优化方法与应用(十一)

横截条件：
状态调节器问题归结为：
= x (t ) Ax (t ) − F λ T −[Qx + A λ ] λ = (t0 ) = x0 x λ (t f ) = Sx f F = BR −1 BT
A −F x x = T λ −Q − A λ
最优状态调节器的一般理论
结论：
* −1 T 1 . u (t ) = − R B K (t ) x (t ) T −1 T = − + + ( ) [ ] K t KA A K KBR B K −Q 2. K (t f ) = S −1 T = − ( ) [ ] (t ) x t A BR B K x 3. = ( ) x t x 0 0
控制方程：
∂H 13; B λ = 0 = ∂u 2 2 T T R = R ⇒ Ru + B λ = 0 −1 T ⇒u = −R B λ
共态方程：
1 1 T ∂H T − ⇒λ = −[ Qx + Q x ] − A λ λ= 2 2 ∂x QT = Q T ⇒λ = −[Qx + A λ ]
优化方法与应用（十一）
本节内容: 讨论线性控制系统，性能指标 为二次型的最优控制问题（LQP问 题）。
二次型性能指标
——性能指标的表达式: 对于一个线性系统：
x (t ) A(t ) x (t ) + B(t )u (t ) = y (t ) = C (t ) x (t ) An×n ——系统矩阵 Bn×l ——控制矩阵 Cm×n ——输出矩阵
——性能指标的几种特殊类型: 1.状态调节器
= Z (t ) 0, = C (t ) I ⇒ y (t ) = x(t ), e (t ) = − y (t ) 1T = J [ x (t )] x f Sx f + 2 1 t f T T + ∫ ( x (t )Q(t ) x (t ) + u (t ) R(t )u (t ))d t 2 t0
Sm×m
——实对称、非负定、常数矩阵
Qm×m ——实对称、非负定矩阵 Rl×l ——实对称、正定矩阵 T e f Se f ——终端偏差 T e Qe ——过程中的偏差 T u Ru ——过程中的能耗
——实对称 S T = S
T n ——非负定 ∀x ∈ R ，x ≠ 0 ⇒ x Sx ≥ 0 T n ∀x ∈ R ，x ≠ 0 ⇒ x Sx > 0 ——正定
——性能指标的几种特殊类型: 2.输出调节器
Z (t ) = 0 ⇒ e (t ) = − y (t ) 1T = J [ x (t )] y f Sy f + 2 1 t f T T + ∫ [ y (t )Q(t ) y (t ) + u (t ) R(t )u (t )]d t 2 t0
最优状态调节器的一般理论
问题1：
= x (t ) Ax (t ) + Bu (t ) x (t0 ) = x0 1 T = J [ x (t )] x f Sx f + 2 1 t f T + ∫ ( x (t )Q (t ) x (t ) + u T (t ) R (t )u (t ))d t 2 t0
u (t ) ∈ R l y (t ) ∈ R m x (t ) ∈ R n
Z (t ) e (t ) e = (t )
——预期输出 ——输出偏差 Z (t ) − y (t )
性能指标的表达式：
1T = J [ x (t )] e f Se f + 2 1 t f T T + ∫ [e (t )Q(t )e (t ) + u (t ) R(t )u (t )]d t 2 t0

黎卡提方程：
−1 T T [ ] K KA A K KBR B K −Q + = − + K (t f ) = S T = K −[ AT K T + K T A] + K T B ( R −1 )T BT K T − QT
K T (t f ) = S T , S T S= , QT Q RT R = = T T T T T T −1 T [ ] K K A A K K BR B K = − + + −Q T T ( ) K t S = f ⇒ KT = K
设： λ (t ) = Kx (t ) (t ) ∴ λ (t ) = Kx (t ) + Kx −1 T = x (t ) Ax (t ) − BR B λ T λ= −[Qx + A λ ] T −1 T 0 ⇒ [ K + KA + A K − KBR B K + Q]x = + KA + AT K − KBR −1 BT K + Q = 0 ∴K λ (t f ) = K (t f ) x (t f ) λ (t f ) = Sx f S ⇒ K (t f ) =
——性能指标的几种特殊类型: 3.跟踪问题
Z (t )给定已知函数 (t ) Z (t ) − y (t ) e = 1T = J [ x (t )] e f Se f + 2 1 t f T T + ∫ [e (t )Q(t )e (t ) + u (t ) R(t )u (t )]d t 2 t0
作业(八)：
1. = J [ x(t )] ax + u = x x(t0 ) = x0 q > 0, r > 0 求 : u * (t ), x* (t )
1 2
∫
∞
0
(qx 2 + ru 2 )dt
系统完全可控
最优状态调节器的一般理论
结论：
* −1 T 1 . u (t ) = − R B Kx (t ) 2. 3. 0 − [ KA + AT K ] + KBR −1 BT K − Q = −1 T ) [ A − BR B K ] x (t ) x (t= x (t0 ) = x0
状态方程：
= x (t ) Ax (t ) + Bu (t ) −1 T u = −R B λ − 1 T (t ) = Ax (t ) − BR B λ ⇒x
∂Φ λ (t f ) = ∂x f 1T Φ (t f , x f ) = x f Sx f 2 ⇒ λ (t f ) = Sx f
1 1 (aij + a ji )), C= (cij = (aij − a ji )), 2 2 ∴A= −C B + C , BT = B, C T = T T T T x Ax = x ( B + C ) x = x Bx + x Cx T T T T T T x Cx = ( x Cx ) = x C x = − x Cx ∴ x T Cx = 0 T T x Ax = x Bx ∀A= (aij ), let.B= (bij =
最优状态调节器的一般理论
问题2：
= x (t ) Ax (t ) + Bu (t ) x (t0 ) = x0 1 ∞ T T = J [ x (t )] ( x Qx + u Ru )dt ∫ 2 0 u (t ) ∈ R l , A, B, Q, R 为定常矩阵
【例】已知：
1 2 1 tf 2 J [ x(t )] = cx f + ∫ u dt，c > 0 2 2 t0 (t ) = u (t ) x x(t0 ) = x0 , t f 已知
求 u* (t ), x* (t ) 解： = A 0, = B 1, = Q 0, = R 1, = S c
(t ) = K −[ KA + AT K ] + KBR −1 BT K − Q = ⇒K t ) c (t ) K 2 , K (=
f
c ⇒K= c(t f − t ) + 1
u = − R −1 BT Kx =u x c u = − c(t − t ) + 1 x ⇒ f x b[c(t f − t ) + 1] = x(t0 ) = x0 x0 ⇒b= c (t f − t0 ) + 1 x0 [c (t f − t ) + 1] cx0 ∴x = − ,u = c (t f − t0 ) + 1 c (t f − t0 ) + 1
∂H ∂x 1 ∂H = ∂x ∂H ∂x n
∂ T ( x Qy ) ∂xi = Qy ∂ T ( y Qx ) ∂xi = QT y
分析：
H= 1 T T ( x Qx + u Ru ) + 2 T T + λ Ax + λ Bu
转移矩阵：
Ω11 Ω12 Ω(t , t0 ) = Ω Ω 22 21 ( ) x t f Ω11 (t f , t ) Ω12 (t f , t ) x (t ) = λ (t ) Ω 21 (t f , t ) Ω 22 (t f , t ) λ (t ) f λ (t f ) = Sx f −1 λ (t ) = [Ω 22 − S Ω12 ] [ S Ω11 − Ω 21 ]x (t )