上海市延安中学2018-2019学年高一数学下册期中考试题2
2019年最新高三题库 上海延安中学2019学年度高一第二学期数学期中试卷和答案
上海市延安中学第二学期期中考试（高一数学） （考试时间：90分钟 满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________一、填空题（本大题共48分，每小题3分） 1、2013-的终边在第___________象限角. 2、若1cos 3α=，则cos 2α=___________. 3、设α的终边过点(1,2)，则sin α=___________. 4、若tan 2α=，则sin 2cos cos 3sin αααα++=___________.5、函数1sin(2)23y x π=+的最小正周期是___________. 6、化简：tan()cos(3)sin()απαππα+-+=___________.7、函数cos(2)4y x π=-的单调递减区间为___________.8、已知5cos 13x =，且x 为第四象限角，则tan 2x=___________. 9sin x x -写成2sin()x ϕ+的形式，其中02ϕπ≤≤，则ϕ=___________. 10、函数lg tan y x =的定义域为___________.11、已知ABC ∆中，三内角满足222sin sin sin sin sin B C B C A +-=，则A =___________. 12、已知(tan )cos 2f x x =，则(1)f -=___________.13、若α、β为第二象限角，则αβ>是sin sin αβ<的______________________条件. 14、函数3sin 4cos y x x =+在(0,)2x π∈的值域为___________.15、已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4απα-的值为___________.16、在锐角ABC ∆中， 1a =，2B A =，则b 的取值范围为__________.二、选择题（本大题共12分，每小题3分）17、若()sin f x x 是最小正周期为π的奇函数，则()f x 可以是（ ） （A ）sin 2x（B ）cos 2x（C ）sin x（D ）cos x18、已知tan100t =，则cos 20=（ ）（A ）221tt +（B ）2211t t -+（C ）2211t t -+（D ）221tt - 19、将函数sin y x =的图像上的所有点向右平移10π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） （A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=- （C ）1sin()210y x π=-（D ）1sin()220y x π=-20、关于函数1sin 2cos 21sin 2cos 2x xy x x+-=++有以下说法：（1）在定义域内它是一个奇函数；（2）在定义域内它是一个单调递增函数；（3）它是一个周期函数，最小正周期为π； （4）它的值域为R . 其中正确的个数为（ ） （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个三、简答题（本大题共40分） 21、（本题6分）ABC ∆中，3A π=，最大边与最小边恰好为方程27110x x -+=的两根，求三角形第三边长.22、（本题6分）已知α是三角形的一个内角，且满足1sin cos 5αα+=，求tan α.23、（本题6分）已知4sin()45πα-=-，35sin()413πβ+=，且3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求sin()αβ-的值.24、（本题7分）已知函数2sin 21y x =-+，（1）试写出该函数的定义域、值域、奇偶性及单调区间（不必证明）； （2）利用五点法作出该函数在[0,]x π∈上的大致图像（请列表）.25、（本题7分）已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222f x x x πϕϕϕ=+-+(0)2πϕ<<，其图像过1(,)62π. （1）求ϕ的值；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在[0,]4π上的最大值和最小值.26、（本题8分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度4h m =，仰角ABE α∠=，ADE β∠=.（1）该小组已经测得一组α、β的值，tan 1.24α=，tan 1.20β=，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量的精度.若电视塔实际高度为125m ，试问d 为多少时，αβ-最大？d上海市延安中学第二学期期中考试（高一数学） （考试时间：90分钟 满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________一、填空题（本大题共48分，每小题3分） 1、2013-的终边在第______二_____象限角. 2、若1cos 3α=，则cos 2α=______79-_____.3、设α的终边过点(1,2)，则sin α4、若tan 2α=，则sin 2cos cos 3sin αααα++=______47_____.5、函数1sin(2)23y x π=+的最小正周期是______π_____. 6、化简：tan()cos(3)sin()απαππα+-+=______1_____.7、函数cos(2)4y x π=-的单调递减区间为_____5[,],88k k k Z ππππ++∈______. 8、已知5cos 13x =，且x 为第四象限角，则tan 2x=______23-_____.9sin x x -写成2sin()x ϕ+的形式，其中02ϕπ≤≤，则ϕ=______23π_____. 10、函数lg tan y x =的定义域为______(,),2k k k Z πππ+∈_____.11、已知ABC ∆中，三内角满足222sin sin sin sin sin B C B C A +-=，则A =_____3π____. 12、已知(tan )cos 2f x x =，则(1)f -=_____0______.13、若α、β为第二象限角，则αβ>是sin sin αβ<的____既非充分又非必要___条件. 14、函数3sin 4cos y x x =+在(0,)2x π∈的值域为______(3,5]_____.22sin()4πα-216、在锐角ABC ∆中， 1a =，2B A =，则b 的取值范围为__________. 二、选择题（本大题共12分，每小题3分）17、若()sin f x x 是最小正周期为π的奇函数，则()f x 可以是（ D ） （A ）sin 2x（B ）cos 2x（C ）sin x（D ）cos x18、已知tan100t =，则cos 20=（ C ）（A ）221tt +（B ）2211t t -+（C ）2211t t -+（D ）221tt - 19、将函数sin y x =的图像上的所有点向右平移10π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ C ） （A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=- （C ）1sin()210y x π=-（D ）1sin()220y x π=-20、关于函数1sin 2cos 21sin 2cos 2x xy x x+-=++有以下说法：（1）在定义域内它是一个奇函数；（2）在定义域内它是一个单调递增函数；（3）它是一个周期函数，最小正周期为π； （4）它的值域为R . 其中正确的个数为（ A ） （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个三、简答题（本大题共40分） 21、（本题6分）ABC ∆中，3A π=，最大边与最小边恰好为方程27110x x -+=的两根，求三角形第三边长.若A 为最大角，则23B C π+<，与23B C π+=矛盾，同理，A 也不为最小角。
上海市延安中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 上海市延安中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一.填空题（本大题14题，每题3分，共42分） 1.函数tan 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是________. 【答案】π 【解析】 【分析】根据函数()tan y x ωϕ=+的周期公式计算即可. 【详解】函数tan 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是1T ππ==.故答案为：π【点睛】本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题．2.计算：3lim 1n nn →∞=-________.【答案】3 【解析】 【分析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可．【详解】3lim 1n n n →∞=-33lim 31101n n→∞==--.故答案为：3【点睛】本题考查数列的极限的运算法则，考查计算能力，属于基础题．3.设函数()sin f x arc x =()11x -≤≤，则13fπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭________.【解析】 【分析】利用反三角函数的定义，解方程sin 3arc x π=即可．【详解】因为函数()sin f x arc x =()11x -≤≤，由反三角函数的定义，解方程sin 3arc x π=，得sin3x π==13f π-⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：2【点睛】本题考查了反三角函数的定义，属于基础题．4.已知数列{}n a 是等差数列，若11a =，59a =，则公差d =________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，∵11a =，59a =，∴514a a d =+，解得d ＝2． 故答案为：2．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．5.已知数列{}n a 等比数列，若24a =，512a =-，则公比q =________. 【答案】12- 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【详解】∵数列{}n a 是等比数列，若24a =，512a =-，则352a a q =，解得318q =-，即q =12-.故答案为：12-【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．6.计算：1111lim 1393n n -→∞⎡⎤⎛⎫-+-+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ________.【答案】34【解析】 【分析】由等比数列前n 项和公式，得11111393n -⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭L =34[1﹣13n⎛⎫- ⎪⎝⎭]，从而求极限即可．【详解】∵11111393n -⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭L ＝1113113n ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝34[1﹣13n ⎛⎫- ⎪⎝⎭]， ∴1111lim 1393n n -→∞⎡⎤⎛⎫-+-+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦L lim n →∞34[1﹣13n ⎛⎫- ⎪⎝⎭]=34．故答案为：34【点睛】本题考查了等比数列前n 项和公式的应用，以及数列极限的求法，属于基础题．7.方程cos sin6x π=的解集为________.【答案】|2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由诱导公式可得cos sinco 3scos()36x πππ===-，由余弦函数的周期性可得：2,3x k k Z ππ=±∈.【详解】因为方程cos sin 6x π=，由诱导公式得3si 3ncoscos()6πππ==-， 所以2,3x k k Z ππ=±∈，故答案为：|2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查解三角函数的方程，余弦函数的周期性和诱导公式的应用，属于基础题．8.已知数列{}n a 是等差数列，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1133S =，则6a =________. 【答案】3 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式和性质可得11611S a =，代入已知式子可得6a ． 【详解】由等差数列的求和公式和性质可得：11S =()111112a a +＝66112112a a ⨯=，且1133S =，∴63a =.故答案为：3．【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．9.夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶的温度是20度，则这座山的高度是________米 【答案】2000 【解析】 【分析】由题意得，温度下降了()362016-=oo ，再求出这个温度是由几段100米得出来的，最后乘以100即可.【详解】由题意得，这座山的高度为：()10036200.8100202000⨯-÷=⨯=⎡⎤⎣⎦米 故答案为：2000【点睛】本题结合实际问题考查有理数的混合运算，解题关键是温度差里有几个0.8，属于基础题.10.若cos 4arc x π≥()11x -≤≤ ，则x 的取值范围是________.【答案】12x ≤≤ 【解析】 【分析】利用反函数的运算法则，定义及其性质，求解即可．【详解】由cos 4arc x π≥()11x -≤≤，得()cos cos cos 42arc x π≤=所以x ≤，又因为11x -≤≤，所以1x ≤≤故答案为：1x ≤≤【点睛】本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题．11.若函数()cos f x x x =-，[0,]x m ∈，则m 的值是________. 【答案】2π 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式化简函数的解析式为()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由x 的范围可得6x π-的范围，根据()f x 最大值可得m 的值.【详解】∵函数()cos f x x x =-＝21cos 2x x -）＝2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵[0,]x m ∈，∴6x π-∈[6π-，6m π-]，又∵()f x ，所以sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最大值为3，即6m π-=3π，解得2m π=.故答案为：2π【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和最值，属于基础题．12.已知0a b >>，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a b +=_______________. 【答案】5 【解析】【详解】试题分析：由题意得，为等差数列时，一定为等差中项，即22b a =-+，为等比数列时，-2为等比中项，即4ab =，所以4,1,5a b a b ==+=. 考点：等差，等比数列的性质13.已知数列{}n a 满足11a =，22a =，23cos()n n a a n π+-=+，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S =________. 【答案】7500 【解析】 【分析】讨论n 的奇偶性，分别化简递推公式，根据等差数列的定义得{}n a 的通项公式，进而可求100S . 【详解】当n 是奇数时，cos()n π＝﹣1，由23cos()n n a a n π+-=+，得22n n a a +-=， 所以1a ，3a ，5a ，…21n a -，…是以11a =为首项，以2为公差的等差数列， 当n 为偶数时，cos()n π＝1，由23cos()n n a a n π+-=+，得24n na a +-=，所以2a ，4a ，6a ，…2n a ，…是首项为22a =，以4为公差的等差数列， 则,22,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，所以()()()()199210010050+50+501+99502+200-275002222a a a a S =+=+=.故答案为：7500【点睛】本题考查数列递推公式的化简，等差数列的通项公式，以及等差数列前n 项和公式的应用，也考查了分类讨论思想，属于中档题．14.已知数列{}n a 的通项公式是2n a n =，若将数列{}n a 中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，…，则2018位于第________组. 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数，从中寻找规律使问题得到解决．【详解】根据题意:第一组有2＝1×2个数，最后一个数为4； 第二组有4＝2×2个数，最后一个数为12，即2×（2+4）；第三组有6＝2×3个数，最后一个数为24，即2×（2+4+6）； …∴第n 组有2n 个数，其中最后一个数为2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n （n+1）． ∴当n ＝31时，第31组的最后一个数为2×31×32＝1984，∴当n ＝32时，第32组的最后一个数为2×32×33＝2112，∴2018位于第32组． 故答案为：32．【点睛】本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问题的关键点，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 15.“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}2n a 为等比数列”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】数列{}n a 是等比数列与命题{}2n a 是等比数列是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【详解】若数列{}n a 是等比数列，则11n n a a q -=，∴22221n n qa a -=，∴数列{}2na 是等比数列， 若数列{}2na 是等比数列，则2211n naa q -=，∴n a a =±{}n a 不是等比数列，∴数列{}n a 是等比数列是数列是等比数列{}2n a 的充分非必要条件，故选：A ．【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，注意等比数列的性质的灵活运用，属于基础题．16.设()*(1)(2)(3)()n S n n n n n n N =++++∈L ，则1n nS S +=（） A. 21n + B. 22n +C. (21)(22)n n ++D.2(21)n +【答案】D 【解析】 【分析】由()*(1)(2)(3)()n S n n n n n n N =++++∈L 得1n S +，再计算1n nS S +即可.【详解】Q ()*(1)(2)(3)()n S n n n n n n N=++++∈L ，∴1(11)(12)(13)(11)n S n n n n n +=+++++++++L()(2)(3)(4)(21)22n n n n n =+++++L ，所以()1(2)(3)(4)(21)222(21)(1)(2)(3)()n n n n n n n S n S n n n n n ++++++==+++++L L 故选：D【点睛】本题考查了以数列的通项公式为载体求比值的问题，以及归纳推理的应用，属于基础题．17.已知等差数列{}n a 的公差d ＞0，则下列四个命题：①数列{}n a 是递增数列；②数列{}n na 是递增数列； ③数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； ④数列{}3n a nd +是递增数列； 其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】对于各个选项中的数列，计算第n +1项与第n 项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．【详解】设等差数列()11n a a n d +-=，d ＞0∵对于①，a n+1﹣a n ＝d ＞0，∴数列{}n a 是递增数列成立，是真命题． 对于②，数列{}n na ，得()()()()1111111112n n n a na n a n d n a n d a nd +⎡⎤⎡⎤++++--+-=+⎣⎦⎣-=⎦，1a R ∈Q ，所以12a nd +不一定是正实数，即数列{}n na 不一定是递增数列，是假命题．对于③，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，得()1111111(1)n n a n d a a a nd d a n n n n n n ++-+--=-=+++，1a R ∈Q ，1(1)d a n n -+不一定是正实数，故是假命题．对于④，数列()()11313340n n n n n d nd a a a d a d ++++-+=-+=>，故数列{}3n a nd +是递增数列成立，是真命题． 故选：B ．【点睛】本题考查用定义判断数列的单调性，考查学生的计算能力，正确运用递增数列的定义是关键，属于基础题．18.已知数列{}n a 和数列{}n b 都是无穷数列，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[][]11,,n n n n a b a b ++Ü；②()lim 0n n n b a →∞-=；则称数列{}n a 和数列{}n b 可构成“区间套”，则下列可以构成“区间套”的数列是（ ）A. 12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 1n a n =-，11n b n=+ C. 1n n a n -=，113nn b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 1n a =，21n n b n -=+ 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．【详解】由题意，对于A ：12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵1n 1n 1122n na a ++⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴[][]11,,n n n n a b a b ++Ü不成立，所以A 不正确； 对于B ：由1n a n =-，11n b n =+，得()2lim lim 110n n n n b a n →∞→∞⎛⎫-=+=≠ ⎪⎝⎭不成立，所以B 不正确；对于C ：11,13nn n n a b n -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∵111111,11133nn n n n n n n a a b b n n +++-⎛⎫⎛⎫=>==+>=+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，∴[][]11,,n n n n a b a b ++Ü成立，并且()lim 0n n n b a →∞-=也成立，所以C 正确； 对于D ：由1n a =，21n n b n -=+，得1211111112333n n n b b n n n n +-==-<-=-=+++++， ∴[][]11,,n n n n a b a b ++Ü不成立，所以D 不正确；故选：C ．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的极限的求法，考查分析问题解决问题的能力及运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共4题，共42分）19.解关于x 的方程：22sin 5sin cos 6cos 0x x x x -+=【答案】{}|tan 2tan3,x x k arc x k arc k Z ππ=+=+∈或【解析】【分析】 根据方程解出tan 2x =或tan 3x =，利用三角函数的定义解出x ，再根据终边相同角的表示即可求出.【详解】由22sin 5sin cos 6cos 0x x x x -+=，得()()sin 2cos sin 3cos 0x x x x --=， 所以tan 2x =或tan 3x =，所以tan 2x k arc π=+或tan3x k arc π=+，所以x 的解集为：{}|tan 2tan3,x x k arc x k arc k Z ππ=+=+∈或. 【点睛】本题考查了三角方程的解法，终边相同角的表示，反三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2231n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.【答案】4,141,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩【解析】【分析】当1n =时，11a S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即可得出．【详解】∵已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2231n S n n =+-，当1n =时，114a S ==，当2n ≥时，()()1222312131141n n n n n n n a S n S -⎡⎤+---+--=⎣⎦-=+=， 检验：当1n =时，14a =不符合上式，∴4,141,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.已知等比数列{}n a 是递增数列，且满足：238a a ⋅=，149a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设()21log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）12n n a -=；（2）2n S n =【解析】【分析】（1）利用等比数列的性质结合已知条件解得首项和公比，由此得通项公式；（2）由（1）得()21log 21n n n b a a n +=⋅=-，再利用等差数列的求和公式进行解答即可．【详解】（1）由题意，得12348a a a a ⋅=⋅=，又149a a +=，所以11a =，48a =，或18a = ，41a =，由{}n a 是递增的等比数列，得1q > ，所以11a =，48a =，且2q =，∴1111122n n n n a a q ---==⨯=，即12n n a -=；（2）由（1）得()()111212log log 2221n n n n n b a a n -+-+=⋅=⋅=-，得()1211212n n b b n n +-=+--+=， 所以数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以()122n n n b b n S +==.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及等差数列的其前n 项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22.已知数列{}n a 满足11a =，*1,N 21n n n a a a n +=∈+． （1）证明：数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n n a b n =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使不等式n S ＜k 对一切n *∈N 恒成立的实数k 的范围．【答案】（1）见解析，n 121a n =-；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】 （1）对递推式两边取倒数化简,即可得出1112n na a +-=，利用等差数列的通项公式得出1n a ，再得出n a ；（2）由（1）得11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再使用裂项相消法求出n S ，使用不等式得出的n S 范围，从而得出k 的范围．【详解】（1）∵121n n n a a a +=+，两边取倒数,∴1112n n a a +=+，即1112n n a a +-=，又11a =， ∴数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴()1112121n n n a a =+-=-，∴n 121a n =-． （2）由（1）得111121(21)(21)22121n n ab n n n n n ⎛⎫===- ⎪++--+⎝⎭，∴111111123352121n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ＝11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 要使不等式S n ＜k 对一切n *∈N 恒成立，则k 12…． ∴k 的范围为:1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查了构造法求等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题．23.己知数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，记n S 是数列{}n a 的前n 项和.（1）若1a ＝1，q ＞1，求lim n n na S →∞的值； （2）若首项110a =，1q t =，t 是正整数，满足不等式|t ﹣63|＜62，且911n S <<对于任意正整数n 都成立，问：这样的数列{}n a 有几个？【答案】（1）11q -；（2）114 【解析】【分析】（1）利用等比数列的求和公式，进而可求lim n n na S →∞的值； （2）根据t 满足不等式|t ﹣63|＜62，可确定q 的范围，进而可得n S 随着n 的增大而增大，利用911n S <<，可求解．【详解】（1）已知数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，1a ＝1， ∴ ()11111n nn a q q S q q --==--，111n n n a a q q --== ， 则11111lim lim lim lim 111111n n n n n n n n n n n n q q a q q q q S q q q q -→∞→∞→∞→∞⋅--====---⎛⎫- ⎪-⎝⎭； （2）Q t 满足不等式|t ﹣63|＜62，6263621125t t ⇒-<-<⇒<<．Q 1q t =，∴ 11(,1)125q t =∈，且110a =， ∴()111011111n n n a q t S q t⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--，得n S 随着n 的增大而增大，得1010,11n S t ⎡⎫⎪⎢∈⎪⎢⎪⎢-⎣⎭ ， 又且911n S <<对于任意正整数n 都成立，得101111t-…，11t ⇒≥，且t 是正整数， 满足t 的个数为：124﹣11+1＝114个，即有114个q ，所以有114个数列{}n a ．【点睛】本题以等比数列为载体，考查数列的极限，考查等比数列的求和，考查数列的单调性，属于中档题．。
上海市高一下学期期中考试数学试卷含答案
有界函数”，注： ，若 ， ，则关于函数 、 在 上是否为“绝对差有界函数”的判断正确的是（）
A. 与 都是
B. 是而 不是
C. 不是而 是
D. 与 都不是
三.解答题
17.如图， 、 是单位圆 上的点，且 、 分别在第一与第二象限， 是单位圆与 轴正半轴的交点，若△ 为正三角形，点 的横坐标为 .
【分析】直接写出结果.
【详解】 .
故答案为： .
4【答案】
【解析】
【分析】直接利用公式求出结果.
【详解】函数 的最小正周期 .
故答案为： .
5【答案】1
【解析】
【分析】依题意可得 ，进而可得结果.
【详解】依题意可得 ，所以 ，因此 ，所以 .
故答案为： .
6【答案】②③
【解析】
【分析】用平方关系判断①；用特例判断②；用二倍角公式判断③.
【详解】解：由 ，∴ ，即 ，
因为 有意义，所以 ， ，
∴ ，又在 中，所以 或 ，
故选:D．
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用．考查计算能力，属于基础题．
14【答案】A
二.选择题
13.在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，则角 的值为（）
A. B. C. 或 D. 或
14.函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）
A. B.
C. D.
15..已知函数 ，则 是（）
A.最小正周期为 的奇函数B.最小正周期为 的奇函数
C.最小正周期为 的偶函数D.最小正周期为 的偶函数
上海市上海中学2018-2019学年高一下期中考试数学试题(解析版)
上海市上海中学2018-2019学年高一下期中考试数学试题一、填空题(每题3分,共36分)1. 函数()2sin 3y x =的最小正周期是_________. 【答案】23π 【解析】 【分析】直接由周期公式得解．【详解】函数()2sin 3y x =的最小正周期是：2233T ππ== 故填：23π 【点睛】本题主要考查了()sin y A x B =++ωϕ的周期公式，属于基础题．2. 已知点P ()11，在角α的终边上,则sin cos αα-=_______.【答案】0 【解析】 【分析】求出P 到原点的距离r ，利用三角函数定义得解．【详解】设P 到原点的距离r ，则r ==所以sinα=，cos α=， 所以sin cos 0αα-=-= 【点睛】本题主要考查了三角函数定义，考查计算能力，属于基础题．3. 已知扇形的周长为10cm ，面积为42cm ，则扇形的圆心角α的弧度数为________ . 【答案】12【解析】试题分析：设扇形的的半径、弧长分别为,R l ，则14,{2210,Rl R l =+=解得1,{8,R l ==（舍）或4,{2,R l ==．所以答案应填：2142l R ==． 考点：１、扇形的面积；２、弧长公式．4. 在△ABC 中,若tan sin 0A B ＜，则△ABC 为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形. 【答案】钝角 【解析】 【分析】整理tan sin 0A B ＜得sin sin 0cos A BA＜，利用sin 0,sin 0A B >>可得cos 0A <，问题得解．【详解】因为tan sin 0A B ＜，所以sin sin 0cos A BA＜， 又(),0,A B π∈,所以sin 0,sin 0A B >>，所以cos 0A < 所以A ∠为钝角，故填：钝角【点睛】本题主要考查了三角恒等变换及转化思想，属于基础题． 5. 若3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 【答案】35【解析】 【分析】直接由三角函数的诱导公式得解． 【详解】因为cos sin sin 4424ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，考查观察能力及计算能力，属于基础题． 6. 若02πα＜＜，=_______. 【答案】0 【解析】由正弦、余弦的二倍角公式升幂去根号，问题得解． 【详解】由题可得：sin 2sin cos22ααα=，2cos 2cos12αα=-，因为02πα＜＜，所以042απ＜＜，所以0sin cos 22αα<<=sincossincos2cos022222ααααα+-=+-=【点睛】本题主要考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了三角函数的性质及计算能力，属于中档题． 7. 已知tan 2，α=则2sin sin cos 1ααα-+=_______. 【答案】75【解析】 【分析】将2sin sin cos ααα-整理成22tan tan tan 1ααα-+，问题得解． 【详解】因为2sin sin cos 1ααα-+=2sin sin cos 11ααα-+22222sin sin cos cos sin cos co 1s ααααααα+=+- 22tan tan 1tan 1ααα-=++. 将tan 2α=代入上式可得：222227sin sin cos 11215ααα--+=+=+【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系及正、余弦的二次齐次式变形，考查化简能力及计算能力，属于中档题．8. 方程lg sin x x =的实数根的个数是______. 【答案】6如下图，由于函数y ＝lg|x |是偶函数，所以它的图象关于y 轴对称．9. 若223sin 2sin 2sin αβα+=，则22sin cos αβ+的取值范围是________. 【答案】913,109⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】由223sin 2sin 2sin αβα+=整理可得：222sin 2sin 3sin βαα=-，由此可得20sin 3α≤≤，对22sin cos αβ+消元可得：2225sin cos sin sin 12αβαα+=-+，令sin t α=，把问题转化成函数2512y t t =-+，20,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦值域问题，从而得解．【详解】由223sin 2sin 2sin αβα+=得：2222sin 2sin 3sin 0βαα≥=-≥ 解得：20sin 3α≤≤. ∴22y=sin cos αβ+=22sin 1sin αβ+-2222sin 3sin 5sin 1sin sin 122ααααα-=+-=-+令sin t α=，20,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 2512t y t ∴=-+，20,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当15t =时，2min 5119125510y ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭=，当23t =时，2max 52213123310y ⎛⎫⨯-+=⎪⎝⎭=. 所以22sin cos αβ+的取值范围是913,109⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换及转化思想，考查了二次函数的性质及换元法，考查计算能力，属于中档题． 10. 若()33sin cossin cos 02αααααπ--∈＞，，，则α的取值范围是________.【答案】53,,,24242ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】对33sin cos sin cos αααα--＞因式分解可得：()sin cos sin cos 0αααα-⋅>，作出：()y=sin ,cos ,0,2y αααπ=∈的图象，由图解不等式即可．【详解】由33sin cos sin cos αααα--＞可得：()()22sin cos sin sin cos cos sin cos αααααααα-+⋅+-＞，整理得：()sin cos sin cos 0αααα-⋅>，在同一坐标系中作出()y=sin ,cos ,0,2y αααπ=∈的图象如下：当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos αα<，sin 0,cos 0αα>>，不满足()sin cos sin cos 0αααα-⋅> 当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin cos αα>，sin 0,cos 0αα>>， 满足()sin cos sin cos 0αααα-⋅>. 当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin cos αα>，sin 0,cos 0αα><， 不满足()sin cos sin cos 0αααα-⋅>. 当5,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos αα>，sin 0,cos 0αα<<，满足()sin cos sin cos 0αααα-⋅>.当53,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin cos αα<，sin 0,cos 0αα<<， 不满足()sin cos sin cos 0αααα-⋅>. 当3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin cos αα<，sin 0,cos 0αα<>， 满足()sin cos sin cos 0αααα-⋅>. 所以α的取值范围是53,,,24242ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了因式分解及转化能力，考查三角函数的基本性质，还考查了分类思想，属于中档题．11. 已知f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ω＞0），f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上有最小值，无最大值，则ω＝_____． 【答案】163【解析】 【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得3462πππω+=，由此求得ω的值. 【详解】对于函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得， 函数图象关于6324x πππ+==对称，又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值， 可得()32462k k Z πππωπ+=+∈，即()1683k k Z ω=+∈，又342Tππ-≤，即12ω≤ 所以163ω=. 故答案为：163.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题．12. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ＜时，()f x 单调递增，已知()10f -=，设()2sin cos 2g x x m x m ，=+-集合()|002M m x g x π⎧⎫⎡⎤=∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意，，有＜，集合()|002N m x f g x π⎧⎫⎡⎤⎡⎤=∈⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意，，有＜，则M N =________.【答案】()4-+∞ 【解析】 【分析】由已知可得：1x <-时，()0f x <，01x <<时，()0f x <，将()0f g x ⎡⎤⎣⎦＜转化成()1g x <-或()01g x <<，即可将M N ⋂转化成：()|02A m x g x π⎧⎫⎡⎤=∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意，，有＜-1，即可转化成：2max2cos 2cos x m x ⎡⎤-<⎢⎥-⎣⎦02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦对任意，成立，令2cos t x =-，整理得：max 24t m t ⎡⎤⎛⎫-++< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用基本不等式即可得解．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，0x ＜时，()f x 单调递增,且()10f -= 所以1x <-时，()0f x <，01x <<时，()0f x <， 所以()0f g x ⎡⎤⎣⎦＜可化为：()1g x <-或()01g x <<， 所以集合()|002N m x f g x π⎧⎫⎡⎤=∈⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意，，有＜可化为：集合()()101|02N m x g x g x π⎧⎫⎡⎤=∈⎨⎬⎢⎥⎣<-⎦<⎩⎭<对任意，，有或， 所以MN =A =()|021g x m x π⎧⎫⎡⎤∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩<-⎭对任意，，有即：2sin cos 21x m x m +-<-02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦对任意，恒成立.即：22cos2cosxmx-<-2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦对任意，恒成立，即：2max2cos2cosxmx⎡⎤-<⎢⎥-⎣⎦记22cos2cosxyx-=-，令2cost x=-，则[]1,3t∈,且cos2x t=-，代入得：22424224y t tt t⎛⎫=-++≤-⋅+=-+⎪⎝⎭，当且仅当2t=时，等号成立．所以max224y=-+，所以224m-+<，所以M N=()422,-+∞【点睛】本题主要考查了奇函数的应用及函数单调性的应用，还考查了交集运算及参变分离法解决恒成立问题，还考查了换元法、转化思想及利用基本不等式求最值，属于难题．二、选择题(每题4分,共16分)13. 若cos0tan0＞，＜，αα则α在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据三角函数值在各个象限的正负，判断出角的终边所在的象限.【详解】由于cos0α>，故角α为第一、第四象限角.由于tan0α<，故角α为第二、第四象限角.所以角α为第四象限角.故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数值在各个象限的正负值，根据正切值和余弦值同时满足的象限得出正确选项.14. 函数()siny xωφ=+的部分图像如图,则ωφ、可以取的一组值是A.26ππωφ==， B.24ππωφ==，C. 44ππωφ==，D. 544ππωφ==， 【答案】C 【解析】 试题分析：∵，∴，4πω=，又由142ππϕ⨯+=得4πϕ=.15. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果22tan tan a Ab B=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】结合正弦定理和三角恒等变换及三角函数的诱导公式化简即可求得结果【详解】利用正弦定理得22sin sin cos sin sin cos AB ABBA =，化简得sin cos sin cos A AB B =， 即11sin 2sin 222A B =，则22A B =或22A B π+=，解得A B =或2A B π+= 故ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形 故选：C【点睛】本题考查根据正弦定理和三角恒等变化，三角函数的诱导公式化简求值，属于中档题16. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点A(1,,0)出发在单位圆上运动,点P 按逆时针方向每秒钟转6π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转116π弧度，则P 、Q 两点在第2019次相遇时,点P 的坐标是（ ）A. (0,0)B. (0,1)C. (-1,0)D. (0,-1)【答案】B 【解析】 【分析】由,P Q 两点相遇2019次，可求出两点的总路程，由两点的速度即可求出两点相遇2019次时所用的时间，进而可求出点P 所转的弧度，即可确定点P 位置. 【详解】因为点P 按逆时针方向每秒钟转6π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转116π弧度，两点相遇1次的路程是单位圆的周长即2π，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2019次时，共用了2019秒，所以此时点P 所转过的弧度为2019673336622ππππ==+， 由终边相同的角的概念可知，20196π与2π终边相同，所以此时点P 位于y 轴上，故点P 的坐标为()0,1.答案为()0,1【点睛】本题主要考查任意角，由终边相同的角的概念确定点P 位置，即可求解，属于基础题型.三、解答题(本大题共5题,共48分,解答各题必须写出必要的步骤)17. 已知()11tan tan 27αββ-==-，，求tan α的值． 【答案】13【解析】 【分析】将α变成()αββ-+，利用两角和的正切公式展开，将()11tan tan 27αββ-==-，代入即可得解． 【详解】()tan tan ααββ=-+⎡⎤⎣⎦()()tan tan 1tan tan αββαββ-+=-- 112711127-=+⨯13= 【点睛】本题主要考查了构造思想及两角和的正切公式，考查计算能力，属于中档题． 18. 在△ABC 中，a b c 、、分别为三个内角A 、B 、C对边，且222sin .b A c a -+=(1)求角A ；(2)若4sin sin 3B C ，=且2a ，=求△ABC 的面积．【答案】（1）3A π=； （2【解析】 【分析】（1）整理222sin 3b bc A c a -+=得：222sin 3b c a A +-=，再由余弦定理可得cos sin 3A A =，问题得解．（2）由正弦定理得：R =2sin b R B =，2sin c R C =，再代入ABC S ∆=1sin 2bc A 即可得解．【详解】（1）由题意，得2222cos sin cos tan b c a bc A A A A A +-==⇒=⇒=， ∴3A π=；（2）由正弦定理，得2sinB sinC sin a R R b A c ===⇒=2sin b R B =,2sin c R C =∴2232si 1n s sin sin 24in 2ABCS R A B c A C b ∆===⋅=⎝⎭【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查了转化思想及化简能力，属于基础题．19. 已知函数()223cos 2sin .f x x x x =+(1)求()f x 的最小正周期及单调递增区间； (2)若()4f，α=求cos2α的值. 【答案】（1）π ()2,36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦； （2）12. 【解析】 【分析】（1）化简()223cos sin f x x x x =+得：()2co 23s 2f x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，利用周期公式即可求得周期为π，再利用复合函数及三角函数的性质即可求得()f x 的单调递增区间.（2）由（1）可得cos 231πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求得()322k k Z παπ=-∈，问题得解． 【详解】（1）()1cos21cos233sin222x xf x x +-=⋅-+ cos23sin222cos 232x x x π⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期为22T ππ==， 由[]()22,23x k k k Z ππππ+∈-∈，可得()2,36x k k k Z ππππ⎡⎤∈--∈⎢⎥⎣⎦， ∴()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦； （2）()()4co 133s 222f k k Z ππαααπ⎛⎫=⇒+=⇒+=∈ ⎪⎝⎭， ()223k k Z παπ∴=-∈∴cos2cos 2cos 2133k ππαπ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式及周期计算，还考查了三角函数的性质及复合函数的单调性规律，还考查了三角函数求值，属于中档题．20. 某植物园准备建一个五边形区域的盆栽馆，三角形ABE 为盆裁展示区，沿AB 、AE 修建观赏长廊，四边形BCDE 是盆栽养护区，若BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD=33米．(1)求两区域边界BE 的长度；(2)若区域ABE 为锐角三角形，求观赏长廊总长度AB+AE 的取值范围．【答案】（1）6米； （2）观赏长廊总长度AB AE +的取值范围是(63,12⎤⎦（米）.【解析】 【分析】（1）在BCD ∆中应用余弦定理求得3BD =米，利用已知即可求得90BDE ∠=︒，解三角形即可.（2）设ABE θ∠=，由正弦定理即可表示出()sin sin 120AB AE θθ+=+︒-⎤⎦，化简得：()12sin 30AB AE θ+=+︒，结合()30,90θ∈︒︒即可求得(AB AE ⎤+∈⎦.【详解】（1）在BCD ∆中，应用余弦定理，得2222cos 3BD BC CD BC CD BCD BD =+-⋅⋅∠⇒=米， ∵120BCD ∠=︒且BC CD =，∴30CBD CDB ∠=∠=︒，90BDE CDE CDB ∠=∠-∠=︒，从而6BE ==米，（2）设ABE θ∠=，则120AEB θ∠=︒-，由ABE ∆为锐角三角形，得()30,90θ∈︒︒在ABE ∆中，应用正弦定理，得()sin60sin sin 120BE AE ABθθ===︒︒-∴()sin sin 120AB AE θθ+=+︒-⎤⎦()3sin 12sin 302θθθ⎫=+=+︒⎪⎭，∵()30,90θ∈︒︒，∴()3060,120θ+︒∈︒︒，∴()(12sin 30AB AE θ⎤+=+︒∈⎦，即观赏长廊总长度AB AE +的取值范围是(⎤⎦（米）.【点睛】本题主要考查了正、余弦定理的应用及两角和的正弦公式，还考查了三角函数的性质及计算能力，属于中档题．21. 已知函数()()()sin 20f x x φφπ=+＜＜，其图像的一个对称中心是012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，将()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图像． (1)求函数()g x 的解析式；(2)若对任意[]120x x t ∈，，，当12x x ＜时，都有()()()()1212f x f x g x g x --＜，求实数t 的最大值； (3)若对任意实数()()0a y g x ωω=，＞在4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，上与直线12y 交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数ω的取值范围．【答案】（1）()5sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ； （2）4π； （3）[)12,20.【解析】 【分析】（1）由图像的一个对称中心是012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，列方程012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭即可求得6π=ϕ，即可求得()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用平移规律得()3g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，问题得解．（2）由题可得()()f x g x -在[]0,t 上单调递增，求得()()f x g x -的增区间为(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，利用[]()0,,44t k k k Z ππππ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦即可求得0,4t π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，问题得解． （3）()y g x ω=的最小正周期为T πω=，由题可得：4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，的区间长度满足3454T T ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解不等式即可．【详解】（1）由题意，得sin 0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得()6k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，∴6π=ϕ， ∴()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 从而()3g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5sin 2sin 2366x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （2）对任意[]12,0,x x t ∈，且12x x <，()()()()()()()()12121122f x f x g x g x f x g x f x g x -<-⇒-<-，即()()f x g x -在[]0,t 上单调递增，()()5sin 2sin 266f x g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 易得其单调增区间为(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，由于[]()0,,44t k k k Z ππππ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦，∴当0k =时，[]0,,44t ππ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，从而0,4t π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∴实数t 的最大值为4π；（3）()5sin 26y g x x πωω⎛⎫==+⎪⎝⎭，其最小正周期为22T ππωω==，而区间,4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的长度为4π， 要满足题意，则3454T T ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，∴2012T πππω<=≤，解得[)12,20ω∈. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象特点及函数图象平移规律，还考查了函数单调性概念及求三角函数的增区间知识，考查复合函数的单调性规律，属于难题．。
2018-2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的班级、姓名、学号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡.上对应题目选项的答案信息涂黑，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.已知，，且，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】∵，∴∵∴∴故选D2.在中，角，，所对边分别是，，，若，，，则角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据余弦定理，，选C.3.是顶角为的等腰三角形，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可．【详解】解：是顶角为的等腰三角形，且，则，则．故选：．【点睛】本题考查向量的数量积的应用及运算，是基本知识的考查．4.在数列中，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当时，可求出，当时，得，即可得数列为等比数列．【详解】解：当时，则，当时，由得故数列是以为首项等比数列故选【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，属于基础题．5.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A. 2B. 3C. 6D. 7【答案】B【解析】【详解】,6.等比数列中，，则等于( )A. 16B. ±4C. -4D. 4【答案】D【解析】分析：利用等比中项求解．详解：，因为为正，解得．点睛：等比数列的性质：若，则．7.已知平面向量满足，且，则向量的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果.【详解】，，所以，可得，即，，设两向量夹角为，则，，，即为，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8.数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用裂项相消法求数列的前项和为．【详解】解：故选【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前项和为，属于基础题．9.中，角，，对边分别为，，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边化角求得，再利用余弦定理求边．【详解】，，，又，由余弦定理得故选【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．10.若两个等差数列，的前项和分别为，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把转化为，然后借助于已知得答案．【详解】解：等差数列、前项和分别为，，且，得．故选．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，考查数学转化思想方法，是中档题．11.在中，，，，在边的中线上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可设，然后将用向量作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题．【详解】解：由题意，画图如下：可设，，，．，．．由二次函数的性质，可知：当时，取得最小值．故选：．【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题．12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图所示，三角形数,，，……在这个自然数中三角形数的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出这一列数的通项，即可求出在中三角形数的个数．【详解】解：由题意知，，……可归纳为则，故在中三角形数的个数为个．故选【点睛】本题考查数列的通项公式，及数列的项的计算，属于基础题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分.13.在ΔABC中，已知a=1，b=, A=30°，则B等于____________；【答案】或【解析】分析：根据正弦定理求解即可．详解：由正弦定理可知，解得，故解得或点睛：本题为易错题，根据大角对大边，正弦值在一、二象限均有取值，只要角大于角即可．14.如果数列的前项和，则此数列的通项公式__________．【答案】【解析】【分析】利用数列中与关系，得出，但，由此判定数列从第项起为等比数列，通项公式可求．【详解】解：当时，，得．当时，，得，当时，不成立，故数列为从第项起为等比数列．故答案为【点睛】本题考查利用数列中与关系求数列通项，考查等比数列判定，通项公式求解．需具有转化、变形、计算能力．15.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是______.【答案】【解析】【分析】连结，由余弦定理可求，在中由正弦定理可求，利用面积公式分别求出，，即可求出四边形的面积．【详解】解：如图，连结，由余弦定理可知，故，，，，在中由正弦定理得：，即，故.故答案为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，属于基础题．16.已知等差数列中，，公差d>0，则使得前n项和取得最小值时的正整数n的值是______．【答案】6或7【解析】【分析】将转化为的形式，得到，即，由此判断前或项的和最小.详解】]由且得，，且，即，即，即，故且最小.【点睛】本题主要考查利用基本元的思想，求等差数列的前项和取得最小值时的值.直接用等差数列的通项公式，将已知条件转化为的形式，由此得到为零，从而求得使等差数列的前项和取得最小值时的值.属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.如图，在中，，是边上一点，，，，为锐角.(1)求角大小；(2)求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在三角形中，利用正弦定理表示出，求出，确定出的度数；（2）在中，设，由余弦定理可得，即可求出的长．【详解】（1）在中，，，由正弦定理可得，，即，，为锐角，，（2）在中，设，由正弦定理可得，，即，，即.【点睛】考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．19.数列满足，，.(1)设，证明是等差数列；(2)求的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证是等差数列，即证，即由已知可得．（2）由（1）可得，利用累加法，求出数列的通项公式．【详解】（1）由得，又，所以是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）得，，由得，，则，，，，，所以，又，所以的通项公式.【点睛】本题考查：①用定义法证明等差数列；②等差数列的通项公式；③累加法求数列的通项公式；形如“”的递推关系式，求通项时一般利用累加法，属于中档题．20.的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由余弦定理可得，结合范围，可求的值．（2）可设，，由余弦定理可得，再由余弦定理，得，利用同角三角函数基本关系式可求的值．【详解】（1）由及正弦定理可得：，即.由余弦定理可得，又，.（2），所以可设，，则由余弦定理可得，，再由余弦定理得，故，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.已知是等差数列，是各项为正数的等比数列，且，，.⑴求数列和的通项公式；⑵若，求数列的前项和.【答案】(1) ，;(2) .【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件，，.可列出关于的方程组，解方程组求出的值，最后求出数列和的通项公式；(2)用错位相消法，结合等比数列前项和公式，可以求出数列的前项和.【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，所以有，所以，.(2)因为，.，所以，因此①，②，①—②得：，.【点睛】本题考查了等比数列和等差数列的通项公式，考查了用错位相消法求数列前项和.22.已知、、、为同一平面上的四个点，且满足，，设，的面积为，的面积为.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（I）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得到，即可求解的值；（II）由，得到，从而，由此能求出．试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得所以在中，由余弦定理得所以所以.（Ⅱ）因为，所以所以解得考点：余弦定理；三角函数的恒等变换.【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法等问题，其中解答中涉及到三角形的面积，余弦定理，三角恒等变换等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了转化与化归思想，解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用，试题有一定的难度，属于中档试题.2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的班级、姓名、学号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡.上对应题目选项的答案信息涂黑，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.已知，，且，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】∵，∴∵∴∴故选D2.在中，角，，所对边分别是，，，若，，，则角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据余弦定理，，选C.3.是顶角为的等腰三角形，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可．【详解】解：是顶角为的等腰三角形，且，则，则．故选：．【点睛】本题考查向量的数量积的应用及运算，是基本知识的考查．4.在数列中，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当时，可求出，当时，得，即可得数列为等比数列．【详解】解：当时，则，当时，由得故数列是以为首项等比数列故选【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，属于基础题．5.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A. 2B. 3C. 6D. 7【答案】B【解析】【详解】,6.等比数列中，，则等于( )A. 16B. ±4C. -4D. 4【答案】D【解析】分析：利用等比中项求解．详解：，因为为正，解得．点睛：等比数列的性质：若，则．7.已知平面向量满足，且，则向量的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果.【详解】，，所以，可得，即，，设两向量夹角为，则，，，即为，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8.数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用裂项相消法求数列的前项和为．【详解】解：故选【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前项和为，属于基础题．9.中，角，，对边分别为，，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边化角求得，再利用余弦定理求边．【详解】，，，又，由余弦定理得故选【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．10.若两个等差数列，的前项和分别为，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把转化为，然后借助于已知得答案．【详解】解：等差数列、前项和分别为，，且，得．故选．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，考查数学转化思想方法，是中档题．11.在中，，，，在边的中线上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可设，然后将用向量作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题．【详解】解：由题意，画图如下：可设，，，．，．．由二次函数的性质，可知：当时，取得最小值．故选：．【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题．12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图所示，三角形数,，，……在这个自然数中三角形数的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出这一列数的通项，即可求出在中三角形数的个数．【详解】解：由题意知，，……可归纳为则，故在中三角形数的个数为个．故选【点睛】本题考查数列的通项公式，及数列的项的计算，属于基础题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分.13.在ΔABC中，已知a=1，b=, A=30°，则B等于____________；【答案】或【解析】分析：根据正弦定理求解即可．详解：由正弦定理可知，解得，故解得或点睛：本题为易错题，根据大角对大边，正弦值在一、二象限均有取值，只要角大于角即可．14.如果数列的前项和，则此数列的通项公式__________．【答案】【解析】【分析】利用数列中与关系，得出，但，由此判定数列从第项起为等比数列，通项公式可求．【详解】解：当时，，得．当时，，得，当时，不成立，故数列为从第项起为等比数列．故答案为【点睛】本题考查利用数列中与关系求数列通项，考查等比数列判定，通项公式求解．需具有转化、变形、计算能力．15.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是______.【答案】【解析】【分析】连结，由余弦定理可求，在中由正弦定理可求，利用面积公式分别求出，，即可求出四边形的面积．【详解】解：如图，连结，由余弦定理可知，故，，，，在中由正弦定理得：，即，故.故答案为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，属于基础题．16.已知等差数列中，，公差d>0，则使得前n项和取得最小值时的正整数n 的值是______．【答案】6或7【解析】【分析】将转化为的形式，得到，即，由此判断前或项的和最小.详解】]由且得，，且，即，即，即，故且最小.【点睛】本题主要考查利用基本元的思想，求等差数列的前项和取得最小值时的值.直接用等差数列的通项公式，将已知条件转化为的形式，由此得到为零，从而求得使等差数列的前项和取得最小值时的值.属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.如图，在中，，是边上一点，，，，为锐角.(1)求角大小；(2)求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在三角形中，利用正弦定理表示出，求出，确定出的度数；（2）在中，设，由余弦定理可得，即可求出的长．【详解】（1）在中，，，由正弦定理可得，，即，，为锐角，，（2）在中，设，由正弦定理可得，，即，，即.【点睛】考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．19.数列满足，，.(1)设，证明是等差数列；(2)求的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证是等差数列，即证，即由已知可得．（2）由（1）可得，利用累加法，求出数列的通项公式．【详解】（1）由得，又，所以是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）得，，由得，，则，，，，，所以，又，所以的通项公式.【点睛】本题考查：①用定义法证明等差数列；②等差数列的通项公式；③累加法求数列的通项公式；形如“”的递推关系式，求通项时一般利用累加法，属于中档题．20.的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由余弦定理可得，结合范围，可求的值．（2）可设，，由余弦定理可得，再由余弦定理，得，利用同角三角函数基本关系式可求的值．【详解】（1）由及正弦定理可得：，即.由余弦定理可得，又，.（2），所以可设，，则由余弦定理可得，，再由余弦定理得，故，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.已知是等差数列，是各项为正数的等比数列，且，，.⑴求数列和的通项公式；⑵若，求数列的前项和.【答案】(1) ，;(2) .【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件，，.可列出关于的方程组，解方程组求出的值，最后求出数列和的通项公式；(2)用错位相消法，结合等比数列前项和公式，可以求出数列的前项和.【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，所以有，所以，.(2)因为，.，所以，因此①，②，①—②得：，.【点睛】本题考查了等比数列和等差数列的通项公式，考查了用错位相消法求数列前项和.22.已知、、、为同一平面上的四个点，且满足，，设，的面积为，的面积为.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（I）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得到，即可求解的值；（II）由，得到，从而，由此能求出．试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得所以在中，由余弦定理得所以所以.（Ⅱ）因为，所以所以解得考点：余弦定理；三角函数的恒等变换.【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法等问题，其中解答中涉及到三角形的面积，余弦定理，三角恒等变换等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了转化与化归思想，解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用，试题有一定的难度，属于中档试题.。
上海市高一下学期期中考试数学试卷含答案
上海市高一下学期期中考试数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知角α的终边经过点(3P ，则与α终边相同的角的集合是 .2. 方程()lg 3lg 1x x -+=的解为x = .3.关于x 的方程12x a aπ+=-只有正实数解，则a 的取值范围是 . 4.若()11tan ,tan 32ααβ=+=，则tan β= . 5．已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ . 6.将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为 . 7.若3sin cos 0αα+=，则21cos 2sin cos ααα+ . 8.已知,A B 分别是函数()()2sin 0f x x x ωω=>在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是 .9.在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为 . 10.已知函数()()sin cos 0,f x x x x R ωωω=+>∈，若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()y f x =的图象关于直线x ω=对称，则ω的值为 .二、选择题：11．若sin 0α>，且tan 0α<，则角α的终边位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限12．下列结论错误的是A.若02πα<<，则sin tan αα<B.若α是第二象限角，则2α为第一象限或第三象限角C.若角α的终边经过点()()3,40P k k k ≠，则 4sin 5α= D.若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度13．函数2312sin 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是 A.最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数D. 最小正周期为2π的偶函数 14．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为正常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是A.()()()220f f f <-<B. ()()()022f f f <<-C. ()()()202f f f -<<D. ()()()202f f f <<-三、解答题：15. 已知tan 2.α=（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.16. 已知,,a b c 分别是ABC ∆内角A,B,C 的对边，且2sin 2sin sin .B A C =（1）若a b =，求cos B ；（2）设90,B =o ，且a =ABC ∆的面积.17. 已知实数x 满足2411033903x x ---+=，且()22log log 2x f x =⋅ （1）求实数x 的取值范围；（2）求()f x 的最大值和最小值，并求此时x 的值.18.已知函数()22sin sin 6f x x x πωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，,x R ω∈为常数，且112ω<<，函数()f x 的图象关于直线X π=对称.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若311,54a f A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆的S 最大值.四．附加题19.甲、乙两人解关于x 的方程2log log 20x x b c ++=，甲写错了常数b ，得两根11,48，乙写错了常数c ，得两根1,642，求这个方程真正的根.20. 已知函数()()sin 2x f x x R π=∈，任取t R ∈，若函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，记()()()g t M t m t =-（1）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当[]2,0t ∈-时，求函数()g t 的解析式；（3）设函数()(),28x k h x x H x x x k k -==-+-，其中k 为参数，且满足关于t 的不等式()40g t -≤有解，若对任意[)14,x ∈+∞，存在(]2,4x ∈-∞，使得()()21h x H x =成立，求实数k 的取值范围.。
上海市高一数学下学期期中考试试卷含答案
上海市高一下学期数学期中考试试卷一、填空题1.幂函数()x f 的图像经过点()4273，，则()x f 的解析式是 . 2.若角α的终边上一点)0)(4,3≠-a a a P （，则cos α= .3.若扇形的圆心角为3π，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为 . 4.已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限.5.已知(()sin 5πα-=α在第二象限角，则 tan α= . 6.已知3sin 5α=，α在第二象限，则tan 2α= .7.求值：tan tan(60)tan(60)θθθθ+︒-︒-= .8.已知3sin(2)65x π+=，[,]42x ππ∈，则cos 2x = . 9.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是 .10.ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知A c C a cos 2cos 3=，31tan =A ，则B = .11.已知函数()1()2x f x =，()12log g x x =，记函数()()()⎩⎨⎧=x f x g x h ()()()()x g x f x g x f ＞≤，则函数()()5-+=x x h x F 所有零点的和为 .12. 如果满足︒=45B ，10=AC ，k BC =的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是 .二、选择题 13. 2πθ=“”是“x x cos )sin(=+θ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件的值等于（ ）A. 2cosB. 21cosC. 2cos -D.21cos- 15.ABC ∆中，三边长分别为x 、y 、z ，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断16. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0＞＞＞＞b a a c ，若a b c 、、是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的是（ ）①存在x R +∈，使x a 、x b 、xc 不能构成一个三角形的三条边②对一切()1,∞-∈x ，都有()0＞x f③若ABC ∆为钝角三角形，则存在()2,1∈x ，使()0=x fA.①②B. ①③C.②③D. ①②③ 三、解答题17.已知α为第二象限角，化简212sin(5)cos()33sin()1sin ()22πααπαππα+-----+．18.已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα＜＜＜，求：（1）tan 2α；（2）βcos ． 19.如图，D C 、是两个小区所在地，D C 、到一条公路AB 的垂直距离分别为km DB km CA 2,1==，AB 两端之间的距离为km 6.（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对C A 、的张角与P 对D B 、的张角相等，试确定点P 的位置；（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对D C 、所张角最大，试确定点Q 的位置.20.若函数()x f 定义域为R ，且对任意实数12,x x ，有1212()()()f x x f x f x ++＜，则称()x f 为“V 形函数”，若函数()x g 定义域为R ，函数()0＞x g 对任意R x ∈恒成立，且对任意实数12,x x ，有[][][]1212lg (lg ()lg ()g x x g x g x ++＜，则称为“对数V 形函数” .（1）试判断函数()2f x x =是否为“V 形函数”，并说明理由； （2）若()1()2x g x a =+是“对数V 形函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()x f 是“V 形函数”，且满足对任意R x ∈，有()2＞x f ，问()x f 是否为“对数V 形函数”？证明你的结论．21.（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p 的最小值；（2）若三角形有一个内角为7cos 9α=，周长为定值p ，求面积S 的最大值； （3）为了研究边长c 、、b a 满足3489≥≥≥≥≥≥c b a 的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S ∆=（其中)(21c b a p ++=， 三角形面积的海伦公式）， ∴216)()()()S a b c a b c a b c a b c =+++--+-++（ ()()2222[][]a b c c a b =+---42222222()()c a b c a b =-++--()222222[]4c a b a b =--++， 而2222[()]0c a b --+≤，281a ≤，264b ≤，则36≤S ，但是，其中等号成立的条件是222,9,8c a b a b =+==，于是2145c =与43≤≤c 矛盾， 所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．试卷答案一、填空题1. ()34f x x =2. 35±3.2:34. 二5. 12-6. 39.3π 10.34π 11. 512. (0,10]{k ∈U二、选择题13. A 14. C 15. A 16. D三、解答题17.【解析】原式sin cos 1cos sin αααα-==-- 18. 【解析】（1）1cos tan 7αα=⇒=22tan tan 21tan 14847ααα===--- （2）[]cos cos ()βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317147142=⨯+⨯= 19.【解析】（1）张角相等，∴2:1::==DB CA PB AP ，∴4,2==PB AP(2)设AQ =x ，∴6QB x =-，∴tan C x =，6tan 2x D -=，tan tan tan tan()1tan tan C D C D C D θ+=+=-2662x x x +=-+，设6+=x t ，)6,0(∈x ，2tan 1874t t t θ=-+，(6,12)t ∈， ∴1tan 7418t tθ=∈+-(,(3,)-∞+∞U，(arctan 3,θπ∈-， 当且仅当74=t 时，等号成立，此时674-=x ，即674-=AQ20.【解析】（1）()()21212f x x x x +=+，221212()()f x f x x x +=+，当1x 、2x 同号时，()2221212x x x x +>+，不满足1212()()()f x x f x f x ++＜，∴不是“V 形函数” （2）1()()02x g x a =+＞恒成立，∴0≥a ，根据题意，1212()()()g x x g x g x +⋅＜恒成立， 即1212111()()][()]222x x x x a a a ++++＜[，去括号整理得12111[()()]22x x a >-+，∴1a ≥ （3）1122()()()f x f f x x x +<+，∵()12f x >，∴1()11f x ->，同理2()11f x ->，∴12[()1][()1]1f x f x -->，去括号整理得1212()()()()f x f x f x f x +＞，∴1212()()()f x x f x f x +＜，[][][]1212lg ()lg ()lg ()f x x f x f x ++＜，是“对数V 形函数”21.【解析】（1）设两直角边为b a 、=≥=∴12P a b =++2612+（2）设夹α的两边为b a 、，则第三边b a p --，∴222()7cos 29a b p a b ab α+---==，∴223218189369ab ap bp p p =+-≥，∴0)38)(34(≥--p ab p ab ， ∵0)34＜（p ab -，∴038≤-p ab ，即2964ab p ≤，22119sin 2296432S ab p p α=≤⨯=，即面积最大值为232p （3）不正确，∵海伦公式三边可互换，∴22222222216[()]44S a c b c b c b =--++≤，即2164166416S S ≤⨯⨯≤，，此时22280a b c =+=，a =16。
上海市上海中学2018-2019学年高一下期中考试数学试题
上海中学2018-2019学年度第二学期期中考试高一数学试题卷一、填空题(每题3分,共36分)1.函数()x y 3sin 2=的最小正周期是_________.2.已知点P ()11，在角α的终边上,则=-ααcos sin _______. 3.已知扇形的周长是10cm,半径是4cm,则该扇形的圆心角是_____弧度.4.在△ABC 中,若，＜0sin tan B A 则△ABC 为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形.5.若，π534sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+α则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos πα______. 6.若，π＜＜20α则化简=+--++αααcos 22sin 1sin 1_______. 7.已知，2tan =α则=+-1cos sin sin 2ααα_______.8.方程x x sin lg =的实数根的个数是______. 9.若，αβαsin 2sin 2sin 322=+则βα22cos sin +的取值范围是________. 10.若()，π，，＞20cos sin cos sin 33∈--ααααα则α的取值范围是________. 11.已知函数()()，ππ，＞π⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3604sin f f x x f ωω且在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛36π，π(内有最小值无最大值,则=ω_______. 12.已知()x f 是定义在R 上的奇函数，且0＜x 时，()x f 单调递增，已知()，01=-f 设()，m x m x x g 2cos sin 2-+=集合()，＜，有π，对任意⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=020|x g x m M 集合 ()[]，＜，有π，对任意⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=020|x g f x m N 则=N M ________.二、选择题(每题4分,共16分)13.若，＜，＞0tan 0cos αα则α在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.函数()ϕω+=x y sin 的部分图像如图,则ϕω、可以取的一组值是A.62π，π==ϕωB.42π，π==ϕω C.44π，π==ϕω D.454π，π==ϕω 15.在△ABC 中,c b a 、、分别为三个内角A 、B 、C 的对边,若，BA b a tan tan 22=则△ABC 的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形16.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点A(1,,0)出发在单位圆上运动,点P 按逆时针方向每秒钟转6π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转611π弧度，则P 、Q 两点在第2019次相遇时,点P 的坐标是A.(0,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)三、解答题(本大题共5题,共48分,解答各题必须写出必要的步骤)17.(本题满分8分)已知()，，71tan 21tan -==-ββα求αtan 的值。
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上海市延安中学2018-2019学年度第二学期期中考试
高一年级数学试卷
（考试时间：90分钟 满分：100分）
一、填空题（本大题满分45分）
1.函数sin 2y x =的最小正周期为 .
2.函数tan y x =-的单调递减区间是 .
3.使函数cos 2
x y =取得最小值的x 的集合是 . 4.求值：2arcsin cos 3π⎛⎫= ⎪⎝⎭
. 5.已知sin 2cos θθ=，则tan 2θ的值为 .
6.已知角α的终边位于函数3y x =-的图像上，则cos 2α的值为 .
7.函数2sin 33y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域用区间表示为 .
8.在ABC 中，已知7,8,13a b c ===，则角C 的大小为 . 9.在ABC 中，已知45,105A B ︒︒==，则a c 的值为 . 10.在ABC 中，已知5,8a b ==，并且ABC 的面积为10，则角C 的大小为 .
11.已知12sin 13α=，并且α是第二象限角，则tan 2
α的值为 . 12.化简：()()()()cos 44cos 33sin 46sin 57θθθθ︒︒︒︒+-+-+= . 13.
cos x x 可以写成()2s i n x ϕ+的形式，其中02ϕπ≤<，则ϕ= .
14.把函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位，得函数
()()sin 02y x θθπ=+≤<的图像，则θ的值为 .
15. 已知函数()sin y A x ωϕ=+，其中0,0,A ωϕπ>>≤，在一个周期内，当
12x π
=时，函数取得最小值2-；当712
x π=时，函数取得最大值2，由上面的条件可知，该函数的解析式为 .
二、选择题（本大题满分15分）
16.
函数()45sin y x x ︒-- （ ）
A.是奇函数但不是偶函数
B.是偶函数但不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
17. 化简()()cos 2cos2sin sin 2πθθθπθ-++所得的结果是 （ ）
A.cos θ
B.cos θ-
C.cos3θ
D.cos3θ-
18.方程1
sin 2x =-的解为（ ）
A.()1,6k x k k Z π
π=+-∈ B.()21,6k x k k Z π
π=+-∈
C.()11,6k x k k Z π
π+=+-∈ D. ()121,6k x k k Z π
π+=+-∈
19.sin 33sin x x =的一个充要条件是（ ）
A.sin 0x =
B.cos 0x =
C. sin 1x =
D.cos 1x =
20.若函数22232sin sin 4
2sin +2cos x
x y x x +-=既存在最大值M ，又存在最小值m ，则
M m +的值为 （ ）
A.1-
B.2-
C.3-
D.4-
三、解答题（本大题40分）
21. （本题满分8分）
求方程()sin cos tan 2cos x x x x +=在区间()0,π上的解.
22. （本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分4分
已知函数()
22
f x a x b x a b
=+>的值域为[]
()sin cos
1,3
（1）求a b
f x的最小正周期；
、的值与()
（2）用五点法画出上述函数在区间[],ππ
-上的大致图像
23. （本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分
（1）证明三倍角的余弦公式：cos34cos33cos
θ
θθ
=-；
（2）利用等式sin36cos54
︒︒
=，求sin18︒的值
24. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分
设
f x=
()
（1）若锐角θ满足24tan 27
θ=，问：θ是否为方程()1f x =的解？为什么？ （2）求方程()1f x =在区间(),-∞+∞上的解集.。