第五章 数字滤波器的基本结构
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iir和fir基本结构
x[k]
b0
w[k]
y[k ]
z 1
b1
a1
z 1
z 1
b2
z 1
a2
z 1
a N 1 z 1
z 1
bN
aN z 1
直接 II 型结构
x[k]
x[k]
a1
a1
z 1
z 1
aa2 2
z 1
z 1
aaNN1z1z1 1
aaNN zz1 1
b0
z 1
b1b0
b1
z 1 b2b2 z1
k 0
z 1
z 1
z 1
1
1
1
z 1
z 1
1 z 1
z 1 1
h[0]
h[1]
h[2]
y[k]
h[ M 3] h[ M 1]
2
2
相同系数的共用乘法器，只需(M+1) /2个乘法器
三、 FIR 数字滤波器的级联型结构
将H(z)分解为若干个实系数一阶二阶因子相
乘
L
H (z) h[0] (1 1,k z 1 2,k z 2 )
j 1
w[k] b0 x[k] b1x[k 1] bN x[k M ]
y[k] w[k] a1x[k 1] a2 x[k 2] aN x[k N ]
直接 I 型结构
设M=N w[k] b0 x[k] b1x[k 1] bN x[k N ] y[k] w[k] a1x[k 1] a2 x[k 2] aN x[k N ]
第5章 数字滤波器的基本结构
IIR数字滤波器的基本结构 FIR数字滤波器的基本结构 格型结构
IIR数字滤波器的基本结构
数字滤波器的基本结构(3)-sw_OK
8
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
一、直接I型
表述一个IIR滤波器的系统函数和差分方程分别 由(5-1)和(5-2)式表述，
M
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
(5-2)
根据(5-2)式可以看出，y(n)可以分为两部分之和
M
第一部分为 bk x(n k) 对应输入x(n)及其各延迟 k 0
（2）将输入x(n)和输出y(n)互换位置。
18
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
x(n)
b0
b1
z 1 a1
b2
z 1 a2
y(n)
bM 1
bM
z 1
aN 1
z 1
aN
图8 直接 II 型的转置型
19
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
[例 1]设IIR数字滤波器的系统函数为
图6可以看作是图5的极点网络和零点网络互换级联 位置而成的。
观察图6
∵w1=w2 ∴前后两部分对应的延迟支路输出节点变量 也相等，即图中的w1(n-1)=w2(n-1)，w1(n-i)=w2(n-i)，
故可将前后两部分对应的延迟支路合并，合并后的信 号流图为
15
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
H (z) 8z3 4z2 11z 2
(z 1)(z2 z 1)
4
2
试画出该IIR数字滤波器的直接II型及其转置型的结构。
8 4z1 11z2 2z3 解： H (z) 1 5 z1 3 z2 1 z3
448
20
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
一、直接I型
表述一个IIR滤波器的系统函数和差分方程分别 由(5-1)和(5-2)式表述，
M
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
(5-2)
根据(5-2)式可以看出，y(n)可以分为两部分之和
M
第一部分为 bk x(n k) 对应输入x(n)及其各延迟 k 0
（2）将输入x(n)和输出y(n)互换位置。
18
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
x(n)
b0
b1
z 1 a1
b2
z 1 a2
y(n)
bM 1
bM
z 1
aN 1
z 1
aN
图8 直接 II 型的转置型
19
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
[例 1]设IIR数字滤波器的系统函数为
图6可以看作是图5的极点网络和零点网络互换级联 位置而成的。
观察图6
∵w1=w2 ∴前后两部分对应的延迟支路输出节点变量 也相等，即图中的w1(n-1)=w2(n-1)，w1(n-i)=w2(n-i)，
故可将前后两部分对应的延迟支路合并，合并后的信 号流图为
15
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
H (z) 8z3 4z2 11z 2
(z 1)(z2 z 1)
4
2
试画出该IIR数字滤波器的直接II型及其转置型的结构。
8 4z1 11z2 2z3 解： H (z) 1 5 z1 3 z2 1 z3
448
20
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
数字滤波器的基本结构
H (z)
A
m1 N1
m1 N2
(1 ck z1) (11k z1 2k z2 )
k 1
k 1
将单实根因子看作二阶因子的特例：
46
M 1 2
(1 1m z1 2m z2 )
H (z) A m1 N 1 2 (1 1k z1 2k z2 ) k 1
：表示取整。
其中
Hi
(z)
1 1i z1 11i z1
2i 2i
z 2 z 2
,
级联结构：
i 0,1,..., m
X(n) H1（Z）
H2（Z）
。。。
Y(n) Hm（Z）
48
H(Z)的实现结构即可表示为基本二阶节 的级联形式。每个二阶节用典范型实现：
Z-1
Z 1 a1
y(n 1)
Z 1
a2
y(n 2)
Z 1 bM
x(n M )
Z 1
aN 1
y(n N 1)
Z 1
aN
y(n N)
实现N阶差分方程的直接I型结构
36
M=N
37
1）可直接差分方程或系统函数的标准形式画 出。两个网络级联：第一个横向结构M节延 时网络实现零点（分子，输入），第二个有 反馈的N节延时网络实现极点（分母，输 出） 。需要N+M级延时单元。
32
◦ 系统函数 ◦ 差分方程
M
bk z k
H(z)
k 0 N
1 ak zk
Y (z) X (z)
k 1
N
M
y(n) ak y(n k) bk x(n k)
数字信号处理 第五章
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
6
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
-1 a1 z
y(n)
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
7
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
z z
2 2
H (z)
1 1k z 1 1k z
1 1
x(n)
H 1(z)
y (n )
H 2(z)
H k (z)
数字信号处理—第五章
22
数字信号处理—第五章
23
IIR数字滤波器的级联型结构优点
1) 每个二阶或一阶子系统单独控制零、极点。 2）级联顺序可交换，零、极点对搭配任意，因此级联 结构不唯一。有限字长对各结构的影响是不一样的， 可通过计算机仿真确定子系统的组合及排序。 3）级联各节之间要有电平的放大和缩小，以使变量值 不会太大或太小。太大可能导致运算溢出；太小可 能导致信噪比太小。 4）级联系统也属于最少延时单元实现，需要最少的存 储器，但乘法次数明显比直接型要多。 4）级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算 误差积累比直接型小。
数字信号处理—第五章
4
基本单元(数字滤波器结构）有两种表 示方法
数字信号处理—第五章
5
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
数字信号处理第五章-IIR数字滤波器的设计
24
2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
31
32
33
无论N多大，所 有特性曲线均通 过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢 阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
34
20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
35
另外：
36
无论N多大，所 有特性曲线均通 过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
9
问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存 在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要 求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特 性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近 于1；
20
3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计 先按照给定的技术指标设计出模拟滤波 器的系统函数H(s)，然后经过一定的变 换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实 际上是S平面到Z平面的映射过程： 从时域出发，脉冲响应不变法 从频域出发，双线性变换法 适合于设计幅度特性较规则的滤波器， 如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半 平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右 半平面的极点一定属于H(-s)。
2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
31
32
33
无论N多大，所 有特性曲线均通 过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢 阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
34
20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
35
另外：
36
无论N多大，所 有特性曲线均通 过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
9
问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存 在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要 求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特 性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近 于1；
20
3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计 先按照给定的技术指标设计出模拟滤波 器的系统函数H(s)，然后经过一定的变 换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实 际上是S平面到Z平面的映射过程： 从时域出发，脉冲响应不变法 从频域出发，双线性变换法 适合于设计幅度特性较规则的滤波器， 如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半 平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右 半平面的极点一定属于H(-s)。
5 第五章_数字滤波器结构-2
8 16 20 z 1 H ( z ) 16 1 1 0.5z 1 z 1 0.5z 2
将上式中的每一部分画成直接型结构，再进行并联，最 后得到IIR并联型结构如图所示。
8 16 20 z 1 H ( z ) 16 1 1 0.5z 1 z 1 0.5z 2
1 1 1 1将上式写成来自面形式:式中1 0.3z 1 1 0.4 z 1 H ( z) H1 ( z ) H 2 ( z ) 1 1 1 0.6 z 1 0.5z
1 0.3z 1 1 0.4 z 1 H1 ( z ) , H 2 ( z) 1 1 0.6 z 1 0.5z 1
这里H1(z)和H2(z)分别是IIR一阶网络，将它们进行级 联, 得到级联型网络结构。
1 0.3z 1 1 0.4 z 1 H ( z) H1 ( z ) H 2 ( z ) 1 1 1 0.6 z 1 0.5z
x (n ) z－ 1 0.6 x (n ) z－ 1 0.6 0.4 (b ) z－ 1 0.3 (a ) y (n ) z－ 1 y (n )
[例] 设IIR数字滤波器差分方程为
y ( n) 8 x ( n) 4 x ( n 1) 11x ( n 2) 2 x ( n 3) 5 3 1 y (n 1) y (n 2) y (n 3) 4 4 8
试用四种基本结构实现此差分方程。 解 对差分方程两边取z变换，得系统函数
1
1
2
• 上式中的第一部分是IIR一阶网络，它的系数决定一对 零极点； 第二部分是 IIR 二阶网络，它决定一对零点 和一对极点。这两部分相互级联起来，构成IIR级联型 网络结构。
数字滤波器的基本结构
未来研究方向
新型算法研究
针对实际应用中的挑战，未来研究将进一步探索新型的数字滤波器 算法，以提高其性能、稳定性和适应性。
高性能硬件实现
随着集成电路和计算机工程的发展，未来研究将进一步探索高性能 、低功耗的数字滤波器硬件实现方法。
跨领域应用
数字滤波器在许多领域都有广泛的应用前景，如医疗、航空航天、环 保等，未来研究将进一步拓展数字滤波器的应用领域。
梯度下降法
通过迭代地更新滤波器的 系数，使得误差的梯度下 降最快，从而逐渐逼近最 优解。
牛顿法
利用牛顿定理，通过迭代 来寻找最优解，具有较高 的收敛速度和精度。
最优滤波器设计
最小均方误差（MMSE）滤波器
以最小化输出信号与期望信号之间的均方误差为优化目标，设计最优的滤波器 。
卡尔曼滤波器
一种递归滤波器，通过预测和更新来估计系统的状态，具有较高的稳定性和精 度。
控制系统
数字滤波器可以用于控制系统 的处理，如伺服控制、PID控制
、卡尔曼滤波等。
02
CHAPTER
数字滤波器的基本结构
数字滤波器的基本结构 直接形式
直接形式是数字滤波器的基本结构之 一。它是一种直观的形式，由一个输 入和一个输出组成，输入信号经过一 个或多个线性时不变系统后得到输出 信号。直接形式的结构简单，易于理 解和实现。
硬件优化
随着集成电路和计算机工程的发展，数字滤波器的硬件实 现越来越高效，低功耗、高速度和小型化成为主要趋势。
软件算法改进
数字滤波器的算法不断优化，以适应更复杂和多变的应用 场景，如神经网络、深度学习等算法的引入使得滤波效果 更加精确。
嵌入式应用
随着嵌入式系统的发展，数字滤波器在嵌入式设备上的应 用越来越广泛，这要求数字滤波器具有更强的稳定性和适 应性。
第5章-滤波器结构
基本运算单元
加法器 单位延时器 常数乘法器
Z
-1 -1
Z a
a
信号流图——用节点与有向支路描述系统
节点 j a 节点 k
节点——支路的汇合点 输入节点(源节点) 、输出节点(阱节点) 分支节点、加法器 支路——由起始节点到终止节点的一条有向通道 节点值（节点变量）——节点上的物理量，等于该节点 所有输入支路之和。 输入支路的值=支路起点的节点值×支路传输系数
N2 Ak γ0 k γ1k z 1 G0 1 1 2 1 c z 1 z z k 1 k 1 k 1k 2k
G0 H k ( z )
k 1
L
画出各二阶基本节的直接型结构，再将它们并联
一阶基本节、二阶基本节
二阶基本节 （二阶节）
γ0 k γ1k z 1 H k ( z) 1 α1k z 1 α2 k z 2
k 0 N
j H ( k ) H ( e ) 2 数字频域——系统数字频响 k
对于上面的算式，可以化成不同的计算形式，如直接计 算、分解为多个有理函数相加、分解为多个有理函数相乘 等等，不同的计算形式也就表现出不同的计算结构，而不 同的计算结构可能会带来不同的效果，或者是实现简单，
网络结构分类 FIR网络
不存在反馈支路，其单位脉冲响应有限长
y (n ) bi x(n i )
i 0
M
bn , 0 n M h(n ) 0,
IIR网络
存在反馈支路，即信号流图中存在环路，其单位 脉冲 响应无限长
y (n) bi x(n i ) ai y (n i )
1
2
二阶基本节
一阶基本节、二阶基本节
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aN
z-1
y(n-M)
第五章 数字滤波器的基本结构
5.2无限长单位冲击响应(IIR)滤波器的基本结构
直接I型
m0
系统函数在有限z平面不存在极点
M
N
y(n) bmxn m ak yn k
m0
k 1
信号流图中有输出对输入的反馈回路
M
bm z m
M
bm z m
H (z)
m0 N
m0 N
ak zk 1 ak zk
k 0
k 1
系统函数在有限z平面存在极点
x(n)
y(n)=x(n)+ax(n-1)
H(z) 1 az1
5.2无限长单位冲击响应(IIR)滤波器的基本结构
网络结构的分类
有限长单位冲击响应(FIR)系统
无限长单位冲击响应(IIR)系统
h(n)有限长；
h(n)无限长；
M
M
y(n) bmxn m h(n) bm n m
m0
m0
信号流图中无输出对输入的反馈回路
M
H (z) bmzm
m0
系统函数在有限z平面不存在极点
z-1 a
y(n)
x(n) b0
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) b0x(n)
a1
H
(
z)
1
a1z
b0 1
a2
z
2
a2
y(n)
z-1
z-1
第五章 数字滤波器的基本结构
5.2无限长单位冲击响应(IIR)滤波器的基本结构
网络结构的分类
有限长单位冲击响应(FIR)系统
无限长单位冲击响应(IIR)系统
a2 z-1
x(n-2)
aN-1 y(n-M+1)
aN
z-1
y(n-M)
第一个网络，实现零点
第五章 数字滤波器的基本结构
5.2无限长单位冲击响应(IIR)滤波器的基本结构
直接I型
M
bm zm
H(z)
m0 N
1 ak zk
k 1
M
N
y(n) bmxn m ak yn k
m0
k 1
x(n)
5
a1
z-1
3
a2
z-1
4
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) b0x(n)
H
(
z)
1
a1z
b0 1
a2
z
2
二阶数字滤波器
信号流图表示
H (z)
1 1 0.8z1 0.15z2
1.5 1 0.3z1
1
2.5 0.5z
1
1 1 0.3z1
1
1 0.5z
1
第五章 数字滤波器的基本结构
5.2无限长单位冲击响应(IIR)滤波器的基本结构
直接I型
M
bm zm
H(z)
m0 N
1 ak zk
k 1
M
N
y(n) bmxn m ak yn k
m0
k 1
x(n)
b0
z-1
x(n-1)
b1
z-1
b2
x(n-2)
x(n-M+1)
bM-1
z-1
x(n-M)
bM
y(n)
a1
z-1
y(n-1)
+ x(n)
h(n)
y(n) a 延时 X
一个线性移不变系统，可以用常系数线性差分方程来描述：
N
M
y(n) ak yn k bk xn k
k 0
k 0
M
M
其系统函数H(z)为： H(z)
Y (z) X (z)
bk zk
k 0 N
1 ak zk
K
1 cmz1
m1 N
1 dk z1
M
h(n) bk hn k
k 0
k 0
k 1
H (e j ) H z ze j
第五章 数字滤波器的基本结构
5.1 数字滤波器结构的表示方法 5.2 无限长单位冲击响应(IIR)滤波器的基本结构 5.3 有限长单位冲击响应(FIR)滤波器的基本结构
第五章 数字滤波器的基本结构
5.1 数字滤波器结构的表示方法
+ x(n)
M
bm zm
H(z)
m0 N
1 ak zk
k 1
系统函数在有限z平面存在非零极点
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) b0x(n)
H
(
z)
1
a1z
b0 1
a2
z
2
x(n) b0 a1 a2
y(n)
z-1
z-1
H (z)
1 1 0.8z1
0.15z 2
1.5 1 0.3z1
M
N
y(n) bmxn m ak yn k
m0
k 1
信号流图中有输出对输入的反馈回路
M
bm z m
M
bm z m
H (z)
m0 N
m0 N
ak zk 1 ak zk
k 0
k 1
系统函数在有限z平面存在极点
x(n)
y(n)=x(n)+ax(n-1)
H(z) 1 az1
z-1 a
y(n)
x(n) b0
m0 N
m0 N
ak zk 1 ak zk
k 0
k 1
系统函数在有限z平面存在极点
x(n)
y(n)=x(n)+ax(n-1)
H(z) 1 az1
z-1 a
y(n)
x(n) b0
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) b0x(n)
a1
H
(
z)
1
a1z
b0 1
a2
z
2
a2
y(n)
z-1
z
2
第五章 数字滤波器的基本结构
5.1 数字滤波器结构的表示方法
实现数字滤波器需要的基本运算单元：加法器、单位延时、常数乘法器 基本单元的两种表示法：方框图法、信号流图法
x(n) x(n) x1(n)
z－1 x(n－1) x(n) a
ax(n)
x1(n)＋x2(n)
b0 1
5
a1
a2
2 y(n)
z-1
h(n)
y(n) a 延时 X
一个线性移不变系统，可以用常系数线性差分方程来描述：
N
M
y(n) ak yn k bk xn k(z)为：H(z)
Y (z) X (z)
bk zk
k 0 N
1 ak zk
K
1 cmz1
m1 N
1 dk z1
k 0
k 1
第五章 数字滤波器的基本结构
3
z-1
4
x(n) z－1 x(n－1)
x(n) x1(n)
a ax(n) x1(n)＋x2(n)
x2(n)
方框图表示法
二阶数字滤波器 信号流图表示
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) b0x(n)
H
(
z)
1
a1z
b0 1
a2
z
2
x2(n)
信号流图表示法
第五章 数字滤波器的基本结构
5.1 数字滤波器结构的表示方法
实现数字滤波器需要的基本运算单元：加法器、单位延时、常数乘法器 基本单元的两种表示法：方框图法、信号流图法
x(n)
z－1 x(n－1)
a x(n)
ax(n)
x1(n)
x1(n)＋x2(n)
x(n) z－1 x(n－1)
x(n) x1(n)
a ax(n) x1(n)＋x2(n)
k 1
M
N
y(n) bmxn m ak yn k
m0
k 1
x(n)
b0
z-1
x(n-1)
b1
z-1
b2
x(n-2)
x(n-M+1)
bM-1
z-1
x(n-M)
bM
y(n)
a1
z-1
y(n-1)
a2 z-1
x(n-2)
aN-1 y(n-M+1)
aN
z-1
y(n-M)
按差分方程直接画出的网络结构
第五章 数字滤波器的基本结构
)
x(n a1
k)
y(n)
z-1
H
(
z)
1
a1z
b0 1
a2
z
2
a2 z-1
第五章 数字滤波器的基本结构
5.2无限长单位冲击响应(IIR)滤波器的基本结构
无限长单位冲击响应(IIR)系统
M
N
h(n)无限长；y(n) bmxn m ak yn k
m0
k 1
信号流图中有输出对输入的反馈回路
h(n)有限长；
h(n)无限长；
M
M
y(n) bmxn m h(n) bm n m
m0
m0
信号流图中无输出对输入的反馈回路
M
N
y(n) bmxn m ak yn k
m0
k 1
信号流图中有输出对输入的反馈回路
M
H (z) bmzm
m0
系统函数在有限z平面不存在非零极点
M
bm zm
H(z)
5.1 数字滤波器结构的表示方法
实现数字滤波器需要的基本运算单元：加法器、单位延时、常数乘法器 基本单元的两种表示法：方框图法、信号流图法