2014-2015年山东省枣庄市滕州二中高二上学期数学期中试卷带答案(文科)
2015年山东省滕州市第二中学高二上期末数学试题(文)含答案
2014-2015学年度山东省滕州市第二中学高二第一学期期末考试数学文试题本卷满分120分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．直线l 经过坐标原点和点（-1，-1），则直线l 的倾斜角是A ．4πB ．34πC ．4π或34π D ．-4π 2．准线为2y =-的抛物线的标准方程为A ．24x y =B ．24x y =-C ．28x y =D ．28x y =-3．．若0a b <<，则下列结论不成立的是 A ．22b a <B ．11a b a>- C ．2ab a < D ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．0=m 是方程02422=++-+m y x y x 表示圆的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．过原点且倾斜角为60︒的直线被圆22(2)4x y +-=所截得的弦长为（ ）A ．B ．2CD6．命题“若0=ab ，则0=a 或0=b ”的否定是（ ）A ．若0=ab ，则0≠a 或0≠bB ．若0=ab ，则0≠a 且0≠bC ．若0≠ab ，则0≠a 或0≠bD ．若0≠ab ，则0≠a 且0≠b7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．34B ．4C ．324 D ．334 8．已知直二面角βα--l ，点D l BD B C l AC A ,,,,⊥∈⊥∈βα为垂足，点为垂足，若====CD BD AC AB 则,1,2（ ）A ．2B ．3C ．2D ．19．一个动圆与定圆Ｆ：1)2(22=++y x 相外切，且与定直线L ：1=x 相切，则此动圆的圆心Ｍ的轨迹方程是（ ）A ．x y 42= B ．x y 22-=C ．x y 42-=D ．x y 82-=10．椭圆C 的两个焦点分别是12,F F ，若C 上的点P 满足1123||||2PF F F =，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．12e ≤B ．14e ≥C ．1142e ≤≤D ．104e <≤或112e ≤<二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）． 11．双曲线16422=-y x 的渐近线方程是_________________．12．在空间直角坐标系中，若),4,3(),0,4,3(z B A --两点间的距离为10，则=z __________． 13．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 和11B D 所成的角的大小为__________．14．以椭圆221169x y +=的焦点为顶点，以该椭圆的顶点为焦点的双曲线方程是 ．15．双曲线224640x y -+=上的一点P 到一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离为 ．16．如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点F 上，且灯的深度EG 等于灯口直径AB ，且为64 cm ，则光源安装的位置F 到灯的顶端G 的距离为____________cm ．17．椭圆2214x y +=的弦AB 的中点为1(1,)2P ，则弦AB 所在直线的方程是 ．三、解答题（本大题共4小题，满分44分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）． 18．（本题满分12分）已知命题:P 函数()log a f x x =在区间()0,+∞上是单调递增函数；命题:Q 不等式()()042222<--+-x a x a 对任意实数x 恒成立．若P Q ∨是真命题，且P Q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．19．（本题满分12分）如图，已知长方形ABCD 的两条对角线的交点为)0,1(E ，且AB 与BC 所在的直线方程分别为05053=+-=-+y ax y x 与．（1）求AD 所在的直线方程；（2）求出长方形ABCD 的外接圆的方程．20．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB AP ==，4AD =，E F 、依次是PB PC 、的中点．（1）求证：PB AEFD ⊥平面；（2）求直线EC 与平面PAD 所成角的正弦值．21．（本题满分14分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：)0(22>=p px y ，在此抛物线上一点M (2,)m 到焦点的距离是3．（1）求此抛物线的方程；（2）抛物线C 的准线与x 轴交于M 点，过M 点斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点．是否存在这样的k ，使得抛物线C 上总存在点),(00y x Q 满足QB QA ⊥，若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由．2014-2015学年度山东省滕州市第二中学高二第一学期期末考试数学文试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．）．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）．11．2y x =± 12．0 13．60︒ 14．22179x y -=15．17 16．4 17．220x y +-=三、解答题（本大题共4小题，满分44分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．18．（本题满分12分）解：若命题P 为真，则1a >， ．．．．．．．．．．．2分 若命题Q 为真，则20a -=或2204(2)14(2)0a a a -<⎧⎨∆=-+-<⎩ 即22a -<≤ ．．．．．．．．．．．6分 ∵P Q ∨是真命题，且P Q ∧为假命题∴P 真Q 假或P 假Q 真 ．．．．．．．．．．．8分∴122a a a >⎧⎨≤->⎩或 或122a a ≤⎧⎨-<≤⎩ ．．．．．．．．．．．10分即2a >或21a -<≤ ．．．．．．．．．．．12分 19．（本题满分12分）解: （1） ∵ABCD 为正方形 ∴AB ⊥BC ∴3a = ．．．．．．．．．．．2分 由题意知//AD BC ∴设AD 所在的直线方程为30x y C -+=∵长方形ABCD 的两条对角线的交点为)0,1(E ∴E 到BC 的距离和E 到AD 的距离∴=即11C =-∴AD 所在的直线方程3110x y --= ．．．．．．．．．．．6分（2）由350350x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得(1,2)B - ．．．．．．．．．．．8分∴||BE =∴长方形ABCD 的外接圆以E 为圆心以||BE 为半径,即22(1)8x y -+= ．．． 12分 20．（本题满分14分）解：（1）∵PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是矩形∴AD ⊥平面PAB ∴AD PB ⊥∵E 是PB 的中点 A B A P = ∴AE PB ⊥ ∵ABAE A = ∴PB AEFD ⊥平面 ．．．．．．．．．．．6分（2）∵PA ⊥平面ABCD ，∴CD PA ⊥，又CD AD ⊥,∴CD ⊥平面PAD ， ．．．．．．．．．．．8分 取PA 中点G ，CD 中点H ，联结EG GH GD 、、， 则EG AB CD ////且1=12EG AB =， ∴EGHC 是平行四边形，∴//EC HG∴HGD ∠即为直线EC 与平面PAD 所成的角． ．．．．．．．．．．．12分在Rt GAD ∆中，GH = sinHD HGD GH∠===∴直线EC 与平面PAD 所成角的正弦值为6． ．．．．．．．．．．．14分 21．（本题满分14分） 解：（1）抛物线准线方程是2px -=， ．．．．．．．．．．．1分 232p+=，2p ∴= ．．．．．．．．．．．3分 ∴抛物线的方程是24y x = ．．．．．．．．．．．．4分 （2）设),(00y x Q ，),(11y x A ，),(22y x B由⎩⎨⎧+==)1(42x k y x y 得0442=+-k y ky ， ．．．．．．．．．．．．6分 由⎩⎨⎧>-≠0161602k k 得11<<-k 且0≠k ． ．．．．．．．．．．．8分 124y y k+=，124y y = ．．．．．．．．．．．．9分102120101010444y y yy y y x x y y k QA +=--=--=，同理204y y k QB += 由QB QA ⊥得1442010-=+⋅+y y y y ，即：16)(2121020-=+++y y y y y y ， ．．．．．．．．．．．11分 ∴0204020=++y ky ， ．．．．．．．．．．．12分 080)4(2≥-=∆k ，得5555≤≤-k 且0≠k ， 由11<<-k 且0≠k 得，k 的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-55,00,55 ．．．．．．．．．．．14分。
2014-2015学年山东省枣庄市滕州市善国中学高二(上)期中数学试卷
2014-2015学年山东省枣庄市滕州市善国中学高二（上）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共15小题，共75.0分)1.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】解：，故选C．写出数列的第一、三、五、七、九项的和即5a1+（2d+4d+6d+8d），写出数列的第二、四、六、八、十项的和即5a1+（d+3d+5d+7d+9d），都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解，让每一个偶数项减去前一奇数项，有几对得到几个公差，让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数．2.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=（）A.4B.2C.-2D.-4【答案】D【解析】解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a=b-d，c=b+d，由题设得，，解方程组得，或，∵d≠0，∴b=2，d=6，∴a=b-d=-4，故选D．因为a，b，c成等差数列，且其和已知，故可设这三个数为b-d，b，b+d，再根据已知条件寻找关于b，d的两个方程，通过解方程组即可获解．此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列的知识建立等式求解，注意三个成等差数列的数的设法：x-d，x，x+d．3.若a＜b＜0，则下列结论中不恒成立的是（）A.|a|＞|b|B.＞C.a2+b2＞2abD.＞【答案】D【解析】解：若a＜b＜0，不妨设a=-2，b=-1代入各个选项，错误的是A、B，当a=b=-2时，C错．故选D．a，b两数可以是满足a＜b＜0任意数，代入后看所给不等式是否成立，即可得到正确选项．利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法，属于基础题．4.如果在△ABC中，a=3，，c=2，那么B等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由余弦定理知：cos B===，∵B为△ABC内角，即0＜B＜π∴B=．故选：C．由余弦定理可得cos B===，由于B为△ABC内角，即0＜B＜π即可求得B=．本题主要考察了余弦定理的应用，属于基础题．5.由首项a1=1，公比q=2确定的等比数列{a n}中，当a n=64时，序号n等于（）A.4B.5C.6D.7【答案】D【解析】解：由题意可得a n=a1q n-1=2n-1=64，解得n-1=6，即n=7故选D由等比数列的通项公式可得2n-1=64，解方程可得．本题考查等比数列的通项公式，属基础题．6.设a，b，c，d∈R，给出下列命题：①若ac＞bc，则a＞b；②若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；④若ac2＞bc2，则a＞b．其中真命题的序号是（）A.①②B.②④C.①②④D.②③④【答案】B【解析】解：①若ac＞bc，则a＞b，c≤0时不成立；②若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，正确；③若a＞b，c＞d，取a=2，b=1，c=-2，d=-3，则ac＜bd，不成立；④若ac2＞bc2，则a＞b，正确．其中真命题的序号是②④．故选：B．①若ac＞bc，则a＞b，c≤0时不成立；②利用不等式的基本性质即可得出；③若a＞b，c＞d，取a=2，b=1，c=-2，d=-3，则ac＜bd，即可判断出；④若ac2＞bc2，则c2＞0，可得a＞b．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．7.在△ABC中，已知a=5，c=10，A=30°，则B等于（）A.105°B.60°C.15°D.105°或15°【答案】D【解析】解：∵知a=5，c=10，A=30°根据正弦定理可知∴sin C═=∴C=45°或135°B=105°或15°故选D．根据正弦定理知，将题中数据代入即可求出角C的正弦值，然后根据三角形的内角和，进而求出答案．本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用来运用a：b：c=sin A：sin B：sin C解决角之间的转换关系．属于基础题．8.等差数列{a n}前17项和S17=51，则a5-a7+a9-a11+a13=（）A.3B.6C.17D.51【答案】A【解析】解：∵S17===51∴a1+8d=3∴a5-a7+a9-a11+a13=a1+4d-a1-6d+a1+8d-a-10d+a1+12d=a1+8d=1故选A．先根据S17=51求出a1+d的值，再把a1+16代入a5-a7+a9-a11+a13即可得到答案．本题主要考查了等差数列中的通项公式和求和公式．由于公式较多，应注意平时多积累．9.已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）A.5B.4C.8D.6【答案】B【解析】解：∵x＞0，函数≥2=4，当且仅当x=，x=2时，等号成立，故函数的最小值是4，故选：B．由于x＞0，利用基本不等式求得函数的最小值．本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件．10.在△ABC中，∠A=60°，a=，b=3，则△ABC解的情况（）A.无解B.有一解C.有两解D.不能确定【答案】A【解析】解：由正弦定理得：即，解得sin B=＞，因为，sin B∈[-1，1]，故角B无解．即此三角形解的情况是无解．故选A．由a，b及sin A的值，利用正弦定理即可求出sin B的值，求解即可．此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题．11.{a n}为等比数列，S n是其前n项和，若a2•a3=8a1，且a4与2a5的等差中项为20，则S5=（）A.29B.30C.31D.32【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2•a3=8a1，∴=8a1，化为．∵a4与2a5的等差中项为20，∴a4+2a5=40，∴，∴8+16q=40，解得q=2，a1=1．∴S5==31．利用等差数列与等比数列的通项公式可得a1，q，再利用前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式，属于基础题．12.若正实数a，b满足a+b=1，则+的最小值是（）A.4B.6C.8D.9【答案】D【解析】解：∵正实数a，b满足a+b=1，∴+==5+（）≥9故+的最小值是9故选D由已知中正实数a，b满足a+b=1，根据基本不等式“1的活用”，我们将分子式中的“1”全部变形成a+b，然后利用分式的性质，化简得到两数为定值的情况，利用基本不等式即可得到答案．本题考查的知识点是基本不等式在最值问题中的应用，其中对于已知两数之和为定值，求两分式之和的最值时，“1的活用”是最常用的办法．13.在△ABC中，sin A sin B＜cos A cos B，则这个三角形的形状是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】解：若sin A sin B＜cos A cos B，则cos A cos B-sin A sin B＞0，即cos（A+B）＞0，∵在△ABC中，A+B+C=π，∴A+B=π-C，∴cos（π-C）＞0，即-cos C＞0，∵0＜C＜π，∴＜C＜π，即△ABC是钝角三角形．故选：B．把已知的不等式移项后，根据两角和的余弦函数公式化简得到cos（A+B）大于0，然后利用诱导公式得到cos C小于0，即可判断三角形的内角C的大小．推出结果．考查学生灵活运用两角和的余弦函数公式及诱导公式化简求值，会根据三角函数值的正负判断角的范围．14.已知（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A.a＜1或a＞24B.a=7或a=24C.-7＜a＜24D.-24＜a＜7【答案】C【解析】解：因为（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，所以有（3×3-2×1+a）[3×（-4）-2×6+a]＜0，解得-7＜a＜24故选C．将两点坐标分别代入直线方程中，只要异号即可．本题考查线性规划知识的应用．一条直线把整个坐标平面分成了三部分，让其大于0的点，让其大于0的点以及让其小于0的点．15.设{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A. B. C. D.n2+n【答案】A【解析】解：设数列{a n}的公差为d，则根据题意得（2+2d）2=2•（2+5d），解得或d=0（舍去），所以数列{a n}的前n项和．故选A．设数列{a n}的公差为d，由题意得（2+2d）2=2•（2+5d），解得或d=0（舍去），由此可求出数列{a n}的前n项和．本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)16.a＞1，则的最小值是______ ．【答案】3【解析】解：∵a＞1，∴a-1＞0=a-1++1≥2+1=3当a=2时取到等号，故答案为3根据a＞1可将a-1看成一整体，然后利用均值不等式进行求解，求出最值，注意等号成立的条件即可．本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及均值不等式的应用，属于基础题．17.与2的等比中项为______ ．【答案】±2【解析】解：设与2的等比中项为G，则=4，解得G=±2，故答案为：±2．由题意和等比中项的性质直接求出．本题考查等比中项的性质，注意等比中项有两个，属于基础题．18.若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值是______ ．【答案】4【解析】解：由题意作出其平面区域，将z=x+y化为y=-x+z，z相当于直线y=-x+z的纵截距，则由y=6-2x与y=x联立解得，x=2，y=2；故z=2+2=4；故答案为：4．由题意作出其平面区域，将z=x+y化为y=-x+z，z相当于直线y=-x+z的纵截距，由几何意义可得．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．19.已知6，a，b，48成等差数列，6，c，d，48成等比数列，则a+b+c+d的值为______ ．【答案】90【解析】解：根据6，a，b，48成等差数列，可得a+b=6+48=54，根据6，c，d，48成等比数列，可得48=6q3，故公比q=2，故c+d=12+24=36，∴a+b+c+d=54+36=90，故答案为90．根据6，a，b，48成等差数列，可得a+b=6+48，根据6，c，d，48成等比数列，可得48=6q3，故公比q=2，求出c和d的值，即得a+b+c+d的值．本题考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，求出等比数列的公比q=2，是解题的关键．20.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a=1，b=，则S△ABC= ______ ．【答案】【解析】解：在△ABC中，由角A，B，C依次成等差数列，可得A+C=2B，再由三角形内角和公式求得B=．由于a=1，b=，有正弦定理可得，解得sin A=，再结合a＜b求得A=，∴C=，故S△ABC=ab=，故答案为．在△ABC中，由角A，B，C依次成等差数列并结合三角形内角和公式求得B=．由于a=1，b=，由正弦定理可得sin A=，再结合a＜b求得A=，可得C=，再由S△ABC=ab，运算求得结果．本题主要考查等差数列的定义和性质，正弦定理、根据三角函数的值求角，属于中档题．三、解答题(本大题共4小题，共50.0分)21.已知不等式ax2-3x+2＞0（1）若a=-2，求上述不等式的解集；（2）不等式ax2-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．【答案】解：（1）若a=-2，则不等式ax2-3x+2＞0等价为-2x2-3x+2＞0，即2x2+3x-2＜0，（2x-1）（x+2）＜0，解得-2＜x＜，∴不等式的解集为{x|-2＜x＜}．（2）∵不等式ax2-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，∴a＞0，且1，b是对应方程ax2-3x+2=0的两根，∴a-3+2=0，解得a=1．又1×b=，解得b=2．即a=1，b=2．【解析】（1）由已知，即解-2x2-3x+2＞0，可先将二次项系数化为正数，再利用一元二次不等式的解法，求解即可．（2）根据一元二次不等式的性质可知，1，b是方程ax2-3x+2=0的两根，代入求解．此题考查了一元二次不等式的解法，体现了一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间的关系，要熟练掌握三个二次之间的关系．22.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=35，a5和a7的等差中项为13．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令（n∈N﹡），求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为S5=5a3=35，a5+a7=26，所以，…（2分）解得a1=3，d=2，…（4分）所以a n=3+2（n-1）=2n+1；S n=3n+×2=n2+2n．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，所以b n==…（8分）=，…（10分）所以T n=．…（12分）【解析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由已知S5=5a3=35，a5+a7=26，结合等差数列的通项公式及求和公式可求a1，d，进而可求a n，S n，（Ⅱ）由（Ⅰ）可求b n===，利用裂项即可求和本题主要考查了的等差数列的通项公式及求和公式的应用，数列的裂项相消求和方法的应用，属于数列知识的简单综合23.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin B=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ）由2asin B=b，利用正弦定理得：2sin A sin B=sin B，∵sin B≠0，∴sin A=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc•cos A，即36=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=64-3bc，∴bc=，又sin A=，则S△ABC=bcsin A=．【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sin A的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cos A的值代入求出bc的值，再由sin A的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．24.设数列{a n}前n项和S n，且S n=2a n-2，令b n=log2a n（Ⅰ）试求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求证数列{c n}的前n项和T n＜2．【答案】（Ⅰ）解：当n≥2时，a n=S n-S n-1=（2a n-2）-（2a n-1-2）=2a n-2a n-1，所以，a n=2a n-1，即，…（3分）当n=1时，S1=2a1-2，a1=2，…（4分）由等比数列的定义知，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以，数列{a n}的通项公式为，．…（6分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，…（8分）所以，①以上等式两边同乘以，得，②①-②，得=，所以．所以T n＜2．…（12分）【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{c n}的前n项和T n，即可证明结论．本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，考查错位相减法的运用，属于中档题．。
【数学】2014-2015年山东省枣庄市滕州一中高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
2014-2015学年山东省枣庄市滕州一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为（）A．3 B．11 C．8 D．122．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．233．（5分）“a=﹣1”是“（a﹣i）2”为纯虚数的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）α，β是两个不同的平面，则下列命题中错误的是（）A．若α∥β，则α内一定存在直线平行于βB．若α∥β，则α内一定存在直线垂直于βC．若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βD．若α⊥β，则α内一定存在直线垂直于β5．（5分）设a=log3，b=（）0.3，c=lnπ，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c6．（5分）已知，为单位向量，且夹角为，则向量2+与的夹角大小是（）A． B．C．D．7．（5分）关于函数f（x）=2﹣x+lnx，下列说法正确的是（）A．无零点B．有且仅有一个零点C．有两个零点x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＞0D．有两个零点x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＜08．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边且，则角B的大小为（）A．B．C．D．9．（5分）记f（P）为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点P到它的两条渐近线的距离之和；当P在双曲线上移动时，总有f（P）≥b．则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，]C．（1，2]D．（1，]10．（5分）函数f（x）=x3+x﹣sinx的定义域为R，数列{a n}是公差为d的等差数列，且a1+a2+a3+…+a2014＜0，记m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2014）．关于实数m，下列说法正确的是（）A．m恒为负数B．m恒为正数C．当d＞0时，m恒为正数；当d＜0时，m恒为负数D．当d＞0时，m恒为负数；当d＜0时，m恒为正数二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）复数z满足=i，其中i是虚数单位，则z=．12．（4分）如图，一个简单空间几何体的三视图，其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是．13．（4分）函数f（x）=，则不等式f（x）＜4的解集是．14．（4分）已知D是△OAB的边OA的中点，E是边AB的一个三等分点，且=2，若向量=，=，试用，表示向量=．15．（4分）已知1≤x≤2，2≤y≤3，当x，y在可取值范围内变化时，不等式xy ≤ax2+2y2恒成立，则实数a的取值范围是．16．（4分）△ABC中，AB=6，AC=3，M是线段BC上一点，且BC=3BM，若cos ∠CAM=，则BC=．17．（4分）已知A（﹣2，4），B（2，8）是直线y=x+6上两点，若线段AB与椭圆+=1有公共点，则正数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）函数f（x）=sin2ωx+2sinωx•cosωx+3cos2ωx的定义域为[0，]，（1）当ω=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若ω＞0，定义域为[0，]的函数f（x）的最大值为M，如果关于x的方程f（x）=M在区间[0，]有且仅有一个解，求ω的取值范围．19．（14分）设等比数列{a n}的首项为a，公比q＞0，前n项和为S n（1）当a=1时，S1+1，S2+2，S3+1三数成等差数列，求数列{a n}的通项公式；（2）甲：S n，（S n+1+1），S n+2三数构成等差数列，其中n是一个正整数；乙：S n+1，（S n+2+1），S n+3三数构成等差数列，其中n是一个正整数；求证：对于同一个正整数n，甲与乙不能同时为真．20．（15分）如图E，F是正方形ABCD的边CD、DA的中点，今将△DEF沿EF 翻折，使点D转移至点P处，且平面PEF⊥平面ABCEF（1）若平面PAF∩平面PBC=l，求证：l∥BC；（2）求直线BC与平面PAB所成的角的正弦值．21．（15分）已知函数f（x）=ax2﹣3x+2+2lnx（a＞0）（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间，并指出在每个单调区间上是增函数还是减函数；（2）求实数a的取值范围，使对任意的x∈[1，+∞），恒有f（x）≥0成立．22．（14分）抛物线C：y2=4x及圆M：（x﹣3）2+y2=1，（1）过圆上一点P（3，1）的直线l1交抛物线C于A、B两点，若线段AB被点P平分，求直线l1的方程；（2）直线l2交抛物线C于E、F两点，若线段EF的中点在圆M上，求•的取值范围．2014-2015学年山东省枣庄市滕州一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为（）A．3 B．11 C．8 D．12【解答】解：由题意得，A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A 且y∈B}，当x=1时，z=1或2或3；当x=2时，z=2或4或6；当x=3时，z=3或6或9；当x=4时，z=4或8或12；当x=5时，z=5或10或15；所以C={1，2，3，4，6，8，9，12，5，10，15}中的元素个数为11，故选：B．2．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选：C．3．（5分）“a=﹣1”是“（a﹣i）2”为纯虚数的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（a﹣i）2=a2﹣2ai+i2=a2﹣1﹣2ai，若“（a﹣i）2”为纯虚数，则a2﹣1=0且﹣2a≠0，解得a=±1，∴“a=﹣1”是“（a﹣i）2”为纯虚数充分不必要条件，故选：A．4．（5分）α，β是两个不同的平面，则下列命题中错误的是（）A．若α∥β，则α内一定存在直线平行于βB．若α∥β，则α内一定存在直线垂直于βC．若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βD．若α⊥β，则α内一定存在直线垂直于β【解答】解：若α∥β，则由平面与平面平行的性质知，α内任间一条直线都平行于β，故A正确；若α∥β，则由平面与平面平行的性质知，α内任间一条直线都平行于β，故B错误；若α⊥β，则α内的直线与β相交、平行或包含于平面β，故C正确；若α⊥β，则由平面与平面垂直的判定定理知α内一定存在直线垂直于β，故D 正确．故选：B．5．（5分）设a=log3，b=（）0.3，c=lnπ，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：∵＜=0，=1，lnπ＞lne=1，∴c＞b＞a，故选：A．6．（5分）已知，为单位向量，且夹角为，则向量2+与的夹角大小是（）A． B．C．D．【解答】解：由，为单位向量，且夹角为，不妨取=（1，0），则=，∴2+=，∴=，==．设向量2+与的夹角为θ，∴cosθ===，∵θ∈[0，π]，∴．故选：D．7．（5分）关于函数f（x）=2﹣x+lnx，下列说法正确的是（）A．无零点B．有且仅有一个零点C．有两个零点x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＞0D．有两个零点x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＜0【解答】解：f′（x）=﹣1+=，则f（x）=2﹣x+lnx在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又∵x→0时，f（x）→﹣∞，f（1）=2﹣1+0=1＞0，f（e2）=2﹣e2+2＜0，则有两个零点，且在1的两侧；即有两个零点x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，故选：D．8．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边且，则角B的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，∵，由正弦定理可得，化简可得﹣sin（B+C）=2sinAcosB，即﹣sinA=2sinAcosB，解得cosB=﹣，故B=，故选：D．9．（5分）记f（P）为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点P到它的两条渐近线的距离之和；当P在双曲线上移动时，总有f（P）≥b．则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，]C．（1，2]D．（1，]【解答】解：设P（x，y），∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为y=±x，∴f（P）=+≥≥，∵f（P）≥b恒成立．∴，∴，∴双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．故选：C．10．（5分）函数f（x）=x3+x﹣sinx的定义域为R，数列{a n}是公差为d的等差数列，且a1+a2+a3+…+a2014＜0，记m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2014）．关于实数m，下列说法正确的是（）A．m恒为负数B．m恒为正数C．当d＞0时，m恒为正数；当d＜0时，m恒为负数D．当d＞0时，m恒为负数；当d＜0时，m恒为正数【解答】解：∵函数f（x）=x3+x﹣sinx的定义域为R，是奇函数，且它的导数f′（x）=x2+1﹣cosx≥0，故函数f（x）在R上是增函数．数列{a n}是公差为d的等差数列，当d＞0时，数列为递增数列，由a1+a2014＜0，可得a2014＜﹣a1，∴f（a2014）＜f（﹣a1）=﹣f（a1），∴f（a1）+f（a2014）＜0．同理可得，f（a2）+f（a2013）＜0，f（a3）+f（a2012）＜0，…故m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2012）+f（a2014）=f（a1）+f（a2014）+f（a2）+f（a2013）+f（a3）+f（a2012）+…+f（a1007）+f（a1008）＜0．当d＜0时，数列为递减数列，同理求得m＜0．当d=0时，该数列为常数数列，每一项都小于，故有f（a n）＜0，故m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2012）+f（a2014）＜0，故选：A．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）复数z满足=i，其中i是虚数单位，则z=﹣1﹣i．【解答】解：∵复数z满足=i，∴2+z=zi，∴z===﹣1﹣i．故答案为：﹣1﹣i．12．（4分）如图，一个简单空间几何体的三视图，其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是12．【解答】解：由题意一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，∴此几何体是一个正四棱锥，其底面是边长为2的正方形，斜高为2∴此几何体的表面积是S=2×2+4××2×2=4+8=12故答案为：1213．（4分）函数f（x）=，则不等式f（x）＜4的解集是．【解答】解：若x＞0，则由f（x）＜4得x2+1＜4，即x2＜3，解得，此时0＜x＜，若x≤0，则由f（x）＜4得2﹣x＜4，即﹣x＜2，解得x＞﹣2，此时﹣2＜x≤0，综上﹣2＜x＜，故答案为：（﹣2，）14．（4分）已知D是△OAB的边OA的中点，E是边AB的一个三等分点，且=2，若向量=，=，试用，表示向量=+．【解答】解：如图所示，∵AD=DB，=2，∴AE=AB；又∵=，=，∴=﹣=﹣，=+=+（﹣）=+．故答案为：+．15．（4分）已知1≤x≤2，2≤y≤3，当x，y在可取值范围内变化时，不等式xy ≤ax2+2y2恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．【解答】解：由题意，分离参数可得a≥，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，令t=，则1≤t≤3，∴a≥t﹣2t2在[1，3]上恒成立，∵y=﹣2t2+t=﹣2（t﹣）2+∵1≤t≤3，∴y max=﹣1，∴a≥﹣1故答案为：[﹣1，+∞）．16．（4分）△ABC中，AB=6，AC=3，M是线段BC上一点，且BC=3BM，若cos∠CAM=，则BC=．【解答】解：由于BC=3BM，则，则==+，||2=++=1+16+，=+=3+，又=||•3•cos∠CAM=，即有3+=，解得=﹣，即有6×3×cos∠CAB=﹣，即cos∠CAB=﹣，则BC2=62+32﹣2×6×3×cos∠CAB=36+9+=，则BC=．故答案为：17．（4分）已知A（﹣2，4），B（2，8）是直线y=x+6上两点，若线段AB与椭圆+=1有公共点，则正数a的取值范围是．【解答】解：联立，化为（2a2﹣4）x2+12a2x+40a2﹣a4=0，（*）令△=0，及a2＞4，解得a2=20．方程（*）（3x+10）2=0，解得x=﹣．∵＜﹣2＜2．∴切点在线段AB之外．因此把A（﹣2，4）代入椭圆方程可得，及a2＞4，解得+2．把B（2，8）代入椭圆方程可得，及a2＞4，解得a=2+4．由于线段AB与椭圆+=1有公共点，因此正数a的取值范围是．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）函数f（x）=sin2ωx+2sinωx•cosωx+3cos2ωx的定义域为[0，]，（1）当ω=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若ω＞0，定义域为[0，]的函数f（x）的最大值为M，如果关于x的方程f（x）=M在区间[0，]有且仅有一个解，求ω的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+2sinωx•cosωx+3cos2ωx=2+sin2ωx+cos2ωx=2+sin（2ωx+）∵定义域为[0，]，ω=1∴2x+∈[，]故由函数图象和性质可知，f（x）min=2+sin=1．（2）由（1）知，定义域为[0，]的函数f（x）的最大值为M=2+根据题意有2+sin（2ωx+）=2+，关于x的方程f（x）=M在区间[0，]有且仅有一个解，就是sin（2ωx+）=1在区间[0，]有且仅有一个解，∵ω＞0，∴x=时，2ω×，解得ω＜，综上ω∈（0，）．19．（14分）设等比数列{a n}的首项为a，公比q＞0，前n项和为S n（1）当a=1时，S1+1，S2+2，S3+1三数成等差数列，求数列{a n}的通项公式；（2）甲：S n，（S n+1+1），S n+2三数构成等差数列，其中n是一个正整数；乙：S n+1，（S n+2+1），S n+3三数构成等差数列，其中n是一个正整数；求证：对于同一个正整数n，甲与乙不能同时为真．【解答】解：∵等比数列{a n}的首项为a，公比q＞0，前n项和为S n，∴当q=1时，S n=na当q≠1时，S n=（1）当a=1时，若q=1时，S1+1=2，S2+2=4，S3+1=4，S1+1，S2+2，S3+1三数不成等差数列，不符合题意∴q≠1，q＞0若q≠1时，S1+1=2，S2+2=3+q，S3+1=2+q+q2，∵S1+1，S2+2，S3+1成等差数列，∴2（3+q）=4+q+q2，即q2﹣q﹣2=0，q=2，q=﹣1（舍去）所以a n=2n﹣1（2）证明：S n=na，S n+1+1=a（n+1）+1，S n+2=a（n+2）∵S n，（S n+1+1），S n+2三数构成等差数列，其中n是一个正整数，∴得出：2=0，不可能甲正确．S n+1=a（n+1），S n+2+1=a（n+2）+1，S n+3=a（n+3），∵S n+1，（S n+2+1），S n+3三数构成等差数列，其中n是一个正整数，∴2a（n+2）+2=a（n+1）+a（n+3），即2=0，乙不可能正确②当q≠1时，S n=，S n+1+1=+1，S n+2=，∴得出甲：aq n（q2﹣2q﹣1）=2（q﹣1），S n+1=，2+S n+2=+2，S n+3=，∵S n+1，（S n+2+1），S n+3三数构成等差数列，其中n是一个正整数；∴aq n+1（q2﹣2q+1）=4q﹣4，即aq n+1（q+1）=4，乙：即aq n+1（q+1）=4，甲：aq n（q2﹣2q﹣1）=2（q﹣1），如果n是同一个整数则甲乙组成方程组必定有解，化简即可得到：q3﹣2q2+3q+2=0，（q＞0）令f（q）=q3﹣2q2+3q+2，（q＞0）f′（q）=3q2﹣4q+3，（q＞0），∵△=16﹣36＜0，∴f′（q）=3q2﹣4q+3＞0，恒成立（q＞0），即f（q）=q3﹣2q2+3q+2，（q＞0）单调递增函数，f（0）=2＞0，所以可判断：q3﹣2q2+3q+2=0，（q＞0）无解，出现矛盾．由以上可以判断：于同一个正整数n，甲与乙不能同时为真．20．（15分）如图E，F是正方形ABCD的边CD、DA的中点，今将△DEF沿EF 翻折，使点D转移至点P处，且平面PEF⊥平面ABCEF（1）若平面PAF∩平面PBC=l，求证：l∥BC；（2）求直线BC与平面PAB所成的角的正弦值．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，AF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AF∥平面PBC，∵AF⊂平面PAF，平面PAF∩平面PBC=l，∴l∥BC；（2）解：设正方形的边长为2，则取EF的中点O，连接OA，OB，则PO=，OB=，OA=，∴PA=，PB=，∴cos∠APB=，∴sin∠APB=，∴S==△PAB设C到平面PAB的距离为h，=V C﹣PAB，∵V P﹣ABC∴=h，∴h=，∴直线BC与平面PAB所成的角的正弦值=．21．（15分）已知函数f（x）=ax2﹣3x+2+2lnx（a＞0）（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间，并指出在每个单调区间上是增函数还是减函数；（2）求实数a的取值范围，使对任意的x∈[1，+∞），恒有f（x）≥0成立．【解答】解：（1）a=﹣1时，f（x）=﹣x2﹣3x+2+2lnx，f′（x）=﹣2x﹣3+=；令f′（x）=0得x=﹣2，或；∵x＞0，∴0＜x＜，时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在上单调递增，是它的单调增区间；x时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在上单调递减，是它的单调减区间；（2）由题意得，f（1）=a﹣1≥0，∴a≥1；f′（x）=，x＞0，对于二次函数2ax2﹣3x+2，△=9﹣16a＜0；∴2ax2﹣3x+2＞0恒成立，即f′（x）＞0在[1，+∞）上恒成立；∴f（x）在[1，+∞）上递增，所以a≥1时，f（x）≥f（1）=a﹣1≥0恒成立；∴实数a的取值范围是[1，+∞）．22．（14分）抛物线C：y2=4x及圆M：（x﹣3）2+y2=1，（1）过圆上一点P（3，1）的直线l1交抛物线C于A、B两点，若线段AB被点P平分，求直线l1的方程；（2）直线l2交抛物线C于E、F两点，若线段EF的中点在圆M上，求•的取值范围．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l1的斜率为k，则，①，②①﹣②得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），∵线段AB被点P（3，1）平分，∴，∴直线l1的方程为y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0；（2）设E，F的坐标分别为（x3，y3），（x4，y4），∵E、F在抛物线C：y2=4x上，∴•==．由题意可知，当EF的中点分别是圆与x轴的两个交点时，y3y4有最小值﹣16和最大值﹣8，即y 3y 4∈[﹣16，﹣8]， ∴∈[﹣4，0]．∴•的取值范围是[﹣4，0]．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x第21页（共21页）。
【恒心】2015届山东省滕州市高三上学期期中考试数学(文科)试题及参考答案【高清扫描版】
二〇一五届高三定时训练数学文科试题参考答案及评分标准 2014.11一、选择题（每小题5分,共50分）二、填空题(每小题5分,共25分) 11．e312．1-=x y 13．4 14．83π 15．75 三、解答题(共75分)(注意：答案仅提供一种解法，学生的其他正确解法应依据本评分标准，酌情赋分.) 16．解：（1）在△ABC 中,由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A +=,………………………2分 即sin (sin cos )0B A A +=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠所以sin cos 0A A +=)04A π+=， …………………………………4分又因为(0,)A π∈，所以34A π=. …………………………………6分 （2）在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则2512(c c =+-⋅……………………………8分即240c -=，解得c =-或c =10分又1sin 2S bc A =，所以111222S =⨯=. ………………………………12分 17．解：设函数()m x m x x x g --⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=412122，所以()x g 在[1,2]上是增函数，其最小值为()m g -=21，由20x x m +->在[1,2]x ∈上恒成立，因此只要20m ->即可，所以2m <． ………………………………3分又因为2y x =在[0,)+∞上是增函数，1y x =-在(,0)-∞上也是增函数，且10-<，所以()f x 在R 上是增函数，由2()(2)f m f m >+可得22m m >+，解得2m >或1m <-. ……………………………………6分 若p q ∨为真，p q ∧为假，所以p 与q 一真一假 …………………………………7分 若p 真q 假，应有2,12,m m <⎧⎨-≤≤⎩所以12m -≤<； …………………………………9分若p 假q 真，应有2,21,m m m ≥⎧⎨><-⎩或所以2m >； ………………………………11分因此m 的范围是1m ≥-且2m ≠. ……………………………………12分18．解：（1）由已知得=)(x f a ⋅b x x x x cos sin 32sin cos 22+-==cos 222sin(2)6x x x π+=+， ……………………………………3分)(x f 的最小正周期ππ==22T . ……………………………………4分 令226222πππππ+≤+≤-k x k ,Z ∈k ，可得63ππππ+≤≤-k x k （Z ∈k ）,则)(x f 的单调递增区间为]6,3[ππππ+-k k （Z ∈k ）.………………………6分（2）由1310)(=x f 得5sin(2)613x π+=， ……………………………………7分 由,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得]2,3[62πππ-∈+x ，所以1312)62(sin 1)62cos(2=+-=+ππx x ， ………………………………9分 sin 2sin(2)sin(2)cos cos(2)sin 666666x x x x ππππππ=+-=+-+＝51211213213226⨯-⨯=. ……………………………………12分19．解：（1）当800<<x ，*N ∈x 时，2504031250)(50)(2-+-=--=x x x C x x L ,……………………………………2分 当80≥x ，*N ∈x 时，)100001200250)(50)(xx x C x x L +-=--=（,……………………………………4分 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥+-∈<<-+-=.,80 )10000(1200,,800 2504031)(**2N N x x x x x x x x x L ，， ………………………6分（2）当800<<x ，*N ∈x 时，9506031)(2+--=）（x x L此时，当60=x 时，)(x L 取得最大值950)60(=L ,………………………………8分当80≥x ，*N ∈x 时，由,20010000≥+xx 当且仅当100=x 时取等号； 此时1000)(≤x L ，即当100=x 时，)(x L 取得最大值1000)100(=L ，………10分 因为,9501000>所以年产量为100千件时，最大利润是1000万元. ………………………………12分 20. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为,d则()n d a n d d n n na S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=2221121，又，q pn n S n ++=2 所以0,2,121==-=q p da d ，可得0,1,21=-==q a p d ，又532,,a a a 成等比数列，所以5223a a a =，即()()()8241121++=+a a a ，解得01=a ，所以1-=p .………………………6分(2)由（1）知22-=n a n ，又,log log 22n n b n a =+则142-⋅=⋅=n a n n n b n，………………………………8分所以12021443424-⋅++⨯+⨯+=+++=n n n n b b b T 则n n n T 443424432⋅++⨯+⨯+= ， 两式相减可得()31431444443121--=⋅-++++=--n nn n n n T ，所以()[]141391+-=n n n T . ………………………………13分 21．解：(1) 当1-=a 时，()x x x f ln +-=，定义域为()∞+，0， ()xxx x f -=+-='111， ………………………………1分 令()0>'x f ，得10<<x ；令()0<'x f ，得1>x ． ………………………………2分 所以)(x f 在()1,0上是增函数，在()∞+，1上是减函数. ………………………………3分 (2) 由已知得()(]e x x a x f ,0,1∈+='，1x ∈1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，……………………………4分 ① 若1a e≥-，则(),0≥'x f 从而)(x f 在(]e ,0上为增函数，此时，)(x f 的最大值为(),01≥+=ae e f 不合题意．………………………………6分 ② 若1a e <-，由(),0>'x f 得10x a <<-，由0)(<'x f 得1x e a-<<， 从而)(x f 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，在1,e a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数， 此时，)(x f 的最大值为)1ln(1)1(aaf -+-=-，……………………………………8分 令3)1ln(1-=-+-a ，得2)1ln(-=-a ，21-=-e a，2e a -=， 又2e -<1e-，所以2a e =-. ………………………………………………9分 (3) 由(1)知当1-=a 时，)(x f 的最大值为()11-=f ，所以1|)(|≥x f , ………………………10分令21ln )(+=x x x g ，2ln 1)('x xx g -=, …………………………………………11分 令()0>'x g ，得e x <<0，()x g 在()e ,0单调递增；令()0>'x g ，得e x >，()x g 在()+∞,e 单调递减． …………………………… 12分 ()x g 的最大值为1211)(<+=e e g ，即()1<x g . ………………………………13分 因此()()x g xf > ，即21ln |)(|+>x x x f ， 从而方程21ln |)(|+=x x x f 没有实数解. ……………………………………14分。
2014-2015年山东省枣庄市滕州一中高二上学期数学期中试卷及参考答案(文科)
2014-2015学年山东省枣庄市滕州一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=1﹣，记数列{a n}的前n项之积为Πn，则Π2013的为（）A．﹣ B．﹣1 C．D．22．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．753．（5分）下列不等式（1）m﹣3＞m﹣5；（2）5﹣m＞3﹣m；（3）5m＞3m；（4）5+m＞5﹣m其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（5分）已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜75．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．（5分）如果实数a＞b＞0，那么，下列不等式中不正确的是（）A．a2＞b2B．C．D．7．（5分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=，S4=20，则S6=（）A．12 B．24 C．48 D．968．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为（）A．400米B．500米C．700米D．800米9．（5分）数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a2009的值是（）A．2007×2008 B．2008×2009 C．20092D．2009×201010．（5分）某厂去年产值为a，计划在5年内每年产值比上一年增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值是（）A．1.14a B．1.15a C．10（1.15﹣1）a D．11（1.15﹣1）a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．（5分）在等比数列{a n}中，已知a3=4，a6=32，则公比q=．12．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=．13．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块14．（5分）在R上定义运算△：x△y=x（1﹣y）若不等式（x﹣a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步．15．（12分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是A，不等式x2+x﹣6＞0的解集是B，若不等式x2+ax+b＜0的解集是A∩B，则：（1）求A∩B；（2）求a+b．16．（12分）a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC=12，bc=48，角A为锐角．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）已知b+c=14，求边长a．17．（14分）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．（I）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x个，高中班y个）（II）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？18．（14分）已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a2=3，4S2=S4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证数列{2an}是等比数列；＞2S n的成立的n的集合．（3）求使得S n+219．（14分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．20．（14分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1=1，na n+1=2S n（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{a n}的通项a n；（3）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．2014-2015学年山东省枣庄市滕州一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=1﹣，记数列{a n}的前n项之积为Πn，则Π2013的为（）A．﹣ B．﹣1 C．D．2【解答】解：由a1=2，a n+1=1﹣，得，数列的项开始重复出现，呈现周期性，周期为3．且Π3=a1a2a3=﹣1，2013=3×671，所以Π2013=（﹣1）671=﹣1故选：B．2．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=1053．（5分）下列不等式（1）m﹣3＞m﹣5；（2）5﹣m＞3﹣m；（3）5m＞3m；（4）5+m＞5﹣m其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于（1）∵﹣3＞﹣5，∴m﹣3＞m﹣5，对于（2）∵5＞3，∴5﹣m＞3﹣m，对于（3）当m﹣0时，不成立，对于（4）当m=﹣1时，不成立，故正确的个数为2个，故选：B．4．（5分）已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7【解答】解：因为（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，所以有（3×3﹣2×1+a）[3×（﹣4）﹣2×6+a]＜0，解得﹣7＜a＜24故选：C．5．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【解答】解：∵根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=5：11：13∴a：b：c=5：11：13，设a=5t，b=11t，c=13t（t≠0）∵c2=a2+b2﹣2abcosC∴cosC===﹣＜0∴角C为钝角．6．（5分）如果实数a＞b＞0，那么，下列不等式中不正确的是（）A．a2＞b2B．C．D．【解答】解：由于实数a＞b＞0，故a2＞b2＞0，故A正确．由于实数a＞b＞0，可得，故B正确．由于实数a＞b＞0，可得，故C正确．由于实数a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴2﹣a＜2﹣b，即，故D 不正确，故选：D．7．（5分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=，S4=20，则S6=（）A．12 B．24 C．48 D．96【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=，S4=20，∴S4=4×+d=20，解得公差d=3，∴S6=6a1+d=6×+15×3=48，故选：C．8．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为（）A．400米B．500米C．700米D．800米【解答】解：由题意，如图，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°利用余弦定理可得：AB2=3002+5002﹣2×300×500×cos120°∴AB=700米故选：C．9．（5分）数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a2009的值是（）A．2007×2008 B．2008×2009 C．20092D．2009×2010【解答】解：∵a1=0，a n+1=a n+2n，∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=4，…，a2009﹣a2008=4016，∴a2009=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a2009﹣a2008）=0+2+4+…+4016==2008×2009．故选：B．10．（5分）某厂去年产值为a，计划在5年内每年产值比上一年增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值是（）A．1.14a B．1.15a C．10（1.15﹣1）a D．11（1.15﹣1）a【解答】解：由题意，去年产值是a，第一年要比去年产值增加10%，那么第一年就是a+10%a，即a（1+0.1）=1.1a 第二年又比第一年增加10%，所以第二年是a（1+0.1）2=1.12a依此类推，第五年是a（1+0.1）5=1.15a∴五年总产值为：1.1a+1.12a+…+1.15a==11（1.15﹣1）a故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．（5分）在等比数列{a n}中，已知a3=4，a6=32，则公比q=2．【解答】解：在等比数列{a n}中，已知a3=4，a6=32，q3==8，∴q=2．故答案为：2．12．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=2．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°，BC=3，∴由正弦定理=得：AC===2．故答案为：213．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖4n+2块【解答】解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{a n}表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…可知数列{a n}是以6为首项，4为公差的等差数列，∴a n=6+4（n﹣1）=4n+2．故答案为4n+2．14．（5分）在R上定义运算△：x△y=x（1﹣y）若不等式（x﹣a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．【解答】解：根据运算法则得（x﹣a）△（x+a）=（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1化简得x2﹣x﹣a2+a+1＞0在R上恒成立，即△＜0，解得a∈故答案为三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步．15．（12分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是A，不等式x2+x﹣6＞0的解集是B，若不等式x2+ax+b＜0的解集是A∩B，则：（1）求A∩B；（2）求a+b．【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣3＜0解得﹣1＜x＜3，∴A={x|﹣1＜x＜3}由x2+x﹣6＞0解得x＜﹣3或x＞2，∴B={x|x＜﹣3或x＞2}∴∴A∩B=（2，3）（2）由不等式x2+ax+b＜0的解集是x2+ax+b=0，设x2+ax+b=0的两个实数根为x1、x2，则有，根据韦达定理，得：，解得，∴a+b=1．16．（12分）a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC=12，bc=48，角A为锐角．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）已知b+c=14，求边长a．【解答】解：（Ⅰ）由S=bcsinA，得12=×48×sinA，△ABC∴sinA=，∵A为锐角，∴A=60°；（Ⅱ）∵b+c=14，cosA=，bc=48，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=196﹣144=52，解得：a=2．17．（14分）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．（I）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x个，高中班y个）（II）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？【解答】解：（I）设开设初中班x个，高中班y个，根据题意，线性约束条件为…（1分）…（5分）（II）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y…（6分）由（I）作出可行域如图．…（9分）由方程组得交点M（20，10）…（11分）作直线l：2x+3y=0，平移l，当l过点M（20，10），z取最大值70．…（13分）∴开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元．…（14分）18．（14分）已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a2=3，4S2=S4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证数列{2an}是等比数列；＞2S n的成立的n的集合．（3）求使得S n+2【解答】解：（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d由题意得：解得：a 1=1，d=2∴a n=2n﹣1（2）依题，数列{}是首项为2，公比为4的等比数列（3）由a1=1，d=2，a n=2n﹣1得S n=n219．（14分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故，∵A∈（0，π）∴A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．变形得=（sinB+sinC）2﹣sinBsinC又sinB+sinC=1，得sinBsinC=上述两式联立得因为0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B=C=30°所以△ABC是等腰的钝角三角形．20．（14分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1=1，na n+1=2S n（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{a n}的通项a n；（3）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由得，a2=2a1=2，2a3=2S2，则a3=a1+a2=3，由3a4=2S3=2（a1+a2+a3），得a4=4；（2）当n＞1时，由na n=2S n①，得（n﹣1）a n=2S n﹣1②，+1﹣（n﹣1）a n=2（S n﹣S n﹣1），化简得na n+1=（n+1）a n，①﹣②得na n+1∴（n＞1）．∴a2=2，，…，，以上（n﹣1）个式子相乘得（n＞1），又a1=1，∴；（3）∵，∴=．。
【精品】2015学年山东省枣庄市滕州二中高二上学期期中数学试卷和解析(文科)
2014-2015学年山东省枣庄市滕州二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）关于空间两条不重合的直线a、b和平面α，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b2．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b3．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣4x﹣5=0相切，则p的值为（）A．10 B．6 C．4 D．24．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x5．（5分）已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C． D．ln 26．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2 C．3 D．67．（5分）设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．38．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线l 1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．310．（5分）△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3）D．=1（x＞4）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11．（5分）若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是．12．（5分）“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的条件．13．（5分）如果直线l将圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为．14．（5分）若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．15．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1=4，则∠F1PF2的大小为．16．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=．17．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）（1）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．（2）已知命题p：方程2x2+ax﹣a2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x02+2ax0+2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．19．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点（4，﹣）（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（Ⅲ）由（Ⅱ）的条件，求△F1MF2的面积．20．（13分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．21．（14分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？22．（14分）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．2014-2015学年山东省枣庄市滕州二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）关于空间两条不重合的直线a、b和平面α，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b【解答】解：选项A，根据线面平行的判定定理可知，缺一条件a⊄α，故不正确选项B，若a∥α，b⊂α，a与b有可能异面，故不正确选项C，若a∥α，b∥α，a与b有可能异面，相交，平行，故不正确选项D，若a⊥α，b⊥α，则a∥b，满足线面垂直的性质定理，故正确故选：D．2．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b【解答】解：把“若a＞b，则a+c＞b+c”看做原命题，它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置，∴它的逆否命题是：“若a+c≤b+c，则a≤b”，故选：D．3．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣4x﹣5=0相切，则p的值为（）A．10 B．6 C．4 D．2【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣5=0化成标准方程，得（x﹣2）2+y2=9，∴圆心为C（2，0），半径r=3，又∵抛物线y2=2px（p＞0），∴抛物线的准线为x=﹣，∵抛物线的准线与圆相切，∴准线到圆心C的距离等于半径，得|2﹣（﹣）|=3，解之得p=2（舍负）．故选：D．4．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x【解答】解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为，则直线l的方程为，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为，解得a=±8．所以抛物线方程为y2=±8x，故选：C．5．（5分）已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C． D．ln 2【解答】解：∵f（x）=xln x，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1，∵f′（x0）=2，∴f′（x0）=lnx0+1=2，解得x0=e，∴x0的值等于e．故选：B．6．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2 C．3 D．6【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，圆心（3，0）到直线的距离d==，∴r=．故选：A．7．（5分）设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【解答】解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|=2a，（不妨设该点在右支上）又|PF1|+|PF2|=3b，所以，两式相乘得．结合c2=a2+b2得．故e=．故选：B．8．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选：A．9．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．3【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选：B．10．（5分）△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3）D．=1（x＞4）【解答】解：如图设△ABC与圆的切点分别为D、E、F，则有|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11．（5分）若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是2．【解答】解：若a≤b，则ac2≤bc2，为真命题；逆命题为：若ac2≤bc2，则a≤b，为假命题；否命题：若a＞b，则ac2＞bc2，为假命题；逆否命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真命题；故正确命题的个数为2，故答案为：2．12．（5分）“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．【解答】解：若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真，则此时“p且q”不一定为真命题，若“p且q”为真命题，则p，q同时为真，必要性成立，故“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件，故答案为：必要不充分13．（5分）如果直线l将圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为．【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=2，原点到直线l的距离为2，当斜率存在时，设为k，则直线的方程为y+3=k（x﹣2），整理得kx﹣y﹣2k﹣3=0，原点到直线l的距离d=，d2=，整理得（4﹣d2）k2+12k+9﹣d=0，△=144﹣4（4﹣d2）（9﹣d）≥0，求得0＜d≤，故坐标原点O到直线l的最大距离为．故答案为：14．（5分）若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：∵∴f'（x）=x﹣a+由题意可知存在实数x＞0使得f'（x）=x﹣a+=0，即a=x+成立∴a=x+≥2（当且仅当x=，即x=1时等号取到）故答案为：[2，+∞）15．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1=4，则∠F1PF2的大小为．【解答】解：由椭圆方程及PF1=4可知PF2=6﹣4=2，所以cos∠F1PF2===﹣，所以∠F1PF2=π，故答案为：．16．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=2．【解答】解：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，∴x1+x2=3p，x1x2=∴|x1﹣x2|==又求得p=2故答案为217．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是+1．【解答】解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），则|++|≤|++|+||=+1．∴|++|的最大值是+1，故答案为：+1．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）（1）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．（2）已知命题p：方程2x2+ax﹣a2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x02+2ax0+2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增，∵y=1﹣2x为减函数，∴0＜a＜1，∴命题P为真命题时，0＜a＜1，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立，∴a=2或，解得﹣2＜a≤2，∴命题Q为真命题时，1＜a≤2，∵P∨Q是真命题，∴P，Q一真一假，或P，Q均为真当P为真，Q为假时，a为空集当P为假，Q为真时，﹣2＜a≤0，1≤a≤2，当P，Q均为真时，0＜a＜1∴实数a的取值范围（﹣2，2]（2）由2x2+ax﹣a2=0得（2x﹣a）（x+a）=0，∴x=或x=﹣a，∴当命题p为真命题时||≤1或|﹣a|≤1，∴|a|≤2，即﹣2≤a≤2又“只有一个实数x0满足不等式x+2ax0+2a≤0”，即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点，∴△=4a2﹣8a=0，∴a=0或a=2．∴当命题q为真命题时，a=0或a=2．∵命题“p或q”为假命题，∴a＞2或a＜﹣2．即a的取值范围为{a|a＞2或a＜﹣2}．19．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点（4，﹣）（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（Ⅲ）由（Ⅱ）的条件，求△F1MF2的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵离心率e=∴设所求双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）则由点（4，﹣）在双曲线上知λ=42﹣（﹣）2=6∴双曲线方程为x2﹣y2=6（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上则32﹣m2=6∴m2=3由双曲线x2﹣y2=6知F1（2，0），F2（﹣2，0）∴∴，故点M在以F1F2为直径的圆上．=×2C×|M|=C|M|=2×=6（Ⅲ）S△F1MF220．（13分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，∴a=2，b=，c=，∴椭圆C的离心率e==；（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则∵OA⊥OB，∴=0，∴tx0+2y0=0，∴t=﹣，∵，∴|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2=x02+y2++4=x2+++4=+4（0＜x2≤4），因为≥4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02=4时等号成立，所以|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．21．（14分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？【解答】解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴．设AF=4x（m），则BF=3x（m）．∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m．∵，∴CE=（m）．∴（m）．∴，解得：x=20．∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO．设OM=xm，则OP=m，PM=m．∴PC=m，PQ=m．设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m．∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80．解得：10≤x≤35．∴当且仅当x=10时R取到最大值．∴OM=10m时，保护区面积最大．22．（14分）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线R：y2=2px（p＞0）过点（t，），∴2t=2pt，∴p=1，∴抛物线R的方程为y2=2x；（Ⅱ）设直线AB的方程为y=x﹣m，A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程代入抛物线方程，可得x2﹣2（m+1）x+m2=0，△=8m+4＞0，∴m＞﹣，x1+x2=2（m+1），x1x2=m2，∴|x1﹣x2|=2，y1+y2=2，y1y2=﹣2m，∵|FA|=|FC|，∴x C=﹣x1，∴k AC==，直线AC的方程为x﹣y1y+x1=0，①同理直线BD的方程为x﹣y2y+x2=0，②由①②可得E（﹣m，1），=（+x1）（y1﹣1），S△BEF=（+x2）（y2﹣1），∴S△AEFS△BEF=[（2m+1）2+4]（2m+1），∴S△AEF在△ABF中，|AB|=|x1﹣x2|=2，F到直线AB的距离为d=，=|2m﹣1|∴S△ABF∵，∴=，∴m=或m=﹣，∴直线AB的方程为y=x﹣或y=x+．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2014-2015年山东省枣庄市滕州二中新校高二上学期数学期中试卷及参考答案
2014-2015学年山东省枣庄市滕州二中新校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别为（）A．（0，2），2 B．（2，0），4 C．（﹣2，0），2 D．（2，0），22．（5分）下列命题是真命题的为（）A．若，则x=y B．若x2=1，则x=1C．若x=y，则D．若x＜y，则x2＜y23．（5分）过点M（﹣2，4）作圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的切线l，且直线l1：ax+3y+2a=0与l平行，则l1与l间的距离是（）A．B．C．D．4．（5分）抛物线y=2x2的焦点F到准线l的距离是（）A．2 B．1 C．D．5．（5分）原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜0或a＞2 B．a=0或a=2 C．0＜a＜2 D．0≤a≤26．（5分）已知，则m，n之间的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．m≤n7．（5分）若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣48．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k（x﹣2）与此抛物线相交于P，Q两点，则+=（）A．B．1 C．2 D．49．（5分）已知命题p：“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≥0”．命题q：“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若“p∧q”是真命题，则实数a取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≤﹣2或a=1 C．a≤﹣1或1≤a≤2 D．a≥110．（5分）实数x，y满足不等式组，则目标函数z=y﹣ax（a∈R）当且仅当x=1，y=3时取最大值，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）11．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a 1，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在12．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．（5分）若双曲线﹣=1的离心率为，则其渐近线方程为．14．（5分）命题“若x∈A∩B，则x∈A或x∈B”的否命题为．15．（5分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．16．（5分）下列命题成立的是．（写出所有正确命题的序号）．①a，bc∈R，a2+b2+c2≥ab+bc+ac；②当x＞0时，函数，∴当且仅当x2=2x即x=2时f （x）取最小值；③当x＞1时，；④当x＞0时，的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知双曲线C的方程，求与双曲线有共同焦点且经过点的椭圆的方程．18．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N+），．求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知函数f（x）=x2+2x+a（1）当时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．20．（12分）已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）（文科做）已知点P是曲线C上一个动点，点Q是直线x+2y+5=0上一个动点，求|PQ|的最小值．（理科做）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B 的任一直线，都有•？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，集合B=．命题p：x∈A；命题q：x∈B．q是p的充分条件，求实数a的取值范围．22．（12分）已知椭圆M：，直线y=kx（k≠0）与椭圆M交于A、B两点，直线与椭圆M交于C、D两点，P点坐标为（a，0），直线PA和PB斜率乘积为．（1）求椭圆M离心率；（2）若弦AC的最小值为，求椭圆M的方程．2014-2015学年山东省枣庄市滕州二中新校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别为（）A．（0，2），2 B．（2，0），4 C．（﹣2，0），2 D．（2，0），2【解答】解：把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，所以圆心坐标为（2，0），半径为=2故选：D．2．（5分）下列命题是真命题的为（）A．若，则x=y B．若x2=1，则x=1C．若x=y，则D．若x＜y，则x2＜y2【解答】解：A、由得=0，则x=y，为真命题；B、由x2=1得x=±1，x不一定为1，为假命题；C、若x=y，不一定有意义，为假命题；D、若x＜y＜0，x2＞y2，为假命题；故选：A．3．（5分）过点M（﹣2，4）作圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的切线l，且直线l1：ax+3y+2a=0与l平行，则l1与l间的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：因为点M（﹣2，4）在圆C上，所以切线l的方程为（﹣2﹣2）（x﹣2）+（4﹣1）（y﹣1）=25，即4x﹣3y+20=0．因为直线l与直线l1平行，所以﹣=，即a=﹣4，所以直线l1的方程是﹣4x+3y﹣8=0，即4x﹣3y+8=0．所以直线l1与直线l间的距离为=．故选：D．4．（5分）抛物线y=2x2的焦点F到准线l的距离是（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：抛物线化为：x2=y的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p=，故选：D．5．（5分）原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜0或a＞2 B．a=0或a=2 C．0＜a＜2 D．0≤a≤2【解答】解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，解得0＜a＜2，故选：C．6．（5分）已知，则m，n之间的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．m≤n【解答】解：a＞2时，，等号当且仅当，即a﹣2=1，a=3时等号成立x＜0时，有x2﹣2＞﹣2，可得由上知，m＞n故选：A．7．（5分）若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4【解答】解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a=b﹣d，c=b+d，由题设得，，解方程组得，或，∵d≠0，∴b=2，d=6，∴a=b﹣d=﹣4，故选：D．8．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k（x﹣2）与此抛物线相交于P，Q两点，则+=（）A．B．1 C．2 D．4【解答】解：由抛物线y2=8x可得焦点F（2，0），因此直线y=k（x﹣2）过焦点．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．，则，|FQ|=x2+2．联立．化为k2x2﹣（8+4k2）x+4k2=0（k≠0）．∵△＞0，∴，x1x2=4．∴+====．故选：A．9．（5分）已知命题p：“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≥0”．命题q：“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若“p∧q”是真命题，则实数a取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≤﹣2或a=1 C．a≤﹣1或1≤a≤2 D．a≥1【解答】解：“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≥0”．则a≤x2，∵1≤x2≤4，∴a≤1，即p：a≤1．若“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即a2+a﹣2≥0，解得a≥1或a≤﹣2，即q：a≥1或a≤﹣2．若“p∧q”是真命题，则p，q同时为真命题，即，解得a=1或a≤﹣2．实数a取值范围是a=1或a≤﹣2．10．（5分）实数x，y满足不等式组，则目标函数z=y﹣ax（a∈R）当且仅当x=1，y=3时取最大值，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．平移直线y=ax+z，要使目标函数z=y﹣ax（a∈R）当且仅当x=1，y=3时取最大值，即直线y=ax+z经过点A（1，3）时，截距最大，由图象可知当阴影部分必须在直线y=ax+z的右下方，此时只要满足直线y=ax+z的斜率a大于直线AB的斜率即可，直线AB方程为x﹣y+2=0，即y=x+2，直线的斜率为1，∴a＞1．故a的取值范围是（1，+∞）．故选：C．11．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a 1，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在【解答】解：∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得=4a1，∴a m a n=16a12，∴q m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=故选：A．12．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B． C． D．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F 1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．（5分）若双曲线﹣=1的离心率为，则其渐近线方程为y=x．【解答】解：双曲线的离心率e==即：c=a，∴c2=a2+b2=3a2，∴b2=2a2，b=a，∴双曲线的渐近线方程为y=±x=x，故答案是14．（5分）命题“若x∈A∩B，则x∈A或x∈B”的否命题为若x∉A∩B，则x ∉A且x∉B．【解答】解：同时否定条件和结论，得到否命题，所以命题“若x∈A∩B，则x∈A或x∈B”的否命题是：若x∉A∩B，则x∉A且x∉B．故答案为：若x∉A∩B，则x∉A且x∉B．15．（5分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【解答】解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：816．（5分）下列命题成立的是①③④．（写出所有正确命题的序号）．①a，bc∈R，a2+b2+c2≥ab+bc+ac；②当x＞0时，函数，∴当且仅当x2=2x即x=2时f （x）取最小值；③当x＞1时，；④当x＞0时，的最小值为．【解答】解：①由（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，展开得a2+b2+c2≥ab+bc+ac，故正确；②当x＞0时，==3，当且仅当x=1时取等号，∴f（x）最小值为3，故不正确；③当x＞1时，=x+==5，当且仅当x=3时取等号，∴最小值为5，正确；④当x＞0时，=2，当且仅当x=1时取等号，令x+=t≥2，=，令f（t）=，（t≥2）．则f′（t）=1﹣=，∴函数f（t）在[2，+∞）上单调递增，∴f（t）≥f（2）=．故的最小值为，因此正确．综上可知：只有①③④正确．故答案为①③④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知双曲线C的方程，求与双曲线有共同焦点且经过点的椭圆的方程．【解答】解：∵双曲线的焦点为，∴椭圆焦点在y轴上且半焦距是，设椭圆方程为，将点代入得a4﹣26a2+25=0，∴a2=25或a2=1（舍），∴椭圆方程为．18．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N+），．求数列{b n}的前n项和S n．﹣a n=n+1（n∈N+），∴n≥2时a n﹣a n﹣1=n，【解答】解：∵a n+1∴，累加得，又a1=1，∴，经检验n=1也成立，∴，∴，∴．19．（12分）已知函数f（x）=x2+2x+a（1）当时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=时，f（x）＞1即，化简得2x2+4x﹣1＞0，解得x＞﹣1+或x＜﹣1﹣，∴不等式f（x）＞1的解集为：；（2）f（x）＞0即x2+2x+a＞0对∀x∈[1，+∞）恒成立，可化为a＞﹣x2﹣2x对∀x∈[1，+∞）恒成立，令g（x）=﹣x2﹣2x，可知g（x）在[1，+∞）上单调递减，∴当x=1时，g max（x）=﹣3，∴a＞﹣3．20．（12分）已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）（文科做）已知点P是曲线C上一个动点，点Q是直线x+2y+5=0上一个动点，求|PQ|的最小值．（理科做）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B 的任一直线，都有•？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，由题意可知：C上每一点到点F（1，0）的距离与它到直线x=﹣1的距离相等，点P的轨迹是抛物线（去掉顶点）．可得曲线C的方程为y2=4x（x＞0）．（2）（文科）设点P（x，y），满足y2=4x，则点P到直线x+2y+5=0的距离|PQ|====，当y=﹣4时最小，即|PQ|最小值为．（理科）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B （x2，y2）．设l的方程为x=ty+m，由得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，且①又，∵•，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②又，②式可化为即将①代入上式，得m2﹣6m+1＜4t2．∵对任意实数t上式成立，∴m2﹣6m+1＜（4t2）min，而（4t2）min=0．即m2﹣6m+1＜0∴．∴存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有•，且m的取值范围．21．（12分）已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，集合B=．命题p：x∈A；命题q：x∈B．q是p的充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}①当2=3a+1，即时，A=∅，而B≠∅，不满足题意．②当2＜3a+1，即时，A={x|2＜x＜3a+1}∵2a≤a2+1，∴当a=1时，B=∅，B⊆A满足题意．当a≠1时，B={x|2a＜x＜a2+1}∵B⊆A，∴，解得1＜a≤3．③当2＞3a+1，即时，A={x|3a+1＜x＜2}∵B⊆A，∴，解得a=﹣1．综上，a的取值范围为{a|1≤a≤3，或a=﹣1}．22．（12分）已知椭圆M：，直线y=kx（k≠0）与椭圆M交于A、B两点，直线与椭圆M交于C、D两点，P点坐标为（a，0），直线PA和PB斜率乘积为．（1）求椭圆M离心率；（2）若弦AC的最小值为，求椭圆M的方程．【解答】解：（1）设A（x1，y1），由对称性得B（﹣x1，﹣y1）．将A（x1，y1）代入椭圆得，∴．∴．又，∴，∴，∴．（2）椭圆方程可化为x2+2y2=a2，联立解得，设O为坐标原点，则|OA|2=，同理可得|OC|2=．∴|AC|2=+==．当且仅当k2=1即k=±1时取等号，此时，∴a2=2．∴椭圆方程为．。
山东省滕州市第二中学高二上学期期中考试数学理试题 W
2014-2015学年度山东省滕州市第二中学高二第一学期期中考试数学理试题考试时间：120分钟 试卷满分：150一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的） 1．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是 A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n2．函数12)(2+-=ax x x f 在(]2,∞-上是单调递减函数的必要不充分条件是（ ）A ．2≥aB ．6=aC ．3≥aD ．0≥a3．抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线22154y x -=的一个焦点重合，则抛物线的标准方程可能是（ ）A ．24x y =B ．24x y =-C ．212y x =-D ．212x y =-4．执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的 S 属于（ ）A ．[6,2]--B ．[5,1]--C ．[4,5]-D ．[3,6]-5．设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和 y 轴交于点A ,若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）．A ．24y x =± B ．28y x =± C ．24y x = D ．28y x =6．已知椭圆 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为12,F F ，，过2F 的直线l 交C 于,A B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 7．双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r =（ ） A ．3B ．2C ．3D ．68．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得12||||3PF PF b +=，129||||4PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．43B ．53C ．94D ．39．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．115D ．371610．ABC ∆的顶点(5,0),(5,0)A B -,ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．221(3)916x y x -=> D ．221(4)169x y x -=> 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若,a b ≤则22ac bc ≤，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是____．12．椭圆 22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为____． 13．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =____．14．在平面直角坐标系中，O 为原点， (1,0),(3,0)A B C -，动点D 满足1CD =，则OA OB OD ++的最大值是____．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为____．三、解答题：本大题共6小题, 共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题12分）已知命题:P 函数log (12)a y x =-在定义域上单调递增；命题:Q 不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立．若P Q ∨是真命题，求实数a 的取值范围．17．（本题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2AB =，3BAD π∠=，M 为BC 上一点，且12BM =，MP AP ⊥．（1）求PO 的长；（2）求二面角A PM C --的正弦值． 18．（本题12分）是否存在同时满足下列两条件的直线l ：（1）l 与抛物线x y 82=有两个不同的交点A 和B ；（2）线段AB 被直线1:550l x y +-=垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l 的方程．19．（本题12分）已知椭圆22:2 4.C x y +=（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且,OA OB ⊥求线段AB 长度的最小值．20．（本题13分）))(,(000a x y x P ±≠是双曲线E ：)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为51．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足→→→+=---------OB OA OC λ，求λ的值．21．（本题14分）如图，O 为坐标原点，椭圆221221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线222221(0)x y C a b a b-=>>：的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知12e e =，且241F F =． （1）求12C C ，的方程；（2）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．2014-2015学年度山东省滕州市第二中学高二第一学期期中考试数学理试题参考答案1-10DDDDB AABAC 11．212．23π 13．214．115．解析：考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014-2015学年山东省枣庄市滕州二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）关于空间两条不重合的直线a、b和平面α，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b2．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b3．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣4x﹣5=0相切，则p的值为（）A．10 B．6 C．4 D．24．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x5．（5分）已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C． D．ln 26．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2 C．3 D．67．（5分）设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．38．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l 1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．310．（5分）△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3）D．=1（x＞4）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11．（5分）若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是．12．（5分）“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的条件．13．（5分）如果直线l将圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为．14．（5分）若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．15．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1=4，则∠F1PF2的大小为．16．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=．17．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）（1）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．（2）已知命题p：方程2x2+ax﹣a2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x02+2ax0+2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．19．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点（4，﹣）（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（Ⅲ）由（Ⅱ）的条件，求△F1MF2的面积．20．（13分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．21．（14分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？22．（14分）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．2014-2015学年山东省枣庄市滕州二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）关于空间两条不重合的直线a、b和平面α，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b【解答】解：选项A，根据线面平行的判定定理可知，缺一条件a⊄α，故不正确选项B，若a∥α，b⊂α，a与b有可能异面，故不正确选项C，若a∥α，b∥α，a与b有可能异面，相交，平行，故不正确选项D，若a⊥α，b⊥α，则a∥b，满足线面垂直的性质定理，故正确故选：D．2．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b【解答】解：把“若a＞b，则a+c＞b+c”看做原命题，它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置，∴它的逆否命题是：“若a+c≤b+c，则a≤b”，故选：D．3．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣4x﹣5=0相切，则p的值为（）A．10 B．6 C．4 D．2【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣5=0化成标准方程，得（x﹣2）2+y2=9，∴圆心为C（2，0），半径r=3，又∵抛物线y2=2px（p＞0），∴抛物线的准线为x=﹣，∵抛物线的准线与圆相切，∴准线到圆心C的距离等于半径，得|2﹣（﹣）|=3，解之得p=2（舍负）．故选：D．4．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x【解答】解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为，则直线l的方程为，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为，解得a=±8．所以抛物线方程为y2=±8x，故选：C．5．（5分）已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C． D．ln 2【解答】解：∵f（x）=xln x，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1，∵f′（x0）=2，∴f′（x0）=lnx0+1=2，解得x0=e，∴x0的值等于e．故选：B．6．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2 C．3 D．6【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，圆心（3，0）到直线的距离d==，∴r=．故选：A．7．（5分）设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【解答】解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|=2a，（不妨设该点在右支上）又|PF1|+|PF2|=3b，所以，两式相乘得．结合c2=a2+b2得．故e=．故选：B．8．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选：A．9．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．3【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l 2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选：B．10．（5分）△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3）D．=1（x＞4）【解答】解：如图设△ABC与圆的切点分别为D、E、F，则有|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11．（5分）若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是2．【解答】解：若a≤b，则ac2≤bc2，为真命题；逆命题为：若ac2≤bc2，则a≤b，为假命题；否命题：若a＞b，则ac2＞bc2，为假命题；逆否命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真命题；故正确命题的个数为2，故答案为：2．12．（5分）“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．【解答】解：若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真，则此时“p且q”不一定为真命题，若“p且q”为真命题，则p，q同时为真，必要性成立，故“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件，故答案为：必要不充分13．（5分）如果直线l将圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为．【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=2，原点到直线l的距离为2，当斜率存在时，设为k，则直线的方程为y+3=k（x﹣2），整理得kx﹣y﹣2k﹣3=0，原点到直线l的距离d=，d2=，整理得（4﹣d2）k2+12k+9﹣d=0，△=144﹣4（4﹣d2）（9﹣d）≥0，求得0＜d≤，故坐标原点O到直线l的最大距离为．故答案为：14．（5分）若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：∵∴f'（x）=x﹣a+由题意可知存在实数x＞0使得f'（x）=x﹣a+=0，即a=x+成立∴a=x+≥2（当且仅当x=，即x=1时等号取到）故答案为：[2，+∞）15．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1=4，则∠F1PF2的大小为．【解答】解：由椭圆方程及PF1=4可知PF2=6﹣4=2，所以cos∠F1PF2===﹣，所以∠F1PF2=π，故答案为：．16．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=2．【解答】解：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，∴x1+x2=3p，x1x2=∴|x1﹣x2|==又求得p=2故答案为217．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是+1．【解答】解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），则|++|≤|++|+||=+1．∴|++|的最大值是+1，故答案为：+1．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）（1）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．（2）已知命题p：方程2x2+ax﹣a2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x02+2ax0+2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增，∵y=1﹣2x为减函数，∴0＜a＜1，∴命题P为真命题时，0＜a＜1，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立，∴a=2或，解得﹣2＜a≤2，∴命题Q为真命题时，1＜a≤2，∵P∨Q是真命题，∴P，Q一真一假，或P，Q均为真当P为真，Q为假时，a为空集当P为假，Q为真时，﹣2＜a≤0，1≤a≤2，当P，Q均为真时，0＜a＜1∴实数a的取值范围（﹣2，2]（2）由2x2+ax﹣a2=0得（2x﹣a）（x+a）=0，∴x=或x=﹣a，∴当命题p为真命题时||≤1或|﹣a|≤1，∴|a|≤2，即﹣2≤a≤2又“只有一个实数x0满足不等式x+2ax0+2a≤0”，即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点，∴△=4a2﹣8a=0，∴a=0或a=2．∴当命题q为真命题时，a=0或a=2．∵命题“p或q”为假命题，∴a＞2或a＜﹣2．即a的取值范围为{a|a＞2或a＜﹣2}．19．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点（4，﹣）（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（Ⅲ）由（Ⅱ）的条件，求△F1MF2的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵离心率e=∴设所求双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）则由点（4，﹣）在双曲线上知λ=42﹣（﹣）2=6∴双曲线方程为x2﹣y2=6（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上则32﹣m2=6∴m2=3由双曲线x2﹣y2=6知F1（2，0），F2（﹣2，0）∴∴，故点M在以F1F2为直径的圆上．=×2C×|M|=C|M|=2×=6（Ⅲ）S△F1MF220．（13分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，∴a=2，b=，c=，∴椭圆C的离心率e==；（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则∵OA⊥OB，∴=0，∴tx0+2y0=0，∴t=﹣，∵，∴|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2=x02+y2++4=x2+++4=+4（0＜x2≤4），因为≥4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02=4时等号成立，所以|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．21．（14分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？【解答】解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴．设AF=4x（m），则BF=3x（m）．∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m．∵，∴CE=（m）．∴（m）．∴，解得：x=20．∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO．设OM=xm，则OP=m，PM=m．∴PC=m，PQ=m．设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m．∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80．解得：10≤x≤35．∴当且仅当x=10时R取到最大值．∴OM=10m时，保护区面积最大．22．（14分）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线R：y2=2px（p＞0）过点（t，），∴2t=2pt，∴p=1，∴抛物线R的方程为y2=2x；（Ⅱ）设直线AB的方程为y=x﹣m，A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程代入抛物线方程，可得x2﹣2（m+1）x+m2=0，△=8m+4＞0，∴m＞﹣，x 1+x 2=2（m +1），x 1x 2=m 2， ∴|x 1﹣x 2|=2，y 1+y 2=2，y 1y 2=﹣2m ，∵|FA |=|FC |，∴x C =﹣x 1， ∴k AC ==，直线AC 的方程为x ﹣y 1y +x 1=0，①同理直线BD 的方程为x ﹣y 2y +x 2=0，② 由①②可得E （﹣m ，1），∴S △AEF =（+x 1）（y 1﹣1），S △BEF =（+x 2）（y 2﹣1）， ∴S △AEF S △BEF =[（2m +1）2+4]（2m +1），在△ABF 中，|AB |=|x 1﹣x 2|=2，F 到直线AB 的距离为d=，∴S △ABF=|2m ﹣1|∵，∴=，∴m=或m=﹣，∴直线AB 的方程为y=x ﹣或y=x+．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.A变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F第21页（共21页）。