解一元二次方程的步骤解分式方程的一般步骤
第五课时：一元二次方程(分式方程)及应用
知识梳理：知识点1 分式方程的概念及解法1.分式方程的概念;分母中含有 的方程叫做分式方程 【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程根本依据】2.分式方程的解法步骤(1)去分母：给方程两边都乘以________，把它化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)________．3.增根(无解）：在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
【名师提醒：分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不能省略】提分必练：1.分式方程3x ＝2x －1的解是( )A ．x ＝－3B ．x ＝－35C ．x ＝3D ．无解2.若分式方程x x －1－m 1－x＝2有增根，则这个增根是________．m=___________。
3.解分式方程2x －1＋x ＋21－x＝3知识点 2 分式方程的应用(高频考点) 1．列分式方程解应用题的六个步骤 (1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；(3)列：根据等量关系，列出方程； (4)解：求出所列方程的解； (5)检：双检验．A .检验是否是分式方程的解； B ．检验是否符合实际问题； (6)答：写出答案． 2．常见关系 分式方程的应用题主要涉及工作量问题，行程问题等常见的公式及数量关系. 知识点3 一元二次方程的概念 1. 概念：只含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____的________方程叫一元二次方程．2.一般形式是：_______________________． ____________________________________。
【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a ≠o 这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并且一般首项为正】知识点4 一元二次方程的解法 直接开平方法：这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如ax 2=b 或(x ＋m)2＝n(n>0)的方程. 配方法：1、化二次项系数为 即方程两边都 二次项的系数。
第1讲一元二次方程的根与解法学生版
初中数学联赛体系第1讲 一元二次方程的根与解法【知识要点与基本方法】 一、一元二次方程基本概念1、概念：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的形式的方程叫做一元二次方程.2、一元二次方程必须满足的三大条件 （1）整式方程（2）含有一个未知数（3）未知数的最高次数为2 3、一元二次方程的一般形式形如关于x 的一元二次方程：)0(02≠=++a c bx ax 的形式，（它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax 叫二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.注意b 、c 可以是任何实数，但a 绝对不能为零）二、一元二次方程的根与解法1、一元二次方程的根0x x =是方程20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的根的充要条件是0020=++c bx ax . 2、直接开平方法解一元二次方程：（1）把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成)0()(2≥=±a a b x 的形式（2）直接开平方，解得a b x a b x -=+= 21,3、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.【注】、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）利用配方法解一元二次方程时，如果02=++c bx ax 中a 不等于1，必须两边同时除以a ，使得二次项系数为1.（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根. 4、公式法解一元二次方程（1）对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，由配方法有22244)2(aacb a b x -=+， ①当042≥-ac b 时，得aacb b x 242-±-=；②当042<-ac b 时，一元二次方程无实数解.（2）公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法.（3）运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：①必须把一元二次方程化成一般式02=++c bx ax ，以明确a 、b 、c 的值； ②再计算ac b 42-的值：当04Δ2≥-=ac b 时，方程有实数解，其解为：aacb b x 242-±-=；当04Δ2<-=ac b 时，方程无实数解. 5、因式分解解一元二次方程（1）分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法.（2）分解因式法的理论依据是：若0=⋅b a ，则0=a 或0=b （3）用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解.6、含字母系数一元二次方程的解法解关于含字母系数的方程，要求对每个参数允许值回答：方程是否有解？若有解，写出解集.特别地，当二次项系数含有字母系数时，如果题目本身没有指明时一元二次方程，则必须对二次项系数讨论是否为零.【例1】 1、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． 2、若方程()112=⋅+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 . 【例2】1、用分解因式法解下列方程（1）01032=--x x （2）01762=+-x x （3）0625412=-+x x （4）021)1(4)1(2=----x x ． 2、利用求根公式求解下列方程（1） 0222=--x x （2）010342=+-x x（3）()()()()5211313+-=+-x x x x （4）061054422=--++-p x p px x【对应训练】：1、用公式法解下列方程（1）0232=+-x x （2）2212x x -=- （3）x x 3)1(2-=+（4）1(61)432(2)2x x x x ++-=+ （5）023222=--+-n mn m mx x【例3】解下列方程（1）42200x x --=；（2）06)13(2)32(2=----x x ；（3）.02)23()21(2=++-+x x【例4】解下列方程 （1）4122+-=x x（2）112432--=-+x x x【例5】解关于x 的方程 （1）；0)(222=++-ab x b a abx（2）.)1()1()232(22222b x x ab a x x -=+---【例6】1、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 .2、设b a 、是整数，方程02=++b ax x 有一个根是347-，则=+b a .3、已知02=++c bx ax )0(≠ac 有一个根是3，则方程02=++a bx cx 一定有一个根是 ，方程02=+-a bx cx 一定有一个根是 .4、已知两数积1≠ab ，且03123456789022=++a a ，02123456789032=++b b ，则=ba【例7】已知方程p x x =--)97)(19(有实根21,r r ，试求方程p r x r x -=--))((21的最小实根.【例8】求k 的值，使得两个一元二次方程0)2(,0122=-++=-+k x x kx x 有公共根，并分别求出这两个方程的解集.【例9】对于任意实数,k 方程04)(2)1(2222=++++-+b k k x k a x k 都有实根1，试求另一个根的最大值与最小值.【例10】已知方程)0(2>=++a x c bx ax 的两根21x x 、满足ax x 1021<<<.当10x x <<时，证明：12x c bx ax x <++<.【例11】已知首项系数不相等的两个一元二次方程0)2()2()1(,0)2()2()1(222222=+++--=+++--b b x b x b a a x a x a 有公共根.（1）求证：.2++=b a ab（2）若b a ,为正整数，求ab ab ba b a --++的值. （3）设0x 为公共根，求证：.048403040>++-x x x【课后强化训练】A 组1、下列方程中，是一元二次方程的序号是①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2； ⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ； ⑨22=-x x ； ⑩)0(2≠=a bx ax2、已知方程3ax 2－bx －1=0和ax 2+2bx －5=0，有共同的根1-，则a = ，b = .3、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于 4、在实数范围内分解因式：=--12x x ；=++-223y xy x5、等腰三角形的两边的长是方程091202=+-x x 的两个根，则此三角形周长为 6、已知042=+-b x x 的一根的相反数为042=-+b x x 的根，则042=-+bx x 的根是 7、已知0132=+-a a ，那么=++--2219294a a a ___________. 8、方程019991997199822=⋅++x x 的解是 . 9、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=ba. 10、已知方程(2011x)2－2010·2012x －1＝0的较大根为a ，方程x2＋2010x －2011＝0的较小根为b ，则a －b ＝__________．11、方程0672=+-x x ，各根的和是 .12、若31028-是方程02=++b ax x 的一个根（其中b a 、是有理数），则ab 的值是 . 13、用公式法解下列各方程（1）x 2+6x +9=7 （2）017122=++x x（3）08242=+-x x （4）4)3)(12(=--x x（5）02)82(42=++-y y （6）02322=--x x（7）)3)(21()12(5+-=-x x x14、用因式分解法解下列方程：（1）t (2t －1)＝3(2t －1)； （2）y 2＋7y ＋6＝0；（3）y 2－15＝2y （4）(2x －1)(x －1)＝1．（5）)3)(21()12(5+-=-x x x （6）10x 2－x －3＝015、解下列方程（1）0)34()45(22=---x x ； （2）06)23(2=++-x x ；（3）0154)35(222=----x x ； （4）02)32()347(2=----x x ；（5）629332+=-+++x x x x .16、已知两个二次方程02=++b ax x ，02=++d cx x 有一个公共根1，求证：二次方程0222=++++db xc a x 也有一个根为1.17、求方程072=--kx x 与()0162=+--k x x 的公共根.B 组1、已知c b 、为方程02=++c bx x 的两个根，且0≠c ，c b ≠.则c b 、的值分别是 、2、已知正实数a b c ，，满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，则a b c ++的值是3、关于x 的方程1)12(62++-=m x m x 有一根α，满足不等式：19981998≤≤-α，且使得α53为整数，则m 可取 个值.4、已知02=++c bx ax 的两根和为1S ，两根平方和为2S ，两根立方根为3S ，则123cS bS aS ++的值是5、已知1=x 是方程02=++c bx ax 的根，0≠abc .则)111(32333222cb ac b a c b a +++++++的值是 .6、（2012湖北随州）设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012≠-ab ，52213⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+a a b ab 的值是 .7、解下列关于x 的方程（1）03222=-+m x m x ； （2）0))()((=+++++++abc b a x a c x c b x ；（3）)0(0)(33442≠=++-ab b a x b a abx ；（4）0)3(2)1(2=+--+m x m x m ；（5）02)5(522=--+-x m x m ）（.8、已知下面三个方程有公共根.02=++c bx ax ，02=++a cx bx ， 02=++b ax cx .求证：abc c b a 3333=++.9、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，试求a 的取值范围.10、若21q q 、是方程02=++b ax x 的两个实根，且0,21≠≠b q q .又21c c 、是任意两个实数，则n n n q c q c x 2211+=是方程021=++--n n n bx ax x 的解.11、设2121,,,b b a a 都是实数，21a a ≠，且1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a ，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a .初中数学联赛体系第2讲 可化为一元二次方程的方程（组）模块一、特殊高次方程的解法次数超过2的整式方程称为高次方程.一般地高次方程没有统一的求解方法.对于一些特殊的高次方程，可通过降次，转化为一元二次方程或一元一次方程求解.转化的方法有因式分解法、换元法、变换主元法等.【例1】解下列方程（1）13322)132(222+-=+-x x x x（2）222222)143()352()2(+-=+-+-+x x x x x x（3）.3123=--x x x（4）.022224223=-+++x x x（5）062536506650362562345678=+-+-+-+-x x x x x x x x【例2】解方程.02)65(2)11(2102234=++++---a a x a x a x x 其中a 是常数.【例3】方程02=++b ax x 有两个不同的实数根.求证：方程01)2(234=+--++ax x b ax x 有4个不同的实数根.模块二、特殊分式方程的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程，求解分式方程总的原则是通过去分母或换元，时期转化为整式方程，然后再求解.在这个过程中离不开分式的恒等变形，如通分、约分及降低分子的次数等等，这就有可能使未知数的范围扩大（或缩小），从而使方程产生增根（或遗根），因此，当未知数的范围扩大时，需验根。
一元二次方程分式方程
联系
一元二次方程和分式方程都是常见的数学方程类型，可以应用于各种实际问题。
一元二次方程的应用
曲线绘制
一元二次方程可以用于描述抛物 线和其他曲线的形状。
物体运动
通过解一元二次方程，可以确定 物体在空中的轨迹和碰撞时间。
求根公式
一元二次方程的求根公式可用于 精确计算方程的根。
分式方程的应用
1 比例问题
通过解分式方程，可以确定两个量之间的比例关系。
2 混合物问题
分式方程可用于计算不同成分混合物的比例和成分。
高阶方程
定义
高阶方程是含有三个或更多个未知量的方程，如三 元方程和四元方程。
联系和区别
高阶方程和低阶方程的主要区别在于未知量的个数， 但它们都是数学方程，可以使用类似的解法。
高阶方程的解法
1
高斯消元法
高斯消元法可用于求解线性方程组，从而解高阶方程。
2
逆序消元法
逆序消元法是高阶方程解法中常用的一种策略。
3
相邻相消法
相邻相消法是一种简便的高阶方程解法，适用于特定情况。
结论
一元二次方程和分式方程
这个演示总结了一元二次方程和分式方程的概念、解法和应用。
高阶方程
我们还介绍了高阶方程的定义和解法，以及与低阶方程的区别。
应用
一元二次方程在实际生活中的 应用非常广泛，例如用于解决 物体运动、跳跃和曲线绘制的 问题。
分式方程
1
解法
2
可以使用通分法和消元法来解分式方程，
使方程两边的表达式相等。
3
概念
分式方程是包含分数的方程，其中包含 了未知量或变量。
应用
九年级上第02讲 一元二次方程的解法(公式法、因式分解法)讲义+练习
因式分解法解一元二次方程.
【知识导图】
1、观察一元二次方程 ，结合我们上节课学的知识解此方程.
2、思考这个一元二次方程还有没有其它的解法？
3、今天我们学习一元二次方程另外的解法：公式法、因式分解法.
1、形成表象,提出问题
用配方法解下列一元二次方程:
(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0;
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0，
x2﹣3x+2=0，
（x﹣1）（x﹣2）=0，
x1=1，x2=2；
（3）|m|≤2不成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
一元二次方程的解法
（配方法和因式分解法）
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、根的判别式；
2、公式法解一元二次方程；
3、因式分解法解方程.
教学目标
1、掌握公式法解一元二次方程的方法.
2、掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．
教学重点
能根据题目的要求及特点用恰当的方法求解方程.
我们仍以方程x2=4为例．
移项，得x2-4=0，
对x2-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0．
我们知道：
∴x+2=0，x-2=0．
即x1=-2，x2=2．
二次分式方程
二次分式方程二次分式方程是一种含有二次项的分式方程，通常可以写成如下形式：$\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}=0$。
其中，$a, b, c, d, e, f$为实数且$d, e, f$不全为零。
解二次分式方程的一种常用方法是将其化为二次方程求解。
具体步骤如下：步骤一：将二次分式方程化为一元二次方程。
首先，我们可以通过乘以分母的倒数来消去分母，得到一个一元二次方程。
例如，对于$\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}=0$，我们可以乘以$\frac{dx^2+ex+f}{a}$，得到$\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}\cdot \frac{dx^2+ex+f}{a}=0$，即$\frac{(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)}{a}=0$，化简后得到$(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)=0$。
步骤二：将一元二次方程化为标准形式。
将得到的一元二次方程展开，并将其整理成标准形式$Ax^2+Bx+C=0$，其中$A, B, C$为实数且$A\neq 0$。
步骤三：求解一元二次方程。
根据一元二次方程的求解公式$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$，我们可以求解出方程的根。
其中，$\pm$表示两个相反的解，即正根和负根。
步骤四：检验解的合法性。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足原方程。
如果满足，则该解是原方程的解；如果不满足，则该解不是原方程的解。
通过上述步骤，我们可以解出二次分式方程的解。
下面通过一个例子来具体说明。
例：解方程$\frac{2x^2+3x-2}{x^2+4x+3}=0$。
步骤一：将方程化为一元二次方程，得到$(2x^2+3x-2)(x^2+4x+3)=0$。
步骤二：将一元二次方程化为标准形式，展开并整理得到$2x^4+11x^3+18x^2+7x-6=0$。
步骤三：求解一元二次方程，根据一元二次方程的求解公式得到$x=\frac{-11\pm\sqrt{11^2-4\cdot 2\cdot (18\cdot (-6)-7^2)}}{4}$。
《因式分解法解一元二次方程》教案
3、淘金者：你能用分解因式法解下列方程吗？
（1）x2-4=0；（2）(x+1)2-25=0。
这种解法是不是解这两个方程的最好方法?你是否还有其它方法来解?
4争先赛：写出方程的根
(1)(x-2)(x-5)=0(2)(x+1)(x-4)=0
(3)(y+2)(2y-1)=0(4)(x-a)(x-b)=0
反
思
教
学
目
标
知识与技能：
1、了解因式分解法的概念，会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程；
2、能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
过程与方法：
1、通过新方法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力。
2、通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想。
情感与态度：
1．已知x2＋3xy－4y2＝0(y≠0)，试求 的值．
2．已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值．
3．请你用三种方法解方程：x(x＋12)＝864．
4．已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值．
学生独立完成
提高学生的运算能力，进一步加深对配方法的理解
总结反思提高认识
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
教学意图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识回顾
（一）温故而知新
1、我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
2、什么叫分解因式?
学生完成检测
结合检测题回答
巩固上节所学知识并为学习新课作铺垫复习并引出新课
探究
新知
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
专题02 一元二次方程的解法(提高)-2020-2021学年八年级数学下册学霸全能突破-解析版
专题02一元二次方程的解法要点一、直接开平方法解一元二次方程1.直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2.直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3.能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.要点二、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．要点三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．要点四、一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.要点五、用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.要点六、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.一、单选题1．（2020ꞏ辽宁锦州市ꞏ九年级期中）若2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根，则m 的值为（）A ．1或4B ．-1或-4C ．-1或4D ．1或-4【答案】B 【分析】把2x =-代入关于x 的方程22502x mx m -+=，得到2450m m ++=，解关于m 的方程即可．【详解】解：∵2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根，∴2450m m ++=解得121,4m m =-=-故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程根的定义得到关于m 的方程是解题关键．2．（2020ꞏ湖州市第四中学教育集团八年级期中）三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2－6x+8=0的根，则这个三角形的周长是（）A ．11B ．13C ．11或13D ．11和13【答案】B 【详解】由方程得，，，∴周长是，故选B.3．（2020ꞏ广西贺州市ꞏ七年级期中）若(a +b ﹣1)(a +b +1)﹣4＝0，则a +b 的值为()A ．2B ．±2C D ．±【答案】D 【分析】先运用平方差公式进行计算，再用直接开平方法解答．【详解】(a+b)2﹣1﹣4＝0，(a+b)2＝5，∴a+b=±．故选D ．【点睛】本题是解二元二次方程，主要考查了一元二次方程的解法，平方差公式，关键是运用整体思想和平方差公式，把方程转化为（a+b ）的一元二次方程进行解答．4．（2020ꞏ上海市静安区实验中学八年级课时练习）用配方法解方程2520x x ++=时，四个学生在变形时，得到四种不同的结果，其中配方正确的是（）A ．2517()24x +=B ．2521(24x +=C ．2525(24x +=D ．2533(24x +=【答案】A 【分析】把左边配成完全平方式，右边化为一个常数，即可得答案.【详解】2520x x ++=222555(2()22x x ++=-+2517()24x +=故选A.【点睛】本题考查的是用配方法解一元二次方程，配方过程中先把二次项系数化成1，常数项移到右边，然后两边加上一次项系数一半的平方，把方程的左边配成完全平方的形式．熟练掌握配方的步骤是解题关键.5．（2017ꞏ全国九年级课时练习）2(3)5(3)x x x ---因式分解结果为（）A ．221115x x -+B ．(5)(23)x x --C ．(25)(3)x x +-D ．(25)(3)x x -- 【答案】D 【解析】根据因式分解的方法，可提公因式（x-3）为：（x-3）（2x-5）.故选：D.点睛：此题主要考查了因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）.二、填空题6．（2020ꞏ上海浦东新区ꞏ八年级月考）用换元法解方程221x x -﹣21x x -＝1，设y ＝21x x-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为_____．【答案】y 2+y ﹣2＝0【分析】可根据方程特点设y ＝21x x-，则原方程可化为2y ﹣y ＝1，化成整式方程即可．【详解】解：方程221x x -﹣21x x -＝1，若设y ＝21x x-，把设y ＝21x x-代入方程得：2y ﹣y ＝1，方程两边同乘y ，整理得y 2+y ﹣2＝0．故答案为：y 2+y ﹣2＝0．【点睛】本题主要考查用换元法解分式方程，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．7．（2020ꞏ上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程2210x x +-=中，24b ac -的值为__________，根是___________．【答案】9121,12x x ==-【分析】先根据一元二次方程的定义确认,,a b c 的值，从而可得24b ac -的值，再利用公式法解方程即可得方程的根．【详解】方程2210x x +-=中，2,1,1a b c ===-，则224142(1)9b ac -=-⨯⨯-=，由公式法得：1132224b x a -±-±-±===⨯，则121,12x x ==-，故答案为：9；121,12x x ==-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、利用公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题关键．8．（2020ꞏ全国九年级专题练习）设一元二次方程250x x +=的较大的根为m ，2320x x -+=的较小的根为n ，则m n +的值为______．【答案】1【分析】先利用因式分解法解两个一元二次方程得到m=0，n=1，然后计算m+n ．【详解】∵250x x +=，∴(5)0x x +=，解得0x =或5x =-，∴0m =．∵2320x x -+=，∴(1)(2)0x x --=，解得1x =或2x =，∴1n =，∴1m n +=．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．9．（2018ꞏ全国九年级单元测试）已知实数a ，b 满足条件2720a a -+=，()2720b b a b -+=≠，则b aa b+=________．【答案】452【解析】【分析】由实数a ，b 满足条件a 2﹣7a +2＝0，b 2﹣7b +2＝0，且a ≠b ，可把a ，b 看成是方程x 2﹣7x +2＝0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，∴a+b＝7，ab＝2，∴22224944522b a a b a b aba b ab ab++--+====（）．故答案为：452．【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．三、解答题10．（2015ꞏ山西）已知a、b、c+|b+1|+（c+3）2＝0，求方程ax2+bx+c ＝0的根．【答案】x1＝32，x2＝﹣1．【分析】本题要求出方程ax2+bx+c＝0的根，必须先求出a、b、c的值．根据非负数的性质，带根号、绝对值、平方的数值都大于等于0，三个非负数相加和为0，则这三个数的值必都为0，由此可解出a、b、c的值，再代入方程中可解此题．【详解】解：根据分析得：a﹣2＝0，b+1＝0，c+3＝0a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3方程ax2+bx+c＝0即为2x2﹣x﹣3＝0∴x 1＝32，x 2＝﹣1．【点睛】本题主要考查一元二次方程求解问题，考点还涉及偶次方、绝对值以及二次根式非负性的应用.11．（2020ꞏ全国八年级课时练习）按要求解方程．（1）2(32)24x +=（直接开方法）（2）2314x x -=（公式法）（3）()()221321x x +=+（因式分解）（4）223990x x --=（配方法）【答案】（1）x 1=23-+，x 2=23--；（2）x 1=3，x 2=23；（3）x 1=﹣12，x 2=1；（4）x 1=21，x 2=﹣19【详解】解：（1）()23224x +=，32x +=±32x =-±23x -±=1222.33x x -+--∴==（2）2314x x -=，23410x x --=，()()24431161228=--⨯⨯-=+= ，442663x ±===1222,33x x +==（3）()()221321x x +=+，()()212130,x x ++-=()()21220,x x +-=210x +=或220x -=，121 1.2x x =-=，（4）223990x x --=，2 21400x x -+=，()21400x -=，120x -=±，120x =±，122119.x x ==-，12．（2020ꞏ全国八年级课时练习）是同类二次根式，且x为整数，求关于m 的方程xm 2+2m-2=0的根.【答案】121122m m =-=--，【解析】试题分析：根据同类二次根式的定义，列出关于x 的一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程，求出x 的整数值；将x 的值代入xm 2＋2m －2＝0中，得到关于m 的一元二次方程；最后利用直接开平方法解一元二次方程，求出m 的值.是同类二次根式，∴2x 2－x ＝4x －2，2x 2－5x ＋2＝0，(2x －1)(x －2)＝0，x 1＝12，x 2＝2.∵x 为整数，∴x ＝2，代入xm 2＋2m －2＝0中，则有2m 2＋2m －2＝0，m 2＋m ＝1，(m ＋12)2＝54m ＋12＝±2m 1＝2－12，m 2＝－2－12.13．（2020ꞏ全国九年级专题练习）如果方程260--=ax bx 与方程22150ax bx +-=有一个公共根是3，求a 、b 的值，并分别求出两个方程的另一个根．【答案】a=b=1；该方程的另一个根为－2；该方程的另一个根为－5．【分析】把x=3代入题中两个方程中，得到关于a 、b 的二元一次方程组，用适当的方法解答，求出a 、b 的值，再解方程即可求得．【详解】解：将3x =代入两个方程得936096150a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩,1a b ∴==将11a b =⎧⎨=⎩代入方程260--=ax bx 得260x x --=，∴()()230+-=x x ，∴122,3x x =-=，∴该方程的另一个根为－2；将11a b =⎧⎨=⎩代入方程22150ax bx +-=得22150x x +-=，∴()()530x x +-=，∴125,3x x =-=，∴该方程的另一个根为－5．14．（2020ꞏ全国九年级课时练习）已知实数x 满足2213380x x x x+---=，求1x x +的值．【答案】5或2-．【分析】根据完全平方公式利用222121x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭对方程进行变形，得到2113100x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把1x x +看成整体，再解方程即可．【详解】解：222112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，∴原方程可变形为2113100x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设1x t x+=，则原方程可变形为23100t t --=，解得125,2t t ==-．15x x∴+=或2-．【点睛】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，利用完全平方公式对方程进行变形，把x +1x当成一个整体是解题关键．15．（2019ꞏ全国八年级单元测试）已知关于x 的方程231x x m -+=.（1）当0m <时，解这个方程；（2）当0m >时，解这个方程.【答案】（1）132x =，232x -=；（2）当1304m <≤时，132x =，232x =；当134m >时，此一元二次方程无解.【分析】（1）方程化为一般形式2310x x m -+-=，计算判别式得134m =- ，由于0m <，所以0> ，然后利用求根公式解方程；（2）方程化为一般形式2310x x m -+-=，计算判别式得134m =- ，由于0m >，分类讨论：当1304m <≤时，0> ，然后利用求根公式解方程，当134m >时，0< ，此时方程没有实数根.【详解】解：（1）231x x m -+= ，2310x x m ∴-+-=1a \=，3b =-，1c m =-()24941134b ac m m∴∆=-=--=-0m < 1340m ∴->322b x a -±±∴==132x +∴=，232x -=（2）231x x m -+= 2310x x m ∴-+-=1a \=，3b =-，1c m =-，()24941134b ac m m∴∆=-=--=-0m > ，∴当1304m <≤时，322b x a -==，132x +∴=，232x -=，∴当134m >时，此一元二次方程无解.【点睛】本题考查了解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，即考查了判别式的意义，也考查了求根公式.。
2022年中考数学二轮复习攻略专题04 分式、分式方程及一元二次方程
专题04分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 分式相关概念1、分式的定义一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式。
【注意】A 、B 都是整式，B 中含有字母，且B ≠0。
2、分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
A A CB BC ⋅=⋅；A A CB B C÷=÷（C≠0）。
3、分式的约分和通分（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
（2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
（4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
【注意1】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式。
【注意2】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
4、分式的乘除①乘法法则：db ca d cb a ⋅⋅=⋅。
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
②除法法则：cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷。
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
分式乘方要把分子、分母分别乘方。
④整数负指数幂：1nn aa-=。
5、分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：a b a bc c c±±=；②异分母分式的加法：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。
【注意】不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
6、分式的混合运算（1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．（2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．【例1】若分式21xx-在实数范围内无意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x=1 C．x=0 D．x＞1【例2】若分式11x+的值不存在，则x=__________．【例3】分式52xx+-的值是零，则x的值为（）A．5B．2C．－2D．－5 【例4】下列变形正确的是（）A．ab=22ab++B．0.220.1a b a bb b++=C．ab–1=1ab-D．ab=22(1)(1)a mb m++考点02 分式方程相关概念1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解一元二次方程的步骤-解分式方程的一般步骤初一列方程解应用题的一般步骤列方程解应用题的一般步骤审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系．设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．二、各类题型解法分析一元一次方程应用题归类汇集：行程问题，工程问题，和差倍分问题，等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，数字问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。
第一类、行程问题基本的数量关系：路程＝速度×时间⑵速度＝路程÷时间⑶时间＝路程÷速度要特别注意：路程、速度、时间的对应关系常用的等量关系：1、甲、乙二人相向相遇问题⑴甲走的路程＋乙走的路程＝总路程⑵二人所用的时间相等或有提前量2、甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题⑴甲走的路程－乙走的路程＝提前量⑵二人所用的时间相等或有提前量3、单人往返⑴各段路程和＝总路程⑵各段时间和＝总时间⑶匀速行驶时速度不变4、行船问题与飞机飞行问题⑴顺水速度＝静水速度＋水流速度⑵逆水速度＝静水速度－水流速度5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。
6、时钟问题：⑴将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究⑵通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。
常用数据：①时针的速度是°/分②分针的速度是6°/分③秒针的速度是6°/秒1. 一列火车通过隧道，从车头进入道口到车尾离开隧道共需45 秒，当整列火车在隧道里需32 秒，若车身长为180米，隧道x 米，可列方程为_______________。
2. 火车匀速通过隧道时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y 之间的关系用图像描述大致是3. 某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟?4.一列匀速前进的火车，从它进入320m长的隧道到完全通过隧道经历了18s的时间，隧道顶部一盏固定的灯光在火车上，垂直照射的时间为10s，问这列火车的长为多少米？5.在一段双轨铁道上，两列火车相向驶过，A列车车速为20米/秒，B列车车速为24米/秒，若A列车全长180米，B 列车全长160米，求两列车从相遇到相离所要的时间。
6.小红、小南、小芳在郊游，看到远处一列火车匀速通过一个隧道后，小红：火车从开始进入隧道到完全开出隧道共用30秒；小南：整列火车完全在隧道里的时间是20秒；小芳：我爸爸参与过这个隧道的修建，他告诉我隧道长500米。
求出这列火车的长。
7.一人以每分钟120米的速度沿铁路边跑步.一列长288米的火车从对面开来,从他身边通过用了8秒钟,求列车的速度。
8.在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？9.一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离。
10某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为千米/时，水流的速度为千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B 的距离。
.解方程的步骤解方程的步骤有括号就先去掉移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到另右边合并同类项：使方程变形为单项式方程两边同时除以未知数的系数得未知数的值例如：3+x=18 解: x =18-3 x =15 ∴x=15是方程的解——————————4x+2=192 解：4x+158-2x=192 4x-2x+158=192 2x+158=192 2x=192-158 2x=34 x=17 ∴x=17是方程的解——————————πr= 解这道题首先要知道π等于几，π=，只取，解：= r=/=2 不过，x不一定放在方程左边，或一个方程式子里有两个x，这样就要用数学中的简便计算方法去解决它了。
有些式子右边有x,为了简便算,可以调换位置。
一元三次方程求解一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax +bx +cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x +px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
归纳出来的形如x +px+q=0的一元三次方程的求根=px+q 的三次方程。
假设方程的解x可以写成x=a-b 的形式，这里a和b是待定的参数。
代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得到a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，3ab+p=0。
这样上式就成为a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3 由p=-3ab可知27a6 + p3 = 27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。
进而可解出b和根x。
设未知数X解方程一般步骤及习题练习设未知数X解方程一般步骤及习题练习一、设未知数解方程的一般步骤：弄清题意，找出未知数，并用x表示；分析题目所给已知量，找出相应数量之间的等量关系，列方程；解方程；检验，写出正确答案。
二、习题巩固：一块合金内，铜和锌的比是2：3，现在再加入6克锌，共得新合金36克。
求新合金中锌的重量。
如图，在一只圆形钟面上，时针长3厘米，分针长5厘米。
经过12小时，时针扫过的面积是多少平方厘米？分针走了多少厘米？为了学生的卫生安全，学校给每个住宿生配一个水杯，每只水杯3元，大洋商城打九折，百汇商厦“买八送一”。
学校想买180只水杯，请你当“参谋”，算一算：到哪家购买较合算？请写出你的理由。
李师傅加工一批零件，第一天完成的个数与零件总数的比是1：3。
如果再加工15个，就可以完成这批零件的一半。
这批零件共有多少个？求图中阴影部分的面积和周长。
求面积：2、提升训练：一项工程，甲队独修15天完成，乙队独修20天完成。
两队合修5天后，甲队调走，剩下的由乙队继续修完。
乙队还要几天修完？有一批书，小亮9天可装订书的一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。
甲乙合做了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。
乙请假多少天？李冬看一本故事书，第一天看了全书的剩206页。
这本故事书有多少页？下面是某电影大世界的影片告示：张老师一家三口去看了某一场次的电影，票价节省了元，那么，张老师一家看的是哪个场次的电影？优惠票价是多少？35，小冬20天可装订，小亮和小冬合作，几天能完成这批462？311还少5页，第二天看了全书的还多3页，还1215 有一批零件，张师傅加工了全部的傅少3、附加题：11，李师傅加工了余下的，孙师傅加工的零件比张师641，这时还有980个零件没有加工，这批零件共有多少个？4二元一次方程组解决实际问题的一般步骤1、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程来解容易得多。
列方程组解应用题有以下几个步骤：选定几个未知数；依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；解方程组，得到方程组的解；检验求得的未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解。
2、列二元一次方程组解决实际问题的常用方法数量较多的问题常用列表的方式分析数量关系，因为利用表格可清楚地反映数量之间的关系，从而达到少设未知数，减少计算量的目的。
解应用题时，有这样一种规律：如果少设未知数，那么思路复杂，计算简单；如果多设未知数，那么思路简单，计算复杂。
我们应根据具体的题目选择所设未知数的个数。
借助“线段图”分析复杂的行程问题，列二元一次方程组解行程问题的常见类型有两种，一是速度已知，这种类型的特征是速度已知，时间和路程以相等关系的形式给出，我们可以根据时间关系或路程关系来列出二元一次方程组；二是时间已知，路程和速度以相等关系的形式给出，这时我们可以根据路程和速度列出二元一次方程组。
例：从甲地到乙地全程千米，一段上坡、一段平路、一段下坡，如果保持上坡每小时行3千米，平路每小时行4千米，下坡每小时行5千米，那么从甲地到乙地需行51分钟，从乙地到甲地需行分钟，求甲地到乙地的上坡、下坡和平路的路程各是多少千米？借助线段图来分析更直观。
甲上坡平路下坡乙常见不等式通用解法的一般步骤．。
解题技巧与方法艚一ｕ●常见不等式通用解法的一般步骤◎唐勇【摘要】不等式的解法是中学数学的主体内容，几乎覆盖了高中数学所有的章节．常见的不等式包括一元二次不等式、一元高次不等式、分式不等式及带绝对值的不等式．针对这几类不等式，我们从中寻找出一种通用的解题方法，使问题化难为易、化繁为简，从而得到顺利解决．所以不等式３＞１２ｘ＋７ｌ—ｌ０的解集为：．例４解带绝对值的不等式ｌ４－４ｘ一１１＞４．解由于该不等式已经是标准的带绝对值的不等式，所以不用变形，直接解其对应的方程，过程如下：【关键词】一元二次不等式；一元高次不等式；分式不等式：带绝对值的不等式；通用解法ｔ＋４ｘ－１・＝４ｊ＝０ｌ＝０解一元二次不等式、一元高次不等式、分式不等式和带绝对值的不等式的一般步骤：解得：ｌ＝１，２：一５，３＝一１，４＝－３．１．变形的标准形式）２．求根所以不等式Ｉｘ＋４ｘ一１ｌ＞４的解集为：ｕ４．穿根５．取区间例１解不等式一３。
＋５＋２＞０．１）Ｕ．例５解不等式＜０．解不等式所对应的方程为：＝０，解得：１＝１，２＝一１，３＝一ｌ，４＝－２．‘解先将不等式变形为：３一５一２＜０．所以４－１）４－２）＜０的解集为：Ｕ．该不等式所对应的方程为：３ｘ一５ｘ一２＝０，解出方程的实数根：２，：＝一．注方程中相同的根叫作重根，如果是奇数个重根叫奇重根，偶数个重根叫偶重根，解不等式穿根时按“ 奇穿偶回”＼一／２，３的原则．１、所以不等式一３＋５ｘ＋２＞０的解集为卜｝，２）．例２解不等式～斗解将不等式变形为：二一盟‘．≥０．该不等式所对应的方程为：二一＿３）：０斗，解出方程的根：ｌ＝—，２＝一３，托＝４．所以不等式一业斗≤ ０的解集为：例３解带绝对值的不等式３＞１２ｘ＋７１—１０．解将不等式变形为：１２ｘ＋７１＜１３．该不等式对应的方程为：１２ｘ＋７１：１３，解得：ｌ＝３，２＝一１０．数学学习与研究２０１５．６解一元一次方程步骤(3) 3x - 4 + 2x = 4x - 3(4) 10y + 7 = 12y - 5 - 3y(5) - = - 9(6)11 2 2 5 z z 9 7 9 7(7) 9x = 6x - 6(8) 8z = 4z + 1(9) 7x - 6 = - 5x(10)3x 45 100 100 (11)x 1 x 2 (12)y y 4 3(13) 1x 5 2(14) x 6 x(15) 2x : 3 = 6: 5(16) 8: 3 = 4x : 7(17) 3x + 3 = 11 - 6x(18)x 5 4 3 3(19) 2x - 1 = 5x - 7(20)1 3x 82 2 (21) 13t 3 2(22)1 1 2x2 32.解方程2(x - 2) - 3( 4x - 1) = 9( 1 - x)(2) 5(x + 2) = 2(2x + 7)(3) 3(2y + 1) = 2(1 + y) + 3(y + 3）2 - (1 - z) = - 2(5) - 5(x + 1) =1 2(6) 5(x + 8) - 5 = 6(2x - 7)(7) 2(3y - 4) + 7(4 - y) = 4y(8) 4x - 3(20 - x) = 6x - 7(9 - x)(9) 4(2y + 3) = 8(1 - y) - 5(y - 2)(10) 3x - 4(2x + 5) = 7(x -5) + 4(2x +1)(11) 17(2 - 3y) - 5(12 - y)= 8(1 - 7y(12) 7(2x - 1) - 3(4x - 1) - 5(3x + 2) + 1 = 0解方程之移项及合并同类项(要求检验）： 5 x 2 x 9 (2)x 3x 7 2 2(3) x x 10(4）3 x 7 32 2 x(5) 6 x 7 4 x 5(6)1 3 x 6 x2 4(7) x 3 x 16(8) 16y y y 5(9) 3 x 5 4 x 1(10) 9 3 y 5 y 5(11)4 11 8x 3 x 3 2(12) x x解应用题： 1.某校三年共购买计算机140 台，去年购买数量是前年的2 倍，今年购买数量又是去年的 2 倍。