎝⎭=△)8sin 8064cos a α=+-8sin 16si πn 3a a α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 则当5π6ADC ∠=时，BDC S △取最大值，最大值为(216cm +. 【点睛】思路点睛：第二问中由余弦定理得28064cos x α=-，248cos 16x x β+=，由正弦定理得4sin sin x αβ=，三式代入面积公式BOC S ，考查了学生思维能力及运算能力. 22. 已知函数sin ()2cos x f x ax x=-+． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若0x ∀>都有()0f x >，求a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 是R 上的增函数；（2）13a ≥. 【解析】【分析】（1）把1a =代入，求出函数()f x 的导数，再判断导数值正负作答.（2）求出函数()f x 的导数，再分析导函数值的情况，分类探讨即可作答.【小问1详解】当1a =时，函数sin ()2cos x f x x x=-+的定义域为R ， 的2222cos (2cos )sin 32cos cos ()10(2cos )(2cos )x x x x x f x x x ++++'=-=>++， 所以函数()f x 是R 上的增函数.【小问2详解】 函数sin ()2cos x f x ax x=-+，0x >， 求导得22212cos 32111()3()(2cos )(2cos )2cos 2cos 33x f x a a a x x x x +'=-=-+=-+-++++， 当13a ≥时，()0f x '≥，即函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，0x ∀>，()(0)0f x f >=，因此13a ≥； 当103a <<时，令()sin 3,0h x x ax x =->，求导得()cos 3h x x a '=-， 函数()cos 3h x x a '=-在π(0,)2上单调递减，π(0)130,()302h a h a ''=->=-<， 则存在0π(0,)2x ∈，使得0()0h x '=，当00x x <<时，()0h x '>，()h x 在0(0,)x 上单调递增， 当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >，因此当0(0,)x x ∈时，sin sin 2cos 3x x ax x >>+，即sin ()02cos x f x ax x =-<+，不符合题意； 当0a ≤时，ππ1(0222f a =-<，不符合题意， 综上得13a ≥， 所以a 的取值范围是13a ≥. 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答.。
江苏省扬州市宝应县曹甸高级中学2013届高三9月第一次效益检测(数学)
4.方茴说：“可能人总有点什么事，是想忘也忘不了的。
”5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
遗憾，每个遗憾都有它的青春美。
4.方茴说：“可能人总有点什么事，是想忘也忘不了的。
”5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
1.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”2.老人们都笑了，自巨石上起身。
而那些身材健壮如虎的成年人则是一阵笑骂，数落着自己的孩子，拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。
曹甸高级中学2013届高三第一次效益检测数学试题（普通类） 2012.09.22命题：李兆江 审核：李兆江注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上．1．已知集合{}R x x x x A ∈+<=,432，则Z A ⋂中元素的个数为 ▲ ． 2．已知i R b a bi a ii ,,(32∈+=+为虚数单位)，则=ab ▲ ． 3．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）．4．曲线32y x x =-在点)1,1(-处的切线方程是 ▲ ．5．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|a ＋b |＝1，a 与b 夹角为120°，则向量b 的模为 ▲ ．6．设实数x ，y 满足约束条件2022x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则目标函数y x z +=2的最大值4.方茴说：“可能人总有点什么事，是想忘也忘不了的。
宝应县2013届高三第一次模拟考试数学试题
宝应县2013届高三数学第一次学习效果检测试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合{}2log (2)A x y x ==-，{23B x x x =-2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足(12)2i z i +⋅=，则3. 某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6样本中，则样本中还有一个职工的编号是 ▲ .4. 直线1:240l x y +-=与 2:(2)10l m x my -+-=5．右图是一个算法流程图，若输入x 的值为4,-6．从0，2，3，47. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ ．8. 函数()sin()(0)3f x x πωω=+>在[0,2]恰好有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是 ▲ ． 9. 已知tan()35πα-=-，则22sin cos 13cos 2sin αααα+-= ▲ ． 10. 在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知5423a S =+，6523a S =+， 则201120132012a a a += ▲ ．11. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若βα//，β⊂m ，α⊂n ，则n m //；②若βα//，β⊥m ，α//n ，则n m ⊥； ③若βα⊥，α⊥m ，β//n ，则n m //；④若βα⊥，α⊥m ，β⊥n ，则n m ⊥. 上面命题中，所有真命题的序号为 ▲ ．12. 在菱形ABCD 中，AB =23B π∠=,2BC BE =,3DA DF = ,则EF AC ⋅=▲ ．13. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB的中点为M ，若220MA MF BF ⋅+≥ ，则该椭圆离心率的取值范围为 ▲ ．14. 若不等式3|ln |1ax x -≥对任意(0,1]x ∈都成立，则实数a 取值范围是 ▲ ．二、解答题（共6道题，计90分）（第5题图）15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知向量(,2)m b a c =-，(cos 2cos ,cos )n A C B =-，且m n ⊥ ．（1）求sin sin CA的值； （2）若2,||a m ==，求△ABC 的面积S ．16. （本题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°， 且PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2． （1）求证：PC ⊥AE ； （2）求证：CE ∥平面PAB ； （3）求三棱锥P －ACE 的体积V ．以双曲线错误！未找到引用源。
2024-2025学年江苏省扬州市扬州中学高三(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年江苏省扬州中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角α的终边上一点P(3t,4t)(t ≠0)，则sinα=( )A. 45B. −45C. ±45D. 不确定2.已知集合A ={x ∈N|0<x <4}，B ={−1,0,1,2}，则集合A ∩B 的真子集的个数为( )A. 7B. 4C. 3D. 23.设a ，b 都是不等于1的正数，则“log a 3>log b 3>1”是“3a <3b ”的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)=xcosxe |x|−1的图象大致为( )A. B.C. D.5.已知函数f(x)=a(e x +e −x +2x)−1，g(x)=−x 2+2ax ，若f(x)与g(x)的图象在x ∈(−1,1)上有唯一交点，则实数a =( )A. 2B. 4C. 12D. 16.在△ABC 中，a 2+b 2a 2−b 2=sin (A +B)sin (A−B)，则△ABC 的形状是( )A. 等腰三角形但一定不是直角三角形 B. 等腰直角三角形C. 直角三角形但一定不是等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形7.已知不等式ln (x +1)a >x 3−2x 2(其中x >0)的解集中恰有三个正整数，则实数a 的取值范围是( )A. (3,8]B. [3,8)C. [9ln4,32ln5)D. (9ln4,32ln5]8.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)=(1−x)f(x)，且f(1)>0，则( )A. f(12)<f(1)<f(2)B. f(2)<f(1)<f(12)C. f(12)<f(2)<f(1)D. f(2)<f(12)<f(1)二、多选题：本题共3小题，共18分。
江苏省扬州市宝应县高三数学下学期期初测试
2011-2012高三年级第二学期期初数学测试试题说明：第Ⅰ卷满分160分。
理科考生需加试附加题，加试时间30分钟。
2填空题（每小题5分，计70分.答案直接填在下方答题栏相应的横线上）1．复数21ii -的共轭复数是 ▲ .2．已知θ角的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= ▲ .3．已知命题:1p x ∃>，2log 0x >，则p ⌝为 ▲ .4．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如右表示，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法（按年级分层）在全校学生中抽取100人，则应在高三年级中抽取的学生人数为 ▲ .5．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数的概率 是 ▲ , 6．若n S 是等差数列{n a }的前n 项和，且2038=-S S ，则11S 的值为 ▲ .7．函数x e x f x-=)( (e 为自然对数的底数)在区间[1,1]-上的最大值是 ▲ . 8．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是63，则判断框中整数M 的值是 ▲ 9．设,m n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，有下列四个命题:①若n m n m //,//,则αα⊂ ②βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m③若,//,n m n αβ=I 则m ∥,α且m ∥β④若βαβα//,,则⊥⊥m m其中正确的命题是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）．10．设3sin ()52πααπ=<<,2tan()3πβ-=, 则tan ()βα-的值等于 ▲ ． 11. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线过点4(1,)3P ，则该双曲线的离心率为 ▲ .12. △ABC 的三个内角A, B, C 所对的边分别为,,a b c，且2sin sin cos a A B b A +=，cos 4C =，则sin A = ▲ .13．如图，,,O A B 是平面上的三点，向量,,OA a OB b ==点C 是 线段AB 的中点，设P 为线段AB 的垂直平分线CP 上 任意一点，向量||4,||2OP p a b ===,若， 则()p a b ⋅-= ▲ . 14．设函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0G >使()100Gf x x≤对一切实数x 均成立，则称函数)(x f 为G 函数．现给出下列函数：①222()1x f x x x =-+ ， ② 2()sin f x x x =， ③()2(13)x f x x =-， ④)(x f 是定义在R 的奇函数，且对一切21,x x ，恒有1212()()100f x f x x x +≤+．则其中是G 函数的序号为 ▲二、解答题（共6道题，计90分） 15．（本题满分14分）设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+．（1）求()f x 的最小正周期．（2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =EGA 1C 11A的最大值．16、（本题满分14分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,090ACB ∠=，,,E F G 11,,AA AC BB 的中点，且1CG C G ⊥.(1)求证：//CG BEF 平面；(2)求证：平面BEF ⊥平面11AC G .17、（本题满分15分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，建一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2x 万元。
江苏省扬州市宝应中学2021届高三上学期数学周测六(10月第二次周测)含答案
江苏省宝应中学2020—2021学年高三年级数学周测试卷（六)一、单项选择题（本大题共8小题,共40.0分） 1.已知集合A ={x |x 2−2x >0},B ={x |−2<x <3}，则A ． A ∩B = ∅ B ． A ∪B =RC ． B ⊆AD ． A ⊆B2．点 P 从（1,0）出发，沿单位圆按顺时针方向运动23π 弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( ）A ． (12-，32B ． (32，12-）C ． (12-,32D ． (32123．已知132a =，2log0.3b =，b c a =，则（ )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．函数()sin ln ||f x x x x =+在区间[2,2]ππ-上的大致图象为（ ）5。
已知，，则与的夹角为（ ） A ．B ．C ．D ．()0,()1cos 1cos x f x x x π∈=+-6.设，则函数(）.2A ⎡⎣[].0,2B.2C ⎡⎣[).0,2D7．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(],0x ∈-∞时，()22f x x x =-+,若实数m 满足()2log 3f m ≤，则m 的取值范围是（ ) A ．(]0,2B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,8D ．1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.设平行于 x 轴的直线l 分别与函数 y 2x 与 y 2x 1 的图像相交于点 A , B ,若函数 y2x 的图像上存在点C ，使得ABC 为等边三角形，则这样的直线l （ ）A.不存在 B 。
有且只有一条 C.有且只有两条 D.有无数条二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分，每小题全对得5分，部分对得3分,有错得零分)9．设正实数m n 、满足2m n +=，则下列说法正确的是（ )A ．2n m n +的最小值为3B ．mn 的最大值为1C m n 的最小值为2D ．22mn +的最小值为210．若ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆,且0543=++OC OB OA ，则下列结论不正确的（ ) A ．2BOC π∠=B ．2AOB π∠=C ．54-=⋅CA OB D ．51-=⋅AB OC 11．设函数()()sin 0g x x ωω=>向左平移π5ω个单位长度得到函数()f x ，已知()f x 在[]0,2π上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线π2x =对称B ．()f x 在()0,2π上有且只有3个极值大点，()f x 在()0,2π上有且只有2个极小值点C ．()f x 在π0,10⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．如图，在矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将AMB △沿直线AM 翻折成1AB M △，连接1B D ,N 为1B D 的中点,则在翻折过程中,下列说法正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥ B ．CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM B D ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π三、填空题(本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，△ABC 为等边三角形,分别延长BA ,CB ,AC 到点D ，E ，F ，使得AD ＝BE ＝CF ．若BA 2AD =,且DE ＝13,则AF CE ⋅的值是_______．14。
江苏省扬州市宝应县画川高级中学高三数学10月调研测试试题
201510高三调研测试数学试题（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（每小题5分，计70分）1．已知集合{}{}4,2,0,2,4,|13=--=-<<P Q x x ,则P Q =I ▲ . 2．已知复数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ .3．已知命题:p R x ∈∃，022≤++a ax x ．若命题p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲4.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .5．函数23cos(2)4π=--y x x 的最小正周期为 ▲ . 6．已知直线1l ：210ax y a -++=和2l ：2(1)20x a y --+=()a ∈R ，则12l l ⊥的充要条件是a =▲ ．7．已知α为锐角，cos α=tan()4απ+= ▲ ． 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A c B b +=，则角A 的大小为 ▲ .9．在ABC ∆中,60ACB ∠=o,sin :sin 8:5A B =,则以,A B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为 ▲ .10.如图，四边形ABCD 是边长为1的菱形，120ABC ∠=o， E 是BC 的中点，则AD AE ⋅u u u r u u u r＝▲ ．11.已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ,则圆22:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为 ▲ .12．已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n +的最小值是 ▲ .13. 已知曲线()33ln y a x x =-+存在垂直于y 轴的切线，函数32()31f x x ax x =--+在[]1,2上单调递增，则a 的范围为 ▲ ．C14．已知函数)(x f y =是定义域为R 上的偶函数，当0≥x 时，,2,432120,41)(2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤-=x x x x f x若关于x 的方程[]R a ax af x f ∈=++,0167)()(2有且仅有8个不同实数根，则实数a 的取值范围是▲ .二、解答题（共6道题，计90分） 15．（本题满分14分）已知向量a ，b 满足|a |=2，|b |=1，|a －b |=2． （1）求a·b 的值； （2）求|a +b |的值．16. （本题满分14分）已知函数2()sin(2)cos(2)2cos 63f x x x x ππ=+-++ （1）求()12f π的值； （2）求)(x f 的最大值及相应x 的值． 17．（本题满分15分）已知命题p :关于实数x 的方程210x mx ++=有两个不等的负根；命题q :关于实数x 的方程244(2)10x m x +-+=无实根．（1） 命题“p 或q ”真，“p 且q ”假，求实数m 的取值范围．（2） 若关于x 的不等式()(5)0()x m x m m R --+<∈的解集为M ；命题q 为真命题时，m 的取值集合为N ．当M N M =U 时，求实数m 的取值范围．18．（本题满分15分）给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，称圆C 1：x 2＋y 2＝a 2＋b 2为椭圆C 的“伴随圆”．已知椭圆C 的离心率为32，且经过点(0，1)． （1）求实数a ，b 的值；（2）若过点P (0，m )(m ＞0)的直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且l 被椭圆C 的伴随圆C 1所截得的弦长为22，求实数m 的值．19．（本题满分16分）右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD ，上部是圆弧AB ，该圆弧所在圆的圆心为O ．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH (其中E ，F 在圆弧AB 上，G ，H 在弦AB 上)．过O 作OP AB ，交AB 于M ，交EF 于N ，交圆弧AB 于P ．已知OP ＝10，MP ＝6.5（单位：m ），记通风窗EFGH 的面积为S （单位：m 2）．（1）按下列要求建立函数关系式：(i)设∠POF ＝θ (rad)，将S 表示成θ的函数；(ii)设MN ＝x (m)，将S 表示成x 的函数；（2）试问通风窗的高度MN 为多少时，通风窗EFGH 的面积S 最大？ 20．（本题满分16分）设()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，函数()g x 与()f x 的图象关于y 轴对称，且当(0,1]x ∈时，2()ln g x x ax =-． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若对于区间(]0,1上任意的x ，都有|()|1f x ≥成立，求实数a 的取值范围．E BGANDM CF O HP(第19题图)高三调研测试数学答题纸70分．_______________ 4．____________．_______________ 8．____________ 9． _______________ 10．____________ 11．______________ 12．___________ 13．_______________ 14．_______________二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）16．（本小题满分14分）17. （本小题满分15分）18. （本小题满分15分）19．（本小题满分16分）20．（本小题满分16分）()2nx x+201510高三调研测试数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21.已知二阶矩阵M 属于特征值3的一个特征向量为11e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变成点(9,15)，求出矩阵M.22.如图所示，1111ABCD A B C D -是长方体，已知3AB =，4AD =，12AA =，M 是棱11A D 的中点，求直线AM 与平面11BB D D 所成角的余弦值．23.已知的展开式中前三项的系数成等差数列．（1）求n 的值；（2）求展开式中所有二项式系数的和． （3）求展开式中所有项系数的和．24.某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如下表：结果 奖励 1红1白 10元 1红1黑 5元 2黑 2元 1白1黑不获奖（1）某顾客在一次摸球中获得奖励X 元，求X 的概率分布表与数学期望； （2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．201510高三调研测试数学附加题（答题纸）（满分分，考试时间30分钟）21.（满分10分）22.（满分10分）23.（满分10分）班级姓名学号24.（满分10分）201510高三调研测试数学试题答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1、{}0,2 2、1-i 3、01a << 4、0 5、π 6、137、3- 8、3π 9、 713 10、1 11、22(2)(2)10-+-=x y 12、713、(],0-∞ 14.)916,47(二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解：（1）由|a －b |=2，得|a －b |2=a 2-2a·b +b 2412=+-a·b 4=，∴ a·b 12=．（2）|a +b |2=a 22+a·b +b 2142162=+⨯+=，∴ |a +b |= …14分16、（1）2()sin(2)cos(2)2cos 1212612312f ππππππ=⨯+-⨯++ sin cos 1cos 326πππ=-++ ……………………2分01+1…………6分（1）2()sin(2)cos(2)2cos 63f x x x x ππ=+-++Q sin 2coscos2sin cos2cos sin 2sin 2cos216633x x x x x ππππ=+-+++ ………10分2cos212sin(2)16x x x π++=++，………………………12分∴当sin(2)16x π+=时，max ()213f x =+=，此时，22,62x k ππ+=π+即()6x k k π=π+∈Z ，………………14分17、解： （1）若方程210x mx ++=有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆0042m m解得2m >即命题p :2m >，若方程244(2)10x m x +-+=无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0 解得：1＜m ＜3.即命题q :1＜m ＜3. 由题意知，命题p 、q 应一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真.∴⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>312312m m m m m 或或解得：m ≥3或1＜m ≤2.（2）（2）∵M N M =U ∴N M ⊆ )3,1(),,5(=-=N m m M Θ⎩⎨⎧≥≤-∴315m m ，解得：63≤≤m ．18、解：（1）记椭圆C 的半焦距为c ．由题意，得b ＝1，c a ＝32，c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1． ……………… 4分（2）由（1）知，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，圆C 1的方程为x 2＋y 2＝5．显然直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0．……………… 6分因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1（*） 有且只有一组解． 由（*）得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0．从而△＝(8km )2－4(1＋4k 2)( 4m 2－4)＝0．化简，得m 2＝1＋4k 2．① …………………… 10分因为直线l 被圆x 2＋y 2＝5所截得的弦长为22，所以圆心到直线l 的距离d ＝ 5－2＝3． 即|m |k 2＋1＝3． ② ………………… 14分由①②，解得k 2＝2，m 2＝9．因为m ＞0，所以m ＝3． …………………16分19、解：（1）由题意知，OF ＝OP ＝10，MP ＝6.5，故OM ＝3.5．(i)在Rt△ONF 中，NF ＝OF sin θ＝10sin θ，ON ＝OF cos θ＝10cos θ．在矩形EFGH 中，EF ＝2MF ＝20sin θ，FG ＝ON －OM ＝10cos θ－3.5，故S ＝EF ×FG ＝20sin θ(10cos θ－3.5)＝10sin θ(20cos θ－7)．即所求函数关系是S ＝10sin θ(20cos θ－7)，0＜θ＜θ0，其中cos θ0＝720．………… 4分(ii)因为MN ＝x ，OM ＝3.5，所以ON ＝x ＋3.5．在Rt△ONF 中，NF ＝OF 2－ON 2＝100－(x ＋3.5)2＝3514－7x －x 2．在矩形EFGH 中，EF ＝2NF ＝351－28x －4x 2，FG ＝MN ＝x ，故S ＝EF ×FG ＝x 351－28x －4x 2．即所求函数关系是S ＝x 351－28x －4x 2，0＜x ＜6.5． ………… 8分（2）方法一：选择(i)中的函数模型：令f (θ)＝sin θ(20cos θ－7)，则f ′(θ)＝cos θ(20cos θ－7)＋sin θ(－20sin θ)＝40cos 2θ－7cos θ－20．…………10分由f ′(θ)＝40cos 2θ－7cos θ－20＝0，解得cos θ＝45，或cos θ＝－58． 因为0＜θ＜θ0，所以cos θ＞cos θ0，所以cos θ＝45． 设cos α＝45，且α为锐角， 则当θ∈(0，α)时，f ′(θ)＞0 ，f (θ)是增函数；当θ∈(α，θ0)时，f ′(θ)＜0 ，f (θ)是减函数，所以当θ＝α，即cos θ＝45时，f (θ)取到最大值，此时S 有最大值． 即MN ＝10cos θ－3.5＝4.5m 时，通风窗的面积最大． ………… 16分方法二：选择(ii)中的函数模型：因为S ＝x 2(351－28x －4x 2) ，令f (x )＝x 2(351－28x －4x 2)，则f ′(x )＝－2x (2x －9)(4x ＋39)． ……… 10分因为当0＜x ＜92时 ，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当92＜x ＜132时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以当x ＝92时，f (x )取到最大值，此时S 有最大值． 即MN ＝x ＝4.5m 时，通风窗的面积最大． ………… 16分20、解：（1） ∵ ()g x 的图象与()f x 的图象关于y 轴对称，∴ ()f x 的图象上任意一点(,)P x y 关于y 轴对称的对称点(,)Q x y -在()g x 的图象上． 当[1,0)x ∈-时，(0,1]x -∈，则2()()ln()f x g x x ax =-=--．…2分∵()f x 为[1,1]-上的奇函数，则(0)0f =．…………4分当(0,1]x ∈时，[1,0)x -∈-，2()()ln f x f x x ax =--=-+．……6分∴22ln()(10),()0(0),ln (01).x ax x f x x x ax x ⎧---<⎪==⎨⎪-+<⎩≤≤ ………………7分（1）由已知，1()2f x ax x'=-+． ①若()0f x '≤在(]0,1恒成立，则211202ax a x x-+⇒≤≤． 此时，12a ≤，()f x 在(0,1]上单调递减，min ()(1)f x f a ==， ∴ ()f x 的值域为[,)a +∞与|()|1f x ≥矛盾．……………11分 ②当12a >时，令1()20(0,1]f x ax x x =-+=⇒=，∴ 当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴ 2min 11()ln(2)22f x f a a ==-+=+． 由|()|1f x ≥，得11e ln(2)1222a a +⇒≥≥．……………15分 综上所述，实数a 的取值范围为e 2a ≥． ……………16分。
江苏省扬州中学高三数学10月月考试题(含解析)苏教版
2012-2013学年江苏省扬州中学高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a= ﹣2 ．2．（5分）在复平面内，复数对应的点在第一象限．复数=+i，）3．（5分）已知510°终边经过点P（m，2），则m= ﹣2 ．sin30°=，解得4．（5分）（2008•普陀区二模）已知向量，若，则实数n= 3 ．||•+|=||=•5．（5分）已知等差数列的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8= 72 ．=726．（5分）（2011•上海二模）已知直线m⊥平面α，直线n在平面β内，给出下列四个命题：①α∥β⇒m⊥n；②α⊥β⇒m∥n；③m⊥n⇒α∥β；④m∥n⇒α⊥β，其中真命题的序号是①，④．7．（5分）函数y=x+2cosx在区间上的最大值是．进行求导，研究函数在区间，][]x=故答案为8．（5分）（2013•石景山区一模）在△AB C中，若，则∠C=．：∵b=sinA sinB=sin=∴sinA=，得到∠A＜∠B=，，．故答案为：9．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是．的表达式转化成（）（=1（++≥+2=故答案为：．10．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为 4 ．•x+y x+zx+z•=﹣x11．（5分）函数f（x）=x2+bx在点A（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣1=0，设数列的前n项和为S n，则S2012为．===++…+﹣++…+=12．（5分）设若存在互异的三个实数x1，x2，x3，使f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（3，4）．x=2x=2，且，即13．（5分）已知△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，点O是△ABC的外心，且，则λ+μ= ．，x=，）tan120°=﹣=（）的方程联立方程组，，，，），==故答案为：．14．（5分）数列{a n}满足a1=a∈（0，1]，且a n+1=，若对任意的，总有a n+3=a n成立，则a的值为或1 ．，当，，解得当时，，=，则，解得时，=综上所述，故答案为：或二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（14分）（2009•江苏模拟）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB=﹣cosC，（1）求角A，B，C的大小；（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．，故有，，，的长为．①中，由正弦定理得，即由①②解得16．（15分）（2013•惠州二模）正方体ABCD_A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE；（Ⅲ）求三棱锥A﹣BDE的体积．••AD•AB•EC=••2•2•1=17．（14分）已知数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列，数列{b n}满足2b n=（n+1）a n；（Ⅰ）若a1、a3、a4成等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，求实数a的取值范围．n+=））由题意得：≤﹣≤，18．（15分）某企业拟在2012年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知2012年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用．若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．（1）将2012年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用））由题意：==150%19．（16分）已知函数，a为正常数．（Ⅰ）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调减区间；（Ⅱ）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．（Ⅰ），∵，令）的单调减区间为（Ⅱ）∵，∴+x═对，则）有最大值为，∴，，，则，∴a≥0，综上所述，20．（16分）已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a∈R}．（1）是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28？若存在，求出符合条件的a，若不存在，请说明理由．（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S n，对于任意的n∈N+，均有S n∈A，求a的取值范围．1+2++n=是关于时，满足即的取值范围是三、加试题21．（10分）已知⊙O的方程为（θ为参数），求⊙O上的点到直线（t为参数）的距离的最大值．r=2，d+r=322．（10分）在四棱锥S﹣OABC中，SO⊥平面OABC，底面OABC为正方形，且SO=OA=2，D为BC的中点，=λ，问是否存在λ∈[0，1]使⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．为原点，、、方向为，则，∴∴存在∴，使23．（10分）（2011•朝阳区二模）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）．．…（=24．（10分）已知二项式，其中n∈N，n≥3．（1）若在展开式中，第4项是常数项，求n；（2）设n≤2012，在其展开式，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的n共有多少个？）连续三项的二项式系数分别为、）∵为常数项，=0）连续三项的二项式系数分别为、，代入整理得，，∵44。
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曹甸高级中学2013届高三第二次效益检测 数学试题（普通类） 2012.10.13命题：张爱珍 审核：李兆江 试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上．1、已知集合A={x ∈R ｜3x+2>0﹜，B={x ∈ R ｜(x+1)(x-3)>0﹜则A ∩B = ▲ ．2、设a 、b ∈R ，“a=O ”是“复数a+bi 是纯虚数”的 ▲ ．3、阅读右侧程序框图，该程序输出的结果是 ▲ ．4、用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人．若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为 ▲ 人．5、用3种不同的颜色给右图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是 ▲ ． 6、函数()cos()cos()26f x x x ππ=+⋅+的最小正周期为 ▲ ．7、已知两个非零向量22),2,3(),6,3(,b a b a b a b a --=--=+则与= ▲ ． 8、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若597,7a a ==-． 则下列四个命题中真命题是 ▲ ．(填写序号)⑴57S S < ⑵68S S > ⑶ 45S S = ⑷5768S S S S +=+ 9、在),,(),0(,为实数设中n m AC n AB m AD DB CD ABC +=>=∆λλ则nm 11+的最小值为 ▲ ．10、已知角ϕ的终边经过点()12P -，，函数()()sin f x x ωϕ=+()0ω>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则π12f ⎛⎫⎪⎝⎭= ▲ ． 11、设,m n 为空间的两条直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题： （1）若m ∥α,m ∥β , 则α∥β； （2）若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β; （3）若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； （4）若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ;上述命题中，所有真命题的序号是 ▲ ．12、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ▲ ．13、已知函数()2()x f x x R =∈，且()()()f x g x h x =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为 偶函数．若不等式2()(2)0a g x h x ⋅+≥对任意[1,2]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围 是 ▲ ．14、如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积.若1()(,,)2f M x y =,且18a x y+≥恒成立,则正实数a 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且2sin a b A =. （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围.16、（本小题满分14分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、第14题MCB APAB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知AB AC =，13AA =，2BC CF ==．（1）求证：1//C E 平面ADF ；（2）设点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ？17、（本小题满分15分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：(08)35kp x x =≤≤+，若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （1）求()f x 的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值．18、（本题满分15分） 如图，半径为1圆心角为23π圆弧AB ︵上有一点C ． （1）当C 为圆弧 AB ︵中点时，D 为线段OA 上任一点，求||OD OC +的最小值；（2）当C 在圆弧 AB ︵上运动时，D 、E 分别为线段OA 、OB 的中点，求CE ·DE 的取值范围．19、（本小题满分16分）已知实数0q ≠，数列{}n a 的前n 项和n S ，10a ≠，对于任意正整数m ，n 且m >n ，m n m n m S S q S --=恒成立．（1）证明数列{}n a 是等比数列；（2）若正整数i ，j ，k 成公差为3的等差数列，i S ，j S ，k S 按一定顺序排列成等差数列，AED CB求q 的值．20、（本小题满分16分） 已知函数()ln f x x x =．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线，求切线方程．参考答案1、()+∞,32、必要不充分条件3、7294、7005、326、π7、218、（1）（2）（4） 9、4 10、1010-11、（2）（4） 12、237a π 13、1217-≥a 14、115． 解：（1）6π……7分（2）33(,)22………14分 16、解：（1）连接CE 交AD 于O ，连接OF ． 因为CE ，AD 为△ABC 中线，所以O 为△ABC 的重心，123CF CO CC CE ==． 从而OF//C 1E ．………………………………………………3分 OF ⊂面ADF ，1C E ⊄平面ADF ，所以1//C E 平面ADF ．…………………………………………6分 （2）当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF ． 在直三棱柱111ABC A B C -中，由于1B B ⊥平面ABC ，BB 1⊂平面B 1BCC 1，所以平面B 1BCC 1⊥平面ABC ． 由于AB =AC ，D 是BC 中点，所以AD BC ⊥．又平面B 1BCC 1∩平面ABC =BC ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1．而CM ⊂平面B 1BCC 1，于是AD ⊥CM ．…………………9分因为BM =CD =1，BC = CF =2，所以Rt CBM ∆≌Rt FCD ∆，所以CM ⊥DF ． …11分 DF 与AD 相交，所以CM ⊥平面ADF ．CM ⊂平面CAM ，所以平面CAM ⊥平面ADF ．………………………13分 当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF ．…………………………………14分 17.（Ⅰ）根据题意得100800315kk =∴=⨯+ 3分800()56,0835f x x x x ∴=++≤≤+ 7分 （Ⅱ）800()2(35)580535f x x x =++-≥-+ 11分 当且仅当8002(35)35x x =++即5x =时min ()75f x =． 14分 答：宿舍应建在离厂5km 处可使总费用()f x 最小为75万元． 15分 18．（15分）解：（1）以O 为原点，以OA 为x 轴正方向，建立图示坐标系， 设D （t ，0）（0≤t ≤1），C （2222，-）………………………2′ ∴OD OC +=（2222t ，+-） ∴2||OD OC +=212212++-t t =122+-t t （0≤t ≤1）…5′当22=t 时，最小值为22…………………………7′ （2）设OC =（cos α，sin α）（0≤α≤23π） OC OE CE -==（0，21-）—（cos α，sin α）=（ααsin 21cos ---，）………9′又∵D （021，），E （0，21-） ∴DE =（2121--，）…………………………11′∴CE ·DE =)sin 21(cos 21αα++=41)4sin(22++πα…………13′ ∵4π≤4πα+≤47π…………………………14′∴CE ·DE ∈[22412241+-，]…………………………15′ 19．.解;（1）令m =1， 11n n S a qS --=，11n n S a qS +-=，两式相减得：1(2)n n a qa n +=≥，令n =2， 21a qa =，所以数列{}n a 是等比数列，（2）不妨设,3,6i i i ++，若36,,i i i S S S ++成等比数列，362i i i S S S ++=+，333i i q S q S +=，q =1，若36,,i i i S S S ++成等比数列，362i i i S S S ++=+，360i i q S q S +=，32q =-，， 若36,,i i i S S S ++成等比数列，632i i i S S S ++=+，3360i i q S q S ++=，312q =-，20.（Ⅰ）'()ln 1f x x =+ '()0f x ∴<得ln 1x <- 2分10x e ∴<<∴函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e； 4分 （Ⅱ） 2()6f x x ax ≥-+-即6ln a x x x≤++设6()ln g x x x x =++则2226(3)(2)'()x x x x g x x x+-+-== 7分 当(0,2)x ∈时'()0g x <，函数()g x 单调递减； 当(2,)x ∈+∞时'()0g x >，函数()g x 单调递增；∴()g x 最小值(2)5ln 2g =+∴实数a 的取值范围是(,5ln 2]-∞+； 10分 （Ⅲ）设切点00(,)T x y 则0'()AT k f x =∴00002ln ln 11x x x x e=++即200ln 10e x x ++= 设2()ln 1h x e x x =++，当0x >时'()0h x >∴()h x 是单调递增函数 13分∴()0h x =最多只有一个根，又2222111()ln 10h e e e e =⨯++=∴021x e = 由0'()1f x =-得切线方程是210x y e++=. 16分。