科哲第二章2.1完结
机器人学导论(克雷格)第二章作业答案

机器人学导论(克雷格)第二章作业答案本页仅作为文档封面,使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March2.1 solution:According to the equation of pure transition transformation,the new point after transition is as follows:100235010358(,,)0014711000111transx y z old P Trans d d d P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⨯==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2.3 solution:According to the constraint equations:0;0;01n a n o a o n •=•=•==Thus,the matrix should be like this:00150015100310030102010200010001or --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2.4 Solution:X Y ZP P P ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=cos 0sin 010sin 0cos θθθθ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭0n a P P P ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭2.7 Solution:According to the equation of pure rotation transformation , the new coordinates are as follows:10022222(,45)03422720222newP rot x P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎢⎢⎥⎢⎢=⨯==⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2.9 Solution:Acording to the equations for the combined transformations ,the new coordinates are as follows:B 01005100051100030010310 (,90)(5,3,6)(,90)0010601004900011000111 A BP Rot z Trans Rot x P-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⨯⨯⨯==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦Transformations relative to the reference frameTransformations relative to the current frame2.10P=Trans(5,3,6)Rot(x,90)Rot(a,90) PA1 0 0 5 1 0 0 0 0 -1 0 02 = 0 1 03 0 0 -1 0 1 0 0 0 3 0 0 1 6 0 1 0 0 0 0 1 0 5 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 = -2 8 1 2.122.14a) For spherical coordinates we have (for posihon )1) r ·cos γ·sin β = 3.1375unitsunits2) r ·sin γ·sin β = 2.195 3) r ·cos β = 3.214I) Assuming sin β is posihve, from a and b → γ=35°from b and c → β=50° from c → r=5II) If sin β were negative. Then γ=35°β=50° r=5 Since orientation is not specified, no more information is available to check the results.b) For case I, substifate corresponding values of sin β , cos β, sin γ, cos γand r in sperical coordinates to get: 0.5265 -0.5735 0.6275 3.1375Tsph(r,β,γ)=Tsph(35,50,5)= 0.3687 0.819 0.439 2.195-0.766 0 0.6428 3.214 0 0 0 12.16 Solution:According to the equations given in the text book, we can get the Euler angles as follows:arctan 2(,)arctan 2(,)y x y x a a or a a Φ=-- Which lead to :21535or Φ=②arctan 2(,)0180x y x y n S n C o S o C or ψ=-Φ+Φ-Φ+Φ= ③arctan 2(,)5050x y z a C a S a or θ=Φ+Φ=- 2.18 Solution:①Since the hand will be placed on the object, we can obtain this:UU U R U R obj H R H R obj T T T T T T ===Thus:10015100101000001UU U H R objT T T --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦②No,it can ’t.If so,the element at the position of the third row and the second column should be 0.However, it isn ’t. ③x=5,y=1,z=0According to the equations of the euler angles:arctan 2(,)arctan 2(,)0180y x y x a a or a a or Φ=--= arctan 2(,)27090x y x y n S n C o S o C or ψ=-Φ+Φ-Φ+Φ=arctan 2(,)27090x y z a C a S a or θ=Φ+Φ=2.21(a)(b) # θd aα 0-1 1θ 0 3d0 1-2 2θ 04d180 2-H 3θ5d(c)O UT =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+1000100001000121d d 1A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100001000013111311s d c s c d s c2A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--10001000024222422s d c s c d s c 3A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100100000053333d c s s c (d)321A A A T T T T O U H O O U H U==2.22(a)(b)(c)O UT = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010*********l 1A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1000001000001111s c c s2A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1000010010000121l l 3A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10001000001313c s s c 4A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000100001000013l (d)4321A A A A T T T T O U H O O U H U==2.23(a)(b)# θ d a α1 1θ0 0 902 2θ''6''150 4 3θ0 1 -904 4θ''180 905 5θ0 0 -906 6θ 5 0 0(c)1A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1000001001000001 2A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1000610061.100707.0707.061.100707.0707.0 3A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1000001001001001 4A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1000180********1 5A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--100000100707.00707.00707.00707.0 6A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000510000100001(d)H R T =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1000191006010414.1001。
中科大算法第二章近似算法--黄刘生(调整后适合打印版)

NP-完全性理论
Karp的贡献
理查德·卡普(Richard Karp , 1935- ) 1972 年论文 ”Reducibility among Combinatorial Problems” 发 展和加强了由库克提出的“NP完全性”理论。 尤其是库 克仅证明了命题演算的可满足问题是NP完全的,而卡普则证明了从 组合优化中引出的大多数经典问题(背包问题、覆盖问题、匹配问 题、分区问题、路径问题、调度问题等)都是NP完全问题。只要证 明其中任一个问题是属于P类的,就可解决计算复杂性理论中最大 的一个难题,即P=?NP。
SAT∈P当且仅当P=NP
Cook 于1961 年获 Michigan 大学学士学位, 1962 和 1966年分获哈佛 大学硕士与博士学位。 1966-1970 ,他在 UC Berkeley 担任助教授; 1970年加盟多伦多大学,现为该校CS 和数学系教授,他的论文开启 了NP完备性的研究,令该领域于之后的十年成为计算机科学中最活 跃和重要的研究。因其在计算复杂性理论方面的贡献,尤其是在奠 定NP完全性理论基础上的突出贡献而荣获1982年度的图灵奖。
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P、NP及NPC类问题
NP=?P
∵确定型图灵机是非确定型图灵机的特例,∴P⊆NP 是否有NP⊆P?即是否NP=P?
美国麻省的Clay数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣 布:对七个“千年数学难题”中的每一个均悬赏 100 万美元,而 问题NP=?P位列其首:
1.P问题对NP问题 2.霍奇猜想 3. 庞加莱猜想 (2002.11-2003.7 ,俄罗斯数学家佩雷尔曼在 3 篇 论文预印本中证明了几何化猜想,2006被授予菲尔兹奖) 4.黎曼假设 5.杨-米尔斯存在性和质量缺口 6.纳维叶-斯托克斯方程的存在性与光滑性 7.贝赫和斯维讷通-戴尔猜想
24本已完结克苏鲁流小说,黑暗压抑、魔药序列、蒸汽朋克,过瘾

24本已完结克苏鲁流小说,黑暗压抑、魔药序列、蒸汽朋克,过瘾大家好,这里是宅胖看书。
今天给大家推荐的主要是伪克苏鲁风格的小说,个人认为其表现形式通常为无善无恶、混乱、疯狂、神秘、深邃,就好似深渊欲将人一口吞掉,具体内容常出现魔药序列、蒸汽朋克等。
其实克苏鲁风小说早就有之,只不过因为太过压抑和负面,所以并不流行,直到伪克苏鲁风横空出世,其只保留了大家接受范围内的克苏鲁元素,还往其中缝合了许多其他西幻元素,重新形成了一个庞大而又井然有序的设定、背景,祛除了过多的残暴、疯狂与混乱,取而代之的是神秘、深邃、冒险和惊奇。
在厌倦了伟光正形式的主角后,这种黑暗向或者独善其身的中立向小说似乎更符合当下的潮流。
好了,废话不多说,下面进入推书环节。
第一本《诡秘之主》作者:爱潜水的乌贼字数:446.51万神作,克苏鲁风格的集大成之作,伪克苏鲁流的开山之作,魔药流鼻祖等等。
小说构建了一个维多利亚时期蒸汽朋克风的怪诞世界,22条神之序列让人惊叹,其设定、剧情、背景,庞大、真实、复杂。
主角配角都刻画的入木三分,书中还有很多让人沉迷的因素,克苏鲁、悬疑、冒险、秘境、异世界……只要翻开,绝不失望,有时候甚至感慨,这样的世界难道真的存在吗?这个世界真的是我们看到的样子吗?强烈推荐!谁是愚者第二本《秘巫之主》作者:真愚老人字数:359.81万看名字原以为是高仿之作,结果真不是,我不知道该说蹭热度还是被名字耽误了,但是小说是真不错。
小说构建了一个灵气复苏,沉寂的星空万灵、消失的神秘种族……重新走向历史舞台,近现代维多利亚时期背景的世界。
主角开局穿越成了一个附身十字架上的低级恶魔,黑巫师管家正利用献祭想要灵魂夺舍一个富二代,结果被主角黑吃黑,鸠占鹊巢。
之后主角利用通晓万物的金手指走上巫师的道路,更在之后一系列大事件中赢得了“欺神者”的美誉。
小说剧情虽是利用金手指推进的,不过逻辑合理。
前期主角弱小,所以只能在各势力间周旋游走;中期以博学者的身份登场,更类似探险家;后期主角登神,在更广阔舞台上与星空万灵下棋。
微分几何答案(第二章)

第二章曲面论§1 曲面的概念1. 求正螺面r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.解 u- 曲线为r ={u cos v0 ,u sin v0,bv0}={0,0,bv0}+u { cosv0, sin v0,0},为曲线的直母线; v- 曲线为r ={ u0cos v , u0sin v ,bv }为圆柱螺线.2.证明双曲抛物面r ={a(u+v), b(u-v),2uv}的坐标曲线就是它的直母线。
证 u- 曲线为r ={ a ( u+ v0) , b (u- v0) ,2u v0 }={ a v0, b v0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ a v0, b v0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;v- 曲线为r ={ a(u0 +v) , b(u0 -v ) ,2 u0 v} ={ a u0 , b u0 ,0 } +v{a,-b,2u 0}表示过点 (a u0 , b u0 ,0) 以 {a,-b,2u 0}为方向向量的直线。
3.求球面r ={ a cos sin , a cos sin , a sin } 上任意点的切平面和法线方程。
解r ={ a sin cos , a sin sin , a cos },r={ a cos sin , a cos cos,0}x a cos cos y a cos sin z asin任意点的切平面方程为 a sin cos a sin sin a cos0a cos sin a cos cos0即 xcos cos+ ycos sin+ zsin- a = 0;法线方程为x a cos cos y a cos sin z a sin。
cos cos cos sin sin4.求椭圆柱面x2y21在任意点的切平面方程,并证明沿每一条直母线,此曲面只有a2 b2一个切平面。
—解椭 圆 柱 面 x 2y 2 1 的 参 数 方 程 为 x = cos ,y = asin, z = t ,a 2b 2r{ a sin,b cos ,0} , r t { 0,0,1} 。
2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--2.1.1 曲线与方程

第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程*2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程基础过关练题组一曲线与方程的概念1.已知曲线C的方程为x3+x+y-1=0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,0)B.(-1,3)C.(1,1)D.(-1,1)2.(2018天津耀华中学高二上学期月考)直线x-y=0与曲线xy=1的交点坐标是( )A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,1),(-1,-1)D.(0,0)3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )A.π3 B.5π3C.π3或5π3D.π3或π64.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2√x”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件题组二 方程的曲线5.方程4x 2-y 2+6x-3y=0表示的图形是( ) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y+3=0C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=06.下列四个选项中,方程与曲线相符合的是( )7.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成图形的面积为 .题组三 求曲线的方程8.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是( )A.(x-1)2+y 2=2B.(x-1)2+y 2=4C.y 2=2xD.y 2=-2x9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A(1,0),B(2,2).若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其中t∈R ,则点C 的轨迹方程为 .10.(2018湖南岳阳一中高二上学期期末)已知M 为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,点P 在直线AM 上运动,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹方程.11.已知△ABC 中,AB=2,AC=√2BC. (1)求点C 的轨迹方程; (2)求△ABC 的面积的最大值.能力提升练一、选择题1.(2018海南海口一中高二上学期月考,★★☆)方程xy 2+x 2y=1所表示的曲线( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点中心对称D.关于直线y=x 对称 2.(2020鄂东南九校高二期中联考,★★☆)方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示的曲线为( ) A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条直线和半个圆 D.两条线段3.(2020北京朝阳高三期末,★★☆)笛卡儿、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y 轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是( ) A.②③ B.①④ C.③ D.③④4.(2019江西南昌高三开学摸底考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P 满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则动点P 的轨迹方程是( )A.y 2=4xB.x 2=4yC.y 2=-4xD.x 2=-4y5.(★★☆)方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线形状是( )6.(2018吉林长春五县期末,★★★)已知定点M(-3,0),N(2,0),若动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.100π9 B.142π9C.10π3D.9π二、填空题7.(2020贵州贵阳高二期末,★★☆)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA||MB|=√2,此时阿波罗尼斯圆的方程为.8.(2020北京房山高二期末,★★☆)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.①请写出曲线W的一条对称轴方程: ;②曲线W上的点的横坐标的取值范围是.三、解答题9.(2019贵州铜仁一中高二入学考试,★★☆)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2∶1,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(5,-4)作曲线C的切线,求切线方程.10.(2019上海七宝中学高二期末,★★★)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.答案全解全析 基础过关练1.B 点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上⇔f(x 0,y 0)=0.经验证知点(-1,3)在曲线C 上.2.C 由{x -y =0,xy =1,得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.故选C.3.C 将点P 的坐标代入方程(x-2)2+y 2=3,得(cos α-2)2+sin 2α=3,解得cos α=12.又0≤α<2π,所以α=π3或5π3.4.B 设M(x 0,y 0),由点M 的坐标满足方程y=-2√x ,得y 0=-2√x 0,∴y 02=4x 0,∴点M 在曲线y 2=4x 上.反之不成立,故选B.5.C ∵4x 2-y 2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3)=0, ∴原方程表示直线2x-y=0和2x+y+3=0.6.D 对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,由于曲线上第三象限的点的横、纵坐标均小于0,不满足方程,排除C.故选D.7.答案 2解析 方程表示的图形是边长为√2的正方形(如图所示),其面积为(√2)2=2.8.A 设圆(x-1)2+y 2=1的圆心为C,半径为r,则C(1,0),r=1,依题意得|PC|2=r 2+|PA|2,即|PC|2=2,所以点P 的轨迹是以C 为圆心,√2为半径的圆,因此点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2. 9.答案 y=2x-2解析 设点C(x,y),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y).因为点A(1,0),B(2,2),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+t,2t),所以{x =t +1,y =2t ,消去t,得点C 的轨迹方程为y=2x-2. 10.解析 设M(x 0,y 0),P(x,y), 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,y-2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0-x,y 0-y), 由题意可得{x -4=3(x 0-x ),y -2=3(y 0-y ),所以{x 0=4x -43,y 0=4y -23.因为点M(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上, 所以2×4x -43-4y -23+3=0,即8x-4y+3=0,所以点P 的轨迹方程为8x-4y+3=0.11.解析 (1)以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=√2BC,得(x+1)2+y 2=2[(x-1)2+y 2],即(x-3)2+y 2=8,又在△ABC 中,y≠0,所以点C 的轨迹方程为(x-3)2+y 2=8(y≠0).(2)因为AB=2,所以S △ABC =12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y 2=8(y≠0), 所以0<|y|≤2√2,所以S △ABC ≤2√2,即△ABC 的面积的最大值为2√2.能力提升练一、选择题1.D 设P(x 0,y 0)是曲线xy 2+x 2y=1上的任意一点,则x 0y 02+x 02y 0=1.设点P 关于直线y=x 的对称点为P',则P'(y 0,x 0),因为y 0x 02+y 02x 0=x 0y 02+x 02y 0=1,所以P'在曲线xy 2+x 2y=1上,故该曲线关于直线y=x 对称.2.A 由方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0得y=√1-x 2(y≥0)或3x-y+1=0,且满足-1≤x≤1,即x 2+y 2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),∴方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示一条线段和半个圆.3.C 将x=-x 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,故该曲线不关于y 轴对称; 将x=-x,y=-y 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,故该曲线不关于原点对称; 当x<0,y<0时,(x-1)(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;令x=-1,易得y=24,即(-1,24)在曲线上,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也在曲线上,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.4.A 设P(x,y),因为M(-1,2),N(1,0),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x,2-y),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,-y),因为|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|1+x|=√(1-x )2+(-y )2, 整理得y 2=4x.5.C 方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C. 6.A 设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,得(x+3)2+y 2=4[(x-2)2+y 2],化简,得3x 2+3y 2-22x+7=0, 即(x -113)2+y 2=1009,所以所求图形的面积S=100π9.二、填空题7.答案 x 2+y 2-12x+4=0 解析 设M(x,y),因为|MA ||MB |=√2, 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)+y 2=√2,整理得x 2+y 2-12x+4=0.8.答案 ①y=0(或x =52) ②[0,5]解析 ①由W 的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,点(52-x,y)与(52+x,y)也都是曲线上的点,因此直线x=52也是曲线W的一条对称轴.②由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.三、解答题9.解析(1)设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=√(x+1)2+y2,|MB|=√(x-2)2+y2所以√(x+1)2+y2√(x-2)+y2=2,化简得(x-3)2+y2=4.因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.(2)当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x-5=0,圆心C(3,0)到直线x-5=0的距离等于2,此时直线x-5=0与曲线C相切; 当过点P的切线斜率存在时,不妨设斜率为k,则切线方程为y+4=k(x-5),即kx-y-5k-4=0,由圆心到切线的距离等于半径,得√k2+1=2,解得k=-34.所以切线方程为3x+4y+1=0.综上所述,切线方程为x-5=0和3x+4y+1=0.10.解析(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y), 因为点B在曲线Γ上,所以x02+y02=1.①因为M为线段AB的中点,所以{x=x0+22,y=y02,则{x0=2x-2,y0=2y,代入①式得(2x-2)2+4y2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.则线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=14(y≥0).(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易知点D(2,2),结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=2√2+1.。
选修2-1第二章4.1用向量讨论垂直和平行

明目标、知重点 1.理解直线的方向向量和平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面平行关系.1.直线的方向向量和平面的法向量能平移到直线上的非零向量,叫做直线的一个方直线设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为μ,v,则探究点一利用向量判定线面的位置关系思考怎样求一个平面的法向量?答若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:①设出平面的法向量为n=(x,y,z).②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).③根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ n·a =0,n·b =0.即⎩⎪⎨⎪⎧a 1x +b 1y +c 1z =0,a 2x +b 2y +c 2z =0.④解方程组,利用赋值法,只要给x ,y ,z 中的一个变量赋一特殊值(常赋值-1,0,1),即可确定一个法向量,赋值不同,所求法向量不同,但(0,0,0)不能作为法向量. 例1 根据下列条件,判断相应的线、面位置关系:(1)直线l 1,l 2的方向向量分别是a =(1,-3,-1),b =(8,2,2); (2)平面α,β的法向量分别是u =(1,3,0),v =(-3,-9,0);(3)直线l 的方向向量,平面α的法向量分别是a =(1,-4,-3),u =(2,0,3); (4)直线l 的方向向量,平面α的法向量分别是a =(3,2,1),u =(-1,2,-1). 解 (1)∵a =(1,-3,-1),b =(8,2,2), ∴a·b =8-6-2=0,∴a ⊥b ,即l 1⊥l 2. (2)∵u =(1,3,0),v =(-3,-9,0),∴v =-3u , ∴v ∥u ,即α∥β.(3)∵a =(1,-4,-3),u =(2,0,3), ∴a·u ≠0且a ≠k u (k ∈R ),∴a 与u 既不共线也不垂直,即l 与α相交但不垂直. (4)∵a =(3,2,1),u =(-1,2,-1),∴a·u =-3+4-1=0,∴a ⊥u ,即l α或l ∥α.反思与感悟 (1)两直线的方向向量共线(垂直)时,两直线平行(垂直);否则两直线相交或异面.(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时,直线和平面垂直;直线的方向向量与平面的法向量垂直时,直线在平面内或线面平行;否则直线与平面相交但不垂直.(3)两个平面的法向量共线(垂直)时,两平面平行(垂直);否则两平面相交但不垂直. 跟踪训练1 根据下列条件,判断相应的线、面位置关系: (1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a =(2,3,-1),b =(-6,-9,3); (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a =(-2,1,4),b =(6,3,3); (3)平面α与β的法向量分别是u =(1,-1,2),v =⎝⎛⎭⎫3,2,-12; (4)平面α与β的法向量分别是u =(2,-3,4),v =(4,-2,1);(5)直线l 的方向向量,平面α的法向量分别是a =(0,-8,12),u =(0,2,-3).解 (1)∵a =(2,3,-1),b =(-6,-9,3) ∴a =-13b ,∴a ∥b ,∴l 1∥l 2.(2)∵a =(-2,1,4),b =(6,3,3),∴a·b ≠0且a ≠k b (k ∈R ),∴a ,b 既不共线也不垂直,即l 1与l 2相交或异面.(3)∵u =(1,-1,2),v =⎝⎛⎭⎫3,2,-12, ∴u·v =3-2-1=0,∴u ⊥v ,即α⊥β.(4)∵u =(2,-3,4),v =(4,-2,1),∴u·v ≠0且u ≠k v (k ∈R ),∴u 与v 既不共线也不垂直,即α和β相交但不垂直.(5)∵a =(0,-8,12),u =(0,2,-3), ∴u =-14a ,∴u ∥a ,即l ⊥α.探究点二 用向量法证明立体几何定理思考 证明过程中,如何确定直线的方向向量和平面的法向量?答 实际应用中,直线的方向向量即把线段看作有向线段时表示的向量,平面的法向量一般可建系后用待定系数法求出.例2 证明:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 已知 直线l ,m 和平面α,β,其中l ,m α,l 与m 相交,l ∥β,m ∥β. 求证 α∥β.证明 设相交直线l ,m 的方向向量分别为a ,b ,平面α,β的法向量分别为u ,v , 因为l ∥β,m ∥β,所以a ⊥v ,b ⊥v .所以a·v =0,b·v =0.因为l ,m α,且l ,m 相交, 所以α内任一直线的方向向量p 可以表示为如下形式 p =x a +y b ,x ,y ∈R .因为p·v =(x a +y b )·v =x a·v +y b·v =0, 即平面β的法线与平面α内任一直线垂直. 所以平面β的法向量也是平面α的法向量,即u ∥v . 因此,α∥β.反思与感悟在“平面与平面平行的判定定理”的证明过程中突出了直线的方向向量和平面的法向量的作用.以后我们用向量证明有关结论时,直线的方向向量和平面的法向量是重要的工具.跟踪训练2用向量方法证明:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.已知直线l,m和平面α,其中lα,mα,且l∥m.求证l∥α.证明设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α的法向量为u.因为l∥m,所以a=k b,k∈R.又因为u⊥α,mα,所以u⊥b,因此u·b=0,u·a=u·k b=0.所以l∥α.探究点三利用空间向量证明平行关系思考怎样利用向量证明空间中的平行关系?答可以按照下列方法证明空间中的平行关系.111111(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以FC 1→=(0,2,1),DA →=(2,0,0),AE →=(0,2,1).设n 1=(x 1,y 1,z 1)是平面ADE 的法向量,则n 1⊥DA →,n 1⊥AE →, 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →=2x 1=0n 1·AE →=2y 1+z 1=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=0z 1=-2y 1,令z 1=2,则y 1=-1,所以n 1=(0,-1,2). 因为FC 1→·n 1=-2+2=0,所以FC 1→⊥n 1. 又因为FC 1 平面ADE ,所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1→=(2,0,0),设n 2=(x 2,y 2,z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量.由n 2⊥FC 1→,n 2⊥C 1B 1→, 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→=2y 2+z 2=0n 2·C 1B 1→=2x 2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x 2=0z 2=-2y 2.令z 2=2,得y 2=-1,所以n 2=(0,-1,2), 因为n 1=n 2,所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟 利用向量证明平行问题,可以先建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量和平面的法向量,然后根据向量之间的关系证明平行问题.跟踪训练3 如图,四棱锥P ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,PB 与底面成的角为45°,底面ABCD 为直角梯形,∠ABC =∠BAD =90°,P A =BC =12AD=1,问在棱PD 上是否存在一点E ,使CE ∥平面P AB ?若存在,求出E 点的位置;若不存在,说明理由.解 分别以AB ,AD ,AP 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系, ∴P (0,0,1),C (1,1,0), D (0,2,0), 设E (0,y ,z ), 则PE →=(0,y ,z -1), PD →=(0,2,-1),∵PE →∥PD →, ∴y (-1)-2(z -1)=0,①∵AD →=(0,2,0)是平面P AB 的法向量, 又CE →=(-1,y -1,z ),CE ∥平面P AB , ∴CE →⊥AD →,∴(-1,y -1,z )·(0,2,0)=0. ∴y =1,代入①得z =12,∴E 是PD 的中点,∴存在E 点为PD 中点时,CE ∥平面P AB .1.若a =(1,2,3)是平面γ的一个法向量,则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( ) A .(0,1,2) B .(3,6,9) C .(-1,-2,3) D .(3,6,8)答案 B解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.2.若A (-1,0,1),B (1,4,7)在直线l 上,则直线l 的一个方向向量为( ) A .(1,2,3) B .(1,3,2) C .(2,1,3) D .(3,2,1) 答案 A解析 因为AB →=(2,4,6),所以与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 3.已知平面α内的三点A (0,0,1)、B (0,1,0)、C (1,0,0),平面β的一个法向量为n =(-1,-1,-1),且β与α不重合,则( ) A .α∥βB .α⊥βC .α与β相交但不垂直D .以上都不对 答案 A解析 AB →=(0,1,-1),AC →=(1,0,-1), n ·AB →=(-1,-1,-1)·(0,1,-1) =-1×0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0, n ·AC →=(-1,-1,-1)·(1,0,-1) =-1×1+0+(-1)·(-1)=0, ∴n ⊥AB →,n ⊥AC →.∴n 也为α的一个法向量.又α与β不重合,∴α∥β.4.若直线l ∥α,且l 的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为(1,12,2),则m 为( )A .-4B .-6C .-8D .8 答案 C解析 ∵l ∥α,平面α的法向量为(1,12,2),∴(2,m,1)·(1,12,2)=0.∴2+12m +2=0.∴m =-8.[呈重点、现规律]1.利用向量解决立体几何问题的“三步曲”:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系(距离和夹角等); (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.2.证明线面平行问题,可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系;也可以转化为线线平行,利用向量共线来证明.一、基础过关1.已知a =(2,4,5),b =(3,x ,y )分别是直线l 1,l 2的方向向量.若l 1∥l 2,则( ) A .x =6,y =15 B .x =3,y =152C .x =3,y =15D .x =6,y =152答案 D解析 由l 1∥l 2得,23=4x =5y ,解得x =6,y =152.2.直线l 的方向向量为a ,平面α内两共点向量OA →,OB →,下列关系中能表示l ∥α的是( ) A .a =OA →B .a =kOB →C .a =pOA →+λOB →D .以上均不能答案 D解析 A 、B 显然不能,而a =pOA →+λOB →能表示l ∥α或l α.3.若n =(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能做平面α法向量的是( ) A .(0,-3,1) B .(2,0,1) C .(-2,-3,1) D .(-2,3,-1)答案 D4.如图,在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、P 、Q 分别为棱AB 、CD 、BC 的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则 ①A 1M ∥D 1P ; ②A 1M ∥B 1Q ;③A 1M ∥平面DCC 1D 1; ④A 1M ∥平面D 1PQB 1. 以上结论中正确的是( ) A .①③④ B .①②③④ C .①③ D .③④ 答案 A解析 ∵A 1M →=AM →-AA 1→=DP →-DD 1→=D 1P →, ∴A 1M ∥D 1P .∵D 1P 平面D 1PQB 1,∴A 1M ∥平面D 1PQB 1. 又D 1P 平面DCC 1D 1,∴A 1M ∥平面DCC 1D 1. ∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线,∴B 1Q 与D 1P 不平行,∴A 1M 与B 1Q 不平行.5.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k ),若α∥β,则k 等于________. 答案 4解析 ∵α∥β,∴1-2=2-4=-2k,∴k =4.6.设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为b ,若a·b =0,则________. ①l ∥α ②l α ③l ⊥α ④l α或l ∥α 答案 ④解析 当a·b =0时,l α或l ∥α.7.已知A (4,1,3),B (2,3,1),C (3,7,-5),点P (x ,-1,3)在平面ABC 内,求x 的值. 解 ∵点P 在平面ABC 内,∴存在实数k 1,k 2, 使AP →=k 1AB →+k 2AC →,即(x -4,-2,0)=k 1(-2,2,-2)+k 2(-1,6,-8),∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k 1+6k 2=-2;k 1+4k 2=0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1=-4;k 2=1.∴x -4=-2k 1-k 2=8-1=7,即x =11. 二、能力提升8.已知线段AB 的两端点坐标为A (9,-3,4),B (9,2,1),则线段AB 与坐标平面( ) A .xOy 平行 B .xOz 平行 C .yOz 平行 D .yOz 相交答案 C解析 因为AB →=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),所以AB ∥平面yOz .9.已知平面α内有一个点A (2,-1,2),α的一个法向量为n =(3,1,2),则下列点P 中,在平面α内的是( ) A .(1,-1,1) B.⎝⎛⎭⎫1,3,32 C.⎝⎛⎭⎫1,-3,32 D.⎝⎛⎭⎫-1,3,-32 答案 B解析 对于选项A ,P A →=(1,0,1), 则P A →·n =(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A ; 同理可排除选项C 、D ; 对于选项B ,P A →=⎝⎛⎭⎫1,-4,12, 则P A →·n =⎝⎛⎭⎫1,-4,12·(3,1,2)=0. 10.若平面α的一个法向量为u 1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u 2=(6,-2,z ),且α∥β,则y +z =________. 答案 -3解析 ∵α∥β,∴u 1∥u 2.∴-36=y -2=2z .∴y =1,z =-4.∴y +z =-3.11.如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,AB =2,AF =1,M 是线段EF 的中点.求证:AM ∥平面BDE . 证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz . 设AC ∩BD =N ,连接NE , 则点N 、E 的坐标分别是⎝⎛⎭⎫22,22,0、(0,0,1). ∴NE →=⎝⎛⎭⎫-22,-22,1.又点A 、M 的坐标分别是(2,2,0)、⎝⎛⎭⎫22,22,1, ∴AM →=⎝⎛⎭⎫-22,-22,1.∴NE →=AM →,且A ∉NE ,∴NE ∥AM . 又∵NE 平面BDE ,AM 平面BDE , ∴AM ∥平面BDE .12.如图所示,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1的中点.求证:MN ∥平面A 1BD .证明 方法一 如图,以D 为原点,DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1, 可求得M ⎝⎛⎭⎫0,1,12,N ⎝⎛⎭⎫12,1,1,D (0,0,0),A 1(1,0,1), 于是MN →=⎝⎛⎭⎫12,0,12, DA 1→=(1,0,1).得DA 1→=2MN →,∴DA 1→∥MN →,∴DA 1∥MN .而MN 平面A 1BD ,∴MN ∥平面A 1BD .方法二 由方法一中的坐标系知B (1,1,0). 设平面A 1BD 的法向量是n =(x ,y ,z ),则n ·DA 1→=0,且n ·DB →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x +z =0,x +y =0.取x =1,得y =-1,z =-1.∴n =(1,-1,-1).又MN →·n =⎝⎛⎭⎫12,0,12·(1,-1,-1)=0, ∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .方法三 ∵MN →=C 1N →-C 1M →=12C 1B 1→-12C 1C → =12(D 1A 1→-D 1D →)=12DA 1→,∴MN →∥DA 1→, 而MN 平面A 1BD ,∴MN ∥平面A 1BD .三、探究与拓展13.如图所示,在正方体AC 1中,O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 1的中点,设Q 是CC 1上的点,问:当点Q 在什么位置时,平面D 1BQ ∥平面P AO?解 如图所示,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,在CC 1上任取一点Q ,连接BQ ,D 1Q .设正方体的棱长为1,则O ⎝⎛⎭⎫12,12,0,P ⎝⎛⎭⎫0,0,12, A (1,0,0),B (1,1,0),D 1(0,0,1),则Q (0,1,z ),则OP →=⎝⎛⎭⎫-12,-12,12, BD 1→=(-1,-1,1),∴OP →∥BD 1→,∴OP ∥BD 1.AP →=⎝⎛⎭⎫-1,0,12,BQ →=(-1,0,z ), 当z =12时,AP →=BQ →, 即AP ∥BQ ,有平面P AO ∥平面D 1BQ , ∴当Q 为CC 1的中点时,平面D 1BQ ∥平面P AO .。
常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习第2章习题 第二章答案

习 题 2-1判断下列方程是否为恰当方程,并且对恰当方程求解: 1.0)12()13(2=++-dy x dx x解:13),(2-=x y x P , 12),(+=x y x Q ,则0=∂∂y P ,2=∂∂x Q , 所以 xQy P ∂∂≠∂∂ 即 原方程不是恰当方程.2.0)2()2(=+++dy y x dx y x解:,2),(y x y x P += ,2),(y x y x Q -=则,2=∂∂y P ,2=∂∂x Q 所以xQy P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程 则,0)22(=-++ydy xdy ydx xdx两边积分得:.22222C y xy x =-+ 3.0)()(=+++dy cy bx dx by ax (a,b 和c 为常数). 解:,),(by ax y x P += ,),(cy bx y x Q +=则,b y P =∂∂,b x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程 则,0=+++cydy bxdy bydx axdx两边积分得:.2222C cy bxy ax =++ 4.)0(0)()(≠=-+-b dy cy bx dx by ax解:,),(by ax y x P -= ,),(cy bx y x Q -=则,b y P -=∂∂,b x Q =∂∂ 因为 0≠b , 所以xQ y P ∂∂≠∂∂,即 原方程不为恰当方程5.0sin 2cos )1(2=++udt t udu t解:,cos )1(),(2u t u t P += u t u t Q sin 2),(=则,cos 2u t t P =∂∂,cos 2u t x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程则,0cos )sin 2cos (2=++udu udt t udu t两边积分得:.sin )1(2C u t =+ 6.0)2()2(2=++++dy xy e dx y e ye x x x解: xy e y x Q y e ye y x P x x x 2),(,2,(2+=++=,则,2y e y P x +=∂∂,2y e x Q x +=∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程则,0])2()[(22=++++dy xy e dx y ye dx e x x x 两边积分得:.)2(2C xy e y x =++7.0)2(ln )(2=-++dy y x dx x xy解:,2ln ),(),(2y x y x Q x xy y x P -=+=则,1x y P =∂∂,1x x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程则02)ln (2=-++ydy dx x xdy dx xy两边积分得:23ln 3y x y x -+.C = 8.),(0)(22为常数和c b a cxydy dx by ax =++解:,),(,),(22cxy y x Q by ax y x P =+=则,2by y P =∂∂,cy x Q =∂∂ 所以 当xQy P ∂∂=∂∂,即 c b =2时, 原方程为恰当方程则0)(22=++cxydy dx by dx ax两边积分得:233bxy ax +.C = 而当c b ≠2时原方程不是恰当方程.9.01222=-+-dt ts s ds t s 解:,),(,12),(22ts s s t Q t s s t P -=-= 则,212t s t P -=∂∂,212t s s Q -=∂∂ 所以xQ y P ∂∂=∂∂, 即原方程为恰当方程,两边积分得:C ts s =-2.10.,0)()(2222=+++dy y x yf dx y x xf 其中)(⋅f 是连续的可微函数.解:),(),(),(),(2222y x yf y x Q y x xf y x P +=+=则,2f xy y P '=∂∂,2f xy x Q '=∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂, 即原方程为恰当方程,两边积分得:22()f xy dx C +=⎰,即原方程的解为C y x F =+)(22 (其中F 为f 的原积分).习 题 2-2. 1. 求解下列微分方程,并指出这些方程在平面上的有意义 的区域::(1)yx dx dy 2=解:原方程即为:dx x ydy 2= 两边积分得:0,2332≠=-y C x y .(2))1(32x y x dx dy += 解:原方程即为:dx xx ydy 321+=两边积分得:1,0,1ln 2332-≠≠=+-x y C x y .(3)0sin 2=+x y dxdy解: 当0≠y 时原方程为:0sin 2=+xdx y dy两边积分得:0)cos (1=++y x c .又y=0也是方程的解,包含在通解中,则方程的通解为0)cos (1=++y x c .(4)221xy y x dxdy+++=; 解:原方程即为:2(1)1dyx dx y=++ 两边积分得:c x x arctgy ++=22, 即 )2(2c x x tg y ++=. (5)2)2cos (cos y x dxdy= 解:①当02cos ≠y 时原方程即为:dx x y dy 22)(cos )2(cos = 两边积分得:2222sin 2tg y x x c --=. ②y 2cos =0,即42ππ+=k y 也是方程的解. (N k ∈) (6)21y dxdyx-= 解:①当1±≠y 时 原方程即为:xdx y dy =-21 两边积分得:c x y =-ln arcsin . ② 1±=y 也是方程的解.(7).yxe y e x dx dy +-=- 解.原方程即为:dx e x dy e y xy)()(--=+两边积分得:c e x e y x y ++=+-2222, 原方程的解为:c e e x y x y =-+--)(222.2. 解下列微分方程的初值问题.(1),03cos 2sin =+ydy xdx 3)2(ππ=y ;解:两边积分得:c yx =+-33sin 22cos , 即 c x y =-2cos 33sin 2因为 3)2(ππ=y , 所以 3=c .所以原方程满足初值问题的解为:32cos 33sin 2=-x y .(2).0=+-dy ye xdx x, 1)0(=y ;解:原方程即为:0=+ydy dx xe x,两边积分得:c dy y dx e x x=+-2)1(2, 因为1)0(=y , 所以21-=c , 所以原方程满足初值问题的解为:01)1(22=++-dy y dx e x x .(3).r d dr=θ, 2)0(=r ; 解:原方程即为:θd rdr=,两边积分得:c r =-θln , 因为2)0(=r , 所以2ln =c ,所以原方程满足初值问题的解为:2ln ln =-θr 即θe r 2=.(4).,1ln 2yx dx dy+= 0)1(=y ; 解:原方程即为:dx x dy y ln )1(2=+,两边积分得:3ln 3y y x x x c ++-=, 因为0)1(=y , 所以1=c ,所以原方程满足初值为:3ln 13y y x x x ++-=(5).321xy dxdyx=+, 1)0(=y ; 解:原方程即为:dx xx y dy 231+=, 两边积分得:c x y ++=--22121, 因为1)0(=y , 所以23-=c ,所以原方程满足初值问题的解为:311222=++yx .1. 解下列微分方程,并作出相应积分曲线的简图. (1).x dxdycos = 解:两边积分得:c x y +=sin . 积分曲线的简图如下:(2).ay dxdy=, (常数0≠a ); 解:①当0≠y 时,原方程即为:dx aydy= 积分得:c x y a +=ln 1,即 )0(>=c ce y ax②0=y 也是方程的解. 积分曲线的简图如下:y(3).21y dxdy-=; 解:①当1±≠y 时,原方程即为:dx y dy =-)1(2 积分得:c x yy+=-+211ln ,即 1122+-=x x ce ce y .②1±=y 也是方程的解.积分曲线的简图如下:(4).n y dx dy =, )2,1,31(=n ; 解:①0≠y 时,ⅰ)2,31=n 时,原方程即为 dx ydyn =, 积分得:c y n x n=-+-111.ⅱ)1=n 时,原方程即为dx ydy=积分得:c x y +=ln ,即)0(>=c ce y x.②0=y 也是方程的解.积分曲线的简图如下:4. 跟踪:设某A 从xoy 平面上的原点出发,沿x 轴正方向前进;同时某B 从点开始跟踪A ,即B 与A 永远保持等距b .试求B 的光滑运动轨迹.解:设B 的运动轨迹为)(x y y =,由题意及导数的几何意义,则有22yb ydx dy --=,所以求B 的运动轨迹即是求此微分方程满足b y =)0(的解.解之得:222222ln 21y b y b b y b b b x ----++=.5. 设微分方程)(y f dxdy=(2.27),其中f(y) 在a y =的某邻域(例如,区间ε<-a y )内连续,而且a y y f =⇔=0)(,则在直线a y =上的每一点,方程(2.27)的解局部唯一,当且仅当瑕积分∞=⎰±εa ay f dy)((发散). 证明:(⇒)首先经过域1R :,+∞<<∞-x a y a <≤-ε 和域2R :,+∞<<∞-x ε+≤<a y a内任一点(00,y x )恰有方程(2.13)的一条积分曲线, 它由下式确定00)(x x y f dyyy-=⎰. (*) 这些积分曲线彼此不相交. 其次,域1R (2R )内的所有 积分曲线c x y f dy +=⎰)(都可由其中一条,比如0)(c x y f dy+=⎰ 沿着 x 轴的方向平移而得到。
第二章完全信息动态博弈篇章

i (q1, q2 ) qi ( P(Q) c),i 1,2
斯坦克尔伯的寡头竞争模型
用逆向归纳法求解,首先考虑给定q1的情况下,企业2 的最优选择。企业2的问题是:
Max 2 (q1 , q2 ) q2 (a q1 q2 c)
最优化一阶条件意味着:
轮流出价的讨价还价模型
一般来说,如果 0 i 1, i 1, 2均衡结果不 仅依赖于贴现因子的相对比率,而且依赖于博 弈时间长度T和谁在最后阶段出价。然而这种 依存关系随T的变大而变小;当T趋于无穷大时 ,我们得到“先动优势”:即如果 1 2 唯 一的均衡是 x 1 (1 ). 定理(Rubinstein 1982):在无限期轮流出价 博弈中,唯一的子博弈精炼纳什均衡结果是: 1 2 1 * * x (if 1 2 x ) 1 1 2 1
典型的旅行者困境收益矩阵 (仅考虑整数)
100 100 99 98 97 96 95 …… 5 4 3 2
100,100 101,97 100,96 99,95 98,94 97,93 …… 7,3 6,2 5,1 4,0
99
97,101 99,99 100,96 99,95 98,94 97,93 …… 7,3 6,2 5,1 4,0
第三章 完全信息动态搏弈 -子博弈精炼纳什均衡
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一 博弈扩展式表述
二 扩展式表述博弈的纳什均衡 三 子博弈精练纳什均衡 四 应用举例 斯坦克尔伯的寡头竞争模型
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轮流出价的讨价还价模型
囚徒的救赎 旅行者困境 五 重复博弈
轮流出价的讨价还价模型(1)
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第二章歸納法及歸納主義存在的問題依據上一章所介紹的對於科學方法的闡釋(不成熟的歸納主義),科學知識以對於經驗的概括來獲得證明。
於不同環境下所進行的觀察應以不偏不倚的方式加以記錄,並且經過對歸納法的運用,而推導出普遍的法則。
這一觀點之所以有吸引力,主要是因為它與眾多科學家對於其自身實踐所作出的解釋相契合。
與此同時,它也以『科學家在觀察時應秉持無偏見的開放態度』,以及其『可保證科學知識確實根基於經驗』這兩個理由,為科學知識所宣稱的客觀性作出了辯護。
我相信,這是一個有關科學如何發揮作用,以及科學方法如何獲得證明的一個相當常見的看法。
我們需要對兩個問題加以甄別,以對於歸納主義之作為一種關於科學方法的理論作出恰切的評價。
(1)在科學史上,歸納主義是否確實為特定的個人所遵循?(2)如果我們使用了歸納法,它真的能帶來知識嗎?第一個問題顯然需要一些經驗性的探討;為了回答這個問題,我們需要從各類工藝品、日記、信件或是證明書什麼的收集信息。
第二個問題是典型的哲學問題,它不僅與我們的真實信念有關,亦與歸納法是否確實能證實它所建構的種種信念有關。
第一個問題我們稍後再討論,在下一環節中,我們會考慮歸納法是否能夠得到充分的論證。
2.1 歸納法的問題對於歸納法的問題的經典討論可見之於大衛•休謨的《人類理解研究》。
休謨將歸納法與因果律的性質及自然律聯繫起來,此人的學說對於西方哲學——尤其對於科學哲學的發展產生了極其深遠的影響。
瞭解休謨對於科學知識的相關論述,可使我們對於他的知識論及他的『觀念』理論有一基本的把握。
休謨對兩類命題作出了嚴格區分,一類只關乎觀念之間的關聯,而另一類只關乎事實。
前一類命題的範圍僅僅限定於我們的概念或觀念,例如『馬是一種動物』『單身漢是未婚的』『將軍意味著一局象棋的結束』等等。
(休謨亦將數學知識納入這個範疇,因此,『三角形內角和為180度』也是一個類似的例證)關乎事實的命題則不僅告訴我們概念,更告訴我們現實世界的真實樣貌。
例如『雪是白的』『巴黎是法國首都』『所有金屬在其被加熱時具有延展性』『黑斯廷斯戰役(譯者注:諾曼人征服不列顛)發生於1066年』等等,都是關乎事實的命題。
當然了,以上的命題都是真命題(至少就我所知)——但這兩類命題之間的區分亦對假命題有效,例如,『鯨魚是魚』乃是一個有關觀念之間的關聯的假命題,『柏拉圖死於公元前399年』是一個有關事實的假命題。
在休謨看來,任何有關觀念之間的關聯的真命題均能通過演繹法加以證明,因為對於這類真命題的否認意味著邏輯上自相矛盾。
學習過數學或邏輯學的人應該對歸謬法(reductio ad absurdum)相當熟悉。
本質上,這種方法意味著,例如『有無限個質數』這類命題是可以被證明的——只要你能夠否定該命題與已知之間的不一致即可——這一證明將以『存在一個最大的質數』開始。
並且,將這一方法與其它的有關數字的假設連同使用(具體地講,與質因數有關)以導出矛盾之處。
(並非所有論證都顯示為這種形式——所謂邏輯上必然的真理的概念,是指『否定它會導致自相矛盾』)在日常生活中,當人們在討論中試圖展示某個荒謬之處(譯者按:直接翻譯成『曬傻逼』多省事xsk),抑或認定某個說法必將導致一個錯誤後果時,與此類似的方法也得到廣泛的運用。
另一方面,休謨認為對於事實的知識只能來自於感官知覺,因為包含於其中的觀念在邏輯上是不相關聯的,因此,事實命題不能以演繹法得到證明。
以『珠穆朗瑪峰是世界最高峰』這個命題為例,這一命題中的概念諸如『山脈、最高、地球以及喜馬拉雅山脈中某些特定的山』,相互之間並沒有足以確認其為真的邏輯關聯,假定其它什麼山是世界最高峰也不會自相矛盾。
因此,單憑邏輯推理並不能確認事實命題的真假,唯有運用感官知覺方能探知此類命題的狀況究竟如何。
(休謨是蘇格蘭人,也是英國經驗主義哲學傳統的重要代表人物,這一傳統亦包括英格蘭人約翰•洛克以及愛爾蘭人喬治•貝克萊)以上所有的思想家均認為不存在天賦的觀念,我們關於這個世界的一切知識來自於我們的感官知覺,並由此得到證實,因此,他們否認有關事實之先驗知識的存在。
休謨在形而上學及神學問題上也是一個懷疑論者。
時至今日,相當多的人——包括某些哲學家——認為哲學只是關注一些非常抽象的概念,而與日常生活脫節,與一般人可以直接測度或經歷的事情不相關,因此哲學是沒什麼意義的。
某些人也會認為,思考純粹是浪費時間。
休謨也同意這種說法,並且建議道,如果某個人遇到『既沒有關於數量或數字的抽象推理,又沒有對於事實和存有的經驗性推理』的書或文章什麼的,那就該把它們燒掉,因為這類東西純屬『詭辯和玄想』。
這一兩難被稱為『休謨之叉』。
(我就此出了些練習題來考察學生的現有水平,以便決定之後怎麽講課)休謨對於『事實』和『觀念之間的聯繫』的區分大致與伊曼努爾•康德所謂『綜合命題』和『分析命題』的區分類似。
康德受休謨啟發而以這一區分為其批判哲學的核心部分。
在二十世紀初的一個被稱為『邏輯實證主義者』的科學哲學家群體中,這個區分成為從規範的數學與邏輯語言——它們被用以表達科學理論——的內容中甄別出形式的方法。
他們認為自己能夠將理論的『經驗性』內容,即所謂『綜合性』的部分,與其『理論性』和『分析性』的部分區分開來。
邏輯實證主義者認為,一個事實性表述若與對於過去、現在或未來的觀察無關,便沒有任何意義,換言之,如果這表述不具備經驗性的內涵,便沒有任何意義。
這一做法給予我們一種分辨誰在胡說八道的方法;我們只需檢驗他人所言是否與我們可觀察到的事物相關即可。
實證主義(我們後面會經常提到它)一度在哲學家和科學家當中具有廣泛的影響力,至今尚有為數不少的支持者。
不少人同意『科學理論應與可觀察、可測量、可記錄的事物緊密聯繫起來,其描述方式應體現為普遍法則及因果律』這一觀點。
現在,我們似乎可以說,我們所具備的某些對於事實的知識,確實是直接源自經驗的。
例如外面在刮風、多雲,並且很冷,例如燈是亮著的,例如茶是溫熱的,等等,我似乎確實是通過當下的感覺經驗而知道它們。
對於另一類事物而言,我在過去的日子裡通過同樣的方法了解到它們;這類知識乃建基於我對於知覺的回憶。
那麼,我對於沒有親自觀察過的事物的信念,又當如何呢?我確實有很多這樣的信念,例如,我相信『太陽明天會升起』『珠穆朗瑪峰是世界最高峰』『我的朋友現居蘇格蘭』,等等。
這些都是事實,因為,在這些事例中,對於其命題的否定不會導致自相矛盾,因此,我們不能用演繹法來證明它們正確。
我們具體通過怎樣的方式才能知道它們——如果可能的話?休謨宣稱,一切試圖超越過去和當下經驗的推理都是基於因果律的。
假設你經常打台球;你會很快發現如果你擊打白球,使其離開球檯正中央,它會以某種方式旋滾動並撞擊下一個球。
這是一個對於台球運動的有用的概括。
你繼續推論說,將球擊離球檯正中央『導致了』它的滾動,並且你能以此為基礎,對於球在此後的運動進行準確的預測——當然,這起碼要假定你能正確擊球。
同樣地,我們發現,太陽升起以後,地球及位於其上的一切事物開始變得溫暖,因此,我們推論說,這一現象在今後也會發生,是太陽『導致』這些事物變得溫暖。
休謨指出,若你擊球後,台球倒著滾動或者根本不滾動,是沒有什麼邏輯上不一致的地方的,同理,假設太陽會使地球變冷,也不會產生自相矛盾。
我們將這些觀念聯繫起來的惟一方法,是假設他們之間存在某種因果聯繫。
當然,我們的許多信念有賴於他人的確證,無論是在口頭上、書本上、報紙上還是以其它什麼的途徑。
在上文的事例中,我們相信存在著因果律,相信他人的經歷,並且以此互相交流。
再一次的,原本不存在邏輯聯繫的諸觀念被因果律連接了起來。
在休謨看來,這因果律乃是歸納法的基礎,若我們試圖理解我們對於事實的經驗,我們需要假定我們的知識是遵從因果律的。
休謨認為,我們只能通過經驗來獲得對於因果律的知識,因為假定某個因果關係不成立並不會導致自相矛盾,就此而言,某一對於事實的知識也可能呈現出另種樣貌。
例如,我們無法在不經過嘗試的情況下確認『火會灼傷我們』或『火藥會爆炸』一類事情,因為假定『下一次火會凍傷我們,而非灼傷』並不會導致自相矛盾。
(當然,我們或許會被告知『存在某種因果聯繫』,但根本上來說,我們所取得的這類信息依然是源自於某人的經驗)我們還能對因果律說些什麼呢?休謨認為,正如我們唯有通過經驗才能發現因果聯繫並歸納出世間萬物在未來將會如何運作,我們也唯有通過對『我們自身所經驗到的因果聯繫』的考察,我們才能理解其本質,才能確認其是否能夠為歸納推理提供足夠有力的證明。
休謨並認為,當我們考察自身對於因果聯繫的經驗時,此經驗顯然本身就來自於『從過去發生了什麼推導出未來將發生什麼』這一推論過程。
例如,緊隨『吃完麵包』這一經驗之後的,是『感到有營養』這一經驗,我假設麵包一般會讓人產生有營養的感覺,並且因此下一片麵包也會讓我覺得有營養。
對於休謨而言,所謂因果關係,本質上不過是一種『經常性的同時發生』;A導致了B意味著A在我們的經驗中常常與B一起出現:『我發現該事物經常與該後果一起出現,並且我預測,其它看起來與之類似的事物也會與同樣的後果一起出現』(休謨原話)。
但是,當然地,對於我們現在正在思考的事物在未來將會如何運作,我們現在是無法經歷的,因此,對於因果關係的信念乃依賴於這樣一個信念,即未來與過去是齊一的。
(這是一個要點,我們稍後會繼續討論它。
)此處暫時至第2章第36頁中間部分。
休谟深入考察因果关系的概念,并发现其重要特征为所谓连续性——即在时间及空间上的前后相继关系。
通常而言,若假定事件之间存在因果联系,则这些事件不仅在时空距离上较为相近,而且为因果链所连接,每一个事件均在时空上接近于下一个事件。
例如,『某人将字符输入电脑』与『另一人在网页上读到了这些字』便存在因果联系,因为这两个事件之间存在一条连续的因果链——无论这因果链是多么长和多么复杂。
但是,休谟并不认为只要假定因果联系存在,这联系便一定为真了。
因果关系的另一特性,乃是原因通常发生在结果之前。
事实是否真正如此,並非一两句话可以马上说得清楚,因为原因和结果有时似乎同时发生——当我们认为房梁是屋顶被撑起的原因时,便产生类似的情况。
又及,某些哲学家认定,当某个原因导致了发生在过去的一个结果时,便存在『回溯的因果关系』。
无论如何,休谟断定以下的特征乃是『A导致B』这样的关系所固有的:(1)A类事件的发生在时间上先于B类事件。
(2)A类事件在我们的经验中经常与B类事件相伴随(3)A类事件与B类事件在时空上是前后相连的。
(4)A类事件导致了B类事件将紧随其后发生的期望。
这便是所谓休谟式的因果律分析,但是,以上这些分析真的足以说明因果联系的性质吗?请考虑下面的例子;台球X撞击另一台球Y,并且,Y迅速滚走。
我们便说X导致了Y的移动,但这句话究竟意味着什么?我们倾向于这样表达;X使得Y移动,X造成了Y的移动,Y必然移动——因为X撞击了它,等等。