高一数学期中考试题及答案
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期期中考试 数学含答案
2024年下学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{1,2}A =，{,}B xy x A y A =∈∈，则集合B 中元素的个数为（）A.4B.3C.2D.12.设,a b ∈R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“a ∃∈R ，210ax +=有实数解”的否定是（）A.a ∀∈R ，210ax +≠有实数解 B.a ∃∈R ，210ax +=无实数解C.a ∀∈R ，210ax +=无实数解D.a ∃∈R ，210ax +≠有实数解4.已知集合{1,2}M =，{1,2,4}N =，给出下列四个对应关系：①1y x=，②1y x =+，③y x =，④2y x =，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A.①②B.①③C.②④D.③④5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）A. B.C. D.6.若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.02a << B.111a b+≤2≤ D.228a b +≤7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则满足()0xf x <的x 的取值范围是（）A.(,2)(2,)-∞-+∞B.(0,2)(2,)+∞ C.(2,0)(2,)-+∞ D.(,2)(0,2)-∞-8.若函数2(21)2(0)()(2)1(0)b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+--≤⎩，为在R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（）A.1,22⎛⎤⎥⎝⎦ B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.[]1,2 D.[2,)+∞二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()bf x x x=+，下列说法正确的是（）A.若1b =，则函数()f x 的最小值为2B.若1b =，则函数()f x 在(1,)+∞上单调递增C.若1b =-，则函数()f x 的值域为RD.若1b =-，则函数()f x 是奇函数10.已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的部分图象如图所示，则（）A.0abc >B.0a b +>C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+>的解集为112x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-<<11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，当0x <时，()0f x >.则下列说法正确的是（）A.(0)0f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n D.()2(21)20f x f x -+->的解集为{31}x x -<<三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若36a ≤≤，12b ≤≤，则a b -的范围为________.13.定义在R 上的函数()f x 满足：①()f x 为偶函数；②()f x 在(0,)+∞上单调递减；③(0)1f =，请写出一个满足条件的函数()f x =________.14.对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数”，A 的所有非空子集的“小和数”之和称为A 的“大和数”.已知集合{1,0,1,2,3}B =-，则B 的“小和数”为________，B 的“大和数”为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合{3}A x a x a =≤≤+，集合{1B x x =<-或5}x >，全集R U =.（1）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围；（2）若命题“x A ∀∈，x B ∈”是真命题，求实数a 的取值范围.16.（15分）已知幂函数()2()253mf x m m x =-+是定义在R 上的偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,4上，()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围.17.（15分）已知关于x 的不等式(2)[(31)]0mx x m ---≥.（1）当2m =时，求关于x 的不等式的解集；（2）当m ∈R 时，求关于x 的不等式的解集.18.（17分）为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：第一档：若一次性购买商品金额不超过300元，则不打折；第二档：若一次性购买商品金额超过300元，不超过500元，则超过300元部分打8折；第三档：若一次性购买商品金额超过500元，则超过300元，不超过500元的部分打8折，超过500元的部分打7折.若某顾客一次性购买商品金额为x 元，实际支付金额为y 元.（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若顾客甲、乙购买商品金额分别为a 、b 元，且a 、b 满足关系式45085b a a =++-320(90)a ≥，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，并约定折扣省下的钱平均分配.当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？并分析折扣省下来的钱平均分配，对两人是否公平，并说明理由．（提示：折扣省下的钱=甲购买商品的金额+乙购买商品的金额-甲乙拼单后实际支付的总额）19.（17分）经过函数性质的学习，我们知道：“函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“()y f x =是奇函数”.（1）若()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()1f x x =+，求()f x 的解析式；（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数()y f x =的图象关于点(,0)a 成中心对称图形”的充要条件是“()y f x a =+为奇函数”.若定义域为R 的函数()g x 的图象关于点(1,0)成中心对称图形，且当1x >时，1()1g x x=-.（i ）求()g x 的解析式；（ii ）若函数()f x 满足：当定义域为[],a b 时值域也是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间，若函数()tg()(0)h x x t =>在(0,)+∞上存在保值区间，求t 的取值范围.2024年下学期期中考试参考答案高一数学1.B2.A3.C4.D【详解】对于①，1y x =，当2x =时，1N 2y =∉，故①不满足题意；对于②，1y x =+，当1x =-时，110N y =-+=∉，故②不满足题意；对于③，y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，2N y =∈，故③满足题意；对于④，2y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，4N y =∈，故④满足题意. D.5.A6.C 【详解】因为0a >，0b >，当3a =，1b =时，3ab =，1114133a b +=+=，2210a b +=，所以ABC 选项错误.由基本不等式a b +≥22a b+≤=，选C.7.A 【详解】定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，故函数在(0,)+∞上单调递减，且(2)0f =，故(2)(2)0f f -=-=，函数在(2,0)-和(2,)+∞上满足()0f x <，在(,2)-∞-和(0,2)上满足()0f x >.()0xf x <，当0x <时，()0f x >，即(,2)x ∈-∞-；当0x >时，()0f x <，即(2,)x ∈+∞.综上所述：(,2)(2,)x ∈-∞-+∞ .故选A.8.C 【详解】21020221b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解得12b ≤≤.∴实数b 的取值范围是[]1,2，故选C.9.BCD 10.ACD11.ABD解：因为函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，所以(0)(0)(0)f f f +=，即2(0)(0)f f =，则(0)0f =；令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==，故()f x 为奇函数；设12,x x ∈R ，且12x x <，则1122122()()()()f x f x x x f x x f x =-+=-+，即1212())()(0f x f x f x x -=->，所以()f x 在R 上是减函数，所以()f x 在区间[],m n 上有最大值()f m ；由2(21)(2)0f x f x -+->，得2(23)(0)f x x f +->，由()f x 在R 上减函数，得2230x x +-<，即(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<，所以2(21)(2)0f x f x -+->的解集为{31}x x -<<，故选ABD.12.[1,5]13.21x -+（答案不唯一）14.5，80【详解】由题意可知，B 的“小和数”为(1)01235-++++=，集合B 中一共有5个元素，则一共有52个子集，对于任意一个子集M ，总能找到一个子集M ，使得M M B = ，且无重复，则M 与M 的“小和数”之和为B 的“小和数”，这样的子集对共有54222=个，其中M B =时，M =∅，考虑非空子集，则子集对有421-对，则B 的“大和数”为4(21)5580-⨯+=.故答案为：5；80.15.【详解】（1）因为3a a <+对任意a ∈R 恒成立，所以A ≠∅，又A B =∅ ，则135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得12a -≤≤；（2）若x A ∀∈，x B ∈是真命题，则有A B ⊆，则31a +<-或5a >，所以4a <-或5a >.16.【详解】（1）因为2()(253)mf x m m x =-+是幂函数，所以22531m m -+=，解得2m =或12，又函数为偶函数，故2m =，2()f x x =；（2）原题可等价转化为220x kx -+>对[1,4]x ∈恒成立，分离参数得2k x x <+，因为对[1,4]x ∈恒成立，则min 2(k x x<+，当0x >时，2x x +≥=当且仅当2x x=即x =时取得最小值.故k <17.【详解】（1）解：当2m =时，不等式可化为(1)(5)0x x --≥解得1x ≤或5x ≥，所以当2m =时，不等式的解集是{1x x ≤或5}x ≥.（2）①当0m =时，原式可化为2(1)0x -+≥，解得1x ≤-；②当0m <时，原式可化为2((31)]0x x m m ---≤，令231m m =-，解得23m =-或1；1）当23m <-时，231m m -<.故原不等式的解为231m x m -≤≤；2）当23m =-时，解得3x =-；3）当203m -<<时，231m m <-，原不等式的解为231x m m≤≤-；③当0m >时，原式可化为2((31)]0x x m m---≥，1）当01m <<时，231m m >-，2x m∴≥或31x m ≤-；2）当1m =时，不等式为2(2)0x -≥，x ∈R ；3）当1m >时，231m m <-，31x m ∴≥-或2x m≤.综上，当23m <-时，原不等式的解集为231x m x m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-≤≤；当23m =-时，不等式的解集为{}3x x =-；当203m -<<时，解集为231x x m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤-；当0m =时，解集为{}1x x ≤-；当01m <<时，不等式的解集是{2x x m ≥或31}x m ≤-；当1m =时，不等式的解集为R ；当1m >时，解集是{31x x m ≥-或2}x m≤.18.【详解】（1）由题意，当0300x <≤时，y x =；当300500x <≤时，3000.8(300)0.860y x x =+-=+；当500x <时，3000.8(500300)0.7(500)0.7110y x x =+-+-=+.综上，,03000.860,300500 0.7110,500x x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪+<⎩.（2）甲乙购买商品的金额之和为4502320(90)85a b a a a +=++≥-.45045023202(85)3201708585a b a a a a +=++=-+++--490230490550≥=⋅+=（元）当且仅当4502(85)85a a -=-即8515a -=±时，原式取得最小值.此时100a =（或70a =，舍去），550450b a =-=（元）因为550500>，则拼单后实付总金额0.7550110495M =⨯+=（元）故折扣省下来的钱为55049555-=（元）.则甲乙拼单后，甲实际支付5510072.52-=（元），乙实际支付55450422.52-=（元）而若甲乙不拼单，因为100300<，故甲实际应付100a '=（元）；300450500<<，乙应付0.845060420b '=⨯+=（元）.因为420元<422.5元，若按照“折扣省下来的钱平均分配”的方式，则乙实付金额b 比不拼单时的实付金额b '还要高，因此该分配方式不公平.（能够答出“乙购买的商品的金额是甲购买商品的金额的4.5倍，则乙应减的价钱应是甲的4.5倍，故不公平”之类的答案的可酌情给分）答：当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付495元.若按“折扣省下来的钱平均分配”的方式拼单，则拼单后乙实付422.5元，比不拼单时的实付420元还要高，因此这种方式对乙不公平.19.【详解】（1）()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，0x -<，所以()()f x f x =--()2211x x ⎡⎤=--+=--⎣⎦，又()00f =，所以()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩；（2）（i ）因为定义域为R 的函数()g x 的图象关于点()1,0成中心对称图形，所以()1y g x =+为奇函数，所以()()11g x g x +=--，即()()2g x g x =--，1x <时，21x ->，所以()()1121122g x g x x x ⎛⎫=--=--=-+ ⎪--⎝⎭.所以()11,111,12x xg x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪-⎩；（ii ）()()()11,1tg 011,12t x x h x x t t x x ⎧⎛⎫⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==>⎨⎛⎫⎪⋅-+< ⎪⎪-⎝⎭⎩，a ）当()0,1x ∈时，()11()11022h x t t t x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+=⋅--> ⎪ --⎝⎭⎝⎭在()0,1单调递增，当()[,]0,1a b ⊆时，则112112t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅--= ⎪⎪-⎝⎭⎩，即方程112t x x ⎛⎫⋅--= ⎪-⎝⎭在()0,1有两个不相等的根，即()220x t x t +--=在()0,1有两个不相等的根，令()()()22,0m x x t x t t =+-->，因为()()0011210m t m t t ⎧=-<⎪⎨=+--=-<⎪⎩，所以()220x t x t +--=不可能在()0,1有两个不相等的根；b ）当()1,x ∈+∞时，()()110h x t t x ⎛⎫=⋅-=> ⎪⎝⎭在()1,+∞单调递增，当()[,]1,a b ⊆+∞时，则1111t a a t bb ⎧⎛⎫⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即方程11t x x ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭在()1,+∞有两个不相等的根，即20x tx t -+=在()1,+∞有两个不相等的根，令()()2,0n x x tx t t =-+>，则有()2110022212n t t t t t n t t t⎧=-+>⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+<⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得4t >.c ）当01a b <<<时，易知()g x 在R 上单调递增，所以()()()tg 0h x x t =>在()0,+∞单调递增，此时11211t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()()()()2222211221111111211112111a a a a a t a a a a a b b b t b b b b ⎧---+-====-+⎪⎪----⎨-+-+⎪===-++⎪---⎩令()()()11,011r a a a a =--+<<-，则易知()r a 在()0,1递减，所以()()00r a r <=即0t <，又1b >时，()112241t b b =-++≥=-，当且仅当()111b b -=-，即2b =时取等，以()()110111241t a a t b b ⎧=-+<⎪⎪-⎨⎪=-++≥⎪-⎩，此时无解；t 的范围是()4,+∞.。
福建省厦门2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学含答案
福建省厦门2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（答案在最后）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答.答案必须写在各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1},{2}M xx N x x =≥=<∣∣，则R ()M N ⋂=ð（）A.[1,2)B.(,1)[2,)-∞+∞ C.[0，1]D.(,0)[2,)-∞⋃+∞2.命题“20,310x x x ∃>-->”的否定是（）A.20,310x x x ∃>--≤B.20,310x x x ∃≤--≤C.20,310x x x ∀>--≤ D.20,310x x x ∀≤--≤3.函数()22()log 2f x x x =--的单调递减区间是（）A.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.(,1)∞-- C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.(2,)+∞4.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a ，b 为常数，且b a <），若()f x 的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（）A.B.C.D.5.已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（）．A.a b c >> B.a c b>> C.c a b>> D.c b a>>6.“函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为R ”是“04a <<”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若函数)3()ln1f x mx n x =++（m ，n 为常数）在区间[]1,3上有最大值7，则()f x 在区间[3,1]--上（）A.有最大值6B.有最大值5C.有最小值5- D.有最小值7-8.已知函数()f x 对于任意x 、R y ∈，总有()()()2f x f y f x y +=++，且当0x >时，()2f x >，若已知()23f =，则不等式()()226f x f x +->的解集为（）A.()2,∞+ B.()1,+∞ C.()3,+∞ D.4,+∞二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设正数m ，n 满足1m n +=，则（）A.12m n+的最小值为3+B.+C.的最大值为14D.44m n +的最小值为410.声强级Li （单位：dB ）与声强I （单位：2/m ω）之间的关系是：010lgILi I =⨯，其中0I 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为21/m ω，对应的声强级为120dB ，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[]70,80（单位：dB ）．下列选项中正确的是（）A.闻阈的声强为1210－2/m ωB.声强级增加10dB ，则声强变为原来的2倍C.此歌唱家唱歌时的声强范围5410,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2/m ω）D.如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB11.已知函数()21,2,5,2,xx f x a b c d x x ⎧-≤⎪=<<<⎨->⎪⎩，且()()()()f a f b f d f c ==<，则下列说法正确的是（）A.1c ≥ B.0a c +<C.25a d < D.222ab d ++的取值范围为()18,34三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()16f =______．13.411log 2324lg lg245(64)49---+-=__________.14.已知()f x 是定义在上的偶函数，且对x ∀∈R ，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在①A B A = ，②A B A = ，③A B =∅ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：已知集合{}123A x a x a =-<<+，{}2280B x x x =--≤（1）当2a =时，求A B ；（2）若，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件解答按第一个解答计分．16.已知函数()()log 1a f x x a =>，关于x 的不等式()1f x <的解集为(),m n ，且103m n +=.（1）求a 的值；（2）是否存在实数λ，使函数()()()2123,,93g x f x f x x λ⎡⎤⎡⎤=-+∈⎣⎦⎢⎥⎣⎦的最小值为34？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.17.已知()()()1m g x f x g x -=+的定义在上的奇函数，其中()g x 为指数函数，且()g x 的图象过点()2,9.（1）求实数m 的值，并求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性的定义加以证明.（3）若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()2132104f t t f mt ⎛⎫--+-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.18.随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式：()60,030R 80,30120150x v k kx x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.2.236≈）19.若函数()f x 与区间D 同时满足：①区间D 为()f x 的定义域的子集，②对任意x D ∈，存在常数0M ≥，使得()f x M ≤成立，则称()f x 是区间D 上的有界函数，其中M 称为()f x 的一个上界.（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）（1）试判断函数()1923xxf x =-⋅，()22223xf x x x =-+是否为R 上的有界函数？并说明理由.（2）已知函数()121log 1x g x x +=-是区间[]2,3上的有界函数，设()g x 在区间[]2,3上的上界为M ，求M 的取值范围；（3）若函数()2313xxm f x m +⋅=+⋅，问：()f x 在区间[]0,1上是否存在上界M ？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由.福建省厦门2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答.答案必须写在各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1},{2}M xx N x x =≥=<∣∣，则R ()M N ⋂=ð（）A.[1,2)B.(,1)[2,)-∞+∞ C.[0，1]D.(,0)[2,)-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】根据集合运算的定义计算．【详解】由已知{|12}M N x x =≤< 所以R (){|1M N x x ⋂=<ð或2}x ≥，故选：B ．2.命题“20,310x x x ∃>-->”的否定是（）A .20,310x x x ∃>--≤ B.20,310x x x ∃≤--≤C.20,310x x x ∀>--≤ D.20,310x x x ∀≤--≤【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.【详解】命题“20,310x x x ∃>-->”的否定是“20,310x x x ∀>--≤”.故选：C3.函数()22()log 2f x x x =--的单调递减区间是（）A.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.(,1)∞-- C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.(2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】由对数函数性质计算出定义域后，结合复合函数单调性的判定方法计算即可得.【详解】由题意可得()()22210x x x x --=-+>，解得2x >或1x <-，由2219224y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，则其在(),1∞--上单调递减，在()2,∞+上单调递增，又2log y x =为单调递增函数，故()22()log 2f x x x =--的单调递减区间(),1∞--.故选：B.4.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a ，b 为常数，且b a <），若()f x 的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】由图可得101b a <-<<<，计算出()0g 并结合指数函数性质即可得解.【详解】由图可得101b a <-<<<，则有()0010g a b b =+=+<，且该函数为单调递减函数，故B 、C 、D 错误，A 正确.故选：A.5.已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（）．A.a b c >> B.a c b>> C.c a b>> D.c b a>>【答案】C 【解析】【详解】试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ．考点：比较大小6.“函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为R ”是“04a <<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】若函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为，则当0a =，()lg10f x ==，符合要求；当0a ≠时，有2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<；综上所述，04a ≤<，故“函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为”是“04a <<”的必要不充分条件.故选：B .7.若函数)3()ln1f x mx n x =++（m ，n 为常数）在区间[]1,3上有最大值7，则()f x 在区间[3,1]--上（）A.有最大值6B.有最大值5C.有最小值5- D.有最小值7-【答案】C【解析】【分析】构造新函数()()1g x f x =-为奇函数，利用奇函数求解．【详解】设3()()1)g x f x mx n x =-=+，则333()))()g x mx n x mx n mx n x g x -=-+-=-+=--+=-，所以()g x 是奇函数，()f x 在[1,3]上有最大值7，则()g x 在[1,3]上有最大值6，所以()g x 在[3,1]--上有最小值6-，于是()f x 在区间[3,1]--上有最小值5-，故选：C ．8.已知函数()f x 对于任意x 、R y ∈，总有()()()2f x f y f x y +=++，且当0x >时，()2f x >，若已知()23f =，则不等式()()226f x f x +->的解集为（）A.()2,∞+ B.()1,+∞ C.()3,+∞ D.4,+∞【答案】A 【解析】【分析】设()()2g x f x =-，分析出函数()g x 为R 上的增函数，将所求不等式变形为()()324g x g ->，可得出324x ->，即可求得原不等式的解集.【详解】令()()2g x f x =-，则()()2f x g x =+，对任意的x 、R y ∈，总有()()()2f x f y f x y +=++，则()()()g x g y g x y +=+，令0y =，可得()()()0g x g g x +=，可得()00g =，令y x =-时，则由()()()00g x g x g +-==，即()()g x g x -=-，当0x >时，()2f x >，即()0g x >，任取1x 、2x R ∈且12x x >，则()()()12120g x g x g x x +-=->，即()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，所以，函数()g x 在R 上为增函数，且有()()2221g f =-=，由()()226f x f x +->，可得()()2246g x g x +-+>，即()()()2222g x g x g +->，所以，()()()32224g x g g ->=，所以，324x ->，解得2x >.因此，不等式()()226f x f x +->的解集为()2,∞+.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设正数m ，n 满足1m n +=，则（）A.12m n+的最小值为3+ B.+C.的最大值为14D.44m n +的最小值为4【答案】ABD 【解析】【分析】借助基本不等式中“1”的活用可得A ；由1m n +=+出后利用基本不等式计算可得B ；直接运用基本不等式可得C ；结合基本不等式与同底数幂的乘法运算可得D.【详解】由m ，n 为正数，且满足1m n +=，则有：对A ：()121221233n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当2n mm n=，即2n ==-时，等号成立，故A 正确；对B ：21m n +=-，则22122⎛++-= ⎝⎭，当且仅当12m n ==时，等号成立，即22≤+≤，故B 正确；对C ：1m n +=≥，当且仅当12m n ==时，等号成立，12≤，故C 错误；对D ：444m n ≥==+，当且仅当12m n ==时，等号成立，故D 正确.故选：ABD.10.声强级Li （单位：dB ）与声强I （单位：2/m ω）之间的关系是：010lgILi I =⨯，其中0I 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为21/m ω，对应的声强级为120dB ，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[]70,80（单位：dB ）．下列选项中正确的是（）A.闻阈的声强为1210－2/m ωB.声强级增加10dB ，则声强变为原来的2倍C.此歌唱家唱歌时的声强范围5410,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2/m ω）D.如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB 【答案】ACD 【解析】【分析】依题意求出0I ，即可判断A ；将70Li =、80Li =代入求声强范围判断C ；设声强变为原来的k 倍，对应声强级增加10dB ，依题意得到方程，解得k ，即可判断B 、D.【详解】解：由题意0110lg120I =，即01lg 12I =，所以120110I =，所以12010I -=2ω/m ，故1210lg(10)12010lg Li I I ==+，故A 正确；若70Li =dB ，即10lg 50I =-，则510I -=2ω/m ；若80Li =dB ，即10lg 40I =-，则410I -=2ω/m ，故歌唱家唱歌时的声强范围5410,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2ω/m ），C 正确；设声强变为原来的k 倍，对应声强级增加10dB ，则()()12010lg 12010lg 10kI I +-+=，解得10k =，即如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB ，故D 正确，B 错误；故选：ACD11.已知函数()21,2,5,2,xx f x a b c d x x ⎧-≤⎪=<<<⎨->⎪⎩，且()()()()f a f b f d f c ==<，则下列说法正确的是（）A.1c ≥ B.0a c +<C.25a d < D.222ab d ++的取值范围为()18,34【答案】CD 【解析】【分析】作出函数图像判断A ，举反例判断B ，转化为一元函数，利用二次函数的性质判断C ，指数函数的性质判断D 即可.【详解】结合函数()f x 的图象可知，()0,01,4,5a b d <<<∈，由c b >，得不出1c ≥，故A 错误，令1,2a c =-=，此时()()132f a f c =<=，但是0a c +>，故B 错误.因为215a d -=-，所以125a d -=-，所以24a d =-，则()24a d d d =-，又()4,5d ∈，所以()2244()a d d d d d f d =-=-=，由二次函数性质得()f d 在()4,5上单调递增，故()(5)5f d f <=，所以C 正确.因为2121a b-=-，所以222a b +=，故22222a b d d =+++，令2()2d g d +=，由指数函数性质得()g d 在()4,5上单调递增，所以222a b d ++的取值范围为(18,34)，故D 正确.故选：CD【点睛】关键点点睛：本题考查求多变元表达式的范围，解题关键是合理利用函数图像找到变量关系，构造一元函数，然后利用指数函数的性质得到所要求的取值范围即可．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()16f =______．【答案】4【解析】【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求(16)f 的值【详解】解：由题意令()a y f x x ==，由于图象过点，2a =，12a =12()y f x x∴==12(16)164f ∴==故答案为：4．【点睛】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值，属于基础题．13.411log 2324lg lg245(64)49---+-=__________.【答案】3-【解析】【分析】根据条件，利用指对数的运算法则，即可求出结果.【详解】因为4411log 1log 232214lg lg245(64)44lg 2lg 49(lg 5lg 49)44(lg 2lg 5)43492---+-=⨯-+-+-=⨯-+-=-，故答案为：3-.14.已知()f x 是定义在上的偶函数，且对x ∀∈R ，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是______.2a ≤<【解析】【分析】先根据题意分析函数()f x 的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数()f x 在[]2,6-上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可.【详解】由(2)(2)f x f x -=+，可得：()()4f x f x -=+，又因为()f x 是定义在R 上的偶函数，则−=，且函数()f x 图象关于y 轴对称，所以()()4f x f x +=，即()f x 的周期为4，作出函数1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]2,0x ∈-上的图象，根据()f x 对称性及周期为4，可得出()f x 在[]2,6-上的图象：令()()()log 21a g x x a =+>，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则函数()f x 与函数()log (2)(1)a g x x a =+>在(2,6]-上至少有2个不同的交点，至多有3个不同的交点，所以()()()()2266g f g f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，即()()log 223log 623a a ⎧+≤⎪⎨+>⎪⎩2a ≤<.2a ≤<.【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数()f x 的对称性及周期性，并作出()f x 和()g x 图象；将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在①A B A = ，②A B A = ，③A B =∅ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：已知集合{}123A x a x a =-<<+，{}2280B x x x =--≤（1）当2a =时，求A B ；（2）若，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件解答按第一个解答计分．【答案】（1）{}27A B x x ⋃=-≤<（2）答案见解析【解析】【分析】（1）代入a 的值表示出A ，求解出一元二次不等式的解集表示出B ，根据并集运算求解出结果；（2）若选①：根据条件得到A B ⊆，然后分类讨论A 是否为空集，由此列出不等式组求解出结果；若选②：根据条件得到B A ⊆，然后列出不等式组求解出结果；若选③：根据交集结果分析,A B 集合的端点值的关系，列出不等式并求解出结果.【小问1详解】当2a =时，{}17A x x =<<，{}{}228024B x x x x x =--≤=-≤≤，因此，{}27A B x x ⋃=-≤<．【小问2详解】选①，因为A B A = ，可得A B ⊆．当123a a -≥+时，即当4a ≤-时，A B =∅⊆，合乎题意；当123a a -<+时，即当4a >-时，A ≠∅，由A B ⊆可得12234a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得112a -≤≤，此时112a -≤≤．综上所述，实数a 的取值范围是{4a a ≤-或112a ⎫-≤≤⎬⎭；选②，因为A B A = ，可得B A ⊆．可得12234123a a a a -≤-⎧⎪+≥⎨⎪-<+⎩，此时不等式组无解，所以实数a 的取值范围是∅；选③，当123a a -≥+时，即当4a ≤-时，A =∅，A B =∅ ，满足题意；当123a a -<+时，即当4a >-时，A ≠∅，因为A B =∅ ，则232a +≤-或14a -≥，解得52a ≤-或5a ≥，此时542a -<≤-或5a ≥，综上所述，实数a 的取值范围是52a a ⎧≤-⎨⎩或}5a ≥．16.已知函数()()log 1a f x x a =>，关于x 的不等式()1f x <的解集为(),m n ，且103m n +=.（1）求a 的值；（2）是否存在实数λ，使函数()()()2123,,93g x f x f x x λ⎡⎤⎡⎤=-+∈⎣⎦⎢⎥⎣⎦的最小值为34？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）3a =（2）138λ=-或32【解析】【分析】（1）先根据()1f x <，求出不等式的解，结合103n m +=可得a 的值；（2）利用换元法，把函数()g x 转化为二次函数，结合二次函数区间最值法求解.【小问1详解】由log 1a x <可得1log 1a x -<<，又1a >，所以1x a a <<，又因为()1f x <的解集为(),m n ，所以1,n a m a ==，因为103n m +=，所以1103a a +=，即()()231033130a a a a -+=--=，解得3a =或13a =，因为1a >，所以3a =；【小问2详解】由（1）可得()()2331log 2log 3,,93g x x x x λ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，令31log ,,93t x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则[]1,2t ∈-，设()[]223,1,2h t t t t λ=-+∈-，①当1λ≤-时，()h t 在[]1,2-上单调递增，则()()min 31424h t h λ=-=+=，解得138λ=-，符合要求；②当12λ-<<时，()h t 在[]1,λ-上单调递减，在[],2λ上单调递增，()()22min 3234h t h λλλ==-+=，解得32λ=±，又12λ-<<，故32λ=；③当2λ≥时，()h t 在[]1,2-上单调递减，()()min 324434h t h λ==-+=，解得25216λ=<，不合题意；综上所述，存在实数138λ=-或32符合题意.17.已知()()()1m g x f x g x -=+的定义在上的奇函数，其中()g x 为指数函数，且()g x 的图象过点()2,9.（1）求实数m 的值，并求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性的定义加以证明.（3）若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()2132104f t t f mt ⎛⎫--+-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m =，()1313xxf x -=+（2）()f x 在R 上单调递减，证明见解析（3）178m ≥【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出()g x 的表达式，结合奇函数性质计算即可得解；（2）设12x x <，从而计算()()12f x f x -的正负即可得证；（3）由奇函数性质结合函数单调性可得212134mt t t -≥+对[]1,2t ∈恒成立，构造二次函()()21284h t t m t =+-+，结合二次函数性质可得()()1020h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解出即可得.【小问1详解】设()()0,1x g x a a a =>≠，由()g x 的图象过点()2,9，可得29a =，∴3a =（负值舍去），即()3x g x =，故函数()()()3113xxm g x m f x g x --==++，由()f x 为奇函数，可得()()()01001011m g m f g --===++，∴1m =，即()1313xx f x -=+,满足()()13311313x x x x f x f x -----===-++，即()f x 为奇函数，故1m =；【小问2详解】()f x 在R 上单调递减，证明如下：()()2131321131313x x x x x f x -+-===-+++，设12x x <，则12033x x <<，则()()()()()211212122332213131313x x x x x x f x f x --=-=++++，结合12033x x <<，可得()212330x x ->，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，故()f x 在R 上单调递减；【小问3详解】由()2132104f t t f mt ⎛⎫--+-≤ ⎪⎝⎭且()f x 为奇函数，所以()212134f mt f t t ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭，又()f x 在R 上单调递减，所以212134mt t t -≥+对[]1,2t ∈恒成立，所以()212840t m t +-+≤对[]1,2t ∈恒成立，令()()21284h t t m t =+-+，所以有()()1020h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即1128404241640m m +-+≤⎧⎨+-+≤⎩，解得178m ≥.18.随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式：()60,030R 80,30120150x v k k x x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.2.236≈）【答案】（1）车流密度x 的取值范围是(]0,90（2）隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.【解析】【分析】（1）根据题意得2400k =，再根据分段函数解不等式即可得答案；（2）由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩，再根据基本不等式求解最值即可得答案.【小问1详解】解：由题意知当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时），代入80150k v x=--，解得2400k =，所以60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩.当030x <≤时，6040v =≥，符合题意；当30120x <≤时，令24008040150x-≥-，解得90x ≤，所以3090x <≤.所以，若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是(]0,90.【小问2详解】解：由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩，当030x <≤时，60y x =为增函数，所以1800y ≤，当30x =时等号成立；当30120x <≤时，()()2150180150450024004500808080180150150150150x x x y x x x xx --+--⎡⎤⎛⎫=-==--+ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦4800(33667≤-≈.当且仅当4500150150x x-=-，即30(583x =-≈时等号成立.所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.19.若函数()f x 与区间D 同时满足：①区间D 为()f x 的定义域的子集，②对任意x D ∈，存在常数0M ≥，使得()f x M ≤成立，则称()f x 是区间D 上的有界函数，其中M 称为()f x 的一个上界.（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）（1）试判断函数()1923x x f x =-⋅，()22223x f x x x =-+是否为R 上的有界函数？并说明理由.（2）已知函数()121log 1x g x x +=-是区间[]2,3上的有界函数，设()g x 在区间[]2,3上的上界为M ，求M 的取值范围；（3）若函数()2313xx m f x m +⋅=+⋅，问：()f x 在区间[]0,1上是否存在上界M ？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()1f x 不是R 上的有界函数，()2f x 是R 上的有界函数（2）[)2log 3,+∞（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据有界函数的定义，分别计算出()1f x 及()2f x 的值域即可判断；（2）先求解函数()g x 的值域，进而求解()g x 的取值范围，再根据有界函数的定义确定上界M 的取值范围；（3）先求解函数()f x 及()f x ，再根据有界函数的定义，讨论m 取不同数值时，函数是否存在上界，并求解出对应的上界范围.【小问1详解】()()21923311x x x f x =-⋅=-- ，()1f x ∴的值域为[)1,-+∞()1f x ∴不是R 上的有界函数；()22223x f x x x =-+，则()200f =，当0x ≠时，()22223232x f x x x x x ==-++-，当0x >时，3x x +≥=x =则()2102f x <≤，当0x <时，33x x x x ⎛⎫+=--+≤-- ⎪-⎝⎭，当且仅当x =则()2102f x ->≥，综上可得，()211,22f x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即有()212f x +≤在R 上恒成立，()2f x ∴是R 上的有界函数；【小问2详解】()112212log log 111x g x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，易知()g x 在区间[]2,3上单调递增，∴()[][]2log 3,1,2,3g x x ∈--∈，∴()[]1221log 1,log 31x g x x +=∈-，所以上界M 构成的集合为[)2log 3,+∞；【小问3详解】()23113311x x x m f x m m +⋅==++⋅+⋅，当0m =时，()2f x =，()2f x =，此时M 的取值范围是[)2,+∞，当0m >时，()1311x f x m =++⋅在[]0,1上是单调递减函数，其值域为()232,131m m f x m m ++⎡⎤∈⎢⎥++⎣⎦，故()232,131m m f x m m ++⎡⎤∈⎢⎥++⎣⎦，此时M 的取值范围是2,1m m +⎡⎫+∞⎪⎢+⎣⎭，当0m <时，[]1331,1xm m m +⋅∈++，若()f x 在[]0,1上是有界函数，则区间[]0,1为()f x 定义域的子集，所以[]31,1m m ++不包含0，所以310m +>或10+<m ，解得：1m <-或103m -<<，0m <时，()1311x f x m =++⋅在[]0,1上是单调递增函数，此时()f x 的值域为232,131m m m m ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦，①232311m m m m ++≥++，即33m --≤或103m -<<时，()32323131m m f x m m ++≤=++，此时M 的取值范围是32,31m m +⎡⎫+∞⎪⎢+⎣⎭，②232311m m m m ++<++，即313m --<<-时，()2211m m f x m m ++≤=-++，此时M 的取值范围是2,1m m +⎡⎫-+∞⎪⎢+⎣⎭，综上：当0m ≥时，存在上界M ，2,1m M m +⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭；当13m ≤--或103m -<<时，存在上界M ，32,31m M m +⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭；当113m --<<-时，存在上界M ，2,1m M m +⎡⎫∈-+∞⎪⎢+⎣⎭，当113m -≤≤-时，此时不存在上界M ．【点睛】关键点点睛，本题关键点在于求出所给函数在对应定义域范围内的值域，从而可结合定义，得到该函数是否为有界函数.。
2024-2025学年四川省成都市九县区高一上学期期中考试数学试卷含答案
2024～2025学年度上期高中2024级期中考试数学考试时间120分钟,满分150分一,选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}22A x x =∈-≤≤Z ,{}03B x x =∈≤≤Z ,则A B = （）A.{}1,2 B.{}0,1,2 C.{}1,0,1,2- D.{}2,1,0,1,2,3--2．若命题p ：x ∀∈R ,2230x x -+>,则p ⌝为（）A.x ∀∈R ,2230x x -+< B.x ∀∈R ,2230x x -+≤C.x ∃∈R ,2230x x -+< D.x ∃∈R ,2230x x -+≤3．下列四个命题中的真命题有（）①若a b >,c d >,则a c b d +>+②若a b >,c d >,则ac bd>③若a b >,则22ac bc >④若a b >,则()()2211a cbc +>+A.②③B.②④C.①④D.③④4．函数()2441xf x x =-+的图象大致为（）A.B. C.D.5．函数()f x =的定义域为()1,2,则ab =（）A.2B.－2C.－1D.16．已知()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≤时,()221f x x x a =++-,则()1a f +=（）A.－2B.－1C.1D.17．高一某班共有45名学生,该班参加数学强基班的学生有25人,参加物理强基班的学生有18人,既参加数学强基班又参加物理强基班的学生有8人,则既没有参加数学强基班又没有参加物理强基班的学生有（）A.10人B.11人C.12人D.13人8．集合{}1,3,5,7M =的所有子集中的元素之和为（）A.126B.128C.130D.132二,选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案
北京2024-2025学年度第一学期期中考试（答案在最后）高一年级数学学科本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（每题4分，共48分）1．已知集合{}12A x Z x =∈-≤<，则下列说法正确的是（）A ．0A⊆B ．0A∉C ．3A∈D ．1A-∈2．记命题:0,3p x x ∃>≥，则p ⌝为（）A ．0,3x x ∀><B ．0,3x x ∀≤<C ．0,3x x ∃≤≥D ．0,3x x ∃><3．集合{}0,1的真子集有（）个A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数,a b c ，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A ．b a c a -<+B ．2c ab<C ．c cb a>D ．b c a c<5．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．1y x x=-B ．y =C ．2xy -=D ．22y x x=-6．“12x -<<”是“12x>”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．已知偶函数()f x 在区间(,1]-∞-上单调递减，则下列关系式中成立的是（）A ．5()(3)(2)2f f f -<<B ．5(3)((2)2f f f <-<C ．5(2)(3)(2f f f <<-D ．5(2)((3)2f f f <-<8．若函数(0,1)xy a a a =>≠且的值域为(0,1]，则函数log a x 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,+-∞∞ ）10．设 1.2 1.23log 6,2,0.5a b c ===，则（）A ．b a c <<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．a c b<<11．已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)12．设集合A 是集合N *的子集，对于i N *∈，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在N *的两个不同子集,A B ，使得任意i N *∈都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取N *的两个不同子集,A B ，对任意i N *∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=⋅ ；③任取N *的两个不同子集,A B ，对任意i N *∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=+ ．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题（每题5分，共30分）13．函数1()1f x x =-的定义域为________．14．已知函数3()27log x f x x =+，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．15．若()g x 在R 上是增函数，能够说明“()y xg x =在R 上也是增函数”是假命题的一个()g x 的解析式()g x =________．16．函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩的值域为________．17．已知下列四个函数：1,,ln ,x y x y y x y e x====．从中选出两个函数分别记为()f x 和()g x ，若()F x =()()f x g x +的图象如图所示，则()F x =________．18．已知函数2,(),x a x a f x x x a+≤⎧=⎨>⎩．若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数a 的取值范围为________．三、解答题（每题12分，共72分）19．已知集合{}{}3,15A x a x a B x x x =≤≤+=<->或．（Ⅰ）若2a =-，求集合()()R R B A ；I 痧（Ⅱ）若A B A = ，求a 的取值范围．20．分别求下列关于x 的不等式的解集：（Ⅰ）2610x x --<；（Ⅱ）2(2)20x a x a +--≤．21．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x 米，如图所示．（I ）将两个养殖池的总面积y 表示为x 的函数，并写出定义域；（Ⅱ）当温室的边长x 取何值时，总面积y 最大？最大值是多少？22．已知函数()2,f x x x a a R =--∈．（I ）当2a =时，直接写出函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当2a >时，求函数()f x 在区间[1，2]上的最小值．23．已知()y f x =是定义在[-3，3]上的奇函数，当[3,0]x ∈-]时，1()()94xx af x a R =+∈．（I ）求()y f x =在（0，3]上的解析式；（Ⅱ）当1[1,2x ∈--时，不等式11()34x x m f x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围．24．若集合A 具有以下性质：①0,1A A ∈∈；②若,x y A ∈，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈．则称集合A 是“好集”．（I ）分别判断集合{}1,0,1B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若,x y A ∈，则x y A +∈；（Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由．命题p ：若,x y A ∈，则必有xy A ∈；命题q ：若,x y A ∈，且0x ≠，则必有yA x∈．参考答案一、选择题DACDC ，BDBDC ，BA 二、填空题13．{}1x x ≠或写为(,1)(1,)-∞+∞ 14．215．x （答案不唯一）16．(1,+-∞）17．1x e x+18．1[2,4-三、解答题19．（I ）（1，5]（Ⅱ）(,4)(5,)-∞-+∞ 20．（I ）11(,)32-（Ⅱ）2a <-时，解集为[2，a -]；2a =-时，解集为{}2；2a >-时，解集为[a -，2]．21．解：（I ）依题意得温室的另一边长为1500x米．因此养殖池的总面积1500(3)(5)y x x=--，因为150030,50x x->->，所以3300x <<．所以定义域为{}3300x x <<．（Ⅱ）15004500(3)(5)1515(5)151515153001215y x x x x =--=-+≤-=-=，当且仅当45005x x=，即30x =时上式等号成立，当温室的边长x 为30米时，总面积y 取最大值为1215平方米．22．解：（1）当2a =时，(2)2,2()22(2)2,2x x x f x x x x x x --≥⎧=--=⎨--<⎩，22(1)3,2()(1)1,2x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨---<⎪⎩，由二次函数的性质知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）．或写为（-∞，1），（2，+∞）（Ⅱ）∵2a >，x ∈[1，2]时，所以2()()22f x x a x x ax =--=-+-228(24a a x -=-+，当3122a <≤，即23a <≤时，min ()(2)26f x f a ==-；当322a >，即3a >时，min ()(1)3f x f a ==-；∴min26,23()3,3a a f x a a -<≤⎧=⎨->⎩．23．（I ）因为()y f x =是定义在[-3，3]上的奇函数，x ∈[-3，0]时，1()()94x xaf x a R =+∈，所以001(0)094a f =+=，解得1a =-，所以x ∈（-3，0]时，11()94x xf x =-当(0,3]x ∈时，[3,0)x -∈-，所以11()9494x x x x f x ---=-=-，又()()49xxf x f x =--=-，即()y f x =在(0,3]上的解析式为()49xxf x =-，（Ⅱ）因为1[1,2x ∈--时，11()94x xf x =-，所以11()34x x m f x -≤-可化为11119434x x x x m --≤-，整理得13(334xx m ⎛⎫≥+⋅ ⎪⎝⎭，令13()334xxg x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数单调性可得，所以()g x 也是减函数．所以11max13()(1)3734g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7m ≥，故实数m 的取值范围是[7，+∞）．24．解：（I ）集合B 不是“好集”．理由是：假设集合B 是“好集”．因为1,1B B -∈∈，所以112B --=-∈．这与2B -∉矛盾．有理数集Q 是“好集”．因为0,1Q Q ∈∈，对任意的,x y Q ∈，有x y Q -∈，且0x ≠时，1Q x∈．所以有理数集Q 是“好集”．（Ⅱ）因为集合A 是“好集”，所以0A ∈．若,x y A ∈，则0y A -∈，即y A -∈．所以()x y A --∈，即x y A +∈．（Ⅲ）命题,p q 均为真命题．理由如下：对任意一个“好集”A ，任取,x y A ∈，若,x y 中有0或1时，显然xy A ∈．下设,x y 均不为0，1．由定义可知：111,,1x A x x-∈-．所以111A x x -∈-，即1(1)A x x ∈-．所以(1)x x A -∈．由（Ⅱ）可得：(1)x x x A -+∈，即2x A ∈．同理可得2y A ∈．若0x y +=或1x y +=，则显然2()x y A +∈．若0x y +≠且1x y +≠，则2()x y A +∈．所以2222()xy x y x y A =+--∈．所以12A xy∈．由（Ⅱ）可得：11122A xy xy xy=+∈．所以xy A ∈．综上可知，xy A ∈，即命题p 为真命题．若,x y A ∈，且0x ≠，则1A x∈．所以1y y A x x=⋅∈，即命题q 为真命题．。
2024-2025学年江苏省苏州市常熟市高一第一学期期中考试数学试题 (含答案)
2024-2025学年江苏省常熟市高一第一学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p:“∃x∈R，x+2≤0”，则命题p的否定为( )A. ∃x∈R，x+2>0B. ∀x∈R，x+2>0C. ∃x∉R，x+2>0D. ∀x∈R，x+2≤02.已知x>0，则x−1+4x的最小值为( )A. 4B. 5C. 3D. 23.已知函数y=f(x)的定义域为[−2,1]，则函数y=f(2x+1)的定义域为( )A. RB. [−2,1]C. [−3,3]D. [−32,0]4.若函数f(x)=(m2−2m−2)x2−m是幂函数，且y=f(x)在(0,+∞)上单调递减，则实数m的值为( )A. 3B. −1C. 1+3D. 1−35.常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称。
双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出;若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高x(x∈N∗)元，则被卖出的“叫花鸡”会减少5x只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为( )A. 48元B. 49元C. 51元D. 50元6.已知f(x)是奇函数，对于任意x1，x2∈(−∞,0)(x1≠x2)，均有(x2−x1)(f(x2)−f(x1))>0成立，且f(2)=0，则不等式xf(x−2)<0的解集为( )A. (−2,0)∪(2,4)B. (−∞,−2)∪(2,4)C. (2,4)D. (−2,0)∪(0,2)7.通过研究发现：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数，则函数f(x)=x3−3x2图象的对称中心为( ) 参考公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3A. (0,0)B. (1,2)C. (1,−2)D. (2,−4)8.已知正实数a，b满足a+b=4，则代数式1b +b+1a的最小值为( )A. 5+12B. 5+14C. 54D. 25+2二、多选题：本题共3小题，共18分。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（答案在最后）注意事项1.本试卷共四页，共23道小题，满分150分．考试时间120分钟．2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.出题人：高一备课组审核人：高一备课组一、选择题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}1,2,{02}A B x x ==<<，则A B = ()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{02}x x <≤【答案】A 【解析】【分析】根据交集的运算方法即可计算．【详解】∵集合{}1,2,{02}A B x x ==<<，∴A B = {1}．故选：A ．2.设命题2:N,25p n n n ∃∈>+，则p 的否定为（）A.2N,25n n n ∀∈>+B.2N,25n n n ∀∈≤+ C.2N,25n n n ∃∈≤+ D.2N,25n n n ∃∈<+【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定为将存在改任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为2N,25n n n ∀∈≤+.故选：B 3.方程组221{9x y x y +=-=的解集是（）A.(－5，4)B.(5，－4)C.{(－5，4)}D.{(5，－4)}【答案】D 【解析】【分析】消元法解方程组即可求解【详解】解方程组221{9x y x y +=-=，得()2219x x --=，解得54x y =⎧⎨=-⎩，故方程组的解集为{(5，－4)}，故选：D.【点睛】本题考查解二元二次方程组及列举法表示集合，注意解集是点集的形式，是基础题4.已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，{}13N x x =<<，那么下面的维恩图中，阴影部分所表示的集合为（）A.{}2x x > B.{}2x x ≤ C.{}2x x > D.{}1x x ≤【答案】D 【解析】【分析】根据并集和补集的知识求得正确答案.【详解】{}|1M N x x => ，阴影部分表示集合为(){}|1M N x x ⋃=≤R ð.故选：D 5.不等式302xx -<+的解集为（）A.{|2}x x <-B.{|23}x x -<< C.{|2x x <-或3}x > D.{|3}x x >【答案】C【分析】将不等式作等价转换，再求解集即可.【详解】30(2)(3)02xx x x -<⇒+->+，故解集为{|2x x <-或3}x >.故选：C 6.函数26()f x x x=-零点所在的一个区间是（）A.(2,1)-- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,)+∞【答案】C 【解析】【分析】根据零点存在性定理判断即可.【详解】令26()0f x x x=-=，解得：1360x =>，只有一个零点.而()611501f =-=>，()624102f =-=-<，由零点存在性定理知，函数26()f x x x=-零点所在的一个区间是(1,2).故选：C.7.下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（）A.||y x = B.3y x=- C.1y =-D.24y x =-+【答案】A 【解析】【分析】运用增函数定义，结合函数图像判断即可.【详解】对于A,区间()0,1,y x x ==，在()0,1单调递增，A 正确；对于B,区间()0,1,3y x =-，在()0,1单调递减，B 错误；对于C,区间()0,1,1y =-()0,1单调递减，C 错误；对于D,区间()0,1,24y x =-+，在()0,1单调递减，D 错误.故选：A.8.如果函数2()f x x bx c =++对于任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么（）A.f (2)<f (1)<f (4)B.f (1)<f (2)<f (4)C.f (4)<f (2)<f (1)D.f (2)<f (4)<f (1)【答案】A【分析】根据给定条件可得函数()f x 图象对称轴为2x =，再借助对称性、单调性即可比较判断作答.【详解】因函数2()f x x bx c =++对于任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，则其图象对称轴为2x =，且()f x 在[2,)+∞上递增，于是得(2)(3)(4)f f f <<，而(1)(3)f f =，所以(2)(1)(4)f f f <<.故选：A9.已知0a >，0b >，且28a b +=，那么ab 的最大值等于A.4 B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式可求得ab 的最大值.【详解】由基本不等式可得82a b =+≥8ab ≤，当且仅当2a b =时，等号成立，因此，ab 的最大值为8.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题.10.已知,,,R a b c d ∈，则“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性.【详解】当3,2,0,2a b c d ==-==时，a c b d +>+，但c d >不成立，充分性不成立；若a b >且c d >，则必有a c b d +>+，必要性成立；所以“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的必要不充分条件.故选：B11.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A.[)1,1][3,-+∞ B.3,1][,[01]--C.[1,0][1,)-⋃+∞D.[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在 腊语 上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.12.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123,,x x x 满足：()()()123f x f x f x ==.则123x x x ++的取值范围是（）A.11,66⎛⎤⎥⎝⎦B.11,63⎛⎫⎪⎝⎭C.2026,33⎛⎫⎪⎝⎭ D.2026,33⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】根据解析式画出函数草图，结合零点的情况及一次、二次函数性质得236x x +=、1703x -<<，即可得答案.【详解】由解析式，可得如下()f x 图象，令()()()123f x f x f x k ===，要满足题设，则34-<<k ，若123x x x <<，则236x x +=，令343x +=-，则73x =-，故1703x -<<，综上，123x x x ++范围是11,63⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.13.函数()2f x x =-的定义域是_______.【答案】[)2,+∞【解析】【分析】函数()2f x x =-的定义域满足20x -≥，解得答案.【详解】函数()2f x x =-的定义域满足20x -≥，解得2x ≥，故函数定义域为[)2,+∞.故答案为：[)2,+∞14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，()f x =2x ，则1()2f -=________．【答案】14-．【解析】【分析】由于函数是奇函数，所以11(()22f f -=-，再由已知的解析式求出1()2f 的值，可得答案【详解】解：因为当x >0时，()f x =2x ，所以2111(()224f ==，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以111((224f f -=-=-，故答案为：14-15.设函数22y x ax =+在区间(2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】2a ≥-【解析】【分析】由题意可知，(2,)+∞为函数单调递增区间的子集，根据子集关系可以求得.【详解】由函数22y x ax =+可知，对称轴为x a =-，因为在区间(2,)+∞上是增函数，则2a -≤，解得2a ≥-，故实数a 的取值范围是2a ≥-.故答案为：2a ≥-16.命题“2[1,2],10x x ax ∀∈-+<”为假命题的一个充分不必要条件是______.【答案】52a <（答案不唯一）【解析】【分析】问题化为1[1,2],x a x x∃∈≤+为真命题，利用对勾函数的单调性求最大值，即可得52a ≤，结合充分不必要条件写出一个符合要求的参数范围即可.【详解】由题设，1[1,2],x a x x ∀∈>+为假命题，故1[1,2],x a x x∃∈≤+为真命题，又1y x x =+在[1,2]x ∈上递增，则max 52y =，只需52a ≤即可，所以，原命题为假命题的一个充分不必要条件是52a <.故答案为：52a <（答案不唯一）17.设函数()()()2,1,242, 1.a x f x x x a x a x ⎧-<⎪=-⎨⎪--≥⎩①若0a =，则(1)2f =；②若1a =，则()f x 的最小值为1-；③存在实数a ，使得()f x 为R 上的增函数；④若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是1,1[2,)2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②③④【解析】【分析】①当0a =时，1x =代入()4()(2)f x x a x a =--中求值即可；②当1a =时，得到21,<1()24(1)(2),1x f x x x x x ⎧-⎪=-⎨⎪--≥⎩.分情况讨论求出各段最小值，最后得到()f x 的最小值.③保证两端都要增，端点考虑即可；④分类讨论，结合二次函数性质可解.【详解】①当0a =时，1x =代入()4()(2)f x x a x a =--中，得到(1)4(10)(10)42f =⨯-⨯-=≠，所以①错误.②当1a =时，21,<1()24(1)(2),1x f x xx x x ⎧-⎪=-⎨⎪--≥⎩.当<1x 时，则21x ->，，所以0<222<x-，1()1f x -<<.当1x ≥时，2231()4(1)(2)4(32)4()24f x x x x x x ⎡⎤=--=-+=--⎢⎥⎣⎦.对于二次函数2314()24y x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，对称轴为32x =，在32x =时取得最小值3()12f =-.综上，可得()f x 的最小值为1-，所以②正确.③当1x <时，22()22f x a a x x -=-=---是增函数.当1x ≥时，22()4()(2)432f x x a x a x ax a ⎡⎤=--=-+⎣⎦，其对称轴为32ax =.要使()f x 在R 上是增函数，则24(1)(12)21312a a a a ⎧-≤--⎪⎪-⎨⎪≤⎪⎩.解24(1)(12)21a a a -≤---，即281120a a -+≥，解得115711571616a a +-><或.解312a ≤得23a ≤.显然交集有元素.故存在a 能同时满足这两个条件使得函数在R 上单调递增，所以③正确.④当<1x 时，令2()02f x a x =-=-，则22a x =-，2(2)x a =-，22x a=-.若221x a=-<，即02a <<时，函数()f x 在<1x 时有一个零点.当1x ≥时，()4()(2)f x x a x a =--，令()0f x =，则x a =或2x a =.若1a <且21a ≥，即112a ≤<时，()f x 在1x ≥时有一个零点，结合1x <时的情况，此时()f x 恰有2个零点.若1a ≥，要使()f x 恰有2个零点，则21a >且22a a =-（无解）或者21a >且222a a=-（无解）或者1a >且21a >且221a-≥（即2a ≥）.综上，实数a 的取值范围是1[,1)[2,)2+∞ ，所以④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.18.关于x 的一元二次方程()22230x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x .（1）求k 的取值范围；（2）若12111x x +=-，求k 的值.【答案】（1）3(,)4-+∞（2）3【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的性质，结合0∆>，即可求解；（2）根据题意，利用根与系数的关系，求得2121223,x x k k x x +=--=，结合12111x x +=-，列出方程，求得k 的值，即可求解.【小问1详解】由一元二次方程22(23)0x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x ，则满足()222340k k ∆=+->，解得34k >-，即实数k 的取值范围为3(,)4-+∞.【小问2详解】因为方程22(23)0x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x ，由（1）知34k >-，且2121223,x x k k x x +=--=，因为12111x x +=-，可得12121x x x x +=-，即1212x x x x +=-，可得223k k --=-，即223k k +=，解得3k =或1k =-，因为34k >-，所以3k =.19.设全集R U =，集合{}2|20A x x x =--<，集合{|||1}B x x m =->，其中R m ∈．（1）当1m =时，求()U A B A B ⋂⋃,ð；（2）若A B ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）{|10}A B x x =-<< ，(){12}U A B x =-<≤ ð；（2）3m ≥或2m ≤-.【解析】【分析】（1）由题设得{|12}A x x =-<<，{|0B x x =<或2}x >，根据集合交并补运算求集合；（2）根据包含关系有12m -≥或11m +≤-，即可求参数范围.【小问1详解】由题设{}|(2)(1)0{|12}A x x x x x =-+<=-<<，{|1B x x m =<-或1}x m >+，当1m =时，{|0B x x =<或2}x >，故{|10}A B x x =-<< ，且{|02}U B x x =≤≤ð，故(){12}U A B x =-<≤ ð.【小问2详解】由A B ⊆，则12m -≥或11m +≤-，可得3m ≥或2m ≤-.20.已知函数2()(2)2f x x a x a =-++.（1）当0a =时，分别求出函数()f x 在[1,2]-上的最大值和最小值；（2）求关于x 的不等式()0f x <的解集.【答案】（1）最大值为(1)3f -=，最小值为(1)1f =-；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据二次函数的图象及性质确定区间上的最大值和最小值即可；（2）分类讨论求含参一元二次不等式解集.【小问1详解】由题设2()2f x x x =-，开口向上且对称轴为1x =，结合二次函数的图象，在[1,2]-上最大值为(1)3f -=，最小值为(1)1f =-.【小问2详解】由题意2(2)2()(2)0x a x a x a x -++=--<，当2a <时，解集为(,2)a ；当2a =时，解集为∅；当2a >时，解集为(2,)a .21.已知函数21()x f x x+=.（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明()f x 在(0,1)上是减函数；（3）若函数()y f x m =-在12,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求m 的范围．（直接写出答案）【答案】（1）()f x 是奇函数，理由见解析（2）答案见解析（3）5(2,]2【解析】【分析】（1）对于本题，需要先求出()f x -，然后与()f x 和()f x -进行比较.（2）利用函数单调性的定义,设12,(0,1)x x ∈且12x x <，然后计算12()()f x f x -，根据其正负判断函数的单调性.（3）函数()y f x m =-在1[,3]2上有两个零点，等价于()y f x =与y m =的图象在1[,3]2上有两个交点，需要先分析()f x 在1[,3]2上的单调性和值域，从而确定m 的范围.【小问1详解】函数21()x f x x+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称.22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--.根据奇函数的定义，对于定义域内任意x ，()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.【小问2详解】设12,(0,1)x x ∈且12x x <.则222212122112121211(1)(1)()()x x x x x x f x f x x x x x +++-+-=-=,对分子进行化简：222212211222111212212112(1)(1)()()()(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+--=-+-=--.因为12,(0,1)x x ∈，所以12(0,1)x x ∈，1210x x ->，210x x ->，120x x >.所以21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=>，即12()()f x f x >.所以()f x 在(0,1)上是减函数.【小问3详解】1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211()2x f x x x x+==+≥,当且仅当1x =取得最小值.当121,[,1)2x x ∈时，且12x x <，121[,1)4x x ∈,1210x x ->,210x x ->.则21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=>，即12()()f x f x >，则当1)[1,2x ∈()f x 单调递减；当12,(1,3]x x ∈时，且12x x <，12(1,9]x x ∈,1210x x -<,210x x ->.则21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=<，即12()()f x f x <，则当(1,3]x ∈,()f x 单调递增；并且215()11524()112222f +===，(1)2f =，23110(3)33f +==.因为函数()y f x m =-在1[,3]2上有两个零点，所以5(2,]2m ∈.22.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35k C x x =+.再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+.而建造费用为1()6C x x=最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++（Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+.解得5x =，253x =-（舍去）.当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．23.设函数()f x 是定义在R 上的函数，对任意的实数,x y 都有()(1)(1)f x y f x f y +=+⋅-，且当0x >时()f x 的取值范围是(0,1)．（1）求证：存在实数m 使得()1f m =；（2）当0x <时，求()f x 的取值范围；（3）判断函数()f x 的单调性，并予以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）(1,)+∞；（3）()f x 单调递减，证明见解析.【解析】【分析】（1）令1x y ==结合题设可得(0)1f =，即可证；（2）令y x =-得到1(1)(1)f x f x --=+，若10t x =+>，结合已知即可求范围；（3）令1x x y =+>21x x =+，应用函数单调性定义求证即可.【小问1详解】令1x y ==，则(11)(11)(11)(2)(2)(0)f f f f f f +=+⋅-⇒=，当0x >时()f x 的取值范围是(0,1)，即(2)0f ≠，故(0)1f =，显然存在0m =，使()1f m =，得证；【小问2详解】令y x =-，则()(1)(1)f x x f x f x -=+⋅--，即(1)(1)(0)1f x f x f +⋅--==，若10t x =+>，则10x t --=-<，故1(1)(1)f x f x --=+，即1()()f t f t -=，而()(0,1)f t ∈，则()(1,)f t -∈+∞，当0x <时，()f x 取值范围是(1,)+∞；【小问3详解】()f x 单调递减，证明如下：令1x x y =+>21x x =+，则1210x x y -=->，所以1212()()()f x f x f x x =⋅-，则12212()()()[()1]f x f x f x f x x -=--，由题设及（2）知，212()0,()10f x f x x >--<，则12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 单调递减，得证.。
2023-2024学年度上学期高一数学期中考试[含答案]
![2023-2024学年度上学期高一数学期中考试[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/7d496179a9114431b90d6c85ec3a87c240288af8.png)
又 f (x) 是奇函数，所以 0 x 2 时， f (x) 0 ， x 2 时， f (x) 0 ，且 f (0) f (2) 0 ，
不等式
xf
x
0
x
f
0
x
0
或
x
f
0 (x)
0
或
x
0
，所以 0
x
2 或 2
x
0
，
综上 2 x 2 ．
故选：D．a 23 ， b 45 ， c 253 ，则
【解析】
【分析】根据交集含义即可得到答案.
A B 1, 0,1
【详解】根据交集含义即可得到
，
故选：B.
2. 命题： x R, x | x | 0 的否定为（ ）
A. x R, x | x | 0
B. x R, x | x | 0
C. x R, x | x | 0
D. x R, x | x | 0
【详解】因为
f
2x
1
x2
1 t
，令
2x
1,
x
t
1 2
，
f
(t)
t
1 2 2
1
，即
f
(x)
x 12 2
1
，
所以 f (3) 2 .
故选：B
6.
若定义在 R 的奇函数
f
x
，若
x
0
时
f
x
x 2
xf
，则满足
x 0 的 x 的取值范围是（
）
, 20, 2
A. 【答案】D 【解析】
, 2 2, , 20, 2
对于 C，
y∣y∣ x2 1, x R
广西壮族自治区南宁市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
南宁市2024-2025学年秋季学期期中考试高一数学试卷考试时长: 120分钟满分: 150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 全称量词命题“∀x∈R,x²≥0”的否定是,( )^ ∀x∈R,x²≤0 B. ∃x∈R, x²<0C. ∃x∈R,x²≥0 D ∀x∈R, x²<02. 已知集合A={0,1,2}, B={x|-2<x≤3},则A∩B= ( )A. {1}B. {1,2}C. {0,1}D. {0,1,2}3. 集合{1,2}的子集个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. “我住在广西”是“我住在中国”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 如果m>0, 那么m+4的最小值为( )mA. 2B. 22C. 4D. 86. 函数f(x)=x+3的定义域是( )A. {x|x≥-3}B. {x|x>0}C. {x|x≥3}D. {x|x≥4}7. 已知f(x―3)=2x²―3x+1,则f(1)= ( )A. 15B. 21C. 3D. 08. 若不等式kx²―6kx+k+8≥0的解集为R，则实数k的取值范围是 ( )A. 0≤k≤1B. 0<k≤1C. k<0或k>1D. k≤0或k≥1第1页，共4页二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若a<b<0, 则下列不等式正确的是 ( )A1 a <1bB.ab<a⁷ c |a| D.1a>1b10. 下列各组函数表示同一函数的是( )A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=x²,g(x)=|x|²C.f(x)=x+1,g(x)=x2―1x―1D.f(x)=x0x,g(x)=xx211. 若函数y=x²+bx+c的图象与x轴的两个交点是A(-2，0)，B(1，0)，则下列结论正确的是( )A. b+c=-1B. 方程x²+bx+c=0的两根是-2, 1C. 不等式.x²+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}D. 不等式x²+bx+c≤0的解集是{x|-2≤x≤1}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设集合A={2,1-a,5}, 若4∈A,则a= .13. 已知函数那么f(f(3))= .14. 不等式x+3x―5<0的解集为 .四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题13分) 已知全集U=R, 集合.A=x|x≥4,B=x|―6≤x≤6.(1)求A∩B和A∪B;(2)求((C U A)∩(C U B)第2页，共4页16.(本题15分) 设集合U=R,A=x|0≤x≤3,B=x|m―1≤x≤2m.(1)m=3,求A∪(C U B);(2) 若B⊆A求m的取值范围.17.(本题15分) 已知二次函数f(x)=x²―ax+b,f(1)=2,f(3)=―6.(1) 求f(x)的解析式;(2) 写出f(x)的单调区间; 并求.x∈[―1,5]时，f(x)的最大值与最小值.第3页，共4页18.(本题17分) 求下列函数的最值. (1) 已知x>2, 求y=x+1x―2的最小值；(2) 已知:x>0,y>0,且2x+y=1.求1x +9y的最小值.(3) 已知(0<x<4,求x(4―3x)的最大值.19.(本题17分)已知函数f(x)=,且f(1)=10.(1) 求a的值;(2) 判断函数f(x)在[3,+∞)上的单调性，并用定义法证明；(3) 求函数f(x)在区间[3，6]上的最大值和最小值.第4页，共4页高一数学11月期中考试参考答案题号1234567891011答案BDDBCABABDBDABD1. B 【详解】全称量词命题“∀x∈R, x²≥0”的否定是 ∃x ∈R,x²<0,故选: B.2. D 【详解】由题意. A =0.1,2,B =x|―2<x ≤3,所以A∩B={0,1,2}.故选: D.3. D 【详解】因为A={0.1}, 所以集合A 有∅,{0},{1},{0,1}共4个子集.故选: D4. B 【详解】“我住在广西”则一定有“我住在中国”，反之不成立，所以“我住在广西”则一定有“我住在中国”的充分不必要条件.故选：B5. C 【详解】 m >0,m +4m ≥2m ⋅4m =4,当且仅当 m =4m ,即m=2时取等号，所以 m +4m 的最小值为4.故选：C6. A 【详解】要使函数 f (x )=x +3有意义, 需x+3≥0, 解得x≥-3, 即得函数的定义域为:{x|x≥-3}.故选: A.7. B 【详解】∵f(x-3)=2x²-3x+1, ∴f(1)=(4-3)=2×4²-3×4+1=21,故选B.8. A 【详解】若k=0, 则不等式为8>0, 满足条件,若k≠0，要使不等式恒成立，则满足 {k >0=36k 2―4k (k +8)≤0, 即 {k >0k 2―k ≤0 则 {k >00≤k ≤1,所以0<k≤1, 综上, 实数k 的取值范围为0≤k≤1. 故选: A9. BD 【详解】对于A 、D,因为a<b<0,所以 ab>0,则 1ab >0,所以 a ⋅1ab <b ⋅1ab ,即 1b <1a ,故A 错误, D 正确; 对于B, 因为a<b<0, 所以a·a>b·a, 即 ab <a²,故 B 正确;对于C, 若a<-1<b<0, 则|a|>1, 0<|b|<1, 所以有|a|>|b|, 故C 错误.故选: BD.10. BD 【分析】同一个函数的定义：如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，那么这两个函数为同一个函数.根据定义判断选项.【详解】A. f(x)=x,g(x)=|x|,对应关系不一致，不是同一函数.B.f (x )=x²,g (x )=|x|²=x²,定义域相同，对应关系一致，是同一函数.C. f(x)定义域为R, g(x)定义域为{x|x≠1}, 定义域不同, 不是同一函数.D. f(x)定义域为{x|x≠0},可化为 f (x )=1x ,g(x)定义域为 x|x ≠0,可化为 g (x )=1x ,是同一函数.故选: BD.11. ABD 【详解】依题意, 方程 x²+bx +c =0的两根是-2, 1, B 正确;显然-b=-1,c=-2,即b=1,c=-2,b+c=-1, A 正确;不等式 x²+bx +c >0, 即 x²+x ―2>0的解集为{x|x<-2或x>1}, C 错误;不等式 x²+bx +c ≤0,即 x²+x ―2≤0的解集是 x|―2≤x ≤1,D 正确.故选: ABD 12. - 3【详解】集合A={2,1-a,5},若4∈A, 则1-a=4⇒a=-3.故答案为: - 313. - 1【详解】因为 f (x )={2―x (x ≥1)x 2+x ―1(x <1),所以f(3)=2-3=-1,所以 f (f (3))=f (―1)=(―1)²―1―1=―1, 故答案为: -1.14. {x|-3<x<5}【详解】 x +3x ―5<0(x +3)(x ―5)<0,解得 ―3<x <5..故答案为： x|―3<x <5答案第1页，共3页15.【详解】(1) A={x|x≥4},B={x|-6≤x≤6},A∩B={x|4≤x≤6}3分A∪B=x|x≥―6 .6分(2)C U A={x|x<4} .8分或x>6}- .10分(C U A)∩(C U B)={x|x<―6} .13分16. 【详解】A={x|0≤x≤3}（1）1分故可得或x>6}- .3分所以或x>6}-(2) 由题B⊆A:当B=∅时,m-1>2m,解得m<-1,符合题意;分 (9)分 (13)综上可得，m的取值范围为m<-1或 (15)17.【详解】(1) 因为f(x)=x²―ax+b,且f(1)=2,f(3)=-6,.............................................................................................2分解得(a=8, b=9, .........................................................5分(只有一个正确得2分)....................................................................................所以6分（2）由（1）知.对称轴为x=4，图象开口朝上分 (8)所以f（x）的减区间是（-∞,4],增区间是....................................[4,+∞）10又4∈[-1,5],所以f（x）在区间[-1,4]上单调递减,在区间[4,5]上单调递增, (12)所以f(x)ₘᵢₙ=f(4)=―7, ………………………………13分f(x)最大值在f(-1)或f(5)取到, f(-1)=18, f(5)=-6,∴f(-1)>f(5)·f(x)ₘₐₓ=f(―1)=18 ………………………………………15分18.【详解】(1)∵x>2,x―2>0,1x―2>0.6分…14分而y=x+1x―2=x―2+1x―2+2≥2(x―2)⋅1x―2+2=4, .3分当且仅当即x=3时取等号，所以……………………………………………………………5分(2)1x+9y=(1x+9y)(2x+y)=11+y x+18x y211+2yx ⋅18xy=11+62, ..8分当且仅当时,取等号,又2x+y=1,即时分101 x +9y取得最小值11+62 11分（3）15分当且仅当3x=4-3x时取等号，即（满足0<x<4）时x（4-3x）最大值为 (17)法二：函数y=x(4―3x)=―3x²+4x的开口向下，对称轴为x=―4―6=23, ..15分所以当时,x（4-3x）取得最大值为1719.【详解】(1) 函数f(x)=x2+ax,因为f(1)=10,…………………………………………………………………………………………………3分(2)函数f(x)在[3,+∞)上单调递增,知由下面证明单调区间，设3≤x₁<x₂,则f(x1)―f(x2)=x1―x2+9x1―9x2=(x1―x2)(x1x2―9x1x2), .8分由3≤x₁<x₂,则x₁x₂―9>0,x₁―x₂<0,x₁x₂>0, 11分所以(x1―x2)x1x2―9x1x2<0⇒f(x1)―f(x2)<0,即f(x₁)<f(x₂), ..12分……………………………………………………………………………………………13分（3）由（2）可知f（x）在区间[3,+∞）上单调递增,则在区间[3,6]上单调递增…………14分所以f(x)mn=f(3)=3+93=6,f(x)max=f(6)=6+96=152, 16分 (6)答案第3页，共3页。
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江苏四星学校石庄中学高一数学期中考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置上1．已知集合2{|1,},{|ln(2)}P y y x x R Q x y x ==+∈==-，则P Q =I_______________． (2,+)∞2.方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是 .(){}4,5-3.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则(2)f -= .-14．幂函数()x f y =的图象经过点()81,2--，则满足()27=x f 的x 的值为315．函数y =f （x ）是定义在[a ，b ]上的增函数，期中a ，b ∈R ，且0<b <-a ，已知y =f （x ）无零点，设函数F （x ）=f 2（x ）+f 2（-x ），则对于F （x ）有如下四个说法： ①定义域是[-b ，b ]； ②是偶函数； ③最小值是0； ④在定义域内单调递增 其中正确的说法的个数有 26.. 已知集合}023|{2=+-=x ax x A.若A 中至多有一个元素，则a 的取值范围是9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或7.函数y x a =-的图象关于直线3x =对称.则a = ▲ 38. 已知函数2(4)()(1)(4)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩, 则(5)f _____________ 89.已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［1,2a a -］，则a+b=3110.函数x x f 3log 2)(-=的定义域是 ]9,0(11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为 0 提示：(6)(42)(4)(22)(2)(0)0f f f f f f =+=-=-+==-=12． 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-，那么不等式1()2f x <的解集是 13(,)[0,)22-∞-U提示：设0x <，则0x ->，()1()f x x f x -=--=-，∴ ()1f x x =+，且(0)0f =0x =或0112x x <⎧⎪⎨+<⎪⎩或0112x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得：12x <-或302x ≤≤13．13. 对于任意实数x ，符号[x]表示x 的整数部分，即[x]是不超过x 的最大整数”.在实数轴R （箭头向右）上[x]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x]就是x.这个函数[x]叫做“取整函数”，那么[log 21]+[log 22]+[log 23]+[log 24]+…+[log 21024]= ★_820414. 设函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当x 0≥时，f(x)=x 2, 若对任意的x []2,+∈t t 不等式f(x+t))(2x f ≥恒成立，则实数t 的取值范围是 .2≥t二、解答题：(15+15+15+15+15+15=90分)15．计算：（1）2lg 25lg 2lg 50(lg 2)+⋅+ (2) (221)41-(-1999)0-(332)83-+(2)23-解：（1）原式＝22lg5lg 2(1lg5)(lg 2)2lg5lg 2(1lg5lg 2)2lg52lg 22+⋅++=+++=+= (2)2116. 已知函数f(x)=x 2+2ax+2, x []5,5-∈.(1)当a=-1时，求函数的最大值和最小值；(2) 若y=f(x)在区间[]5,5- 上是单调 函数，求实数 a 的取值范围。
解：（1）最大值 37, 最小值 1(2)a 5≥或a 5-≤17. 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大ABCDMN P的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |＝3米，|AD |＝2米，（1）设AN 的长为x 米，用x 表示矩形AMPN 的面积？（2） 要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ . 解：（1）设AN 的长为x 米（x >2）∵|DN||DC||AN||AM|=，∴|AM |＝32xx - ∴S AMPN ＝|AN |•|AM |＝232x x - --（2）由S AMPN > 32 得 232x x - > 32 ，∵x >2，∴2332640x x -+>，即（3x －8）（x －8）> 0∴8283x x <<> 或 即AN 长的取值范围是8(2)(8)3∞U ，，+18（本小题满分15分）已知函数)()14(log )(4R ∈++=k kx x f x是偶函数。
（I ）求k 的值；（II ）若方程m m x f 求有解,0)(=-的取值范围 解：（I ）由函数).()(,)(x f x f x f -=可知是偶函数.)14(log )14(log 44kx kx x x -+=++∴-,24log ,21414log 44kx kx x x x -=-=++-即 .2恒成立对一切R x kx x ∈-=∴21-=∴k（II ）由x x f m x21)14(log )(4-+==， ).212(log 214log 44xxx x m +=+=∴2212≥+x x Θ， .21≥∴m故要使方程.21,0)(≥=-m m m x f 的取值范围为有解 19.已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若()10f -=，试判断函数()f x 图像与x 轴交点个数；(2)是否存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足以下条件①当1x =-时， 函数()f x 有最小值0；；②对x R ∀∈,都有210()(1)2f x x x ≤-≤-。
若存在，求出,,a b c 的值，若不存在，请说明理由。
21．解：（1）()10,0,f a b c -=∴-+=Q b a c =+2224()4()b ac a c ac a c ∆=-=+-=-Q -当a c =时0∆=，函数()f x 有一个零点； 当a c ≠时，0∆>，函数()f x 有两个零点。
(2)假设,,a b c 存在，由①得241,024b ac b a a--=-= ⇒ 222,444b a b ac a ac a c ==⇒=⇒= 由②知对x R ∀∈,都有210()(1)2f x x x ≤-≤- 令1x =得0(1)10f ≤-≤(1)10f ⇒-=(1)1f ⇒=1a b c ⇒++=由12a b c b a a c++=⎧⎪=⎨⎪=⎩得11,42a c b ===，当11,42a c b ===时，221111()(1)4244f x x x x =++=+，其顶点为（－1，0）满足条件①，又21()(1)4f x x x -=-⇒对x R ∀∈,都有210()(1)2f x x x ≤-≤-，满足条件②。
∴存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足条件①、②。
20.已知函数2()(0,0)f x ax bx c a bc =++>≠,()0,,()()0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩（Ⅰ）若函数)(x f 的最小值是(1)0f -=，且(0)1f =，求(2)(2)F F +-的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，k x x f +>)(在区间[3,1]--恒成立，试求k 的取值范围；（Ⅲ）令()2g x ax b =+,若(1)0g =,又()f x 的图象在x 轴上截得的弦的长度为m ，且02m <≤，试确定c b -的符号.解：（Ⅰ）由已知.12,0,1-=-=+-=abc b a c 且 解得1a =，2b =，∴ 2()(1)f x x =+ , ∴ 22(1),(0)()(1),(0),x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩∴ 22(2)(2)(21)[(21)]8F F +-=++--+=.（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，k x x f +>)(在区间[3,1]--恒成立,即210x x k ++->在区间[3,1]--恒成立,从而12++<x x k 在区间[3,1]--上恒成立， 令函数2()1p x x x =++,则函数2()1p x x x =++在区间[3,1]--上是减函数，且其最小值min ()(1)1p x p =-=，∴ k 的取值范围为(,1)-∞（Ⅲ）由(1)0g =，得20a b +=，∵ 0a > ∴20b a =-<,设方程0)(=x f 的两根为21,x x ，则122bx x a+=-=,12c x x a =,∴12||m x x =-==∵ 02m <≤， ∴ 01<≤, ∴01c a≤<，∵ 0a >且0bc ≠， ∴ 0c >， ∴ 0c b ->。