最优化方法及控制应用1
控制系统中的优化控制理论与方法
控制系统中的优化控制理论与方法在控制系统中，优化控制理论与方法是一种重要的技术手段，旨在通过对系统的调整和改进，实现系统性能的最优化。
本文将从优化控制的基本概念、常用的优化控制方法以及优化控制在实际系统中的应用等方面进行阐述。
一、优化控制的基本概念优化控制是指通过对系统参数、结构、控制算法等进行合理设计和调整，使得系统的性能指标达到最优水平的一种控制方法。
其目标是在满足系统动态响应、鲁棒性等基本要求的前提下，使系统的效率、稳定性、鲁棒性等性能指标达到最优。
优化控制理论与方法主要包括数学优化理论、控制理论和计算方法等。
二、常用的优化控制方法1. 最优化理论的应用最优化理论是优化控制的理论基础，主要包括线性规划、非线性规划、动态规划、最优控制等方法。
通过将系统的控制问题转化为一个数学优化问题，可以利用最优化理论的方法求解最优控制策略。
2. PID控制器的优化PID控制器是目前应用最广泛的控制器之一，通过对PID参数的优化，可以提高系统的性能。
常用的PID参数优化方法包括试探法、经验法、遗传算法、粒子群算法等。
3. 模型预测控制模型预测控制是一种基于模型的优化控制方法，通过对系统的动态模型进行建立和优化，可以在一定的预测范围内求解最优控制策略。
模型预测控制主要包括线性模型预测控制、非线性模型预测控制等方法。
4. 自适应控制自适应控制是一种能够自动调整控制器参数的优化控制方法，通过对系统的建模和参数实时调整，可以适应不同工况下的控制需求。
自适应控制主要包括模型参考自适应控制、基于模型的自适应控制等。
三、优化控制在实际系统中的应用优化控制理论与方法在实际系统中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 工业过程控制：优化控制在化工、电力、冶金等工业过程中的应用较为广泛。
通过对控制参数的优化调整，可以提高生产效率、降低能耗、优化产品质量等。
2. 机器人控制：优化控制方法在机器人运动控制、轨迹规划、力控制等方面的应用，可以提高机器人的运动精度、路径规划效果等。
最优控制
四、最优控制在控制领域中的应用
模拟退火算法 1983年,Kirkpatrick与其合作者提出了模拟退火(SA)的方法,它是求解单目标 多变量最优化问题的一项Monte-Caula技术。该法是一种物理过程的人工模 拟,它基于液体结晶或金属的退火过程。液体和金属物体在加热至一定温度 后,它们所有的分子、原子在状态空间D中自由运动。随着温度的下降,这些 分子、原子逐渐停留在不同的状态。当温度降到相当低时,这些分子、原子 则重新以一定的结构排列,形成了一个全部由有序排列的原子构成的晶体结 构。模拟退火法已广泛应用于生产调度、神经网络训练、图像处理等方面。
三、最优控制的研究方法
古典变分法:古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取值常常 三、最优控制的研究方法
古典变分法:
古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制 变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取 值常常受到封闭性的边界限制,如方向舵只能在2个极限值范围内转动,电动 机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此,古典变分法的应用范 围十分有限。
二、最优控制问题的一般性描述
实际上，终端约束规定了状态空间的一个时变或非时变的集合，此满足终 端约束的状态集合称为目标集M，并可表示为：
M {x(t f ) | x(t f ) Rn , N1[ x(t f ), t f ] 0, N2[ x(t f ), t f ] 0}
为简单起见，有时将上式称为目标集。
三、最优控制的研究方法
极小值原理:
极小值原理是对分析力学中古典变分法的推广,能用于处理由于外力源的 限制而使系统的输入（即控制）作用有约束的问题。极小值原理的突出 优点是可用于控制变量受限制的情况,能给出问题中最优控制所必须满足 的条件。如高夯、汪更生、楼红卫等人论述了多种类型的抛物型方程和 退化拟线性、半线性椭圆方程的极小值原理。
最优控制原理及应用
最优控制原理及应用最优控制原理是指在给定系统的状态和约束条件下，通过选择最优的控制策略，使系统的性能指标达到最优。
最优控制理论是现代控制论的重要分支之一，广泛应用于工业制造、航天航空、交通运输、能源管理等领域。
最优控制理论的核心概念是最优控制问题。
最优控制问题是指在给定系统的动力学模型、性能指标以及约束条件下，寻找最优的控制策略，使系统的性能指标达到最优。
最优控制问题可以分为两类：静态最优控制问题和动态最优控制问题。
静态最优控制问题是指在给定系统的当前状态下，寻找最优的控制策略；动态最优控制问题是指在给定系统的初始状态下，寻找最优的控制策略使系统在一段时间内的性能指标达到最优。
最优控制原理的核心思想是通过优化算法来寻找最优的控制策略。
最优控制问题通常可以转化为一个最优化问题，通过求解最优化问题的解，得到最优的控制策略。
最优控制问题的求解方法主要有两种：动态规划和最优化方法。
动态规划方法将最优控制问题转化为一个递归求解的问题，通过构建一个值函数来描述系统的性能指标，然后通过递归求解值函数得到最优的控制策略。
最优化方法是一种利用优化算法求解最优控制问题的方法，通过定义一个优化目标函数，将最优控制问题转化为一个优化问题，通过求解优化问题的解得到最优的控制策略。
最优控制原理的应用非常广泛。
在工业制造领域，最优控制原理可以应用于生产调度、优化控制、质量控制等方面，实现生产过程的优化和效率的提高。
在航天航空领域，最优控制原理可以应用于航天器的姿态控制、飞行路径规划等方面，实现航天器的稳定和飞行轨迹的优化。
在交通运输领域，最优控制原理可以应用于交通信号控制、交通流优化等方面，实现交通拥堵的缓解和交通效率的提高。
在能源管理领域，最优控制原理可以应用于电网调度、能源供需平衡等方面，实现电力系统的优化和能源的高效利用。
最优控制原理的应用还涉及到许多其他领域，如经济学、环境保护、医学等。
在经济学中，最优控制原理可以应用于经济系统的优化和资源的分配问题，实现经济的高效运行和社会福利的最大化。
最优控制理论及应用讲解
第4章 动态规划
求解动态最优化问题的两种基本方法：极小值原理和动态规划。
动态规划：是一种分级最优化方法，其连续形式与极小值原理相 辅相成，深化了最优控制的研究。
Optimal Control Theory & its Application
主要内容
1
多级决策过程和最优性原理
2
离散控制系统的动态规划
3
连续控制系统的动态规划
4 动态规划与变分法、极小值原理的关系
5
本章小结
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.7
Optimal Control Theory & its Application
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
特点：1）将一个多阶段决策问题化为多个单阶段决策问题，易于分析 2）每阶段评估只与前一阶段结果有关，计算量减小
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.5
Optimal Control Theory & its Application
最优化与最优控制
0
)
2 f (X0)
2
f
(
X
0
)
x2x1
2 f (X0
)
xnx1
2 f (X0) x1x2
2 f (X0 x1xn)源自2 f (X0) x2 2
2 f (X0)
xn x2
2 f (X0)
x2xn
2 f (X0
)
xn 2
是f在点X 0处的Hesse矩阵
npjiangb@
npjiangb@
• 2.2 多元函数无约束的极小化 一、Hesse矩阵
设f
: Rn
R1 ,
X
0
Rn
, 如果f在点X
处对于自变量
0
X的各分量的二阶偏导数 2 f ( X 0 ) (i, j 1,2,, n) xix j
都存在，
则
称
函数f在
点X
处
0
二阶
可
导，
并且称矩阵
2
f (X x12
其中 N x * x x x * , 0 。 同样有：严格局部最优解。若 f x * f x
npjiangb@
定义 范数： 在 n 维实向量空间 R n 中，
定义实函数 x , 使其满足以下三个条件：
（１）对任意 x R n 有 x 0 , 当且仅当
dt
t0
• 五 终端控制问题
J Q[x(t f ), t f ]
• 六 非线性系统的最优控制
npjiangb@
• 1.5 最优化问题的解法
• 解析法：利用函数的解析性质去构造迭代公式使之收敛 到最优解
• 直接法：它对函数的解析性质没有要求，而是根据一定 的数学原理来确定
拉格朗日乘子法在最优化控制中的应用
拉格朗日乘子法在最优化控制中的应用拉格朗日乘子法是一种在最优化控制中应用广泛的数学方法。
它是由法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日于18世纪提出的一种优化技术。
拉格朗日乘子法在很多实际问题中都具有重要的应用价值，能够帮助我们找到最优的方案以满足一定的约束条件。
一、拉格朗日乘子法的原理拉格朗日乘子法主要是通过引入拉格朗日乘子来处理约束条件。
假设我们要优化一个函数f(x)的取值，但是存在一些限制条件g(x)=0。
利用拉格朗日乘子法，我们可以将约束条件融入目标函数中，构造拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)，其中λ是拉格朗日乘子。
二、无约束问题的求解首先，我们来看一个简单的无约束最优化问题。
假设我们要求解的问题是最小化一个函数f(x)。
根据拉格朗日乘子法的原理，我们可以构造拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)，其中g(x)=0。
然后，我们通过求解极值点的条件∇L(x,λ)=0来得到最优解。
这个条件可以通过求解f(x)的导数和g(x)的导数相等的方程得到。
三、带等式约束的优化问题接下来，我们考虑带等式约束的优化问题。
假设我们要最小化一个函数f(x)，且带有等式约束g(x)=0。
利用拉格朗日乘子法，我们可以构造拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)。
这个等式约束可以转化为无约束问题的形式，即求解minL(x,λ)。
通过求解极值点的条件∇L(x,λ)=0，我们可以得到最优解。
四、带不等式约束的优化问题在现实应用中，很多问题都存在着不等式约束。
比如，我们要将一条线段从A点移动到B点，并且要求线段不与一些障碍物相交。
这是一个带不等式约束的问题。
在这种情况下，拉格朗日乘子法同样可以帮助我们求解最优解。
我们可以将不等式约束转化为等式约束，然后构造拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)，其中g(x)>0。
通过求解极值点的条件∇L(x,λ)=0，并且满足不等式约束g(x)>0，我们可以得到带不等式约束的最优解。
控制系统中的最优控制与最优化技术
控制系统中的最优控制与最优化技术随着科技的不断进步和应用范围的扩大，控制系统在各行各业中的重要性也日益凸显。
最优控制与最优化技术作为控制系统中的重要概念和方法，在提高系统性能和效率方面发挥着关键作用。
本文将就控制系统中的最优控制与最优化技术进行深入探讨。
一、最优控制的定义与概念最优控制是指在满足给定约束条件的前提下，通过使某种性能准则达到最大或最小值来确定控制器参数或控制策略的问题。
最优控制的实现可以使系统在最短时间内达到期望状态或在给定资源条件下获得最佳性能。
最优化技术是实现最优控制的关键方法之一，它利用数学和计算方法来寻找系统中使性能准则达到最大或最小值的最优解。
最优化技术广泛应用于各种领域，例如经济学、工程学、管理学等，其中最为常见的应用是在控制系统中。
二、最优控制的分类最优控制可以分为离散最优控制和连续最优控制两大类。
离散最优控制是指在离散时间点上确定控制器参数或控制策略的问题。
典型的离散最优控制方法包括动态规划、贝尔曼方程等。
连续最优控制是指在连续时间范围内确定控制器参数或控制策略的问题。
常见的连续最优控制方法有经典最优控制、最速控制、最小能耗控制等。
三、最优化技术在控制系统中的应用最优化技术在控制系统中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域。
1. 机器人控制机器人控制是利用最优化技术来实现机器人移动、定位和路径规划等问题。
通过对机器人运动过程中的能耗、时间等指标进行优化，可以实现机器人的高效控制和优化运动。
2. 制造业控制在制造业中，最优化技术可以用来优化物料和生产设备的调度、工艺参数的优化以及生产线的平衡等问题。
通过合理地设计和优化控制策略，可以提高制造业的生产效率和产品质量。
3. 能源系统控制能源系统控制是指在能源产生、传输和消费过程中，通过最优化技术实现能源的高效利用。
例如在电力系统中，可以通过最优化技术对电网的输电线路和发电机组进行优化调度，以最大限度地提高电网的稳定性和电能的利用率。
最优化理论在智能决策与控制中应用
最优化理论在智能决策与控制中应用智能决策与控制是指利用人工智能和自动化技术，通过对大量数据的分析和处理，为问题的解决提供最佳化方案。
而最优化理论作为一种数学工具，可以有效地应用于智能决策与控制系统中，以提高系统的性能和效率。
本文将从最优控制、最优化算法和智能决策与控制系统中最优化应用三个方面探讨最优化理论在智能决策与控制中的应用。
一、最优控制最优控制是最优化理论在控制系统中的应用。
它通过数学模型和优化算法，寻找给定系统的最优控制策略，以最大程度地满足系统的性能要求。
最优控制的关键是确定目标函数和约束条件，以及选择适当的优化算法。
在智能决策与控制系统中，最优控制可以用来解决各种实际问题。
例如，在供应链管理中，可以利用最优控制模型来确定最佳的物流路线和配送策略，以降低成本和提高效率。
在机器人控制中，可以利用最优控制模型来规划机器人的运动轨迹和操作方式，以实现高效的任务执行。
在交通控制中，可以利用最优控制模型来调控交通信号和车流，以优化交通流量和减少拥堵。
二、最优化算法最优化算法是最优化理论的核心内容，它致力于寻找给定问题的最优解。
常见的最优化算法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。
在智能决策与控制系统中，最优化算法的应用非常广泛。
例如，在机器学习中，可以利用最优化算法来训练模型的参数，以使模型的预测误差最小化。
在数据挖掘中，可以利用最优化算法来发现大规模数据集中的隐藏模式和规律。
在优化调度中，可以利用最优化算法来分配资源和任务，以提高生产效率和降低成本。
三、智能决策与控制系统中的最优化应用智能决策与控制系统中的最优化应用主要涉及到决策和控制两个方面。
在决策方面，最优化可以帮助系统做出最佳的决策，以满足系统的目标和要求。
在控制方面，最优化可以帮助系统选择最佳的控制策略，以实现系统的稳定性和优化性能。
在智能决策中，最优化可以用来优化决策模型和评估指标。
例如，在股票投资中，可以利用最优化模型来确定最佳的投资组合，以实现最大的收益和最小的风险。
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设决策变量如上，可建立如下模型：
min
z 200( x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 )
x2 x3 x4 x5 x6 18 x3 x4 x5 x6 x7 15 x4 x5 x6 x7 x1 12 x5 x6 x7 x1 x2 16 s.t. x6 x7 x1 x2 x3 19 x7 x1 x2 x3 x4 14 x1 x2 x3 x4 x5 14 x , x , x , x , x , x , x 0且为整数 1 2 3 4 丙、丁四个车间，生产 A、B、C、D、E、F六种产品。根据机床性能和 以前的生产情况，得知每单位产品所需车间的工 作小时数、每个车间在一个季度工作小时的上限 以及单位产品的利润，如下表所示(例如，生产 一个单位的A产品，需要甲、乙、丙三个车间分 别工作1小时、2小时和4小时)
问：应如何安排制作计划才能获得最大收益。
变量假设： 设计划制作口感鲜嫩和厚实的豆腐各x1千 克和 x2千克，可获得收益R元。
目标函数：获得的总收益最大。
总收益可表示为：R 10 x1 5 x2
0.3 x1 0.4 x2 9 受一级黄豆数量限制： 0.5 x1 0.2 x2 8 受二级黄豆数量限制：
13 37 20
40 20 30
问：如何调拨才能使运费最省？
可以建立如下模型：
min z a ij x ij
i 1 j 1 3 4
4 (i 1, 2,3) xij bi j 1 3 ( j 1, 2,3, 4) s.t. xij c j i 1 xij 0 (i 1, 2,3; j 1, 2,3, 4) xij min(bi , c j )
例1
某钢厂两个炼钢炉同时各用一种方法炼钢。
第一种炼法每炉用a小时，第二种用b小时（包括
清炉时间）。假定这两种炼法，每炉出钢都是k 公斤，而炼1公斤钢的平均燃料费第一法为m元， 第二法为n元。若要求在c小时内炼钢公斤数不少 于d，试列出燃料费最省的两种方法的分配方案
的数学模型。
设用第一种炼法炼钢x1炉，第二种炼钢x2炉
X= 10.0000 15.0000 FVAL = -175.0000
用YALMIP编程求解程序如下： x=sdpvar(1,2); C=[10 5]; a=[0.3 0.4;0.5 0.2];b=[9 8]; f=C*x'; F=set(0<=x<=inf); F=F+set(a*x'<=b'); solvesdp(F,-f) double(f) ans = double(x) 175 ans = 10 15
这是一个典型的最优化问题，属线性规划。 假设：产品合格且能及时销售出去；工作无等待情况等 变量说明： xj：第j种产品的生产量（j=1,2,……,6） aij：第i车间生产单位第j种产品所需工作小时数 （i=1,2,3,4;j=1,2,……,6） bi：第i车间的最大工作上限 cj：第j种产品的单位利润 则： cjxj为第j种产品的利润总额； aijxj表示第i车间生产第j种产品所花时间总数；
多目标规划
引例1.投资问题 某公司在一段时间内有a(亿元)的资金可用于建厂投
资。若可供选择的项目记为1,2,…,m。而且一旦对第i个项
目投资就用去ai亿元；而这段时间内可得收益ci亿元。问如 何确定最佳的投资方案？
1 对第i个项目投资 xi 0 不对第i个项目投资
最佳投资方案：投资最少，收益最大！
最优化方法及控制应用
汇报人：朱 阁
指导老师：鄢烈祥老师
1、无约束极值问题的求解
例1：求函数y=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最 大值与最小值。 解：令f(x)=y=2x3+3x2-12x+14 f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1) 解方程f’(x)=0，得到x1= -2，x2=1，又 由于f(-3)=23，f(-2)=34，f(1)=7，f(4)=142，
8 4 x1 8 3 x2 32 x1 24 x2
因检验员错检而造成的损失为：
(8 25 2% x1 8 15 5% x2 ) 2 8x1 12 x2
故目标函数为：
min z (32 x1 24 x2 ) (8x1 12 x2 ) 40 x1 36 x2
问：每种产品各应该每季度生产多少，才能 使这个工厂每季度生产利润达到最大。
生产单位 产品所需 车间的工 作小时数
甲 乙 丙 丁 利润 (百元)
A
B
C
D
E
F
每个车间 一个季度 工作小时 的上限
500 500
1 2 4
1
1 5
3 5
2
3
2 1 3
5 8
500 500
4.0
2.4
5.5
5.0
4.5
8.5
a b d 1 1.25 1.25 3 工地位置（a，b）及水泥日用量 d 2 3 4 8.75 0.5 5.75 0.75 4.75 5 5 4 7 5 3 6.5 6 6 7.25 7.25 11
（一）建立模型
记工地的位置为(ai，bi)，水泥日用量为di，i=1,…,6;料场位置为 (xj，yj)，日储量为ej，j=1,2；料场j向工地i的运送量为Xij．
综上分析，得到该问题的线性规划模型
max R 10 x1 5 x 2 0.3 x1 0.4 x2 9
s.t.
0.5 x1 0.2 x2 8 x1 , x2 0
用Matlab编程求解程序如下：
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b) f = -[10 5]; A = [0.3 0.4;0.5 0.2]; B = [9;8]; [X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b)
x1
0
x2
0
x3
60
x4
40
x5
100
x6
40
运
输
问
题
要从甲城调出蔬菜2000吨，从乙城调出蔬菜2500吨， 从丙地调出3000吨，分别供应A地2000吨，B地2300吨、 C地1800吨、D地1400吨，已知每吨运费如下表： 供应单位 调出单位 A B C D
甲 乙 丙
21 45 32
27 51 35
投资最少： min
收益最大： max 约束条件为：
f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) ai xi
i 1 m
m
f 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) ci xi
i 1
m ai xi a i 1 x (1 x ) 0, i 1, 2,...m i i
约束条件为：
8 25 x1 8 15 x2 1800 x1 , x2 0
线
性
规
划
某豆腐店用黄豆制作两种不同口感的豆腐出 售。制作口感较鲜嫩的豆腐每千克需要0.3千克 一级黄豆及0.5千克二级黄豆，售价10元；制作 口感较厚实的豆腐每千克需要0.4千克一级黄豆 及0.2千克二级黄豆，售价5元。现小店购入9千 克一级黄豆和8千克二级黄豆。
引例2：生产问题 某工厂生产两种产品，产品A每单位利润为10元，而 产品B每单位利润为8元；产品A每单位需3小时装配时间 而B为2小时，每周总装配有效时间为120小时。工厂允许 加班，但加班生产出来的产品利润要减去1元。根据最近 的合同，厂商每周最少的向用户提供两种产品各30单位。 要求：①必须遵守合同；②尽可能少加班；③利润最大。 问应怎样安排生产？ x1：每周正常时间生产得A产品的数量； x2：每周加班时间生产得A产品的数量； x3：每周正常时间生产得B产品的数量； x4：每周加班时间生产得B产品的数量；
综上得，
函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
两个引例
问题一：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗，如下表所示
I 设备 1 II 2 8台时
原材料A
原材料B
目标函数为： min f
2 2 X ( x a ) ( y b ) ij j i j i j 1 i 1 2 6
X
约束条件为：
j 1 6
2
ij
d i , i 1,2,,6 ej , j 1,2
X
i 1
ij
当用临时料场时决策变量为：Xij， 当不用临时料场时决策变量为：Xij，xj，yj．
应用实例： 供应与选址
某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标 系a，b表示，距离单位：km）及水泥日用量d(t)由下表给出．目前 有两个临时料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20t．假设从料场 到工地之间均有直线道路相连． （1）试制定每天的供应计划，即从A，B两料场分别向各工地运 送多少水泥，可使总的吨千米数最小． （2）为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两 个新的，日储量各为20t，问应建在何处，节省的吨千米数有多大？
max
z k ( mx ny )
ax1 c s.t. bx2 c k ( x1 x2 ) d x1 , x2 0且为整数