解一元二次方程及不等式的解法
一元二次方程的解法及一元二次不等式的解法
方程一边是0, ①因式分解法 (方程一边是 ,另一边整式容易因式分解) ②直接开平方法 ( (x+m)2=k k≥0 ) ③公式法 (化方程为一般式) 化方程为一般式) 化方程为一般式 ④配方法 二次项系数为1,而一次项系数为偶数) (二次项系数为 ,而一次项系数为偶数)
用三种不同的方法 解方程3x 5 x = 2
∴x 2 = 0或3x +1 = 0 1 ∴x1 = 2, x2 = 3
用配方法解
解:
两边同时除以3, 两边同时除以 ,得:
3x 5 x = 2
2
步骤
①二次项系数化1 二次项系数化 ②移项
5 2 x x= 3 3
2
左右两边同时加上(
x
2
5 25 x + 3 36
5 ,得: )2 6
2 25 = + . 3 36
变式练习2.关于 的不等式 的不等式ax 变式练习 .关于x的不等式 2+bx+c<0的解 的解 集为{x|x<-1或x>2}.解不等式 2-bx+c>0. 解不等式ax 集为 或 解不等式 小结:( )根据解集, 小结 (1)根据解集,确定二次项系数的符号 (a<0); ; 的关系:b=-a, (2)由韦达定理确定 ,b,c的关系 )由韦达定理确定a, , 的关系 , c=-2a ; 代入要求解的不等式, (3)把b=-a,c=-2a代入要求解的不等式,进 ) , 代入要求解的不等式 而解不等式 -3x2+4x+4>0.
即解不等式: 即解不等式 3x2-4x-4<0. 第一步:解方程3x 第一步:解方程 2-4x-4=0,得x1=2,x2=-2/3. , , 第二步:画出抛物线y=3x2-4x-4的草图; 的草图; 第二步:画出抛物线 的草图 第三步:根据抛物线的图象,得出不等式 第三步:根据抛物线的图象,得出不等式3x2-4x-4<0的 的 解集为{x|-2/3<x<2}. 解集为
第1讲 一元二次方程与一元二次不等式解法
ax b k(k 0, a 0)， 即ax b k或ax b k(k 0, a 0)
按一元一次方程求解
（2）提公因式：形如ax2 bx 0(a 0) 提公因式得
x(ax b) 0(a 0)Leabharlann x 0，x b (a 0) a
（3）求根公式法：
1.方程ax2 bx c 0(a 0)的判别式 b2 4ac
2.三个一元二次之间的关系：
判别△=b2-4ac
△> 0
△= 0
ax2+bx+c =0
有两相异实 有两相等实根
(a>0)根 y =ax2+bx+c
根x1,x2 (x1<x2) x1=x2=
b
2a
y
y
(a>0)的图象
x1 O x2 x
△< 0 没有实根
y
ax2+bx+c >0(a>0)
的解集
{x|x<x1,x>x2}
2.方程ax2 bx c 0(a 0)有无实数根判定方法
（1）当 0时，方程有两个不相等的实数根。
（2）当 0时，方程有两个相等的实数根。
（3）当 0时，方程没有实数根。
3.方程ax2
bx c
0(a
0)的求根公式x1
b 2a
， x2
b 2a
4.韦达定理（根与系数的关系）：
方程ax2
Ox
x
{x|x≠ 1
b 2a
}
x
O
R
ax2+bx+c <0(a>0) 的解集
{x|x1<x<x2}
【例2】解下列不等式：
解一元二次不等式的口诀及步骤
解一元二次不等式的口诀及步骤
解一元二次不等式的口诀是什么，解题方法和步骤又是什么呢？需要了解的小伙伴们看过来，下面由小编为你精心准备了“解一元二次不等式的口诀及步骤”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
解一元二次不等式口诀
首先化成一般式，构造函数第二站;判别式值若非负，曲线横轴有交点;a正开口它向上，大于零则取两边;代数式若小于零，解集交点数之间;方程若无实数根，口上大零解为全;小于零将没有解，开口向下正相反。
一元二次不等式，是指含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。
它的一般形式是ax²+bx+c>0、ax²+bx+c≠0、ax²+bx+c<0(a不等于0)。
解一元二次不等式的步骤
1、把二次项系数变成正的;
2、画数轴，在数轴上从小到大依次标出所有根;
3、从右上角开始，一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含x的项是奇次幂就穿过，偶次幂就跨过);
4、注意看看题中不等号有没有等号，没有的话还要注意舍去使不等式为0的根。
扩展资料
数轴穿根法适用于所有的不等式。
用根穿孔法求解高阶不等式时，先将不等式的一端化为零，然后在另一端分解，得到其零点。
这些零点标记在数字轴上，然后使用平滑曲线从X轴右端的顶部穿过这些零点。
大于零的不等式解对应于x轴上曲线上部实数x的一组小于零的值。
相反地。
这种方法被称为序贯轴根部穿孔法，也被称为“根部穿孔法”。
口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。
”。
一元二次方程与不等式的解法
一元二次方程与不等式的解法一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠ 0。
而不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c ≤ 0的不等关系，其中a、b、c为实数且a≠ 0。
本文将探讨一元二次方程与不等式的解法，并分析其应用场景。
一、一元二次方程的求解方法一元二次方程的解法主要有图像法、配方法、公式法和因式分解法等，在不同的情况下可以选择相应的方法进行求解。
1. 图像法图像法主要通过绘制函数y = ax^2 + bx + c的图像，通过观察函数与x轴的交点来确定方程的解。
当图像与x轴相交于两个点时，方程有两个实根；当图像与x轴相交于一个点时，方程有一个实根；当图像与x轴不相交时，方程无实根。
2. 配方法配方法是通过将一元二次方程的形式转化为一个完全平方的形式，并借助平方根的性质来求解。
具体步骤如下：- 首先，将方程的三项按照平方根的部分进行配方，即将bx项除以2并平方。
- 其次，将方程两边的式子按照平方差公式进行整理，并将两项的平方根合并。
- 最后，通过开平方根运算，得到方程的解。
3. 公式法公式法是通过一元二次方程的根与系数之间的关系，直接利用求根公式来求解方程。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根的求解公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个相反的根。
4. 因式分解法因式分解法主要适用于一元二次方程可以进行因式分解的情况，即方程的三项均可以被因式分解为两个一次项的乘积。
通过将方程进行因式分解，得到每个因式等于零的条件，并解得方程的根。
二、不等式的解法不等式的解法主要有图像法、代数法和数线法等，根据不同的不等式形式选择相应的方法进行求解。
1. 图像法图像法同样通过绘制不等式对应的函数曲线，观察函数曲线与坐标轴的关系来确定不等式的解。
一元二次方程与不等式的知识点总结
一元二次方程与不等式的知识点总结一、一元二次方程（Quadratic Equation）一元二次方程是指一个未知量的最高次是二次的方程。
其一般形式可表示为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知实数，a≠0。
1. 解的个数与判别式：设一元二次方程为ax²+bx+c=0，其判别式Δ=b²-4ac。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等实数根，也称为重根；- 当Δ<0时，方程无实根，但有两个共轭复数根。
2. 求解一元二次方程的方法：- 因式分解法：将方程进行因式分解，使左侧变为两个一次因式的乘积，再利用“零乘积法则”求解。
- 公式法：利用一元二次方程的求根公式x=（-b±√Δ）/2a求解。
3. 一元二次方程的图像：一元二次方程的图像是一个抛物线，对称轴为直线x=-b/2a，开口方向由a的正负决定。
二、不等式（Inequality）不等式是指含有不等于号的数学式子。
一般形式可表示为ax+b>0，ax+b≥0，ax+b<0，ax+b≤0等。
1. 不等式的解集表示：解集表示是指将不等式的解表示为一段数轴上的区间。
- 对于大于号，解集表示为某个数轴上的一个开区间；- 对于小于号，解集表示为某个数轴上的一个开区间；- 对于大于等于号，解集表示为某个数轴上的一个闭区间；- 对于小于等于号，解集表示为某个数轴上的一个闭区间。
2. 解不等式的方法：- 规则法：对于形如ax+c>0，ax+c≥0，ax+c<0，ax+c≤0的一元一次不等式，可以直接通过规则法求解。
- 加减法原则：当两个不等式同时成立时，可以将它们相加或相减得到一个新的不等式。
- 乘除法原则：当两个不等式同时成立时，可以将它们相乘或相除（除数不为零）得到一个新的不等式。
3. 不等式的图像表示：对于一元一次不等式，可以通过画数轴上的区间表示。
对于一元二次不等式，则可以通过画抛物线上的一部分表示。
一元二次不等式的概念与解法
一元二次不等式的概念与解法一元二次不等式是数学中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍一元二次不等式的概念和解法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、一元二次不等式的概念一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
与一元二次方程相似，一元二次不等式也由三个系数决定，其解集是使不等式成立的实数解的集合。
二、一元二次不等式的解法对于一元二次不等式，我们可以通过以下几个步骤来求解：1. 将不等式转化为一元二次方程首先，将不等式中的不等号改为等号，得到ax^2 + bx + c = 0。
这样，我们就可以通过求解一元二次方程的方法来求解不等式。
2. 确定一元二次方程的根确定一元二次方程的根，即求解方程ax^2 + bx + c = 0的解。
一元二次方程的解可以是实数根或复数根。
通过这一步骤，我们可以得到方程的根的情况，从而确定不等式的解的情况。
3. 根据一元二次方程的性质进行分类讨论根据一元二次方程的根的情况，我们可以进行分类讨论，从而确定不等式解的情况。
a) 实数根的情况：- 当方程有两个不相等的实数根时，解集为使不等式成立的实数区间。
- 当方程有两个相等的实数根时，解集为使不等式成立的实数区间中除去相等根的点。
b) 复数根的情况：- 当方程没有实数根，即有两个虚根时，表明不等式无解。
4. 绘制解集的数轴图根据分类讨论的结果，我们可以在数轴上绘制出解集，以便更直观地表示不等式的解的范围。
通过以上步骤，我们可以求解一元二次不等式，得到其解的范围。
需要注意的是，在解不等式的过程中，我们要充分考虑到一元二次方程的性质，尤其是判别式和因式分解等关键概念，以确保得到正确的解集。
总结：一元二次不等式是一元二次方程的一种推广形式，它具有重要的理论和实际应用价值。
通过将不等式转化为一元二次方程，确定方程的根，并根据根的情况进行分类讨论，我们可以求解一元二次不等式，得到其解的范围。
一元二次方程与不等式的解法
一元二次方程与不等式的解法在学习数学的过程中，我们经常会遇到一元二次方程和不等式的解法。
这两个概念是数学中重要的基础知识，掌握它们对我们解决各种实际问题非常有帮助。
本文将对一元二次方程和不等式的解法进行详细探讨。
一、一元二次方程的解法一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，其一般形式为Ax^2 + Bx + C = 0。
为了解一元二次方程，我们可以使用以下三种方法：因式分解法、配方法和求根公式法。
1. 因式分解法对于一元二次方程Ax^2 + Bx + C = 0，我们首先尝试将其进行因式分解。
这种方法适用于方程可以通过因式分解得到解的情况。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x +2)(x + 3) = 0。
由此我们得到两个根x = -2和x = -3，这就是方程的解。
2. 配方法当方程无法通过因式分解得到解时，我们可以使用配方法来解决。
配方法的关键是通过添加合适的常数使得方程能够被写成完全平方的形式。
例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过添加常数2使其变为x^2 + 6x + 9 = 1。
然后，我们可以将方程改写为(x + 3)^2 - 1 = 0。
从中我们可以得到根x = -3±1，即x = -4和x = -2。
3. 求根公式法当方程无法通过因式分解或配方法得到解时，我们可以使用求根公式来解决。
对于一元二次方程Ax^2 + Bx + C = 0，其根可以通过以下公式推导得到：x = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / (2A)通过带入系数A、B和C的值，我们可以计算出方程的两个根。
二、不等式的解法不等式是数学中常见的问题，解不等式可以帮助我们确定未知数的取值范围。
不等式的解法主要包括以下几种：代入法、图像法和区间法。
1. 代入法代入法是最直接的一种解不等式的方法，我们将候选值代入不等式中判断其真假。
如果候选值满足不等式，则表示该候选值是不等式的解。
一元二次方程与不等式
一元二次方程与不等式一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是一种含有未知数的二次项、一次项和常数项的方程。
通常形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，a≠0。
一元二次方程的解即为满足方程的未知数的值。
二、求解一元二次方程的方法1.配方法：即通过乘以一个合适的因式，将一元二次方程转化为一个完全平方的形式。
例如，对于方程x² + bx = c，我们可以乘以2a来得到2ax² + 2abx = 2ac，然后将左边的两项进行平方，得到(2ax + b)² =b² - 4ac。
最后开根号并移项即可求解出x的值。
2.因式分解法：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，如果可以将其因式分解为(a₁x + b₁)(a₂x + b₂) = 0的形式，那么方程的解即为x = -b₁/a₁和x = -b₂/a₂。
3.求根公式法：根据一元二次方程的一般形式ax² + bx + c = 0，我们可以通过求解根公式x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)来得到方程的解。
三、一元二次方程的实际应用一元二次方程在数学和实际生活中具有广泛的应用。
以下列举了几个常见的实例：1.物体自由落体：根据牛顿第二定律，我们可以得到物体自由落体的距离和时间之间的二次关系。
其中，距离可以表示为s = gt²/2，其中g为重力加速度，t为时间。
2.消费模型：一元二次方程可以用来描述不同商品价格和销售数量之间的关系，从而帮助企业进行合理定价和销售策略。
3.投射运动：当物体在一个斜面上进行投射运动时，我们可以利用一元二次方程描述物体在x轴和y轴上的运动轨迹。
四、不等式及其基本性质不等式是数学中常见的一种表示关系的工具，用于描述数的大小和大小之间的关系。
例如，x > 3就是一个不等式，表示x的值大于3。
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解一元二次方程解法一元二次方程：因式分解法；公式法
移项：使方程右边为0
因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组
由A?B=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程
2、公式法
将方程化为一般式
写出a、b、c
求出ac
b4
2-，若＜0，则无实数解
若＞0，则代入公式求解
1、)4
(5
)4
(2+
=
+x
x2、x
x4
)1
(2=
+3、2
2)
2
1(
)3
(x
x-
=
+
4、3
10
22=
-x
x5、（x+5）2=16 6、2（2x－1）－x（1－2x）=0
7、x2 =64 8、5x2 -
5
2
=0 9、8（3 -x）2–72=0
10、3x(x+2)=5(x+2) 11、（1－3y）2+2（3y－1）=0 12、x2+ 2x + 3=0
13、x2+ 6x－5=0 14、x2－4x+ 3=0 15、x2－2x－1 =0
16、2x2+3x+1=0 17、3x2+2x－1 =0 18、5x2－3x+2 =0
19、7x2－4x－3 =0 20、-x2-x+12 =0 21、x2－6x+9 =0
22、22
(32)(23)
x x
-=-23、x2-2x-4=0 24、x2-3=4x
25、3x 2＋8 x－3＝0 26、(3x＋2)(x＋3)＝x＋14
27、(x+1)(x+8)=-12 28、2(x－3) 2＝x 2－9
29、－3x 2＋22x－24＝0 30、（2x-1）2 +3（2x-1）+2=0 31、2x 2－9x＋8＝0 32、3（x-5）2=x(5-x)
33、(x＋2) 2＝8x 34、(x－2) 2＝(2x＋3)2
35、2
720
x x
+= 36、2
4410
t t
-+=
37、()()
2
4330
x x x
-+-=38、2
631350
x x
-+=
39、()2
231210
x--= 40、2
223650
x x
-+=
41、()()
2
116
x x
---= 42、()()
323212
x x
-+= 44、2
2510
x x
+-=
45、
46、21
302
x x ++
=、 二．利用因式分解法解下列方程
(x －2) 2＝(2x-3)2 042=-x x
3(1)33x x x +=+
x 2-23x+3=0 ()()0165852
=+---x x 三．利用开平方法解下列方程
51)12(212=-y 4（x-3）2=25 24)23(2=+x
四． 利用配方法解下列方程
7x=4x 2+2 01072
=+-x x 五． 利用公式法解下列方程
－3x 2＋22x －24＝0 2x （x －3）=x －3． 3x 2
+5(2x+1)=0
六． 选用适当的方法解下列方程
(x ＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0 2
2
(21)9(3)x x +=- 2
230x x --=
2)2)(113(=--x x x （x ＋1）－5x ＝0. 3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).
一元二次不等式及其解法
知识点一：一元二次不等式的定义(标准式)
任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：
或
.
知识点二：一般的一元二次不等式的解法
一元二次不等式
或
的解集可以联系二次函数
的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标
值的集合为不等式的解集，图象在
轴下方
部分对应的横坐标值的集合为不等式
的解集.
39922=--x x
设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的二次函数
（）的图象
有两相异实根有两相等实根
无实根
知识点三：解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；③时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
规律方法指导
1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数
例1．解下列一元二次不等式
（1）；（2）；（3）
（1）解:因为
所以方程的两个实数根为：，
函数的简图为：
因而不等式的解集是
.
（1）练习: 解下列不等式 （2） ；
；
02732
<+-x x ；
0262
≤+--x x ； 01442
<++x x ； 0532
>+-x x 062
=--x x 01522
=--x x ； 01662
=++x x ； 08232
≥+--x x ； 0542
≥+-x x ；
31
≥-x x
；。