正弦函数余弦函数的性质

正弦函数余弦函数的性质教学目标1．掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点)2．会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点)3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点)[基础·初探]教材整理1函数的周期性阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题．1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．两种特殊的周期函数(1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．(2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________．解：函数y ＝2cos x ＋5的最小正周期为T ＝2π. 【答案】 2π教材整理2 正、余弦函数的奇偶性阅读教材P 37“思考”以下至P 37第14行以上内容，完成下列问题．1．对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称．2．对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．判断函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2的奇偶性．解：因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x . 且f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 教材整理3 正、余弦函数的图象和性质阅读教材P 37～P 38“例3”以上内容，完成下列问题．函数名称图象与性质性质分类y ＝sin x y ＝cos x相同处定义域R R 值域 [－1，1] [－1，1] 周期性最小正周期为2π最小正周期为2π不同处图象奇偶性奇函数偶函数 单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增函数；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z )上是减函数在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是增函数；在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上减函数对称轴 x ＝k π＋π2(k ∈Z )x ＝k π(k ∈Z )对称中心(k π，0)，(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )最值x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2kπ－π2(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π时，y max ＝1；x ＝2k π＋π时，y min ＝－1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝sin π6，则2π3是函数y ＝sin x 的一个周期．( )(2)函数y ＝sin x 在第一象限内是增函数．( )(3)余弦函数y ＝cos x 是偶函数，图象关于y 轴对称，对称轴有无数多条．( )(4)余弦函数y ＝cos x 的图象是轴对称图形，也是中心对称图形．( )解：(1)×.因为对任意x ，sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3＋x 与sin x 并不一定相等． (2)×.y ＝sin x 的单调性针对的是某一区间，不能用象限角表示． (3)√.由余弦函数图象可知正确． (4)√.由余弦函数图象可知正确． 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√[小组合作型]三角函数的周期问题及简单应用(1)下列函数是以π为最小正周期的函数是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝sin x ＋2 C ．y ＝cos 2x ＋2D ．y ＝cos 3x －1(2)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________．(3)求函数y ＝|sin x |的最小正周期．(1)(2)利用周期定义或公式T ＝2πω.(3)利用图象求解．解：(1)y ＝sin x 及y ＝sin x ＋2的最小正周期为2π，y ＝cos 2x ＋2的最小正周期为π，y ＝cos 3x －1的最小正周期为2π3，所以选C ．(2)法一：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＋2π ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2（x ＋π）＋π4，所以最小正周期为π. 法二：因为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4中ω＝2，所以其最小正周期T ＝2π|ω|＝2π2＝π.【答案】 (1)C (2)π(3)作函数y ＝|sin x |的简图如下：由图象可知y ＝|sin x |的最小正周期为π. 求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)的函数，T ＝2π|ω|.(3)观察法：即通过观察函数图象求其周期． [再练一题]1．求下列三角函数的周期：(1)y ＝3sin x ，x ∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，x ∈R .解：(1)因为3sin(x ＋2π)＝3sin x ，由周期函数的定义知，y ＝3sin x 的周期为2π.(2)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.(3)因为sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13（x ＋6π）－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ＋2π－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －π4的周期为6π. 三角函数奇偶性的判断(1)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152π－2 016x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数(2)已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1(3)判断下列函数的奇偶性：①f (x )＝|sin x |＋cos x .②f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.(1)可先化简解析式再判断奇偶性．(2)可由f (－x )＝－f (x )恒成立来求a .(3)②中注意先求定义域并化简解析式后由定义法判断．解：(1)因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152π－2 016x＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－2 016x ＋1 007π ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－2 016x ＝－cos 2 016x ， 所以为偶函数．(2)函数定义域为R ，因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A ． 【答案】 (1)B (2)A (3)①函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以此函数是偶函数．②由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f (x )与f (－x )的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．[再练一题]2．(1)函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为 ( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)判断函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2的奇偶性．解：(1)∵f (x )的定义域是R . 且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )，∴函数为奇函数． 【答案】 A(2)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ，∴f (－x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x ＝－cos 34x ，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34x ＋3π2为偶函数． 求正、余弦函数的单调区间(1)下列函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x(2)函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．(3)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递减区间．(1)可借助于正、余弦函数的单调区间来判断；(2)可利用[－π，a ]为y ＝cos x 对应增区间子集求a 范围；(3)可先化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6后，利用复合函数在对应区间上同增异减方法来求解．解：(1)因为y ＝sin x 与y ＝cos x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，π上都是减函数，所以排除A ，B ．因为π2≤x ≤π，所以π≤2x ≤2π.因为y ＝sin 2x 在2x ∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C ． (2)因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．【答案】 (1)D (2)(－π，0](3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6， 令z ＝x －π6，则y ＝－sin z ，要求y ＝－sin z 的递减区间，只需求sin z 的递增区间， 即2k π－π2≤z ≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z .故函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－x 的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π3，2k π＋23π(k ∈Z )．1．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或形如y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (其中A ≠0，ω>0，b 为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx ＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x 的系数化为正；②在A >0，ω>0时，将“ωx ＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A <0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．[再练一题]3．求函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的单调递减区间．解：令2k π≤3x －π4≤π＋2k π(k ∈Z )， 解得π12＋23k π≤x ≤5π12＋23k π(k ∈Z )， 所以函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －π4的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π12＋23k π，5π12＋23k π(k ∈Z )． [探究共研型]正、余弦函数的值域与最值问题探究1 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x ∈[0，π]上最小值能否为－1?不能．因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22.探究2 函数y ＝A sin x ＋b ，x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？ 不是．因为A >0时最大值为A ＋b ，若A <0时最大值应为－A ＋b .求下列函数的值域： (1)y ＝3－2sin 2x ；(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；(3)y ＝cos 2 x －4cos x ＋5. (1)利用－1≤sin 2x ≤1求解．(2)可换元令z ＝x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，23π，转化为求y ＝cos z 值域来求解；(3)可换元，令cos x ＝t ，转化为一元二次函数来解决． 解：(1)∵－1≤sin 2x ≤1，∴－2≤－2sin 2x ≤2， ∴1≤3－2sin 2x ≤5， ∴原函数的值域是[1，5]．(2)由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2可得x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，2π3，因为函数y ＝cos x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.(3)y ＝cos 2 x －4cos x ＋5，令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1. y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1， 当t ＝－1，函数取得最大值10；t ＝1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为[2，10]． [再练一题]4．(1)函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4的值域为________．(2)函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域为________．解：(1)∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π4，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，23π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1∴函数的值域为[－1，2]． (2)令t ＝sin x ，∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1， 即12≤t ≤1.∴f (t )＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，且该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增． ∴f (t )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，最大值为f (1)＝72. 即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72.【答案】 (1)[－1，2] (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72 [构建·体系]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°为正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( )(2)若T 是函数f (x )的周期，则kT ，k ∈N *也是函数f (x )的周期．( )(3)函数y ＝sin x ，x ∈(－π，π]是奇函数．( )解：(1)×.举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．(2)√.根据周期函数的定义知，该说法正确．(3)×.因为定义域不关于原点对称． 【答案】 (1)× (2)√ (3)×2．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A ．π2 B ．π C ．2πD ．4π解：因为3sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12（x ＋4π）－π4 ＝3sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π4＋2π ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π4，即f (x ＋4π)＝f (x )，所以函数f (x )的最小正周期为4π.【答案】 D3．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B ．[－π，0]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23πD ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，23π解：令x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2＋2k π，32π＋2k π，k ∈Z ， 得x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3＋2k π，43π＋2k π，k ∈Z ， k ＝0时，区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，4π3是函数f (x )的一个单调递减区间，而⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，23π⊆⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，4π3.故选D ． 【答案】 D4．比较下列各组数的大小：(1)cos 150°与cos 170°；(2)sin π5与sin ⎝⎛⎭⎪⎫－7π5.解：(1)因为90°<150°<170°<180°，函数y ＝cos x 在区间[90°，180°]上是减函数，所以cos 150°>cos 170°.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－7π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2π＋3π5＝sin 3π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π－2π5＝sin 2π5.因为0<π5<2π5<π2，函数y ＝sin x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是增函数，所以sin π5<sin 2π5，即sin π5<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－7π5.学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，则y 的范围是( )A ．[－1，1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1解：y ＝sin x 的图象如图所示，因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，2π3，所以由图知y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.【答案】 B2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数也是偶函数解：因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x ＋π2＝sin 12x ，所以为奇函数．【答案】 A3．y ＝sin x －|sin x |的值域是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[－1，1]D ．[－2，0]解：y ＝⎩⎨⎧0，0≤sin x ≤1，2sin x ，－1≤sin x <0，因此函数的值域为[－2，0]．故选D ．【答案】 D4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°解：由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y ＝sin x 在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C ． 【答案】 C5．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈[－π，0]的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0解：令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得2k π－π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z ， 又－π≤x ≤0，∴－π6≤x ≤0，故选D ． 【答案】 D 二、填空题6．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________.解：由0≤x ≤π2，得0≤2x ≤π，于是－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6≤1，即－32≤3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6≤3. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，37．若已知f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝sin 2x ＋cos x ．则x <0时，f (x )＝__________．解：当x <0时，－x >0，∴f (－x ) ＝sin(－2x )＋cos(－x )， ∴f (－x )＝－sin 2x ＋cos x . ∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－[－sin 2x ＋cos x ]＝sin 2x －cos x . 【答案】 sin 2x －cos x 三、解答题8．求下列函数的值域(1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6；(2)f (x )＝1－2sin 2x ＋2cos x .解：(1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3≤1，∴0≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3≤2， ∴原函数的值域为[0，2]．(2)f (x )＝1－2sin 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122－32，∴当cos x ＝－12时，f (x )min ＝－32， 当cos x ＝1时，f (x )max ＝3，∴该函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.9．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.(1)求f (x )的最小正周期T ； (2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)由已知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－x 2 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－π3，则T ＝2πω＝4π.(2)当2k π－π≤x 2－π3≤2k π(k ∈Z )， 即4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )时， 函数f (x )单调递增，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3(k ∈Z )． [能力提升]1．(2016·安庆期末)关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题：①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6；②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称． 其中正确的是( ) A ．②③ B ．①③ C ．①④D ．②④解：函数f (x )的最小正周期为π，故②错；f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3 ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6， 故①正确；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6＝4sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6＋π3＝0， 知函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π6，0对称， 不关于直线x ＝－π6对称， 故③正确，④错误． 【答案】 B2．(2016·常州高一检测)若函数f (x )＝sin ωx (0<ω<2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于________． 解：根据题意知f (x )在x ＝π3处取得最大值1，∴sin ωπ3＝1，∴ωπ3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝6k ＋32，k ∈Z .又0<ω<2，∴ω＝32.【答案】 323．设函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋b . (1)若a >0，求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )的值域为[1，3]，求a ，b 的值． 解：(1)由于a >0，令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4时，π3≤2x ＋π3≤5π6，则12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3≤1， 由f (x )的值域为[1，3]知： ⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋b ＝3，12a ＋b ＝1⇔⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－1； 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a ＋b ＝1，12a ＋b ＝3⇔⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝5. 综上得：⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－1或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝5.。