正弦函数和余弦函数的图像与性质

6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入 1、复习（1）函数的概念在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作()x f y =，D x ∈。

（2）三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值；当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值；当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值；根据上面规定，则,OM x MP y ==,由正弦、余弦、正切三角比的定义有：sin 1y yy MP r α====； cos 1x xx OM r α====； tan y MP AT AT x OM OAα====；这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、讲授新课【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由．1、正弦函数、余弦函数的定义（1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数图象？2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像（1）[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像【方案1】——几何描点法步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；步骤2：描点——平移定点，即描点()x x sin ,； 步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点小结：几何描点法作图精确，但过程比较繁。

【方案2】——五点法步骤1：列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标； 步骤2：描点——定出五个关键点；步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结五个点小结：[]π2,0,sin ∈=x x y 的五个关键点是()0,0、⎪⎭⎫⎝⎛1,2π、()0,π、⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23π、()0,2π。

（2）R x x y ∈=,sin 的图像由()Z k x x k ∈=+,sin 2sin π，所以函数x y sin =在区间[]πππ22,2+k k()0,≠∈k Z k 上的图像与在区间[]π2,0上的图像形状一样,只是位置不同.于是我们只要将函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像向左、右平行移动(每次平行移动π2个单位长度)，就可以得到正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像。

3、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像 （1）[]π2,0,cos ∈=x x y 的图像（2）R x x y ∈=,cos 的图像 图像平移法 由x x cos 2sin =⎪⎭⎫⎝⎛+π，可知只须将R x x y ∈=,sin 的图像向左平移2π即可。

三、例题举隅例、作出函数[]π2,0,sin 1∈+=x x y 的大致图像；【设计意图】——考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像 【解】①列表x2ππ 23π π2x sin 0 1 0 1- 0 x y sin 1+= 1 2 1 0 1②描点在直角坐标系中，描出五个关键点：()1,0、 ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2π、()1,π、⎪⎭⎫⎝⎛0,23π、()1,2π③连线练习、作出函数[]π2,0,sin 21∈-=x x y 的大致图像二、性质1．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， 分别记作：y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R2．值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin x ｜≤1， ｜cos x ｜≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］ 其中正弦函数y =sin x ，x ∈R①当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时， 取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－13．周期性由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cosx (k ∈Z )知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。

一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期。

4．奇偶性由sin(－x)＝－sinx ， cos(－x)＝cosx可知：y ＝sinx 为奇函数， y ＝cosx 为偶函数∴正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称5．单调性结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1。

余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1y =sin x y = cos x图 象定义域 R R值 域 [-1,1][-1,1]最 值当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 当且仅当x ＝－2π＋2kπ，k ∈Z 时，取得最小值－1当且仅当x ＝2k π，k ∈Z时，取得最大值1 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k∈Z 时，取得最小值－1周期性 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数单调性在闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上单调递增，；在闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上单调递减在闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上单调递增；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上单调递减典型例题（3个，基础的或中等难度）例1：求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么。

（1）y ＝cosx ＋1，x ∈R ； （2）y ＝sin2x ，x ∈R 解：（1）使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝。

∴函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2。

（2）令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且使函数y ＝sinZ ，Z ∈R 取得最大值的Z 的集合是｛Z ｜Z ＝2π＋2k π，k ∈Z ｝ 由2x ＝Z ＝2π＋2k π，得x ＝4π＋k π即 使函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝4π＋k π，k ∈Z ｝ ∴函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是1。

例2：求下列函数的单调区间 （1）y ＝－cosx （2）y=41sin(4x -3π) （3）y=3sin(3π-2x) 解：（1）由y ＝－cosx 的图象可知：单调增区间为［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z ) 单调减区间为［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z ) （2）当2k π-2π≤4x-3π≤2k π+2π， ∴函数的递增区间是[2πk -24π，2πk +245π](k ∈Z )当2k π+2π≤4x-3π≤2k π+23π∴函数的递减区间是[2πk +245π,2πk +2411π](k ∈Z )（3）当2k π-2π≤3π-2x ≤2k π+2π时，函数单调递减，∴ 函数单调递减区间是[k π-12π，k π+125π](k ∈Z )当2k π+2π≤3π-2x ≤2k π+23π时，函数单调递增，∴ 函数单调递减区间是[k π+125π，k π+1211π](k ∈Z )例3：求下列三角函数的周期：(1) y=sin(x+3π) (2) y=cos2x (3) y=3sin(2x +5π)解：(1) 令z= x+3π而 sin(2π+z)=sinz 即：f (2π+z)= f (z) f [(x+2π)+3π]=f (x+3π) ∴周期T=2π. (2)令z=2x ∴f (x )=cos2x=cosz=cos(z+2π)=cos(2x+2π)=cos[2(x+π)]即：f (x +π)=f (x ) ∴周期T=π。

(3)令z=2x +5π则 f (x )=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(2x +5π+2π)=3sin(524ππ++x )=f (x +4π) ∴周期T=4π。

注：y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期T=||2ωπ。

（四）课堂练习（2个，基础的或中等难度） 1、求使下列函数y=3-cos 2x取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么。

解：当cos2x =-1，即2x=2k π+π，k ∈Z ，∴{x|x=4k π+2π，k ∈Z }， y=3-cos 2x取得最大值。

2、求y=x 2sin 21的周期。

解：∵y=x 2sin 21=41(1-cos2x )=41-41cos2x ，∴T=π。

3、求函数y=3cos(2x+3π)的单调区间。

解：当2k π≤2x+3π≤2k π+π时，函数单调递减，∴ 函数的单调递减区间是[k π-6π，k π+3π](k ∈Z )当2k π-π≤2x+3π≤2k π时，函数单调递增，∴ 函数的单调递增区间是[k π-32π，k π-6π](k ∈Z )（五）拓展探究（2个） 1、求下列函数的周期： （1）y=sin(2x+4π)+2cos(3x-6π) （2）y=|sinx| （3）y=23sinxcosx+2cos 2x -1 解：（1）y 1=sin(2x+4π) 最小正周期T 1=π y 2=2cos(3x-6π) 最小正周期 T 2=32π∴T 为T 1 ,T 2的最小公倍数2π ∴T=2π（2）T=π（3） y=3sin2x+cos2x=2sin(2x+6π) ∴T=π 2、求下列函数的最值：（1）y=sin(3x+4π)-1 （2）y=sin 2x -4sinx+5 （3）y=x xcos 3cos 3+- 解：（1） 当3x+4π=2k π+2π即 x=1232ππ+k (k ∈Z)时，y max =0 当3x+4π=2k π-2π即x=432ππ-k (k ∈Z)时，y min =-2 （2） y=(sinx -2)2+1 ∴当x=2k π-2πk ∈Z 时，y max =10 当x=2k π-2πk ∈Z 时，y min = 2 （3） y=-1+xcos 31+ 当x=2k π+π k ∈Z 时，y max =2当x=2k π k ∈Z 时， y min =21作业一、填空题 1、函数y=cos(x -2π)的奇偶性是_________________。