2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第三章 3.2(一)一元二次不等式及其解法(一)

小结 利用根与系数的关系寻找根之间的联系，借此求出方 程的根，其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键．
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跟踪训练 2 已知 x ＋px＋q<0 等式 qx2＋px＋1>0 的解集．
解 ∵x ＋px＋q<0
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2
§3.2（一）
1 1 的解集为x|－ <x< ，求不 2 3
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§3.2（一）
所以不等式 cx －bx＋a<0
即 2ax2－5ax－3a>0.
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2
2 2 5 可变形为－ ax －－ ax＋a<0， 3 3
又因为 a<0，所以 2x2－5x－3<0，所以所求不等式的解集为 1 x|－ <x<3. 2
2
1 1 的解集为x|－2<x<3 ，
1 1 ∴－ ， 是方程 x2＋px＋q＝0 的两实数根， 2 3 1 1 1 3－2＝－p p＝6 由根与系数的关系得 ，∴ 1×－1＝q q＝－1 6 3 2 1 2 1 2 ∴不等式 qx ＋px＋1>0 可化为－ x ＋ x＋1>0， 6 6
a a a a ； x | － < x < 当 a>0 时， >－ .∴原不等式的解集为 8 7 7 8
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a a 当 a＝0 时， ＝－ ，原不等式可化为 x2<0. 7 8
∴原不等式的解集为 ∅ ；
a a a a 当 a<0 时， <－ .∴原不等式的解集为 x|7<x<－8. 7 8
解 由 ax ＋bx＋c≥0
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2
1 的解集为x|－3≤x≤2 ，
知 a<0，且关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根分别为 1 － ，2， 3
b 1 － ＋ 2 ＝－ 3 a ∴ －1×2＝c a 3 5 2 ，∴b＝－ a，c＝－ a. 3 3
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＋c (a>0)的图象在 x 轴下方 部分的点的横坐标 x 的集合． (2)从方程的观点来看： 一元二次方程的根是二次函数的图象与 x 轴交点 的横坐标， 一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集，就是大于大根，
或者小于小根 的实数的集合；ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集， _____________
②不等式－x2＋4x－3>0 的解集是________； ③不等式－x2＋4x－3<0 的解集是________．
答案 y＝－x2＋4x－3 的图象．
①{1,3}；②{x|1<x<3}；③{x|x<1 或 x>3}．
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§3.2（一）
探究 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，当 Δ＝b2－4ac>0 时， 有两个不等的实数根， 记作 x1， x2， 且 x1<x2.则当 a>0 时，
或 x>x2}；则 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为 {x|x1<x<x2} ． _______
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§3.2（一）
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探究点一 一元二次不等式的解集 问题 1 作出函数 y＝x2－x－6 的图象，根据图象完成下列 问题： ①方程 x2－x－6＝0 的解集是________； ②不等式 x2－x－6>0 的解集是________； ③不等式 x2－x－6<0 的解集是________．
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解析 ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
当 0<a<1 时，不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 或 1 时，不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠a}．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
§3.2（一）
1．不等式 2x2－x－1>0 的解集是 ( D ) 1 A．－2，1 B．(1，＋∞) 本 1 讲 C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．－∞，－2∪(1，＋∞) 栏
答案 函数 y＝x2－x－6 的图象．
①{－2,3}；②{x|x<－2 或 x>3}；③{x|－2<x<3}．
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§3.2（一）
问题 2
作出函数 y＝－x2＋4x－3 的图象， 根据图象完成下
列问题： ①方程－x2＋4x－3＝0 的解集是________；
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1－ ∴原不等式的解集为 x|x< 2 5 1＋ 5 . 或x> 2
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2
§3.2（一）
例 2 若不等式 ax ＋bx＋c≥0
1 的解集为x|－ ≤x≤2 ， 求关 3
于 x 的不等式 cx2－bx＋a<0 的解集．
即 x2－x－6<0，∴－2<x<3，
∴不等式 qx2＋px＋1>0 的解集为{x|－2<x<3}．
，
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§3.2（一）
例 3 解下列关于 x 的不等式：56x2－ax－a2<0. a a 2 2 解 56x －ax－a <0⇔(7x－a)(8x＋a)<0⇔x－7x＋8<0
2
且 a＝2>0.
1 ∴不等式 2x －3x－2≥0 的解集是{x| x≤－ 或 x≥2}． 2
2
(2)－3x2＋6x>2⇔－3x2＋6x－2>0⇔3x2－6x＋2<0， Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0. 3 3 ∴x1＝1－ ，x2＝1＋ . 3 3
∴不等式－3x2＋6x>2 的解集是{x|1－ 3 3 <x<1＋ }． 3 3
2
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
2 － b ± b －4ac ax2＋bx＋c＝0 x1,2＝ b 2a 根 x1＝x2＝－
一元二次方程 (a>0)的根
有两不等实数根
有两相等实数
没有实数根
(x1<x2)
2a
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§3.2（一）
一元 二次 不等
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ax2＋bx ＋c>0 (a>0) ax2＋bx ＋c<0 (a>0)
就是大于小根，且小于大根 的实数的集合． 一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．
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【典型例题】 例 1 求下列不等式的解集： (1)2x2－3x－2≥0； (2)－3x2＋6x>2.
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§3.2（一）
解
1 (1)∵2x －3x－2＝0 的两解为 x1＝－ ，x2＝2， 2
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§3.2（一）
【学习目标】 1．会解简单的一元二次不等式． 2． 了解一元二次不等式与二次函数、 一元二次方程之间的相
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互关系． 【学法指导】 1． 利用图象的形象直观可以准确把握三个“二次”之间的关 系，牢固地记忆相关结论． 2． 解一元二次不等式的关键是熟练掌握一元二次不等式解集 的结构特征，“对号入座”即可快速地写出其解集．
{x|x<x1 或 x>x2}
b {x∈R|x≠－ } 2a
R
式的 解集
{x|x1< x<x2}
∅
∅
注：当一元二次不等式的二次项系数 a 小于零时，通过不等 式两边同乘以－1，转化为二次项系数大于零后，再求解．
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(1)从函数的观点来看：
§3.2（一）
一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集， 就是二次函数 y ＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象在 x 轴上方部分的点的横坐标 x 的 集合；ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集，就是二次函数 y＝ax2＋bx
填一填·知识要点、记下疑难点
§3.2（一）
1．一元一次不等式 一元一次不等式经过变形， 可以化成 ax>b (a≠0)的形式． b x|x> a ； (1)若 a>0，解集为 b x|x< a . (2)若 a<0，解集为
2 2． 形如 ax ＋bx＋c>0 或 ax2＋bx＋c<0 的不等式(其中 a≠0)，
小结
含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分
类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．
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跟踪训练 3 解关于 x 的不等式 x2－(a＋a2)x＋a3>0.
§3.2（一）
解 将不等式 x2－(a＋a2)x＋a3>0 变形为(x－a)(x－a2)>0.
∵a2－a＝a(a－1)．
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§3.2（一）
解 (1)由－2x2－x＋1>0，得 2x2＋x－1<0， 1 因式分解得(x＋1)(2x－1)<0，∴－1<x< . 2 1 即不等式的解集为x|－1<x<2 .
(2)(x＋3)(2－x)≤4⇔(x＋3)(x－2)≥－4 ⇔x2＋x－6≥－4⇔x2＋x－2≥0⇔(x＋2)(x－1)≥0 ∴原不等式的解集为{x|x≤－2 或 x≥1}．