1时间函数f(t)与它的FT频谱称-傅立叶变换对3页
第八章傅氏变换
并称F(ω)为f (t)的象函数
或傅里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或傅里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
傅氏变换对的物理意义
• 1. f (t) 与 F（）构成一个傅氏变换对，它们是由
许多频率的正、余弦分量合成，且非周期函数包
含 0 - - 分量；
• 2. f (t) 是 F（）中各频率分量的分布密度，
即
lim
T
fT (t)
f
(t)
f (t) 1
2
f
( )e-j d e jtd
这个公式称为函数f (t)的傅里叶积分公式
• 余弦傅氏积分公式
f (t) 2
0 0
f
( ) cos
d
cost
d
• 正弦傅氏积分公式
f (t) 2
0
f
(
)
sin
d
sin
t
d
f
(t)
a0 2
n1
(an
cos nwt
bn
sin
nwt)
an cosnwt bn sin nwt an2 bn2 sin(nwt n )
An an2 bn2
n 1,2,;
f (t) Cne jwnt n
Cn
an
jbn 2
,
Cn
an
jbn 2
Cn Cn
an2 bn2 2
称为频谱密度函数 F（） 为振幅谱
arg F()为相位谱
正弦、余弦傅氏变换
余弦傅氏变换
f (t) 2
0 0
f
(
) cos
d
cost
信号基本知识
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脉冲编码调制
对模拟信号的瞬时抽样值量化、编码，以 将模拟信号转化为数字信号
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PCM通信系统由三个部分构成： （1）模／数变换 抽样——把模拟信号在时间上离散化，变为脉冲幅度 调制（PAM）信号。 量化——把PAM信号在幅度上离散化，变为量化值 （共有N个量化值）。 编码——用二进码来表示N个量化值。 （2）信道部分 包括传输线路及再生中继器。 （3）数/模变换 解码——是编码的反过程，解码后还原为PAM信号 低通一一收端低通的作用是恢复或重建原模拟信号。
任意一个周期为T0的周期函数f(t)，只要满 足狄里赫利条件，就可以展开为傅里叶级 数f(t)=A0+∑Ancos(nw0t)+Bnsin(nw0t)，其 中w0=2π/ T0 或者f(t)=C0+ ∑Cncos(nw0t+φn)
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傅里叶级数的物理意义
周期信号经过傅里叶转化的实质是将周期 信号分解为不同频率的谐波分量的加权， 揭示了周期信号的实质 傅里叶分析的实质就是一种频域分析方法， 信号的频域是信号的内在本质，而时域只 是信号的外在形式 傅里叶级数就代表了当前谐波频率的幅值
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抽样
抽样——是每隔一定的时间间隔Ｔ抽取 模拟信号的一个瞬时幅度值（样值） 抽样是由抽样门来完成的
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话音信号频率范围：300∽3400Hz， =3400Hz，这时满足抽样定理的最低的抽 样频率应为6800Hz，为了留有一定的防 卫带，CCITT(ITU-T)规定话音信号的 抽样频率为＝8000Hz，（防卫带为8000 一6800＝1200Hz），。
傅里叶变换最通俗的理解
傅里叶变换最通俗的理解傅里叶变换是一种数学工具，它可以将一个周期性信号分解成多个不同频率的正弦波，并且可以将非周期性信号转换成一个连续的频谱图。
在信号处理、图像处理、音频处理等领域中，傅里叶变换被广泛应用。
本文将从以下几个方面来解释傅里叶变换的原理和应用。
一、什么是傅里叶级数在介绍傅里叶变换之前，我们需要先了解傅里叶级数。
傅里叶级数是一种将周期性函数表示为无穷多个正弦和余弦函数之和的方法。
具体地说，给定一个周期为T的函数f(t)，可以表示为以下形式：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中ω=2π/T，a0、an和bn是常数系数。
这个式子意味着，任何一个周期函数都可以被分解成由不同频率的正弦波组成的和。
这就是傅里叶级数的基本思想。
二、什么是离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是一种将离散时间序列（例如数字信号）转换为频域表示的方法。
它可以将一个长度为N的离散时间序列x(n)转换成一个长度为N的复数序列X(k)，其中k=0,1,...,N-1。
具体地说，DFT可以用以下公式表示：X(k) = Σ(x(n)*exp(-j2πnk/N))其中j是虚数单位，n和k分别是时间和频率的索引。
这个式子意味着，任何一个离散信号都可以被分解成由不同频率的正弦波组成的和。
DFT将原始信号转换成了一组复数表示，其中每个复数表示了对应频率上正弦波和余弦波的振幅和相位。
三、什么是傅里叶变换傅里叶变换（Fourier Transform, FT）是一种将连续时间信号转换为频域表示的方法。
它可以将一个连续时间函数f(t)转换成一个连续频谱函数F(ω)，其中ω是角频率。
具体地说，FT可以用以下公式表示：F(ω) = ∫f(t)*exp(-jωt)dt这个式子意味着，任何一个连续信号都可以被分解成由不同角频率的正弦波组成的积分。
信号与系统练习题
第一章绪论1、选择题1.1、f （5-2t ）是如下运算的结果 CA 、 f （-2t ）右移5B 、 f （-2t ）左移5C 、 f （-2t ）右移25D 、 f （-2t ）左移25 1.2、f （t 0-a t ）是如下运算的结果 C 。
A 、f （-a t ）右移t 0；B 、f （-a t ）左移t 0 ；C 、f （-a t ）右移a t 0；D 、f （-a t ）左移at 0 1.3、已知 系统的激励e(t)与响应r(t)的关系为：)()()(t u t e t r = 则该系统为 B 。
A 、线性时不变系统；B 、线性时变系统；C 、非线性时不变系统；D 、非线性时变系统 1.4、已知 系统的激励e(t)与响应r(t)的关系为：)()(2t e t r = 则该系统为 C 。
A 、线性时不变系统 B 、线性时变系统 C 、非线性时不变系统 D 、非线性时变系统 1.5、已知 系统的激励e(t)与响应r(t)的关系为：)1()(t e t r -= 则该系统为 B 。
A 、线性时不变系统B 、线性时变系统C 、非线性时不变系统D 、非线性时变系统1.6、已知 系统的激励e(t)与响应r(t)的关系为：)2()(t e t r = 则该系统为 B A 、线性时不变系统 B 、线性时变系统 C 、非线性时不变系统 D 、非线性时变系统 1.7.信号)34cos(3)(π+=t t x 的周期为 C 。
A 、π2 B 、π C 、2π D 、π21.8、信号)30cos()10cos(2)(t t t f -=的周期为： B 。
A 、15π B 、5π C 、π D 、10π1.9、dt t t )2(2cos 33+⎰-δπ等于 B 。
A.0 B.-1 C.2 D.-21.10、 若)(t x 是己录制声音的磁带,则下列表述错误的是： BA. )(t x -表示将此磁带倒转播放产生的信号B. )2(t x 表示将此磁带放音速度降低一半播放C. )(0t t x -表示将此磁带延迟0t 时间播放D. )(2t x 表示将磁带的音量放大一倍播放 1.11.=⋅)]([cos t u t dtdA A ．)()(sin t t u t δ+⋅- B. t sin - C. )(t δ D.t cos1.12．信号t t t x o 2cos 4)304cos(3)(++=的周期为 B 。
傅里叶变换和系统的频域
频分复用应用
广泛应用于无线通信、有线电视等领域，提高信号传输的效率和 可靠性。
05
傅里叶变换的局限性
频域混叠现象
频域混叠现象是指由于采样频 率不足或信号频率超出采样频 率的一半，导致频谱出现重叠
的现象。
频域混叠会导致信号失真， 使得信号的频谱分析变得困
调频（FM）、调相（PM）、调相调频 （PM/FM）等。
调制解调器设计原理
利用傅里叶变换将信号从时域转换到频域，实 现信号的调制和解调。
调制解调器应用
用于无线通信、卫星通信等领域，实现信号的传输和接收。
频分复用技术
频分复用原理
将多个信号分配到不同的频率通道上，实现多路信号同时传输。
频分复用技术实现
线性时不变系统的频域分析
线性时不变系统
01
在频域中，线性时不变系统可以用频率响应函数来描述，该函
数将输入信号的频率映射到输出信号的频率。
频域表示
02
通过傅里叶变换，将系统的时域表示转换为频域表示，从而可
以分析系统在不同频率下的行为。
系统特性分析
03
通过分析频率响应函数，可以了解系统的带宽、稳定性、阻尼
定义：对于任何时间函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)定义为： F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdtF(omega) = int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-iomega t} dtF(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdt
傅里叶变换的性质
线性性质
如果f1(t)和f2(t)分别是两个函数的傅里叶变换，那么对于任意常数a和b，有 aF1(ω)+bF2(ω)=af1(t)+bf2(t)aF_1(omega) + bF_2(omega) = a f_1(t) + b f_2(t)aF1(ω)+bF2(ω)=af1(t)+bf2(t)
信号与系统教案第4章FT的性质
可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,… 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量；
A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；
A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
信号与系统 电子教案
第四章 连续系统的频域分析
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
点击目录
第4-1页
信号分解为正交函数 傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的频谱——傅里叶变换 傅里叶变换的性质 周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析 取样定理
，进入相关章节
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
a0 f (t ) a n cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1
系数an , bn称为傅里叶系数
2 an T
第4-10页
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
■
T 2 T 2
f (t ) cos(nt ) d t
2 bn T
信号与系统 电子教案
4.2
傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波 分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
0 f(t)
T/2
T
t
三、傅里叶级数的指数形式
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算不便，因
而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 欧拉公式：cosx=(ejx + e–jx)/2
函数f(t)的傅里叶变换为
函数f(t)的傅里叶变换为
傅里叶变换是一种求解函数f(t)描述的物理系统基本性质的数学工具。
它能将时间空间中的运动转化为频率空间的模式，从而形成函数f(t)的傅立叶变换。
傅里叶变换是一种将函数f(t)从时域到频域，从物理世界到数学世界的有效工具。
它通过计算傅里叶变换系数，得到频域表示函数f(t)的频率频谱。
傅里叶变换能够把飞机飞行轨迹、季节气候变化、声音产生的波形等多种类型的信号转换成数学表达式，从而帮助我们更好地理解它们背后的本质。
傅立叶变换这项数学计算技术对许多科学、工程和医疗领域的发展贡献良多，是一项由宝贵的发现所促进的重要数学发明。
此外，傅里叶变换也由于其易于理解、多样的应用和相对较低的计算复杂性，在科技教育和业余生活中也占据着重要的地位。
通过学习傅里叶变换，我们能够更好地理解数学的神奇世界，观察客观世界中的有趣现象并运用数学工具进行模拟和分析。
因此，掌握傅里叶变换不但能丰富科技学习，也能让我们欣赏和了解更多的美丽客观现象。
6.FT、频谱分析和相关分析ppt
f (t )e jω0t
FT中的基本定理 中的基本定理
• 能量定理 若 f (t ) ↔ F (ω ) ，则有
∞ −∞
∫f
2
(t ) dt =
∫ F (ω ) π
−∞
1
∞
2
dω
• 尺度展缩定理 若 f (t ) ↔ F (ω ) ，将波形 沿时间轴压缩到1/a,即 f (at ) 的FT为
6.
FT、 FT、频谱分析和相关分析
6.1 概述 6.2 地震信号的付氏积分与 地震信号的付氏积分与FT 6.3 FT的实际应用 的实际应用 6.4 线性、时不变系统 线性、 6.5 相关分析
6.1 概 述
• 地震资料数字处理的核 心。包括三种运算
– 傅里叶变换FT – 褶积 – 相关变换。 FT最重要
φ n = arctg ( b n / a n ), n ≥ 0
付氏级数
付氏级数的复数形式
• 从尤拉公式
e ± jωt = cosωt ± j sinωt; e jωt + e − jωt cosωt = , 2 e jωt − e − jωt sinωt = . 2
• 则周期函数展为付氏级数的 付氏级数的 复数形式： 复数形式
若对于有意义的最高频 率成分每周采样不低 于两次，则带限函数 可根据采样所得的离 散序列重现。
采样与假频
• 信号频率：
(a) 75Hz (b) 175Hz (c) 250Hz
• 采样间隔：4ms • f N =125Hz • 假频：
(a) 75Hz-------无 (b) 175Hz-----75Hz (c) 250Hz-----0Hz
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一、填空
1．时间函数f(t)与它的FT频谱称-傅立叶变换对。
2．两个函数的傅立叶变换与逆傅立叶变换都是相等的，这两个函数一定是相等的。
3．信号的傅立叶变换存在的充分条件是信号f(t)绝对可积。
4．偶周期信号的傅立叶级数中只有直流项和余弦项
5．傅立叶变换以及傅立叶逆变换的定义中分别引入了核函数，这两个核函数是共轭对称的。
6．傅立叶正变换的变换核函数为t j
eω-
7．傅立叶变换与傅立叶逆变换的本质是一致的，但是在数学形式上有着某中关系，这种关系称为-对偶性，数学表示为)
-
π
=
t(F[Fω
(f
2
)]
8．信号的时域平移不影响信号的FT的幅度谱，但是会影响到频率谱-。
9．信号在频域中压缩等于在时域中扩展。
10．抽样信号的频率不会超过抽样频率的一半。
11．冲击信号的傅立叶频谱为常数，这样的频谱成为均匀谱或者白色谱。
12．通过与三角函数相乘可以使信号的频谱发生搬移。
13．所谓频谱搬移特性是指时间域信号乘一个复指数信号后的频谱相当于原来的频谱搬移到复指数信号的频率位置处。
14．要保证信号抽样后的离散时间信号没有失真的恢复原始时间连续信号，或者说要保证信号的抽样不导致任何信号丢失，必须满足两个条件：1).信号必须是频带受限的。
第 1 页
第 2 页 2).采样频率至少是信号 最高频率 的2倍。
二、证明
1）若F[f(t)] =)(F ω，则F[f (0t t -)]=)(F ω0
t j e ω- 证明：
因为
F[f(0t t -)]=⎰∞∞--)t t (f 0t j e ω-dt
令
x=0t t -
则
F )]t t (f [0-=F[f (x)]=⎰∞
∞-)x (f )t x (j 0e +ω-dx =0t j e ω-⎰∞
∞-)x (f x j e ω-dx=)(F ω0t j e ω-
2）已知F[f (t)]=2 /ωj ,,f ( t )是奇函数，请证明F （1/ t ）)(f j ωπ-=.。
（提示，根据傅立叶变换与逆傅立叶变换之间的对偶性）
证明过程： 线性性，因为F[f (t)]=2 /ωj ，所以F[ (j /2 )f ( t )]=1 /ω
根据FT 对偶性，可得
F （1/t ）= )(f )2/j ([2ω--π]=)(f j ω-π)(f j ωπ-=
3 三、
（1）已知)t (u e )t (f at -=，求
F[f(t)] 解：dt e )t (u e )(F t j at ⎰+∞
∞-ω--=ω
(2)设g(t)的频谱为)(G ω,求信号f(t)=g(t) )t cos(0ω的傅立叶变换。
解：因为：
第 3 页 所以：f (t)= )e e )(t (g 2
1t j t j 00ω-ω+ 根据频移特性，可得f (t)傅立叶变换为：
希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：
1、宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子。
2、为成功找方法，不为失败找借口。
3、蔚蓝的天空虽然美丽，经常风云莫测的人却是起落无从。
但他往往会成为风云人物，因为他经得起大风大浪的考验。