第三章 数字滤波器的基本结构
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数字信号处理教程课后习题及答案
试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等）， 则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。
解 : (1) y1 (0) = 0 时， (a) 设 x1 (n) = δ (n) ，
按 y1 (n) = ay1 (n − 1) + x1 (n) i) 向 n > 0 处递推，
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
当n ≤ −1时 当n > −1时
∑ y(n) = n a −m = a −n
m=−∞
1− a
∑ y(n) =
−1
a−m =
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等）， 则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。
解 : (1) y1 (0) = 0 时， (a) 设 x1 (n) = δ (n) ，
按 y1 (n) = ay1 (n − 1) + x1 (n) i) 向 n > 0 处递推，
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
当n ≤ −1时 当n > −1时
∑ y(n) = n a −m = a −n
m=−∞
1− a
∑ y(n) =
−1
a−m =
数字滤波器的基本结构
群延迟
定义：群延迟是指数字滤波器在单位频率下输出信号相对于输入信号的延迟时间
影响因素：滤波器的阶数、滤波器的类型、滤波器的参数等
重要性：群延迟是衡量数字滤波器性能的重要指标之一对于信号处理、通信系统等应用具有重要 意义
测量方法：可以通过仿真或实验方法测量群延迟常用的测量方法有傅里叶变换、快速傅里叶变换 等
数字滤波器的分类
按照滤波器的 实现方式可以 分为FIR滤波器 和IIR滤波器
按照滤波器的 频率响应可以 分为低通滤波 器、高通滤波 器、带通滤波 器和带阻滤波
器
按照滤波器的 阶数可以分为 一阶滤波器、 二阶滤波器、 三阶滤波器等
按照滤波器的 应用领域可以 分为通信滤波 器、图像滤波 器、音频滤波
器等
数字滤波器的基本原理
数字滤波器是一 种信号处理设备 用于处理数字信 号
基本原理：通过 改变信号的频率 成分实现信号的 滤波
滤波器类型：包 括低通滤波器、 高通滤波器、带 通滤波器和带阻 滤波器等
应用领域：广泛 应用于通信、信 号处理、图像处 理等领域
03
数字滤波器的结构
IIR数字滤波器结构
结构类型：直接 型、间接型、状 态空间型
单击此处添加副标题
数字滤波器的基本结构
汇报人：
目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题 数字滤波器的概述 数字滤波器的结构 数字滤波器的性能指标 数字滤波器的实现方法 数字滤波器的应用
01
添加目录项标题
02
数字滤波器的概述
数字滤波器的定义
数字滤波器是一种信号处理设备用于处理数字信号 主要功能：对输入信号进行滤波处理以消除或减弱某些频率成分 应用领域：通信、雷达、图像处理、音频处理等领域 数字滤波器可以分为低通、高通、带通、带阻等类型每种类型都有其特定的应用场合。
数字滤波器的基本结构
H (z)
A
m1 N1
m1 N2
(1 ck z1) (11k z1 2k z2 )
k 1
k 1
将单实根因子看作二阶因子的特例：
46
M 1 2
(1 1m z1 2m z2 )
H (z) A m1 N 1 2 (1 1k z1 2k z2 ) k 1
：表示取整。
其中
Hi
(z)
1 1i z1 11i z1
2i 2i
z 2 z 2
,
级联结构：
i 0,1,..., m
X(n) H1（Z）
H2（Z）
。。。
Y(n) Hm（Z）
48
H(Z)的实现结构即可表示为基本二阶节 的级联形式。每个二阶节用典范型实现：
Z-1
Z 1 a1
y(n 1)
Z 1
a2
y(n 2)
Z 1 bM
x(n M )
Z 1
aN 1
y(n N 1)
Z 1
aN
y(n N)
实现N阶差分方程的直接I型结构
36
M=N
37
1）可直接差分方程或系统函数的标准形式画 出。两个网络级联：第一个横向结构M节延 时网络实现零点（分子，输入），第二个有 反馈的N节延时网络实现极点（分母，输 出） 。需要N+M级延时单元。
32
◦ 系统函数 ◦ 差分方程
M
bk z k
H(z)
k 0 N
1 ak zk
Y (z) X (z)
k 1
N
M
y(n) ak y(n k) bk x(n k)
数字滤波器结构的表示方法一数字滤波器的概念滤波
方框图法简明且直观，其三种基本运算 如下图所示：
单位延时:
z-1 (n)
乘常数:
a
(n）
a
相加:
例如：
x(n)
பைடு நூலகம்b0
b0x(n)
y(n)
Z 1 Z 1
2、信号流图法 三种基本的运算：
单位延时： 乘常数： 相加：
这种表示法更加简单方便。
几个基本概念：
a）输入节点或源节点， 所处的节点；
b）输出节点或阱节点， 所处的节点；
2、级联型
将H（z）分解为实系数二阶因子的乘积形式
注：[N/2]表示取N/2的整数部分，如
*N为偶数时，N-1为奇数，这时因为有奇数个根， 所以 中有一个为零。
当N为奇数时的结构如下：
一般情况：
特点：每节结构可控制一对零点。 所需系数 多，乘法次数也多。
3、快速卷积结构
如果， 的长为N1 ，h（n）的长为N2。
再将共轭因子展开，构成实系数二阶因子， 则得
最后，将两个一阶因子组合成二阶因子（或将 一阶因子看成是二阶因子的退化形式），则有
当（M=N=2）时 A
当（M=N=4）时 当（M=N=6）时
A
Z-1
Z-1
特点： 仅影响第k对零点，同样
仅影响第k对极点，便于调节滤波器的频率特性。 所用的存储器的个数最少。
3、非递归结构。
h(n)为一个N点序列，z=0处为（N-1）阶极点， ，有（N-1）阶零点。
二、基本结构 1、横截型（卷积型、直接型）
它就是线性移不变系统的卷积和公式
h(0) h(1) h(2)
h(N-2)
h(N-1)
用转置定理可得另一种结构
h(N-1) h(N-2) h(N-3)
单位延时:
z-1 (n)
乘常数:
a
(n）
a
相加:
例如：
x(n)
பைடு நூலகம்b0
b0x(n)
y(n)
Z 1 Z 1
2、信号流图法 三种基本的运算：
单位延时： 乘常数： 相加：
这种表示法更加简单方便。
几个基本概念：
a）输入节点或源节点， 所处的节点；
b）输出节点或阱节点， 所处的节点；
2、级联型
将H（z）分解为实系数二阶因子的乘积形式
注：[N/2]表示取N/2的整数部分，如
*N为偶数时，N-1为奇数，这时因为有奇数个根， 所以 中有一个为零。
当N为奇数时的结构如下：
一般情况：
特点：每节结构可控制一对零点。 所需系数 多，乘法次数也多。
3、快速卷积结构
如果， 的长为N1 ，h（n）的长为N2。
再将共轭因子展开，构成实系数二阶因子， 则得
最后，将两个一阶因子组合成二阶因子（或将 一阶因子看成是二阶因子的退化形式），则有
当（M=N=2）时 A
当（M=N=4）时 当（M=N=6）时
A
Z-1
Z-1
特点： 仅影响第k对零点，同样
仅影响第k对极点，便于调节滤波器的频率特性。 所用的存储器的个数最少。
3、非递归结构。
h(n)为一个N点序列，z=0处为（N-1）阶极点， ，有（N-1）阶零点。
二、基本结构 1、横截型（卷积型、直接型）
它就是线性移不变系统的卷积和公式
h(0) h(1) h(2)
h(N-2)
h(N-1)
用转置定理可得另一种结构
h(N-1) h(N-2) h(N-3)
数字滤波器的基本结构
未来研究方向
新型算法研究
针对实际应用中的挑战，未来研究将进一步探索新型的数字滤波器 算法，以提高其性能、稳定性和适应性。
高性能硬件实现
随着集成电路和计算机工程的发展，未来研究将进一步探索高性能 、低功耗的数字滤波器硬件实现方法。
跨领域应用
数字滤波器在许多领域都有广泛的应用前景，如医疗、航空航天、环 保等，未来研究将进一步拓展数字滤波器的应用领域。
梯度下降法
通过迭代地更新滤波器的 系数，使得误差的梯度下 降最快，从而逐渐逼近最 优解。
牛顿法
利用牛顿定理，通过迭代 来寻找最优解，具有较高 的收敛速度和精度。
最优滤波器设计
最小均方误差（MMSE）滤波器
以最小化输出信号与期望信号之间的均方误差为优化目标，设计最优的滤波器 。
卡尔曼滤波器
一种递归滤波器，通过预测和更新来估计系统的状态，具有较高的稳定性和精 度。
控制系统
数字滤波器可以用于控制系统 的处理，如伺服控制、PID控制
、卡尔曼滤波等。
02
CHAPTER
数字滤波器的基本结构
数字滤波器的基本结构 直接形式
直接形式是数字滤波器的基本结构之 一。它是一种直观的形式，由一个输 入和一个输出组成，输入信号经过一 个或多个线性时不变系统后得到输出 信号。直接形式的结构简单，易于理 解和实现。
硬件优化
随着集成电路和计算机工程的发展，数字滤波器的硬件实 现越来越高效，低功耗、高速度和小型化成为主要趋势。
软件算法改进
数字滤波器的算法不断优化，以适应更复杂和多变的应用 场景，如神经网络、深度学习等算法的引入使得滤波效果 更加精确。
嵌入式应用
随着嵌入式系统的发展，数字滤波器在嵌入式设备上的应 用越来越广泛，这要求数字滤波器具有更强的稳定性和适 应性。
数字信号处理(Digital Signal Processing)智慧树知到课后章节答案2023年
数字信号处理（Digital Signal Processing）智慧树知到课后章节答案2023年下聊城大学聊城大学绪论单元测试1.声音、图像信号都是（）。
A:二维信号 B:一维信号 C:确定信号 D:随机信号答案:随机信号第一章测试1.序列的周期为（）。
A:7 B:7 C:14 D:14答案:142.序列的周期为（）。
A:10 B:10 C:8 D:8答案:103.对于一个系统而言，如果对于任意时刻n0，系统在该时刻的响应仅取决于此时刻及此时刻以前时刻的输入系统，则称该系统为____系统。
（）A:线性 B:因果 C:稳定 D:非线性答案:因果4.线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是______。
（）A:n<0,h(n)=0 B:n>0,h(n)=0 C:n>0,h(n)>0 D:n<0,h(n)>0答案:n<0,h(n)=05.要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须，这就是奈奎斯特抽样定理。
（）A:等于2倍fm B:小于等于2倍fm C:大于2倍fm D:大于等于2倍fm答案:大于等于2倍fm6.已知x(n)=δ(n),其N点的DFT[x(n)]=X(k),则X(N-1)= 1。
（）A:对 B:错答案:对7.相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。
（）A:对 B:错答案:错8.滤波器设计本质上是用一个关于z的有理函数在单位圆上的特性来逼近所有要求的系统频率特性。
（）A:错 B:对答案:对9.下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT的是（）A:时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 B:时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 C:时域为离散序列，频域也为离散序列 D:时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号答案:时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列10.巴特沃思滤波器的幅度特性必在一个频带中（通带或阻带）具有等波纹特性。
（）A:错 B:对答案:错第二章测试1.N＝1024点的DFT，需要复数相乘次数约（）。
数字信号处理数字滤波器的基本结构课件
灵活性高
数字滤波器可以针对不同的应 用需求，选择不同的滤波算法 和参数，具有较强的灵活性。
可同时处理多个信号
数字滤波器可以同时对多个输 入信号进行处理，提高了处理
效率。
数字滤波器的应用
01
02
03
04
音频处理
数字滤波器可以用于音频信号 的降噪、回声消除、均衡等处
理。
图像处理
数字滤波器可以用于图像的增 强、去噪、锐化等处理。
THANK YOU
差分方程
01
02
递归式
非递归式
03
04
直接形式
级联形式
05
06
并联形式
FIR数字滤波器的基本结构
01
直接形式
02
级联形式
03
分布式形式
04
快速卷积形式
03
数字滤波器的基本原 理
离散信号的频谱分析
离散信号的频域表示
将离散信号变换到频域，通过分析频域的特性来分析信号的特性 。
离散信号的频谱
描述信号中不同频率分量的强度和相位关系。
1 2 3
优化算法选择
根据数字滤波器的实际需求，选择适合的优化算 法，如快速傅里叶变换（FFT）算法、最小二乘 法等。
算法参数优化
对算法中的参数进行优化，以降低资源消耗。例 如，通过调整迭代次数、步长等参数，减少计算 量和内存占用。
算法实现优化
采用高效的算法实现方式，如使用循环展开、避 免重复计算等技巧，减少计算时间和内存占用。
数字滤波器的稳定性
数字滤波器的稳定性
01
确保数字滤波器在处理信号时不会产生不稳定或不收敛的情况
。
稳定的频率响应在无穷大频率范围内为零，则该滤
dsp-3
如果把直接Ⅰ型中的两个N 如果把直接Ⅰ型中的两个N 阶延时单元合二为 一，变成一个N 阶延时单元，得到的是正准型结构。 变成一个N 阶延时单元，得到的是正准型结构。
Y ( z) 系统函数： H ( z ) = = X ( z)
bk z − k ∑ 1 − ∑ ak z − k
k =1 k =0 N
M
第一个网络实现零点， 加权延时: ① 第一个网络实现零点，即实现 x(n) 加权延时:
∑ b x(n − k )
k
M
k =0
N
第二个网络实现极点， 加权延时: ② 第二个网络实现极点，即实现 y (n)加权延时:
∑ a y (n − k )
k =1 k
可见，第二个网络是输出延时，即反馈网络。 可见，第二个网络是输出延时，即反馈网络。
H ( z) =
极点对系数的变化过于灵敏， ② 极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定
和所有的零、极点有关， 因为系数 ak , bk 和所有的零、极点有关，所以对 ak , bk 的精度要求比较高。当阶数越高时， 的精度要求比较高。当阶数越高时，要求的精度就越 高。由于有限字长效应的影响，造成这种结构容易产生 由于有限字长效应的影响， 较大误差，甚至系统会出现不稳定的情况。 较大误差，甚至系统会出现不稳定的情况。
a1 = −0.3 a2 = 0.2
b b0 = 1.5 ，1 = 2.1，b2 = 0.4
正准型结构： 正准型结构：
3、级联型 、
将系统函数按零、极点进行因式分解 将系统函数按零、极点进行因式分解:
H ( z) =
∑ bk z
k =0 N k =1
M
−k
1 − ∑ ak z − k
Y ( z) 系统函数： H ( z ) = = X ( z)
bk z − k ∑ 1 − ∑ ak z − k
k =1 k =0 N
M
第一个网络实现零点， 加权延时: ① 第一个网络实现零点，即实现 x(n) 加权延时:
∑ b x(n − k )
k
M
k =0
N
第二个网络实现极点， 加权延时: ② 第二个网络实现极点，即实现 y (n)加权延时:
∑ a y (n − k )
k =1 k
可见，第二个网络是输出延时，即反馈网络。 可见，第二个网络是输出延时，即反馈网络。
H ( z) =
极点对系数的变化过于灵敏， ② 极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定
和所有的零、极点有关， 因为系数 ak , bk 和所有的零、极点有关，所以对 ak , bk 的精度要求比较高。当阶数越高时， 的精度要求比较高。当阶数越高时，要求的精度就越 高。由于有限字长效应的影响，造成这种结构容易产生 由于有限字长效应的影响， 较大误差，甚至系统会出现不稳定的情况。 较大误差，甚至系统会出现不稳定的情况。
a1 = −0.3 a2 = 0.2
b b0 = 1.5 ，1 = 2.1，b2 = 0.4
正准型结构： 正准型结构：
3、级联型 、
将系统函数按零、极点进行因式分解 将系统函数按零、极点进行因式分解:
H ( z) =
∑ bk z
k =0 N k =1
M
−k
1 − ∑ ak z − k
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图3-5 IIR数字滤波器的直接II型结构
z
1
直 接 II 型
图（a）
图（b）
将图(a)中间两部分的延迟单元合并得到图(b)。
14
图(a)中
x ' ( n) ak x ' ( n k ) x ( n)
k 1
N
y (n) bk x' (n k )
k 0
M
对上两式进行Z变换
8
§3-2 IIR数字滤波器的结构
一、IIR滤波器的特点 1、单位冲激响应 h(n) 是无限长的。 2、系统函数 H ( z )在有限Z平面（0 z ） 上有极点存在。 3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入 的反馈。
9
二、基本结构 1、直接I型
直接由IIR滤波器的差分方程所得的网络结 构。由IIR数字滤波器的时域方程
k 1 N1
k 1 N2
18
其中，pk为实零点，ck为实极点；qk，qk*表 示复共轭零点，dk ，dk*表示复共轭极点， M=M1+2M2，N=N1+2N2 再将一阶共轭因子展开，构成实系数二阶 因子，单实根因子看作二阶因子的一个特例， 则得
1 k 1 H ( z ) A kN N2 1 1 ) 1 z 2 ) (1 c z (1 z k 1k 2k k 1 k 1
k k k 1 k 0
4
N
M
描述常系数差分方程的三种基本运算：加 法、单位延迟、乘常数。 三、数字滤波器结构的表示法
1、方框图法
单位延时: 乘常数:
x (n )
y ( n)
z-1
a
x(n 1)
ay (n)
y(n 1) x(n)
5
相加:
x ( n)
y(n 1)
例如：
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n)
21
当（M=N=4）时
图3-7 级联结构的二阶基本节
1 11Z 21Z 1 12 Z 22 Z H (Z ) A 1 11Z 1 21Z 2 1 12 Z 1 22 Z 2
1 2 1
22
2
该式表示两个二阶节级联。 当（M=N=6）时，则有三个二阶节级联，即
y (n) ak y (n k ) bk x(n k )
k 1 k 0
N
M
其系统函数为
Y ( z) H ( z) X ( z)
k b z k M k 0 N
1 ak z k
k 1
B( z ) A( z )
10
式中，
B z bk z
y (n 1)
b1
x(n 2)
x(n M 1)
x(n M )
b2 b
b
M
y (n 2)
M 1
1
a a
N 1
y(n N 1)
z
1
N
y (n N )
图3-4 IIR数字滤波器的直接I型结构
特点： 第一个网络实现零点，即实现x(n)加权延时:
12
k 0
1 ) 1 z 2 ) (1 p z (1 z k 1k 2k
M1
M2
19
进一步完全分解成实系数的二阶因子：
L 1 1k z 2 k z H ( z) A A H k ( z) 1 2 k 1 z k z 1k 2k L 1 2
M
k
1 ak z k
它和直接II型具有相同的系统函数。II型所 用延迟单元减少M个，可节省存储器。
16
共同的缺点：
系数ak、bk对滤波器性能的控制不直接，对
极、零点的控制难，一个ak、bk的改变会影系
统的零点或极点分布。 对字长变化敏感（对ak、bk的准确度要求严 格）。
不稳定，阶数高时，上述影响更大。
xn
A
y ( n)
11
Z 1 Z
1
11
12
Z-1
Z
1
12
13
Z 1 13
Z 1
21
21
22
22
23 23
23
图3-8 六阶IIR滤波器的级联结构
特点： 简化实现，用一个二阶节，通过变换系数 就可实现整个系统； 极、零点可单独控制、调整。 各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优 化组合以减小运算误差； 可流水线操作，所用的存储器的个数最少。 缺点： 二阶节电平难控制，电平大易导致溢 出，电平小则使信噪比减小。
7
a
例如：
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n)
x ( n)
6
b0
5
1
2
a1y(n 1) a2 y(n 2)
a1
a1y(n-1)
Z 1
y ( n) 7
3
a2 y(n 2)
y (n 1)
a2
4 y (n 2)
Z 1
图5-3 数字滤波器的信号流图表示
1 11Z 1 21Z 2 1 12 Z 1 22 Z 2 1 13Z 1 23Z 2 H (Z ) A . . 1 2 1 2 1 11Z 21Z 1 12 Z 22 Z 1 13Z 1 23Z 2
13
x ( n)
A( z )
B( z ) x ' ( n) b0 y ( n)
z z
1 1
x ( n)
A( z ) B( z )
b0
y ( n)
a
1
z
z
1
b1 b2
a
a
1
z b1 z b2
1
1
a
1
2
2
a N 1
aN
z
1
z
1
bM 1
bM 1
bM
a N 1 z 1 b M
aN
17
3、级联型（串联） 先将一个N阶系统函数的分子、分母都表达 为因子形式：
H (Z )
k b z k
M
1 ak z k
k 1
k 0 N
A
(1 p z ) (1 q z
1
k k
M1
M2
1
)(1 qk z )
1
1 1 1 (1 c z ) (1 d z )(1 d z ) k k k k 1 k 1
k 0
M
k
， A z
1 1 ak z
k 1 M k
可知，
B( z ) 实现了系统的零点； A( z ) 实现了系统的极点。
其结构图如3-4示。
11
直 接 I 型
x ( n)
x(n 1)
B( z ) b0
z z z
1 1
A( z )
a1
a2
z z
1 1
y ( n)
N2 1
上式表明，可用 N 1个一阶网络、N 2个二阶网络以
及一个常数 G0 并联组成滤波器 H ( z ) 。
H1 ( z)
x ( n)
H 2 ( z)
H N 1 ( z)
[ 2 ]
y ( n)
M
图3-9 并联结构（M=N）
26
当M=N时，将一阶实极点和共轭极点化成实系数
二阶多项式，H(Z)可表为
28
其结构图如下：
G0
x ( n)
X(Z)
H1 (Z )
H 2 (Z )
01
11
Z 1
y ( n)
Y(z)
02
12
Z 12
1
H 2 (Z )
22
Z 1
图3-10 三阶IIR滤波器并联结构
29
并联型的特点： ①系统实现简单； ②极点位置可单独调整； ③运算速度快（可并行进行）； ④各二阶网络的误差互不影响，总的误差小， 对字长要求低。 缺点： 不能直接调整零点。
1
如下图示：
X (e j )
H (e ) 为矩形窗时的情形
j
0
H ( e j )
0
Y (e
j
ωc
π
ω
ωc
π
ω
)
0
图3-1 数字滤波器频响示意图
π
ω
2
数字滤波器的实现方法： a.利用通用计算机编程，即软件实现； b.数字信号处理器（DSP）即专用硬件实现。
二、数字滤波器的系统函数与差分方程 1、系统函数 一个数字滤波器的系统函数一般可表示 为有理函数形式：
X '( z ) X '( z ) ak z
k 1
N
k
X ( z)
Y ( z ) X '( z ) bk z
k 0
M
k
15
因此
X '( z )
X ( z) 1 ak z k
k 1 N
Y ( z) H ( z) X ( z)
b z
k 0 N k k 1
H ( Z ) G0 G0
[( N 1) / 2]
k 1 k 1
0 k 1k Z 1 2 1 1k Z 2 k Z
1
[( N 1) / 2]
H k (Z )
当N为奇数时，必定包含一个一阶节，即
2k 1k 0
27
例：M=N=3时，为奇数，故
z
1
直 接 II 型
图（a）
图（b）
将图(a)中间两部分的延迟单元合并得到图(b)。
14
图(a)中
x ' ( n) ak x ' ( n k ) x ( n)
k 1
N
y (n) bk x' (n k )
k 0
M
对上两式进行Z变换
8
§3-2 IIR数字滤波器的结构
一、IIR滤波器的特点 1、单位冲激响应 h(n) 是无限长的。 2、系统函数 H ( z )在有限Z平面（0 z ） 上有极点存在。 3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入 的反馈。
9
二、基本结构 1、直接I型
直接由IIR滤波器的差分方程所得的网络结 构。由IIR数字滤波器的时域方程
k 1 N1
k 1 N2
18
其中，pk为实零点，ck为实极点；qk，qk*表 示复共轭零点，dk ，dk*表示复共轭极点， M=M1+2M2，N=N1+2N2 再将一阶共轭因子展开，构成实系数二阶 因子，单实根因子看作二阶因子的一个特例， 则得
1 k 1 H ( z ) A kN N2 1 1 ) 1 z 2 ) (1 c z (1 z k 1k 2k k 1 k 1
k k k 1 k 0
4
N
M
描述常系数差分方程的三种基本运算：加 法、单位延迟、乘常数。 三、数字滤波器结构的表示法
1、方框图法
单位延时: 乘常数:
x (n )
y ( n)
z-1
a
x(n 1)
ay (n)
y(n 1) x(n)
5
相加:
x ( n)
y(n 1)
例如：
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n)
21
当（M=N=4）时
图3-7 级联结构的二阶基本节
1 11Z 21Z 1 12 Z 22 Z H (Z ) A 1 11Z 1 21Z 2 1 12 Z 1 22 Z 2
1 2 1
22
2
该式表示两个二阶节级联。 当（M=N=6）时，则有三个二阶节级联，即
y (n) ak y (n k ) bk x(n k )
k 1 k 0
N
M
其系统函数为
Y ( z) H ( z) X ( z)
k b z k M k 0 N
1 ak z k
k 1
B( z ) A( z )
10
式中，
B z bk z
y (n 1)
b1
x(n 2)
x(n M 1)
x(n M )
b2 b
b
M
y (n 2)
M 1
1
a a
N 1
y(n N 1)
z
1
N
y (n N )
图3-4 IIR数字滤波器的直接I型结构
特点： 第一个网络实现零点，即实现x(n)加权延时:
12
k 0
1 ) 1 z 2 ) (1 p z (1 z k 1k 2k
M1
M2
19
进一步完全分解成实系数的二阶因子：
L 1 1k z 2 k z H ( z) A A H k ( z) 1 2 k 1 z k z 1k 2k L 1 2
M
k
1 ak z k
它和直接II型具有相同的系统函数。II型所 用延迟单元减少M个，可节省存储器。
16
共同的缺点：
系数ak、bk对滤波器性能的控制不直接，对
极、零点的控制难，一个ak、bk的改变会影系
统的零点或极点分布。 对字长变化敏感（对ak、bk的准确度要求严 格）。
不稳定，阶数高时，上述影响更大。
xn
A
y ( n)
11
Z 1 Z
1
11
12
Z-1
Z
1
12
13
Z 1 13
Z 1
21
21
22
22
23 23
23
图3-8 六阶IIR滤波器的级联结构
特点： 简化实现，用一个二阶节，通过变换系数 就可实现整个系统； 极、零点可单独控制、调整。 各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优 化组合以减小运算误差； 可流水线操作，所用的存储器的个数最少。 缺点： 二阶节电平难控制，电平大易导致溢 出，电平小则使信噪比减小。
7
a
例如：
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n)
x ( n)
6
b0
5
1
2
a1y(n 1) a2 y(n 2)
a1
a1y(n-1)
Z 1
y ( n) 7
3
a2 y(n 2)
y (n 1)
a2
4 y (n 2)
Z 1
图5-3 数字滤波器的信号流图表示
1 11Z 1 21Z 2 1 12 Z 1 22 Z 2 1 13Z 1 23Z 2 H (Z ) A . . 1 2 1 2 1 11Z 21Z 1 12 Z 22 Z 1 13Z 1 23Z 2
13
x ( n)
A( z )
B( z ) x ' ( n) b0 y ( n)
z z
1 1
x ( n)
A( z ) B( z )
b0
y ( n)
a
1
z
z
1
b1 b2
a
a
1
z b1 z b2
1
1
a
1
2
2
a N 1
aN
z
1
z
1
bM 1
bM 1
bM
a N 1 z 1 b M
aN
17
3、级联型（串联） 先将一个N阶系统函数的分子、分母都表达 为因子形式：
H (Z )
k b z k
M
1 ak z k
k 1
k 0 N
A
(1 p z ) (1 q z
1
k k
M1
M2
1
)(1 qk z )
1
1 1 1 (1 c z ) (1 d z )(1 d z ) k k k k 1 k 1
k 0
M
k
， A z
1 1 ak z
k 1 M k
可知，
B( z ) 实现了系统的零点； A( z ) 实现了系统的极点。
其结构图如3-4示。
11
直 接 I 型
x ( n)
x(n 1)
B( z ) b0
z z z
1 1
A( z )
a1
a2
z z
1 1
y ( n)
N2 1
上式表明，可用 N 1个一阶网络、N 2个二阶网络以
及一个常数 G0 并联组成滤波器 H ( z ) 。
H1 ( z)
x ( n)
H 2 ( z)
H N 1 ( z)
[ 2 ]
y ( n)
M
图3-9 并联结构（M=N）
26
当M=N时，将一阶实极点和共轭极点化成实系数
二阶多项式，H(Z)可表为
28
其结构图如下：
G0
x ( n)
X(Z)
H1 (Z )
H 2 (Z )
01
11
Z 1
y ( n)
Y(z)
02
12
Z 12
1
H 2 (Z )
22
Z 1
图3-10 三阶IIR滤波器并联结构
29
并联型的特点： ①系统实现简单； ②极点位置可单独调整； ③运算速度快（可并行进行）； ④各二阶网络的误差互不影响，总的误差小， 对字长要求低。 缺点： 不能直接调整零点。
1
如下图示：
X (e j )
H (e ) 为矩形窗时的情形
j
0
H ( e j )
0
Y (e
j
ωc
π
ω
ωc
π
ω
)
0
图3-1 数字滤波器频响示意图
π
ω
2
数字滤波器的实现方法： a.利用通用计算机编程，即软件实现； b.数字信号处理器（DSP）即专用硬件实现。
二、数字滤波器的系统函数与差分方程 1、系统函数 一个数字滤波器的系统函数一般可表示 为有理函数形式：
X '( z ) X '( z ) ak z
k 1
N
k
X ( z)
Y ( z ) X '( z ) bk z
k 0
M
k
15
因此
X '( z )
X ( z) 1 ak z k
k 1 N
Y ( z) H ( z) X ( z)
b z
k 0 N k k 1
H ( Z ) G0 G0
[( N 1) / 2]
k 1 k 1
0 k 1k Z 1 2 1 1k Z 2 k Z
1
[( N 1) / 2]
H k (Z )
当N为奇数时，必定包含一个一阶节，即
2k 1k 0
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例：M=N=3时，为奇数，故