山东省济南市历城二中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
山东省济南市2019-2020学年上学期高一年级期末学习质量评估数学试题答案
高一年级学习质量评估考试数学参考答案一、单项选择题1．C 2．C 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．B二、多项选择题9．BD 10．AB 11．ACD 12．BCD三、填空题13. 5- 14．25π 15．3- 16．1，4 四、解答题17．【解析】（1）因为1a =，所以{1}N x x =>， ........................................................................... 1分所以有{|14}M N x x =<<， ..................................................................................... 3分{|1}M N x x =>-． .................................................................................................... 5分（2）若x M ∈是x N ∈的充分不必要条件， 则有M N ， ................................................................................................................. 7分 所以1a -． ................................................................................................................. 10分 18．【解析】（1）由三角函数定义可知：4sin 5α=，3cos 5α=-，4tan 3α=-．............................................................................. 3分 （2）（法一）（i ）由题意可知：cos cos sin sin 0αβαβ-=， ............................................................ 5分 即cos cos sin sin ,αβαβ= 所以有：13tan tan 4βα==-．........................................................................................... 7分 （ii ）原式=22cos 2sin cos sin ββββ+=212tan tan ββ+ .......................................................... 9分 =1615-． ............................................................................................................................... 12分 （法二）（i ）由题意可知：,2k k αβπ+=+π∈Z ， ....................................................................... 5分 所以13tan tan()cot 2tan 4k βαααπ=+π-===-， ......................................................... 7分 （ii ）由22sin cos 1sin 3tan cos 4βββββ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩，可知3sin 54cos 5ββ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3sin 54cos 5ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ................................... 9分原式=22cos 2sin cos sin ββββ+=16252492525-+=1615- ................................................................. 12分 19．【解析】（1）由题意可知：()sin 22f x x x = ................................................................................................ 2分12(sin 22)2x x =2sin (2)3π=+x ． ............................................................................................................ 3分 因为22π==πT ，所以()f x 的最小正周期为π． .................................................... 4分（2）（i ）因为[0,]2π∈x ，所以42[,]333πππ=+∈z x ， ................................................ 6分因为sin y z =，4[,]33ππ∈z 的单调递减区间是4[,]23ππ， 且由42233πππ+x ，得122ππx ，所以()f x 的单调递减区间为[,]122ππ． ........................................................................ 8分（ii ）由（i ）可知当[0,]12π∈x 时，()f x 单调递增，当[,]122ππ∈x 时，()f x 单调递减，且()2sin 2122ππ==f ，4()2sin 23ππ==f (0)2sin 3π==f所以：当12π=x 时，()f x 取最大值为2， ................................................................ 10分 当2π=x 时，()f x 取最小值为 ......................................................................... 12分 20．【解析】（1）当040x << 时,22()6100102002000104002000L x x x x x x =⨯---=-+-；.................. 2分 当40x ≥ 时,1000010000()6100601450020002500()L x x x x x x=⨯--+-=-+ ..............4分 所以 2104002000,040()100002500(),40⎧-+-<<⎪=⎨-+⎪⎩x x x L x x x x ............................. 5分 （2）当040x <<时，所以22()10400200010(20)2000=-+-=--+L x x x x ，所以当20x =时，max ()(20)2000L x L ==； ................................ 7分 当40x ≥时，所以10000()2500()250025002002300=-+--=L x x x ， ........ 9分 当且仅当10000x x =，即100x =时，..................................... 10分 所以max ()(100)23002000==>L x L .故该企业能落户新旧动能转换先行区. ................................... 12分 21. 【解析】（1）因为41(1)123f a a =-=+ ...................................................................................... 1分 解得2a = ................................................................................................................... 2分 （2）()f x 是奇函数. .................................................................................................. 3分由2a =得：421()122221-=-=⋅++x x x f x 故2112()()2112-----===-++x xx x f x f x ，所以()f x 是奇函数 ................................ 6分 （3）方法一：代入2a =可得21()21x x f x -=+ 因为21()121-=⋅-+x x g x k 有零点，所以21()1021-=⋅-=+x x g x k 有实根.显然0x =不是()0g x =的实根，所以2121x x k +=-有实根. .......................................... 8分设2x t =，1()1t h t t +=-，（(0,1)(1,)t ∈+∞）.因为2()1+1h t t =-①当(0,1)t ∈时，1(1,0)t -∈-，所以111t <--， 所以2()1+11h t t =<--②当(1,)t ∈+∞时，1(0,)t -∈+∞， 所以2()1+11h t t =>-综上，()h t 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞ 所以，当(,1)(1,)k ∈-∞-+∞时，2121x x k +=-有实根，即21()121x x g x k -=-+有零点. ............................................................................................ 12分 方法二：代入2a =可得21()21x x f x -=+ 因为21()121-=⋅-+x x g x k 有零点，所以21()1021-=⋅-=+x x g x k 有实根. 所以(1)21x k k -=+有实根.显然，1k =时上式不成立，所以121x k k +=-有实根. ............................................... 8分 因为20x >，所以101k k +>- 所以11k k <->或.所以，当(,1)(1,)k ∈-∞-+∞时，121x k k +=-有实根. 即21()121-=⋅-+x x g x k 有零点. ..................................................................................... 12分 22．【解析】（1）方法一：设log a x M =所以x M a = ................................................................................................................ 2分 所以()n x n nx M a a ==所以log log n a a M nx n M ==，得证. ........................................................................ 4分方法二：设M n x a log = 所以M nx a log = ........................................................................... 2分 所以M a n x =所以n x M a =所以n a M x log =所以M n a log na M log = .................................................................................... 4分 方法三：因为log =n a M n a M log log ()==a a n M M n n a a M ............................................................................................... 2分所以log log =na a M n M a a所以log log =n a a M n M 得证. ...................................................................................... 4分 （2）方法一： 34223lg3lg8lg16lg3lg2lg2()()lg4lg9lg27lg2lg3lg3+=+ ................................................................................. 5分lg33lg24lg2()2lg22lg33lg3=+ ..................................................................................................... 7分lg317lg22lg26lg3=⋅ 1712=.................................................................................................................................. 8分 方法二： )16log 8(log 3log )27lg 16lg 9lg 8lg (4lg 3lg 2794+=+ =)2log 2(log 3log 43333222+ ......................................................................................... 5分 =)2log 342log 23(3log 21332+ .......................................................................................... 7分 =2log 6173log 2132⋅ 1712=....................................................................................................................................... 8分 （3）方法一： 设2020110201910k k +<<，*k ∈N所以2020lg20191k k <<+ ....................................................................................... 10分 所以2020lg20191k k <<+所以2020 3.3051k k <⨯<+所以6675.16676.1k << ........................................................................................... 11分 因为*k ∈N所以6676k =所以20202019的位数为6677 ................................................................................. 12分 方法二：设N =20202019所以N lg 2019lg 2020= ................................................................................................ 10分所以N lg 305.32020=⨯所以1.6676lg =N所以66761.01.6676101010⨯==N …………………………………………………………………………………11分 因为101011.0<<，所以N 有6677位数,即20202019的位数为6677 ........................................................... 12分。
2023-2024学年山东省济南高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省济南高一上册期末数学试题一、单选题1．设集合{|1}A x x =≥，{}2|20B x x x =--<，则A B ⋃=（）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x ≥C ．{|11}x x -<<D ．{|12}x x ≤<【正确答案】A【分析】解出集合{}|12=-<<B x x ，根据并集的运算法则求得结果.【详解】由220x x --<，得(2)(1)0x x -+<，得12x -<<即{}|12=-<<B x x ，则A B ⋃={|1}x x >-故选：A.2．已知p ：02x <<，那么p 的一个充分不必要条件是（）A ．13x <<B ．11x -<<C ．01x <<D ．03x <<【正确答案】C【分析】利用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】对于A ，(1,3)(0,2)⊄，且(0,2)(1,3)⊄，即13x <<是p 的不充分不必要条件，A 不是；对于B ，(1,1)(0,2)-⊄，且(0,2)(1,1)⊄-，即11x -<<是p 的不充分不必要条件，B 不是；对于C ，(0,1)(0,2)，即01x <<是p 的一个充分不必要条件，C 是；对于D ，(0,2)(0,3)，即03x <<是p 的必要不充分条件，D 不是.故选：C3．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a【正确答案】B【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4．函数3()6x f x x =+的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】由题可得函数定义域，函数()f x 的奇偶性及其在0x >时的函数值符号，结合排除法即得.【详解】对任意的x ∈R ，660x +≥>，故函数3()6x f x x =+的定义域为R ，故A 错误；又当0x >时，()0f x >，故B 错误；因为33()()()66x x f x f x x x ---===--++，所以()f x 为奇函数，故C 错误.故选：D.5．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩,所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6．已知π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．45±B ．45C ．45-D ．35【正确答案】D 【分析】根据πππ626αα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭及诱导公式即可求解.【详解】∵π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴ππππ3sin cos cos 62635ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选:D ．7．已知函数()1e e 3x xf x x-=-++，若()2f m =，则()f m -=（）A ．2-B ．4-C ．2D ．4【正确答案】D【分析】令()()3g x f x =-，由奇偶性定义可知()g x 为奇函数，由()()0g m g m +-=可构造方程求得结果.【详解】令()()13e e x xg x f x x -=-=-+，则()()1e e x xg x g x x--=--=-，()g x ∴为定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，()()0g m g m ∴+-=，即()()330f m f m --+-=，()()64f m f m ∴-=-=.故选：D.8．定义在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数3cos y x =与8tan y x =的图象交点为00(,)P x y ，则0sin x 的值为（）A ．13BC ．23D．3【正确答案】A【分析】将P 点坐标代入两个函数的解析式，结合同角三角函数的基本关系式求得0sin x .【详解】依题意0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0000008sin 3cos ,8tan cos x y x y x x ===，所以008sin 3cos cos x x x =，2003cos 8sin x x =，()20031sin 8sin x x -=，2003sin 8sin 30x x +-=，()()00sin 33sin 10x x +-=，其中0sin 30x +>，所以0013sin 10,sin 3x x -==.故选：A二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若22ac bc >，则a b>B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0b a >>，0c >，则b c ba c a+>+D ．若0a b >>，则11a b b a+>+【正确答案】AD【分析】通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.【详解】对于A ，∵22ac bc >，∴0c ≠，∴20c >，∴210c>，∴222211ac bc c c ⨯>⨯，∴a b >，故选项A 正确；对于B ，当2a =，1b =，0c =，2d =-时，有a b >，c d >，但此时2a c -=，3b d -=，a c b d -<-，故选项B 错误；对于C ，当1a =，2b =，1c =时，有0b a >>，0c >，但此时32b c a c +=+，2b a =，b c ba c a+<+，故选项C 错误；对于D ，∵0a b >>，∴0ab >，∴10ab>，∴11a b ab ab ⨯>⨯，∴11b a>，由不等式的同向可加性，由a b >和11b a >可得11a b b a+>+，故选项D 正确.故选：AD.10．已知函数()1f x x =-，()2g x x =．记{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，则下列关于函数()()(){}()max ,0F x f x g x x =≠的说法正确的是（）A ．当()0,2x ∈时，()2F x x=B ．函数()F x 的最小值为2-C ．函数()F x 在()1,0-上单调递减D ．若关于x 的方程()F x m =恰有两个不相等的实数根，则21m -<<-或1m >【正确答案】ABD【分析】得到函数()1,1022,102x x x F x x x x --≤<≥⎧⎪=⎨<-<<⎪⎩或或，作出其图象逐项判断.【详解】由题意得：()1,1022,102x x x F x x x x --≤<≥⎧⎪=⎨<-<<⎪⎩或或，其图象如图所示：由图象知：当()0,2x ∈时，()2F x x=，故A 正确；函数()F x 的最小值为2-，故正确；函数()F x 在()1,0-上单调递增，故错误；方程()F x m =恰有两个不相等的实数根，则21m -<<-或1m >，故正确；故选：ABD11．已知函数π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，下列选项中正确的是（）A ．()f x 的最小值为2-B ．()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 的图象关于π8x =对称D ．()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上值域为21,3⎤⎦【正确答案】BD【分析】根据三角函数的最值、单调性、对称性、值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】当2ππ22π4x k -=-，Z k ∈，即ππ8x k =-，Z k ∈时，π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最小值，最小值为211-+=-，A 错误；当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2,444x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，则π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；当π8x =时，πππ()2sin 211884f ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，故C 错误；ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ3π24,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当ππ244x -=或3π4，即π4x =或π2时，π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最小值，最小值为2112+=，当ππ242x -=，即3π8x =时，π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最大值，最大值为2113⨯+=，故值域为1,3⎤⎦，D 正确.故选：BD12．关于函数()|ln |2||f x x =-，下列描述正确的有（）A ．函数()f x 在区间(1,2)上单调递增B ．函数()y f x =的图象关于直线2x =对称C ．若12x x ≠，但()()12f x f x =，则122x x +=D ．函数()f x 有且仅有两个零点【正确答案】ABD【分析】根据函数图象变换，可得图像，利用图象注意检测选项，可得答案.【详解】由函数ln y x =，x 轴下方图象翻折到上方可得函数ln y x =的图象，将y 轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数ln ln y x x ==-的图象，将函数图象向右平移2个单位，可得函数()ln 2ln 2y x x =--=-的图象，则函数()|ln |2||f x x =-的图象如图所示.由图可得函数()f x 在区间(1,2)上单调递增，A 正确；函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，B 正确；若12x x ≠，但()()12f x f x =，若1x ，2x 关于直线2x =对称，则124x x +=，C 错误；函数()f x 有且仅有两个零点，D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知正实数x ，y 满足111x y+=，则4x y +最小值为______．【正确答案】9【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.【详解】 正数x ，y 满足：111x y+=，∴()114445529y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即2x y =，233x y ==，时“=”成立，故答案为.914．已知tan 2α=，则22sin cos cos ααα-=______．【正确答案】35##0.6【分析】根据同角三角函数之间的基本关系，以及“1”的妙用即可将22sin cos cos ααα-转化为tan α的形式，代入即可求得结果.【详解】由题意知，222222sin cos cos 2sin cos cos 2sin cos cos 1sin cos ααααααααααα---==+又因为sin tan cos ααα=，将上式分子分母同时除以2cos α得222tan 12sin cos cos tan 1ααααα--=+代入tan 2α=即可得，2222tan 122132sin cos cos tan 1215ααααα-⨯--===++故3515．若函数()()()12log ,02,0xx x f x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()2f f =⎡⎤⎣⎦______．【正确答案】12##0.5【分析】首先计算()21f =-，从而得到()()21f f f =-⎡⎤⎣⎦，即可得到答案.【详解】因为()122log 21f ==-，所以()()112122f f f -=-==⎡⎤⎣⎦.故1216．如果定义在R 上的函数()f x ，对任意12x x ≠都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数为“H 函数”，给出下列函数，其中是“H 函数”的有_____________（填序号）①()31f x x =+②11()2x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭③2()1f x x =+④21,1()45,1x f x xx x x ⎧-<-⎪=⎨⎪++≥-⎩【正确答案】①④．【分析】不等式11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+等价为1212()[()()]0x x f x f x -->，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．【详解】 对于任意的不等实数1x ，2x ，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，∴不等式等价为1212()[()()]0x x f x f x -->恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数；①()f x 在R 上单调递增，符合题意；②()f x 在R 上单调递减，不合题意；③()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，不合题意；④()f x 在R 上单调递增，符合题意；故①④．四、解答题17．设{},56,{|6U R A x x B x x ==-<≤=≤-或2}x >，求：（1）A B ⋂；（2）()()U U A B 痧【正确答案】（1）{}26x x <≤；（2）{|2x x ≤或6}x >.【分析】（1）根据集合交集的概念及运算，即可求解；（2）根据补集的运算，求得,U U A B 痧，再结合集合并集的运算，即可求解.【详解】（1）由题意，集合{}56,{|6A x x B x x =-<≤=≤-或2}x >，根据集合交集的概念及运算，可得{}26A B x x ⋂=<≤.（2）由{},56,{|6U R A x x B x x ==-<≤=≤-或2}x >，可得{|5U A x =≤ð或6}x >，{|62}U B x x =-<≤ð，所以()()U U A B 痧{|2x x =≤或6}x >.18．已知4cos 5α=-，且α为第三象限角.(1)求sin α的值；(2)求()()tan()sin()sin 2cos f ππαπαααπα⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭=+的值.【正确答案】(1)35-(2)920-【分析】（1）根据同角三角函数关系平方和公式求解即可；（2）由题知3tan 4α=，再根据诱导公式化简计算即可.【详解】（1）解：因为4cos 5α=-，且α为第三象限角，所以3sin 5α==-，（2）解：由（1）知sin 3tan cos 4ααα==，()()tan()sin()sin 2cos f ππαπαααπα⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭=+tan sin cos tan 33sin cos 94520αααααα-⋅⋅===⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭-.19．已知函数()π2sin 2,R4f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭(1)求()f x 的最大值及对应的x 的集合；(2)求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；【正确答案】(1)()max 2f x =，此时x 的集合为3π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭(2)3π7π0,,,π88⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【分析】（1）根据正弦函数的最值结合整体思想即可得解；（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得出答案.【详解】（1）解：当ππ2242π+x k -=，即3ππ,Z 8x k k =+∈时，()max 2f x =，所以()max 2f x =，此时x 的集合为3π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）令πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤-≤+∈，则π3πππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，又因[]0,πx ∈，所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为3π7π0,,,π88⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.20．已知函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值；(2)解关于m 的不等式()()211f m f m +>-.【正确答案】(1)1-(2)()(),20,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断0x ≥时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可.【详解】（1）函数的定义域为R ，函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数,()()f x f x ∴-=，即()()22log 41log 41x x kx kx -+-=++，()()22224142log 41log 41log log 4241x x x x x x kx x --+∴=+-+===-+，1k ∴=-；（2）()()222411log 41log log 222x x x x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当0x ≥时，121,22x x xy ≥=+在[0,)+∞单调递增，()f x \在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，在(],0∞-上单调递减，()()211f m f m +>- ，211m m ∴+>-，解得2m <-或0m >，所以所求不等式的解集为()(),20,∞∞--⋃+。
山东高一高中数学期末考试带答案解析
山东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ，c ＞d ，则下列不等式成立的是（ ）. A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．a+c ＞b+dC ．ac ＞bdD ．＞2.已知直线ax+2y+2=0与3x ﹣y ﹣2=0平行，则系数a=（ ）. A ．﹣3B ．﹣6C ．D ．3.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中AB 的中点为M ，DD 1的中点为N ，则异面直线B 1M 与CN 所成的角是（ ）.A ．0°B ．45°C ．60°D ．90°4.在等差数列{a n }中，若a 3+a 7=10，则等差数列{a n }的前9项和S 9等于（ ）. A ．45 B ．48 C ．54D ．1085.圆x 2+y 2=1和圆x 2+y 2﹣6y+5=0的位置关系是（ ）. A ．外切 B ．内切 C ．外离D ．内含6.不等式x （2﹣x ）≤0的解集为（ ） A ．{x|0≤x≤2} B ．{x|x≤0，或x≥2}C ．{x|x≤2}D ．{x|x≥0}7.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥C ﹣ABD 的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．8.设甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是（ ） A ．B ．C ．D ．9.如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，SO ⊥底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知x ＞0，y ＞0，且是3x 与33y 的等比中项，则+的最小值是（ ） A ．2B ．2C ．4D ．211.已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若，则= _________ ．二、填空题1.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a=4，b=4，∠A=30°，∠B= _________ ．2.已知数列{a n }的通项公式a n =，若前n 项和为6，则n= _________ ．3.若实数x ，y 满足不等式组，则z=2x ﹣4y 的最小值是 _________ ．4.如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面是边长为1的正方形，SD ⊥底面ABCD ，且SD=，则平面BSC 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为 _________ ．三、解答题1.已知三角形的三个顶点是A （4，0），B （6，6），C （0，2）． （1）求AB 边上的高所在直线的方程； （2）求AC 边上的中线所在直线的方程．2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b=3，c=8，角A 为锐角，△ABC 的面积为6．（1）求角A 的大小； （2）求a 的值．3.已知以点C （1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y ﹣1=0相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）求过圆内一点P （2，﹣）的最短弦所在直线的方程．4.某企业要建造一个容积为18m 3，深为2m 的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得能总造价最低？最低总造价为多少？5.如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，且△ABC 为正三角形，AA 1=AB=6，D 为AC 的中点． （1）求证：直线AB 1∥平面BC 1D ； （2）求证：平面BC 1D ⊥平面ACC 1A ； （3）求三棱锥C ﹣BC 1D 的体积．6.已知单调递增的等比数列{a n }满足a 1+a 2+a 3=14，且a 2+1是a 1，a 3的等差中项． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；（3）若存在n ∈N *，使得S n+1﹣2≤8n 3λ成立，求实数λ的最小值．山东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.若实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ，c ＞d ，则下列不等式成立的是（ ）. A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．a+c ＞b+dC ．ac ＞bdD ．＞【答案】B【解析】试题分析:选项A:当，则，故A 错误； 选项B ：,，故B 正确； 选项C:当，则，故C 错误选项D:当，则，故D 错误;故选B.【考点】不等式的性质.2.已知直线ax+2y+2=0与3x ﹣y ﹣2=0平行，则系数a=（ ）. A ．﹣3B ．﹣6C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析:可化为，其斜率；可化为，其斜率；因为直线ax+2y+2=0与3x ﹣y ﹣2=0平行，所以，即，解得.【考点】两条直线平行的判定.3.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中AB 的中点为M ，DD 1的中点为N ，则异面直线B 1M 与CN 所成的角是（ ）.A ．0°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】D【解析】试题分析:取的中点,连接.易知,所以四边形是平行四边形，则,所以所成的角是异面直线B 1M 与CN 所成的角或其补角；,,即,所以异面直线B 1M 与CN 所成的角是. 【考点】异面直线所成的角.4.在等差数列{a n }中，若a 3+a 7=10，则等差数列{a n }的前9项和S 9等于（ ）. A ．45 B ．48 C ．54D ．108【答案】A 【解析】试题分析:.【考点】等差数列的性质与前项和公式.5.圆x 2+y 2=1和圆x 2+y 2﹣6y+5=0的位置关系是（ ）. A ．外切 B ．内切 C ．外离D ．内含【答案】A【解析】试题分析:圆x 2+y 2=1的圆心为,半径；圆x 2+y 2﹣6y+5=0，即的圆心,半径；两圆的圆心距，所以两圆外切.【考点】两圆的位置关系.6.不等式x （2﹣x ）≤0的解集为（ ） A ．{x|0≤x≤2} B ．{x|x≤0，或x≥2}C ．{x|x≤2}D ．{x|x≥0}【答案】B【解析】试题分析:，，；即不等式的解集为. 【考点】解不等式.7.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥C ﹣ABD 的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析:由三视图可知，，即.,则该三棱锥的左视图是一个等腰直角三角形，且,其面积为.【考点】空间几何体的三视图.8.设甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析:由图可知，在中，,则；在中，,则，；即甲、乙两楼的高分别是.【考点】解直角三角形.9.如图，在三棱锥S﹣ABC中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，SO⊥底面ABC，O为垂足，则侧棱SA与底面ABC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析:由题意得，SO⊥底面ABC，O为垂足，则侧棱SA与底面ABC所成角即;该三棱锥是正三棱锥，在底面上的射影是的中心,也是重心，由重心定理得,又因为,所以,即侧棱SA与底面ABC所成角的余弦值为.【考点】直线与平面所成的角.10.已知x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，则+的最小值是（）A．2B．2C．4D．2【答案】C【解析】试题分析:由题意，得，即；（当且仅当且，即时取等号）.【考点】基本不等式.11.已知Sn 是数列{an}的前n项和，若，则=_________．【答案】8.【解析】试题分析:由题意得.【考点】数列的通项公式与的关系.二、填空题1.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a=4，b=4，∠A=30°，∠B= _________ ．【答案】. 【解析】试题分析:由正弦定理得,解得;又因为，所以,则.【考点】正弦定理.2.已知数列{a n }的通项公式a n =，若前n 项和为6，则n= _________ ．【答案】48 【解析】试题分析:，；令，解得.【考点】数列的前项和.3.若实数x ，y 满足不等式组，则z=2x ﹣4y 的最小值是 _________ ．【答案】-26.【解析】试题分析:作出可行域与目标函数基准直线（如图）,将目标函数化成，当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距变大，即变小，，当直线经过点时，求得最小值；易知,即.【考点】简单的线性规划.4.如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面是边长为1的正方形，SD ⊥底面ABCD ，且SD=，则平面BSC 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为 _________ ．【答案】. 【解析】试题分析:;因为底面是边长为1的正方形,所以;又因为所以是平面BSC 与底面ABCD 所成二面角的平面角；在中，,则,即平面BSC 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为.【考点】二面角.三、解答题1.已知三角形的三个顶点是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．（1）求AB边上的高所在直线的方程；（2）求AC边上的中线所在直线的方程．【答案】(1)x+3y﹣6=0;(2)5x﹣4y﹣5=0.【解析】解题思路：(1)因为AB边上的高所在直线经过点C（0，2），且与AB垂直，所以先求出AB的斜率，再根据垂直求出CD的斜率，然后写出直线的点斜式方程，化成一般式即可；（2）因为AC边上的中线所在直线经过点B与CD 的中点，所以先求出CD的中点坐标，写出直线的两点式方程，化成一般式即可.规律总结：求直线方程，要根据题意恰当地设出直线方程的形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再利用直线间的位置关系（平行、垂直、相交）进行求解.试题解析：（1）∵A（4，0），B（6，6），C（0，2），∴=3，∴AB边上的高所在直线的斜率k=﹣，∴AB边上的高所在直线的方程为y﹣2=﹣，整理，得x+3y﹣6=0．（2）∵AC边的中点为（2，1），∴AC边上的中线所在的直线方程为，整理，得5x﹣4y﹣5=0.【考点】1.直线方程；2.中点坐标公式；3.两直线间的位置关系.2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3，c=8，角A为锐角，△ABC的面积为6．（1）求角A的大小；（2）求a的值．【答案】（1）；（2）7.【解析】解题思路：（1）先利用求得，再结合角的范围求;(2)利用余弦定理直接求边.规律总结：解三角形问题，主要涉及三角关系、三边关系、边角关系和面积；所用知识主要有正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等.试题解析：（1）∵S=bcsinA=×3×8×sinA=6，∴sinA=，△ABC∵A为锐角，∴A=．（2）由余弦定理知a===7.【考点】1.三角形的面积公式；2.余弦定理.3.已知以点C（1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y﹣1=0相切．（1）求圆C的标准方程；（2）求过圆内一点P（2，﹣）的最短弦所在直线的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】解题思路：（1）因为圆与直线x+y﹣1=0相切，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即为圆的半径，写出圆的标准方程即可；（2）先判定过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直，再进行求解.规律总结：直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识.试题解析：（1）圆的半径r==，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．圆的圆心坐标为C（1，﹣2），则过P点的直径所在直线的斜率为﹣，由于过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直，∴过P点的最短弦所在直线的斜率为2，∴过P点的最短弦所在直线的方程y+=2（x﹣2），即4x﹣2y﹣13=0.【考点】1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系.4.某企业要建造一个容积为18m3，深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得能总造价最低？最低总造价为多少？【答案】将水池的地面设计成边长为3m的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元.【解析】解题思路：设出未知量，根据容积为18，得出未知量间的关系，列出函数表达式，利用基本不等式进行求最值. 规律总结：解决数学应用题的步骤：①审题，设出有关量，注明自变量的取值范围；②列出函数表达式；③求函数的最值；④作答.试题解析：设底面的长为xm ，宽为ym ，水池总造价为z 元， 则由容积为18m 3，可得：2xy=16，因此xy=9，z=200×9+150（2×2x+2×2y ）=1800+600（x+y ）≥1800+600•2=5400 当且仅当x=y=3时，取等号．所以，将水池的地面设计成边长为3m 的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元. 【考点】基本不等式.5.如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，且△ABC 为正三角形，AA 1=AB=6，D 为AC 的中点． （1）求证：直线AB 1∥平面BC 1D ； （2）求证：平面BC 1D ⊥平面ACC 1A ； （3）求三棱锥C ﹣BC 1D 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】解题思路：（1）构造三角形的中位线，得出线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）利用线面垂直的性质及等边三角形的三线合一得出线线垂直，进而利用面面垂直的判定定理进行证明；（3）合理转化三棱锥的顶点求体积.规律总结：证明空间中的线线、线面、面面的平行、垂直关系，关键合理选择性质定理或判定定理，进行三者之间的相互转化，线线关系是关键；求几何体的体积，要合理选择顶点与底面，以便容易求得高与面积. 试题解析：（1）证明：连接B 1C 交BC 1于点O ，连接OD ，则点O 为B 1C 的中点． ∵D 为AC 中点，得DO 为△AB 1C 中位线，∴A 1B ∥OD ．∴直线AB 1∥平面BC 1D ；（2）证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥BD ， ∵底面ABC 正三角形，D 是AC 的中点 ∴BD ⊥AC∵AA 1∩AC=A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1， ,;（3）由（2）知，△ABC 中，BD ⊥AC ，BD=BCsin60°=3，∴S △BCD ==，∴V C ﹣BC1D =V C1﹣BCD =••6=9.【考点】1.空间中的平行与垂直的判定；2.空间几何体的体积.6.已知单调递增的等比数列{a n }满足a 1+a 2+a 3=14，且a 2+1是a 1，a 3的等差中项． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；（3）若存在n ∈N *，使得S n+1﹣2≤8n 3λ成立，求实数λ的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】解题思路：（1）设出等比数列的首项与公比，列出关于的方程组，解得即可；（2）由（1）得出，利用错位相减法求和；（3）先进行变量分离，转化为求关于的函数的最值问题.规律总结：涉及等差数列或等比数列的通项问题，往往列出关于基本量的方程组，进而求出基本量，数列求和的方法主要有：倒序相加法、裂项抵消法、分组求和法、错位相减法. 注意点：存在n ∈N *，使得成立，只需，而不是最大值.试题解析：（1）设等比数列的公比为q ， ∵a 1+a 2+a 3=14，且a 2+1是a 1，a 3的等差中项， ∴，解得q=2，a 1=2，或q=，a 1=8（舍） ∴a n =2n ．（2）b n =a n log 2a n =n•2n ， ∴，①2S n =1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，② ①﹣②，得=， ∴．（3）由（2）知，原问题等价于：存在n ∈N *，使得成立， 令f （n ）=，只需λ≥f （n ）min 即可，∵f （n+1）﹣f （n ）==，∴f （n+1）﹣f （n ）的正负取决于n 2﹣2n ﹣1=（n ﹣1）2﹣2的正负， ∴f （1）＞f （2）＞f （3），f （3）＜f （4）＜… ∴f （n ）min =f （3）=，即，∴λ的最小值是．.【考点】1.数列的通项公式；2.数列的前项和.。
山东省济南市历城区第二中学高一数学理上学期期末试卷含解析
山东省济南市历城区第二中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A2. 函数的图象关于原点成中心对称，则等于（）A. B. C. D.参考答案：D函数的图象关于原点成中心对称，所以，即，所以k∈Z.3. 若的值为（）A．1 B．3 C．15 D．30参考答案：C4. 已知sin=，cos=﹣，则角α终边所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知利用倍角公式可求sinα，cosα，分别确定角α终边所在的象限，即可得出结论【解答】解：∵sin=，cos=﹣，∴sinα=2sin cos=2××（﹣）=﹣＜0，可得α终边所在的象限是第三、四象限；cosα=2cos2﹣1=2×（﹣）2﹣1=＞0，可得：α终边所在的象限是第一、四象限，∴角α终边所在的象限是第四象限．故选：D．5. 已知函数，求（）A. －2B.C.D.参考答案：C【分析】根据分段函数的定义域以及自变量选择合适的解析式由内到外计算的值。
【详解】由题意可得，因此，，故选：C。
【点睛】本题考查分段函数求值，解题时要根据自变量的取值选择合适的解析式进行计算，另外在求函数值时，遵循由内到外的原则进行，考查计算能力，属于中等题。
6. 已知等差数列中，已知，则（）A. B. C. D.参考答案：D略7. （5分）已知函数有两个零点x1，x2，则有（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1参考答案：D考点：函数的零点与方程根的关系；指数函数与对数函数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：先将f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点转化为y=|lgx|与y=2﹣x有两个交点，然后在同一坐标系中画出两函数的图象得到零点在（0，1）和（1，+∞）内，即可得到﹣2﹣x1=lgx1和2﹣x2=lg x2，然后两式相加即可求得x1x2的范围．解答：f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2即y=|lgx|与y=2﹣x有两个交点由题意x＞0，分别画y=2﹣x和y=|lgx|的图象发现在（0，1）和（1，+∞）有两个交点不妨设 x1在（0，1）里 x2在（1，+∞）里那么在（0，1）上有 2﹣x1=﹣lgx1，即﹣2﹣x1=lgx1…①在（1，+∞）有2﹣x2=lg x2…②①②相加有2﹣x2﹣2﹣x1=lgx1x2∵x2＞x1，∴2﹣x2＜2﹣x1即2﹣x2﹣2﹣x1＜0∴lgx1x2＜0∴0＜x1x2＜1故选D．点评：本题主要考查确定函数零点所在区间的方法﹣﹣转化为两个函数的交点问题．函数的零点等价于函数与x轴的交点的横坐标，等价于对应方程的根．8. 设是的相反向量，则下列说法错误的是（）A．与一定不相等 B．∥C．与的长度必相等 D．是的相反向量参考答案：A9. 若角a的终边在直线y= - 2x上，且sin a>0，则值为( )A． B．C． D．-2参考答案：B10. 在等比数列中，，，则A．80 B．90 C．100 D．135参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为 .参考答案：12. 设函数f （x ）=，则f （f （﹣1））的值为 ．参考答案：﹣2【考点】分段函数的应用；函数的值． 【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数化简求解即可．【解答】解：函数f （x ）=，则f （﹣1）=，f （f （﹣1））=f （）=log 2=﹣2． 故答案为：﹣2．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力． 13. 已知函数是幂函数，且当时，是增函数，则实数m 的值为 ．参考答案：3 函数是幂函数，所以，解得或，又当时，是增函数，所以，故，填.14.中，是的两个实数根，则的值为 ．参考答案：1 略15. 已知集合，，则A ∪B =______．参考答案：【分析】先分别求得集合A 与集合B,根据集合并集运算,即可求解. 【详解】因为集合,即,即所以故答案为：【点睛】本题考查并集的求法,属于基础题．16. 若与为非零向量，，则与的夹角为．参考答案：考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模． 专题：平面向量及应用．分析：利用模的计算公式和数量积即可得出．解答： 解：∵，∴，∴=，∴．∵与为非零向量，∴．∴与的夹角为．故答案为．点评：熟练掌握模的计算公式和数量积是解题的关键．17. 如图所示，空间四边形ABCD 中，平面ABD⊥平面BCD ，∠BAD=90°，∠BCD=90°，且AB=AD ，则AC与平面BCD所成的角为．参考答案：45°【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】首先利用面面垂直转化出线面垂直，进一步求出线面的夹角，最后通过解直角三角形求得结果．【解答】解：取BD的中点E，连接AE，CE，由于平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=90°，且AB=AD所以：AE⊥BD进一步得：AE⊥平面BCD所以：∠ACE就是直线AC与平面BCD的角．又∠BCD=90°，所以：CE=△AEC为直角三角形．所以：∠ACE=45°故答案为：45°三、解答题：本大题共5小题，共72分。
精品解析：山东省济南市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详细解析】
【详细分析】
判断各式与0,1的大小即可.
【详细详细解析】 , , 。
故 ,即 .
故选:A
【点睛】本题主要考查了指对幂函数的大小比较,需要判定各数的大致区间进行判定,属于基础题.
8.已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是()
A. B. C. D.
(ⅰ)计算 的值;
(ⅱ)计算 的值.
【正确答案】(1) , , .(2)(ⅰ) (ⅱ)
【详细解析】
【详细分析】
(1)根据三角函数 定义直接写出即可.
(2)i.根据两角和的余弦公式以及同角三角函数的关系求解即可.
ii.根据 与同角三角函数的关系求解 ,再根据二倍角公式代入求解即可.
【详细详细解析】(1)由三角函数定义可知:
(1)求年利润 (万元)关于年产量 (百个)的函数关系式;(利润=销售额-成本)
(2)该企业决定:当企业年最大利润超过2000(万元)时,才选择落户新旧动能转换先行区.请问该企业能否落户先行区,并说明理由.
【正确答案】(1) (2)企业能落户新旧动能转换先行区.见详细解析
【详细解析】
【详细分析】
(1)根据利润=销售额-成本,再分 与 两种情况分别求解即可.
【详细详细解析】(1)因为 ,所以 ,
所以有 ,
.
(2)若 是 的充分不必要条件,
则有MN,
所以 .
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及根据充分与必要条件求解参数的范围问题,属于基础题.
18.在平面直角坐标系 中,已知角 的终边与以原点为圆心的单位圆交于点 .
(1)请写出 , , 的值;
济南市历城第二中学2019_2020学年高一数学下学期学情检测试题含解析
C. 与 非相互独立事件D. 与 为相互独立事件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据互斥事件和相互独立事件的概念逐一判断即可.
【详解】 与 可以同时发生但是不放回的摸球第一次对第二次有影响,所以不为互斥事件,也非相互独立事件；
与 可以同时发生所以不是对立事件;
与 ，第一次摸到白球与第一次摸到黑球一定不能同时发生，不是相互独立事件。
故选：A
【点睛】本题主要考查了向量线性运算的坐标表示，向量的模，考查了运算能力，属于中档题.
3。已知甲、乙两组按顺序排列的数据：甲组:27，28，37， ，40,50；乙组：24， ，34，43，48，52；若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等,则 等于( )
A. B。 C。 D。
D. 甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据图表直接计算平均数、方差和众数与甲、乙两班学生每分钟输入汉字数≥150个的人数分析即可。
【详解】甲、乙两班学生成绩的平均数都是35，故两班成绩的平均数相同，A正确； ,甲班成绩不如乙班稳定,即甲班的成绩波动较大，B正确.
甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D错误。
故选：C。
【点睛】本题主要考查向量共线定理以及其推论的应用,向量中点公式的应用，以及向量的线性运算，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
山东省济南市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题含答案
济南市2024年高一学情检测数学试题（答案在最后）本试卷共6页，满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm 黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.据教育部统计，2024届全国普通高校毕业生规模达1179万人，将数字11790000用科学记数法表示为（）A.71.17910⨯B.81.17910⨯C.611.7910⨯ D.80.117910⨯【答案】A【解析】【分析】由科学记数法要求可得.【详解】711790000 1.17910=⨯，故选：A .2.下列运算正确的是（）A.232a a a -=B.222()a b a b +=+C.322a b a a÷= D.2224()a b a b =【答案】D【解析】【分析】举例说明判断ABC ；利用幂的运算法则判断D.【详解】对于A ，()233a a a a -=-，A 错误；对于B ，()2222a b a ab b +=++，B 错误；对于C ，3222a b a ab ÷=，C 错误；对于D ，2222242()()a b a b a b ==，D 正确.故选：D3.小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156，158，158，160，162，165，169.这组数据的众数和中位数分别是（）A.160，162B.158，162C.160，160D.158，160【答案】D【解析】【分析】根据众数和中位数的定义易得.【详解】因在156，158，158，160，162，165，169这组数据中，158出现了2次，次数最多，故众数是158；根据中位数的定义知，按照从小到大排列的七个数据中，第四个数160为这组数据的中位数.故选：D.4.某几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的主视图是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三视图的相关概念分析即可.【详解】由题意可知从前方看第一排有3个正方体，且从左到右依次有2个、1个，第二排有1个正方体在左侧，故A 正确.故选：A5.已知点()13,A y -，()2,3B -，()21,C y -，()32,D y 都在反比例函数k y x=0k ≠）的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A.213y y y << B.312y y y <<C.231y y y << D.132y y y <<【答案】B【解析】【分析】首先代入点B 的坐标，得到函数的解析式，再代入其他点的坐标，即可判断.【详解】将点()2,3B -代入反比例函数32k =-，得6k =-，即反比例函数的解析式是6y x -=，将点,,A C D 的坐标代入函数解析式，得12y =，26y =，33y =-，即312y y y <<.故选：B6.如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足为E ，F ，则PE PF +的值为（）A.125 B.245 C.5 D.285【答案】B【解析】【分析】连接OP ，利用勾股定理列式求出BD ，再根据矩形的对角线相等且相互平分求出,OA OD ，然后根据AOD AOP DOP S S S =+△△△列式求解即可.【详解】如图，连接OP ，四边形ABCD 为矩形，6AB =，8AD =，10BD ∴===，11052OA OD ∴==⨯=，AOD AOP DOP S S S =+ ，11112222AD AB AO PE OD PF ∴⨯⨯=⨯⋅+⨯⋅，111168552222PE PF ∴⨯⨯⨯=⨯⋅+⨯⋅，解得245PE PF +=，故选：B.7.如图，在ABCD 中，2AB =，3AD =，60ABC ∠= ，在AB 和AD 上分别截取()AE AE AB <，AF ，使AE AF =，分别以,E F 为圆心，以大于12EF 的长为半径作弧，两弧在DAB ∠内交于点G ，作射线AG 交BC 于点H ，连接DH ，分别以,D H 为圆心，以大于12DH 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 交CD 于点K ，则CK 的长为（）A.34 B.23 C.35 D.12【答案】C【解析】【分析】利用角平分线、垂直平分线的作法与性质确定相应线段长度，利用全等三角形、相似三角形的判定与性质计算即可.【详解】如图所示，设直线MN 分别交直线,,BC AD HD 于,,P Q S ，作HR AD ⊥，垂足为R ，根据题意易知,AG MN 分别为BAD ∠的角平分线，线段DH 的垂直平分线，所以60BAH ABC ∠=∠= ，所以ABH 为正三角形，则2,1,2,AH BH AR CH DR HR ======，所以2DH SD ==，而3tan 2QS ADH SD ∠==，则217,44QS DQ ==，易证HSP DSQ ≅ ，故73,44DQ HP CP HP CH ===-=，易知CKP DKQ ，故372CP CK CK QD KD CK =⇒=-，解之得35CK =.故选：C 8.如图，抛物线24y x x =-+，顶点为A ，抛物线与x 轴正半轴的交点为B ，连接AB ，C 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），过点C 作//CD AB 交y 轴于点D ，连接AD 交抛物线于点E ，连接OE 交CD 于点F ，若34DOF DEF S S =△△，则点C 的横坐标为（）A.43 B.65 C.76 D.87【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出点,A B 坐标，设点0(,0)C x 并表示点,,D E F 的坐标，再利用三角形面积关系列式计算即得.【详解】抛物线2(2)4y x =--+的顶点(2,4)A ，由0,0y x =>，得4x =，即点(4,0)B ，设直线AB 方程为y kx b =+，由4204k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得2,8k b =-=，则直线:28AB y x =-+，设点00(,0),04C x x <<，由//CD AB ，设直线CD 方程为2y x c =-+，由0x x =，得02c x =，由0x =，得02y c x ==，即点0(0,2)D x ，直线0:22CD y x x =-+，设直线AD 的方程为y mx n =+，则0242x n m n=⎧⎨=+⎩，解得002,2m x n x =-=，即直线00:(2)2AD y x x x =-+，由002(2)24y x x x y x x =-+⎧⎨=-+⎩，解得02004x x y x x =⎧⎨=-+⎩，即点2000(,4)E x x x -+，显然DOE DOC S S = ，由34DOF DEF S S =△△，得37DOF DOE S S = ，则37DOF DOC S S = ，因此点0038(,)77F x x ，由37DOF DOE S S = ，得||3||7OF OE =，因此020083747x x x =-+，解得043x =，所以点C 的横坐标为43.故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离y （km ）与时间x （h ）的关系，则（）A.小明家与图书馆的距离为2kmB.小明的匀速步行速度是3km/hC.小明在图书馆查阅资料的时间为1.5hD.小明与小亮交谈的时间为0.4h【答案】AD【解析】【分析】由图象可判断A 选项；结合图象可求小明的匀速步行速度，可判断B 选项；通过计算点C 到D 所需的时间，可判断C 选项；通过计算点E 到F 所需的时间，可判断D 选项.【详解】对于A ：由图象可知小明家与图书馆的距离为2km ，故A 正确；对于B ：因为小明沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，所以小明的匀速步行速度是()24km /h 0.5=，故B 错误；对于C ：小明返回的路上走()20.8 1.2km -=后遇到小亮，则走1.2km 所需的时间为()1.20.3h 4=，所以小明在图书馆查阅资料的时间为()2.60.50.3 1.8h --=，故C 错误；对于D ：走0.8km 所需的时间为()0.80.2h 4=，所以小明与小亮交谈的时间为()3.2 2.60.20.4h --=，故D 正确.故选：AD.10.如图，点B 在线段AD 上，分别以线段AB 和线段BD 为边在线段AD 的同侧作等边三角形ABC 和等边三角形BDE ，连接AE ，AE 与BC 相交于点G ，连接CD ，CD 与AE ，BE 分别相交于点F ，H ，连接BF ，GH ，则（）A.//GH ADB.FB 平分GFH ∠C.GE BD= D.ABE CBD≅△△【答案】ABD【解析】【分析】结合图形和题设条件，易得ABE CBD ≅△△，可推得D 项；由此得到ABE CBD ∠=∠，可证GBE HBD ≅ ，可得GB HB =，从而得到正三角形BGH ，由60GHB HBD ∠==∠ 易得A 正确；再由全等三角形的对应边上的高相等，易得点B 到AFD ∠的两边距离相等，故得B 项正确；对于C 项，可采用反向推理，假设结论正确，经过推理产生矛盾，即得原命题不成立，排除C 项.【详解】因ABC V 和BFD △都是正三角形，故,,60AB BC BE BD ABC EBD ==∠=∠= ，则ABC CBE FBD CBE ∠+∠=∠+∠,即ABE CBD ∠=∠，由AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩可得ABE CBD ≅△△，故D 正确；由ABE CBD ≅△△可得，AEB CDB ∠=∠,因18026060CBE ∠=-⨯= ，由GBE HBD BE BD GEB HDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩可得，GBE HBD ≅ ,则有GB HB =，故BGH V 为正三角形，则60GHB HBD ∠==∠ ,故//GH AD ，即A正确；如图，分别作,BM AE BN CD ⊥⊥,垂足分别是,M N ，由上知，ABE CBD ≅△△，故BM BN =，由角平分线的性质定理，可得FB 平分GFH ∠，故B 正确；对于C 项，假设GE BD =，则GE BE =,故60EGB EBG ∠=∠= ，而在ACG 中，60,60ACG CAG CAB ∠=∠<∠= ,故60CGA EGB ∠=∠>产生矛盾，故假设不成立，即C 错误.故选：ABD .11.如图1，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4BC =，动点D 从点A 开始沿AB 边以每秒0.5个单位长度的速度运动，同时，动点E 从点B 开始沿BC 边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接DE ，F 为DE 中点，连接AF ，CF ，设时间为t （s ），2DE 为y ，y 关于t 的函数图象如图2所示，则（）A.当1t =时， 2.5DE = B.2AB =C.DE 有最小值，最小值为2 D.AF CF +【答案】BD【解析】【分析】设AB a =，列出y 关于t 的函数式，结合图2，列方程求出a 的值，判断B 项，继而代值检验A 项；利用二次函数的图象性质，即可得到DE 的最小值，判断C 项；最后通过建系，将AF CF +转化为14+，利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值.【详解】设AB a =，则0.5,0.5,0.5AD t BD a t BE t ==-=，则22222(0.5)(0.5)0.5y DE a t t t at a ==-+=-+（*），由图2知，函数220.5y t at a =-+经过点(1,2.5)，整理得，220a a --=，解得2a =或1a =-（舍去），故B 正确；由B 项知，20.524y t t =-+，当1t =时，0.524 2.5y =-+=，即2 2.5DE =,故A 错误；对于C ，由题意易得，04t ≤≤，由220.524=0.5(2)2y t t t =-+-+可得，当2t =时，min 2y =，即DE 故C 错误；对于D ，如图，以点B 为原点,,OA OC 所在直线分别为,x y 轴建立直角坐标系.则(2,0),(0,4),(20.5,0),(0,0.5)A C D t E t -，因F 为DE 中点，故11(1,)44F t t -，于是AF CF +=+14=+结合此式特点，设(,),(4,0),(4,16)P t t M N -,则1()4AF CF PM PN +=+,作出图形如下.作出点(4,0)M -关于直线y x =的对称点1(0,4)M -，连接1M N ,交直线y x =于点P ，则点P 即为使PM PN +取得最小值的点.(理由：可在直线y x =上任取点(,)P t t '''，利用对称性特点，即可证明P M P N PM PN ''+>+,即得)，此时22min 1()4(164)426PM PN M N +==++=即AF CF +的最小值为26.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平面直角坐标系中有五个点，分别是()1,3A ，()3,4B -，()2,3C --，()4,3D ，()3,5E -，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是______.【答案】25##0.4【解析】【分析】利用概率公式求解即可求得答案.【详解】五个点中在第一象限的点有A 和D 两个，从中任选一个点共有5种等可能的结果，这个点恰好在第一象限有2种结果，所以从中任选一个点恰好在第一象限的概率是25.故答案为：25.13.在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AB =，ABC V 的周长为14，则AB 边上的高为________.【答案】73##123【解析】【分析】利用勾股定理和完全平方公式以及三角形面积可得结果.【详解】根据题意可设,BC a AC b ==，所以146BC C AB A a b =++++=，可得8a b +=，又90ACB ∠=︒，利用勾股定理可得222226BC AC a b ++==；可得2236a b +=；所以()222228236a b a b ab ab +=+-=-=，即14ab =；设AB 边上的高为h ，由三角形面积可得6ab AB h h =⋅=，解得14763h ==.故答案为：7314.如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，6AD =，E 为AD 中点，F 为边CD 上一点，连接EF ，将DEF 沿EF 翻折，点D 的对应点为D ¢，G 为边BC 上一点，连接AG ，将ABG 沿AG 翻折，点B 的对应点恰好也为D ¢，则BG =________.【答案】6-【解析】【分析】过D ¢作SU AD ⊥，交AD 于S ，交BC 于U ，过E 作EH AD '⊥，利用等积法可求3D S '=，再根据Rt D GU '△可求BG 的长度.【详解】由题设3,4AE D E AD AB ==='='，过D ¢作SU AD ⊥，交AD 于S ，交BC 于U ，过E 作EH AD '⊥，则2AH HD ='=，则EH ==，故1122AD AE D S '=⨯'，所以3D S '=，故83AS ==，故83BU =，设BG x =，则D G x '=，故222845433x x ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故6x =-故答案为：6-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.先化简再求值：（1）求22111244x x x x x x x ---÷+--+的值，其中3x =；（2）求222x y y x y x y x y---+-的值，其中2x y =.【答案】（1）12（2）43【解析】【分析】（1）先因式分解进行化简，进而代入3x =即可求解；（2）先同分母进行化简并转化x y 的表达式，进而代入2x y=即可求解.【小问1详解】()()()2222111=12441211x x x x x x x x x x x x x x -----÷-⋅+--++--+121x x x x --++=()21x x x --=+21x =+.即3x =代入可得21312=+.【小问2详解】()()()()222222x x y y x y x y y y x y x y x y x y x y x y +----=--+--+-22222x xy xy y y x y +-+-=-222x x y =-221x y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭.即2x y =代入可得2224213=-.16.某超市销售,A B 两种品牌的牛奶，购买3箱A 种品牌的牛奶和2箱B 种品牌的牛奶共需285元；购买2箱A 种品牌的牛奶和5箱B 种品牌的牛奶共需410元.（1）求A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？（2）若某公司购买,A B 两种品牌的牛奶共20箱，且A 种品牌牛奶的数量至少比B 种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B 种品牌牛奶的3倍，购买,A B 两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？【答案】（1）A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是55元、60元.（2）最小费用为12005151125-⨯=（元），此时购买,A B 两种品牌的牛奶分别为15箱、5箱.【解析】【分析】（1）设A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是,x y 元，根据题设列方程组后可求各自的单价；（2）购买A 品牌的牛奶a 箱，则购买总费用12005C a =-，由题设条件可得a 可为13,14,15中的某个数，故可求最小费用及相应的箱数.【小问1详解】设A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是,x y 元，则3228525410x y x y +=⎧⎨+=⎩，故5560x y =⎧⎨=⎩.故A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是55元、60元.【小问2详解】设购买A 品牌的牛奶a 箱，则购买B 品牌的牛奶20a -箱，此时总费用()55602012005C a a a =+-=-，而()206320a a a a ≥-+⎧⎨≤-⎩，故1315a ≤≤，而a 为整数，故a 可为13,14,15中的某个数，故C 的最小费用为12005151125-⨯=（元），此时购买,A B 两种品牌的牛奶分别为15箱、5箱.17.如图，在O 中，AB 是直径，点C 是O 上一点，9AC =，3BC =，点E 在AB 上，2AE BE =，连接CE 并延长交O 于点D ，连接AD ，AF CD ⊥，垂足为F .（1）求证：ADF ABC △△；（2）求DF 的长.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角可判断90AFD ACB ︒∠=∠=，再利用同弧所对的圆周角相等，可得ADF ABC ∠=∠，从而证明ADF ABC △△；（2）在Rt ABC △中，求出tan 3ABC ∠=，AB =利用tan tan 3ABC ADF ∠=∠=，设DF x =，把Rt ADF 的三边表示出来，再利用CBE ADE 求出103DE x =，最后在Rt AEF 中求出x 的值，也即是DF 的长.【小问1详解】AB 是O 的直径，BC AB ∴⊥，90AFD ACB ︒∴∠=∠=，又ADF ABC ∠=∠ ,ADF ABC ∴ .【小问2详解】在Rt ABC △中，9tan 33AC ABC BC ∠===，AB ==又2AE BE =，则AE =BE =，又ABC ADF ∠=∠，tan tan 3ABC ADF ∴∠=∠=，在Rt ADF 中，设DF x =，则3AF x =，故AD ==，又CEB AED ∠=∠，CBE ADE ∴ ，BC BE DA DE ∴=10DE=，解得103DE x =，10733EF DE DF x x x ∴=-=-=，在Rt AEF 中，222AF EF AE +=，即()(222733x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得x =，即DF =.18.已知抛物线223y mx mx =--（0m >），根据以上材料解答下列问题：（1）若该抛物线经过点(3,0)A ，求m 的值；（2）在（1）的条件下，B ，C 为该抛物线上两点，线段BC 的中点为D ，若点(2,1)D ，求直线BC 的表达式；以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：设直线BC 的表达式为：y kx b =+，(,),(,)B B C C B x y C x y ，则有223B B B y mx mx =--①，223C C C y mx mx =--②.①-②得：()()()()()2222B C B C B C B C B C B C y y m x x m x x m x x x x m x x -=---=+---，两边同除以()B C x x -，得()2B C B C B Cy y k m x x m x x -==+--……；（3）该抛物线上两点E ，F ，直线EF的表达式为：()2y mx n =+（0n ≥）.(ⅰ).请说明线段EF 的中点在一条定直线1l 上；(ⅱ).将ⅰ中的定直线1l 绕原点O 顺时针旋转45°得到直线2l ，当13x <<时，该抛物线与2l 只有一个交点，求m 的取值范围.【答案】（1）1m =（2）23y x =-（3）ⅰ.线段EF的中点在定直线1:2l x =上；ⅱ.1m ≥或12m =或103m <≤.【解析】【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，计算即得m 的值；（2）按照题中的思路先求出2B C k x x =-+，再由线段BC 的中点为(2,1)D 求得k 的值，利用直线BC 经过点(2,1)D 即可求得直线BC 的表达式；（3）(ⅰ)由22)23y mx n y mx mx ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩消去y ，利用韦达定理即可得到线段EF的中点在定直线1:2l x =上；(ⅱ)根据题意，作出图形，利用平面几何知识即可求得2:5l y x =-；根据函数223y mx mx =--与2:5l y x =-在13x <<时的图象特点，依题意可得34332m m --<-⎧⎨->-⎩，解之即得.【小问1详解】因223y mx mx =--经过点(3,0)A ，则9306m m --=，解得，1m =；【小问2详解】1m =时，2223(1)4y x x x =--=--，设直线BC 的表达式为：y kx b =+，(,),(,)B B C C B x y C x y ,则223B B B y mx mx =--①，223C C C y mx mx =--②.由①-②：222((2))()B C B C B C B C B C y y x x x x x x x x -=---=--+，两边同除以()B C x x -，则2B C B C B Cy y k x x x x -=+--=，因线段BC 的中点为(2,1)D ，则22C B x x +=，即2222k =⨯-=，则2y x b =+，将点(2,1)D 代入解得，3b =-，故直线BC 的表达式为：23y x =-；【小问3详解】（i）由22)23y mx n y mx mx ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩消去y，整理得，230mx n ---=，依题意，设(,),(,)E E F F E x y F x y ,EF 的中点为(,)M M M x y ,则E F x x +=22F M E x x x =+=，即线段EF的中点在定直线1:2l x =上；(ⅱ)如图，将定直线1:2l x =绕原点O 顺时针旋转45°得到直线2l ,则点(,0)2A 转到了点1A ,则1522OA OA ==,设点111(,)A x y ，2(,0)B x 则11525525cos45,sin 45,2222x y ===-=-oo 215x ==,即155(,)22A -，(5,0)B ,设2:l y mx n =+，则得，505522m n m n +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得，15m n =⎧⎨=-⎩，即得2:5l y x =-；因抛物线2223(1)3y mx mx m x m =--=---的对称轴为1x =，故该函数在13x <<时，y 随着x 的增大而增大，且1x =时，3y m =--，3x =时，33y m =-，要使抛物线与2:5l y x =-只有一个交点，可分以下种情况讨论：①当抛物线顶点在直线下方时，如上图可得，34332m m --<-⎧⎨->-⎩，解得1m >；②抛物线顶点在直线上，如上图，即1m =时，由2235y x x y x ⎧=--⎨=-⎩，解得1x =或2x =，因13x <<，故符合题意；③抛物线与直线相切，且切点横坐标满足13x <<，如上图，由2235y mx mx y x ⎧=--⎨=-⎩消去y ，可得2(21)20mx m x -++=，由2(21)80m m ∆=+-=解得，12m =，代入方程可得2440x x -+=，解得2x =，符合题意；④如上图，抛物线顶点在直线上方，但在13x <<内只有一个交点，须使34332m m -->-⎧⎨-≤-⎩，又0m >，解得103m <≤.综上可得m 的取值范围为：1m ≥或12m =或103m <≤.19.在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒.（1）如图1，在ACE △中，120CAE ∠=︒，2AE AC =，F 是AE 中点，连接BF .若1BC =，求线段BF 的长；（2）如图2，在BCD △中，120BDC ∠=︒，2BD CD =，F 是AB 中点，连接DF ，求BF DF的值；（3）如图3，在CDE 中，120CDE ∠=︒，2DE CD =，E 是AB 中点，F 是AE 中点，连接BD ，DF ，求DF BD的值.【答案】（17（221（3）32【解析】【分析】（1）由90BAF ∠=︒，2AB =，3AF =，可求BF 的长；（2）将BCD △绕点C 顺时针旋转60︒得FCD '△，证明,,B D D '三点共线，FD BD '⊥，设1CD DD '==，勾股定理求出FD 和BF 即可；（3）将CDE 绕点C 顺时针旋转60︒，得CD B '△，证明,,B D D '三点共线，ED BD '⊥，//ED FD '，设1CD =，求出BD 和FD 即可.【小问1详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒.若1BC =，则2AB =，AC =，如图1，在ACE △中，120CAE ∠=︒，由30BAC ∠=︒，得90BAF ∠=︒2AE AC =，F 是AE 中点，则AF AC ==Rt ABF中，BF ==.【小问2详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，F 是AB 中点，连接FC ，则BFC △为等边三角形，如图所示，将BCD △绕点C 顺时针旋转60︒，得FCD '△，CD CD '=，60DCD '∠=︒，则CDD '△为等边三角形，60CDD '∠=︒，又120BDC ∠=︒，则,,B D D '三点共线，120FD C BDC '∠=∠=︒，60CD D '∠=︒，则60FD D '∠=︒，2BD CD =，则2FD D D ''=，FDD '△中，60FD D '∠=︒，2FD D D ''=，H 为FD '中点，连接DH ，则有DD HD ''=，DHD ' 为等边三角形，DH FH HD '==，60DHD ︒'∠=，30HFD HDF =︒∠=∠，所以FDD '△为直角三角形，FD BD '⊥，不妨设1CD DD '==，则2FD BD '==，223FD FD D D ''=-=227BF FD BD =+=所以72133BF DF ==；【小问3详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，CDE 中，120CDE ∠=︒，2DE CD =，E 是AB 中点，F 是AE 中点，将CDE 绕点C 逆时针旋转60︒，得CD B '△，如图所示，由（2）同理可得CDD '△为等边三角形，,,B D D '三点共线，ED BD '⊥，由2DE CD =，有2BD D D ''=，又2BE EF =，则有//ED FD '，得FD BD ⊥，不妨设1CD DD CD ''===，则2BD ED '==，3BD =。
2022-2023学年山东省济南市历城高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省济南市历城高一上学期期末数学试题一、单选题1．方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为A ．B ．C ．D ．()0,1(){}0,1{}0,1{}2xx =【答案】C【分析】解方程x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1，由此能求出方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合【详解】解：解方程x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1，方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为．{}0,1故选：C ．【点睛】本题考查集合的表示方法，属于基础题.2．设命题，则命题的否定是（ ）2:{|1},21p n n n n n ∃∈>>-p A ．B ．2{|1},21n n n n n ∀∈>≤-2{|1},21n n n n n ∀∈≤≤-C ．D ．2{|1},21n n n n n ∃∈>≤-2{|1},21n n n n n ∃∈≤≤-【答案】A【分析】由特称命题的否定即可得解.【详解】因为命题为特称命题，2:{|1},21p n n n n n ∃∈>>-所以该命题的否定为“”.2{|1},21n n n n n ∀∈>≤-故选：A.【点睛】本题考查了特称命题的否定，牢记知识点是解题关键，属于基础题.3．“”是“对任意的正数，”的（ ）18a =x 21a x x +≥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】分析：当对任意的正数恒成立时，可得，21ax x +≥x ()2max 2a x x ≥-+由，所以当时，，此时.22112248y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭14x =max 18y =18a ≥所以“”是“对任意的正数，”的充分不必要条件.18a =x 21a x x +≥故选A4．函数的图象的大致形状是（ ）()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭A．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据已知中函数的解析式，可得函数f （x ）为偶函数，可排除C,D ，由得()0,0x f x →>到答案．【详解】()211sin sin 11x x xe f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭故则是偶函数，排除C 、D ，又当()()f x f x -=()f x ()0,0x f x →>故选：A.【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题．5．已知函数的定义域为（ ）()f x =()11f x x -+A ．B ．(),1∞-(),1-∞-C ．D ．()(),11,0-∞-- ()(),11,1-∞--【答案】D【分析】先求得函数的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项.()f x 【详解】因为解得，所以函数的定义域为，()f x =24>0x x -0x <()f x ()0-∞，所以函数需满足且，解得且，()11f x x -+10x -<+10x ≠1x <1x ≠-故选：D.【点睛】本题考查函数的定义域，以及复合函数的定义域的求解方法，属于基础题.6．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：,A C B）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===0.866≈中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．B ．C ．D ．3π4π2π23π【答案】A【解析】由已知，设．可得．于是可得，进而得出结6AB BC ==2ABC θ∠= 5.196sin 0.8667θ==θ论．【详解】解：依题意，设．6AB BC ==2ABC θ∠=则5.196sin 0.8666θ==≈，．3πθ∴=223πθ=设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．α则，2αθπ+=．3πα∴=故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知的三个内角分别为、、，若满足，ABC A B C 1sin 3A =tan C =（ ）()tan 22A C +=A ．B ．C ．D -【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角和的正切公式和二倍角公式即tan A可求解.【详解】因为，所以在中，角为锐角，tan 0C =<ABC A 由可得：1sin 3A =cosA ==sin tan cos A AA ===所以，tan tan tan()1tan tan A C A C A C ++==-⋅则，22tan()tan(22)1tan ()A C A C A C ++==--+故选：.C 8．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心()12212.5lg lg m m E E -=-k m (1,2)k E k =宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.（当较小时，）||x 2101 2.3 2.7x x x ≈++A ．1.27B ．1.26C ．1.23D ．1.22【答案】B【分析】把已知数据代入公式计算．12E E 【详解】由题意，,211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-12lg 0.1E E =∴．0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈故选：B ．【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．二、多选题9．下列不等式中正确的是（ ）A ．B ．0.30.31.2 1.3<0.30.20.20.2>C ．D ．0.30.3log 1.2log 1.3> 1.20.2log 0.3log 0.3>【答案】AC【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的性质进行判断【详解】对于A ，因为在上递增，且，所以，所以A 正确，0.3y x =(0,)+∞ 1.2 1.3<0.30.31.2 1.3<对于B ，因为在上递减，且，所以，所以B 错误，0.2xy =R 0.30.2>0.30.20.20.2<对于C ，因为在上递减，且，所以，所以C 正确，0.3log y x =(0,)+∞ 1.2 1.3<0.30.3log 1.2log 1.3>对于D ，因为，，所以，所以D 错误，1.2 1.2log 0.3log 10<=0.20.2log 0.3log 10>= 1.20.2log 0.3log 0.3<故选：AC10．已知，，，则( )0a >0b >1a b +=A ．B ()4baC ．的最小值为0D ．()222log a b +2212a ab +1【答案】ABD【分析】选项A ：利用基本不等式和的单调性即可求解；选项B ：利用基本不等式的变形即4xy =可求解；选项C ：利用基本不等式的变形和的单调性即可求解；选项D ：首先对2log y x =变形，然后利用基本不等式即可求解.2212a ab +【详解】对于选项A ：因为，，，0a >0b >1a b +=，即，当且仅当时，有最大值，122a b +=14ab ≤12a b ==ab 14又因为是单调递增函数，所以A 正确；4xy =()14444abba =≤=对于选项B ，≤≤当且仅当，故B 正确；12a b ==对于选项C ，即，122a b +≥=2212a b +≥当且仅当时，取得最小值，12a b ==22a b +12因为在上单调递增，所以，2log y x =(0,)+∞()22221log log 12a b +≥=-从而的最小值为，故C 错误；()222log a b +1-对于选项D ：因为，，，0a >0b >1a b +=所以，22212113122222222a a a b a a a b a b a bab ab b b a b b a b a +++++==++=++=++故，2213111222a a b ab b a +=++≥=当且仅当，即，，故D 正确.322a b b a =a =b =2212a ab +1故选：ABD.11．已知函数下列说法正确的是（ ）()|cos |cos |2|f x x x =+A ．若，则有2个零点B ．的最小值为[,]x ππ∈-()f x ()f x C ．在区间上单调递减D ．是的一个周期()f x 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭π()f x 【答案】CD【分析】利用余弦的二倍角公式展开，并利用换元法令，，|cos |t x =2()21(21)(1)f t t t t t =+-=-+根据一元二次函数的性质求得原函数的性质，并对选项一一分析.【详解】2()|cos |cos |2||cos |cos 22|cos ||cos |1f x x x x x x x =+=+=+-令，，则，|cos |t x =[0,1]t ∈2()21(21)(1)f t t t t t =+-=-+若，是函数的零点，即，共4个零点，故A 错误；[,]x ππ∈-1|cos |2t x ==()f x 22,,,3333x ππππ=--，函数单增，则当时，取最小值为-1，故B 错误；[0,1]t ∈0=t ()f x时，，，函数单增，单减，由复0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2()2cos cos 1f x x x =+-t ∈221y t t =+-cos t x =合函数单调性知，在区间上单调递减，故C 正确；()f x 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭，()|cos()|cos |2()||cos |cos |2|()f x x x x x f x πππ+=+++=+=则是的一个周期，故D 正确；π()f x 故选：CD12．（多选）定义：表示的解集中整数的个数.若，{()()}N f x g x ⊗()()f x g x <2()|log |f x x =，则下列说法正确的是（ ）2()(1)2g x a x =-+A ．当时，=00a >{()()}N f x g x ⊗B ．当时，不等式的解集是0a =()()f x g x <1(,4)4C ．当时，=30a ={()()}N f x g x ⊗D ．当时，若，则实数的取值范围是a<0{()()}1N f x g x ⊗=a (,1]-∞-【答案】BCD【解析】根据定义可得，可转化为满足的整数的个数．分类讨论，{()()}N f x g x ⊗22|log |(1)2x a x <-+x 在同一直角坐标系中画出函数和的图象，结合图象一一判断各选项即2()|log |f x x =2()(1)2g x a x =-+可得出答案．【详解】解：根据题意，可转化为满足的整数的个数．{()()}N f x g x ⊗22|log |(1)2x a x <-+x 当时，如图，数形结合得的解集中整数的个数有无数多个，故A 错误；0a >()()f x g x <当时，，数形结合（如图），由解得，0a =()2g x =()2f x <144x <<所以在内有3个整数解，为1，2，3，故B 和C 都正确；1(,4)4当时，作出函数和的图象，如图所示，a<02()|log |f x x =2()(1)2g x a x =-+若，即的整数解只有一个，{()()}1N f x g x ⊗=22|log |(1)2x a x <-+只需满足，即，解得，(2)(2)(1)(1)f g f g ≥⎧⎨<⎩2log 2202a ≥+⎧⎨<⎩1a ≤-所以时，实数的取值范围是，故D 正确；{()()}1N f x g x ⊗=a (,1]-∞-故选：BCD ．【点睛】本题主要考查新定义问题，考查函数图象的应用，考查数形结合思想，属于中档题．三、填空题13．计算：___________.2031lg16(1)27lg504π-+++=【答案】10【分析】利用指数的运算性质和对数的运算性质求解【详解】231lg16(1)27lg 504π-+++()24331lg 213lg 504=-++2lg 213lg 50=-++，lg1001910=-+=故答案为：1014．已知函数的图象恒过点P ，若点P 在角的终边上，则()log (2)1(0,1)a f x x a a =-+>≠α_________．sin 2α=【答案】35【分析】由对数函数的性质可得点的坐标，由三角函数的定义求得与的值，再由()3,1P sin αcos α正弦的二倍角公式即可求解.【详解】易知恒过点，即，()()log 21a f x x =-+()3,1()3,1P 因为点在角()3,1Pα=所以sin α=cos α所以，3sin 22sin cos 25ααα==⨯=故答案为：.3515．已知，若方程有四个不同的解，则21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x a =1234x x x x <<<的取值范围是___________．123411x x x x +++【答案】1(0,]2【分析】作出函数的图象可得：，，进而得到122x x +=-2324log log x x -=，然后，利用函数的单调性进而求解.123434112x x x x x x +++=-++2324log ,log x a x a =-=【详解】作出函数的图象，如下图所示：21,0()log,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩方程有四个不同的解，()f x a=1234x x x x <<<则，，所以，122x x +=-2324log log x x -=341x x =则，34123434341122x x x x x x x x x x ++++=-+=-++设，所以，2324log ,log x a x a =-=3422a ax x -+=+因为，所以，则，01a <≤52222a a -<+≤341022x x <-++≤则的取值范围为，123411x x x x +++1(0,]2故答案为：.1(0,216．定义在上函数满足，且当时，．若当R ()f x ()()112f x f x +=[)0,1x ∈()121f x x =--时，，则的最小值等于________．[),x m ∈+∞()116f x ≤m 【答案】154【分析】转化条件为在区间上，，作出函数的图象，[)(),1n n n Z +∈()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦数形结合即可得解．【详解】当时，故，[)1,2x ∈()()()11112322f x f x x =-=--当时，故…，[)2,3x ∈()()()11112524f x f x x =-=--可得在区间上，，[)(),1n n n Z +∈()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦所以当时，，作函数的图象，如图所示，4n ≥()116f x ≤()y f x =当时，由得，7,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()11127816f x x =--=154x =由图象可知当时，，所以的最小值为．154x ≥()116f x ≤m 154故答案为：．154四、解答题17．已知集合，集合，其中实数．{}|1215A x x =≤-≤()(){}|1210B x x a x a =-++-≥1a >(1)当时，求；3a =()R A B ⋃ (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．x A ∈x B ∈a【答案】(1)；()(]5,3R A B ⋃=- (2).(]1,2【分析】（1）解一元一次、一元二次不等式求集合A 、B ，再应用集合的并补运算求.()R A B ⋃ （2）由题设可得是的真子集，结合已知条件列不等式求参数范围.A B 【详解】（1）由条件知：，，[]1,3A =(][),52,B ∞∞=--⋃+∴，故．()5,2R B =- ()(]5,3R A B ⋃=- （2）由题意知，集合是集合的真子集． A B 当时，，于是，而且，1a >()121320a a a ---+=->121a a ->-+211a -+<-∴，(][),211,B a a ∞∞=--+⋃-+又，则只需，又，解得[]1,3A =11a -≤1a >12a <≤∴实数的取值范围为．a (]1,218．（1）已知方程，的值．sin(3)2cos(4)απαπ-=-sin()5cos(2)32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭（2）已知是关于的方程的两个实根，且，求1tan ,tan ααx 2230x kx k -+-=732παπ<<的值．cos sin αα+【答案】（1）；（2）34-【解析】（1）由已知利用诱导公式化简得到的值，再利用诱导公式化简tan α为含有的形式，代入即可；sin()5cos(2)32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭tan α（2）由根与系数的关系求出的值，结合的范围求出，进一步求出，即可求k αtan αα的值．cos sin αα+【详解】解：（1）由得：，sin(3)2cos(4)απαπ-=-sin 2cos αα-=即，tan 2α=-，cos 0α∴≠sin()5cos(2)32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭sin 5cos 2cos sin αααα+=-+sin 5cos cos cos 2cos sin cos cos αααααααα+=-+ tan 52tan αα+=-+ 2522-+=--；34=-（2），是关于的方程的两个实根，tan α 1tan αx 2230x kx k -+-= ，21tan tan 1tan 3tan k k αααα⎧+=⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩解得：， 2k =±又，732παπ<< ，tan 0α∴>，2k ∴=即，1tan 2tan αα+=解得：，tan 1α=，134πα∴=1313cos sin cossin 44ππαα+=+==【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是化弦为切.19．已知函数.()22sin cos 3f x x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求的最小正周期以及对称轴方程；()f x (2)设函数，求在上的值域.5()1212g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1)最小正同期为，对称轴方程为π()212k x k ππ=+∈Z (2)32⎡-⎢⎣【分析】（1）利用三角函数的恒等变换公式将化为只含有一个三()22sin cos 3f x x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭角函数形式，即可求得结果；（2）将展开化简，然后采用整体处理的方法，求得答案.5()1212g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）()22sin cos 3f x x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1cos 22sin 22x x x ⎫=-⎪⎪⎭12sin 22x x =+，sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以的最小正同期为.()f x 22ππ=令，得对称轴方程为.2()32x k k πππ+=+∈Z ()212k x k ππ=+∈Z（2）由题意可知，3()sin 2cos22cos22623g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故，所以sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭3()2g x -≤≤故在上的值域为.()g x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦32⎡-⎢⎣20．已知实数大于0，定义域为的函数是偶函数.a R 3()13x x af x a =++(1)求实数的值并判断并证明函数在上的单调性；a ()f x ()0,∞+(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.t ∈R ()()212f t f t m -≥-m 【答案】(1)，在上单调递增，证明见解析；1a =()f x ()0,∞+(2).14m =【分析】（1）利用偶函数的性质求，利用单调性的定义证明函数的单调性即可；a ()f x（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】（1）因为为偶函数，且，所以()313x x a f x a =++()3113133x x x xa f x a a a ---=++=+⋅+⋅，解得，又，所以,；()()=f x f x -1a =±0a >1a =()1313xx f x =++设，则，因为，120x x >>()()()121212121211131313313333x x x x x x x xf x f x ⎛⎫-=++---=-- ⎪⋅⎝⎭120x x >>所以，，所以12330x x ->1212121133101103333x x x x x x ⋅>⇒<<⇒->⋅⋅，所以在上单调递增.()()()()12120f x f x f x f x ->⇒>()f x ()0,∞+（2）因为为定义在上的偶函数，且在上单调递增，，所以()f x R ()0,∞+()()212f t f t m -≥-，平方得，又因为对任意不等式恒成立，所以212t t m-≥-()22344140t m t m +-+-≥R t ∈，解得.()()224443140m m∆=--⨯⨯-≤14m =21．科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖y x 金总数不超过投资收益的20%．（1）现有三个奖励函数模型：①，②，③，．试分析这()0.038f x x =+()0.8200x f x =+()20100log 50f x x =+[]3000,9000x ∈三个函数模型是否符合公司要求？（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？【答案】（1）见解析；（2）投资收益至少要达到万元8000【解析】（1）根据公司要求知函数为增函数，同时应满足且，一一验证()f x ()100f x ≥()5xf x ≤所给的函数模型即可；（2）由，解不等式即可.2010050350log x +≥【详解】（1）由题意符合公司要求的函数在为增函数，()f x []3000,9000在且对，恒有且．[]3000,9000x ∀∈()100f x ≥()5xf x ≤①对于函数，当时，，不符合要求；()0.038f x x =+3000x =()300098100f =<②对于函数为减函数，不符合要求；()0.8200x f x =+③对于函数在，()2010050f x log x =+[]3000,10000显然为增函数，且当时，；()f x 3000x =()2030001002050100f log >+≥又因为；()()2020900010090005010016000050450f x f log log ≤=+<+=而，所以当时，．300060055x ≥=[]3000,9000x ∈()5max min x f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭所以恒成立；()5xf x ≥因此，为满足条件的函数模型．()2010050f x log x =+（2）由得：，所以，2010050350log x +≥203log x ≥8000x ≥所以公司的投资收益至少要达到万元．8000【点睛】本题主要考查的是函数模型的选择与运用，考查函数的单调性和最值以及恒成立问题，对数不等式的解法，考查学生的分析问题解决问题的能力.22．已知奇函数和偶函数满足．()f x ()g x ()()3sin e e x xg x x f x -+=++(1)求和的解析式；()f x ()g x (2)存在，，使得成立，求实数a 的取值范围．1x [)20,x ∈+∞()()()2211e x f x a x g --=-【答案】(1)，()3sin f x x=()e e x xg x -=+(2)9,4a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用奇偶性得到方程组，求解和的解析式；（2）在第一问的基础上，问()f x ()g x 题转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数单调性求解出[]22e e 3,3x x a -+∈-[)20,x ∈+∞的最值，进而求出实数a 的取值范围.()e e x xh x a -=+【详解】（1）因为奇函数和偶函数满足①，所以()f x ()g x ()()3sin e e x xg x x f x -+=++②；联立①②得：()()()()3sin e e x xf g x f x g x x x -+-=-+=-++-，；()3sin f x x=()e e x xg x -=+（2）变形为，因为，所以，()()()2211e x f x a x g --=-221e e 3sin x x a x -+=[)10,x ∈+∞[]13sin 3,3x ∈-所以，[]22e e 3,3x x a -+∈-当时，在上有解，符合要求；0a =[]2e 3,3x ∈-[)20,x ∈+∞令，由对勾函数可知，当时，在上单调递减，在()e e xxh x a -=+1a >()e e xxh x a -=+ln 0,2a x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，，要想上有解，只需ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()min ln 2a h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭()[]e e 3,3x x h x a -=+∈-，解得：，所以；()min 3h x =≤94a ≤91,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦若且，在上单调递增，要想上有解，只1a ≤0a ≠()ee xxh x a -=+[)0,x ∈+∞()[]e e 3,3x x h x a -=+∈-需，解得：，所以；综上：实数a 的取值范围为()()min 013h x h a ==+≤2a ≤()(],00,1a ∈-∞ .9,4a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦。
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山东省济南市历城二中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={1,3，5}，B={x|(x−1)(x−3)=0}，则A∩B=()A. ⌀B. {1}C. {3}D. {1,3}2.设命题p：∀x∈R，x2>lnx，则￢p为()A. ∃x0∈R，x02>lnx0B. ∀x∈R，x2≤lnxC. ∃x0∈R，x02≤lnx0D. ∀x∈R，x2<lnx3.若cosα=−√32，且角α的终边经过点P(x,2)，则x=()A. 2√3B. ±2√3C. −2√2D. −2√34.若函数f(x)={10x−1,x≤1,lgx,x>1,则f(f(10))=()A. 9B. 1C. 110D. 05.已知函数g(x)=f(2x)−x2是奇函数，且f(1)=2，则f(−1)=()A. −32B. −1 C. 32D. 746.已知关于x的不等式的解集是(2,3)，则a+b的值是()A. −11B. 11C. −1D. 17.函数f(x)=log a x与g(x)=b−x(其中a>0，a≠1，ab=1)的图象可能是()A. B.C. D.8.设角α=−2弧度，则α所在的象限是()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9. 若指数函数f(x)=a x 在区间[0,2]上的最大值与最小值之和为10，则a 的值为( )A. 13B. 3C. ±3D. ±13 10. 函数y =log 5x +2(x ≥1)的值域是( )A. RB. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,2)11. 函数f(x)=ln|x −1|的增区间为( )A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,1)D. (−∞,0) 12. 若a +b >0，则关于x 的不等式x+b a−x <0的解集是( )A. {x|−b <x <a}B. {x|x <−b ，或x >a}C. {x|a <x <−b}D. {x|x <a ，或x >−b}二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 已知−2<a <−1，−3<b <−2，则a −b 的取值范围是________．14. 函数f(x)=sin(ωx +π3)的相邻两条对称轴的距离为π，则ω= ______ ．15. 若函数f(x)=2x −ax 在区间(−1,0)内存在零点，则实数a 的取值范围是________．16. 函数f(x)=√2sin (x +π4)+2sinxcosx 在区间[π4,π2]上的最大值是________．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17. 计算：(1)(13)−1−log 28+(0.5−2−2)×(278)23(2)已知tanα=−2，求sin(π+α)+2sin(π2−α)sin(−α)+cos(π−α)的值．18. A ={x |3<x <7}，B ={x |4<x ≤10}，C ={x ||x −a |>2};(1)求A ∪B 与(∁R A)∩(∁R B)；(2)若(A ∩B)⊆C ，求a 的取值范围．19.如图，学校规划建一个面积为108m2的矩形场地，里面分成两个部分，分别作为铅球和实心球的投掷区，并且在场地的左侧，右侧，中间和前侧各设计一条宽1m的通道，问：这个场地的长，宽各为多少时，投掷区面积最大，最大面积是多少？20.已知函数f(x)=log2x的定义域为A={x|4x−5⋅2x+4<0}，求函数g(x)=[f(x)]2−f(2x)−3的值域．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．根据集合的交集的定义进行计算即可．解：∵B={x|(x−1)(x−3)=0}={1,3}，∴A∩B={1,3}，故选：D．2.答案：C解析：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2>lnx，则￢p为：∃x0∈R，x02≤lnx0．故选：C．利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．3.答案：D解析：本题考查了任意角的三角函数，属于基础题．利用任意角三角函数的定义，根据题意列出关于x的式子即可求出结果．解：由三角函数的定义可知，√x2+22=−√32，又角α的终边经过点P(x,2)，则点P在第二象限，解得x=−2√3，故选D．4.答案：B解析：本题考查分段函数的值的求法，通过分段函数，直接求出f(10)，然后求出f(f(10)的值即可，属于基础题. 解：因为函数，所以f(10)=lg10=1；f(f(10)=f(1)=1．故选B ． 5.答案：A解析：本题考查了函数的奇偶性以及函数求值，分别令x =12或x =−12代入进行求解． 解：令x =12，则g (12)=f (1)−14，因为f (1)=2，所以g (12)=2−14=74．令x =−12，则g (−12)=f (−1)−14，故f (−1)=g (−12)+14．因为g (x )是奇函数，所以g (−12)=−g (12)=−74，所以f (−1)=−74+14=−32．故选A ． 6.答案：C解析：本题考查二次不等式的解集，属于基础题．由题意可得2，3为方程x 2−ax −b =0的两根，将2，3代入方程计算可得a ，b 的值，进而得到所求和．解：因为关于x 的不等式的解集是(2,3)，可知2，3为方程x 2−ax −b =0的两根，代入得{22−2a −b =032−3a −b =0解得{a =5b =−6, 故a +b =5−6=−1．故选C ．7.答案：C解析：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，属于基础题．对a分类讨论，利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解：当a>1时，则0<b<1，利用指数函数与对数函数的单调性可得：函数f(x)=log a x与g(x)= b−x同为增函数，当0<a<1时，则b>1，利用指数函数与对数函数的单调性可得：函数f(x)=log a x与g(x)=b−x 同为减函数，函数f(x)=log a x与g(x)=b−x的单调性一致.排除A，B．结合选项分析可得C满足，D不满足．故选C．8.答案：C解析：本题考查象限角及终边相同角的概念，利用角度制与弧度的换算关系化为角度，由此可得答案．解：因为−π<−2<−π，所以−2为第三象限角，2故选C．9.答案：B解析：本题考查了指数函数的性质，解题的关键要注意对a进行讨论，属于基础题．①0<a<1，函数y=a x在[0,2]上为单调减函数，根据函数y=a x在[0,2]上的最大值与最小值和为10，求出a②a>1，函数y=a x在[0,2]上为单调增函数，根据函数y=a x在[0,2]上的最大值与最小值和为10，求出a即可．解：①当0<a<1时，函数y=a x在[0,2]上为单调减函数，∴函数y=a x在[0,2]上的最大值与最小值分别为1，a2，∵函数y=a x在[0,2]上的最大值与最小值和为10，∴1+a2=10，∴a=±3(舍)②当a>1时，函数y=a x在[0,2]上为单调增函数，∴函数y=a x在[0,2]上的最大值与最小值分别为a2，1∵函数y=a x在[0,2]上的最大值与最小值和为10，∴1+a2=10，∴a=3，或a=−3(舍去)，故选B．10.答案：B解析：因为x≥1，所以log5x≥log51=0，所以y=log5x+2≥2，故选B．11.答案：B解析：解：由y=|x−1|，关于x=1对称，当1<x时，y=|x−1|是增函数，由y=lnx递增，根据复合函数同增异减的原则，得f(x)在(1,+∞)递增，故选：B．根据绝对值函数以及对数函数的性质求出函数的递增区间即可．本题考查了复合函数的单调性问题，考查绝对值函数以及对数函数的性质，是一道基础题．12.答案：B解析：将原不等式转化为(x+b)(x−a)>0且a>−b，∴x>a或x<−b．13.答案：(0,2)解析：本题考查了不等式的性质问题，是一道基础题．解：−2<a<−1…①，∵−3<b<−2，∴2<−b<3②，①+②得：0<a−b<2，故答案为(0,2)．14.答案：±1解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象的周期性和对称性，属于中档题．根据相邻两条对称轴问的距离为半个周期，得出结论．)的相邻两条对称轴的距离为π，解：∵函数f(x)=sin(ωx+π3∴T=2π，∴2π=2π，|ω|∴ω=±1．故答案为±1．)15.答案：(−∞,−12解析：本题考查零点存在定理，根据函数f(x)=2x−ax在区间(−1,0)内存在零点，则f(−1)f(0)<0，解不等式即可．解：由题意，f(−1)f(0)<0，<0，即a+12所以a<−1．2)．故答案为(−∞,−1216.答案：√2+1解析：判断函数f(x)在在区间[π4,π2]上的单调性，利用函数的单调性求出最大值．解：f(x)=√2sin(x +π4)+sin2x ．因为x ∈[π4,π2]，所以x +π4∈[π2,3π4]，2x ∈[π2,π]， 所以y =√2sin (x +π4)在区间[π4,π2]上单调递减，y =sin2x 在区间[π4,π2]上单调递减，所以函数f(x)在区间[π4,π2]上单调递减，所以f(x)max =f (π4)=√2sin π2+sin π2=√2+1．故答案为√2+1． 17.答案：解：(1)原式=3−3+(4−2)×94=92．(2)∵tanα=−2，∴sin(π+α)+2sin(π2−α)sin(−α)+cos(π−α)=−sinα+2cosα−sinα−cosα=2−tanα−tanα−1=4．解析：(1)利用对数的运算性质，指数幂的运算性质即可得出；(2)利用诱导公式，同角三角函数关系式即可得出；本题考查了对数与指数的运算性质，诱导公式，同角三角函数关系式在化简求值中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.答案：解：(1)因为A ={x |3<x <7}，B ={x |4<x ≤10}，所以A ∪B ={x |3<x ≤10};C R A ={x |x ≥7或x ≤3}，C R B ={x |x >10或x ≤4}，所以(C R A )∩(C R B )={x |x >10或x ≤3};(2)A ∩B =(4,7)，由|x −a |>2，可得C ={x |x >a +2或x <a −2}，因为(A ∩B)⊆C ，所以a −2≥7或a +2≤4，解得a ≥9或a ≤2．解析：本题考查交、并、补集的混合运算，集合关系中的参数取值问题，属于基础题．(1)根据并集，交集，补集的定义求解;(2)A ∩B =(4,7)，根据集合A ∩B 为集合C 的子集求解．19.答案：解：设场地的长，宽分别为x 米，y 米，投掷区面积为sm 2，则xy =108(x >0,y >0)，s =(x −3)(y −1)=xy +3−(x +3y)=111−(x +3y)≤111−2√3xy =75 ，当且仅当x =3y ，即x =18，y =6时取等号．答：当场地长为18，宽为6时，投掷区面积最大，最大面积为75m 2．解析：本题考查基本不等式的实际应用.设出长和宽，求出面积的表达式，利用基本不等式求出最值即可．20.答案：解：∵A ={x|4x −5⋅2x +4<0}={x|1<2x <4}={x|0<x <2}，∴f(x)=log 2x ∈(−∞,1)，∴g(x)=[f(x)]2−f(2x)−3=(log 2x)2−log 22x −3=(log 2x)2−log 2x −4=(log 2x −12)2−174， ∴当log 2x =12时，g(x)min =−174；当log 2x →−∞时，g(x)max →+∞，∴函数g(x)=[f(x)]2−f(2x)−3的值域为[−174,+∞)．解析：由已知条件，利用指数函数的性质，求出0<x <2，由此得到f(x)=log 2x ∈(−∞,1)，再利用配方法能求出函数g(x)=[f(x)]2−f(2x)−3的值域．本题考查函数的值域的求法，涉及到指数函数、对数函数等知识点，解题时要注意配方法的合理运用，是中档题．。