数学专题七第1讲坐标系与参.ppt
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《坐标系讲义》课件
随着科技进步和技术推广，人们对精确坐标的需求越来越高，未来坐标系会更加精确、 标准化和智能化，根据不同领域的需求而不断演变。
每种坐标系都有其独特的表达方式。
平面直角坐标系
定义和性质
平面直角坐标系，又称笛卡尔坐 标系，以两个互相垂直的数轴作 为基准线，确定平面中每个点的 唯一位置，是最常用的坐标系。
建立方法
建立平面直角坐标系需要确定原 点、方向、刻度等元素。建立好 坐标系后，可以用数对的方式来 表示平面内每一个点。
点的表示方法
二维平面直角坐标系中，每个点 都可以表示为一个二元组(x,y)。
空间直角坐标系
定义和性质
空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上 发展而来，由三个互相垂直的数轴组成。它可 以表示物体在三维空间中的位置。
点的表示方法
对于三维空间直角坐标系，每一个点都有唯一 的三元组(x,y,z)来表示。
建立方法
建立空间直角坐标系需要确定坐标轴方向和长 度（即三个互相垂直的基向量），确定左手法 则等。
点的表示方法
平面上的每个点都可以表示为(r, θ)，其中r表示 从原点到点的距离，θ表示原点到点线段与极轴 的夹角。
其他坐标系
1
柱坐标系的定和性质
柱坐标系也属于三维坐标系，是由一个垂直于平面直角坐标系的柱面和极坐标系 组成的。
2
球坐标系的定义和性质
球坐标系则是三维空间中的一种坐标系，在球面上描述点的位置。它是由一个球 面、一个半径、以及极坐标系组成的。
常见的坐标系变换方法
在许多科学领域，坐标系变换是常见的操作，包括 旋转、平移、缩放和变换等。通过这些变换，可以 将坐标系进行转换，从而实现不同坐标系之间的联 系和转换。
总结和展望
每种坐标系都有其独特的表达方式。
平面直角坐标系
定义和性质
平面直角坐标系，又称笛卡尔坐 标系，以两个互相垂直的数轴作 为基准线，确定平面中每个点的 唯一位置，是最常用的坐标系。
建立方法
建立平面直角坐标系需要确定原 点、方向、刻度等元素。建立好 坐标系后，可以用数对的方式来 表示平面内每一个点。
点的表示方法
二维平面直角坐标系中，每个点 都可以表示为一个二元组(x,y)。
空间直角坐标系
定义和性质
空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上 发展而来，由三个互相垂直的数轴组成。它可 以表示物体在三维空间中的位置。
点的表示方法
对于三维空间直角坐标系，每一个点都有唯一 的三元组(x,y,z)来表示。
建立方法
建立空间直角坐标系需要确定坐标轴方向和长 度（即三个互相垂直的基向量），确定左手法 则等。
点的表示方法
平面上的每个点都可以表示为(r, θ)，其中r表示 从原点到点的距离，θ表示原点到点线段与极轴 的夹角。
其他坐标系
1
柱坐标系的定和性质
柱坐标系也属于三维坐标系，是由一个垂直于平面直角坐标系的柱面和极坐标系 组成的。
2
球坐标系的定义和性质
球坐标系则是三维空间中的一种坐标系，在球面上描述点的位置。它是由一个球 面、一个半径、以及极坐标系组成的。
常见的坐标系变换方法
在许多科学领域，坐标系变换是常见的操作，包括 旋转、平移、缩放和变换等。通过这些变换，可以 将坐标系进行转换，从而实现不同坐标系之间的联 系和转换。
总结和展望
第2部分 专题7 第1讲 坐标系与参数方程 课件(共40张PPT)
消去参数 t 得 x2＋y2＝1，
故曲线 C1 是圆心为坐标原点，半径为 1 的圆．
x＝cos4t， (2)当 k＝4 时，C1：y＝sin4t， 消去参数 t 得 C1 的直角坐标方
程为 x＋ y＝1.C2 的直角坐标方程为 4x－16y＋3＝0.
由4xx－＋16yy＝＋13，＝0，
解得x＝14， y＝14.
(2) 经 过 点 P(x0 ， y0) 且 倾 斜 角 为 α 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为
xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)．若 A，B 为直线 l 上的两点，其对应参
数分别为 t1，t2，线段 AB 的中点为 M，点 M 对应的参数为 t0，则以
下结论在解题中经常用到：①t0＝t1＋2 t2；②|PM|＝|t0|＝t1＋2 t2；③|AB|
1．[以几何图形为载体] 在极坐标系下，方程 ρ＝2sin 2θ 的图形为如图所示的“幸运四叶 草”，又称为玫瑰线．
(1)当玫瑰线的 θ∈0，π2时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线 的交点的极坐标；
(2)求曲线 ρ＝sin2θ＋2 π4上的点 M 与玫瑰线上的点 N 距离的最小值 及取得最小值时的点 M，N 的极坐标．
易得|CC1|＝3－2 2，圆 C1 的半径 r1＝2，圆 C 的半径 r＝ 2， 所以|CC1|＜r1－r，
所以 C 与 C1 没有公共点．
命题规律：以解答题的形式出现，分值 10 分． 通性通法：(1)消去参数的三种常用方法 ①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数； ②利用三角恒等式消去参数； ③根据参数方程本身的结构特点，灵活地选用一些方法从整体上 消去参数．
x′＝2x，
高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题7选修部分第1讲选修44坐标系与参数方程课件新人教版
34
典例3 (2020·南平三模)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点
O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
ρ＝1－c2os
θ，直线
l1
的参数方程为xy＝＝ttcsions
α α
(t 为参数)，π2＜α＜π，点 A
为直线 l1 与曲线 C 在第二象限的交点，过 O 点的直线 l2 与直线 l1 互相垂 直，点 B 为直线 l2 与曲线 C 在第三象限的交点．
19
1．(2020·中原区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1：ρ＝4sin θ，曲线 C2：ρ ＝4cos θ.
(1)求曲线 C1 与 C2 的直角坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π3(ρ∈R)，设 C3 与 C1 和 C2 的交点 分别为 M，N，求|MN|.
25
典例2 (2020·河南模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的
参
数
方
程
为
x＝2cos α y＝ 3sin α
(α
为参数)，直线
l 的参数方程为
x＝1＋tcos α y＝tsin α
(t 为参数)．
(1)求曲线 C 和直线 l 的一般方程；
(2)已知点 P(1,0)，直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，若|PA|·|PB|＝152，
14
典例1 (2020·沙坪坝区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标
方程为
ρ＝2acosθ，曲线
C2
的极坐标方程为
典例3 (2020·南平三模)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点
O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
ρ＝1－c2os
θ，直线
l1
的参数方程为xy＝＝ttcsions
α α
(t 为参数)，π2＜α＜π，点 A
为直线 l1 与曲线 C 在第二象限的交点，过 O 点的直线 l2 与直线 l1 互相垂 直，点 B 为直线 l2 与曲线 C 在第三象限的交点．
19
1．(2020·中原区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1：ρ＝4sin θ，曲线 C2：ρ ＝4cos θ.
(1)求曲线 C1 与 C2 的直角坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π3(ρ∈R)，设 C3 与 C1 和 C2 的交点 分别为 M，N，求|MN|.
25
典例2 (2020·河南模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的
参
数
方
程
为
x＝2cos α y＝ 3sin α
(α
为参数)，直线
l 的参数方程为
x＝1＋tcos α y＝tsin α
(t 为参数)．
(1)求曲线 C 和直线 l 的一般方程；
(2)已知点 P(1,0)，直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，若|PA|·|PB|＝152，
14
典例1 (2020·沙坪坝区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标
方程为
ρ＝2acosθ，曲线
C2
的极坐标方程为
坐标系与参数方程PPT学习课件
答案
3π 2， 4
探究提高
解决这类问题一般有两种思路．一是将极
坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标， 再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立， 根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条 件及隐含条件．
变式训练 2
在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方
.
热点分类突破
题型一 极坐标与直角坐标(方程)的互化 例 1 (1)若点 P 的直角坐标为(1， － 3)， 则点 P 的极 坐标为________(0≤θ<2π)； 1 (2)将曲线的极坐标方程 sin θ＝ 化为直角坐标方程 3 为________________． 思维启迪 用极坐标与直角坐标的互化公式求解．
考题分析
本小题考查了极坐标的概念，曲线的极坐
标方程以及利用曲线的极坐标方程求曲线的交点问 题．考查了极坐标的基础知识以及运用极坐标解决问 题的能力．
易错提醒
(1)易忽略 ρ≠0 的条件和 0≤θ<2π.
(2)忽视极坐标与直角坐标的互化．
主干知识梳理
1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴 正半轴作为极轴，且在两坐标系中取 相同的长度单位．设 M 是平面内的任 意一点，它的直角坐标、极坐标分别为 (x，y)和(ρ，θ)，则
2 2 2 ρ ＝ x ＋ y x＝ρcos θ ， . y y ＝ ρ sin θ tan θ＝ (x≠0) x
2．直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α， 则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； π (3)直线过 M(b， )且平行于极轴：ρsin θ＝b. 2
数学二轮专题7选考部分第1讲坐标系与参数方程
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命题角 度
素养清单
真题示例
2019·全国卷
极坐 标、极
Ⅱ，22 2019·全国卷
坐标方 逻辑推理 Ⅲ，22 程的求 数学运算 2018·全国卷
解及其 应用
Ⅰ，22 2017·全国卷
Ⅱ，22
典例回顾
(1)求C2的直角坐标 方程； (2)若C1与C2有且仅 有三个公共点，求C1 的方程.
所以θ的取值范围是π4，π2. 所以P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈π4，π2.
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2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原
点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1
的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足
为xy＝ ＝a1＋ －4t t， (t为参数)． (1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l的距离的最大值为 17，求a.
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解析 (1)曲线C的普通方程为x92＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
x＋4y－3＝0， 由x92＋y2＝1，
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在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2， 经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上， 所以l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.
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(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝ 4cos θ，即 ρ＝4cos θ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
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《坐标系与投影》课件
坐标系的种类
直角坐标系：x、y、z三个坐标轴相互垂 直，原点为坐标原点
极坐标系：以原点为中心，半径为r，角度 为θ
柱坐标系：以原点为中心，半径为r，角度 为θ，高度为z
球坐标系：以原点为中心，半径为r，角度 为θ，高度为z，方向为φ
空间直角坐标系：x、y、z三个坐标轴相 互垂直，原点为坐标原点，适用于三维空 间
投影变换的应用实例
建筑设计：将三维建筑模型 投影到二维平面上，便于设 计、施工
地图投影：将地球表面投影 到平面上，便于绘制地图
医学影像：将人体内部结构 投影到二维平面上，便于医
生诊断
航空航天：将地球表面投影 到球面或圆柱面上，便于导
航和定位
THANK YOU
汇报人：
注意事项：在转换过程中，需要注意保持物体的形状和尺寸不变，避免出现变形和失真现象
不同坐标系之间的转换
直角坐标系与极坐标系的转换 球面坐标系与直角坐标系的转换 柱面坐标系与直角坐标系的转换 球面坐标系与柱面坐标系的转换
投影变换的数学表达方法
投影变换的定义：将空间中的点从一个坐标系变换到另一个坐标系的过程 投影变换的矩阵表示：通过矩阵乘法实现点在坐标系之间的变换 投影变换的向量表示：通过向量加法和乘法实现点在坐标系之间的变换 投影变换的应用：在计算机图形学、地理信息系统等领域广泛应用
交互技术：通 过手势、语音 等交互方式实 现与虚拟场景
的互动
应用领域：游 戏、教育、医 疗、设计等领
域
发展趋势：随 着技术的不断 进步，虚拟现 实的应用场景 将越来越广泛
投影变换的方法
平行投影与透视投影的转换
平行投影：将物体投影到平面上，保持物体与投影平面的距离不变
透视投影：将物体投影到平面上，保持物体与投影平面的距离不变，但投影平面与物体 之间的角度发生变化 转换方法：通过改变投影平面与物体之间的角度，可以实现平行投影与透视投影的转换
25第一部分 板块二 专题七 系列4选讲 第1讲 坐标系与参数方程(大题)
解 设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)， 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cos θ. 所以4ρcos θ＝20， 即C2的极坐标方程为ρcos θ＝5(ρ>0)， 所以C2的直角坐标方程为x＝5.
(2)设 C2 与 x 轴交于点 D，过点 D 且倾斜角为56π的直线 l 与 C1 相交于 A，B 两点， 求|DA|·|DB|的值.
则 d＝|2k1＋＋2kk2|＝ 1|4＋k|k2＝455， 解得 k＝±12.
(2)求线段AB中点E的轨迹方程.
解 设直线 l 的参数方程为xy＝ ＝－ tsin2＋θ tcos θ， (t 为参数)，θ∈－π6，π6，
代入圆C：(x－2)2＋y2＝4，得t2－8tcos θ＋12＝0. 设 A，B，E 对应的参数分别为 tA，tB，tE，则 tE＝tA＋2 tB，
由 t 的几何意义，得|MA|·|MB|＝－t1t2＝2156.
本课结束
圆心为点
M(x0，y0)，半径为
r
的圆的参数方程为 y＝y0＋rsin
θ
(θ 为参数).
3.圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的参数方程为xy＝ ＝abcsions
θ， θ
(θ 为参数).
x＝2pt2，
(2)抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
(t 为参数).
y＝2pt
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
解 设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为 P 在线段 OM 上，且 AP⊥OM，故 θ 的取值范围是π4，π2. 所以，P 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝4cos θ，θ∈π4，π2.
(2)设 C2 与 x 轴交于点 D，过点 D 且倾斜角为56π的直线 l 与 C1 相交于 A，B 两点， 求|DA|·|DB|的值.
则 d＝|2k1＋＋2kk2|＝ 1|4＋k|k2＝455， 解得 k＝±12.
(2)求线段AB中点E的轨迹方程.
解 设直线 l 的参数方程为xy＝ ＝－ tsin2＋θ tcos θ， (t 为参数)，θ∈－π6，π6，
代入圆C：(x－2)2＋y2＝4，得t2－8tcos θ＋12＝0. 设 A，B，E 对应的参数分别为 tA，tB，tE，则 tE＝tA＋2 tB，
由 t 的几何意义，得|MA|·|MB|＝－t1t2＝2156.
本课结束
圆心为点
M(x0，y0)，半径为
r
的圆的参数方程为 y＝y0＋rsin
θ
(θ 为参数).
3.圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的参数方程为xy＝ ＝abcsions
θ， θ
(θ 为参数).
x＝2pt2，
(2)抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
(t 为参数).
y＝2pt
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
解 设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为 P 在线段 OM 上，且 AP⊥OM，故 θ 的取值范围是π4，π2. 所以，P 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝4cos θ，θ∈π4，π2.
坐标系与参数方程 课件
(t
=
= -2 + ,
为参数),直线 l2 的参数方程为
(m 为参数).设 l1 与 l2 的
=
交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos
θ+sin θ)- 2 =0,M为l3与C的交点,求M的极径.
= cos,
为
(θ 为参数),过点(0,- 2)且倾斜角为 α 的直线 l 与☉O 交
= sin
于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
思考如何利用直线的参数方程求直线与曲线相交的弦长?
-21-
解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.
π
当 α= 时,l 与☉O 交于两点.
即曲线 C
2
2
的直角坐标方程为 + =1.
16
9
-12-
(2)因为曲线 C 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于点 A,B,所以
A(4,0),B(0,3).
所以直线 AB 的方程为 3x+4y-12=0.
设 P(4cos θ,3sin θ),则 P 到直线 AB 的距离为
|12cos+12sin-12|
2
3
10
代入 ρ2(cos2θ-sin2θ)=4 得 ρ2=5,
所以交点 M 的极径为 5.
10
-25-
思考如何把直角坐标方程化为极坐标方程?
-9-
解 (1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=-2,C2 的极坐标方程为
=
= -2 + ,
为参数),直线 l2 的参数方程为
(m 为参数).设 l1 与 l2 的
=
交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos
θ+sin θ)- 2 =0,M为l3与C的交点,求M的极径.
= cos,
为
(θ 为参数),过点(0,- 2)且倾斜角为 α 的直线 l 与☉O 交
= sin
于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
思考如何利用直线的参数方程求直线与曲线相交的弦长?
-21-
解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.
π
当 α= 时,l 与☉O 交于两点.
即曲线 C
2
2
的直角坐标方程为 + =1.
16
9
-12-
(2)因为曲线 C 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于点 A,B,所以
A(4,0),B(0,3).
所以直线 AB 的方程为 3x+4y-12=0.
设 P(4cos θ,3sin θ),则 P 到直线 AB 的距离为
|12cos+12sin-12|
2
3
10
代入 ρ2(cos2θ-sin2θ)=4 得 ρ2=5,
所以交点 M 的极径为 5.
10
-25-
思考如何把直角坐标方程化为极坐标方程?
-9-
解 (1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=-2,C2 的极坐标方程为