汇交力系
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汇交力系
几何法：
22:10
解析法：
Rx
X F1
1 10
F2
2 2
F3
F4
2 1.848kN 5
Ry
Y F1
3 10
F2
2 2
F4
1 68.678kN 5
R Rx2 Ry2 68.793kN
合力R与x轴的夹角为：
arctan Ry 180 91.54 Rx
Y 0 T2 sin QND 0 ②
由①得
cos
T1 T2
P 2P
1 2
600
由②得
ND Q T2 sin Q 2P sin 600 Q 3P
22:10
P33/2-2用几何法和解析法图示四个力的合力。已知： F1=60kN ， F2=80kN ， F3=50kN ， F4=100kN 。
第二章 汇交力系
福建农林大学交通学院
22:10
第二章 汇交力系
前章回顾 §2-1 几何法 平衡条件 §2-2 解析法 平衡方程
22:10
前章回顾
1、力、刚体、平衡、约束等概念 2、力学公理 3、约束及约束力 4、受力分析及受力图
22:10
力系分类
力系分类
平面 空间
汇交力系 平行力系 力偶系 任意力系
F
注：力沿轴分解后得到 x 的是分力（矢量）。
一个力在没有限制的情况下，可以分解为无数组力。 只有在正交坐标系下，分力的大小才等于投影。
22:10
二、合力投影定理(重点)
合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影 的代数和。
22:10
解析法：
Rx
X F1
1 10
F2
2 2
F3
F4
2 1.848kN 5
Ry
Y F1
3 10
F2
2 2
F4
1 68.678kN 5
R Rx2 Ry2 68.793kN
合力R与x轴的夹角为：
arctan Ry 180 91.54 Rx
Y 0 T2 sin QND 0 ②
由①得
cos
T1 T2
P 2P
1 2
600
由②得
ND Q T2 sin Q 2P sin 600 Q 3P
22:10
P33/2-2用几何法和解析法图示四个力的合力。已知： F1=60kN ， F2=80kN ， F3=50kN ， F4=100kN 。
第二章 汇交力系
福建农林大学交通学院
22:10
第二章 汇交力系
前章回顾 §2-1 几何法 平衡条件 §2-2 解析法 平衡方程
22:10
前章回顾
1、力、刚体、平衡、约束等概念 2、力学公理 3、约束及约束力 4、受力分析及受力图
22:10
力系分类
力系分类
平面 空间
汇交力系 平行力系 力偶系 任意力系
F
注：力沿轴分解后得到 x 的是分力（矢量）。
一个力在没有限制的情况下，可以分解为无数组力。 只有在正交坐标系下，分力的大小才等于投影。
22:10
二、合力投影定理(重点)
合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影 的代数和。
汇交力系
§ 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例题2-2. 如图所示的平面刚架ABCD,自重不计.在
B点作用一水平力 P ,设P = 20kN.求支座A和D的约
束反力。
B P
2m
C
A
4m
D
8
§ 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
解： ①平面钢架ABCD为研究对象 P
②画受力图 ③列平衡方程 B RA C
5
§ 2-3 平面汇交力系合成与平衡的几何法
[例2－1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm 的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障 碍物的压力。 解： ①选碾子为研究对象 ②几何法
F Ptga
NB P cos a
r 2 (r h) 2 tga 0.577 r h
2m
A
D
4m
Fix = 0 P +RA cos = 0 Fiy = 0 RA sin +RD = 0
④求解方程
RD
RD
C P
RA = - 22.36 kN RD =10 kN
RA
9
§ 2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法 求SCD , RA
[例2－3] 已知 P=2kN
解： ①研究AB杆 ②画出受力图
2
§ 2-1
力在空间直角坐标轴上的投影
Rx X 1 X 2 X 4 X
二、合力投影定理
Ry Y1 Y2 Y3 Y4 Y
简写为：
Rx X
Ry Y
结论：平面汇交力系合力在任一轴上的投影，等于
各分力在同一轴上投影的代数和。
平面汇交力系的例子
平面汇交力系的例子
1. 哎呀，想想拔河比赛呀！两队人在那拼命拉绳子，这可不就是平面汇交力系的典型例子嘛！大家都使着劲，力量在绳子上汇聚，谁能赢不就看哪边的力更大嘛！
2. 建筑工地上的起重机吊东西，那也是平面汇交力系啊！起重臂上的各种力都往一个点上作用，这多明显呀！
3. 你看咱平时推桌子，是不是几个方向都可能发力，这些力在桌子上不就形成了平面汇交力系嘛！
4. 还记得小时候玩的跷跷板吗？两边人一上一下，那其实就是两边的力在跷跷板这个平面上交会呀，这就是个有趣的平面汇交力系例子呀！
5. 抬重物的时候，几个人一起用力抬，这些力可不就在重物所在的平面上汇交啦，这不是随处可见的平面汇交力系嘛！
6. 开帆船的时候，风的力和船员拉帆的力，不都作用在帆上嘛，这不就是平面汇交力系在起作用嘛，多神奇！
7. 公园里的旋转木马，它的转动也是因为各种力在平面上交汇呀，你说是不是很有意思呢？
8. 大家一起拉一辆车，每个人使的力都不一样，但都作用在车身上，这就是平面汇交力系的体现呀！
结论：平面汇交力系在我们生活中无处不在呀，只要留意就能发现很多这样的例子呢！。
汇交力系
A
24
P
解：研究对象：ABD
P
C
O
B
E
6
A
P
J
I
FD
D
(a)
K
O
B
FB
FB
(c)
FD
D
(b)
求出
值
10
（4）由几何关系得： OE EA 24 cm
A
24
P
A
P
DE tg 0.25 OE
C O B D
(a)
O
B
FB
E
6
arctg 0.25 142'
FD
D
(b)
由力三角形可得：F sin 180 P B
sin
P
J
I
FD
K
（5） 代入数据求得： FB=750 N。
FB
(c)
11
2-3 力的投影
1.力在轴上的投影 2.力在直角坐标轴上的投影
3.力的解析表达式
12
1.力在轴上的投影
Fx F cos
力F与轴的正向的夹角。
2 2 x y z
2
0
Fx 0 Fy 0 Fz 0
空间汇交 力系平 衡方程
力系中所有各力 在直角坐标系 各个轴上投影 的代数和都等 于零。
27
F F F
0 y 0 z 0
x
空间汇交力系平衡方程
F F
x
F
Fx
x
力在任一轴上的投影
规定：投影的指向与轴的正向相同时为正值，反之为负。
24
P
解：研究对象：ABD
P
C
O
B
E
6
A
P
J
I
FD
D
(a)
K
O
B
FB
FB
(c)
FD
D
(b)
求出
值
10
（4）由几何关系得： OE EA 24 cm
A
24
P
A
P
DE tg 0.25 OE
C O B D
(a)
O
B
FB
E
6
arctg 0.25 142'
FD
D
(b)
由力三角形可得：F sin 180 P B
sin
P
J
I
FD
K
（5） 代入数据求得： FB=750 N。
FB
(c)
11
2-3 力的投影
1.力在轴上的投影 2.力在直角坐标轴上的投影
3.力的解析表达式
12
1.力在轴上的投影
Fx F cos
力F与轴的正向的夹角。
2 2 x y z
2
0
Fx 0 Fy 0 Fz 0
空间汇交 力系平 衡方程
力系中所有各力 在直角坐标系 各个轴上投影 的代数和都等 于零。
27
F F F
0 y 0 z 0
x
空间汇交力系平衡方程
F F
x
F
Fx
x
力在任一轴上的投影
规定：投影的指向与轴的正向相同时为正值，反之为负。
汇交力系
合力FR 的方向
F cos
FR
3.6o
x
arccos
8.33 0.998 8.345
小结： ①中间计算数据可不必写单位（N） ②但各力的单位要统一，不要N与kN混用 ③最后结果要写单位
15
§2-2
一、力的分解
汇交力系合成与平衡的解析法
二、力在坐标轴上的投影
三、合力投影定理及其应用
解题步骤：①选研究对象；②作出受力图； ③作力多边形，选择适当的比例尺； ④求出未知数 解题不足： ①精度不够，误差大 ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函数关系。
7
§2-2
一、力的分解
汇交力系合成与平衡的解析法
将一个已知力分解为两个分力的过程，称为力的分 二、力在坐标轴上的投影
1 2
解。工程中用两个垂直正交的分力来代替合力，如下 图所示： 投影：用灯光照射一根直杆，投射在墙壁上影子的长 力是矢量，大小用数值表示（F =10N、F =15N），方 短来说明投影的概念 向用力作用线和某基准线的夹角α表示
杆长l，光线水平，杆墙平行, 一般x轴水平向右为正 投影长为l；垂直,影长0；杆和 向，y轴铅直向上为正 墙夹角α,投影长度等于 直角坐标轴？ l· 向，两轴垂直，称为 cosα。即：杆在墙上投影的 直角坐标轴 长度由杆的两端向墙壁引垂线 ，两垂足之间的距离就是投影 力在直角坐标轴上的投影，就象铅直光线作用下,杆件在 的长度 8 地面的投影，在水平光线下, 杆在墙壁的投影
§2-2
一、力的分解
汇交力系合成与平衡的解析法
二、力在坐标轴上的投影
投影正负规定： 若已知力和x轴的夹角为 从力矢量起点投影足a2到 α，则Fx=±F· cosα； 端点投影足b2方向和y坐标轴 Fy=±F· sinα，不能死记 同向，投影值为正， 硬背，不要画垂线 反之，从力矢量起点投影 足a1到端点投影足b1方向和x 可假想两分力和坐标轴平行，同 ±？已知和某轴夹角α，在该轴投影 坐标轴反向，投影值为负 ×cosα，在另一轴投影 向+反向- (例力y同向、x反向) ×sinα(若与y轴夹角b,投影？) 所以，上图力F在x、y轴的投影 Fx=-F·cosα，Fy=+F·sinα
汇交力系
3
汇交力系的合成 几何法（矢量法） 一、几何法（矢量法）
为作用在A点的力系 点的力系， 设 { F1 , F2 , F3 } 为作用在 点的力系，求其合力
F3
A
F2 F1
F F R
F3
F2
R12
F R
F1
F3
F2
多 边
F1
FR 12 = F1 + F2
FR = FR 12 + F3
FR = F1 + F2 + F3
x
FRz = ∑ Fz
y
8
平 面 力 系
FRx = FRy =
∑ ∑
Fx = 0 Fy = 0
X Y轴可以不正交，也不一 轴可以不正交，
定取水平和铅直方向
Y 9N 10N 9N F 10N X X Y轴不正交时分力方向？ 轴不正交时分力方向？ Ｙ Ｆ Ｘ
9
如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 例：如图所示，重物 ， 钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上 铰接， 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车 上。杆AB与BC铰接，并 与 铰接 以铰链A、 与墙连接 如两杆和滑轮的自重不计， 与墙连接。 以铰链 、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和 所受的力 所受的力。 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆 和BC所受的力。
z
z
D
F3
ϕ
C
θ
C
ϕ
θ
F2
y
y B
A
F 1
B P
A 空 间 力 系
x
x
∑F ∑F ∑F
P
y
x
z
= 0 = 0 = 0
汇交力系的合成 几何法（矢量法） 一、几何法（矢量法）
为作用在A点的力系 点的力系， 设 { F1 , F2 , F3 } 为作用在 点的力系，求其合力
F3
A
F2 F1
F F R
F3
F2
R12
F R
F1
F3
F2
多 边
F1
FR 12 = F1 + F2
FR = FR 12 + F3
FR = F1 + F2 + F3
x
FRz = ∑ Fz
y
8
平 面 力 系
FRx = FRy =
∑ ∑
Fx = 0 Fy = 0
X Y轴可以不正交，也不一 轴可以不正交，
定取水平和铅直方向
Y 9N 10N 9N F 10N X X Y轴不正交时分力方向？ 轴不正交时分力方向？ Ｙ Ｆ Ｘ
9
如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 例：如图所示，重物 ， 钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上 铰接， 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车 上。杆AB与BC铰接，并 与 铰接 以铰链A、 与墙连接 如两杆和滑轮的自重不计， 与墙连接。 以铰链 、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和 所受的力 所受的力。 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆 和BC所受的力。
z
z
D
F3
ϕ
C
θ
C
ϕ
θ
F2
y
y B
A
F 1
B P
A 空 间 力 系
x
x
∑F ∑F ∑F
P
y
x
z
= 0 = 0 = 0
3-平面力系-汇交力系
解：(1) 取铰A为研究对象，画受力图。
B
两杆为二力杆。AB杆的约束力FAB（设为拉力）
及AC杆的约束力FAC（设为拉力）.
y
A 600
（2）列出平衡方程： ∑Fx= 0
。FAB 30
A
450
－FAB cos30o －FACcos45o =0
。
x
45
∑Fy= 0
FAC
－G+FAB sin30o －FACsin45o =0
2 70.7N 2
F3x = 0
F4x F4 100N
14
§2-1 平面汇交力系 2.力的解析表达式 F Fx Fy Fx 和 Fy：力 F 的两个正交分力 Fx Fxi Fy Fy j Fx 和 Fy：力 F 在 x 和 y 轴上的投影 力的解析表达式： F Fxi Fy j
例题2-1. 三个力作用在铁环上，其力的作用线均过铁环圆心点O，
已知三力的大小分别为F1=130N， F2=100N， F3=80N 。试确定这三个 力的合力FR。
方法一，图解法:
按一定比例，沿各自的方 向将F1、 F2、 F3首尾相接
在∆abc中由余弦定理可得： FR1 F12 F22 2F1F2 cos120 199.75N
试求支座 A 和 D 处的约束力。 F
B
C
解：方法一
（1）取钢架为研究对象，作受力图。
a
arctan a 26.6
D
2a
A
（2）建立坐标系 （3）列出平衡方程：
2a
y
∑Fx= 0, F+FA cos26.6o =0
F
B
C
∑Fy= 0, FD +FAsin26.6o =0
汇交力系知识点总结
汇交力系知识点总结汇交力系是力学中一个重要的概念，涉及到物体上受力的平衡和计算问题。
它是描述平面和空间系统受力及其平衡条件的一种重要分析方法。
因此，对于学习力学的学生来说，掌握汇交力系的知识是非常重要的。
本文将从汇交力系的基本概念、受力分析、平衡条件等方面进行总结。
一、汇交力系的基本概念1. 汇交力系的定义汇交力系是指平面或空间内多个力相互作用而合成的力系统。
在空间内，若一个点上受作用的力不在同一直线和不在同一平面内，则这些力就构成一个力系，称为力系的汇交力系。
2. 汇交力系的特点（1）受力物体上所有的力均为非共线的；（2）受力物体上所有的力均不在同一个平面上；（3）受力物体上的力矩矢量之和不等于零。
3. 汇交力系的分类汇交力系按照受力物体的数量和受力矢量的特性，可以分为平面汇交力系和空间汇交力系。
其中，平面汇交力系是指受力物体在同一个平面内，受力矢量不共线的受力系统；空间汇交力系是指受力物体在不同平面内，受力矢量不共线的受力系统。
二、汇交力系的受力分析1. 受力物体的外力和内力在力学中，受力物体的受力可以分为外力和内力两种。
外力是指作用在物体上的外部力，它可以分为重力、弹簧力、支持力等；内力是指作用在物体内部的力，如弹性力、接触力等。
2. 受力物体的平衡条件对于汇交力系，要求受力物体处于平衡状态，即受力物体上的合力和合力矩等于零。
平衡条件可以分为平衡条件方程和平衡条件方程组两种形式，其中平衡条件方程是指在平面力系中，受力物体上的合力等于零；平衡条件方程组是指在空间力系中，受力物体上的合力和合力矩等于零。
3. 汇交力系的受力分析方法受力分析是对受力物体上的力进行全面的分析，包括力的大小、方向和作用点等。
在汇交力系中，可以采用空间向量法、三角形法、多边形法等方法进行受力分析，以求得受力物体的平衡条件。
三、平面汇交力系统的分析1. 平面汇交力系的平衡条件在平面汇交力系中，受力物体上的合力必须等于零，合力矩也必须等于零。
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② 取分离体画受力图； ∵ 当碾子刚离地面时NA=0，拉力F最大，这 时拉力F、自重及支反力NB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件知，力多边形封闭。
F P tg
又由几何关系： 所以
2016/11/28
NB P cos
r 2 (r h) 2 tg 0.577 r h F=11.5kN , NB=23.1kN
解： 1. 杆 BC 的受力图。 2. 杆 AB 的受力图。
FB
B
FB
B D
B B
E
F
C
D
F
A C
FAy
FC
2016/11/28
A
FAx
13
汇交力系
解：
2. 杆 AB 的受力图。 表示法二 FB
B D H D B B E
表示法一 FB
B
F
A C
F
FAy
A
D
F
A
FAx
2016/11/28
FA
14
[例] 平面刚架ABCD在B点作用一水平力F，如图所示。已知F
根据合力投影定理，得合力在轴x，y上的投影分别为： 解析法：
Rx X i 0 F2 cos 450 F3 cos300
i 1 3
141.4 260 118.（ 6 N）
y
O
45
Ry Yi F1 F2 sin 450 F3 sin 300
i 1
2016/11/28
x
27
R
例题
A 30° 30° C
B
利用铰车绕过定滑轮 B 的绳子 吊起一货物重 P= 20 kN， 滑
轮由两端铰接的水平刚杆 AB
和斜刚杆 BC 支持于点 B 。 不 P 计铰车的自重，试求杆 AB 和
a
BC所受的力。
2016/11/28
28
例题
解： 1. 重物的受力如图。 2.如不计各构件自重. AB及BC 两杆为
C连线，构成一平面汇交力系。
2016/11/28 15
(3) 选取适当比例尺，自a点起先作已知力F，再作自行封闭
的力三角形 abc ，按力矢顺序同一转向确定 FA 的指向，如图 c) 所示。 (4) 求解未知量。因为力三角形abc与三角形ADC相似，故
F FD FA AD DC CA
其中，AD＝8m，DC＝4m，CA＝ 82 42 4 5 m，因此计算得
DC CA FD F 10 kN，FA F 22.4 kN AD AD 1 o tan ， 26.57 2
2016/11/28 16
[例] 已知压路机碾子重P=20kN，r=60cm， 欲拉过h=8cm
的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物 的压力。 解： ① 选碾子为研究对象；
1
F1 O
R F2
R F1
F2 b F1
c F3 d F12 F4 F123 R O e
F2 b F1
c F3 d F4 e R O
F2
2016/11/28
7
一.汇交力系合成的几何法
F2 F1 O F3 F4
F1
O
F2
F3 F4
F2 b F1
c F3 d F4 e R O O R
各力首尾相接组成力链,从力链 起点指向终点的的矢量为汇交力系 的合力.
3
F1
30
合力矢： R 118.6i 141.4 j (N) 或——合力的大小和方向：
2 2
150 141.4 150 141.（ 4 N）
x
F2 y
O
50
F3
R Rx Ry 118.62 (141.4) 2 184.6(N)
141.4 arctan arctan 500 Rx 118.6 Ry
2016/11/28 18
2 汇交力系合成的解析法
z Fz Fx
O
z’
★力的解析表示法
F
Fy y z
Z X
F Fx Fy Fz
y
’
k i
力 F 的解析形式:
z’
x' j
x
F X i Y j Zk
其中X、Y、Z称为力F在三 个坐标轴x、y、z上的投影
2016/11/28
γ
2016/11/28 23
2 汇交力系合成的解析法
三.汇交力系平衡的解析条件
Rx X 0 Ry Y 0 Rz Z 0
各分力在三个坐标轴上投影的代数和 都等于零。
24
2016/11/28
例题
求如图所示平面共点力系的合力。其中： y F1=150N，F2=200N，F3=300N。 解： 几何法
F1 150 j F2 200cos 45i 200sin 45 j F3 300cos30i 300sin 30 j
F1
30
x
合力的解析表示
3 R Fi 118.6i 141.4 j ( N)
i 1
F2 y
O
50
F3
x
26
R
2016/11/28
以及滑轮B的受力图。
2016/11/28
2
习题回顾
T1
A
物体的受力分析
B
解： 1. 重物的受力图。 2.杆AB的受力图。 3.杆BC 的受力图。
B
如不计各构件自重. AB及AC G 两杆为二力杆, 假设都受压力。
A 30° 30° C B
C
4. 滑轮B ( 不带 5. 滑轮B ( 带销 销钉）的受力图。 钉）的受力图。
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物 17 的压力等于23.1kN 。
几何法解题步骤： ① 选研究对象；
② 作出受力图；
③ 作力多边形，选择适当的比例尺； ④ 求出未知数。 几何法解题不足： ① 精度不够，误差大 ② 作图要求精度高； ③ 不能表达各个量之间的函数关系。
简便、准确 ------------- 解析法
2016/11/28 9
3、结论： 汇交力系的合力： ① 一个通过汇交点的合力 ② 大小和方向可用力的多边形法则得到 ③ 合力为力多边形的封闭边。 矢量的表达式 FR F1 F2 Fn
F
i 1
n
i
二、汇交力系平衡的几何条件
∵汇交力系的合成结果是一个合力∴汇交力系平衡的条件为：合力 = 0 即：
FR Fi 0
i 1
n
根据汇交力系合成的多边形法则，汇交力系平衡的充分必要几何条件：
力的多边形自行封闭
（即：力的多边形的未端和始端正好重合）
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比较右边两个力 多边形
F1
A
B
F2
C
F3
D
F1
A
B
F2
C
F3
D
F5
E
F4
F5
E
F4
例题 ：水平梁AB 中点C 作用着力F，其大小等于20 kN，方向与梁的轴 线成60º 角，支承情况如图所示，试求固定铰链支座A 和活动铰链支座B 的反
第二章 力系的简化 2.1 汇交力系
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习题回顾
物体的受力分析
如图所示，重物重为 G , 用钢
B
A
30°
30° C
丝绳挂在支架的滑轮 B 上，钢丝绳 的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC 铰接，并以铰链A，C与墙连接。如 两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦
G
a
和滑轮的大小，试画出杆 AB 和 BC
的该力指向和实际指向相反。
所以， AB杆受拉力，BC杆受压力.
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例题
气动夹具简图所示。气缸固定
F
在工作台上，设活塞受到向下的总
2．力的解析表示法
z Fz Fx
O
z’
F
Fy y y
’
F Fx Fy Fz
力 F 的解析形式:
z
Z
k i
x' j
x
z’
γ
F X i Y j Zk
O
X
F β
Y
y
’
x'
y
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x
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二．汇交力系合成的 解析法
分力的解析式： Fi X i i Yi j Zi k 合力用分力表示的解析式为：
x'
y
θ
二次投影法
x
X Fx F cos Y Fy F cos Z Fz F cos
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X Fx F sin cos Y Fy F sin sin Z Fz F cos
21
11
二.
2
汇交力系平衡的几何法
三力平衡汇交定理
若刚体受三力而平衡，且其中有两个力相交， 则三力必组成共面汇交力系，且三力构成封闭 三角形。
F2
O
F1
F3 F1
F3
F2
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习题
物体的受力分析
等腰三角形构架 ABC 的顶点 A，B，C 都用铰链连接，底 边AC固定，而AB 边的中点D 作用有平行于固定边AC 的力F， 如图所示。不计各杆自重，试画出杆AB 和BC 的受力图。
力。梁的自重不计。
F