第17章勾股定理小结和复习
勾股定理总复习
勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b abc c b a E D C B A边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，勾三股四弦五：3，4，55·12记一生：5，12，13连续的偶数：6，8，10企鹅是二百五 7，24，25八月十五在一起：8，15，17还有2组，不是勾股数，不过经常使用，也需要记住。
人教数学八年级下《学练优》第17章 小结与复习评讲与答案
14．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上 的点A，B，C，D中任取三点，能构成直角三角形 的个数是 3个 ．
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD ＝3，DA＝1，且AB⊥BC于B.求：【方法6】 (1)∠BAD的度数； (1)如图，连接AC. ∵AB⊥BC，∴∠B＝90°. 在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝2， ∴AC＝ AB2 BC2 ＝2 2，∠BAC＝45°.
9．★一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图 所示的隧道，则卡车的外形高必须低于 4.1 米．
解析：∵车宽2.4米，∴欲通过隧道，只要距隧道中 线1.2米处的高度大于车高．在Rt△OCD中，由勾股 定理可得CD＝ OC2 OD2＝ 22 1.22 ＝1.6(米)． ∴CH＝CD＋DH＝1.6＋2.5＝4.1(米)，∴卡车的外形 高必须低于4.1米．
又∵CD＝3，DA＝1， ∴AC2＋DA2＝8＋1＝9，CD2＝9， ∴AC2＋DA2＝CD2，∴△ACD是直角三角形， 且∠CAD＝90°，∴∠BAD＝45°＋90°＝135°.
(2)四边形ABCD的面积．
(2)S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
＝ 1 ×2×2＋ 1 ×1×2 2 ＝2＋ 2 .
11．(2018·福建中考)把两个同样大小的含45°角的 三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的 锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三
个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝ 2 ，
求CD的长．
解：如图，过点A作AF⊥BC于F， 在Rt△ABC中，∠B＝45°， ∴AB＝AC， ∴BC＝ 2 ， AB＝2， BF＝AF＝ 2 AB＝1.
第十七章勾股定理章末总复习课件
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理的逆定理:
2.如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
方程思想
１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的 绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米 后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
展开思想
A
x
1.5米
1.5米
2.2米
2.2米
1.5米
1.5米
Cx
B
x2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
展开思想
1. 几何体的表面路径最短的 问题，一般展开表面成平面;
2.利用两点之间线段最短， 及勾股定理求解.
分类思想
5.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,x,则x2= 6.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 的高线AD=8,则BC=
给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月上午8时40分22.3.408:40March 4, 2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022年3月4日星期五8时40分57秒08:40:574 March 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。上午8时40分57秒上午8时40分08:40:5722.3.4
A
x米 (X+1)米
C 5米
B
方程思想
勾股定理小结与复习初中数学原创课件
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
A
c
如果三角形的三边长a，b，c满足 b
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. C a B
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例4 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b， c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为 直角三角形． 【解析】要证∠C＝90°，只要证△ABC是直角三角形，并且 c边最大．根据勾股定理的逆定理只要证明a2＋b2＝c2即可．
解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边 于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直 径于B点，交半圆于A点. 在Rt△ABO中，由题意知OA＝2米，DC＝OB＝1.4米， 所以AB2＝22－1.42＝2.04. 因为4－2.6＝1.4，1.42＝1.96， 2.04＞1.96， 所以卡车可以通过． 答：卡车可以通过，但要小心．
∴AC= AB2 BC2 =24米，
已知AD=4米，则CD=24-4=20（米）， ∵在直角△CDE中，CE为直角边，
∴CE= DE2 CD2 =15（米），
BE=15-7=8（米）．故选C．
针对训练
3.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个 半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家 具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通 过这个通道？
第十七章 勾股定理
要点梳理
一、勾股定理
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
2024年第十七章勾股定理课堂复习题及答案
1 2 3 4 5 6 例7 1 81 92 103 114
D.4
10 3
1 2 3 4 5 6 例7 1 8 91 102 113
章末整合集训
返回知识点清单
5.(1)在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB于点D, CD=___2_.4__c_m___; (2)已知直角三角形的两直角边长之比为3∶4,斜边长为15,则这个 三角形的面积为____5_4____; (3)已知直角三角形的周长为30cm,斜边长为13cm,则这个三角形的 面积为__3_0_c_m__2 _.
第十七章 勾股定理 章末整合集训
第十七章 勾股定理
章末整合集训
直接考查勾股定理
知识点 清单
利用勾股定理建立方程 勾股定理的实际应用 勾股定理的逆定理的实际应用
勾股定理与逆定理的综合应用
章末整合集训
直接考查勾股定理 1.下列说法正确的是 ( C ) A.已知a,b,c是三角形的三边长,则a2+b2=c2 B.在直角三角形中,两边的平方和等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中,若∠C=90°,则BC2+AC2=AB2 D.在Rt△ABC中,若∠B=90°,则BC2+AC2=AB2
1 2 3 4 5 6 例7 1 81 92 103 114
章末整合集训
返回知识点清单
勾股定理与逆定理的综合应用 10.若 △ABC 的三边长 a , b , c 满足 (a-b)2+|a2+b2-c2|=0,则下列对 △ABC 的形状描述最准确的是 ( C ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习优秀教学案例
在教学评价方面，我将以学生的课堂表现、作业完成情况和课后实践成果为主要评价依据，全面评价学生对勾股定理的掌握程度。通过这一系列的教学设计，我相信学生们在复习和巩固勾股定理的过程中，能够提高自己的数学素养，为后续学习奠定坚实的基础。
3. 对学生的作业和实践活动进行评价，反馈学生学习情况，及时调整教学策略。
作业小结环节是课堂教学的延伸和巩固。我布置具有针对性、多样性的作业，巩固学生对勾股定理的理解和应用。设置课后实践任务，让学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的数学应用能力。同时，我还对学生的作业和实践活动进行评价，反馈学生学习情况，及时调整教学策略，以保证教学效果的最大化。通过这一系列的教学内容与过程，我相信学生能够更好地理解和掌握勾股定理，提高自己的数学素养和问题解决能力。
（二）过程与方法
1. 通过自主探究、合作交流的方式，培养学生主动学习和团队协作的能力。
2. 引导学生运用多媒体教学资源，提高信息技术与数学学科的整合能力。
3. 培养学生关注生活中的数学问题，提高数学应用能力。
在过程与方法目标部分，我注重引导学生积极参与课堂活动，通过自主探究、合作交流等方式，培养学生主动学习和团队协作的能力。同时，我还充分利用多媒体教学资源，将信息技术与数学学科相结合，提高学生的学习兴趣和效果。此外，我还注重培养学生的数学应用能力，使学生能够将所学知识运用到实际生活中。
（四）总结归纳
引导学生对所学知识进行总结，巩固学习成果。
八年级数学下册教学课件第17章《勾股定理》小结与复习
A.0
B.1 C.2 D.3
A
B
C
第2题图
第3题图
❖ 4. 如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD=90°， AD=4，AB=3，BC=12，
❖ 求正方形DCEF的面积．
❖ 5. 如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得 ∠A=50°，∠B=40°，AB=5 km,BC=4 km， 若每天凿隧道0.3 km，问几天才能把隧道凿通？
A时 B时
图1
图2
4. 如图3所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距 离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子 的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端 B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?
B
B′
O
A′
A
图3
❖ 【学习体会】 ❖ 1.本节课你又那些收获？ ❖ 2.复习时的疑难问题解决了吗？你还有那些困惑？
❖ 【变式练习】
❖ 1. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长 的平方是（ ）
A.25
B.14
C.7 D.7或25
❖ 2. 如图1阴影部分是一个正方形，则此正方形的面 积为 .
❖ 3. 如图2，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又
测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，
则树的高度为_____m.
2、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它
斜边上的高为___6_0_/_1_3___。
❖ 【知识回顾】
❖ 1. 判断下列命题： ①等腰三角形是轴对称图形；②若a>1且b>1， 则a+b>2；③全等三角形对应角的平分线相等； ④直角三角形的两锐角互余,其中逆命题正确的 有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
人教版八年级下册数学《勾股定理》说课复习(第2课时勾股定理的应用)
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
10km
藏宝点B的距离是________．
课程讲授
构造直角三角形解决实际问题
例4
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要
开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该
工厂的厂门?说明理由.
解：在Rt△OCD中，∠CDO=90°,由
C
A
O
勾股定理，得
CD＝ OC 2 OD 2 1 0.82 0.6(米).
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
D
B
2.3米
2
答：卡车能通过厂门．
M
2米
H
N
课程讲授
2
构造直角三角形解决实际问题
练一练：
(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，
一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行( B )
A．8米
B．10米
C．12米
练一练：
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB
一样长.已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,
AE的长度为（x－1）m,
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第17章勾股定理小结和复习
教学目标
1. 理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边
2. 勾股定理的应用.
3. 会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.
重点：掌握勾股定理及其逆定理.
难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.
教学过程
一.复习回顾
在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，
并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用.其知识结构如下：
勾般定理的逆毎用
1. 勾股定理:
(1) ________________________ 直角三角形两直角边的和等于的平方.就是说，对于任意的直
角三角形，如果它的两条直角边分别为 a b,斜边为c,那么一定有：.这就是勾股定理.
(2) 勾股定理揭示了直角三角形―之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据.
2 2 | 2 ■ 2 2 2 2 ■ 2
a 二c -
b ,b 二
c -a ,c = . a b
2. 勾股定理逆定理
若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为__________ .这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边
a,b,c(a+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSSE明两个三角形全等，证明定理成立.
3. 勾股定理的作用：
(1) 已知直角三角形的两边，求第三边；
(2) 在数轴上作出表示川(n为正整数)的点.
勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直，勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想.
2十2 2
(3) 三角形的三边分别为a、b、c,其中c为最大边，若a b =c
，则三角形是直角三
角形；若a b c
，则三角形是锐角三角形；若
a b”：c「，则三角形是钝角三角
形.所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边.
考点一、已知两边求第三边
1 .在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_______ .
2. ___________________________________________________________ 已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是____________________________ .
3. 在数轴上作出表示-10的点.
4 .已知，如图在△ ABC中，AB=BC=CA=2cm , AD是边BC上的高.
求①AD的长；②△ ABC的面积.
考点二、利用列方程求线段的长
1. 如图，铁路上A，B两点相距25km, C，D为两村庄，DA丄AB于A , CB丄AB
于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
2. 如图，某学校（A点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）
的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校 A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离.
考点三、判别一个三角形是否是直角三角形
1•分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5 （2）
5、12、13 （3）8
15、17 (4) 4、5、6,其中能够成直角三角形的有_____________
2. _________________________________________________________ 若三角形的三别是a2+b2,2ab,f-b2(a>b>0),则这个三角形是______________________ .
2
3. 如图1,在厶ABC中，AD是高，且AD二BD CD，求证：△ ABC为直角三角形。
團I
考点四、灵活变通
1. 在Rt A ABC中，a, b, c分别是三条边，/ B=90°,已知a=6, b=10,则边长
c= ___
2. 直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2, 8cm2，则以斜
边为边长的正方形的面积为___________ c m2.
3. 如图一个圆柱，底圆周长6cm,高4cm, 一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到
B点，则最少要爬行_______ cm
4. ___________________________________ 如图：带阴影部分的半圆的面积是(二取3)
5. —只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那
么它所爬行的最短路线的长是 _______________
6若一个三角形的周长12、.3cm,—边长为3cm,其他两边之差为3 cm,则这个
二角形是 _______________________ :.
7.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米
考点五、能力提升
1. 已知：如图，△ ABC 中，AB > AC , AD 是BC 边上的高.
1
2. 如图，四边形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且CE =丄BC .你
4
3. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm ，BC=8cm ,现将直角边AC
沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？
三、随堂检测
求证：AB 2-AC 2
=BC(BD-DC).
能说明/ AFE 是直角吗?
E
1. 已知△ ABC中，/ A= / B= / C,则它的三条边之比为（）.
A. 1: 1: 1
B. 1: 1 : 2
C. 1: 2 : 3
D. 1: 4: 1
2. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）.
A. 6, 7, 8
B. 5, 6, 7
C. 4, 5, 6
D. 3, 4, 5
3. 若等边△ ABC的边长为2cm,那么△ ABC的面积为（）.
—2 2 2 2
A . 3 cm
B . 2 cm
C . 3 cm
D . 4cm
4. 直角三角形的两直角边分别为5cm, 12cm,其中斜边上的高为（）
A . 6cm
B . 8 . 5cm
C . 30/ 13cm
D . 60/13 cm
5. 有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米.一只小鸟从一棵树的
树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了_____ 米.
6. —座桥横跨一江，桥长12m, 一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流
原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m,则小船实际行驶________ m .
7. ______________________________________________________________ —个三角形的三边的比为 5 ：12 ：13,它的周长为60cm,则它的面积是 ________ .
8•已知直角三角形一个锐角60°斜边长为1,那么此直角三角形的周长是___________
9. 有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高
出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺.求竹竿高与门高.
10. 如图1所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m,梯
子的顶端B到地面的距离为7m .现将梯子的底端A向外移动到A使梯子的
底端A'到墙根0的距离为3m,同时梯子的顶端B下降到B',那么BB'也等于
1m吗？
11. 已知：如图△ ABC 中，AB=AC=10 , BC=16 ,点D 在BC 上, DA 丄CA 于
A .
求：BD的长.
四、小结与反思A
C。