2021-2022年高一上学期期中考试数学试题(无答案)(III)
2021-2022学年山东省泰安市肥城市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年山东省泰安市肥城市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={1，√3，3}，B ＝{1，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅ B ．{√3} C ．{1，3} D ．{1，√3，3}2．设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞3n ﹣1，则p 的否定为（ ） A ．∀n ∉N ，n 2≤3n ﹣1 B ．∃n ∉N ，n 2＞3n ﹣1C ．∀n ∈N ，n 2≤3n ﹣1D ．∃n ∈N ，n 2≤3n ﹣13．已知﹣2≤a ≤4，1≤b ≤3，则a ﹣2b 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，﹣2] B ．[﹣3，1] C ．[﹣8，2] D ．[﹣7，7]4．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝x 2与f(x)=(√x)4B ．f(x)={x ，x ≥0−x ，x ＜0与g （t ）＝|t |C ．y =√x 2−1与y =√x +1⋅√x −1D ．f （x ）＝x ﹣1与g(x)=x 2x−15．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增，若f （m ）＞f （1），则m 的取值范围为（ ） A ．m ＞1 B ．m ＜﹣1 C ．﹣1＜m ＜1 D ．m ＞1或m ＜﹣16．已知a ≥0，设P =√a +1−√a ，Q =√a +2−√a +1，则（ ） A ．P ＞Q B ．P ≥Q C ．P ＜Q D ．P ≤Q7．设函数f(x)=x +4x，则（ ） A ．f （x ）的最大值为﹣4B ．f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减C ．f （x ）的最小值为4D ．f （x ）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减8．已知函数f(x)={x 2+(32m −1)x +8，x ＜2−m+1x，x ≥2是R 上的减函数，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＜﹣1 B ．m ≥﹣2 C ．﹣3≤m ≤﹣2 D ．﹣2＜m ＜﹣1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知U 为全集，则下列说法正确的是（ ） A ．若A ∩B ＝∅，则（∁U A ）∪（∁U B ）＝UB ．若A ∪B ＝∅，则A ＝B ＝∅C ．若A ∪B ＝∅，则（∁U A ）∩（∁U B ）＝UD ．若A ∩B ＝∅，则A ＝∅或B ＝∅10．命题“∃x ∈[1，2]，2x 2﹣a ≤0”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ≥2 B ．a ≥0 C ．a ≥1 D ．a ≤2√211．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣3＜x ＜2}，下列说法正确的是（ ） A ．a ＜0B ．a +b +c ＞0C ．不等式bx +c ＞0的解集为{x |x ＞6}D ．不等式cx 2+bx +a ＜0的解集为{x|−13＜x ＜12}12．若函数f （x ）同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0；②对于定义域上的任意x 1、x 2，当x 1≠x 2时，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．则称函数f （x ）为“理想函数”．给出下列四个函数，能被称为“理想函数”的有（ ） A ．f(x)=1xB ．f （x ）＝﹣x 3C ．f(x)={−x 2(x ≥0)x 2(x ＜0)D ．函数f （x ）满足f(x −1x)=x 2+1x 2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数y ＝f （x ）的图象经过点(2，12)，则f （x ）＝ ．14．已知函数f （x ）的定义域是[0，1]，值域是[1，2]，则这样的函数可以是f （x ）＝．15．2021年是中国共产党成立100周年，某中学为了庆祝建党100周年，组织了一系列活动，体育比赛就是其中一项．已知该中学有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数是名．16．已知a＞0，b＞0，c＞0，a2﹣ab+9b2﹣5c＝0，则cab 的最小值是.当cab取最小值时，m2−3m≥a+b−13c恒成立，则m的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设a、b、c∈R．证明：a2+b2+c2＝ab+bc+ca的充要条件是a＝b＝c．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x（2﹣x）＞0}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）当m＝1时，求∁U（A∪B）；（2）若B≠∅，且B⊆A，求m的取值范围．19．（12分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（1﹣x）．（1）求f[f（2）]的值；（2）求f（x）在R上的解析式．20．（12分）已知函数g(x)=x2+k(k∈R)．x（1）讨论g（x）的奇偶性；（2）当k＝2时，判断g（x）在[1，+∞）上的单调性，并给出证明．21．（12分）2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战．某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游．2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点．该村原有400户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为4万元．调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业．据统计，若动员x（x＞0，x∈N）户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高x100，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为4(a−x25)(a＞0)万元．在动员x户从事乡村旅游后，还要确保剩下的400﹣x户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先400户从事种植的所有农户年总收入．（1）求x的取值范围；（2）要使从事乡村旅游的这x户的年总收入始终不高于400﹣x户从事种植业的所有农户年总收入，求a的最大值．（参考数据：√3≈115.5，400115≈3.48，400116≈3.45．）22．（12分）若f（x）是定义在R上的二次函数，对称轴x=−1，且f（1）＝3，f（0）＝1．2（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）＝kx2+2kx+1（k≠0），若对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣1，2]，f（x1）＝g（x2），求实数k的取值范围．2021-2022学年山东省泰安市肥城市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={1，√3，3}，B ＝{1，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{√3}C ．{1，3}D ．{1，√3，3}解：∵集合A ={1，√3，3}，B ＝{1，3}， ∴A ∩B ＝{1，3}． 故选：C ．2．设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞3n ﹣1，则p 的否定为（ ） A ．∀n ∉N ，n 2≤3n ﹣1 B ．∃n ∉N ，n 2＞3n ﹣1C ．∀n ∈N ，n 2≤3n ﹣1D ．∃n ∈N ，n 2≤3n ﹣1解：命题是特称命题，则否定是全称命题， 即∀n ∈N ，n 2≤3n ﹣1， 故选：C ．3．已知﹣2≤a ≤4，1≤b ≤3，则a ﹣2b 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，﹣2]B ．[﹣3，1]C ．[﹣8，2]D ．[﹣7，7]解：∵1≤b ≤3，∴﹣6≤﹣2b ≤﹣2， 又﹣2≤a ≤4，∴﹣8≤a ﹣2b ≤2． 故a ﹣2b 的取值范围是[﹣8，2]． 故选：C ．4．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝x 2与f(x)=(√x)4B ．f(x)={x ，x ≥0−x ，x ＜0与g （t ）＝|t |C ．y =√x 2−1与y =√x +1⋅√x −1D ．f （x ）＝x ﹣1与g(x)=x 2x −1解：对于A ，f （x ）＝x 2的定义域为R ，g （x ）=(√x)4=x 2的定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数．对于B，f（x）={x，x≥0−x，x＜0的定义域为R，g（t）＝|t|={t，t≥0−t，t＜0，的定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．对于C，y=√x2−1的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），y=√x+1•√x−1=√x2−1的定义域为[1，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数．对于D，f（x）＝x﹣1的定义域为R，g（x）=x2x−1＝x﹣1的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数．故选：B．5．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，若f（m）＞f（1），则m的取值范围为（）A．m＞1B．m＜﹣1C．﹣1＜m＜1D．m＞1或m＜﹣1解：因为f（x）为偶函数，则不等式f（m）＞f（1）可变形为f（|m|）＞f（1），又f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以|m|＞1，解得m＜﹣1或m＞1，所以实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：D．6．已知a≥0，设P=√a+1−√a，Q=√a+2−√a+1，则（）A．P＞Q B．P≥Q C．P＜Q D．P≤Q解：∵√a+2+√a+1＞√a+1+√a，∴√a+2+√a+1√a+1+√a，即√a+2−√a+1＜√a+1−√a，即Q＜P，故选：A．7．设函数f(x)=x+4x，则（）A．f（x）的最大值为﹣4B．f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减C．f（x）的最小值为4D．f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减解：函数f(x)=x+4x的定义域为{x|x≠0}，其图象如图所示：由图象可知，对于A ，f （x ）无最大值，故选项A 错误；对于B ，f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，故选项B 正确； 对于C ，f （x ）无最小值，故选项C 错误；对于D ，f （x ）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故选项D 错误． 故选：B ．8．已知函数f(x)={x 2+(32m −1)x +8，x ＜2−m+1x ，x ≥2是R 上的减函数，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ≥﹣2C ．﹣3≤m ≤﹣2D ．﹣2＜m ＜﹣1解：函数f(x)={x 2+(32m −1)x +8，x ＜2−m+1x，x ≥2是R 上的减函数，则{1−3m 22≥2m +1＜04+(32m −1)×2+8≥−m+12， 解得﹣3≤m ≤﹣2，即实数m 的取值范围是[﹣3，﹣2]， 故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知U 为全集，则下列说法正确的是（ ）A ．若A ∩B ＝∅，则（∁U A ）∪（∁U B ）＝UB ．若A ∪B ＝∅，则A ＝B ＝∅C ．若A ∪B ＝∅，则（∁U A ）∩（∁U B ）＝UD ．若A ∩B ＝∅，则A ＝∅或B ＝∅解：对于A ，当A ∩B ＝∅时，（∁U A ）∪（∁U B ）＝∁U （A ∩B ）＝U ，选项A 正确； 对于B ，当A ∪B ＝∅时，显然有A ＝B ＝∅，选项B 正确；对于C ，当A ∪B ＝∅时，（∁U A ）∩（∁U B ）＝∁U （A ∪B ）＝U ，选项C 正确；对于D ，当A ∩B ＝∅时，说明集合A 与B 没有公共元素，但A 、B 不一定是空集，选项D 错误． 故选：ABC ．10．命题“∃x ∈[1，2]，2x 2﹣a ≤0”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ≥2B ．a ≥0C ．a ≥1D ．a ≤2√2解：命题“∃x ∈[1，2]，2x 2﹣a ≤0”为真命题， 则a ≥（2x 2）min ，x ∈[1，2]， ∴a ≥2．∴命题“∃x ∈[1，2]，2x 2﹣a ≤0”为真命题的一个必要不充分条件是：a ≥0或a ≥1． 故选：BC ．11．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣3＜x ＜2}，下列说法正确的是（ ） A ．a ＜0 B ．a +b +c ＞0C ．不等式bx +c ＞0的解集为{x |x ＞6}D ．不等式cx 2+bx +a ＜0的解集为{x|−13＜x ＜12}解：根据已知条件可知{a ＜0−3+2=−ba −3×2=ca ，可得b ＝a ，c ＝﹣6a ，所以a +b +c ＝﹣4a ＞0，故A ，B 选项正确；对于C 选项bx +c ＞0，化简可得x ＜6，故C 选项错误； 对于D 选项cx 2+bx +a ＜0，化简可得6x 2﹣x ﹣1＜0， 解得−13＜x ＜12，故D 选项正确． 故选：ABD ．12．若函数f （x ）同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0；②对于定义域上的任意x 1、x 2，当x 1≠x 2时，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．则称函数f （x ）为“理想函数”．给出下列四个函数，能被称为“理想函数”的有（ ） A ．f(x)=1xB ．f （x ）＝﹣x 3C ．f(x)={−x 2(x ≥0)x 2(x ＜0)D ．函数f （x ）满足f(x −1x )=x 2+1x 2解：对于①：对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0，则f （x ）为奇函数； 对于②：对于定义域上的任意x 1、x 2，当x 1≠x 2时，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则f （x ）为减函数．对于A ，函数f(x)=1x为奇函数，但不是定义域上的单调减函数，故选项A 错误； 对于B ，函数f （x ）＝﹣x 3为奇函数，且在定义域R 上为单调减函数，故选项B 正确； 对于C ，函数f(x)={−x 2(x ≥0)x 2(x ＜0)的图象如图所示，所以f （x ）为奇函数，且在定义域R 上为单调减函数，故选项C 正确． 对于D ，函数f （x ）满足f(x −1x)=x 2+1x 2=(x −1x )2+2，所以f （x ）＝x 2+2，函数f （x ）为偶函数，故选项D 错误． 故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知幂函数y ＝f （x ）的图象经过点(2，12)，则f （x ）＝1x．解：设幂函数f （x ）＝x α，根据图象经过点(2，12)，可得2α=12，∴α＝﹣1，则f （x ）＝x ﹣1=1x， 故答案为：1x ．14．已知函数f （x ）的定义域是[0，1]，值域是[1，2]，则这样的函数可以是f （x ）＝ x +1（答案不唯一） ． 解：∵函数f （x ）的定义域是[0，1]，值域是[1，2]， ∴函数f （x ）的一个解析式可以是：f （x ）＝x +1．故答案为：f（x）＝x+1（答案不唯一）．15．2021年是中国共产党成立100周年，某中学为了庆祝建党100周年，组织了一系列活动，体育比赛就是其中一项．已知该中学有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数是46名．解：设该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数是x名，则只喜欢足球的学生数为60﹣x，只喜欢游泳的学生数为82﹣x，所以60﹣x+82﹣x+x＝96，解得x＝46名，故答案为：46．16．已知a＞0，b＞0，c＞0，a2﹣ab+9b2﹣5c＝0，则cab的最小值是1.当cab取最小值时，m2−3m≥a+b−13c恒成立，则m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．解：因为a2﹣ab+9b2﹣5c＝0，即a2+9b2﹣ab＝5c所以5cab =a2+9b2ab−1=ab+9ba−1≥2√ab⋅9ba−1＝5，当且仅当ab=9ba，即a＝3b时，等号成立，所以cab的最小值是1，当cab 取最小值时，有cab=1，a＝3b，所以c＝3b2，所以m2−3m≥a+b−13c恒成立等价于m2﹣3m≥3b+b−13•3b2＝﹣b2+4b，令f（b）＝﹣b2+4b＝﹣（b﹣2）2+4，则原问题转化为m2﹣3m≥f（b）max，当b＝2时，f（b）max＝4，所以m2﹣3m≥4，解得m≤﹣1或m≥4，所以m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故答案为：1；（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设a、b、c∈R．证明：a2+b2+c2＝ab+bc+ca的充要条件是a＝b＝c．证明：（1）必要性：如果a2+b2+c2＝ab+bc+ca，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0所以（a ﹣b ）＝0，（b ﹣c ）＝0，（c ﹣a ）＝0． 即a ＝b ＝c ．（2）充分性：若a ＝b ＝c ．所以（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2＝0 所以a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ca ＝0 所以a 2+b 2+c 2＝ab +bc +ca综上可知：a 2+b 2+c 2＝ab +bc +ca 的充要条件是a ＝b ＝c ．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x （2﹣x ）＞0}，B ＝{x |2m ﹣1≤x ≤m +1}． （1）当m ＝1时，求∁U （A ∪B ）；（2）若B ≠∅，且B ⊆A ，求m 的取值范围．解：（1）集合A ＝{x |x （2﹣x ）＞0}＝{x |x （x ﹣2）＜0}＝{x |0＜x ＜2}， m ＝1时，集合B ＝{x |1≤x ≤2}，所以A ∪B ＝{x |0＜x ≤2}， 又全集U ＝R ，所以∁U （A ∪B ）＝{x |x ≤0或x ＞2}；（2）若B ≠∅，且B ⊆A ，则{2m −1≤m +12m −1＞0m +1＜2，解得12＜m ＜1，所以m 的取值范围是（12，1）．19．（12分）已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x （1﹣x ）． （1）求f [f （2）]的值；（2）求f （x ）在R 上的解析式．解：（1）f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x （1﹣x ）， 可得f （2）＝2×（1﹣2）＝﹣2，f （﹣2）＝﹣f （2）＝2，即有f [f （2）]＝2； （2）设x ＜0，则﹣x ＞0，当x ≥0时，f （x ）＝x （1﹣x ），且f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝x （1+x ）， 所以f （x ）的解析式为f （x ）={x(1+x)，x ＜0x(1−x)，x ≥0．20．（12分）已知函数g(x)=x 2+kx (k ∈R)． （1）讨论g （x ）的奇偶性；（2）当k ＝2时，判断g （x ）在[1，+∞）上的单调性，并给出证明． 解：（1）g （x ）＝x 2+kx （x ≠0），定义域关于原点对称，当k＝0时，g（x）＝x2（x≠0），有g（﹣x）＝g（x），g（x）为偶函数；当k≠0，g（﹣x）＝x2−kx≠g（x），且g（﹣x）≠﹣g（x），g（x）为非奇非偶函数．综上可得，k＝0时，g（x）为偶函数；k≠0时，g（x）为非奇非偶函数；（2）当k＝2时，g（x）＝x2+2x在[1，+∞）上为增函数．证明：设x1＞x2≥1，g（x1）﹣g（x2）＝x12+2x1−x22−2x2=（x1﹣x2）（x1+x2−2x1x2），由x1＞x2≥1，可得x1﹣x2＞0，x1+x2＞2，2x1x2∈（0，2），可得g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），所以g（x）＝x2+2x在[1，+∞）上为增函数．21．（12分）2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战．某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游．2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点．该村原有400户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为4万元．调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业．据统计，若动员x（x＞0，x∈N）户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高x100，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为4(a−x25)(a＞0)万元．在动员x户从事乡村旅游后，还要确保剩下的400﹣x户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先400户从事种植的所有农户年总收入．（1）求x的取值范围；（2）要使从事乡村旅游的这x户的年总收入始终不高于400﹣x户从事种植业的所有农户年总收入，求a的最大值．（参考数据：√3≈115.5，400115≈3.48，400116≈3.45．）解（1）依题意可得，4（400﹣x）（1+x100）≥4×400，整理可得x2﹣300x≤0，解得0≤x≤300，又∵x＞0，x∈N*，∴x的取值范围为{x|0≤300，x∈N*}．（2）从事生猪养殖的x户农民年总收入为4(a−x25)x万元，（400﹣x）户从事茶叶种植的农民总年收入为4(400−x)(1+x100)万元，由题意可得，4(a−x25)x≤4(400−x)(1+x100)（0＜x≤300，x∈N*，a＞0）恒成立，即ax≤400+3x+3x2100恒成立，即a≤400x+3x100+3恒成立，∵函数y =400x +3x 100+3 在(02003) 上单调递减，在（√3，300]上单调递增，∴当x =2003时，y 最小， 又∵x ∈N *，∴x ＝115或x ＝116， 当x ＝115时，y =400115+3×115100+3≈3.48+3.45+3=9.93， 当x ＝116时，y =400116+3×116100+3≈3.45+3.48+3＝9.93， ∴0＜a ≤9.93，故a 的最大值为9.93．22．（12分）若f （x ）是定义在R 上的二次函数，对称轴x =−12，且f （1）＝3，f （0）＝1． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）设函数g （x ）＝kx 2+2kx +1（k ≠0），若对∀x 1∈[﹣2，2]，∃x 2∈[﹣1，2]，f （x 1）＝g （x 2），求实数k 的取值范围．解：（1）设f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），∵对称轴x =−12，f （1）＝3，f （0）＝1，∴{−b 2a =−12a +b +c =3c =1，∴{a =1b =1c =1，∴f （x ）＝x 2+x +1．（2）由于对任意的x 1∈[﹣2，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立， 所以f （x ）的值域为g （x ）的值域的子集，而由（1）知f （x ）=(x +12)2+34∈[34，7]，x ∈[﹣2，2]，①当k ＞0时，函数g （x ）＝kx 2+2kx +1（k ≠0）的对称轴为x ＝﹣1，∴g （x ）在[﹣1，2]上递增，∴g （x ）∈[1﹣k ，8k +1]，∴{1−k ≤348k +1≥7，∴k ≥34，②当k ＜0时，g （x ）在[﹣1.2]上递减，g （x ）∈[8k +1，1﹣k ]，∴{8k +1≤341−k ≥7，∴k ≤﹣6， 综上所述，k ∈（﹣∞，﹣6]∪[34，+∞）．。
2021-2022学年北京市首师大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年北京市首师大附中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题（每小题5分，共50分。
）1．下列所给元素与集合的关系正确的是（ ）A ．π∈RB ．0∈N *C ．√2∈QD ．|﹣5|∉Z2．已知集合A ＝{﹣1，1}，B ＝{﹣1，0，1，2}，那么A ∩B 等于（ ）A ．{0，1}B ．{0}C ．{﹣1，1}D ．{﹣1，0，1，2}3．已知a ＞b ，c ＞d ，下列不等式中必成立的一个是（ ）A ．a +c ＞b +dB ．a ﹣c ＞b ﹣dC ．ac ＞bdD ．a c ＞b d4．命题“对任意a ∈R ，都有a 2≥0”的否定为（ ）A ．对任意a ∈R ，都有a 2＜0B ．对任意a ∈R ，都有a 2＜0C ．存在a ∈R ，使得a 2＜0D ．存在a ∉R ，使得a 2＜05．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2B ．f(x)=x +1，g(x)=x 2−1x−1C ．f （x ）＝x 2，g （x ）＝（x +1）2D ．f(t)=|t|，g(x)=√x 26．“x ＝2”是“x 2＝4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）A ．如果a ＝b ，那么a +c ＝b ﹣cB ．如果a 2＝6a ，那么a ＝6C ．如果a ＝b ，那么a c =b cD ．如果a c =b c ，那么a ＝b8．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则（ ）A ．A ⫋B B ．B ⫋AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅9．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3+ax +b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A ．方程x 3+ax +b ＝0没有实根B ．方程x 3+ax +b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3+ax +b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3+ax +b ＝0恰好有两个实根10．关于x 的不等式x 2﹣2ax ﹣8a 2＜0（a ＞0）的解集为（x 1，x 2），且x 2﹣x 1＝15，则a ＝（ ）A ．52B ．72C ．154D ．152二、填空题（每小题5分，共25分）11．函数f(x)=√x 1−x 的定义域是 ．12．已知x ＞0，y ＞0，x +y ＝3，则xy 的最大值为 ．13．能说明“若a ＞b ，则a 2＞b 2”为假命题的一组a ，b 的值依次为 ．14．定义运算“⊗”x ⊗y =x 2−y 2xy （x ，y ∈R ，xy ≠0）．当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y +（2y ）⊗x 的最小值为 ．15．顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 个工作日．三.计算题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）16．（15分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}和集合B＝{x||x﹣2|＜2}．求：（1）A∩B；（2）A∪B；（3）（∁R A）∩B．17．（15分）（1）比较1与2xx 2+1的大小；（2）求方程组{4x 2−9y 2=152x −3y =5的解集； （3）已知数轴上，A （x ），B （﹣1），且线段AB 的中点到原点的距离大于5，求x 的取值范围．18．（15分）（1）求不等式x2+4x+1＞0的解集；（2）解不等式：（x﹣a）（x﹣2）＞0；（3）关于x的不等式ax2+ax+1＞0的解集为R，求实数a的取值范围．19．（14分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．20．（12分）设集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，若（2，1）∈A，求a的取值范围．21．（14分）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系分别为s甲=1 100v2−110v，s乙=1200v2−120v．试判断甲、乙两车有无超速现象．2021-2022学年北京市首师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题5分，共50分。
2021-2022学年山东省青岛市四区市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年山东省青岛市四区市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝{x |x 2﹣4x ＜0}，B ＝{0，1，2，3，4}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1，2，3} B ．{1，2，3} C ．{1，2，3，4} D ．{0，1，2，3，4}2．函数f(x)=√2x −8+1x−3的定义域是（ ） A ．（3，+∞） B ．[3，+∞） C ．（4，+∞） D ．[4，+∞）3．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据V 和五分记录法的数据L 满足V ＝10L ﹣5，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（注：√1010≈1.25） A ．0.6 B ．0.8 C ．1.2 D ．1.54．已知函数f （x ）和g （x ）的定义域为{2，3，4，5}，其对应关系如表，则g （f （x ））的值域为（ ）A ．{2，3}B ．{2，4}C ．{3，4}D ．{2，3，4}5．若a =(12)32，b =(34)14，c =(34)34，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞a D ．c ＞b ＞a6．已知函数f(x)={(2−a)x +1，x ≥1a x，x ＜1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．1＜a ＜32C ．1＜a ＜2D ．1＜a ≤327．已知函数f （x ）为偶函数，且对任意互不相等的x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，且f （﹣2）＝0，则xf （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣2，0）∪（2，+∞）8．已知函数f （x ）为实数集上的增函数，且满足f （f （x ）﹣2x ）＝3，则f （2）＝（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的为（ ） A ．f （x ）＝|x | B ．f （x ）＝x 3 C ．f （x ）＝2|x |D ．f(x)=1x 210．已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则（ ） A ．1a ＜1bB ．(12)a＜(12)b C ．3a ﹣b ＜1 D ．a 3＞b 311．已知幂函数f （x ）的图象经过点(2，√2)，则下列命题正确的是（ ） A ．函数f （x ）为增函数 B ．函数f （x ）的值域为[0，+∞）C ．函数f （x ）为奇函数D ．若0＜x 1＜x 2，则f(x 1+x 22)＞f(x 1)+f(x 2)212．下列说法正确的是（ ） A ．“若2a ＞2b ，则a 2＞b 2”是真命题B ．已知集合A ，B 均为实数集R 的子集，且∁R B ⊆A ，则（∁R A ）∪B ＝BC ．对于函数y ＝f （x ），x ∈R ，“y ＝f （x +1）是偶函数”是“y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝1轴对称”的充要条件D ．若命题“∃x ∈R ，x 2﹣mx +1＜0”的否定是真命题，则实数m 的取值范围是﹣2≤m ≤2三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．计算4×(16)−12+(2√2)43−√33×913=．14．已知函数f（x）＝（e x+ke﹣x）x2的图象关于原点中心对称，则实数k＝．15．已知0＜x＜54，则√x(5−4x)的最大值为．16．在1872年，“戴金德分割”结束了持续2000多年的数学史上的第一次危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足A∪B＝Q，A∩B＝∅，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，则称这样的A与B为戴金德分割，请给出一组满足A无最大值且B无最小值的戴金德分割．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知全集U＝R，集合A={x∈R|13＜(13)x＜9}，集合B＝{x∈R|x2﹣2x﹣a≤0}，集合C＝{x∈R|m﹣1＜x＜2m}，A∩B＝{x∈R|﹣1≤x＜1}．（1）求集合B；（2）求（∁R B）∪A；（3）若B∪C＝B，求实数m的取值范围．18．（12分）已知偶函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f(−2)=32，当x∈（0，+∞）时，函数f(x)=x−m x．（1）求实数m的值；（2）当x∈（﹣∞，0）时，求函数f（x）的解析式；（3）利用定义判断并证明函数f（x）在区间（0，+∞）的单调性．19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（m+2）x+2m，m∈R．（1）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（2）若f（x）在（﹣∞，3）上单调递减，求实数m的取值范围；（3）解关于x的不等式f（x）＞0．20．（12分）某科研单位在研发某种合金产品的过程中发现了一种新型合金材料，由大数据分析得到该产品的性能指标值y（y值越大产品性能越好）与这种新型合金材料的含量x（单位：克）的关系：当0≤x＜8时，y是x的二次函数；当x≥8时，y=(1)x−t．测得的部分数据如表所示：2（1）求y关于x的函数解析式；（2）求该新型合金材料的含量x为何值时产品性能达到最佳．21．（12分）已知函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）＝3x+1+31﹣x．（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意的x∈R，不等式f（2x）﹣mf（x）+6≥0恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）若对于任意x1，x2∈R，使得x1﹣x2∈W，都有f（x1）﹣f（x2）∈W，则称f（x）是W陪伴的．（1）判断f（x）＝3x﹣1是否为[0，+∞）陪伴的，并证明；（2）若f（x）＝a x（a＞0，a≠1）是[0，+∞）陪伴的，求a的取值范围；（3）若f（x）是{2}陪伴的，且是（0，+∞）陪伴的，求证：f（x）是（2，4）陪伴的．2021-2022学年山东省青岛市四区市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．{1，2，3，4}D．{0，1，2，3，4}解：集合A＝{x|x2﹣4x＜0}＝{x|0＜x＜4}，B＝{0，1，2，3，4}，所以A∩B＝{1，2，3}．故选：B．2．函数f(x)=√2x−8+1x−3的定义域是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（4，+∞）D．[4，+∞）解：由题意得：{2x−8≥0x−3≠0，解得：x＞3，故函数的定义域是（3，+∞），故选：A．3．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据V和五分记录法的数据L满足V＝10L﹣5，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（注：√1010≈1.25）A．0.6B．0.8C．1.2D．1.5解：在V＝10L﹣5中，L＝4.9，所以V＝104.9﹣5，即lgV＝﹣0.1，解得V＝10﹣0.1=1100.1=11010=11.25≈0.8，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．故选：B．4．已知函数f（x）和g（x）的定义域为{2，3，4，5}，其对应关系如表，则g（f（x））的值域为（）解：g （f （2））＝g （4）＝2，g （f （3））＝g （2）＝4，g （f （4））＝g （5）＝4，g （f （5））＝g （2）＝4，所以g （f （x ））的值域为{2，4}． 故选：B ．5．若a =(12)32，b =(34)14，c =(34)34，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞b ＞a解：∵y =(34)x 在R 上是减函数，∴(34)14＞(34)34＞(34)1=34＞12， 又∵(12)32＜(12)1=12，∴(34)14＞(34)34＞(12)32， 即b ＞c ＞a ， 故选：C ．6．已知函数f(x)={(2−a)x +1，x ≥1a x ，x ＜1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．1＜a ＜32C ．1＜a ＜2D ．1＜a ≤32解：∵函数f （x ）在R 上单调递增，∴当x ≥1，x ＜1分别递增，∴{2−a ＞01＜a(2−a)×1+1≥a 1，解得：1＜a ≤32．故选：D ．7．已知函数f （x ）为偶函数，且对任意互不相等的x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，且f （﹣2）＝0，则xf （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣2，0）∪（2，+∞）解：因为对任意互不相等的x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，所以函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增， 不等式xf （x ）＜0，即{x ＞0f(x)＜0或{x ＜0f(x)＞0，又f （x ）为偶函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上为单调递减函数，且f（﹣2）＝f（2）＝0，则{x＞0f(x)＜f(2)或{x＜0f(x)＞f(−2)，解得0＜x＜2或x＜﹣2，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故选：A．8．已知函数f（x）为实数集上的增函数，且满足f（f（x）﹣2x）＝3，则f（2）＝（）A．3B．4C．5D．6设f（x）﹣2x＝a，则f（x）＝2x+a，∴f（a）＝3，∴f（a）＝2a+a＝3，∴a＝1．∴f（x）＝2x+1，∴f（2）＝5，故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的为（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x3C．f（x）＝2|x|D．f(x)=1x2解：对于A，函数为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故选项A正确；对于B，函数为奇函数，故选项B错误；对于C，函数为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故选项C正确；对于D，函数为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故选项D错误．故选：AC．10．已知a，b∈R且a＞b，则（）A．1a ＜1bB．(12)a＜(12)bC．3a﹣b＜1D．a3＞b3解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但1a ＞1b，故A错误，对于B，∵y＝f（x）=(12)x在R上单调递减，又∵a＞b，∴f（a）＜f（b），即(12)a＜(12)b，故B正确，对于C，∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴3a﹣b＞30＝1，故C错误，对于D，y＝g（x）＝x3在R上单调递增，∵a＞b，∴g（a）＞g（b），即a3＞b3，故D正确．故选：BD．11．已知幂函数f（x）的图象经过点(2，√2)，则下列命题正确的是（）A．函数f（x）为增函数B．函数f（x）的值域为[0，+∞）C．函数f（x）为奇函数D．若0＜x1＜x2，则f(x1+x22)＞f(x1)+f(x2)2解：设幂函数的解析式为：f（x）＝xα，代入（2，√2），得α=12，故f（x）=√x，α=12＞0，故A正确；函数f（x）在[0，+∞）单调递增，故f（x）的最小值是0，函数的值域是[0，+∞），故B正确；函数f（x）的定义域不关于原点对称，故函数f（x）不是奇函数，故C错误；根据函数是凸函数，得D正确；故选：ABD．12．下列说法正确的是（）A．“若2a＞2b，则a2＞b2”是真命题B．已知集合A，B均为实数集R的子集，且∁R B⊆A，则（∁R A）∪B＝BC．对于函数y＝f（x），x∈R，“y＝f（x+1）是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于直线x＝1轴对称”的充要条件D．若命题“∃x∈R，x2﹣mx+1＜0”的否定是真命题，则实数m的取值范围是﹣2≤m≤2解：2a＞2b⇒a＞b，取a＝0，b＝﹣1，则a2＞b2不成立，故A错误；集合A，B均为实数集R的子集，且∁R B⊆A，则∁R A）⊆B，故（∁R A）∪B＝B，故B正确；函数y＝f（x），x∈R，y＝f（x+1）是偶函数，则y＝f（x+1）的图像关于y轴对称，向右平移1个单位得y＝f（x）图像，所以y＝f（x）关于x＝1对称；反之若y＝f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，向左平移1个单位得y＝f（x+1）的图像，则y＝f（x+1）关于y轴对称，故y＝f（x+1）是偶函数，故C正确；命题“∃x ∈R ，x 2﹣mx +1＜0”的否定是：∀x ∈R ，x 2﹣mx +1≥0，若为真命题，只需Δ＝m 2﹣4≤0，解得﹣2≤m ≤2，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．计算4×(1625)−12+(2√2)43−√33×913= 6 ． 解：原式＝4×54+232×43−313×323=5+4﹣3＝6． 故答案为：6．14．已知函数f （x ）＝（e x +ke ﹣x ）x 2的图象关于原点中心对称，则实数k ＝ ﹣1 ．解：函数f （x ）＝（e x +ke ﹣x ）x 2的图象关于原点中心对称，可得f （x ）为R 上的奇函数． 由y ＝x 2为偶函数，可得g （x ）＝e x +ke﹣x为R 上的奇函数．则g （0）＝0，即1+k ＝0，解得k ＝﹣1． 故答案为：﹣1．15．已知0＜x ＜54，则√x(5−4x)的最大值为54．解：由0＜x ＜54，得0＜5﹣4x ＜5， 所以√x(5−4x)=√14×4x ⋅(5−4x)≤12√(4x+5−4x 2)2=54， 当且仅当4x ＝5﹣4x ，即x =58时等号成立， 所以√x(5−4x)的最大值为54．故答案为：54．16．在1872年，“戴金德分割”结束了持续2000多年的数学史上的第一次危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空子集A 与B ，且满足A ∪B ＝Q ，A ∩B ＝∅，A 中的每一个元素都小于B 中的每一个元素，则称这样的A 与B 为戴金德分割，请给出一组满足A 无最大值且B 无最小值的戴金德分割 A ＝{x ∈Q |x ＜π}，B ＝{x ∈Q |x ≥π} ．解：根据题意只要以无理数作为分界定出一组即可满足题意：如A ＝{x ∈Q |x ＜π}，B ＝{x ∈Q |x ≥π}． 故答案为：A ＝{x ∈Q |x ＜π}，B ＝{x ∈Q |x ≥π}．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知全集U ＝R ，集合A ={x ∈R|13＜(13)x ＜9}，集合B ＝{x ∈R |x 2﹣2x ﹣a ≤0}，集合C ＝{x ∈R |m ﹣1＜x ＜2m }，A ∩B ＝{x ∈R |﹣1≤x ＜1}．（1）求集合B ； （2）求（∁R B ）∪A ；（3）若B ∪C ＝B ，求实数m 的取值范围． 解：（1）∵13＜(13)x ＜9，∴13＜(13)x ＜(13)−2，∴﹣2＜x ＜1，∴集合A ＝{x ∈R |﹣2＜x ＜1}， 又∵A ∩B ＝{x ∈R |﹣1≤x ＜1}， ∴﹣1是方程x 2﹣2x ﹣a ＝0的根， ∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣a ＝0得a ＝3， 由x 2﹣2x ﹣3≤0得﹣1≤x ≤3， ∴集合B ＝{x ∈R |﹣1≤x ≤3}；（2）由（1）得，∁R B ＝{x |x ＜﹣1或x ＞3}； ∴（∁R B ）∪A ＝{x |x ＜1或x ＞3}； （3）∵B ∪C ＝B ，∴C ⊆B ，①当m ﹣1≥2m ，即m ≤﹣1时，C ＝∅，满足题意， ②当m ﹣﹣1＜2m ，即m ＞﹣1时， ∵C ⊆B ，∴{m −1≥−12m ≤3，解得0≤m ≤32，综上，所求实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[0，32]．18．（12分）已知偶函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f(−2)=32，当x ∈（0，+∞）时，函数f(x)=x −mx ． （1）求实数m 的值；（2）当x ∈（﹣∞，0）时，求函数f （x ）的解析式；（3）利用定义判断并证明函数f （x ）在区间（0，+∞）的单调性． 解：（1）因为函数f （x ）为偶函数，且f(−2)=32， 所以f(2)=2−m2=32，解得m ＝1．（2）设x ∈（﹣∞，0），则﹣x ∈（0，+∞），f(−x)=−x +1x ，因为函数f （x ）为偶函数，所以f(x)=f(−x)=−x +1x， 所以当x ∈（﹣∞，0）时，f(x)=−x +1x ． （3）f （x ）在区间（0，+∞）上为单调递增函数． 证明：设x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=x 1−1x 1−(x 2−1x 2)=(x 1−x 2)+x 1−x 2x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1x 2+1)x 1x 2， 因为x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2， 所以x 1﹣x 2＜0，x 1x 2＞0，x 1x 2+1＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在区间（0，+∞）上为单调递增函数． 19．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣（m +2）x +2m ，m ∈R ．（1）若f （x ）≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若f （x ）在（﹣∞，3）上单调递减，求实数m 的取值范围； （3）解关于x 的不等式f （x ）＞0．解：（1）因为f （x ）≥0对任意的x ∈R 恒成立， 则判别式Δ＝（m +2）2﹣8m ≤0， 即Δ＝m 2﹣4m +4＝（m ﹣2）2≤0， 所以m ＝2；（2）因为函数f （x ）＝x 2﹣（m +2）x +2m 的图象为开口向上的抛物线， 其对称轴为直线x =m+22， 由二次函数图象可知，f （x ）的单调递减区间为(−∞，m+22)， 因为f （x ）在（﹣∞，3）上单调递减，所以m+22≥3，所以m ≥4，即m ∈[4，+∞）；（3）由f （x ）＝x 2﹣（m +2）x +2m ＞0得：（x ﹣m ）（x ﹣2）＞0， 由（x ﹣m ）（x ﹣2）＝0得x ＝m 或x ＝2， ①当m ＝2时，不等式的解集是{x |x ≠2}；②当m ＞2时，不等式的解集是（﹣∞，2）∪（m ，+∞）； ③当m ＜2时，不等式的解集是（﹣∞，m ）∪（2，+∞）； 综上，①当m ＝2时，不等式的解集是{x |x ≠2}；②当m ＞2时，不等式的解集是（﹣∞，2）∪（m ，+∞）；③当m ＜2时，不等式的解集是（﹣∞，m ）∪（2，+∞）．20．（12分）某科研单位在研发某种合金产品的过程中发现了一种新型合金材料，由大数据分析得到该产品的性能指标值y （y 值越大产品性能越好）与这种新型合金材料的含量x （单位：克）的关系：当0≤x ＜8时，y 是x 的二次函数；当x ≥8时，y =(12)x−t ．测得的部分数据如表所示：（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）求该新型合金材料的含量x 为何值时产品性能达到最佳． 解：（1）当0≤x ＜8时，y 是x 的二次函数，设y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）， 由x ＝0，y ＝﹣4可得c ＝﹣4， 由x ＝2，y ＝4可得4a +2b +c ＝4①， 由x ＝4，y ＝4可得16a +4b +c ＝4②， 由①②得a ＝﹣1，b ＝6， 即y ＝﹣x 2+6x ﹣4（0≤x ＜8） 当x ≥8时，y =(12)x−t ，由x ＝12，y =14，可得t ＝10，即y =(12)x−10(x ≥8)， 综上，y ={y =−x 2+6x −4，(0≤x ＜8)，y =(12)x−10，(x ≥8)．（2）1°当0≤x ＜8时，y ＝﹣x 2+6x ﹣4＝﹣（x ﹣3）2+5， 所以当x ＝3时，y 取得最大值5，2°x ≥8时，y =(12)x−10单调递减，所以当x ＝8时，y 取得最大值4， 综上所述，当该新型合金材料的含量为3时产品性能达到最佳． 21．（12分）已知函数f （x ）满足2f （x ）+f （﹣x ）＝3x +1+31﹣x ．（1）求f （x ）的解析式；（2）若对于任意的x ∈R ，不等式f （2x ）﹣mf （x ）+6≥0恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）因为2f （x ）+f （﹣x ）＝3x +1+31﹣x ，所以2f （﹣x ）+f （x ）＝3﹣x +1+31+x ，联立两式得：3f （x ）＝3x +1+31﹣x ； 所以f （x ）＝3x +3﹣x ；（2）因为f（2x）﹣mf（x）+6≥0，所以32x+3﹣2x﹣m（3x+3﹣x）+6≥0，令t＝3x+3﹣x（t≥2），则t2﹣mt+4≥0，所以，∀t∈[2，+∞），m≤t+4t恒成立，由对勾函数的性质可知，y＝t+4t在[2，+∞）上单调递增，所以y min＝4，所以实数m的取值范围为m≤4，即m∈（﹣∞，4]．22．（12分）若对于任意x1，x2∈R，使得x1﹣x2∈W，都有f（x1）﹣f（x2）∈W，则称f（x）是W陪伴的．（1）判断f（x）＝3x﹣1是否为[0，+∞）陪伴的，并证明；（2）若f（x）＝a x（a＞0，a≠1）是[0，+∞）陪伴的，求a的取值范围；（3）若f（x）是{2}陪伴的，且是（0，+∞）陪伴的，求证：f（x）是（2，4）陪伴的．解：（1）f（x）＝3x﹣1是[0，+∞）陪伴的，证明：任取x1，x2∈R且x1﹣x2∈[0，+∞），则f（x1）﹣f（x2）＝3（x1﹣x2）∈[0，+∞），所以f（x）是[0，+∞）陪伴的．（2）因为f（x）＝a x（a＞0，a≠1）是[0，+∞）陪伴的，所以，任取x1，x2∈R且x1﹣x2∈[0，+∞），则f(x1)−f(x2)=a x1−a x2∈[0，+∞)，所以a x1−a x2=a x2(a x1a x2−1)=a x2(a x1−x2−1)≥0，因为a x2＞0，所以a x1−x2−1≥0又因为x1﹣x2≥0，所以a＞1，即a的取值范围是（1，+∞）．（3）证明：因为f（x）是{2}陪伴的，任取x1，x2∈R且x1﹣x2＝2，所以f（x+2）﹣f（x）＝2①，所以f（x+4）﹣f（x+2）＝f（x+4）﹣f（x）﹣2＝2，即f（x+4）﹣f（x）＝4②，因为f（x）是（0，+∞）陪伴的，任取x1，x2∈R且x1﹣x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，说明f（x）在R上单调递增，再任取x1，x2∈R且x1﹣x2∈（2，4），即x1＞x2+2，x1＜x2+4，因为f（x）在R上单调递增，所以结合①可得：f（x1）﹣f（x2）＞f（x2+2）﹣f（x2）＝2，所以结合②可得：f（x1）﹣f（x2）＜f（x2+4）﹣f（x2）＝4，即f（x1）﹣f（x2）∈（2，4），综上知：f（x）是（2，4）陪伴的．。
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷及答案解析
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式￢p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 23．已知p ：|m +1|＜1，q ：幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知幂函数f （x ）＝x 2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．35．设集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ⫋NB ．N ⫋MC ．M ∈ND ．N ∈M6．已知a =312，b =log 2√3，c ＝log 92，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数y =4xx 2+1的图象大致为（ ） A ．B ．C．D．8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（）A．f（0）＝0B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1C．若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x11．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝a t．关于下列说法正确的是（）A．浮萍每月的增长率为2B．浮萍每月增加的面积都相等C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3 12．若集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}中只有一个元素，则a的取值可以是（）A．92B．98C．0D．1三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（3﹣2x）的定义域为．14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为元/桶时能获得最大利润．15．不等式0.1x﹣ln（x﹣1）＞0.01的解集为．16．对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若函数f（x）＝4x﹣m•2x﹣3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（1）已知a ≤2，化简：√(a −2)2+√(a +3)33+(14)−12；（2）求值：3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，求a 的取值范围．19．（12分）已知函数f(x)=x2−2x+ax．（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？21．（12分）定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，满足f（3）＝6，且f（x+y）＝f（x）+f（y）（x，y∈R）．（1）求f（0），f（1）；（2）若对于任意x∈[12，3]都有f（kx2）+f（2x﹣1）＜0成立，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝2x−12x，g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b（b∈R）．（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；（2）若存在x1，x2∈[1，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求实数b的取值范围；2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式￢p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 2解：命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式是特称命题； ∴￢p ：“∃x ∈N ，x 3≤x 2”． 故选：D ．3．已知p ：|m +1|＜1，q ：幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：p ：|m +1|＜1等价于﹣2＜m ＜0，∵幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减， ∴m 2﹣m ﹣1＝1，且m ＜0， 解得m ＝﹣1，∴p 是q 的必要不充分条件， 故选：B ．4．已知幂函数f （x ）＝x 2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．3解：∵幂函数f （x ）＝x 2m ﹣1的图象经过点（2，8），∴22m ﹣1＝8，∴m ＝2， 故选：C ．5．设集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ⫋NB ．N ⫋MC ．M ∈ND ．N ∈M解：①当n ＝2m ，m ∈Z 时，x ＝4m +1，m ∈Z ， ②当n ＝2m +1，m ∈Z 时，x ＝4m +3，m ∈Z ， 综合①②得：集合N ＝{x |x ＝4m +1或x ＝4m +3，m ∈Z }， 又集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }， 即M ⫋N ， 故选：A ． 6．已知a =312，b=log 2√3，c ＝log 92，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a解；∵a =312∈（1，2），b=log 2√3＞log 2√2=12，∵log 2√3＜log 22=1， ∴12＜b ＜1，c ＝log 92＜log 93=12， 则a ＞b ＞c ， 故选：A ． 7．函数y =4xx 2+1的图象大致为（ ） A ．B．C．D．解：函数y=4xx2+1的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）=4xx2+1，则f（﹣x）=−4xx2+1=−f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，故选：A．8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：①a2+3﹣2a＝（a﹣1）2+2＞0恒成立，所以a2+3＞2a，故①正确；②a2+b2﹣2a+2b+2＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，所以a2+b2≥2（a﹣b﹣1），故②正确；③x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立，故③不正确．故恒成立的个数是2．故选：C．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅解：在A 项中，依题意可得a ＝0，且3b +3＝0，解得b ＝﹣1，此时不等式为﹣x +3＞0，解得x ＜3，故A 项错误；在B 项中，取a ＝1，b ＝2，可得x 2+2x +3＝（x +1）2+2＞0，解集为R ，故B 项正确； 在C 项中，依题意可得a ＜0，且{−1+3=−ba −1×3=3a ，解得{a =−1b =2，符合题意，故C 项正确．在D 选中，当x ＝0时，ax 2+bx +3＝3＞0，可得其解集不为∅，故D 选错误； 故选：BC ．10．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，下列命题中正确的有（ ） A ．f （0）＝0B ．若f （x ）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f （x ）在（﹣∞，0]上有最大值1C ．若f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1]上为减函数D ．若x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则当x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），当x ＝0时，有f （0）＝﹣f （0），变形可得f （0）＝0，A 正确，对于B ，若f （x ）在[0，+∞）上有最小值﹣1，即x ≥0时，f （x ）≥﹣1，则有﹣x ≤0，f （﹣x ）＝﹣f （x ）≤1，即f （x ）在（﹣∞，0]上有最大值1，B 正确，对于C ，奇函数在对应的区间上单调性相同，则若f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，C 错误，对于D ，设x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（x 2+2x ）＝﹣x 2﹣2x ，D 正确， 故选：ABD ．11．如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系为y ＝a t ．关于下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过80m 2D ．若浮萍蔓延到2m 2，4m 2，8m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 2＝t 1+t 3 解：图象可知，函数过点（1，3）， ∴a ＝3，∴函数解析式为y ＝3t ， ∴浮萍每月的增长率为：3t+1−3t3t=2×3t 3t=2，故选项A 正确，∵函数y ＝3t 是指数函数，是曲线型函数，∴浮萍每月增加的面积不相等，故选项B 错误， 当t ＝4时，y ＝34＝81＞80，故选项C 错误，对于D 选项，∵3t 1=2，3t 2=4，3t 3=8，∴t 1＝log 32，t 2＝log 34，t 3＝log 38， 又∵2log 34＝log 316＝log 32+log 38，∴2t 2＝t 1+t 3，故选项D 正确， 故选：AD ．12．若集合A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0}中只有一个元素，则a 的取值可以是（ ） A ．92B ．98C ．0D ．1解：∵A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0}中只有一个元素，∴若a ＝0，方程等价为﹣3x +2＝0，解得x =23，满足条件． 若a ≠0，则方程满足△＝0，即9﹣8a ＝0，解得a =98．故选：BC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数f （3﹣2x ）的定义域为 [12，52] ． 解：∵函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]， ∴由﹣2≤3﹣2x ≤2，解得12≤x ≤52．∴函数f （3﹣2x ）的定义域为[12，52]．故答案为：[12，52]．14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为 11.5 元/桶时能获得最大利润． 解：由表可知，销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶． 设每桶水的价格为（6+x ）元，公司日利润为y 元，则y ＝（6+x ﹣5）（480﹣40x ）﹣200＝﹣40x 2+440x +280＝﹣40(x −112)2+1490， 所以当x ＝5.5时，y 取得最大值，所以每桶水定价为11.5元时，公司日利润最大． 故答案为：11.5．15．不等式0.1x ﹣ln （x ﹣1）＞0.01的解集为 （1，2） ． 解：设函数f （x ）＝0.1x ﹣ln （x ﹣1）， ∵y ＝0.1x 和y ＝﹣ln （x ﹣1）均为减函数， ∴函数f （x ）为减函数，∵f （2）＝0.01，且函数的定义域为（1，+∞）， ∴原不等式等价于f （x ）＞f （2）， ∴1＜x ＜2，∴不等式的解集为（1，2）． 故答案为：（1，2）．16．对于函数f （x ），若在定义域存在实数x ，满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），则称f （x ）为“局部奇函数”．若函数f （x ）＝4x ﹣m •2x ﹣3是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为 [﹣2，+∞） ．解：根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数f （x ）＝4x ﹣m •2x ﹣3是定义在R 上的“局部奇函数”，则方程f （﹣x ）＝﹣f （x ）有解； 即4﹣x ﹣m •2﹣x ﹣3＝﹣（4x ﹣m •2x ﹣3）有解；变形可得4x +4﹣x ﹣m （2x +2﹣x ）﹣6＝0，即（2x +2﹣x ）2﹣m （2x +2﹣x ）﹣8＝0有解即可；设2x +2﹣x ＝t （t ≥2），则方程等价为t 2﹣mt ﹣8＝0在t ≥2时有解；设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣8＝0，必有g （2）＝4﹣2m ﹣8＝﹣2m ﹣4≤0， 解可得：m ≥﹣2，即m 的取值范围为[﹣2，+∞）； 故答案为：[﹣2，+∞）．四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（1）已知a ≤2，化简：√(a−2)2+√(a +3)33+(14)−12；（2）求值：3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927． 解：（1）∵a ≤2， ∴√(a −2)2+√(a +3)33+(14)−12， ＝2﹣a +a +3+2＝7；（2）3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927， =12+log 610⋅lg6+32， =12+1+32=3．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，求a 的取值范围．解：（1）∵集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}∴A ∪B ＝{x |1≤x ＜8}，（∁U A ）＝{x |x ＜1或x ≥5}，（∁U A ）∩B ＝{x |5≤x ＜8}（2）∵“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}∴C ⫋A ，∴{a +3＜5a ≥1，解得1≤a ＜2，故a的取值范围是[1，2）．19．（12分）已知函数f(x)=x2−2x+ax．（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．解：（1）当a＝4时，f（x）=x−2x+4x=x+4x−2，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x+4x−2≥2√x×4x−2＝2，当且仅当x=4x即x＝2时等号成立，所以f（x）的最小值为2．（2）根据题意可得x2﹣2x+a＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，等价于a＞﹣x2+2x在x∈（0，+∞）上恒成立，因为g（x）＝﹣x2+2x在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝1，所以a＞1．（3）f（x）＝x+ax−2，设0＜x1＜x2＜√a，f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+ax1−a x2=（x1﹣x2）（1−ax1x2）=(x1−x2)(x1x2−a)x1x2，∵0＜x1＜x2＜√a，∴x1x2＜a，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，√a）单调递减，同理可证f（x）在（√a，+∞）单调递增，当0＜a≤4时，0＜√a≤2，函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（2）=a 2，当a＞4时，√a＞2，函数f（x）在[2，√a）上单调递减，在（√a，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（√a）＝2√a−2．所以f（x）min={a2(0＜a＜4)2√a−2(a＞4)．20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%． 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种． ①每日进行定额财政补贴，金额为2300元； ②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x ．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？ 解：（Ⅰ）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为yx=x 2+3200x+40，x ∈[70，100]，而x2+3200x +40≥2√x 2⋅3200x+40=2×40+40＝120，当且仅当x2=3200x，即x ＝80时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低．因为80＜100，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态．（Ⅱ）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为y 1，y 1=100x −(12x 2+40x +3200)+2300=−12x 2+60x −900=−12(x −60)2+900， 因为x ∈[70，100]，所以当x ＝70吨时，企业获得最大利润，为850元． 若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为y 2，y 2=130x −(12x 2+40x +3200)=−12x 2+90x −3200=−12(x −90)2+850， 因为x ∈[70，100]，所以当x ＝90吨时，企业获得最大利润，为850元．结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润；选择方案二，当日加工处理量为90吨时，获得最大利润， 由于最大利润相同，所以选择两种方案均可．21．（12分）定义在R 上的奇函数f （x ）是单调函数，满足f （3）＝6，且f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）（x ，y ∈R ）． （1）求f （0），f （1）；（2）若对于任意x ∈[12，3]都有f （kx 2）+f （2x ﹣1）＜0成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）因为R 上的奇函数f （x ）是单调函数，满足f （3）＝6，且f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）．令x ＝y ＝0可得f （0）＝2f （0）， 所以f （0）＝0，令x ＝1，y ＝1，可得f （2）＝2f （1），令x ＝2，y ＝1可得f （3）＝f （1）+f （2）＝3f （1）＝6， 所以f （1）＝2；（2）∵f （x ）是奇函数，且f （kx 2）+f （2x ﹣1）＜0在x ∈[12，3]上恒成立， ∴f （kx 2）＜f （1﹣2x ）在x ∈[12，3]上恒成立，且f （0）＝0＜f （1）＝2； ∴f （x ）在R 上是增函数，∴kx 2＜1﹣2x 在x ∈[12，3]上恒成立， ∴k ＜(1x )2−2(1x )在x ∈[12，3]上恒成立， 令g(x)=(1x )2−2(1x )=(1x −1)2−1． 由于12≤x ≤3，∴13≤1x≤2．∴g （x ）min ＝g （1）＝﹣1，∴k ＜﹣1，即实数k 的取值范围为（﹣∞，﹣1）． 22．（12分）已知函数f （x ）＝2x −12x ，g （x ）＝（4﹣lnx ）•lnx +b （b ∈R ）． （1）若f （x ）＞0，求实数x 的取值范围；（2）若存在x 1，x 2∈[1，+∞），使得f （x 1）＝g （x 2），求实数b 的取值范围；解：（1）f（x）＞0⇔2x−12x＞0，∴2x＞2﹣x，∴x＞﹣x，即x＞0．∴实数x的取值范围为（0，+∞）．（2）设函数f（x），g（x）在区间[1，+∞）的值域分别为A，B．∵f（x）＝2x−12x在[1，+∞）上单调递增，∴A＝[32，+∞）．∵g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b＝﹣（lnx﹣2）2+b+4（b∈R）．∵x∈[1，+∞），∴lnx∈[0，+∞），∴g（x）≤b+4，依题意可得A∩B≠∅，∴b+4≥32，即b≥−32．∴实数b的取值范围为[−32，+∞）．。
2021-2022学年河南省南阳市高一(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知函数f(x)={2x,x >0x +1,x ≤0，且f(a)+f(1)=0，则实数a =( )A. 0B. 1C. 2D. −32. 设x >0，y >0，2x +1y =1，则2x +y 的最小值为( )A. 7B. 8C. 9D. 103. 设a ∈R ，则“0<a <1”是“a 2<a ”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数f(x +1)的定义域为[1,3]，则f(2x)的定义域为( )A. [1,2]B. [1,3]C. [2,4]D. [2,6]5. 集合A ={x ∈N|−1<x <4}的真子集个数为( )A. 7B. 8C. 15D. 166. 用<x >表示正数x 四舍五入到个位的整数，如<0.3>=0，<1.498>=1，<2.5>=3，<5.8>=6，则关于正数x 的方程1+<x >=2x 的实数根的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知x =lnπ，y =log 52，z =e −12，则( )A. x >y >zB. y >x >zC. x >z >yD. z >x >y8. 已知函数f(x)={−ax +2a,x ≥0a x ,x <0在R 上是减函数，则实数a 的取值范围为( )A. (1,+∞)B. (0,12]C. (0,13]D. (−∞,13]9. 集合A ={x|−2<x <2}，B ={x|−1≤x <3}，那么A ∪B =( )A. {x|−2<x <3}B. {x|1≤x <2}C. {x|−2<x ≤1}D. {x|2<x <3}10. 命题“对任意的x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是( )A. 不存在x ∈R ，x 3−x 2+1≤0B. 存在x ∈R ，x 3−x 2+1≤0C. 对任意的x ∈R ，x 3−x 2+1>0D. 存在x ∈R ，x 3−x 2+1>011. 函数f(x)=log a (4−ax)在区间[0,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (0,2)D. (2,+∞)12. 函数y =x −3|x|的图象可能是( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=x 2−2x 在定义域[−1,n]上的值域为[−1,3]，则实数n 的取值范围是______．14. 函数f(x)=2a x−1+1(a >0且a ≠1)的图象过定点，这个点的坐标为 ． 15. 已知函数f(x)对任意实数x 都有f(1−x)=f(1+x)，当x >1时，f(x)=1x−1，则f(−1)=______．16. 若函数f(x)=log 3(x +√x 2+9)+k 满足f(−x)+f(x)=0，则k =______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 计算下列各式的值：(Ⅰ)(54) −15×(−23)0+9 13×√33−√(45)25； (Ⅱ)log 3√2743+lg25−3 log 334+lg4．18.如图，动物园要围成4间形状和面积完全相同的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(接头处不计)(1)现有可围36m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长xm设计为多少时，可使每间禽舍的面积最大？(2)若使每间禽舍面积为24m2，则每间禽舍的长xm设计为多少时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？19.已知函数f(x)=k⋅a x−1(其中k，a为常数，且a>0，a≠1)的图像经过点A(2,6)，B(4,24)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若不等式(1a )x+(1k)x−m≥0在区间(−∞,0]上恒成立，求实数m的取值范围．}.20.设全集为R，集合A={x|2≤2x≤8}，B={x|log4x>12(1)求∁R(A∩B)；(2)已知集合C={x|1<x<a}，若C∪A=A，求实数a的取值范围．21.定义域为R的函数f(x)满足：对任意的m，n∈R有f(m+n)=f(m)⋅f(n)，且当x>0时，有f(x)>1．(1)求f(0)的值；(2)证明：f(x)>0在R上恒成立；(3)证明：f(x)在R上是增函数；(4)若x>0时，不等式f(x+ax)<f(2+x2)恒成立，求实数a的取值范围．22.解关于x的不等式：ax2−(2a+1)x+2≤0，其中a∈R．答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)={2x,x >0x +1,x ≤0，则f(1)=2，若f(a)+f(1)=0，则f(a)=−2，若a >0，f(a)=2a =−2，解可得a =−1，不符合题意， 若a ≤0，f(a)=a +1=−2，解可得a =−3，符合题意， 故a =−3； 故选：D ．根据题意，求出f(1)的值，由f(a)+f(1)=0可得f(a)=−2，分a >0与a ≤0两种情况讨论，求出a 的值，综合可得答案．本题考查函数值的计算，涉及函数解析式的计算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：因为x >0，y >0，2x +1y =1，则2x +y =(2x +y)(2x +1y ) =5+2y x+2x y≥5+2√2x y ⋅2y x=9，当且仅当x =y =3时取等号．故选：C ．将已知的等式与结论相乘，然后利用基本不等式求最小值． 本题考查基本不等式的应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由a 2<a 解得0<a <1， ∴“0<a <1”是“a 2<a ”的充要条件． 故选：A ．由a 2<a 解得0<a <1，依次可解决此题．本题考查二次不等式解法及充分、必要条件的判定，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵函数f(x+1)的定义域为[1,3]，∴1≤x≤3，则2≤x+1≤4，即f(x)的定义域为[2,4]，由2≤2x≤4，得1≤x≤2，∴f(2x)的定义域是[1,2]，故选：A．由已知函数的定义域求得f(x)的定义域，再由2x在f(x)的定义域内求得x的范围得答案．本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．5.【答案】C【解析】解：∵A={x∈N|−1<x<4}={0,1,2,3}，∴集合A的真子集个数为24−1=15．故选：C．把集合A利用列举法写出，即A={0,1,2,3}，可得集合A的真子集个数为24−1=15．本题考查子集与真子集，考查了计算子集个数的公式：即一个集合中有n的元素，则其子集个数为2n−1，是基础题．6.【答案】A【解析】解：记f(x)=1+<x>，(x>0)，g(x)=2x，(x>0)，当0<x<0.5时，f(x)=1；当0.5≤x<1.5时，f(x)=2；当1.5≤x<2.5时，f(x)=3；当2.5≤x<3.5时，f(x)=4；作出f(x)和g(x)的图像，关于正数x的方程1+<x>=2x的实数根的个数即为两图像的交点的个数．由图像可知，f(x)和g(x)的图像有两个交点．当x>2.5时，2x>1+<x>恒成立，所以f(x)和g(x)的图像没有交点．综上：关于正数x的方程1+<x>=2x的实数根的个数为2．故选：A．记f(x)=1+<x>，(x>0)，g(x)=2x，(x>0)，分别作出f(x)和g(x)的图像，根据交点个数即可求出实数根的个数．本题主要考查函数图像的应用，新定义知识的应用等知识，属于中等题．7.【答案】C【解析】解：显然x=lnπ>lne=1，y=log52>0，且log52<log5√5=12，z=√e <1，且√e>12，故x>z>y．故选：C．引入中间量1，根据函数的单调性判断即可．本题考查不等式的大小比较问题，属于基础题．【解析】解：由题意可得{−a <00<a <1a 0≥2a ，解得0<a ≤12， 故选：B ．根据分段函数的单调性，需满足每一段上的函数递减，需要特别注意分界点处的函数值的大小关系．本题考查了分段函数的单调性问题，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：把集合A 和集合B 中的解集表示在数轴上，如图所示， 则A ∪B ={x|−2<x <3} 故选：A ．把两个集合的解集表示在数轴上，可得集合A 与B 的并集．此题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道基础题．10.【答案】D【解析】 【分析】本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．根据全称量词命题的否定是存在量词命题，从而得出答案． 【解答】解：∵命题“对任意的x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”是全称量词命题，∴命题“对任意的x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是：存在x ∈R ，x 3−x 2+1>0， 故选：D ．【解析】解：令y =loga t ，t =4−ax ， ①若0<a <1，则函y =loga t ，是减函数，由题设知t =4−ax 为增函数，需a <0，故此时无解． (2)若a >1，则函数y =loga t 是增函数，则t 为减函数， 需a >0，且4−a ×2>0，可解得1<a <2， 综上可得实数a 的取值范围是(1,2)． 故选：B ．先将函数f(x)=log a (4−ax)转化为y =log a t ，t =4−ax 两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：函数y =x −3|x|的定义域为{x|x ≠0}，且f(x)={x −3x,x >0x +3x ,x <0， 所以当x >0时，函数是递增函数，故选项A ，B 错误； 又f(1)=1−3=−2，故选项C 错误，D 正确． 故选：D ．将函数化成分段函数f(x)={x −3x ,x >0x +3x ,x <0，结合函数在x >0时的单调性判断选项A ，B ，由函数值的正负判断选项C ，D ．本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．13.【答案】[1,3]【解析】解：函数f(x)=x 2−2x 的对称轴方程为x =1，在[−1,1]上为减函数， 且值域为[−1,3]，当x ≥1时，函数为增函数，∴要使函数f(x)=x 2−2x 在定义域[−1,n]上的值域为[−1,3]，实数n 的取值范围是[1,3]． 故答案为：[1,3]．求出原函数的对称轴，分析可知f(−1)=3，f(1)=−1，然后根据x ≥1时，函数为增函数求得使函数f(x)=x 2−2x 在定义域[−1,n]上的值域为[−1,3]的实数n 的取值范围． 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了二次函数的单调性，是基础题．14.【答案】(1,3)【解析】【分析】本题考查了指数函数的性质，图象的运用，属于基础题．直接由指数式的指数为0求得x 与y 的值，则答案可求．【解答】解：由x −1=0，得x =1，此时y =3．∴函数f(x)=2a x−1+1(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,3)，故答案为：(1,3)．15.【答案】12【解析】解：根据题意，函数f(x)对任意实数x 都有f(1−x)=f(1+x)，令x =2可得：f(−1)=f(3)，当x >1时，f(x)=1x−1，则f(3)=13−1=12，故f(−1)=12；故答案为：12．根据题意，运用特殊值法可得f(−1)=f(3)，结合函数的解析式计算可得答案． 本题考查抽象函数的求值，涉及函数值的计算，属于基础题．16.【答案】−1【解析】解：函数f(x)=log 3(x +√x 2+9)+k 满足f(−x)+f(x)=0，即为log 3(−x +√x 2+9)+log 3(x +√x 2+9)+2k =0，即有log 3(x 2+9−x 2)+2k =2+2k =0，解得k =−1．故答案为：−1．由对数的运算性质，解方程可得所求值．本题考查对数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．17.【答案】(本小题满分12分)解：(Ⅰ)(54) −15×(−23)0+9 13×√33−√(45)25 =(45)15×1+323×313−(45) 15=3.…………(6分) (Ⅱ)log 3√2743+lg25−3 log 334+lg4=log 33−14+(lg25+lg4)−34 =−14+2−34=1.…………(12分)【解析】(Ⅰ)利用指数性质、运算法则直接求解．(Ⅱ)利用对数性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)由题意知，宽为36−4x 6=6−23x ，x ∈(0,9)， 故每间禽舍的面积f(x)=x(6−23x)=−23x 2+6x =−23(x −92)2+272， 故x =92 时，可使每间禽舍的面积最大．(2)设围成四件禽舍的钢筋网总长为g(x)，则g(x)=4x +24x ×6=4(x +36x )≥4×2√x ⋅36x =48， 当且仅当x =36x ，即x =6时，等号成立，故当x =6时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小．【解析】(1)根据已知条件，结合长方形的面积公式，以及二次函数的性质，即可求解．(2)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题．19.【答案】解：(1)由题意得，{ka =6ka 3=24，解得{k =3a =2， ∴f(x)=3⋅2x−1；(2)由(1)知，(12)x +(13)x −m ≥0在(−∞,0]上恒成立，即m ≤(12)x +(13)x 在(−∞,0]上恒成立，设g(x)=(12)x +(13)x ,x ≤0，由于g(x)在(−∞,0]上单调递减，则g(x)min =g(0)=2， ∴实数m 的取值范围为(−∞,2]．【解析】(1)根据题意建立关于k ，a 的方程组，解出即可；(2)问题可转化为m ≤(12)x +(13)x 在(−∞,0]上恒成立，设g(x)=(12)x +(13)x ,x ≤0，求出g(x)的最小值即可得出答案．本题考查函数解析式的求法以及不等式的恒成立问题，考查利用函数单调性求最值，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)全集为R ，集合A ={x|2≤2x ≤8}={x|1≤x ≤3}，B ={x|log 4x >12}={x|x >2}； 则A ∩B ={x|2<x ≤3}，∴∁R (A ∩B)={x|x ≤2或x >3}，(2)C ={x|1<x <a}，且C ∪A =A ，∴C ⊆A ={x|1≤x ≤3}，∴a ≤1或{a >1a ≤3， 解得a ≤3；∴实数a 的取值集合是{a|a ≤3}．【解析】(1)解不等式求出集合A 、B ，根据集合的基本运算写出对应的结果即可；(2)根据条件求得C ⊆A ，列出关于a 的不等式组，求出结论即可．本题考查了不等式的解法和集合的基本运算问题，是基础题目．21.【答案】解：(1)令m=2，n=0，则f(0+2)=f(0)f(2)，又当x>0时，f(x)>1，则f(0)=1；(2)证明：令x<0，则−x>0，依题意，f(−x)>1，又1=f(0)=f(x−x)=f(x)f(−x)，故f(x)=1f(−x)∈(0,1)，∴f(x)>0在R上恒成立；(3)证明：对任意x1，x2∈R，且x1<x2，则有x2−x1>0，从而f(x2−x1)>1，又f(x2)=f[x1+(x2−x1)]=f(x1)f(x2−x1)>f(x1)，∴f(x)在R上为增函数；(4)∵x>0时，不等式f(x+ax)<f(2+x2)恒成立，∴由(3)得(a+1)x<2+x2恒成立，从而当x>0时，有a+1<2+x2x，令ℎ(x)=2+x2x =x+2x(x>0)，则ℎ(x)≥ℎ(√2)=2√2，∴a<2√2−1，即实数a的取值范围为(−∞,2√2−1)．【解析】(1)令m=2，n=0，即可求得f(0)的值；(2)当x<0时，f(x)=1f(−x)∈(0,1)，由此可得证；(3)运用单调性的定义直接证明即可；(4)问题可转化为当x>0时，有a+1<2+x2x ，令ℎ(x)=2+x2x=x+2x(x>0)，求出函数ℎ(x)的最小值即可得解．本题考查抽象函数的奇偶性及单调性问题，考查不等式的恒成立问题，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：ax2−(2a+1)x+2≤0，可化简为(ax−1)(x−2)≤0．①当a=0时，−x+2≤0，即x≥2解集为[2,+∞)；②当a<0时，1a <2，解集为(−∞,1a]∪[2,+∞)；③当a>0时，若a=12，即a=12，解集为{2}；若1a >2，即0<a <12时，解集为[2,1a ]；若1a <2，即a >12时，解集为[1a ,2]．综上所述，当a <0时，解集为(−∞,1a ]∪[2,+∞)；当a =0时，解集为[2,+∞)；当0<a <12时，解集为[2,1a ]；当a =12时，解集为{2}；当a >12时，解集为[1a ,2]．【解析】首先十字相乘化简不等式，在根据图像的性质进行分类讨论即可求出不等式的解集．本题考查了一元二次不等式的解法，恰当的分类讨论是解题的关键，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2021-2022学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（）A．1∈A B．∅⊆A C．∁R A＝{x|0＜x＜2}D．A∩∅＝A2．已知a＞b＞0，则（）A．a2＜ab B．a+b＜2b C．＞1D．3．下列各组函数中，是同一函数的是（）A．y＝x2与y＝x B．y＝与y＝（）2C．y＝与y＝x+1D．y＝与y＝x4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（）A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N*B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N*C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（﹣2）B．f（﹣1）＜f（2）C．f（1）＞f（﹣2）D．f（0）＝07．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（）A．r+R2＝R1B．r+R1＝R2C．＝R2D．R1+R2＝r8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2B．C．≥4D．≥4 10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1C．方程无实数根的充要条件是m＞1D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为011．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（）A．f（x）的图像关于y轴对称B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）C．f（x）的值域为RD．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A ＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（）A．B．0C．1D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝．14．已知f（x）＝，则f（3）的值为．15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为.（注：写出一个满足条件的即可）16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x＝3，求的值；（2）已知，求的值．18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁R A；（2）若____，求实数a的取值范围．（注：从①A∪B＝A；②B∩∁R A＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（）A．1∈A B．∅⊆A C．∁R A＝{x|0＜x＜2}D．A∩∅＝A【分析】解出集合A再做判断．解：因为A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＜0或x＞2}，所以ACD选项均错误，故选：B．2．已知a＞b＞0，则（）A．a2＜ab B．a+b＜2b C．＞1D．【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及作差法，即可求解．解：对于A，∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，即a2＞ab，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，∴a+b＞b+b，即a+b＞2b，故B错误，对于C，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴，即，故C错误，对于D，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴＜0，即，故D正确．故选：D．3．下列各组函数中，是同一函数的是（）A．y＝x2与y＝x B．y＝与y＝（）2C．y＝与y＝x+1D．y＝与y＝x【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．解：对于A，函数y＝x2，定义域为R，y＝x＝x|x|，定义域为R，两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于B，函数y＝＝|x|，定义域为R，y＝＝x，定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数y＝＝x+1，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），y＝x+1，定义域为R，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数y＝＝x，定义域为R，y＝x，定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（）A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N*B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N*C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*，故选：C．5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．【分析】分别根据二次函数的开口方向和对称轴的关系进行判断即可．解：把四个图象分别叫做A，B，C，D．若为A，由图象知a＜0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．若为B，则由图象知a＞0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．若为C，由图象知a＜0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a2﹣1＝0，解得a＝﹣1，此时对称轴有可能，所以此时a＝﹣1成立．若为D，则由图象知a＞0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a2﹣1＝0，解得a＝1，此时对称轴，矛盾，所以不成立．故图象为第三个，此时a＝﹣1．故选：B．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（﹣2）B．f（﹣1）＜f（2）C．f（1）＞f（﹣2）D．f（0）＝0【分析】由偶函数的定义和单调性的性质，可得结论．解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则f（x）在（0，+∞）是减函数，所以f（﹣1）＝f（1），f（﹣2）＝f（2），且f（1）＞f（2），故选：C．7．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（）A．r+R2＝R1B．r+R1＝R2C．＝R2D．R1+R2＝r【分析】利用公式P2＝U2I和，表示出滑动变阻器消耗的电功率，然后利用基本不等式求解即可．解：根据公式P2＝U2I和可得，滑动变阻器消耗的电功率，因为，当且仅当U2＝E﹣U2，即时，此时时，R2消耗的电功率P 最大．故选：B．8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数【分析】根据f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，分别对各个选项进行判断即可．解：由题意函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，则f（x+a）﹣b＝﹣f（﹣x+a）+b，则f（x+a）+f（﹣x+a）＝2b，对于A：f（x）＝2x+1，a＝，b＝0，则f（x+）+f（﹣x+）＝2（x+）+1+2（﹣x+）+1＝4≠2b＝0，故A错误；对于B：f（x）＝x3﹣3x2＝x2（x﹣3），a＝1，b＝2，则f（x+1）+f（﹣x+1）＝（x+1）2（x+1﹣3）+（﹣x+1）2（﹣x+1﹣3）＝﹣4≠2b＝4，故B错误；对于C：若f（x）关于x＝a对称，则f（x）＝f（2a﹣x），令x＝t+a，则f（t+a）＝f（a﹣t），用x替换t，则f（x+a）＝f（a﹣x），故f（x+a）是偶函数，若f（x+a）是偶函数，则f（x+a）＝f（﹣x+a），令h＝x+a，则f（h）＝f（2a﹣h），故f（h）关于h＝a对称，用x替换h，则f（x）关于x＝a对称，故C正确；对于D：f（x﹣1）＝x2﹣4x+8，f（﹣x﹣1）＝x2+4x+8，f（x﹣1）≠f（﹣x﹣1），故f （x﹣1）不是偶函数，故D错误，故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2B．C．≥4D．≥4【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．解：因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，A：由，得．即a2+b2，当且仅当a＝b时取等号，A正确；B：由ab≤（）2＝，得，≥4，当且仅当a＝b时取等号，B错误，C 正确；D：＝＝2+＝4，当且仅当a＝b时取等号，D正确；故选：ACD．10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1C．方程无实数根的充要条件是m＞1D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0【分析】利用根与系数关系与判别式计算判断即可．解：关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0中△＝（m﹣3）2﹣4m＝m2﹣10m+9、两根和为3﹣m、两根积为m．若方程有一个正根一个负根，则，解得m＜0，∴A对；若方程有两个正根，则，解得0＜m≤1，∴B对；若方程无实根，则△＝m2﹣10m+9＜0，解得m＜1或m＞9，∴C错；当m＝3时，关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0为x2+3＝0无解，∴D错．故选：AB．11．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（）A．f（x）的图像关于y轴对称B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）C．f（x）的值域为RD．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值【分析】根据函数奇偶性判断A；化简f（x）解析式，根据f（x）的单调性判断B；根据f（x）≠0判断C；根据奇偶性和单调性判断D．解：对于A，函数f（x）＝的定义域为{x|x≠±2}，关于原点对称，且f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，f（x）的图像关于y轴对称，故A正确；对于B，当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）时，f（x）＝＝﹣，当x∈[0，2）∪（2，+∞）时，f（x）＝＝，所以f（x）的单调递减区间为[0，2）和（2，+∞），故B错误；对于C，由函数解析式可得f（x）≠0，故C错误；对于D，当x∈（﹣2，0）时，f（x）＝﹣为增函数，f（x）＜f（0）＝﹣，当x∈[0，2）时，f（x）＝为减函数，f（x）≤f（0）＝﹣，所以当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值为f（0）＝﹣，故D正确．故选：AD．12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A ＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（）A．B．0C．1D．【分析】由条件可知C（A）＝2，根据A*B＝1，可得C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，然后分析方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0根的情况，即可得出a的可能取值．解：根据题意，已知A＝{1，2}，则C（A）＝2，又A*B＝1，则C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，若（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0，则必有ax2+3x＝0或x2+ax+2＝0，若ax2+3x＝0，则x＝0或ax+3＝0，当a＝0时，B＝{0}，C（B）＝1，符合题意，当a≠0时，ax2+3x＝0对应的根为0或﹣，所以①需要x2+ax+2＝0有两根且根不为0或﹣，当△＝0时，a＝±2，当a＝2，此时B＝{0，﹣2，﹣}，C（B）＝3，符合题意，当a＝﹣2，此时B＝{0，2，}，C（B）＝3，符合题意，②当﹣是x2+ax+2＝0的根时，解得a＝±3，当a＝3，此时B＝{0，﹣1，﹣2}，C（B）＝3，符合题意，当a＝﹣3，此时B＝{0，1，2}，C（B）＝3，符合题题意，综上所述，a可取的值为0，±3，±，故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝1．【分析】由{2，m}＝{2m﹣1，2}得m＝2m﹣1．解：∵{2，m}＝{2m﹣1，2}，∴m＝2m﹣1，解得，m＝1，故答案为：1．14．已知f（x）＝，则f（3）的值为2．【分析】由题意得f（3）＝f（5）＝f（7），故f（7）为所求．解：∵f（x）＝，则f（3）＝f（5）＝f（7）＝7﹣5＝2，故答案为2．15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为b≤3.（注：写出一个满足条件的即可）【分析】根据题意，将f（x）≤g（x）变形可得b≤x++1，由基本不等式的性质求出b的取值范围，即可得“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的充分必要条件，由充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x），即﹣x2+bx≤x+，变形可得b≤x++1，又由x∈（0，+∞），则x++1＝+++1≥3+1＝+1，当且仅当x＝时等号成立，若“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x），必有b≤+1，即“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的充分必要条件为b≤+1，故满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为b≤3，故答案为：b≤3，（答案不唯一）16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为[2，4]．【分析】根据题意，分析y＝|x2﹣x﹣2|的单调区间，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，y＝|x2﹣x﹣2|＝，在区间（﹣1，）、[2，+∞）上为增函数，若函数是定义在R上的增函数，则有，解可得2≤a≤4，即a的取值范围为[2，4]；故答案为：[2，4]．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x＝3，求的值；（2）已知，求的值．【分析】（1）由x+x＝3结合完全平方公式可求出x+x﹣1的值，进而求出x﹣x﹣1的值，代入所求式子即可求出结果．（2）解方程组，用x表达出y，z的值，代入所求式子化简，即可求出结果．解：（1）∵x+x＝3，∴＝x+x﹣1+2＝9，∴x+x﹣1＝7，∴（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝49，∴x2+x﹣2＝47，又∵（x﹣x﹣1）2＝x2+x﹣2﹣2＝47﹣2＝45，∴x﹣x﹣1＝，∴＝＝＝＝．（2）由，得，∴＝＝．18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁R A；（2）若____，求实数a的取值范围．（注：从①A∪B＝A；②B∩∁R A＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）【分析】（1）先求出集合A，B，然后结合集合的交并补运算即可求解；（2）根据所选条件，进行转化，然后结合集合包含关系可求．解：（1）当a＝1时，A＝{x||x﹣4|≤3}＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|x2﹣2x﹣3）≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}A∪B＝{x|﹣1≤x≤7}，B∩∁R A＝{x|﹣1≤x＜1}；（2）若选①A∪B＝A，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；若选②B∩∁R A＝∅，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，∁R A＝{x|x＜1或x＞7}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）【分析】（1）由矩形的长为xm，求出矩形的宽，中间区域的长，宽，得到定义域，表示出总造价y即可；（2）利用基本不等式求解最值，比较即可得到答案．解：（1）由矩形的长为xm，则矩形的宽为m，则中间区域的长为x﹣4m，宽为﹣4m，所以定义域为x∈（4，50），故y＝100×200[200﹣（x﹣4）（﹣4）]，整理可得y＝18400+400（x+），x∈（4，50）；（2）因为x+＝20，当且仅当，即x＝时取等号，所以当x＝时，总造价最低为18400+8000≈2.97万元＜3万元，故仅根据总造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地．20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．【分析】（1）利用奇函数的定义以及奇函数的性质，得到f（0）＝0，结合f（1）＝，求出a，b的值，验证即可；（2）将问题转化为证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，利用函数单调性的定义证明即可．【解答】（1）解：因为函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，则f（x）为奇函数，又f（1）＝，所以，解得b＝0，a＝9，所以，经检验，f（x）为奇函数，所以；（2）证明：要证明对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立，即证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，用定义证明如下：设﹣3≤x1＜x2≤3，则＝＝，因为﹣3≤x1＜x2≤3，所以x1x2﹣9＜0，x2﹣x1＞0，，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在[﹣3，3]上单调递增，故对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．【分析】（1）求得二次函数的对称轴，考虑单调性，可得最值；（2）求得二次函数的对称轴，讨论对称轴与的大小关系，可得最大值，解方程可得a．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣5x+5＝（x﹣）2﹣，x∈[0，3]，又因为二次函数的图像开口向上，对称轴为x＝，所以x＝时，f（x）min＝﹣；当x＝0时，f（x）max＝5；（2）f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]，对称轴为x＝，当≤，即a≤时，f（x）max＝f（3）＝8﹣19a＝14，解得a＝﹣；当x＝＞，即a＞时，f（x）max＝f（0）＝5≠14，此时不符合题意．综上可得a＝﹣．22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．【分析】（1）利用f（﹣1）＝0以及函数f（x）的最小值为0，列出关于a，b的方程组，求解即可；（2）求出g（x）的解析式，然后确定函数的对称轴，由二次函数的单调性，列出不等式，求解即可；（3）利用函数为偶函数，求出f（x）和F（x）的解析式，由题意得到|m|＞|﹣n|，表示出F（m）+F（n），即可得到答案．解：（1）因为f（﹣1）＝0，则a﹣b+1＝0①，又f（x）的最小值为0，则a≠0，且b2﹣4a＝0②，由①②解得，a＝1，b＝2，所以f（x）＝x2+2x+1，则；（2）由（1）可得，g（x）＝f（x）﹣kx＝x2+2x+1﹣kx＝x2+（2﹣k）x+1＝，当或，即k≤﹣2或k≥6时，g（x）为单调函数，故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）；（3）因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝ax2+1，则，因为mn＜0，由于m，n的对称性，不妨设m＞n，则n＜0，又m+n＞0，则m＞﹣n＞0，所以|m|＞|﹣n|，所以F（m）+F（n）＝f（m）﹣f（n）＝（am2+1）﹣an2﹣1＝a（m2﹣n2）＞0，所以F（m）+F（n）能大于零．。
2021-2022学年北京市清华附中朝阳学校高一(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年北京市清华附中朝阳学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.）1．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ＜2}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0} B ．{﹣2，﹣1，0，1}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{x |﹣2≤x ＜2}2．下列函数是偶函数的是（ ） A ．f(x)=√x B ．f （x ）＝log 2xC ．f （x ）＝x 2D ．f （x ）＝x 33．若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ．ac 2＞bc 2 B ．ac＞bcC ．a +c ＜b +cD ．a ＞b ﹣c4．设a ，b ∈R ，则“a ＞|b |”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知a ＝0.5，b ＝0.50.6，c ＝log 0.60.5，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a6．函数f （x ）＝x 3﹣x ﹣7的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）7．已知函数y ＝f （x ）可表示为（ ）则下列结论正确的是（ ） A ．f （f （4））＝3B ．f （x ）的值域是{1，2，3，4}C ．f （x ）的值域是[1，4]D ．f （x ）在区间[4，8]上单调递增8．已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）9．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=12log3O100，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100B．900C．81D．910．已知函数f1(x)=2x，f2（x）＝2x+1，g1（x）＝log a x（a＞1），g2（x）＝kx（k＞0），则下列结论正确的是（）A．函数f1（x）和f2（x）的图象有且只有一个公共点B．∃x0∈R，当x＞x0时，恒有g1（x）＞g2（x）C．当a＝2时，∃x0∈（0，+∞），f1（x0）＜g1（x0）D．当a=1k时，方程g1（x）＝g2（x）有解二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．11．函数f(x)=1x−1+log12x的定义域是．12．已知x＞0，y＞0，且x+y＝2，则xy的最大值为．13．3×2−1+lg√2+12lg5+(27)13=．14．已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈（0，1]时，f（x）＝2x，则当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝；函数f（x）在定义域内的值域为．15．方程x+2x＝2的根为a，方程x+log2x＝2的根为b，则a+b＝．16．已知函数f(x)={2x−1，x ＜a−x 2+2a ，x ≥a ，如果函数f （x ）满足对任意x 1∈（﹣∞，a ），都存在x 2∈（a ，+∞），使得f （x 2）＝f （x 1），称实数a 为函数f （x ）的包容数． 在①−12；②12；③1；④√2；⑤32中，函数f （x ）的包容数是 ．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 17．（13分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |0≤x ﹣1≤3}． （Ⅰ）求A ∪B ；（Ⅱ）设非空集合D ＝{x |a ＜x ＜2a +3，a ∈R }，若D ⊆∁U A ，求实数a 的取值范围．18．（13分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣2．（Ⅰ）若f（x）≥0的解集{x|x≤﹣1或x≥2}，求a的值．（Ⅱ）分类讨论不等式f（x）≥0的解集．19．（13分）已知函数f（x）＝a•2x+b的图象过原点，且f（1）＝1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）判断并用定义证明函数g(x)=1f(x)在区间（0，+∞）上的单调性．20．（13分）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品．在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为R （x ）万元，且 R （x ）={500−2x ，0＜x ≤20370+2140x −6250x2，x ＞20． （1）写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．21．（14分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，且满足（1）f（1）＝3；（2）对于任意的u，v∈R，总有f（u+v）＝f（u）+f（v）﹣1；（3）对于任意的u，v∈R，u﹣v≠0，（u﹣v）[f（u）﹣f（v）]＞0．（Ⅰ）求f（0）及f（﹣1）的值；（Ⅱ）求证：函数y＝f（x）﹣1为奇函数；（Ⅲ）若f(12m2)−2f(m−12)＞−2，求实数m的取值范围．22．（14分）定义：给定整数i，如果非空集合A满足如下3个条件：①A⊆N*；②A≠{1}；③∀x，y∈N*，若x+y∈A，则xy﹣i∈A．则称集合A为“减i集”（Ⅰ）P＝{1，2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？（Ⅱ）证明：不存在“减2集”；（Ⅲ）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有的“减1集”；如果不存在，请说明理由．2021-2022学年北京市清华附中朝阳学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.）1．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ＜2}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0} B ．{﹣2，﹣1，0，1}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{x |﹣2≤x ＜2}解：∵A ＝{x |﹣2≤x ＜2}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∩B ＝{﹣2，﹣1，0，1}． 故选：B ．2．下列函数是偶函数的是（ ） A ．f(x)=√xB ．f （x ）＝log 2xC ．f （x ）＝x 2D ．f （x ）＝x 3解：函数f(x)=√x 的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，所以f （x ）为非奇非偶函数，故选项A 错误；函数f （x ）＝log 2x 的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以f （x ）为非奇非偶函数，故选项B 错误；函数f （x ）＝x 2定义域为R ，且f （﹣x ）＝f （x ），所以函数f （x ）为偶函数，故选项C 正确； 函数f （x ）＝x 3定义域为R ，且f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数f （x ）为奇函数，故选项D 错误． 故选：C ．3．若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ．ac 2＞bc 2 B ．a c＞bcC ．a +c ＜b +cD ．a ＞b ﹣c解：∵a ＞b ，c ＜0，∴ac 2＞bc 2，a c与bc大小关系不确定，a +c ＞b +c ，a 与b ﹣c 的大小关系不确定．则下列不等式成立的是A ． 故选：A ．4．设a ，b ∈R ，则“a ＞|b |”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：“a ＞|b |”⇒“a ＞b “，反之不成立． ∴“a ＞|b |”是“a ＞b “的充分不必要条件． 故选：A ．5．已知a＝0.5，b＝0.50.6，c＝log0.60.5，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解：根据y＝0.5x在R上单调递减得0.5＝0.51＜0.50.6＜0.50＝1，根据y＝log0.6x在（0，+∞）上单调递减得log0.60.5＞log0.60.6＝1，所以a＜b＜c．故选：A．6．函数f（x）＝x3﹣x﹣7的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：函数f（x）＝x3﹣x﹣7是连续函数，∵f（2）＝8﹣1﹣7＝﹣1＜0，f（3）＝27﹣2﹣7＝18＞0，∴f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知函数的零点在（2，3）．故选：C．7．已知函数y＝f（x）可表示为（）则下列结论正确的是（）A．f（f（4））＝3B．f（x）的值域是{1，2，3，4}C．f（x）的值域是[1，4]D．f（x）在区间[4，8]上单调递增解：由题意知f（4）＝3，得f（f（4））＝f（3）＝2，故A错误，函数的值域为{1，2，3，4}，故B正确，C错误，f（x）在定义域上不单调，故D错误，故选：B．8．已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）解：不等式f（x）＞0，即2x＞x+1．由于函数y＝2x和直线y＝x+1的图象都经过点（0，1）、（1，2），如图所示：不等式f （x ）＞0的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞），故选：D ．9．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）可以表示为v =12log 3O 100，其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m /s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ）A ．8100B ．900C ．81D ．9 解：鲑鱼游速为2m /s 时的耗氧量为：令v ＝2=12log 3o 100，即4=log 3o 100， 即o 100=34=81，即o ＝8100，鲑鱼静止时耗氧量为：令v ＝0=12log 3o′100，即o′100=1，即o '＝100， 故鲑鱼游速为2m /s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为8100100=81，故选：C ． 10．已知函数f 1(x)=2x ，f 2（x ）＝2x +1，g 1（x ）＝log a x （a ＞1），g 2（x ）＝kx （k ＞0），则下列结论正确的是（ ）A ．函数f 1（x ）和f 2（x ）的图象有且只有一个公共点B ．∃x 0∈R ，当x ＞x 0时，恒有g 1（x ）＞g 2（x ）C ．当a ＝2时，∃x 0∈（0，+∞），f 1（x 0）＜g 1（x 0）D ．当a =1k 时，方程g 1（x ）＝g 2（x ）有解解：选项A ：∵f 1(x)=2x ，f 2（x ）＝2x +1， ∴f 1（0）＝1，f 2（0）＝1，f 1（2）＝4＜f 2（2）＝5，f 1（3）＝8＞f 2（3）＝7，则函数f 1（x ）和f 2（x ）的图象有一个交点（0，1），还有一个交点横坐标在（2，3）上，故选项A 不正确；选项B ：当a ＝2，k ＝1时，g 1（x ）＝log 2x ＜g 2（x ）＝x 恒成立，故不∃x 0∈R ，当x ＞x 0时，恒有g 1（x ）＞g 2（x ），故选项B 不正确；选项C ：当a ＝2时，f 1（x ）与g 1（x ）的图象关于y ＝x 对称，f 1（x ）的图象恒在直线y ＝x 上方， g 1（x ）的图象恒在直线y ＝x 下方，故不存在x 0∈（0，+∞），f 1（x 0）＜g 1（x 0），故选项C 不正确； 选项D ：a =1k 时，g 2（x ）=1a x ，故g 1（x ）＝log a x （a ＞1）和g 2（x ）＝kx （k ＞0）均过点（a ，1），所以方程g 1（x ）＝g 2（x ）有解，故选项D 正确．故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．11．函数f(x)=1x−1+log 12x 的定义域是 （0，1）∪（1，+∞） ．解：要使得函数f(x)=1x−1+log 12x 有意义， 则x ＞0且x ﹣1≠0，解得：x ∈（0，1）∪（1，+∞）．故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．12．已知x ＞0，y ＞0，且x +y ＝2，则xy 的最大值为 1 ．解：因为x ＞0，y ＞0，且x +y ＝2，所以由基本不等式可得，xy ≤（x+y 2）2＝1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，故xy 最大值为1．故答案为：1．13．3×2−1+lg √2+12lg5+(27)13= 5 ． 解：原式=32+lg √2+lg √5+33×13=32+lg （√2×√5）+3=32+lg 1012+3=32+12+3＝5． 故答案为：5．14．已知奇函数f （x ）的定义域为[﹣1，1]，当x ∈（0，1]时，f （x ）＝2x ，则当x ∈[﹣1，0）时，f （x ）＝ ﹣2﹣x ；函数f （x ）在定义域内的值域为 [﹣2，﹣1）∪{0}∪（1，2] ． 解：函数f （x ）为奇函数，且定义域为[﹣1，1]，则f （0）＝0，因为当x ∈（0，1]时，f （x ）＝2x ，则当x ∈[﹣1，0）时，﹣x ∈（0，1]，所以f （﹣x ）＝2﹣x ＝﹣f （x ）， 故f （x ）＝﹣2﹣x ， 所以f(x)={−2−x ，x ∈[−1，0)0，x =02x ，x ∈(0，1]， 当x ∈（0，1]时，f （x ）＝2x 为单调递增函数，所以f （x ）∈（1，2]；当x ＝0时，f （x ）＝0；当x ∈[﹣1，0）时，f （x ）＝﹣2﹣x 为单调递增函数，所以f （x ）∈[﹣2，﹣1）．综上所述，f （x ）在定义域内的值域为[﹣2，﹣1）∪{0}∪（1，2]．故答案为：﹣2﹣x ；[﹣2，﹣1）∪{0}∪（1，2]． 15．方程x +2x ＝2的根为a ，方程x +log 2x ＝2的根为b ，则a +b ＝ 2 ．解：由x +2x ＝2，得2x ＝2﹣x ，由x +log 2x ＝2，得log 2x ＝2﹣x ，在同一平面直角坐标系中画出y ＝2x ，y ＝log 2x 和y ＝2﹣x 的图像，如图所示，设直线y ＝x 与y ＝2﹣x 的交点为A ，联立方程{y =x y =2−x ，解得A （1，1），∵a 为点B 的横坐标，b 为点C 的横坐标，而点A 为点B ，C 的中点，∴a +b ＝2，故答案为：2．16．已知函数f(x)={2x−1，x ＜a −x 2+2a ，x ≥a，如果函数f （x ）满足对任意x 1∈（﹣∞，a ），都存在x 2∈（a ，+∞），使得f （x 2）＝f （x 1），称实数a 为函数f （x ）的包容数．在①−12；②12；③1；④√2；⑤32中，函数f （x ）的包容数是 12，1，√2 ．解：由题意可知：a 应满足{f （x ）|x ＜a }⊆{f （x ）|x ≥a }，当x ＜a 时，f （x ）＝2x ﹣1单调递增，故0＜f （x ）＜2a ﹣1； 当x ≥a 时，f （x ）＝﹣x 2+2a ，若a ≥0，则f （x ）单调递减，则f （x ）≤f （a ）＝﹣a 2+2a ；当a ＜0时，f （x ）在（a ，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，故f （x ）≤f （0）＝2a ， 由题意，只需2a ﹣1≤﹣a 2+2a ， 当a ≥0时，此时a =12，1，√2满足，a =32不满足；当a ＜0时，a =−12不满足，故f （x ）的包容数为：12，1，√2． 故答案为：12，1，√2． 三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17．（13分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |0≤x ﹣1≤3}．（Ⅰ）求A ∪B ；（Ⅱ）设非空集合D ＝{x |a ＜x ＜2a +3，a ∈R }，若D ⊆∁U A ，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |0≤x ﹣1≤3}＝{x |1≤x ≤4}，所以A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤4}；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∁U A ＝{x |x ≤﹣1或x ≥3}，因为非空集合D ＝{x |a ＜x ＜2a +3，a ∈R }，且D ⊆∁U A ，则2a +3≤﹣1或a ≥3且2a +3＞a ，解得﹣3＜a ≤﹣2或a ≥3，故实数a 的取值范围为（﹣3，﹣2]∪[3，+∞）．18．（13分）已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣2．（Ⅰ）若f （x ）≥0的解集{x |x ≤﹣1或x ≥2}，求a 的值．（Ⅱ）分类讨论不等式f （x ）≥0的解集．解：（Ⅰ）∵f （x ）≥0的解集{x |x ≤﹣1或x ≥2}，∴f （x ）＝0的两根为﹣1和2，∴4a +2（a ﹣2）﹣2＝0，∴a ＝1．（Ⅱ）f （x ）≥0⇔（ax ﹣2）（x +1）≥0，①当a ＝0时，则﹣2（x +1）≥0，∴x ≤﹣1，②当a ＞0时，则2a＞−1，∴x ≥2a 或x ≤﹣1， ③当a ＜0时，若2a =−1，即a ＝﹣2时，∴x ＝﹣1，若2a＞−1，即a ＜﹣2时，﹣1≤x ≤2a ， 若2a ＜−1，即﹣2＜a ＜0时，2a ≤x ≤﹣1， 综上，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤﹣1}，当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ≥2a 或x ≤﹣1}，当a ＝﹣2时，不等式的解集为{x |x ＝﹣1}，当﹣2＜a ＜0时，不等式的解集为{x |2a ≤x ≤﹣1}， 当a ＜﹣2时，不等式的解集为{x |﹣1≤x ≤2a }．19．（13分）已知函数f （x ）＝a •2x +b 的图象过原点，且f （1）＝1．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）判断并用定义证明函数g(x)=1f(x)在区间（0，+∞）上的单调性． 解：（Ⅰ）因为函数f （x ）＝a •2x +b 的图象过原点，且f （1）＝1，则{a +b =02a +b =1，解得a ＝1，b ＝﹣1； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，f （x ）＝2x ﹣1，则g （x ）=12x −1， 函数g(x)=1f(x)在区间（0，+∞）上单调递减．证明如下：设0＜x 1＜x 2，则g(x 1)−g(x 2)=12x 1−1−12x 2−1=2x 2−2x1(2x 1−1)(2x 2−1)， 因为0＜x 1＜x 2，所以2x 2−2x 1＞0，2x 1−1＞，2x 2−1＞0，故g （x 1）＞g （x 2），所以函数g(x)=1f(x)在区间（0，+∞）上单调递减．20．（13分）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品．在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为R （x ）万元，且R （x ）={500−2x ，0＜x ≤20370+2140x −6250x 2，x ＞20． （1）写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本）（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．解：（1）当0＜x ≤20时，S ＝xR （x ）﹣（380x +150）＝500x ﹣2x 2﹣380x ﹣150＝﹣2x 2+120x ﹣150，当x ＞20时，S ＝xR （x ）﹣（380x +150）＝370x +2140−6250x −380x ﹣150＝﹣10x −6250x +1990，∴函数S 的解析式为S ={−2x 2+120x −150，0＜x ≤20−10x −6250x +1990，x ＞20．（2）当0＜x ≤20时，S ＝﹣2x 2+120x ﹣150＝﹣2（x ﹣30）2+1650，∴函数S 在（0，20]上单调递增，∴当x ＝20时，S 取得最大值，为1450，当x ＞20时，S ＝﹣10x −6250x +1990＝﹣（10x +6250x ）+1990≤﹣2√10x ⋅6250x +1990＝﹣500+1990＝1490，当且仅当10x =6250x ，即x ＝25时，等号成立，此时S 取得最大值，为1490，∵1490＞1450，∴当年产量为25万台时，该企业获得的利润最大，最大利润为1490万元．21．（14分）已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，且满足（1）f （1）＝3；（2）对于任意的u ，v ∈R ，总有f （u +v ）＝f （u ）+f （v ）﹣1；（3）对于任意的u ，v ∈R ，u ﹣v ≠0，（u ﹣v ）[f （u ）﹣f （v ）]＞0．（Ⅰ）求f （0）及f （﹣1）的值；（Ⅱ）求证：函数y ＝f （x ）﹣1为奇函数；（Ⅲ）若f(12m 2)−2f(m −12)＞−2，求实数m 的取值范围．解：（I ）令u ＝v ＝0，可得f （0）＝f （0）+f （0）﹣1，解得f （0）＝1；令u ＝1，v ＝﹣1，可得f （0）＝f （1）+f （﹣1）﹣1，可得f （﹣1）＝2﹣f （1）＝2﹣3＝﹣1；（II ）证明：令u ＝x ，v ＝﹣x ，即有f （0）＝f （x ）+f （﹣x ）﹣1，即f （x ）+f （﹣x ）＝2，即有f （﹣x ）﹣1＝﹣[f （x ）﹣1]，可得函数y ＝f （x ）﹣1为奇函数；（III ）由对于任意的u ，v ∈R ，u ﹣v ≠0，（u ﹣v ）[f （u ）﹣f （v ）]＞0，可得f （x ）在R 上递增，f(12m 2)−2f(m −12)＞−2⇔f （12m 2）﹣[f （2m ﹣1）+1]＞﹣2⇔ f （12m 2）+2﹣f （2m ﹣1）﹣1＞0⇔f （12m 2）+f （1﹣2m ）﹣1＞0 ⇔f （12m 2+1﹣2m ）＞0， 由于f （﹣1）＝f （−12）+f （−12）﹣1＝﹣1，即f （−12）＝0，即有f （12m 2+1﹣2m ）＞f （−12）， 由f （x ）在R 上递增，可得12m 2+1﹣2m ＞−12， 解得m ＞3或m ＜1，即m 的范围是（﹣∞，1）∪（3，+∞）．22．（14分）定义：给定整数i ，如果非空集合A 满足如下3个条件：①A ⊆N *；②A ≠{1}；③∀x ，y ∈N *，若x +y ∈A ，则xy ﹣i ∈A ．则称集合A 为“减i 集”（Ⅰ）P ＝{1，2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？（Ⅱ）证明：不存在“减2集”；（Ⅲ）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有的“减1集”；如果不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）∵P ⊆N *，P ≠{1}，1+1＝2∈P ，1×1﹣0∈P ，∴P 是“减0集”同理，∵P ⊆N *，P ≠{1}，1+1＝2∈P ，1×1﹣1∉P ，∴P 不是“减1集”．（Ⅱ）假设存在A 是“减2集”，则若x +y ∈A ，那么xy﹣2∈A，①当x+y＝xy﹣2时，有（x﹣1）（y﹣1）＝3，则x，y一个为2，一个为4，所以集合A中有元素6，但是3+3∈A，3×3﹣2∉A，与A是“减2集”，矛盾；②当x+y≠xy﹣2时，则x+y＝xy﹣1或者x+y＝xy﹣m（m＞2），若x+y＝xy﹣1，m＝1时M为除1以外的最小元素，则x＝M﹣1，y＝1时，xy﹣2＝M﹣3小于M，如果要符合题意必须M＝4，此时取x＝2，y＝2，xy﹣2＝2不属于A，故不符合题意．m＞2时，（x﹣1）（y﹣1）＝m+1，同样得出矛盾．综上可得：不存在A是“减2集”．（Ⅲ）存在“减1集”A．A≠{1}．①假设1∈A，则A中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2∈A，1+1∈A，而1×1﹣1∉A，因此2∉A．假设3∈A，1+2∈A，而1×2﹣1∈A，因此3∈A．因此可以有A＝{1，3}．假设4∈A，1+3∈A，而1×3﹣1∉A，因此4∉A．假设5∈A，1+4∈A，1×4﹣1∈A，2+3＝5，2×3﹣1∈A，因此5∈A．因此可以有A＝{1，3，5}．以此类推可得：A＝{1，3，5，……，2n﹣1，……}，（n∈N*），以及A的满足以下条件的非空子集：{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，……．。
2021-2022学年上海中学高一(上)期中数学试卷
2021-2022学年上海中学高一（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）不等式（a 2+1）x ＜3的解为 ___ ．2.（填空题，3分）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数 ___ ．3.（填空题，3分）设正实数x ，y 满足xy=20，则x+4y 的最小值为 ___ ．4.（填空题，3分）给定正实数a ，b ，化简代数式 √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1=___ ． 5.（填空题，3分）已知实数a ，b 满足log 2a=log 5b= √2 ，则lg （ (ab )√2 ）=___ ． 6.（填空题，3分）设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}．若A∩B=A ．则m 的取值范围是 ___ ．7.（填空题，3分）已知集合A={（x ，y ）x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}，则A 的真子集共有 ___ 个．8.（填空题，3分）设集合A=N ，B={x| x+2x−3 ＞0，x∈R}，则A∩∁R B=___ ．9.（填空题，3分）若不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），则不等式-7x 2+bx+a ＞0的解集为 ___ ．10.（填空题，3分）设x ＞1，若log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0，则log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）=___ ．11.（填空题，3分）已知a 、b 、c 均为正实数，则 ab+bca 2+b 2+c 2 的最大值为___ ．12.（填空题，3分）集合A={1，2，4，…，26194}共有 ___ 个数在十进制下的最高位为1． 13.（单选题，4分）设a ，b ，c ，d 为实数，下列说法正确的是（ ） A.若a ＞b ，则a 2＞b 2B.若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则 ac ＞ bd C.若 √a ＞b ，则a ＞b 2 D.若a ＞b ＞0，则a 2＞ab ＞b 214.（单选题，4分）已知实数a ，b ，则“ a+ba−b ＞0”是“|a|＞|b|”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要D.既不充分也不必要15.（单选题，4分）设a=log35，b=log57，则log1549=（）45A. 2b−1−2a1+aB. 2b−2−a1+aC. 2ab−1−2a1+aD. 2ab−2−a1+a16.（单选题，4分）已知实数a，b，c满足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=6，则a2+b2+c2的最大值为（）A.3B.9C.18D.2717.（问答题，6分）若实数x，y满足集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等，求x，y 的值．18.（问答题，8分）解下列不等式：（1）x2-5x+7＜|2x-5|；（2）√x−1 +2x＜5．19.（问答题，10分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．20.（问答题，10分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（k为常（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式x=3- km+1数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k的值，并将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？21.（问答题，14分）已知实数a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．记方程f（x）=0的解集为A，方程g（f（x））=0的解集为B，若满足A=B≠∅，则称f（x），g（x）为一对“太极函数”．问：（1）当a=c=d=1，b=0时，验证f（x），g（x）是否为一对“太极函数”；（2）若f（x），g（x）为一对，“太极函数”，求d的值；（3）已知f（x），g（x）为一对“太极函数”，若a=1，c＞0，方程f（x）=0存在正根m，求c的取值范围（用含有m的代数式表示）．2021-2022学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）不等式（a2+1）x＜3的解为 ___ ．）【正确答案】：[1]（-∞，3a2+1【解析】：根据a²+1＞0，结合不等式性质即可求解．【解答】：解：因为a²+1＞0，，所以该不等式解为x＜3a2+1）．故答案为：（-∞，3a2+1【点评】：本题考查不等式的求解，属于基础题．2.（填空题，3分）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数 ___ ．【正确答案】：[1]{x|x=10n-1，（n∈N*）}【解析】：十进制下个位为9的正整数为10n-1，（n∈N*），用描述法写入集合即可．【解答】：解：十进制下个位为9的正整数为10n-1，（n∈N*），用描述法表示为{x|x=10n-1，（n∈N*）}，故答案为：{x|x=10n-1，（n∈N*）}．【点评】：本题考查了进位制以及集合的表示方法，属于基础题．3.（填空题，3分）设正实数x，y满足xy=20，则x+4y的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]8 √5【解析】：由基本不等式，即可得解．【解答】：解：因为x＞0，y＞0，所以x+4y≥2 √x•4y =2 √4×20 =8 √5，当且仅当x=4y，即x=4 √5，y= √5时，等号成立，所以x+4y的最小值为8 √5．故答案为：8 √5 ．【点评】：本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 4.（填空题，3分）给定正实数a ，b ，化简代数式 √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1=___ ．【正确答案】：[1] √ab【解析】：由 √1a 3= a −13 ， (ab )56 = a 56 • b 56 ， √b 3 ）-1= b −13 代入化简即可．【解答】：解： √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1= a −13 • a 56 • b 56b −13= √a • √b = √ab ， 故答案为： √ab ．【点评】：本题考查了有理数指数幂的化简，属于基础题．5.（填空题，3分）已知实数a ，b 满足log 2a=log 5b= √2 ，则lg （ (ab )√2 ）=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：先把已知的对数式化为指数式，求出a ，b 的值，再利用对数的运算性质求解．【解答】：解：∵log 2a=log 5b= √2 ， ∴a=2 √2 ，b= 5√2 ，∴（ab ） √2 =（2 √2 •5√2 ） √2 =102， ∴lg （ (ab )√2 ）=lg102=2， 故答案为：2．【点评】：本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题． 6.（填空题，3分）设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}．若A∩B=A ．则m 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][4，+∞）【解析】：推导出A⊆B ，列出方程组，能求出m 的取值范围．【解答】：解：集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}，A∩B=A ， ∴A⊆B ，∴ {2−m ≤2m −12−m ≤−22m −1≥5 ， 解得m≥4．∴m 的取值范围是[4，+∞）． 故答案为：[4，+∞）．【点评】：本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，3分）已知集合A={（x ，y ）x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}，则A 的真子集共有 ___ 个．【正确答案】：[1]7【解析】：采用列举法，列举出A 中的元素，再计算真子集个数．【解答】：解：∵A={（x ，y ）|x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}． ∴A={（1，7），（5，5），（7，1）}共3个元素． ∴A 的真子集有23-1=7个． 故答案为：7．【点评】：用列举法写出A 的所有元素是解答本题的关键．属于易做题． 8.（填空题，3分）设集合A=N ，B={x| x+2x−3 ＞0，x∈R}，则A∩∁R B=___ ． 【正确答案】：[1]{0，1，2，3}【解析】：先解一元二次不等式求出集合B ，再根据集合的基本运算即可求解．【解答】：解：∵B={x| x+2x−3＞0，x∈R}={x|（x+2）（x-3）＞0}={x|x ＞3或x ＜-2}，∴∁R B={x|-2≤x≤3}， ∵A=N ，∴A∩（∁R B ）={0，1，2，3}， 故答案为：{0，1，2，3}．【点评】：本题考查集合的基本运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．9.（填空题，3分）若不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），则不等式-7x 2+bx+a ＞0的解集为 ___ ． 【正确答案】：[1]（ 17， 12）【解析】：设y=ax 2+bx-7，ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），得到开口向下，2和7为函数与x 轴交点的横坐标，利用根与系数的关系表示出a 与b 的关系，化简不等式-7x 2+bx+a ＞0即可求得答案．【解答】：解：因为不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞）， 所以 { a ＜0−ba =2+7−7a=2×7 ，解得 {a =−12b =92 ，则不等式-7x 2+bx+a ＞0即为14x²-9x+1＜0， 解得 17＜x ＜12 ，故-7x 2+bx+a ＞0的解集为（ 17 ， 12 ）． 故答案为：（ 17 ， 12 ）．【点评】：此题考查了一元二次不等式的解法，涉及的知识有：二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于基础题．10.（填空题，3分）设x ＞1，若log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0，则log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）=___ ． 【正确答案】：[1]- 14【解析】：利用对数的运算性质求解．【解答】：解：∵log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0， ∴ log 2(12log 2x) + 12log 2(14log 2x) + 14 log 2（log 2x ）=0，∴ log 2[12log 2x•(14log 2x)12•(log 2x )14] =0，∴ 12log 2x • 12(log 2x )12 • (log 2x )14 =1，∴ log 2x •(log 2x )12•(log 2x )14 =4，∵log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）= log 2[14log 2x•(12log 2x)14•(log 2x )12] =log2(12)14 = log22−14 =- 14，故答案为：- 14．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．11.（填空题，3分）已知a、b、c均为正实数，则ab+bca2+b2+c2的最大值为___ ．【正确答案】：[1] √22【解析】：根据基本不等式的性质，利用a2+ 12 b2≥ √2 ab，12b2+c2≥ √2 bc，即可求出ab+bca2+b2+c2的最大值．【解答】：解：a、b、c均为正实数，则a2+ 12 b2≥ √2 ab，12b2+c2≥ √2 bc，∴ ab+bc a2+b2+c2 = ab+bc(a2+12b2)+(12b2+c2)≤√2(ab+bc)= √22，当且仅当a=c= √22b 时，等号成立，∴ ab+bc a2+b2+c2的最大值为√22．故答案为：√22【点评】：本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是中档题．12.（填空题，3分）集合A={1，2，4，…，26194}共有 ___ 个数在十进制下的最高位为1．【正确答案】：[1]1859【解析】：由2m的最高位为1，得到2m x（210）n的最高位也为1，构成以指数幂为10的周期性，得到前三个数最高位数字为l的数为20，24，27，结合周期性，即可求解．【解答】：解：若2m的最高位为1，由210=1024，其中210的最高位为1，可得2m×（210）n 的最高位也为1，所以构成以指数幂为10的周期性，其中前三个数最高位数字为1的数为20，24，27，即每个周期内有3个最高位为1的数字，又由26190=20×210×619，26194=24×210×619的最高位为1，所以在集合A={1，2，4…，26194}中最高位为1的共有619×3+2=1859个．故答案为：1859．【点评】：本题考查了进位制，周期性，属于中档题．13.（单选题，4分）设a，b，c，d为实数，下列说法正确的是（）A.若a＞b，则a2＞b2B.若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac ＞bdC.若√a＞b，则a＞b2D.若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2【正确答案】：D【解析】：根据已知条件，结合特殊值法和作差法，即可求解．【解答】：解：对于A，令a=1，b=-1，满足a＞b，但a2=b2，故A错误，对于B，令a=2，b=1，c=2，d=1，满足a＞b＞0，c＞d＞0，但ac =bd，故B错误，对于C，令a=1，b=-1，满足√a＞b，但a=b2，故C错误，对于D，∵a＞b＞0，∴a-b＞0，a2＞b2，∴a2-ab=a（a-b）＞0，ab-b2=b（a-b）＞0，∴a2＞ab＞b2，故D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查了作差法，以及特殊值法，属于基础题．14.（单选题，4分）已知实数a，b，则“ a+ba−b＞0”是“|a|＞|b|”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【正确答案】：C【解析】：由分式不等式转化为整式不等式，结合平方差公式和绝对值不等式，由充分必要条件的定义可得结论．【解答】：解：已知实数a，b，不等式a+ba−b＞0等价为（a+b）（a-b）＞0，即为a2-b2＞0，即a2＞b2，即为|a|＞|b|，所以“ a+ba−b＞0”是“|a|＞|b|”的充要条件．故选：C．【点评】：本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．15.（单选题，4分）设a=log35，b=log57，则log154945=（）A. 2b−1−2a1+aB. 2b−2−a1+aC. 2ab−1−2a1+aD. 2ab−2−a1+a【正确答案】：D【解析】：利用对数的运算性质和换底公式求解．【解答】：解：∵a=log35，b=log57，∴ab=log37，∴ log154945=log1549-log1545=2log157-log155-2log153= 2log715 - 1log515- 2log315= 2log73+log75 - 11+log53- 21+log35= 21ab +1b- 11+1a- 21+a= 2ab1+a - a1+a- 21+a= 2ab−a−21+a，故选：D．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质和换底公式的应用，是基础题．16.（单选题，4分）已知实数a，b，c满足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=6，则a2+b2+c2的最大值为（）A.3B.9C.18D.27【正确答案】：C【解析】：利用绝对值的性质可知|a|≤3，|b|≤3，|c|≤3，然后取a ，b ，c=±3，不合题意，再取a=3，b=-3，c=0，符合题意，即可得解．【解答】：解：∵6=|a|+|b|+|c|+|a+b+c|≥|（a+b+c ）-a-b+c|=2|c|，∴|c|≤3，同理可得|a|≤3，|b|≤3，若a ，b ，c=±3，显然不可能；若a=3，b=-3，c=0，此时符合题意，则a 2+b 2+c 2=18．故选：C ．【点评】：本题考查代数式最值的求解，考查绝对值的性质及意义，考查运算求解能力，属于中档题．17.（问答题，6分）若实数x ，y 满足集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等，求x ，y 的值．【正确答案】：【解析】：由集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等知，xy=1，此时，{0，1，x}={0，|x|，y}，由此能够求出x ，y 的值．【解答】：解：由集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等知，lg （xy ）=0，即xy=1，此时，{0，1，x}={0，|x|，y}．所以 {x =|x |xy =1y =1或 {x =y xy =1|x |=1 ， 解得x=y=1或x=y=-1．当x=y=1时，A=B={0，1，1}，与集合元素互异性矛盾，应舍去；当x=y=-1时，A=B={-1，0，1}，故x=y=-1．【点评】：本题考查集合相等的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意集合中元素互异性的合理运用．18.（问答题，8分）解下列不等式：（1）x2-5x+7＜|2x-5|；（2）√x−1 +2x＜5．【正确答案】：【解析】：（1）结合不等式的特征，利用函数的对称性去掉绝对值符号求解不等式即可；（2）将不等式进行变形，然后结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得不等式的解集．时，不等式即：x2-5x+7＜2x-5，【解答】：解：（1）当x≥52整理可得x2-7x+12＜0，解得3＜x＜4，令f（x）=x2-5x+7，g（x）=2x-5对称，注意到函数f（x），g（x）均关于直线x=52时不等式的解集为1＜x＜2，由函数的对称性可得当x＜52综上可得，不等式的解集为（1，2）⋃（3，4）．（2）不等式即√x−1＜−2x+5，不等式有解时，x≥1，注意到函数f(x)=√x−1单调递增，函数g（x）=-2x+5单调递减，且f（2）=g（2）=1，结合函数的定义域可得不等式√x−1＜−2x+5的解集为{x|1≤x＜2}．【点评】：本题主要考查含有绝对值不等式的解法，对称性的应用，函数单调性的应用等知识，属于中等题．19.（问答题，10分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知得4-xy=2x+y ，然后结合基本不等式即可求解；（2）由已知先用y 表示x ，然后代入后结合基本不等式可求．【解答】：解：（1）因为xy+2x+y=4，所以4-xy=2x+y ≥2√2xy ，当且仅当2x=y 时取等号，解得 √xy ≤√6−√2 ，故xy 的最大值8-4 √3 ，此时x= √3−1 ，y=2 √3 -2；（2）因为xy+2x+y=4，所以x= 4−y y+2 =-1+ 6y+2 ，所以x+y=-1+ 6y+2 +y=-3+ 6y+2+y+2 ≥−3+2√(y +2)•6y+2 =-3+2 √6 ， 当且仅当y+2= 6y+2 ，即y= √6 -2，x= √6 -1时取等号，x+y 的最小值-3+2 √6 ．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行合理的配凑基本不等式的应用条件．20.（问答题，10分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m≥0）满足关系式x=3- k m+1 （k 为常数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k 的值，并将该产品的年利润y （万元）表示为年促销费用m （万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？【正确答案】：【解析】：（1）当m=0时，x=1，求出k的值，从而得到x，然后利用每件产品的销售价格元，列出y的函数关系式即可；为1.5× 8+16xx（2）利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】：解：（1）由题意可知，当m=0时，x=1，则1=3-k，解得k=2，，所以x=3- 2m+1元，因为每件产品的销售价格为1.5× 8+16xx]-（8+16x+m）∴利润函数y=x[1.5× 8+16xx）-m=4+8x-m=4+8（3- 2m+1+（m+1）]+29（m≥0）．=-[ 16m+1+（m+1）]+29（m≥0），（2）因为利润函数y=-[ 16m+1+（m+1）≥2 √16 =8，所以，当m≥0时，16m+1=m+1，即m=3（万元）时，y max=21（万元）．∴y≤-8+29=21，当且仅当16m+1所以，该厂家促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．【点评】：本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，14分）已知实数a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．记方程f（x）=0的解集为A，方程g（f（x））=0的解集为B，若满足A=B≠∅，则称f（x），g（x）为一对“太极函数”．问：（1）当a=c=d=1，b=0时，验证f（x），g（x）是否为一对“太极函数”；（2）若f（x），g（x）为一对，“太极函数”，求d的值；（3）已知f（x），g（x）为一对“太极函数”，若a=1，c＞0，方程f（x）=0存在正根m，求c的取值范围（用含有m的代数式表示）．【正确答案】：【解析】：（1）根据新定义检验即可；（2）利用新定义计算求解可得d的值；（3）设t=−cm x2+cx，由新定义得关于t的方程t2−cmt+c=0无实根，记ℎ(t)=t2−cmt+c，由二次函数性质求得t的范围，由h（t）min＞0可得c的范围．【解答】：解：（1）若f（x），g（x）是否为一对“太极函救”，由f（x）=x+1=0，得x=-1，所以g（f（-1））=g（0）=1，x=-1不是g（f（x））的零点，所以f（x），g（x）不是一对太极函救；（2）设r为方程的一个根，即f（r）=0，由题设g（f（r））=0，所以g（0）=g（f（r））=d=0；（3）因为d=0，由a=1，f（m）=0得b=−cm，所以f(x)=bx2+cx=−cm x2+cx，g(f(x))=f(x)[f2(x)−cmf(x)+c]，由f（x）=0得x=0或m，易得g（f（x））=0，据题意，g（f（x））的零点均为f（x）的零点，故f2(x)−cmf(x)+c=0无实数根，设t=−cm x2+cx，则t2−cmt+c=0无实根，记ℎ(t)=t2−cmt+c，c＞0时，t=−cm (x−m2)2+mc4≤mc4，ℎ(t)=t2−cmt+c=(t−c2m)2+c−c24m2，mc 4≤c2m，即0＜m≤√2时，ℎ(t)min=ℎ(mc4)=m2c216−c24+c＞0，解得0＜c＜164−m2，mc 4＞c2m，即m＞√2时，ℎ(t)min=ℎ(c2m)=c−c24m2＞0，0＜c＜4m2，综上，m∈(0，√2]时，c∈(0，164−m2)，m∈(√2，+∞)时，c∈（0，4m2）．【点评】：本题主要考查新定义的理解与应用，函数的最值的求解，分类讨论的数学思想，二次函数的最值等知识，属于中等题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021-2022年高一上学期期中考试数学试题（无答案）(III)一．选择题：（3*12=36分）
1．设集合A=，B=，则等于（）
A．B．C．x | x>－3｝D．｛x | x<1｝
2．设集合,则满足的集合B的个数是（）
A．1 B．3 C．4 D．8
3.如果函数在区间上是增函数，那么实数a的取值范围是( )
A、a≤-3
B、a≥-3
C、a≤5
D、a≥5
4.下列四个图象中，是函数图象的是( )
A、(1)
B、(1)、(3)、(4)
C、(1)、(2)、(3)
D、(3)、(4)
5.以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )
A．B．
C．D．
6.已知函数（）
A. B. C. D.
7.的取值范围是有意义，则a a a 04)4(2-+-（ ）
A B. C. D.
8. 的坐标，则点的图象恒过定点已知函数P P a x f x 1-4)(+=是（ ）
A.( 1, 5)
B.( 1,4 )
C.(0,4 )
D.(4,0) 9.{}{}
R x x y y B R x y y A x ∈==∈==,,,22若集合,则（ ）
A B C A=B D A
10.已知log,则( )
A 4 B. C.256 D.2 11.已知=⎩⎨⎧>-≤=)5(.
0),3(0,2)(f x x f x x f x 则函数（ ） A 32 B. 16 C. D.
12.的取值范围是是指数函数，则a a a a y x )232(2+-=（ ）
A. B. C . D .
二．填空题：（4*4=16分）
13. 函数的图象关于y 轴对称，它的定义域为，则 ,b= 。
14.的取值范围是中不等式设x a a a x x 1472,10--><< 。
15．的定义域是 。
16.函数的增区间是 。
三．解答题：（共48分）
17.计算（12分） )3(-))(-6a (26
56131212132b a b b a 18），的图象过点（已知指数函数16,4)(x f 。
(8分) 19. 已知是定义在上的增函数，且求实数的 取值范围。
（结果用集合表示）（8分）
20．解方程 lgx + lg （x+3）=1（6分）
21.已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当时，，
求在时的解析式(6分)。
22.设， 求函数的最大值，最小值。
（8分）
/31252 7A14 稔21876 5574 啴F437141 9115 鄕34378 864A 虊29104 71B0 熰a\Y =WN。