清华大学最优化方法
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最优化方法课件 (1)
的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求 宇宙的和谐规律性。 – 17世纪出现了笛卡尔、牛顿、莱布尼兹等数学家，奠定了微积分 的基础，其研究的对象包括行星运动、流体运动、机械运动、植 物生长等均属于数学建模的范畴； – 19世纪后期，数学成为了研究数与形、运动与变化的学问； – 可以说，数学是模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数 学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
10
2 数学建摸的基本概念与分类
1. 数学模型与数学建模 2. 数学模型的分类 3. 数学模型的应用领域 4. 数学建模举例 5. 数学建模的过程
11
数学建模与数学模型
• 模型概念
– 把对象实体通过适当的过滤,用适当的表现规则描绘出的简 洁的模仿品.通过这个模仿品,人们可以了解到所研究实体的 本质,而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。
3
Introduction to Mathematic Modeling and Optimization
4
数学家名人录
5
Introduction: Concept, History, Progress and Class of Mathematic Modeling and Optimization
6
Contents
1. 引言:数学建模与最优化的背景
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
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2 数学建摸的基本概念与分类
1. 数学模型与数学建模 2. 数学模型的分类 3. 数学模型的应用领域 4. 数学建模举例 5. 数学建模的过程
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数学建模与数学模型
• 模型概念
– 把对象实体通过适当的过滤,用适当的表现规则描绘出的简 洁的模仿品.通过这个模仿品,人们可以了解到所研究实体的 本质,而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。
3
Introduction to Mathematic Modeling and Optimization
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数学家名人录
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Introduction: Concept, History, Progress and Class of Mathematic Modeling and Optimization
6
Contents
1. 引言:数学建模与最优化的背景
最优化计算方法(工程优化)第1章
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个简单的实 例。
例1：把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。
问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
优化模型的分类
根据问题的不同特点分类
一般的约束优化问题
标准形式
min
xRn
f
x
s.t. gi x 0, i 1, 2, , m
1） gi x 0 -gi x 0
2）
hi
x
0
hi x 0
-hi
x
0
优化模型的分类
根据函数类型分类
线性规划：目标函数、约束条件都是线性的 非线性规划：目标函数、约束条件中的函数不全是线性
yi
a1
1
a3
ln 1
a2 exp
xi
a4 a5
最优化问题举例
例3已：知有从一v旅i 到行团v j从的v旅0费出为发要cij遍，游问城应市如何v1安, v排2 行,..程.,使vn总 ，
费用最小？
模型：
变量—是否从i第个城市到第j个城市
xij 1, 0;
约束—每个城市只能到达一次、离开一次
因此，我们在学习本课程时要尽可能了解如何 由实际问题形成最优化的数学模型。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
最优化问题的数学模型与分类
数学模型的建立
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描 述所研究的系统。
过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情 况；而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。
最优化方法孙文瑜课后答案
最优化方法孙文瑜课后答案【篇一：81010218《最优化算法》教学大纲】xt>课程编号: 81010218课程名称：最优化算法英文名称：optimization algorithm 总学时：32 学分：2适用对象: 信息与计算科学本科专业先修课程：数学分析（1-3），高等代数（1-2），运筹学一、课程性质、目的和任务《最优化算法》课程是信息与计算科学专业的一门主要专业选修课。
本课程的目的是使学生理解最优化理论与方法的基本概念，掌握最优化的基本理论和常见的优化算法，为学习后继课程和解决实际问题打下扎实的基础，培养学生用数学知识解决实际问题的兴趣、意识，以及分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容、方法及基本要求1．非线性规划基本概念教学内容：多元函数极值理论。
基本要求：理解非线性规划问题概念，一般形式，最优解的情况。
理解梯度、海赛矩阵等概念，掌握极值点的必要条件，充分条件。
理解凸函数概念，掌握凸函数的判定条件和方法。
理解凸规划概念。
2. 一维搜索教学内容：一维搜索。
基本要求：掌握求解非线性规划问题搜索法的基本思想。
掌握一维搜索的斐波那契方法和0.618法。
3．求解无约束非线性规划问题的解析法教学内容：梯度法，广义牛顿法，共轭梯度法，变度量法。
基本要求：理解梯度法，广义牛顿法，共轭梯度法，变度量法的基本思想，掌握四种方法的迭代步骤，了解四种方法的收敛定理。
4. 求解无约束非线性规划问题的直接法教学内容：步长加速法，方向加速法，单纯形法。
基本要求：理解步长加速法，方向加速法，单纯形法的基本思想，掌握三种方法的迭代步骤，了解三种方法的收敛准则。
了解解析法与直接法的优缺点。
5. 求解约束非线性规划问题的逐步线性逼近法教学内容：逐步线性逼近法。
基本要求：理解约束非线性规划问题一般模型。
理解逐步线性逼近法基本思想，掌握逐步线性逼近法的求解步骤。
6. 求解约束非线性规划问题的拉格朗日乘子法教学内容：拉格朗日乘子法。
最优化方法绪论
实例: 网络G(V,E) 及一组m 个数的集合{s,d>0}，表示 连接源点 s与汇点d 之间的流量 解: {s,d>0}的一组路由, 即G(V,E) 中m 条s 与 d间的路, 表示连接s与d 的负载流量的路径。 目标:极小化网络负载
用F 表示由s到d的流经过边 (vi , v j )的流量。
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解优化方法及其数学原理. 学习运用应用数学软件计算优化问题.
最终成绩 = （考勤+作业） 30% + 期末 70% （也许增加应用优化软件解决问题的要求）
使用教材：
最优化方法 何坚勇
参考书 ：
最优化理论与算法 陈宝林
清华大学出版社 1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 最优化算法 算法设计技巧
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms Mokhtar S. Bazaraa, C. M. Shetty John Wiley & Sons, Inc. 1979 (2nd Edit, 1993，3nd Edit，2006) Linear and Nonlinear Programming David G. Luenberger Addison-Wesley Publishing Company, 2nd Edition, 1984/2003.. Convex Analysis R. T. Rockafellar Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, 1996. Optimization and Nonsmooth Analysis Frank H. Clarke SIAM, 1990.
用F 表示由s到d的流经过边 (vi , v j )的流量。
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解优化方法及其数学原理. 学习运用应用数学软件计算优化问题.
最终成绩 = （考勤+作业） 30% + 期末 70% （也许增加应用优化软件解决问题的要求）
使用教材：
最优化方法 何坚勇
参考书 ：
最优化理论与算法 陈宝林
清华大学出版社 1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 最优化算法 算法设计技巧
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms Mokhtar S. Bazaraa, C. M. Shetty John Wiley & Sons, Inc. 1979 (2nd Edit, 1993，3nd Edit，2006) Linear and Nonlinear Programming David G. Luenberger Addison-Wesley Publishing Company, 2nd Edition, 1984/2003.. Convex Analysis R. T. Rockafellar Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, 1996. Optimization and Nonsmooth Analysis Frank H. Clarke SIAM, 1990.
《最优化方法》最优化方法概述
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最优化方法
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学习本课程所需的数学知识
向量、向量的模（范数）、向量的运算、
线性相关与无关、基. 矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。
向量函数、连续性、可微性、 梯度、向量函数（多元函数）的Taylor定理
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最优化方法
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课程基本内容
线性规划 无约束最优化方法 约束最优化方法 多目标最优化方法
线性规划模型的特征：
max z=5x1+2x2
30x1 20x2 160 s.t.5xx1 14x2 15
x1 0, x2 0
•（1）用一组决策变量x1，x2，…, xn表示某一方案，且在一般情况下， 变量的取值是非负的。
•（2）有一个目标函数，这个目标函数可表示为这组变量的线性函数。
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最优化方法
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学习要求及考评
掌握主要的优化模型的数学计算方法，可以 应用数学软件解决最优化问题。
考评： 大作业（作业+小论文）
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最优化方法
9
参考书目
主要参考书目： 理论方面： (1) 解可新、韩健，《最优化方法》，天津大学出版社,2004 (2) 何坚勇， 《最优化方法》, 清华大学出版社， 2007 计算方面： (3) 曹卫华，郭正， 《最优化技术方法及MATLAB的实现》，
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最优化方法
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运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英， 美等国盟军在与德国的战争中遇到了许多错综 复杂的战略和战术问题难以解决，比如 防空雷达的布置问题 护航舰队的编队问题
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐 批召集不同专业背景的科学家，在三军组织了 各种研究小组，研究的问题都是军事性质的， 这些研究小组运用系统优化的思想，应用数学 技术分析军事问题，取得了非常理想的效果。
《最优化方法》最优化方法概述
4 2 5
定义 x1，x2分别为每公斤产品中甲，乙两种原料的数量，
目标：使总成本最小化 min z=3x1+2x2
约束：配料平衡条件，
x1+x2=1
产品中A、B、C三种化学成分的最低含量
12x1+3x2≥4
2x1+3x2≥2
非负性条件
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3x1+15x2≥5 最优化方法 x1≥0, x2≥0
1
1
3
0
1．5
3
120
3
1
0
4
料头（米） 0
0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.1
1.4
数学模型 s.t.
min z 0.1x2 0.2x3 0.3x4 0.8x5 0.9x6 1.1x7 1.4x8
x1 2x2
x4
x6
100
2x3 2x4 x5 x6 3x7 100
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最优化方法
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学习要求及考评
掌握主要的优化模型的数学计算方法，可以 应用数学软件解决最优化问题。
考评： 大作业（作业+小论文）
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9
参考书目
主要参考书目： 理论方面： (1) 解可新、韩健，《最优化方法》，天津大学出版社,2004 (2) 何坚勇， 《最优化方法》, 清华大学出版社， 2007 计算方面： (3) 曹卫华，郭正， 《最优化技术方法及MATLAB的实现》，
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最优化方法
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二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科 学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究 成果拓展到各种民用系统的研究上。
定义 x1，x2分别为每公斤产品中甲，乙两种原料的数量，
目标：使总成本最小化 min z=3x1+2x2
约束：配料平衡条件，
x1+x2=1
产品中A、B、C三种化学成分的最低含量
12x1+3x2≥4
2x1+3x2≥2
非负性条件
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3x1+15x2≥5 最优化方法 x1≥0, x2≥0
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料头（米） 0
0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.1
1.4
数学模型 s.t.
min z 0.1x2 0.2x3 0.3x4 0.8x5 0.9x6 1.1x7 1.4x8
x1 2x2
x4
x6
100
2x3 2x4 x5 x6 3x7 100
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学习要求及考评
掌握主要的优化模型的数学计算方法，可以 应用数学软件解决最优化问题。
考评： 大作业（作业+小论文）
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最优化方法
9
参考书目
主要参考书目： 理论方面： (1) 解可新、韩健，《最优化方法》，天津大学出版社,2004 (2) 何坚勇， 《最优化方法》, 清华大学出版社， 2007 计算方面： (3) 曹卫华，郭正， 《最优化技术方法及MATLAB的实现》，
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二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科 学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究 成果拓展到各种民用系统的研究上。
清华大学最优化及其作业答案
可行內点解集合：F0 = {x∈Rn|Ax =b, x > 0}。
假设F0非空。
內点法可粗略的分为三个步骤:
步骤一: 找一个可行內点x1∈F0。置k=1。
步骤二: 决定现有解xk是否为(P) 的最优解。若
是, 向
则, 输以出及x适∗ 当= x的k。k步否长则就> 寻0。找一个好的移动方d xk
步骤三：由xk移动到新的内点
多项式时间算法与指数时间算法
• 多项式时间算法(polynomial-time algorithm)或优良算法(good algorithm) : 对于某算法的复杂性函数，其增长速度是输入规 模的多项式函数。
• 指数时间算法(exponential-time algorithm):对于某算法的复杂性函数，其增长 速度是输入规模的指数函数。
将(P1) 变得稍微复杂一些, 将球改为第一象 限来考虑下列问题:
min cT x (P2 ) s.t. x 0
假设xk 0，定义n n矩阵
1
x1k
Dk
பைடு நூலகம்
x2k O
x1k
0
D1 k
1 x2k
O
0
0
xnk
0
1
xnk
定义映射：
Tk : Rn Rn
x y Tk (x) Dk1x 则 Tk1 : Rn Rn
不可行，则不等式组Ax b无解；或者得到其最优
解或判定问题无界，则得到不等式组Ax b的一个
解，显然就以多项式时间解决了问题Ax b。
定理：存在求解LP问题的多项式时间算法的充要条件
是存在求解线性不等式组Ax b的多项式时间算法。
*的对偶问题为
max wb
假设F0非空。
內点法可粗略的分为三个步骤:
步骤一: 找一个可行內点x1∈F0。置k=1。
步骤二: 决定现有解xk是否为(P) 的最优解。若
是, 向
则, 输以出及x适∗ 当= x的k。k步否长则就> 寻0。找一个好的移动方d xk
步骤三：由xk移动到新的内点
多项式时间算法与指数时间算法
• 多项式时间算法(polynomial-time algorithm)或优良算法(good algorithm) : 对于某算法的复杂性函数，其增长速度是输入规 模的多项式函数。
• 指数时间算法(exponential-time algorithm):对于某算法的复杂性函数，其增长 速度是输入规模的指数函数。
将(P1) 变得稍微复杂一些, 将球改为第一象 限来考虑下列问题:
min cT x (P2 ) s.t. x 0
假设xk 0，定义n n矩阵
1
x1k
Dk
பைடு நூலகம்
x2k O
x1k
0
D1 k
1 x2k
O
0
0
xnk
0
1
xnk
定义映射：
Tk : Rn Rn
x y Tk (x) Dk1x 则 Tk1 : Rn Rn
不可行，则不等式组Ax b无解；或者得到其最优
解或判定问题无界，则得到不等式组Ax b的一个
解，显然就以多项式时间解决了问题Ax b。
定理：存在求解LP问题的多项式时间算法的充要条件
是存在求解线性不等式组Ax b的多项式时间算法。
*的对偶问题为
max wb
《最优化方法》课程教学大纲
最优化方法》课程教学大纲课程编号：100004英文名称：Optimizatio n Methods一、课程说明1. 课程类别理工科学位基础课程2. 适应专业及课程性质理、工、经、管类各专业，必修文、法类各专业，选修3. 课程目的（1 ）使学生掌握最优化问题的建模、无约束最优化及约束最优化问题的理论和各种算法;（2）使学生了解二次规划与线性分式规划的一些特殊算法；（3）提高学生应用数学理论与方法分析、解决实际问题的能力以及计算机应用能力。
4. 学分与学时学分2,学时405. 建议先修课程微积分、线性代数、Matlab语言6. 推荐教材或参考书目推荐教材：（1）《非线性最优化》（第一版）.谢政、李建平、汤泽滢主编.国防科技大学出版社.2003年.孙（第一版）参考文瑜、徐成贤、朱德通主编.高等教育出版社.2004年（2）《最优化方法》书目：（第一版）.胡适耕、施保昌主编.华中理工大学出版社.2000年（1）《最优化原理》（2）《运筹学》》（修订版）.《运筹学》教材编写组主编.清华大学出版社.1990年7. 教学方法与手段（1）教学方法：启发式（2）教学手段：多媒体演示、演讲与板书相结合8. 考核及成绩评定考核方式：考试成绩评定：考试课（1）平时成绩占20%形式有：考勤、课堂测验、作业完成情况（2）考试成绩占80%形式有：笔试（开卷）。
9. 课外自学要求（1）课前预习；（2）课后复习；（3）多上机实现各种常用优化算法。
二、课程教学基本内容及要求第一章最优化问题与数学预备知识基本内容：（1 ）最优化的概念；（2）经典最优化中两种类型的问题--无约束极值问题、具有等式约束的极值问题的求解方法；（3）最优化问题的模型及分类；（4）向量函数微分学的有关知识；5）最优化的基本术语。
基本要求：（1）理解最优化的概念；（2）掌握经典最优化中两种类型的问题--无约束极值问题、具有等式约束的极值问题的求解方法；（3）了解最优化问题的模型及分类；（4）掌握向量函数微分学的有关知识；（5）了解最优化的基本术语。
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小结
原问题(min)
有最优解 无界解 不可行
对应关系
对偶问题(max)
有最优解 不可行 无界解
对偶单纯形法
• 掌握对偶单纯形方法（对偶可行的基本 解，如何求初始对偶可行的基本解）。
• 与原单纯形法的区别： • 原单纯形法保持原问题的可行性，对偶单
2. 极点和极方向的定义
设S是非空集合，x S，若x不能表示成S中两个
不同点的凸组合，即若假设x x(1) (1 )x(2)，必
推出x x(1) x(2)，则称x是凸集S的极点。
要求：会证明或判断一个点是否是极点.
设S是闭凸集，d为非零向量，如果对S中的每一
个x，有{x d | 0} S，则称d是S的方向；又设d (1) 和d (2)是S的两个方向，若对任何正数，有d (1) d (2)，
• 1.携带研究生证，以备查对。
• 2．提前十分钟进入考场。考试开始十五分钟后，不准再 进入考场，逾时以旷考论。题卷发出十五分钟后，方可交 卷离场。
• 3．除答卷必需用的文具及教师指定的考试用具外，书包、 书籍、笔记、纸张等一律按监考教师要求集中放置。
• 4．不允许携带具有信息传递或存储功能的工具（如BP机、 手机等）进入考场。
min f (x) s.t. gi (x) 0, i 1, , m
hj (x) 0, j 1, , l 若f (x)是凸函数，gi (x)(i 1,, m)是凹函数， hj (x)( j 1,,l)是线性函数，则原问题为凸规划。
性质：凸规划的局部极小点就是整体极小点， 且极小点的集合为凸集。
xn1
j 1,,n
• 1．基本概念:
• 可行域(线性规划的可行域是凸集).
• 解的情形:无解(无可行解)、无界解(不存在 有限的最优解)、最优解(最优解与最优值的 区别)、局部最优解与全局最优解.
• 可行解、基本解、基、基变量、非基变量、 基本可行解、非退化（退化）的基本可行解。
• 2．基本性质：
B1b
0
1若cBB1NcN 0极小化问题，则现行基本可行解为最优解。
2 若存在cBB1Pj cj 0，用 主元消去法求改进的基本可行解.
2．寻找初始基本可行解
min f x cx
s.t.
Ax b
x0
两阶段法
min s.t.
eT xa Axxa b x,xa 0
e 111T
min
大M法 s.t.
了解表示定理
2．凸集分离定理
（1）会应用凸集分离定理 （2）掌握Farkas定理和Gordan定理和证明方法，
会应用这两个定理证明相应的题目。
3．凸函数(凹函数)
要求：掌握凸(凹)函数的定义、性质及判断方法，会证 明或判断一个函数是否是凸(凹)函数 。
凸规划
• 凸规划：求凸函数在凸集上的极小点。
• 线性规划存在有限最优解的充要条件是所 有cd(j)为非负数，其中d(j)为可行域的极方向。
• 若线性规划问题存在有限最优解，则目标 函数的最优值可在某个极点达到。
• 基本可行解与可行域极点之间的关系---等 价。
• 基本可行解的存在问题：有可行解，一定 有基本可行解。
单纯形法
min s.t.
要求：会判断一个模型是否为凸规划
线性规划部分
LP的标准形式
1、极小化型 2、约束方程为等式 3、所有的决策变量为非负值 4、约束方程的右端项系数为非负值
n
min z cjxj j1
n
s. t
aijxj bi
j1
xj 0
i 1,,m
min z cx
c1n
s.t. Ax b Amn bm1 0
x0
f x cx
Ax b x0
1.存在初始基B，使得B1b 0.
如何判断该问题是否有最优解？
如何判断一个基是否为最优基？
如何判断该问题是否有无穷多最优解？
用单纯形表求解问题：
xB
xB
Im
xN B-1N
0
cBB-1N-cN
右端 B-1b cBB-1bBiblioteka 假设b B1b 0,有一基本可行解
x
xB xN
• 9．在规定的时间内答卷，不得拖延。交卷时间到，考生 须在原座位安静地等候监考教师收卷后，方可离场。
总复习
• 一.凸集与凸函数 • 1．凸集的定义、性质
设S1和S2是两个凸集，实数，则 (1) S1 {x | x S1}是凸集;
(2) S1 S2 {x(1) x(2) | x(1) S1, x(2) S2}是凸集; (3) S1 S2 {x(1) x(2) | x(1) S1, x(2) S2}是凸集; (4) S1 S2是凸集;
• 5．答卷一般用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色，不得用红 色），不得用铅笔（画图或外语考试选择题等指定用铅笔 除外）。
• 6．答卷时不准互借文具（包括计算器、计算尺等）。
• 7．严禁以任何理由左顾右盼、交头接耳、抄袭或看别人 答卷等各种形式的作弊行为。
• 8．答卷时，不得中途离场后再行返回。如有特殊原因需 离场者，必须经监考教师准许。答卷一经考生带出考场， 即行作废。
cx MeT xa Axxa b x0
e 111T m1
M0
对偶原理
•
min
max
•变
≥0
≤
约
•量
≤0
≥
束
•
无限制
=
方
•
程
•约
≥
≥0
•束 ≤
≤0
变
•方
=
无限制
量
•程
• 会写各种形式（对称、非对称、一般形 式）的对偶问题；
• 掌握弱对偶定理和强对偶定理及其相关 推论；
• 会用互补松弛定理求原问题或对偶问题 的解；
则称d (1)和d (2)是两个不同的方向，若S的方向d不能表示 成该集合的两个不同方向的正的线性组合，则称d为S的 极方向。
要求：会证明或判断一个非零向量是否是方向或极方向.
结论： 设S {x | Ax b, x 0}为非空集合，d是 非零向量，则d是S的方向的充要条件是d 0且 Ad 0。
• 考试时间：2014年1月14日下午2：30-4:30 • 考场安排： • 三教2101：学号在
2010210814~2013210673 三教2102：学号在
2013210677 ~ 2013310384 • 三教2301：其余同学
• 答疑安排： • 2014年1月11、12日 • 上午：8:30~11:30 • 下午：2:30~5:30 • 地点：一教103 • 2014年1月13日 • 上午：8:30~11:30 • 下午：2:30~5:30 • 地点：一教102