2016年北师大版八年级上册第一章 勾股定理小结与复习
北师大版八年级上册几何知识点归纳总结
八年级上册第一章 勾股定理1、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+.我国古代把直角三角形中较短直角边称为勾，较长直角边称为股， 斜边称为弦，因此把此定理称为勾股定理.几何语言：在Rt△ABC 中，△C =90°，由勾股定理得: 222c b a =+(常见书写：222222a c b b c a b a c -=-=+=或或)注意：勾股定理只适合于直角三角形；用勾股定理时要分清直角边和斜边.辨识应用：在Rt△ABC 中，△A =90°，由勾股定理得:222a b c =+2、勾股定理证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变， ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 常见方法如下：内弦图模型：△4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，即：2214()2ab b a c ⨯+-=，∴化简得：222c b a =+．外弦图模型：△大正方形小正方形△S S S =+4，即：()22214b a c ab +=+⨯，△化简得：222c b a =+．总统模型：∵1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，△化简得：222c b a =+．拓展归纳：以直角三角形三边向外作正方形、等边三角形、半圆、等腰直角三角形所得图形面积满足：321S S S =+cb aHG F EDCB A abcc baED C B Abacbac cabcab3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形.几何语言：在△ABC 中，若计算得222c b a =+， △△ABC 是直角三角形，△C =90°要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）.（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）.4、勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）5、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.6、勾股定理与勾股定理逆定理的应用（1）圆柱中的最短问题（立体图形转平面图形）①、瘦高型：在Rt△ABC 中，22BC AC AB += ②、矮胖型：最短=AD +BD注：计算此类问题，当无法判断时候，可以两种都计算比较，最后写出最短路径.（2）长方体中的最值问题①若a＜c＜b，那么表面A到B的最小距离为：()22b=+cd+a②内部A到B的最小距离为：2c22+d+=ab（3）折叠中的方程问题例：在矩形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，将△AD E沿AE折叠使得点D落在边BC上的点F上，求CE的长分析：设CE=x cm，其他线段用x表示，在Rt△CEF中，不难用勾股定理得到一个关于x的方程，从而求出未知数.第七章 平行线的证明一、命题、定理、证明 1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题. 理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断. 每个命题都是由条件和结论构成，命题通常写出“如果……那么……”的形式，其中如果引出条件，那么引出结论.2、命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题. 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题.举反例：在说明一个命题是假命题，举一个满足条件不满足结论的例子，就叫作举反例.3、公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理. 北师大版选取九条基本事实作为证明的出发点和依据作： （1）两点确定一条直线； （2）两点之间线段最短；（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （4）同位角相等，两直线平行；（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； （7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； （8）三边分别相等的两个三角形全等；（9）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.除开上述公理以为：数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.例如：4、定理用推理的方法判断为正确的命题叫做定理. 5、证明判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明. 6、证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形.（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证.（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.()等式性质c b c a b a +=+∴= ()等量代换c a c b b a =∴==,已学定理：（1）同角（等角）的补角相等. 几何语言：（2）同角（等角）的余角相等.几何语言：（3）三角形的任意两边之和大于第三边. 几何语言：（4）对顶角相等. 几何语言：2、平行线的性质与判定（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.同位角相等，两直线平行.几何语言：△△1=△4，△a △b.（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行.简称：内错角相等，两直线平行.几何语言：△△3=△4，△a △b.（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行.简称：同旁内角互补，两直线平行.几何语言：△△4+△2=180°，△a △b.推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.几何语言：△a △b ，c △b,311803118021∠=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠， 31421804318021∠=∠∴∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠，， 3190319021∠=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠， 314290439021∠=∠∴∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠，， .,,c b a c b a ABC ＞是边长，那么中，在△+2121∠=∠∴∠∠是对顶角与△a△c.4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等.几何语言：△a△b，△△1=△4.（2）两直线平行，内错角相等.几何语言：△a△b，△△3=△4.（3）两直线平行，同旁内角互补.几何语言：△a△b，△△4+△2=180°.4、三角形的内角和定理及推论（1）三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.几何语言：△在△ABC中，△△A+△B+△C=180°.证明方法：构造辅助线（过一顶点作对边平行线），通过平行把角搬运到一平角.（2）推论（由一个基本事实或定理直接推到出的定理）：△三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
北师大版八年级上册数学知识点总结大全
北师大版八年级上册数学知识点总结大全八年级上册数学知识点复习第一章勾股定理1、勾股定理-----已知直角三角形，得边的关系直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c22、勾股定理的逆定理-----由边的关系，判断直角三角形如果三角形的三边长a，b，c有关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足a2b2c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数。
常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。
即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a2，那么a,b,c就是一组勾股数.如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……（2）大于2的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数划分是：2n、n2－1、n2 1如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……（2）任意一条的边长和另外两条边长之间的干系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……（3）断定三角形外形：1a..找最长边；b.比力长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状第二章实数1.无理数的引入。
无理数的界说无穷不轮回小数。
22、无理数：无穷不轮回小数叫做无理数。
在理解无理数时，要捉住“无穷不轮回”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如数）。
（2）有特定意义的数，如圆周率π（π=3.…)，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.…；0.……(相邻两个5之间8的个数逐次加1等；二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数337、5等根号a（a为非完全平方数或非立方实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理知识点
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理
知识点
一、探索勾股定理
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足
a2+b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
4.直角三角形的性质
5、摄影定理
6、常用关系式
7、直角三角形的判定
更多精彩内容请点击gt;gt;gt;gt;gt;八年级北师大版数学上册探索勾股定理知识点
二、一定是直角三角形吗
1.解直角三角形
2.直角三角形五元素的关系
3.直角三角形解法
4.解直角三角形在实际中的运用
更多精彩内容请点击gt;gt;gt;gt;gt;北师大版八年
级数学上册一定是直角三角形吗要点讲解
三、勾股定理的应用
1.已知直角三角形的任意两边求第三边。
2.已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系。
3.证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题。
4.构造方程(或方程组)计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题。
更多精彩内容请点击gt;gt;gt;gt;gt;北师大版八年级数学上册勾股定理的应用知识点
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理知识点的内容大家都理解了吗？更多精彩内容请关注初二数学知识点栏目，大家一定不要错过人教版初二上册数学勾股定理同步练习题巩固知识点哦~~~。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习与小结课件
P
M
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
典例3 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点 D与点B
重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积。
A
B
E
D
F
C
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
A
解析：折叠问题中，要找到折叠前
后相等的线段或角，注意这些线段
与其他线段的关系，再利用勾股定
D. 若、、是的△ABC的三边，且 − = ，则∠A=90°
第一章 勾股定理
基础训练
第一章 勾股定理
2. 如图是商场的台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是20cm，每级台
阶的高度都是15cm，则连接AB的线段长为（ B ）
A. 100cm
B. 150cm
C. 200cm
D. 250cm
解：(1)供水站P的位置如图所示.
(2)过B作BM⊥，过A’作A’M⊥BM于M.
B
A
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，
A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
5000×10+50000=100000.
故供水站修建完成后共计要花100000元.
∙∙
A’
∙
是直角三角形.
知识梳理
第一章 勾股定理
内容：直角三角形两
直角边的平方和等于
斜边的平方.
探索勾
股定理
表达式：用
和分别表示直角三
角形的两直角边和斜
边，那么
验证方法：面积法
【数学课件】2016年秋八上数学第一章勾股定理小结与复习(北师大)
A
8 10 8-X
D
8-X
E
C
X
B
6
F
4
4、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。 现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重 合，求CD的长． A
6 6
D
第8题图
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采 用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股 定理列方程。
；
A
17 10 8
A
17 8 10
B
D
C
B
C
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、斜边不知道 时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图， 避免遗漏另一种情况。
义务教育教科书（北师）八年级数学上册
1、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶 端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下 端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能 帮他算出来吗？
2
A
20
3
3 2 3
B
2 Ｂ
如图，长方体的长为 15 cm ，宽为 10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到 点B，需要爬行的最短距离是多少？
7、
5 C
B
20
15
A
10
E 20 E
20
C5
B
5 C
B
A 10 20
5
B C
15
A
10 F
A 10 F
2.2米
1.5米
C
x
B
X2=1.52+1.52=4.5
北师大版初二数学上章节总结
北师大版初二数学上章节总结北师大八年级数学（上册）第一章勾股定理1.如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.常见勾股数(1)（3，4，5）,（6，8，10） (2)（5，12，13）,（7，24，25）,（9，40，41）……(3)(8，15，17),(12，35，37)……2、钝角三角形：a2+b2c23水池芦苇问题（关键是芦苇的长度不变）；楼梯地毯问题（地毯拉开）；4、蚂蚁怎样走最近：三种路线（长方体中、缺一不可、均要考虑）、圆柱体一种路线展开图5.斜高公式斜高等于直角边的乘积除以斜。
6勾股常见的折叠问题1、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，•长BC•为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC 有多长？•2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（）．A．3B．4C．D．53．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．4、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为5、如图，在矩形中，将矩形折叠，使点B与点D重合，落在处，若，则折痕的长为。
第二章实数1、无限____不循环小数叫做无理数．2、有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②整数和分数统称有理数．任何有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能．3、两个无理数的和不一定是无理数（对）4、算数平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“”读作“根号a”.这就是.特别地规定0的算术平方根是0，即=0.5、，算术平方根的性质.：算术平方根有什么特点.→正数或0→定义中的a和x都为正数，即算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为(a≥0)为非负数5、的算术平方根为_________(－1.44)2的算术平方根为_________.6一个正方形的面积变为原来的n倍时，它的边长变为原来的多少倍——根号a.7、对于任意数a，一定等于a吗？——当a≥0时，=a当a＜0时，=－a8立方根、定义“若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.9、立方根的性质：正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.10、平方根与立方根的区别与联系：联系：(1)0的平方根、立方根都有一个是0.(2)平方根、立方根都是开方的结果.区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.(3)表示法不同正数a的平方根表示为±，a的立方根表示为.(4)被开方数的取值范围不同±中的被开方数a是非负数；中的被开方数可以是任何数.求下列各式的值11、你能估算的大小吗？(误差小于1).(1)先确定位数因为1的立方为1，10的立方为1000，900大于1小于1000，所以应是一位数.(2)确定个位上数字.因为9的立方为729，所以个位上的数字应为9..估算下列数的大小：(1)(误差小于0.1)——应为3.6或3.7.(2)(误差小于1)——应为9或10.12实数比较大小的基本方法与技巧在现实生活与生产实际中，我们经常会遇到比较两个或几个数的大小。
北师大版八年级上册第一章勾股定理知识点总结+专题练习(含答案)
勾股定理（一）考点呈现勾股定理概念 勾股定理综合运用知识点1 勾股定理定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.表达：△ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么。
a b 、c 222a b c +=经典例题例题1 .一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x²为（）A．5 B．25 C．7 D．7或25例题2 .在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB²+AC²+BC²等于（）A．2 B．4 C．8 D．16例题3 .△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对例题4 .在△ABC中，∠C=90°，c²=2b²，则两直角边a，b的关系是（）A．a＜b B．a＞bC．a=b D．以上三种情况都有可能变式训练变式1.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A. 18B. 9C. 6D. 无法计算变式2.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A．4B．C．2D．3变式3.直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边上的高为h ，则下列各式总能成立的是（ ）A 、2h ab =B 、2222h b a =+C 、a 1+11b h = D 、21a +2211b h=变式4.赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若（a+b ）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3变式5.如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13cm ，则图中所有的正方形的面积之和为 。
(完整版)北师大八年级上册第一章勾股定理全章复习与巩固(提高)
《勾股定理》全章复习与坚固（提升）【学习目标】1.认识勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决相关的实指责题.【知识网络】【重点梳理】重点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边 c 的平方.（即： a2b2c2）2.勾股定理的应用勾股定理反应了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明相关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理相关的面积计算；（4）勾股定理在实质生活中的应用．重点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a、 b、 c ，知足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形.重点解说：应用勾股定理的逆定理判断一个三角形能否是直角三角形的基本步骤：（1）第一确立最大边，不如设最大边长为 c ；（2）考证：a2 b2与 c2能否拥有相等关系：若 a2 b2 c2，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；若 a2 b2＞ c2时，△ABC是锐角三角形；若 a2 b2＜ c2时，△ABC是钝角三角形．2.勾股数知足不定方程x2y2z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），明显，以 x、y、 z 为三边长的三角形必定是直角三角形.重点解说：常有的勾股数：①3、4、5；② 5、12、 13；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤ 9、40、41.假如 ( a、b、c )是勾股数，当t 为正整数时，以at、bt、 ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.察看上边的①、②、④、⑤四组勾股数，它们拥有以下特色：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差 1.3.假定三个数分别为a、 b、c ，且 a b c ，那么存在a2b c 建立.（比方④中存在72＝24＋25、 92＝40＋41等）重点三、勾股定理与勾股定理逆定理的差别与联系差别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判判断理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，二者互为逆定理，都与直角三角形相关 . 【典型例题】种类一、勾股定理及逆定理的应用1、以以以下图，等腰直角△ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， E、 F 为 AB 上两点 (E 左 F 右 )，且∠ECF ＝ 45°，求证：AE2 BF 2 EF 2 .【思路点拨】因为∠ ACB＝90°，∠ ECF＝45°，所以∠ ACE＋∠ BCF＝45°，若将∠ ACE和∠BCF 合在一同则为一特别角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧归并，或将△BCF 绕 C 点旋转到△ACE 的左外侧归并，旋转后的BF 边与 AE 边构成一个直角，联想勾股定理即可证明．【答案与解析】解： (1) AE2 BF 2 EF 2，原因以下：将△BCF 绕点 C 旋转得△ACF′，使△BCF的BC 与AC 边重合，即△ACF′≌△ BCF，∵在△ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AC ＝ BC，∴∠CAF′＝∠ B ＝45°，∴∠EAF′＝90°．∵∠ECF＝ 45°，∴∠ ACE＋∠ BCF＝45°．∵∠ACF′＝∠ BCF ，∴∠ ECF′＝45°．在△ECF 和△ECF′中CE CEECF ECF 45°CF CF∴△ECF≌△ ECF′ (SAS)，∴EF＝EF′．在 Rt△AEF′中，AE2 F A2 F E2，∴AE2BF 2EF 2．【总结升华】若一个角的内部含有同极点的半角，(如平角内含直角， 90°角内含 45°角，120°角内含 60°角 )，则经常利用旋转法将剩下的部分拼接在一同构成又一个半角，此后利用角均分线、全等三角形等知识解决问题．贯串交融：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ ABC ＝ 30°，∠ ADC ＝ 60°， AD ＝ DC ，求证：BD 2 AB 2 BC2 .【答案】解：将△ABD 绕点 D 顺时针旋转60°．因为 DC ＝ AD ，故点 A 转至点 C．点 B 转至点 E，连结 BE．∵BD ＝DE ，∠ BDE ＝ 60°∴ △BDE 为等边三角形，BE＝ BD易证△DAB ≌△ DCE ，∠ A ＝∠ 2， CE＝ AB∵四边形 ADCB 中∠ ADC ＝ 60°，∠ ABC ＝ 30°∴ ∠A ＋∠ 1＝ 360°－ 60°－30°＝ 270°∴ ∠ 1＋∠ 2＝∠ 1＋∠ A ＝ 270°∴ ∠ 3＝ 360°－ (∠ 1＋∠ 2)＝ 90°∴BC 2 CE 2 BE 2∴ BC2 AB 2 BD 22、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且 PB=1，PC=2，PA=3，求∠ BPC 的度数．【答案与解析】解：如图，做∠ ECB= ∠PCA ，且使 CE=CP ，连结 EP ， EB在 △APC 和 △BEC 中AC BC PCA ECBPC EC∴ △APC ≌△ BEC ∴△ PCE 为等腰直角三角形 ∴∠ CPE=45°， PE 2=PC 2+CE 2=8 又∵ PB 2=1， BE 2=9∴ PE 2+ PB 2= BE 2 则∠ BPE=90° ∴∠ BPC=135°【总结升华】 本题察看了勾股定理的逆定理，经过察看所要求的角度，作出协助线，把 PA 、PB 、PC 的长度转变为一个三角形三条边，结构出直角三角形是解题的重点，自然本题也可以利用旋转的思想来解，马上 △APC 绕点 C 旋转，使 CA 与 CB 重合即 △APC ≌△ BEC.种类二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（ 2016 春?丰城市期末） 如图，已知四边形 AD=13 ，求四边形 ABCD 的面积．ABCD中，∠ B=90 °，AB=3 ，BC=4 ，CD=12 ，【思路点拨】 连结 AC ，在直角三角形 ABC 中，由 AB 及 BC 的长，利用勾股定理求出 AC的长，再由 AD 及 CD 的长，利用勾股定理的逆定理获得三角形 ACD 为直角三角形，依据四边形 ABCD 的面积 =直角三角形 ABC 的面积 +直角三角形 ACD 的面积，即可求出四边形的面积．【答案与解析】解：连结 AC ，以以以下图： ∵∠ B=90 °，∴△ ABC 为直角三角形， 又∵ AB=3 ， BC=4，∴依据勾股定理得： AC 2 =25，又∵ CD=12 ，AD=13 ，∴AD 2=132=169， CD 2+AC 2=122+52=144+25=169 ，222 ，∴CD +AC =AD∴△ ACD 为直角三角形，∠ ACD=90 °，则 S 四边形 ABCD =S △ABC +S △ACD = AB ?BC+ AC ?CD= × 3× 4+ × 5× 12=36． 故四边形 ABCD 的面积是 36．【总结升华】 本题察看了勾股定理， 以及勾股定理的逆定理， 娴熟掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的重点．4、如图：正方形 ABCD 中， E 是 DC 中点， F 是 EC 中点 .求证：∠ BAF=2 ∠EAD.【答案与解析】证明：取 BC 中点 G ，连结 AG 并延伸交 DC 延伸线于 H ∵∠ ABG= ∠ HCG ， BG=CG ，∠ AGB= ∠HGC ∴ △GAB ≌△ HCG ∴ ∠ GAB= ∠ H ，AB=CH 又∵ AB=AD ，∠ B= ∠D ， BG=DE ∴ △ABG ≌△ ADE∴ ∠ GAB= ∠ DAE在 Rt △ ADF 中，设 AD a ，由勾股定理得：AF2AD 2DF2a2( 3a)225 a 24 16 ∴ AF5a4又 HFCH CFaa5 a4 4∴ AF=HF ∴ ∠ FAH= ∠H ∴ ∠ FAH= ∠DAE∴ ∠ BAF=2 ∠DAE【总结升华】 要证∠ BAF=2 ∠ EAD ，一般方法是在∠ BAF 中取一个角使之等于∠ EAD ，再 证明另一个角也等于∠ EAD ，另一种方法是把小角扩大一倍，看它能否等于较大的角.贯串交融：【变式】（ 2014 春 ?防城区期末）以以以下图，在 △ABC 中， AB ： BC ： CA=3 ： 4： 5，且周长为 36cm ，点 P 从点 A 开始沿边向B 点以每秒 1cm 的速度挪动；点Q 从点 B 沿 BC 边向点C 以每秒2cm 的速度挪动，假忧如时出发，问过3 秒时， △BPQ的面积为多少？解：设 AB 为 3xcm ， BC 为 4xcm ，AC 为 5xcm ，∵周长为 36cm ， AB+BC+AC=36cm ，∴ 3x+4x+5x=36 ，得 x=3 ，∴ AB=9cm ， BC=12cm ， AC=15cm ，222∵ AB +BC =AC ， ∴△ ABC 是直角三角形，过 3 秒时， BP=9 ﹣ 3×1=6（ cm ）， BQ=2× 3=6（ cm ），∴ S △PBQ = BP?BQ= ×（ 9﹣ 3） ×6=18（ cm 2）．2故过 3 秒时， △BPQ 的面积为 18cm ．5、以以以下图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处， A 、 B 到河岸的距离分别为 AC ＝ 400米，BD ＝ 200 米，CD ＝ 800 米，牧童从 A 处把牛牵到河畔饮水后再回家．试问在哪处饮水，所走行程最短？最短行程是多少？【思路点拨】 作点 A 对于直线 CD 的对称点段最短 ”可知应在 E 处饮水，再依据对称性知角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】G ，连结 GB ，交 CD 于点 E ，利用 “两点之间线GB 的长为所走的最短行程，此后结构直角三解：作点 A 对于直线 CD 的对称点 G ，连结 GB 交 CD 于点 E ，由 “两点之间线段最短 ”可以知道在 E 点处饮水，所走行程最短．说明以下：在直线 CD 上随意取一异于点 E 的点 I ，连结 AI 、 AE 、 BE 、 BI 、 GI 、 GE ．∵点 G 、A 对于直线 CD 对称，∴AI ＝ GI ， AE ＝ GE ．由 “两点之间线段最短 ”或 “三角形中两边之和大于第三边 ”可得 GI ＋ BI ＞GB ＝ AE ＋ BE ，最短行程为 GB 的长，自点 B 作 CD 的垂线，自点 G 作 BD 的垂线交于点 H，在直角三角形GHB 中，∵GH＝ CD＝ 800，BH ＝ BD ＋DH ＝ BD ＋ GC＝BD ＋ AC ＝ 200＋ 400＝ 600，∴由勾股定理得GB 2GH2BH2800260021000000．∴GB ＝1000，即最短行程为 1000 米．【总结升华】这是一道相关极值的典型题目．解决这种题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，经常另选一个量，经过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题表现了勾股定理在实质生活中的应用．贯串交融：【变式】以以以下图，正方形ABCD 的 AB 边上有一点E，AE ＝ 3， EB ＝1，在 AC 上有一点P，使 EP＋ BP 最短．求EP＋ BP 的最小值．【答案】解：依据正方形的对称性可知：BP ＝DP，连结 DE ，交 AC 于 P， ED ＝ EP＋ DP＝ EP＋ BP，即最短距离 EP＋ BP 也就是 ED ．∵AE ＝ 3， EB ＝ 1，∴ AB ＝ AE ＋EB ＝ 4，∴AD ＝ 4，依据勾股定理得：ED2 AE 2 AD 2 32 42 25 ．∵ED＞ 0，∴ ED＝ 5，∴ 最短距离 EP＋ BP＝ 5．6、台风是一种自然灾祸，它以台风中心为圆心，在四周数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的损坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的 B 处，在沿海城市福州 A 的正南方向240 千米，此中心风力为 12 级，每远离台风中心 25 千米，台风就会减弱一级，以以以下图，该台风中心正以 20 千米 /时的速度沿北偏东 30°方向向 C 挪动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超出 4 级，则称受台风影响．试问：（1）该城市能否会遇到台风影响？请说明原因．（2）若会遇到台风影响，那么台风影响该城市的连续时间有多长？（3）该城市遇到台风影响的最狂风力为几级？【答案与解析】解：（ 1）该城市会遇到台风影响． 原因：如图，过点A 作 AD ⊥ BC 于 D 点，则 AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在 Rt △ABD 中，因为∠ B=30°， AB=240 ． ∴AD ＝ 1AB =1 ×240 ＝ 120 （千米）． 2212-4）×25=200（千米）以内时，则会遇到台风影响．由题可知，距台风中心在（因为 120＜200，所以该城市将会遇到影响．（2）依题（ 1）可知，当点 A 距台风中心不超出 200 千米时，会受台风影响，故在 BC 上作 AE=AF=200 ；台风中心从点 E 挪动到点 F 处时，该城市会处在台风影响范围以内．（如图）由勾股定理得， DE2AE 2 AD 2 200 2120225600DE ＝ 160 （千米）．所以 EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以 20 千米 /时的速度挪动． 所以台风影响该城市 320÷20=16（小时）． （3）∵ AD 距台风中心近来，∴该城市遇到此次台风最狂风力为：12-（120÷25）（级）． 答：该城市受台风影响最狂风力7.2 级．【总结升华】 本题是将实指责题转变为直角三角形中的数学识题， 可经过作协助线结构直角三角形，再把条件和问题转变到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决．【坚固练习】 一．选择题1．在 △ ABC 中，若 a n 2 1, b 2n, c n 2 1，则 △ABC 是（）A ． 锐角三角形B ． 钝角三角形C ． 等腰三角形D ． 直角三角形2． 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的极点， 则∠ ABC 的度数为（ ）A ．90°B ． 60°C ． 45°D ． 30°3．（ 2015 春 ?西华县期末）以下知足条件的三角形中，不是直角三角形的是（A ．三内角之比为 1： 2：3B ．三边长的平方之比为 1： 2： 3C ．三边长之比为 3： 4： 5D ．三内角之比为 3： 4： 5）4．如图，一牧童在 A 处牧马，牧童家在500m 和 700m ，且 C 、D 两地的距离为B 处， A 、B 处距河岸的距离 AC 、BD 的长分别为500m ，天黑前牧童从 A 点将马牵引到河畔去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（）A ． 2900mB ． 1200m C． 1300m D． 1700m5．直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，则以下各式中总能建立的是（）A ． ab=h 2B ． a2+b2=h2 C．11 1 D ．1 1 1a b h a2 b2 h26．如图， Rt △ABC 中，∠ C＝ 90°， CD ⊥ AB 于点 D， AB ＝13， CD ＝6，则 (AC ＋ BC) 2等于()A ． 257．已知三角形的三边长为A ．a2 m 1 2 ,b2B ．a2 m 1 2 ,b2C．a2 m 1 2 ,b2D ．a2 m 1 2,b2B． 325C． 2197 D ．405a、b、c ，由以下条件能构成直角三角形的是（）4m2 , c2 m214m, c2 m212m, c2 m212m2 , c2 m218．（ 2016?连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 、1 S 、 S ；如图 2，分别以直角三角形三个极点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等2 3的扇形，面积分别为S4、S5、S6．此中 S1=16 ，S2=45，S5=11 ，S6=14 ，则 S3+S4=（）A ． 86B ． 64 C． 54 D ． 48二．填空题9．如图， AB ＝ 5， AC ＝3， BC 边上的中线AD ＝ 2，则△ABC 的面积为 ______．10．以以以下图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB ＝ 6，BC ＝8，将直角边 AB 折叠使它落在斜边 AC 上，折痕为 AD ，则 BD ＝ ______．11．已知：△ABC 中， AB ＝ 15，AC ＝ 13，BC 边上的高AD ＝ 12，BC＝ _______．12．如图， E 是边长为4cm 的正方形ABCD 的边 AB 上一点，且A E=1cm ， P 为对角线BD 上的随意一点，则AP+EP 的最小值是cm．113．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和 2cm，高为 4cm，点 P 在边 BC 上，且 BP=BC ．如4 果用一根细线从点 A 开始经过 3 个侧面环绕一圈抵达点 P，那么所用细线最短需要cm．14．（ 2014 春 ?监利县期末）小明把一根70cm 长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm 的木箱中，他能放进去吗？答：（选填“能”或“不可以”）．15．（ 2016 春 ?浠水县期末）如图，AD=8 ， CD=6 ，∠ ADC=90 °， AB=26 ，BC=24 ，该图形的面积等于．16．如所示，在△ABC 中，AB ＝ 5，AC ＝13，BC 上的中AD ＝ 6，∠ BAD ＝ ________．三．解答17．（ 2016 春 ?召陵区月考）能成直角三角形的三个正整数，我称之一勾股数，察表格所出的三个数a， b， c， a＜b＜ c．（1）找出它的共同点，并明你的；（2）写出当 a=17 ， b， c 的．3， 4， 52 2 23 +4 =55， 12， 13，52+122=1327， 24， 25 72+242=2529， 40， 41 92+402=41 2⋯⋯17， b， c 172+b2=c218．如等腰△ABC 的底8cm，腰 5cm，一个点 P 在底上从 B 向 C 以 0．25cm/s的速度移，你研究，当 P 运几秒， P 点与点 A 的 PA 与腰垂直．19．（ 2015?永州）如，有两条公路OM 、ON 订交成 30°角，沿公路OM 方向离 O 点 80 米有一所学校 A ．当重型运卡P 沿道路 ON 方向行，在以 P 心 50 米半径的形地区内都会遇到卡噪声的影响，且卡P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大．若向来重型运卡P 沿道路 ON 方向行的速度18 千米 /．（ 1）求学校 A 的噪声影响最大卡P 与学校 A 的距离；（ 2）求卡P 沿道路 ON 方向行一次学校 A 来噪声影响的．20．如 1，四根度必定的木条，此中AB ＝ 6 cm， CD ＝ 15 cm，将四根木条用小．．．．合在一同，构成一个四形ABCD （在 A 、B 、 C、 D 四点是可以活的）．固定AB 不，个四形，使它的形状改，在的程中有以下两个特别地点．地点一：当点 D 在 BA 的延上，点 C 在段 AD 上（如2）；地点二：当点 C 在 AB 的延上，∠C＝ 90°．（1）在 2 中，若 BC 的x，用x的代数式表示 AD 的；（2）在 3 中画出地点二的正确形；（各木条度需吻合目要求）．．（3）利用图2、图 3 求图 1 的四边形 ABCD 中， BC 、AD 边的长．【答案与解析】一．选择题1．【答案】 D ；【解析】因为c2a2n2 1 n2 1 n2 1 n2 1 ＝4n2b2，所以 c2a2b2，a2b2c2，由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形．2．【答案】 C；【解析】连结 AC ，计算 AC 2＝ BC2＝ 5,AB 2＝ 10,依据勾股定理的逆定理，△ABC是等腰直角三角形，∴∠ ABC ＝ 45°．3．【答案】 D ；【解析】解：A 、因为依据三角形内角和定理可求出三个角分别为 30 度， 60 度， 90 度，所以是直角三角形，故正确；B、因为其吻合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；C、因为其吻合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；D、因为依据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故不正确．应选 D ．4．【答案】 C；【解析】作A 点对于河岸的对称点 A′，连结 BA′交河岸与 P，则 PB+PA=PB+PA′ =BA′最短，如图， BB′=BD+DB′=1 200， B′A′=500，BA′=1300（ m）．5．【答案】 D ；【解析】解：依据直角三角形的面积可以导出：c ab．再联合勾股定理： a2+b2=c2．进ha2b 2a 2b2，得1 1 1行等量代换，得a2+b2= 2 ．两边同除以a 2b2h2．h6．【答案】 B ；【解析】 AC2AC 2 BC2 2AC BC AB2 2 AB CD ＝169＋2×13×6＝BC325．7．【答案】 B ；【解析】 m 1 24m m21 ．8．【答案】 C；【解析】解：如图1， S1= AC 2， S2= AB2， S3= BC2，2 2 2，∵BC =AB ﹣ AC∴S2﹣ S1=S3，如图 2， S4 =S5+S6，∴S3+S4=45﹣ 16+11+14=54．应选 C．二．填空题9．【答案】 6；【解析】延伸AD 到 E，使 DE ＝AD ，连结 BE ，可得△ABE 为直角三角形．10．【答案】 3；B 落在 AC 上的 E 点处，设 BD ＝x，则 DE ＝ BD ＝x， AE ＝AB ＝ 6，CE【解析】设点＝ 4， CD＝ 8－x，在 Rt△CDE 中依据勾股定理列方程．11．【答案】 14 或 4；【解析】当△ABC 是锐角三角形时，BC ＝ 9＋ 5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC ＝ 9 －5＝ 4．12．【答案】 5【解析】作 E 点对于直线BD 的对称点E′，连结 AE′，则线段AE′的长即为AP+EP 的最小值 5．13．【答案】 5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm 和 2cm ，高为 4cm ，点 P 在边 BC 上，且1 3 BP= BC ，∴ AC=4cm ，PC=BC=3cm ，依据两点之间线段最短， AP=5 ．4414．【答案】能；【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，依据题意，得 x 2=502+402+30 2=5000，270 =4900 ，因为 4900＜ 5000 ， 所以能放进去．15．【答案】 96；【解析】连结 AC ，在 Rt △ ACD 中， AD=8 ， CD=6，∴ AC 2=100 ，在△ ABC 中，∵ AC 2+BC 2=10 2+242=262=AB 2， ∴△ ABC 为直角三角形；∴图形面积为：S △ABC ﹣ S △ ACD = × 10× 24﹣ ×6× 8=96．16．【答案】90°；【解析】延伸AD到 M ，使 DM ＝ AD ，易得 △ABD ≌△ MCD ．∴ CM ＝AB ＝ 5AM＝2AD ＝ 12 在 △ACM 中 52 122 132 即 CM 2 AM 2 AC 2 ∴∠ AMC ＝∠ BAD=90°三．解答题 17．【解析】解：（ 1）以上各组数的共同点可以从以下方面解析：222② 最小的数（ a ）是奇数，其他的两个数是 的正整数；③ 最小奇数的平方等于另两个 整数的和，如 32=9=4+5， 52=25=12+13， 72=49=24 +25， 92=81=40+41⋯由以上特色我 可猜想并 明 一个 ：m 大于 1的奇数，将 m 2拆分 两个 的整数之和，即 m 2=n+（ n+1），m ， n ，n+1 就构成一 的勾股数，明：∵ m 2=n +（ n+1）（ m 大于 1 的奇数），2222∴ m +n =2n+1+n =（ n+1） ，∴ m ， n ，（n+1）是一 勾股数；（ 2）运用以上 ，当a=17 ，2∵ 17 =289=144 +145， ∴ b=144， c=145． 18．【解析】 解：如 ，作AD ⊥ BC ，交 BC 于点 D ，∵ BC=8cm ，∴ BD=CD= BC=4cm ，∴ AD=3 ，分两种状况：当点 P 运 t 秒后有 PA ⊥AC ，∵ AP 2=PD 2+AD 2=PC 2 AC 2，∴ PD 2+AD 2=PC 2 AC 2，2222． 25 ，∴ PD +3 =（PD+4 ） 5 ∴PD=2 ∴ BP=4 2． 25=1 ． 75=0． 25t ， ∴ t=7 秒，当点 P 运 t 秒后有 PA ⊥ AB ，同理可 得 PD=2． 25，∴ BP=4+2 ．25=6． 25=0． 25t ，∴ t=25 秒， ∴点 P 运 的7 秒或 25 秒．19．【解析】解：（ 1） 点 A 作 AD ⊥ON 于点 D ，∵∠ NOM=30° ，AO=80m ， ∴ AD=40m ，即 学校 A 的噪声影响最大 卡P 与学校 A 的距离40 米；（ 2）由 可知：以 50m 半径画 ， 分 交 ON 于 B ，C 两点，AD ⊥ BC ，BD=CD=BC ，OA=80m ，∵在 Rt △AOD 中，∠ AOB=30° ，∴ AD= OA= ×80=40m ，在 Rt △ABD 中，AB=50 ，AD=40 ，由勾股定理得： BD= = =30m ，故 BC=2× 30=60 米，即重型运输卡车在经过BD 时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为 18 千米 /小时，即=300 米 /分钟，∴重型运输卡车经过BD 时需要 60÷300=0． 2（分钟） =12（秒）．答：卡车 P 沿道路ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间为12 秒．20．【解析】解：（ 1）∵在四边形ABCD转动的过程中，BC、AD边的长度向来保持不变，BC＝x，∴在图 2 中， AC ＝BC － AB ＝x－6， AD ＝ AC ＋CD ＝x＋ 9．（2）地点二的图形见图 3．（3）∵ 在四边形 ABCD 转动的过程中， BC、 AD 边的长度向来保持不变，∴在图 3 中， BC＝x， AC ＝ AB ＋BC＝ 6＋x， AD ＝x＋ 9．在△ACD 中，∠ C＝ 90°由勾股定理得AC 2 CD 2 AD 2．∴(6 x)2 152 ( x 9)2．整理，得x2 12 x 36 225 x2 18x 81 ．化简，得 6 x＝ 180．解得x ＝30．即BC＝30．∴AD ＝39．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
AB2=2.22+x2=9.34
பைடு நூலகம்
在直角三角形中才可以运用
已知Rt∆ABC的两直角边分别是3和4，则它 的斜边是 5 .
二 勾股逆定理与勾股数
勾股逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形. 勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
三 勾股定理与勾股逆定理的比较
勾股定理 区 以“一个三角形是 直角三角形”为条 件，得出三角形三 2 2 2 边有 a + b = c 关系 别 式成立. 联 勾股逆定理 一个三角形的三边a、 b、c满足a2+b2=c2为 条件,得出这个三角 形是直角三角形的 结论.
都与三角形三边有关
系 都与直角三角形有关
当堂练习
1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的 平方是（ D ）
A.25
B.14
C.7
D.7或25
2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角 三角形的是（ A ） A.a=1.5，b=2,c=3 C.a=6,b=8,c=10 B.a=7,b=24,c=25 D.a=3,b=4,c=5
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，
13 ①若a=5，b=12，则c=___________ ； 20 ②若a=15，c=25，则b=___________.
6.直角三角形两直角边长分别为5和12，则
60 它斜边上的高为__________. 13
7.B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方 向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某
3．如果直角三角形的两直角边长分别为n2－1，2n
（n>1）， 那么它的斜边长是（ D ）
A.2n B.n+1 C.n2－1 D.n2+1
4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a +b=14cm， c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ A ） A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2
第一章 勾股定理
小结与复习
知识构架
验证方法
勾股定理
已知两边求 第三边
直角三角形 判定直角三角形 勾股定理 的逆定理 判定勾股数 判定垂直
知识梳理
一 勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
那么
a 2 + b 2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理的应用条件
8.有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水
池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把 这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请 问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 1尺
x2 + 52 = (x+1)2
水池
x尺
x = 12
5尺
9.小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿
买最长 的吧！
快点回家， 好用它凉衣 服。
糟糕，太 长了，放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，
那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？
你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？
A
2.2米
x
1.5米 1.5米 1.5米
2.2米
1.5米
C
x
B
x2=1.52+1.52=4.5 AB≈3米
个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船
到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道 乙船是沿哪个方向航行的吗？
解：甲船航行的距离为BM= 16（n mile）,
乙船航行的距离为BP= 30（n mile）．
∵162+302=1156，342=1156,
∴BM2+BP2=MP2, ∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90° , ∴乙船是沿着南偏东300 方向航行的．