6第6章IIR数字滤波器-精简
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IIR数字滤波器精简
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(1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍 是因果稳定的。即 S平面的左半平面必须映射 到Z平面单位圆的内部。
(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频 响，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆，相应 的频率之间成线性关系。
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一、脉冲响应不变法的转换原理
核心原理： 通过对连续函数ha(t)等间隔采样得到离散序列
脉冲响应不变法的频率混叠现象
第28页/共54页
H (e
j
)
1 T
k
H
a
j
2k
T
只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，才能使 数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混 叠失真。即：
Ha ( j)＝0
| | = s
T2
可得：
H (e
j )
^
ha (t) ha (t) (t nT )
n
其拉氏变换：
Hˆ a (s)
hˆa (t )e st dt
n
ha
(
t
)
(
t
nT
)e
st
dt
ha (nT )esnT ha (n)zn
H (z) zesT
n
n
ze sT
采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换 之间的映射关系
Ha( p)
p5 b4 p4
1 b3 p3 b2 p2
b1 p b0
其中： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361
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(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。
(1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍 是因果稳定的。即 S平面的左半平面必须映射 到Z平面单位圆的内部。
(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频 响，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆，相应 的频率之间成线性关系。
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一、脉冲响应不变法的转换原理
核心原理： 通过对连续函数ha(t)等间隔采样得到离散序列
脉冲响应不变法的频率混叠现象
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H (e
j
)
1 T
k
H
a
j
2k
T
只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，才能使 数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混 叠失真。即：
Ha ( j)＝0
| | = s
T2
可得：
H (e
j )
^
ha (t) ha (t) (t nT )
n
其拉氏变换：
Hˆ a (s)
hˆa (t )e st dt
n
ha
(
t
)
(
t
nT
)e
st
dt
ha (nT )esnT ha (n)zn
H (z) zesT
n
n
ze sT
采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换 之间的映射关系
Ha( p)
p5 b4 p4
1 b3 p3 b2 p2
b1 p b0
其中： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361
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(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。
数字信号处理 第六章
各种数字滤波器的理想幅度频率响应 数字滤波器的设计步骤 理想滤波器的逼近 数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言
数字滤波器的设计步骤：
按任务要求，确定滤波器性能要求。 用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼 近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响 应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR） 系统函数两种。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。 实际的技术实现。
零极点分布对系统相角的影响
相位“延时”（或相位“滞后”）系统
最小相位延时系统 最大相位延时系统 最大相位超前系统 最小相位超前系统
相位“超前”（或相位“领先”）系统
当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数， 当全部零点在单位圆外时，相位变化最小， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最大， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最小， 故称为最小相位超前系统。 故称为最大相位超前系统。 故称为最大相位延时系统。 故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一 半属Ha(-s)。如要求系统稳定， 则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制， 则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的， 则只能取所有左半平面的零极 点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界 稳定时虚轴上才会有极点。
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
IIR数字滤波器的设计
1
Am (e ) Am ( z ) Am ( z 1 ) z e j 1
由于 : 所以：
Am (e j 0 ) 1 (0) 0
m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积，由于 一阶全通系统相位是递减的 m阶实系数全通系统的相位非正递减的。
0
0
-2
-02-4(2) 确定wc
0.1 A p
wp
(10
0.1 Ap
1)
1/ 2 N
wc
ws
(100.1 As 1)1 / 2 N
(3)确定滤波器的系统函数H(s)
Type I Chebyshev Lowpass filter(CB I 型)
1 H ( jw ) 2 1 2C N (w / w c )
1 1 az H ( z ) H1 ( z )(z a ) 1 1 az 1
H1 ( z )(1 az )
1 az1
故
H(z) =Hmin(z) A1(z)
例 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为
b z 1 H ( z) , a 1, b 1 1 1 az
k 2
s 2 sin(
2
( 2 k 1) 2N
)s 1
•当N为偶数时
H (s)
k 1
N /2
1 s 2 2(sin k ) s 1
k ( 2 k 1) π /(2 N )
例：N=2,
k ( 2 k 1) π /(2 N )
H (s) 1
As 20log10 d s
阻带衰减(db )(stopband Attenuation) 滤波器的Gain函数 G(w)=20log10|H(jw)| dB
信号处理课件第6章无限冲激响应(IIR)滤波器设计
3. 滤波器的技术要求
低通：
：通带允许的最大衰减； ：阻带内应达到的最小衰减
单位 (dB)
若幅度下降到 0.707, 则幅平方下降 0.5 （半 功率点）：
若幅度下降到 0.01：
高通：
：通带允许的最大衰减； ：阻带内应达到的最小衰减
带通：
：通带允许的最大衰减； ： 阻带内应达到的最小衰减
带阻：
最直接到方法，将：
p ,s , p ,s
利用：
利用上一节的方法，可设计出模拟滤波器
G( p), G(s)
H(z)
H (z) G(s) s 1 ln z Ts
但这样做，H (z) 将不再是 z 的有理多项式，给
极－零分析带来困难。
数字滤波器的 单位抽样响应
模拟滤波器 的冲激响应
令：
冲激响应 不变法
（2）
b, a 是AF LP 的分子、分母的系数向量，B, A是转换后 的的分子、分母的系数向量；在（1）中，Wo是低通或 高通滤波器的截止频率；在（2）中，Wo是带通或带阻 滤波器的中心频率，Bw是其带宽。
4．bilinear.m ：双线性变换，由模拟滤波器 得到数字滤波器。
[Bz, Az]=bilinear(B, A, Fs) 式中B, A分别是G（s）的分子、分母多项式 的系数向量，Bz, Az分别是H(z)的分子、分 母多项式的系数向量，Fs是抽样频率。
2. 切比雪夫I型(Chebyshev-I)滤波器
3. 切比雪夫II型滤波器
4. 椭圆滤波器
Un2() ：Jacobian 函数 本课程只讨论 Butterworth 和 Chebyshev-I
滤波器的设计
二、Butterworth滤波器的设计
iir数字滤波
iir数字滤波（实用版）目录1.IIR 数字滤波器的概念2.IIR 数字滤波器的分类3.IIR 数字滤波器的优点4.IIR 数字滤波器的缺点5.IIR 数字滤波器的应用领域正文I.IIR 数字滤波器的概念IIR（Infinite Impulse Response，无限脉冲响应）数字滤波器是一种数字滤波器，其特点是在数字域中实现无限脉冲响应。
IIR 数字滤波器通过对数字信号进行加权求和，达到滤除噪声、调整频率响应等目的，从而改善信号质量。
II.IIR 数字滤波器的分类根据 IIR 数字滤波器的结构和实现方式，可以将其分为以下几类：1.直接型 IIR 滤波器：直接型 IIR 滤波器是基于脉冲响应的数字滤波器，其结构简单，但计算复杂度较高。
2.间接型 IIR 滤波器：间接型 IIR 滤波器通过离散傅里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换（FFT）将滤波器的脉冲响应转换为频域滤波器，从而降低计算复杂度。
3.有限脉冲响应 IIR 滤波器：有限脉冲响应 IIR 滤波器是一种改进型的 IIR 滤波器，通过限制脉冲响应的长度，降低计算复杂度。
III.IIR 数字滤波器的优点1.实现简单：IIR 数字滤波器的结构相对简单，易于实现和编程。
2.计算效率高：相比于其他类型的数字滤波器，IIR 数字滤波器具有较高的计算效率。
3.频率响应可调：IIR 数字滤波器的频率响应可以通过调整滤波器的参数实现，具有较好的灵活性。
IV.IIR 数字滤波器的缺点1.稳定性问题：IIR 数字滤波器存在稳定性问题，当滤波器的参数选取不当时，可能导致滤波器不稳定，产生振荡。
2.频谱泄漏：IIR 数字滤波器在滤波过程中，可能出现频谱泄漏现象，即滤波后的信号中仍包含原信号的高频成分。
3.精度限制：IIR 数字滤波器的精度受限于其参数的取值范围，当参数取值范围较小时，滤波器的精度较低。
V.IIR 数字滤波器的应用领域1.信号处理：IIR 数字滤波器广泛应用于信号处理领域，如噪声抑制、信号滤波等。
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
x(n m) e
X (e
)
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理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近（以低通为例）
通带： c 阻带：
st
1 1 H (e
H (e
j
j
) 1
2
)
过渡带： c st
c
：通带截止 （cutoff）频率 ：通带容限 ：阻带（stop）截止 频率 ：阻带容限
j
)] )]
j j
H (e ) H (e ) e
*
j
j
j (e
)
H (e H (e
*
) )
e
2 j (e
j
)
(e
j
H (e 1 ) ln * 2 j H (e
j
H (z) 1 ) ln 1 2 j j ) H ( z ) z e j
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6.2、最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统
LSI系统的系统函数：
H (z) K
M M
m 1 N
(1 c m z (1 d k z
M
1
) Kz
(N M )
m 1 N
( z cm ) (z dk )
k 1
1
)
k 1
频率响应：
H (e
j
上页 下页
因果稳定系统
H (e a rg K
j
z r, r 1
n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N
) 2 m i 2 p i 2 ( N M ) 2
IIR数字滤波器的原理及设计解析
因此截止频率又叫做3db带宽或者半功率点。
图6.1
Butterworth低通滤波器的平方幅度特性
3. N的影响
在通带内，0<(Ω/Ωc)<1，故N越大， | H ( j)|2 随增大 a
而下降越慢；
在阻带内，(Ω/Ωc)>1，故N越大，| H a ( j)| 随增大而下
2
降越快。
1. 最平坦函数
B型滤波器的幅频特性是随增大而单调下降的。在 =0附近以及 很大时幅频特性都接近理想情况，而且在 这两处曲线趋于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。
2. 3db带宽 由(6.4)式可知，当Ω =Ω c 时，| H a ( j)|2 = 1 ，而 2
10log10 | H a ( jc ) |2 10log10 1 2 3db
根据幅频特性指标来设计系统函数。
图6.1中用虚线画出的矩形表示一个理想的模拟低通滤波
器的指标，是以平方幅度特性|Ha(jΩ )|2来给出的。
Ω c 是截止频率，当0≤Ω <Ω c时，|Ha(jΩ )|2 =1，是通带； 当Ω >Ω c时，|Ha(jΩ )|2 =0，是阻带。图6.1中的实的曲线 表示一个实际的模拟低通滤波器的平方幅度特性，我们的 设计工作就是要用近似特性来尽可能地逼近理想特性。 通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、 Chebyshev逼 近和Cauer逼近（也叫椭圆逼近〕。
i 0 i 1
M
N
于是得到IIR数字滤波器的系统函数：
Y ( z) H ( z) X ( z)
i a z i i 0
M
1 bi z i
IIR数字滤波器的原理及设计
这个式子中的常数 N是为了使(6.5)式满足而加入的。
c
这N个极点s0、s1、…、sN-1在s 平面的左半平面而且以共
轭形式成对出现，当N为奇数时, 有一个在实轴上
(为 - )。
c
6.2.1.3
一般情况下的B型低通滤波器
图 6.3
一般情况下低通滤波器的设计指标
此时，应该将角频率 标称化，通常以Ω 1为基准频率，
H z
n
hn z
N k 1 N
n
n
Ts Ak e sk nTs u nTs z n
k 1
N
Ts Ak e
n 0
s k Ts
z
1 n
Ts
Ak s k Ts 1 z k 1 1 e
(6.66)
上式中的幂级数收敛应该满足条件： e sk Ts z 1 |
模拟滤波器的逼近和综合理论已经发展得相当成熟，
产生了许多效率很高的设计方法，很多常用滤波器不仅有 简单而严格的设计公式，而且设计参数已图表化，设计起 来方便准确。
而数字滤波器就其滤波功能而言与模拟滤波器是相同的, 因此，完全可以借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设
计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中，较多地采用
的极点必须在左半平面系统才是稳定的，因而将左半s平
面的N个极点s k （k=0,1,…,N-1)分给H a (s)，这样，右半 平面的N 个极点-sk就正好是Ha(s)的极点。因此有：
N c H a (s) ( s s 0 )( s s1 ) ( s s N 1 )
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H a (e j 0 ) H a (e
j p
)
dB 20 lg H a (e
j p
) dB
s 20 lg
H a (e j 0 ) H a (e j s )
dB 20 lg H a (e j s ) dB
2 Ωc称为3dB截止频率： H a ( j c ) 0.707 2
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近
通带：
| | p
1 a1 | H (e ) | 1
| H (e ) | a2
j
j
阻带：
s | |
过渡带： p | | s
p ：通带截止频率 s ：阻带截止频率
a1 ：通带容限 a2 ：阻带容限
这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线
和图表供设计人员使用。
1、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法
模拟低通滤波器的设计指标有p, Ωp, s和Ωs。 Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率， p是通带Ω(0~Ωp)中的最大衰减系数 s是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数
p 20 lg
0.1a p
由N=5，直接查表（p261，表6-4）得到： 极点：-0.3090±j0.9511、-0.8090±j0.5878、 -1.0000
1 H a ( p) 5 4 3 2 p b4 p b3 p b2 p b1 p b0
其中： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361
思路：先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器
第二节 模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成
熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如：
1) 巴特沃斯(Butterworth)滤波器
2) 切比雪夫(Chebyshev)滤波器
3) 椭圆(Ellipse)滤波器
4) 贝塞尔(Bessel)滤波器
2
H(e
j
) H(e j )H (e j )
H(e j )H(e -j ) H( z )H( z 1 )
z e j
的极点既是共轭的， 又是以单位圆成镜像对称的。 H(z)的极点：单位圆内的极点
0
H(z)H(z-1)
j Im[ z ] 1/ a*
a
a*
Re[ z ]
c2
4、数字滤波器的理想幅频特性
LPDF
H ( e j )
……… ……… ………
2 c c
H ( e j )
2
………
HPDF
3 2 c c
H ( e j )
2
3
………
BPDF
3 2
c 1 c 2 2
H a ( s)
i 1
N
Ai s si
式中 si 为 Ha(s) 的单阶极点。将 Ha(s) 进行逆拉氏变换得到 ha(t)：
ha (t ) Ai e si t u (t )
i 1
N
式中u(t)是单位阶跃函数。
对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：
h(n) ha (nT ) Ae i
(1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍
是因果稳定的。即 S平面的左半平面必须映射
到Z平面单位圆的内部。 (2) 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频 响，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆，相应
的频率之间成线性关系。
一、脉冲响应不变法的转换原理
核心原理： 通过对连续函数ha(t)等间隔采样得到离散序列 ha(nT)。令h(n)= ha(nT) ，T为采样间隔。它是一 种时域上的转换方法。 转换步骤：
5 c H a ( s) 5 s b4c s 4 b32 c s 3 b23c s 2 b14 c s b05c
第三节 用脉冲(冲激)响应不变法 设计IIR数字低通滤波器
利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已 知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器的系 统函数H(z)。 它归根结底是一个由S平面映射到Z平面的变 换，这个变换通常是复变函数的映射变换，为了保 证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，这个映射变 换必须满足以下两条基本要求：
第6章 IIR数字滤波器设计
第一节 数字滤波器的基本概念
数字滤波器: 输入输出均为数字信号，经过一定运算 关系改变输入信号所含频率成分的相对 比例或者滤除某些频率成分的器件。 优点： 精度高，稳定，体积小，重量轻，灵活，不 要求阻抗匹配，能实现模拟滤波器(AF)无法 实现的特殊滤波功能。
一、数字滤波器的分类
实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法
2、数字滤波器的技术要求
我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假 设数字滤波器的传输函数H(e jω)用下式表示：
H(e
j
) H(e
j
)e
j ( )
幅频特性|H(ej)|： 信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况。 相频特性()： 各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。
(Bandstop analog filter / Bandstop digital filter)
3、模拟滤波器的理想幅频特性
LPAF
H ( j )
c
HPAF
c
H ( j )
c
BPAF
c
H ( j )
c1
BSAF
c2
H ( j )
c2 c1 c1
常用的技术指标是通带内和阻带内允许的衰减，一般 用dB数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带 内允许的最小衰减用s表示， p和s分别定义为：
H (e j0 ) H (e
H (e
j 0
j p
j0
p 20 lg
s 20 lg
)
)
dB 20 lg H (e
j p
2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法
(1) 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2 用下式表示：
H a ( j )
2
1 1 c
2N
N称为滤波器的阶数 N越大，越接近理想滤波器， N越大，滤波器的实现也越复杂。
低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：
(1) 根据技术指标Ωp,p,Ωs, s，求出滤波器的阶数N。N的大 小主要影响幅度特性下降的速度。
a 1
相位响应
H(e j ) H(e j ) e j ( ) Re[ H(e j )] j Im[ H (e j )]
相位响应： 群延迟响应 定义：相位对角频率的导数的负值
( ) arg H (e )
j
d ( ) ( ) d
氏逆变换 H a ( s ) 拉 ha ( t ) 间隔采样 等 ha ( nT ) h( n) 变换 Z H ( z )
设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)
Ha ( s) LT [ha (t )]
设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶 次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：
滤波器的种类很多，分类方法也不同。 1、从功能上分；低通、带通、高通、带阻。 2、从实现方法上分：FIR、IIR 3、从设计方法上来分： Butterworth（巴特沃斯）、 Chebyshev(切比雪夫）、 Ellipse（椭圆）等。 4、从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器
1、经典滤波器
假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自 占有不同的频带。 当x(n)经过一个线性系统（即滤波器）后即可将欲去除的 成分有效地去除。
其拉氏变换：
n
ha (t ) (t nT )
st st ˆ ˆ H a ( s ) ha ( t )e dt ha ( t ) ( t nT )e dt n ha ( nT )e snT ha (n)z n H ( z) n
10 p 10 p 1 N lg lg s 10 s 10 1
求出的特沃斯低通滤波器传输函数Ha(p)。
1 H a ( p) b0 b1 p bN 1 p N 1 p N
(3) 将Ha(p)去归一化。由巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数求 出Ωc，将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际滤波器传输函数Ha(s)。
i 1
N
si nT
u(nT )
对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：
H ( z)
i 1
N
Ai 1 e siT z 1
Ai Ai s i T 1 s si 1 e z
二、存在的问题
ˆ ( t ) 表示， 设ha(t)的采样信号用 h a
^
h a (t )
H a ( s ) H a ( p) p
s
c
例： 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带 截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指 标设计巴特沃斯低通滤波器。 解： (1) 确定阶数N：
10 1 k sp 0.0242 0.1as 10 1 2 f s sp 2.4 2 f p lg 0.0242 N 4.25, lg 2.4 N 5
若滤波器通带内 ( )为常数，则为线性相位滤波器。
4、IIR数字滤波器的设计方法
用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：