高一数学正弦函数、余弦函数的图象和性质人教版知识精讲.doc

高一数学正弦函数、余弦函数的图象和性质人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：正弦函数、余弦函数的图象和性质二. 本周教学重、难点： 1. 重点：正弦函数、余弦函数的图象形状及其主要性质。

2. 难点：利用正弦线画出函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，周期函数与最小正周期的意义。

【典型例题】[例1] 求函数)2cos 2lg(1sin 2cos 1++--=x x xy 的定义域。

解：⎪⎩⎪⎨⎧>+≥--02cos 201sin 2cos 1x x x ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->=>22cos 1cos 21sin x x x 或∴ )(432432652622Z ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<<-+<<+=k k x k k x k k x πππππππππ或 ∴ πk x 2=或ππππ43262+<<+k x k ，Z ∈k ∴ 函数的定义域为πk x x 2|{=或ππππ43262+<<+k x k ，}Z ∈k [例2] 求下列函数的值域。

（1）x x y cos 3sin 2-= （2）3sin 1sin 2+-=x x y （3）xxy cos 2sin 3+=解：（1）413)23(cos 1cos 3cos 22++-=+--=x x x y ∵ 1cos 1≤≤-x ∴ 33≤≤-y ∴ 函数的值域为]3,3[-（2）∵ 1sin 23sin -=+x y x y ∴ yyx -+=231sin∵ 1sin ≤x ∴1231≤-+yy∴ y y -≤+231 ∴ 22)2()31(y y -≤+ ∴ 4123≤≤-y ∴ 函数的值域为]41,23[- （3）∵ x x y y sin 3cos 2=+ ∴ y x y x 2cos sin 3=-∴ y x y 2)sin(32=-+ϕ ∴ 232)sin(yy x +=-ϕ∵ 1)sin(≤-ϕx ∴1322≤+y y ∴ 2234y y +≤∴ 11≤≤-y ∴ 函数值域为]1,1[- [例3] 求函数1)24sin(2+-=xy π的单调区间。

解：)42sin(211)24sin(2ππ--=+-=x x y当πππππ2324222+≤-≤+k x k ，Z ∈k即ππππ274234+≤≤+k x k ，Z ∈k 时，原函数为增函数当224222πππππ+≤-≤-k x k ，Z ∈k即ππππ23424+≤≤-k x k ，Z ∈k 时，原函数为减函数∴ 原函数的单调增区间为)](274,234[Z ∈++k k k ππππ原函数的单调减区间为)](234,24[Z ∈+-k k k ππππ[例4] 若)(x f 为奇函数，且当0>x 时，x x x x f 2cos sin )(+=，求当0<x 时，)(x f 的解析式。

解：∵ 0<x 则0>-x∴ x x x x x x x f 2cos sin )(2cos )sin()()(+=-+-⋅-=- ∴ x x x x f x f 2cos sin )()(--=--=[例5] 已知函数)cos(3)sin()(θθ-++=x x x f 为偶函数，且),0(πθ∈求θ的值。

解：∵ )(x f 为偶函数 ∴ )()(x f x f =-∴ )cos(3)sin()cos(3)sin(θθθθ-++=--++-x x x x∴ )]cos()[cos(3)sin()sin(θθθθ--+=-++x x x x化简得33tan -=θ ∴ 6ππθ-=k （Z ∈k ）∵ ),0(πθ∈ ∴ πθ65=[例6]（1）是否存在实数k ，使方程012682=++-k kx x 的两个根分别是直角三角形两个锐角的正弦值。

（2）是否存在实数k ，使方程012682=++-k kx x 的两个根是某三角形内角的正弦值。

解：（1）设1x ，2x 是012682=++-k kx x 的两个根，不妨设A x sin 1=，A A x cos )2sin(2=-=π其中A 为锐角 ∴ 1cos sin 22=+A A即18122)43(2=+⋅-k k ∴ 21=k ，9102-=k 又 ∵ 0)12(32362≥+-=∆k k ∴ 2=k 舍去 又 ∵ 0cos sin >+A A 即043>k ∴ 910-=k 舍去 ∴ 满足条件的实数k 不存在（2）设012682=++-k kx x 的两根为1x ，2x 满足10x <，12≤x 设1268)(2++-=k kx x x f 结合二次函数图象⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆<<≥>018600)1(0)0(k f f 解得93428+≥k ，34<k ，故k 不存在 [例7] 已知函数x x x f cos sin log )(21-=。

（1）求出它的定义域和值域 （2）判断它的奇偶性 （3）求出它的单调区间 （4）判断它的周期性 解： （1）0)4sin(≠-πx ∴ 4ππ+≠k x （Z ∈k ）∴ )(x f 的定义域为},4|{Z ∈+≠k k x x ππ∵ )4sin(2log cos sin log )(2121π-=-=x x x x f∴ )(x f 的值域为),21[∞+-（2）∵ 函数的定义域在数轴上关于原点不对称 ∴ )(x f 既不是奇函数，也不是偶函数 （3）设)4sin(2cos sin π-=-=x x x t 则t x f 21log )(=是减函数∵ 函数t 的增区间为)(43,4[Z ∈++k k k ）ππππ 减区间为)](45,43Z ∈++k k k ππππ（ ∴ )(x f 的增区间为)](45,43Z ∈++k k k ππππ（ 减区间为)(43,4[Z ∈++k k k ）ππππ （4）∵ )cos()sin(log )(21πππ+-+=+x x x f)(sin cos log )cos (sin log 2121x f x x x x =-=---=∴ )(x f 是周期函数且π是其一个周期。

[例8] 设)(x f 是R 上奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，求)5.7(f 的值。

解：∵ )()2(x f x f -=+ )()2()4(x f x f x f =+-=+ ∴ )(x f 是以4为周期的周期函数 又 ∵ )(x f 是奇函数∴ 5.0)5.0()5.0()85.0()5.7(-=-=-=+-=f f f f【模拟试题】一. 选择题：1. 函数x x y sin -=在],2[ππ上的最大值是（ ）A.12-π B. 123+π C. 2223-π D. π2. 函数)21sin(ϕ+=x y 是偶函数，则ϕ的一个值为（ ） A. πϕ-= B. 2πϕ-= C. πϕ2= D. 4πϕ=3. 函数)43sin(2π+-=x y 的单调增区间是（ ） A. Z ∈++k k k ,]32127,324[ππππ B. Z ∈++-k k k ,]324,3212[ππππ C. Z ∈++k k k ,]32125,3212[ππππ D. Z ∈++k k k ,]3243,32125[ππππ 4. 函数2sinxy =的最小正周期是（ ） A.2πB. πC. π2D. π4二. 填空题： 1. 函数1sin 5cos 22-+=x x y 的值域是 。

2. 若40π≤<x ，比较x sin ，x cos ，x cot 的大小 。

若ππ432<<x 比较x sin ，x cos ，x tan 的大小： 。

3. 若)(x f 是奇函数，当0>x 时，x x x f sin )(2-=，则当0<x 时，=)(x f 。

4. 函数x y cos =的递减区间是 。

三. 解答题： 1. 比较)83sin(cosπ，)83sin(sin π的大小。

2. 已知ω是正数，函数x x f ωsin 2)(=在]4,3[ππ-上递增，求ω的取值范围。

3. 已知)23cos(2)(xx f -=π（1）求)(x f 的增区间（2）若],[ππ-∈x 求)(x f 的最大值和最小值试题答案一.1. D2. B3. B4. C 二. 1. ]2,0[2. x x x sin cos cot ≥>；x x x tan cos sin >>3. x x sin 2-- 4. Z ∈+k k k ]22,2[πππ三.1. 解：∵ 8sin83cos ππ= 183sin 8sin0<<<ππ∴ 2183sin 83cos 0πππ<<<< ∴ )83sin(sin )83sin(cos ππ<2. 解：Z ∈+≤≤-k k x k ,2222ππωππ ∴ 0>ω∴ωπωπωπωπ2222+≤≤-k x k ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-4232πωππωπ ∴ 230≤<ω ∴ ]23,0(∈ω3.（1）)32cos(2)(π-=x x f ∵ ππππk x k 2322≤-≤- ∴ 增区间为Z ∈+-k k k ,]324,344[ππππ（2）当π32=x 时，)(x f 有最大值2，当π-=x 时，)(x f 有最小值3-。