广东省佛山市中大附中三水实验中学高中数学《421 直线与圆的位置关系》课件 新人教A版必修2
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《直线与圆的位置关系》优秀课件
教学目标
掌握直线与圆的位置关系的定义 、分类和判定方法，理解其几何 意义和实际应用。
直线与圆的位置关系的重要性
基础概念
直线与圆的位置关系是解析几何中的 基础概念，是后续学习曲线与方程、 极坐标等知识的基础。
实际应用
在几何作图、工程绘图、物理学等领 域中，直线与圆的位置关系有着广泛 的应用。
教学方法与手段
相切线的定义
直线与圆只有一个公共点 ，即直线与圆相切。
相切线的性质
相切线与圆心的距离等于 圆的半径。
相切线的应用
在几何图形中，相切线可 以用于求解与圆相关的最 值问题，如圆的面积、周 长等。
相交线的性质及应用
相交线的定义
直线与圆有两个公共点，即直线与圆相交。
相交线的性质
相交线与圆心的距离小于圆的半径。
03
直线与圆的位置关系的判定方 法
代数法
定义
通过解直线与圆方程组成的方程 组，利用解的情况判断直线与圆
的位置关系。
步骤
将直线方程代入圆方程，消去一 个变量后得到一个关于另一个变 量的二次方程。根据二次方程的 判别式判断直线与圆的位置关系
。
结论
若判别式小于0，则直线与圆相 离；若判别式等于0，则直线与 圆相切；若判别式大于0，则直
线与圆相交。
几何法
定义
通过观察直线与圆心的距离和圆 的半径，判断直线与圆的位置关
系。
步骤
计算直线到圆心的距离d，比较d 与圆的半径r的大小。若d小于r， 则直线与圆相交；若d等于r，则直 线与圆相切；若d大于r，则直线与 圆相离。
结论
几何法适用于判断直线与圆的位置 关系，但需要一定的观察和计算能 力。
本节内容通过具体例题的解析，让学生掌握直线与圆位置关系的判定方法，同时培养了学 生的分析问题和解决问题的能力。
掌握直线与圆的位置关系的定义 、分类和判定方法，理解其几何 意义和实际应用。
直线与圆的位置关系的重要性
基础概念
直线与圆的位置关系是解析几何中的 基础概念，是后续学习曲线与方程、 极坐标等知识的基础。
实际应用
在几何作图、工程绘图、物理学等领 域中，直线与圆的位置关系有着广泛 的应用。
教学方法与手段
相切线的定义
直线与圆只有一个公共点 ，即直线与圆相切。
相切线的性质
相切线与圆心的距离等于 圆的半径。
相切线的应用
在几何图形中，相切线可 以用于求解与圆相关的最 值问题，如圆的面积、周 长等。
相交线的性质及应用
相交线的定义
直线与圆有两个公共点，即直线与圆相交。
相交线的性质
相交线与圆心的距离小于圆的半径。
03
直线与圆的位置关系的判定方 法
代数法
定义
通过解直线与圆方程组成的方程 组，利用解的情况判断直线与圆
的位置关系。
步骤
将直线方程代入圆方程，消去一 个变量后得到一个关于另一个变 量的二次方程。根据二次方程的 判别式判断直线与圆的位置关系
。
结论
若判别式小于0，则直线与圆相 离；若判别式等于0，则直线与 圆相切；若判别式大于0，则直
线与圆相交。
几何法
定义
通过观察直线与圆心的距离和圆 的半径，判断直线与圆的位置关
系。
步骤
计算直线到圆心的距离d，比较d 与圆的半径r的大小。若d小于r， 则直线与圆相交；若d等于r，则直 线与圆相切；若d大于r，则直线与 圆相离。
结论
几何法适用于判断直线与圆的位置 关系，但需要一定的观察和计算能 力。
本节内容通过具体例题的解析，让学生掌握直线与圆位置关系的判定方法，同时培养了学 生的分析问题和解决问题的能力。
4.2.1直线与圆的位置关系.pptx
1 当 d＜r，即–2＜b＜2 时，直线与圆相交，有两个公共点； 2 当 d = r，即 b= 2 时，直线与圆相切，有一个公共点；
3 当 d＞r，即 b＞2 或 b＜–2 时，直线与圆相离， 无公共点.
解法 2：联立两个方程得方程组x2 y2 2 .消去 y2 得 y xb
2x2 + 2bx + b2 – 2 = 0， =16 – 4b2. （1）当 ＞0，即–2 ＜b＜2 时，直线与圆有两个公共点；
学海无 涯
4.2.1 直线与圆的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
1 理解直线与圆的位置的种类；
2 利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 ；
3 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
（二）过程与方法 设直线 l：ax + by +
c
=
0，圆
C：x2+
y2
+
Dx
+
Ey
+
F
=
练习题.
直线与圆的
位置关系.
10．课堂小结： 教师提出下列问题让
学生思考：
1 通过直线与圆的 位置 关系的判断，你学到了 什 归纳总结 么？ 2 判断直线与圆的 位置
关系有几种方法？它 们
师生共同回顾
回顾、 反思、总结 形成知识体 系
的特点是什么？
3 如何求出直线与 圆的
相交弦长？
课外作业
布置作业： 见习题 4.2 第一课时
0，圆的半径为
r，圆心(
D
,
E
)
22
到直线的距离为 d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
《直线与圆的位置关系》优质课件
汇报人：日期:CATALOGUE目录•教学目标与重点难点•教学内容与过程•教学方法与手段•教学资源与反思•作业布置与反馈•教学案例与拓展•总结与展望教学目标与重点难点使学生掌握直线与圆的位置关系的判断方法，理解点到直线的距离公式，并能够进行简单的应用。
知识与技能通过实例演示和探究活动，培养学生的数学思维能力和自主学习能力。
过程与方法让学生感受到数学与生活的紧密联系，培养学生对数学的兴趣和自信心。
情感态度与价值观教学目标重点难点直线与圆的位置关系的判断方法，点到直线的距离公式。
难点如何应用点到直线的距离公式解决实际问题。
教学内容与过程回顾初中已学过的直线与圆的位置关系引出高中阶段需要进一步学习的直线与圆的位置关系展示生活中的直线与圆的实例，激发学生对该主题的兴趣复习导入介绍直线与圆位置关系的种类：相交、相切、相离引导学生通过实验和推理，理解直线与圆位置关系的判定方法和性质通过观察和操作，让学生感受直线与圆的位置关系探索新知设计不同难度的练习题，让学生动手操作，加深对直线与圆位置关系的理解通过小组合作、讨论，引导学生自主解决问题，培养学生的合作精神和解决问题的能力巩固练习归纳小结回顾本节课学习的重点内容，引导学生总结直线与圆位置关系的判定方法和性质强调本节课学习的意义和作用，激发学生对数学的兴趣和热情教学方法与手段通过展示直线和圆的模型和图像，帮助学生理解直线与圆的位置关系。
直观演示法探究式教学法归纳总结法引导学生通过观察、思考和实践，自主探究直线与圆的位置关系的特点和规律。
将学生探究的结果进行归纳和总结，形成系统化的知识结构。
030201使用PPT等多媒体手段，展示直线与圆的图像和动画，帮助学生更好地理解。
多媒体辅助展示直线和圆的模型，让学生更直观地感受直线与圆的位置关系。
实物展示组织学生进行小组讨论和交流，鼓励学生互相学习和分享经验。
互动交流教学资源与反思深入剖析教材，理解教材的编排思路和用意，挖掘教材中的重点和难点。
§4.2.1直线与圆的位置关系PPT名师课件
（3）
弦长公式：设直线 l：y＝kx＋b，与圆 两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入 圆的方程，消元后利用韦达定理得弦长
练一练：例
l＝
1＋k2 |x1 － x2| ＝
2及变式用
弦长公式怎 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
么解答？
§4.2.1直线与圆的位置关系PPT名师 课件
§4.2.1直线与圆的位置关系PPT名师 课件
四、圆的切线问题：
思考1:圆的切线有什么性质？
切线与圆只有一个交点；圆心与切点连线与切线垂直；
圆心到切线的距离等于半径。
思考2:过圆上一点、圆外一点作圆的切线，分别可
作多少条？
M
M
§4.2.1直线与圆的位置关系PPT名师 课件
§4.2.1直线与圆的位置关系PPT名师 课件
例4、已知圆的方程是 x2 y2 r2，求经过圆上一点 M(x0, y0)
分析：为解决这个问题，我们以台风中心为坐标原点O，以东
西方向为x轴建立直角坐标系(如右图所示)，其中取10km为单
位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的 圆的方程为x2＋y2＝9，
y 港口
港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船
l
的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
则轮船航线所在直线l的方程为 即4x＋7y－28＝0.
§4.2.1直线与圆的位置关系PPT名师 课件
问题探究
一、直线与圆的位置关系 探究一：直线与圆的交点个数情况是 怎样的？如何定义这几种情况呢？
1.直线和圆只有一个公共点,叫做 直线和圆相切.
2.直线和圆有两个公共点,叫做 直线和圆相交.
3.直线和圆没有公共点时,叫做 直线和圆相离.
广东省佛山市中大附中三水实验中学高中数学课件： 4.2.1 直线与圆的位置关系 (新人教A版必修2)
第八页，编辑于星期日：九点 三十八分。
练习
▪ P128 练习4 用代数法
解：代数法 联立圆和直线的方程得
y x6
①
x
2
y2
2
y
4
0
②
把①代入②
x2 5x 10 0 ③
(5)2 41 (10) 15 0
所以方程③没有实数根
所以直线l与圆没有交点，它们相离。
y
C
O
x
第九页，编辑于星期日：九点 三十八分。
解：代数法
联立圆和直线的方程得
yB
3x y 6 0
①
x
2
y2
2
y
4
0
②
由①得
y 3x 6 ③
C
把上式代入②
x2 3x 2 0 ④
O
Ax
(3)2 41 (2) 1 0
所以方程④有两个不相等的实根x1，x2 把x1，x2代入方程③得到y1，y2
所以直线l与圆有两个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2)
例2.已知圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线方程。
解：设圆心为C，切线的斜率为k ,
y
半径CM的斜率为k1 ,
因为圆的切线垂直于过切点的半径，
．r C
M(x0,y0)
于是 k 1
k1
O
k1
y0 x0
b a
k x0 a y0 b
x
经过点M的切线方程是
所以方程组有两解，
直线L与圆C相交
几何法： 圆心C（3，2）到直线L的距离
d= |33 42 12| 1 32 42
广东省佛山市中大附中三水实验中学九年级数学下册《直线与圆的位置关系》课件1 新人教
r o
d l
r o
d
l
r od
l
（1）直线l 和⊙O相离 （2）直线l 和⊙O相切 （3）直线l 和⊙O相交
d__>__r d__=__r
d__<__r
判定直线与圆的位置关系的方法有_两___种：
（1）根据定义，由_直__线__与__圆__的__公__共__点__ 的个数来判断；
（2）根据性质，由_圆__心__到__直__线__的__距__离__d_与__半__径__r_ 的关系来判断。
圆的切线垂直于过切点的直径
提示： 圆的切线垂直于过切点的直径
如图，在等腰△ABC中，AB=AC=2cm，若以 A为圆心，1cm为半径的圆与BC相切于D，则 ∠ABC的度数为………………………（ A ） A、30° B、60° C、90° D、120°
A
B
D
C
例1
已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.
. 切线 l
唯一的公共点叫切点。
切点 A
相离：直线和圆_没___有__公共点，
叫做直线和圆相离。
.O
l
看图判断直线l与 ⊙O的位置关系:
l ·O
·O
l ·O
（1）
相离
l
（2）
相交
（3）
相切
你还有其他方法判
相·交O
l
断直线与圆的位置 关系吗？
（4）
用圆心到直线的距离d和圆半径r的数量关系， 来揭示圆和直线的位置关系。
(2) (1)
a(地平线) (3)
这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?
一、直线与圆的位置关系（用公共点的个数来区分）
421直线与圆的位置关系(公开课)精品PPT课件
1. 直线方程的一般式 为:__A_x_+__B_y_+__C_=__0_(_A_,_B_不__同__时__为____
2.圆的零标)准方程为：(x__-a__)2_+__(y__-b__)_2=__r2
圆心为_（__a_，___b_) 半径为__r____
3.圆的一般方程：
_x_2_+__y_2_+_D__x_+_E__y_+_F_=__0_(_其__中__D__2+__E_2_-___
分析：圆心到直线的距离
yL B
C● 0
A x
方法二，可以依据弦心距 与半径的关系，判断直线 与圆的位置关系。
图4.2-2 9
例1.已知直线 l : 3x y 6 关系 解：代数法
yB
联立圆和直线的方程得
3x y 6 0
①
x2
y2
4F>0) ( D , E )
1 D2 E2 4F
圆心为 2 半2径为 2
1
4.2.1 直线与圆的位置关系
2
引入：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接
到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西
70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区
域。已知港口位于台风中心正北40km处，如果这
艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影
响？
.y 港口
.
O
轮船 x
3
1、点和圆的位置关系有几种？
d
r （1）d<r （2）d=r （3）d>r
点在圆内
点在圆 点在上圆外
4
2、“大漠孤烟直，长河落日圆” 是唐朝诗人王维 的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线, 那你能想象一下，直线和圆的位置关系有几种？
2.圆的零标)准方程为：(x__-a__)2_+__(y__-b__)_2=__r2
圆心为_（__a_，___b_) 半径为__r____
3.圆的一般方程：
_x_2_+__y_2_+_D__x_+_E__y_+_F_=__0_(_其__中__D__2+__E_2_-___
分析：圆心到直线的距离
yL B
C● 0
A x
方法二，可以依据弦心距 与半径的关系，判断直线 与圆的位置关系。
图4.2-2 9
例1.已知直线 l : 3x y 6 关系 解：代数法
yB
联立圆和直线的方程得
3x y 6 0
①
x2
y2
4F>0) ( D , E )
1 D2 E2 4F
圆心为 2 半2径为 2
1
4.2.1 直线与圆的位置关系
2
引入：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接
到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西
70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区
域。已知港口位于台风中心正北40km处，如果这
艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影
响？
.y 港口
.
O
轮船 x
3
1、点和圆的位置关系有几种？
d
r （1）d<r （2）d=r （3）d>r
点在圆内
点在圆 点在上圆外
4
2、“大漠孤烟直，长河落日圆” 是唐朝诗人王维 的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线, 那你能想象一下，直线和圆的位置关系有几种？
【高中数学课件】直线和圆的位置关系1 ppt课件
【高中数学课件】直线和圆的 位置关系1 ppt课件
直线与圆的位置关系 的判定方法：
直线l：Ax+By+C=0，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d>r
直线与圆相离
aAbBC
d=r
直线与圆相切 d
d<r
直线与圆相交
A2 B2
(2).利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
(C)
(C) 在圆外
(D)以上皆有可能
(2)若圆x2+y2=1与直线 x
y
+
=1(a>0,b>0)相切，
则ab的最小值为 a b
(C )
(A)1
(B) 2 (C)2
(D)4
例题2
已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16 (1)自P作⊙O的切线，求切线的长及切线的方程; (2)过P任意作直线l与⊙O交于A、B两相异点，求 弦AB中点M的轨迹.
设方 程 (A xx 组 aB )2 y(C y b0)2r2的解的n个
△<0
n=0
直线与圆相离
△=0
n=1
直线与圆相切
△>0
n=2
直线与圆相交
例题1
(1)若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a,b)
与圆的位置关系天马是行空官方博客： (A)在圆上QhQt:t1p3:1/8/2t4.1q1q8.9c；omQ/Qt群m(xB：k_1)d7o5在c5i6n9圆6；32内
x1
x
y
10k2
x2
x1
x215kk22
直线与圆的位置关系 的判定方法：
直线l：Ax+By+C=0，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d>r
直线与圆相离
aAbBC
d=r
直线与圆相切 d
d<r
直线与圆相交
A2 B2
(2).利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
(C)
(C) 在圆外
(D)以上皆有可能
(2)若圆x2+y2=1与直线 x
y
+
=1(a>0,b>0)相切，
则ab的最小值为 a b
(C )
(A)1
(B) 2 (C)2
(D)4
例题2
已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16 (1)自P作⊙O的切线，求切线的长及切线的方程; (2)过P任意作直线l与⊙O交于A、B两相异点，求 弦AB中点M的轨迹.
设方 程 (A xx 组 aB )2 y(C y b0)2r2的解的n个
△<0
n=0
直线与圆相离
△=0
n=1
直线与圆相切
△>0
n=2
直线与圆相交
例题1
(1)若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a,b)
与圆的位置关系天马是行空官方博客： (A)在圆上QhQt:t1p3:1/8/2t4.1q1q8.9c；omQ/Qt群m(xB：k_1)d7o5在c5i6n9圆6；32内
x1
x
y
10k2
x2
x1
x215kk22
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1,在圆外. .∴点 2 P(a,b) 2 a b 1
)
B.在圆外 D.以上都有可能
4.设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值 为( A.±4 C.±2
|a| 2, 2
) B.± D.±
2 2
2
解析:直线方程为y-a=x,即x-y+a=0.该直线与圆x2+y2=2相 切 ,∴ ∴a=±2.
两边平方,整理得2k2-5k+2=0. 解得
1 k=2. k 或 , 2
代入(1)知,Δ>0. 故直线l的方程为x-2y+5=0,或2x-y-5=0.
解法2:如右图所示,OH是圆心到直线l的距离,OA是圆的半 径,AH是弦长AB的一半, 在Rt△AHO中,OA=5,
规律技巧:关于弦长问题,通常有两种方法,其一称为代数法, 即将直线方程代入圆的方程,消去一个变量y(或x),利用韦达 定理,代入两点间距离公式求解.其二称为几何法,即半弦长､
(3)设圆的切线方程为y=-x+b,代入圆的方程, 整理得2x2-2bx+b2-4=0. ∵直线与圆相切, ∴Δ=(-2b)2-4×2(b2-4)=0. 解得b=±
2 2.
所求切线方程为x+y±
2 2 0.
规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方 程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.
达标检测：教材P132页4,9,10题 课后作业：导练设计P151页的1-12题
作业问题 9.求圆
x y 4 0 与圆 2 2 的公共弦长 x y 4 x 4 y 12 0
2 2
10.求经过点M（2，-2），以及圆 2 2 2 2 x y 6x 0 与 x y 交点的圆的方程
弦心距､半径组成直角三角形,利用直角三角形求解.本例说明
几何法比代数法简便.
变式训练3:求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
消去y得x2-3x+2=0, 解得x1=1,x2=2,∴y1=3,y2=0. ∴两交点坐标A(1,3),B(2,0),
∴弦长
| AB | (3 0) 2 (2 1) 2 10.
组进行消元,然后用判别式来判断,这种方法计算量大一点,
但具有较普遍的意义.
变式训练1:以点C(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离,则
(0, 2 5) 圆C的半径r的取值范围是____________.
解析:圆心C(-4,3)到直线2x+y-5=0的距离
题型二 切线问题 例2:已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切 线方程. 分析:只要求出切线的斜率即可. 解:如右图所示,设切线的斜率为 k,半径OM的斜率为k1.
典 例 剖 析 (学生用书P88)
题型一 直线与圆的位置关系 例1:直线x+y-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0是相切､相离还是相 交?
消去y,并整理可得,
x2-6x+9=0.
Δ=(-6)2-4×9=0, ∴直线与圆相切. 方法2:将已知圆配方得 (x-2)2+(y+1)2=2, ∴圆心(2,-1)到直线的距离 ∴
解析:当直线l与过圆心(2,0)和点
(1, 2)的直线垂直时,直线
k 2 . 2
l截得的劣弧最短,此时其对的圆心角最小,可求得
7.若直线y=x+k与曲线
x 1 y 2恰有一个公共点,则k的取
k 2或k (1,1] 值范围是__________________.
总结：判断两圆的位置关系的两种方法 1.两圆的圆心距和半径之间的关系 2.两圆的方程联立的方程组的解得组数 巩固训练：判断两圆的位置关系 C1：x C2：x 2
2
y 2x 3y 1 0 2 y 4x 3 y 2 0
2
例1.若圆C1：x 与圆C2:
2
2
y 16
正西70km处，港口位于 小岛中心正北40km处，
O
港口
轮船
如果轮船沿直线返航，
它是否有触礁危险？
直线与圆有三种位置关系:(1)直线与圆 ________,有两个公共点 . 相交
(2)直线与圆________, 相切 有一个公共点.
(3)直线与圆________, 没有公共点. 相离
思考： 如何判断直线和圆的位置关系？结合刚 说的问题
例2.已知圆的方程 直线y=x+b,当b为何值时 ①圆与直线有两个公共点； ②圆与直线只有一个公共点； ③圆与直线没有公共点
自我检测：教材P128页2-4题， 达标检测:教材P132页A组的1-3题
第二课时
目标：会解决直线与圆相交的弦长问题
例1.求直线l:3x-y-6=0被圆C：
x y 2x 4 y 0
思考： 1.两圆的位置关系有哪几种？ 2.如何判断两圆的位置关系？ 2 2 已知圆C1：x y 2 x 8 y 8 0
圆C2： x y 4 x 4 y 2 0 试判断两圆的位置关系
2 2
O1
O2
O1
O2
O1
O2
O1
O2
1.两圆的公切线 2.两圆的交线和圆 心连线关系
4.已知圆 x y Dx Ey F 0 与y轴且于原点，那么（ ） A.D=0，E=0，F≠0 B.D=0,E ≠0,F=0 C.D ≠ 0,E=0,F=0 D.D ≠0,E ≠0,F=0
2 2
达标检测:导练设计P149页1-12题
第四课时
目标： 1.知道两圆的5种位置关系 2.会用两种方法判断两圆位置关系：一 种是通过圆心距与半径之间的关系； 另一种是两圆的方程联立的方程组的 解得个数来判断
题型三 弦长问题 例3:直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交,截得弦长为 求l的方程 4 5, . 分析:若直线l的斜率不存在,l:x=5与圆C相切,可知直线l的斜 率存在,设直线l的方程为y-5=k(x-5),再根据弦长 得方程求k.
AB 4 5,
解法1:设直线l的方程为y-5=k(x-5)且与圆C相交于 A(x1,y1)\,B(x2,y2),
§4.2 直线､圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
1.了解直线与圆的位置关系,有相离､相 切､相交三种情形.
2.会用几何法(d与r的关系)､代数法(直线
方程与圆的方程解的组数)来判断直线 与圆的位置关系.
问题：一个小岛的周围有环形暗礁，暗礁 分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的
圆形区域。小岛中心位于轮船
4
4.求圆心在直线x-y-4=0上，并且经过圆
x y 6x 4 0 2 2 与圆 x y 6 y 28 0
2 2
的交点的圆的方程 达标检测：导练设计P151页1-11题
3.求圆的切线方程的常用方法 (1)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切 线的性质,求出切线的斜率.k切= 得. 也可以利用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过该点的 切线方程是x0x+y0y=r2.②若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y 1 , 代入点斜式方程可 kCP
目标：理解直线和圆相切的位置关系， 会解决直线和圆相切的有关问题
思考： 2 2 1.求过点A（1,2）和圆 x y 1 相切的直线方程 2 2 2.求和圆 x y 2 相切且切点为P （1,1）的直线方程 3.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且 与直线4x-3y=0和x轴都相切，求该圆的 标准方程
解得
3 k ∴切线方程为4 .
| k 2 6k 8 | k 1
2
5,
即3x+4y+14=0.
3 3 x y 6 ( ) 8 0, 4 4
错因分析:事实上,从圆外一点作圆的切线有两条错解中只考 虑了斜率存在的情况,忽略了斜率不存在时的切线,造成错 解. 正解:在错解中补充上,另一条切线x=6即可.
2
2
( x a) y 1
相切，则a的____________
例2.两圆
x y 4x 2 y 1 0
2 2 2 2
x y 4x 4 y 1 0
的公切线有_____条的圆心在直线x-y+n=0上，则m+n= ( )
b)2=r2上,则过该点的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(2)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时可设切线 方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距离等于半径求k. 若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别
式Δ=0求k的值.
答案:C
5.直线3x+4y-5=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是( A.相离 B.相切
)
C.相交且过圆心
D.相交不过圆心
解析:将圆的方程配方得
∴直线与圆相交且通过圆心. 答案:C
6.过点
的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所 (1, 2)
2 对的圆心角最小时,直线l的斜率k=________. 2
因为圆的切线垂直于过
切点的半径,于是
k 1 . k1
当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用.
变式训练2:求由下列条件所决定圆x2+y2=4的切线方程. (1)经过点
P( 3,1);
(2)经过点Q(3,0); (3)斜率为-1. 解:(1)∵ ∴点
)
B.在圆外 D.以上都有可能
4.设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值 为( A.±4 C.±2
|a| 2, 2
) B.± D.±
2 2
2
解析:直线方程为y-a=x,即x-y+a=0.该直线与圆x2+y2=2相 切 ,∴ ∴a=±2.
两边平方,整理得2k2-5k+2=0. 解得
1 k=2. k 或 , 2
代入(1)知,Δ>0. 故直线l的方程为x-2y+5=0,或2x-y-5=0.
解法2:如右图所示,OH是圆心到直线l的距离,OA是圆的半 径,AH是弦长AB的一半, 在Rt△AHO中,OA=5,
规律技巧:关于弦长问题,通常有两种方法,其一称为代数法, 即将直线方程代入圆的方程,消去一个变量y(或x),利用韦达 定理,代入两点间距离公式求解.其二称为几何法,即半弦长､
(3)设圆的切线方程为y=-x+b,代入圆的方程, 整理得2x2-2bx+b2-4=0. ∵直线与圆相切, ∴Δ=(-2b)2-4×2(b2-4)=0. 解得b=±
2 2.
所求切线方程为x+y±
2 2 0.
规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方 程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.
达标检测：教材P132页4,9,10题 课后作业：导练设计P151页的1-12题
作业问题 9.求圆
x y 4 0 与圆 2 2 的公共弦长 x y 4 x 4 y 12 0
2 2
10.求经过点M（2，-2），以及圆 2 2 2 2 x y 6x 0 与 x y 交点的圆的方程
弦心距､半径组成直角三角形,利用直角三角形求解.本例说明
几何法比代数法简便.
变式训练3:求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
消去y得x2-3x+2=0, 解得x1=1,x2=2,∴y1=3,y2=0. ∴两交点坐标A(1,3),B(2,0),
∴弦长
| AB | (3 0) 2 (2 1) 2 10.
组进行消元,然后用判别式来判断,这种方法计算量大一点,
但具有较普遍的意义.
变式训练1:以点C(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离,则
(0, 2 5) 圆C的半径r的取值范围是____________.
解析:圆心C(-4,3)到直线2x+y-5=0的距离
题型二 切线问题 例2:已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切 线方程. 分析:只要求出切线的斜率即可. 解:如右图所示,设切线的斜率为 k,半径OM的斜率为k1.
典 例 剖 析 (学生用书P88)
题型一 直线与圆的位置关系 例1:直线x+y-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0是相切､相离还是相 交?
消去y,并整理可得,
x2-6x+9=0.
Δ=(-6)2-4×9=0, ∴直线与圆相切. 方法2:将已知圆配方得 (x-2)2+(y+1)2=2, ∴圆心(2,-1)到直线的距离 ∴
解析:当直线l与过圆心(2,0)和点
(1, 2)的直线垂直时,直线
k 2 . 2
l截得的劣弧最短,此时其对的圆心角最小,可求得
7.若直线y=x+k与曲线
x 1 y 2恰有一个公共点,则k的取
k 2或k (1,1] 值范围是__________________.
总结：判断两圆的位置关系的两种方法 1.两圆的圆心距和半径之间的关系 2.两圆的方程联立的方程组的解得组数 巩固训练：判断两圆的位置关系 C1：x C2：x 2
2
y 2x 3y 1 0 2 y 4x 3 y 2 0
2
例1.若圆C1：x 与圆C2:
2
2
y 16
正西70km处，港口位于 小岛中心正北40km处，
O
港口
轮船
如果轮船沿直线返航，
它是否有触礁危险？
直线与圆有三种位置关系:(1)直线与圆 ________,有两个公共点 . 相交
(2)直线与圆________, 相切 有一个公共点.
(3)直线与圆________, 没有公共点. 相离
思考： 如何判断直线和圆的位置关系？结合刚 说的问题
例2.已知圆的方程 直线y=x+b,当b为何值时 ①圆与直线有两个公共点； ②圆与直线只有一个公共点； ③圆与直线没有公共点
自我检测：教材P128页2-4题， 达标检测:教材P132页A组的1-3题
第二课时
目标：会解决直线与圆相交的弦长问题
例1.求直线l:3x-y-6=0被圆C：
x y 2x 4 y 0
思考： 1.两圆的位置关系有哪几种？ 2.如何判断两圆的位置关系？ 2 2 已知圆C1：x y 2 x 8 y 8 0
圆C2： x y 4 x 4 y 2 0 试判断两圆的位置关系
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O1
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O1
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1.两圆的公切线 2.两圆的交线和圆 心连线关系
4.已知圆 x y Dx Ey F 0 与y轴且于原点，那么（ ） A.D=0，E=0，F≠0 B.D=0,E ≠0,F=0 C.D ≠ 0,E=0,F=0 D.D ≠0,E ≠0,F=0
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达标检测:导练设计P149页1-12题
第四课时
目标： 1.知道两圆的5种位置关系 2.会用两种方法判断两圆位置关系：一 种是通过圆心距与半径之间的关系； 另一种是两圆的方程联立的方程组的 解得个数来判断
题型三 弦长问题 例3:直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交,截得弦长为 求l的方程 4 5, . 分析:若直线l的斜率不存在,l:x=5与圆C相切,可知直线l的斜 率存在,设直线l的方程为y-5=k(x-5),再根据弦长 得方程求k.
AB 4 5,
解法1:设直线l的方程为y-5=k(x-5)且与圆C相交于 A(x1,y1)\,B(x2,y2),
§4.2 直线､圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
1.了解直线与圆的位置关系,有相离､相 切､相交三种情形.
2.会用几何法(d与r的关系)､代数法(直线
方程与圆的方程解的组数)来判断直线 与圆的位置关系.
问题：一个小岛的周围有环形暗礁，暗礁 分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的
圆形区域。小岛中心位于轮船
4
4.求圆心在直线x-y-4=0上，并且经过圆
x y 6x 4 0 2 2 与圆 x y 6 y 28 0
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的交点的圆的方程 达标检测：导练设计P151页1-11题
3.求圆的切线方程的常用方法 (1)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切 线的性质,求出切线的斜率.k切= 得. 也可以利用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过该点的 切线方程是x0x+y0y=r2.②若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y 1 , 代入点斜式方程可 kCP
目标：理解直线和圆相切的位置关系， 会解决直线和圆相切的有关问题
思考： 2 2 1.求过点A（1,2）和圆 x y 1 相切的直线方程 2 2 2.求和圆 x y 2 相切且切点为P （1,1）的直线方程 3.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且 与直线4x-3y=0和x轴都相切，求该圆的 标准方程
解得
3 k ∴切线方程为4 .
| k 2 6k 8 | k 1
2
5,
即3x+4y+14=0.
3 3 x y 6 ( ) 8 0, 4 4
错因分析:事实上,从圆外一点作圆的切线有两条错解中只考 虑了斜率存在的情况,忽略了斜率不存在时的切线,造成错 解. 正解:在错解中补充上,另一条切线x=6即可.
2
2
( x a) y 1
相切，则a的____________
例2.两圆
x y 4x 2 y 1 0
2 2 2 2
x y 4x 4 y 1 0
的公切线有_____条的圆心在直线x-y+n=0上，则m+n= ( )
b)2=r2上,则过该点的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(2)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时可设切线 方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距离等于半径求k. 若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别
式Δ=0求k的值.
答案:C
5.直线3x+4y-5=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是( A.相离 B.相切
)
C.相交且过圆心
D.相交不过圆心
解析:将圆的方程配方得
∴直线与圆相交且通过圆心. 答案:C
6.过点
的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所 (1, 2)
2 对的圆心角最小时,直线l的斜率k=________. 2
因为圆的切线垂直于过
切点的半径,于是
k 1 . k1
当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用.
变式训练2:求由下列条件所决定圆x2+y2=4的切线方程. (1)经过点
P( 3,1);
(2)经过点Q(3,0); (3)斜率为-1. 解:(1)∵ ∴点