2014《5年高考3年模拟》高考复习理科数学(B版,安徽省专用)课件第十七章 不等式选讲
数学_2014年安徽省高考数学模拟试卷(五)(理科)(含答案)
2014年安徽省高考数学模拟试卷（五）（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题锁所给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 复数z =(2−i)(1+i)i（i 为虚数单位），则|z|等于（ ）A 10B √10C 5D √52. 已知全集U =R ，A ={x|−1<x ≤1}，B ={x|lg(2x 2−1)≤0}，则A ∩(∁U B)等于（ ） A [12, √22] B [−√22, −12] C [−√22, 12] D [−√22, √22] 3. 已知cos2α=13，则sin 2(α+π2)等于（ ） A √53B 13C 14D 234. 已知命题p ：“a <−12”是“函数f(x)=x 2+4ax +1在区间(−∞, 1)上是减函数”的充分不必要条件，命题q:a ，b 是任意实数，若a >b ，则a 2>b 2．则（ ） A “p 且q”为真 B “p 或q”为真 C p 假q 真 D p ，q 均为假命题 5. 已知单位向量a →，b →的夹角为π3，则|a →−4b →|等于（ ） A 13 B 11 C √13 D √116. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）A 26B 572 C 27 D 5927. 函数f(x)=sin(2x +φ)+√3cos(2x +φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π2个单位后关于y 轴对称，则φ的值为（ ）A π6B π4C π3D −π68. 等比数列x ，3x +3，6x +6，…的前十项和等于（ ） A −1 B −3 C −1024 D −30699. 设关于x ，y 的不等式组{x −2y +1>0x −m >0y −m >0表示的平面区域内存在点P(x 0, y 0)，满足3x 0−2y 0=1．则m 的取值范围是（ ）A (−∞, 23) B B(−∞, 13) C (−∞, 1) D (−∞, −1)10. 已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0, +∞)上是增函数，如果f(ax+1)≤f(x−2)在x∈[12，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A [−2, 1]B [−5, 0]C [−5, 1]D [−2, 0]二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11. (1−x)2(1+y)5的展开式中含xy2项的系数是________．12. 在平面直角平面内，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=√2，圆M的参数方程为为{x=2+2cosθy=−1+2sinθ（其中θ为参数），若直线l与圆M相交于A，B两点，M是圆心，则直线AM与BM的斜率之和________．13. 某程序框图如图所示，则该程序框图运行后输出的结果是14. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的上底面ABCD的中心是O，顶点A1，B1，C1，D1在以O 为球心的球O的球面上，若正方体的棱长为2，则球O的表面积为________．15. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，①若A=60∘，b=2，c=3，则a=√7；②若C=60∘，b=√6，c=3则A=75∘；③b2+c2<a2，则A为钝角；④若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形；⑤若cosCc =cosBb+cosAa，则abc2的最大值为32，在这五个命题中真命题是________．三、解答题（共6小题，满分75分）16. 已知向量a→=(sin x3, cos x3)，b→=(cos x3, √3cos x3)，函数f(x)=a→⋅b→，（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）如果△ABC的三边a、b、c，满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域．17. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的N件产品作为样本称出它们的重量（单位；克），重量的分组区间为(490, 495]，(495, 500]，…(510, 515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示，若其中重量超过510克的产品件数为3． (1)求N ；(2)在抽取的重量超过505克的产品中任取2件，设ξ为重量超过510克的产品数量，求ξ的分布列及数学期望．18. 如图，ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的夹角为60∘（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）求二面角C −PB −D 的正弦值．19. 已知正项等比数列{a n }满足：lna 1+lna 3=4，lna 4+lna 6=10． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n =lna 1+lna 2+...+lna n ，数列{b n }满足b n =12S n，若存在n ∈N ，使不等式K <(b 1+b 2+...+b n )(23)n 成立，求实数K 的取值范围．20. 已知抛物线D:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，P 是抛物线上一动点，Q 是圆M ：(x +1)2+(y −2)2=12上一动点，且|PF|+|PQ|最小值为3√22． （1）求抛物线D 的方程；（2）已知动直线l 过点N(4, 0)，交抛物线D 与A ，B 两点，坐标原点O 为线段NG 中点，求证：∠AGN =∠BGN ．21. 已知a 为常数，a ∈R ，函数f(x)=(x −1)lnx ，g(x)=−13x 3+2−a 2x 2+(a −!)x ．（1）求函数f(x)的最值；（2）若a >0，函数g′(x)为函数g(x)的导函数，g′(x)≤k(a 3+a)恒成立，求k 的取值范围．（3）令ℎ(x)=f(x)+g(x)，若函数ℎ(x)在区间(0, 1]上是单调函数，求a 的取值范围．2014年安徽省高考数学模拟试卷（五）（理科）答案1. B2. D3. D4. B5. C6. B7. A8. D9. C 10. D11. −20 12. −8313. 8314. 24π15. ①②③⑤16. 解：（1）∵ 向量a →=(sin x3, cos x 3)b →=(cos x3, √3cos x3)，∴ 函数f(x)=a →⋅b →=sin(2x 3+π3)+√32， 令2kπ−π2≤2x 3+π3≤2kπ+π2，解得3kπ−54π≤x ≤3kπ+π4(k ∈Z)．故函数f(x)的单调递增区间为[3kπ−54π，3kπ+π4](k ∈Z)． （2）由已知b 2=ac ，cosx =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−ac2ac≥2ac−ac 2ac=12，∴ 12≤cosx <1，∴ 0<x ≤π3∴ π3<2x 3+π3≤5π9∴ √32<sin(2x3+π3)≤1， ∴ √3<sin(2x 3+π3)+√32≤1+√32∴ f(x)的值域为(√3, 1+√32] 17. 解：(I)∵ 重量超过510克的产品件数为3，由频率直方图得重量超过510克的产品的频率为0.01×5=0.05． ∴ 由N ×0.01×5=3，得N =60． (II)ξ的所有可能取值为0，1，2，重量超过505克的产品数量为60×(0.05×5+0.01×5)=18件， P(ξ=0)=C 152C 182=3551，P(ξ=1)=C 151C 31C 182=517，P(ξ=2)=C 32C 182=151，∴ ξ的分布列为：∴ Eξ=0×3551+1×1551+2×151=13．18. （1）证明：∵ PD ⊥平面ABCD ，∴ PD ⊥AC ，∵ ABCD 是正方形，∴ AC ⊥BD ， ∴ AC ⊥平面PBD ．（2）解：∵ DA ，DC ，DP 两两垂直， ∴ 建立空间直角坐标系D −xyz ，如图，∵ BE 与平面ABCD 所成角为60∘，即∠DBP =60∘， ∴ PDDB =√3，由AD =3，得PD =3√6，∴ D(0, 0, 0)，B(3, 3, 0)，C(0, 3, 0)，P(0, 0, 3√6)，A(3, 0, 0)， PB →=(3, 3, −3√6)，PC →=(0, 3, −3√6)， 设平面PBC 的法向量n →=(x,y,z)， 则{n →⋅PC →=3y −3√6z =0˙，取z =√6，得n →=(0, 6, √6)，∵ AC ⊥平面PBD ，∴ 平面PBD 法向量为AC →=(−3, 3, 0)， 设二面角C −PB −D 的平面角为θ， 则cosθ=|cos <n →，AC →>|=|18√42⋅√18|=√217， ∴ sinθ=√1−(√217)2=2√77． ∴ 二面角C −PB −D 的正弦值为2√77． 19. 解：(I)∵ 正项等比数列{a n }满足：lna 1+lna 2=4，lna 4+lna 5=10，∴ a 1a 3=e 4，a 4a 6=e 10，∴ q 6=e 6，由q >0，解得q =e ，a 1=e ， ∴ a n =e n ．(II)由(I)知S n =1+2+3+...+n =n(n+1)2，b n =1n(n+1)=1n −1n+1，∴ b 1+b 2+...+b n =1−12+12−13+...+1n −1n+1=1−1n +1=n n+1，设c n =(b 1+b 2+...+b n )(23)n ， ∴ c n =n n+1(23)n ，c n+1−c n =n +1n +2(23)n+1−n n +1(23)n=−n 2−2n+23(n+1)(n+2)⋅(23)n <0，∴ c n >c n+1，∴ 数列{c n }单调递减， (c n )max =c 2=13，∴ k <13．20. 解：（1）圆M ：(x +1)2+(y −2)2=12的圆心坐标为M(−1, 2)，半径为√22， ∵ |PF|+|PQ|最小值为3√22，Q 是圆M ：(x +1)2+(y −2)2=12上一动点，∴ 当Q 、P 、F 三点共线时，|QF|最小，M 、Q 、P 、F 四点共线时，|MF|最小为2√2， ∴ √(p2+1)2+4=2√2，∴ p =2，∴ 抛物线D 的方程是y 2=4x ； （2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由于O 为NG 之中点，故当l ⊥x 轴时，由抛物线的对称性知，一定有：∠AGN =∠BGN ， 当l 不垂直x 轴时，设l:y =k(x −4)，代入抛物线方程得k 2x 2−4(2k 2+1)x +16k 2=0， ∴ x 1+x 2=4(2k 2+1)k 2，x 1x 2=16， ∴ k AG +k BG =k(x 1−4)x 1+4+k(x 2−4)x 2+4=0，∴ ∠AGN =∠BGN ．21. 解：（1）由题意可知f(x)的定义域为{x|x >0}，f ′(x)=1−1x +lnx ，且f ′(1)=0，当0<x <1时，f ′(x)<0，当x >1f ′(x)>0．所以在x =1时取极小值，且为最小值，f(x)无最大值． 所以f(x)min =f(1)=0 （2）g(x)=−13x 3+2−a 2x 2+(a −!)x ．g′(x)=−x 2+(2−a)x +(a −1)，对称轴x =1−a2∴ g′(x)max=a24，要使g′(x)≤k(a3+a)恒成立，只需a24≤k(a3+a)，即k≥a 24(a3+a)=14(a+1a)，因为14(a+1a)≤18，所以k≥18（3）ℎ(x)=f(x)+g(x)，ℎ′(x)=−x2+(2−a)x+a−1x+lnx．设m(x)=−x2+(2−a)x+a−1x +lnx，m′(x)=−2x+1x2+1x+(2−a)观察可得m′(x)在区间(0, 1]上是单调函数，所以m′(x)≥m′(1)=2−a∵ 函数ℎ(x)在区间(0, 1]上是单调函数，∴ 只有ℎ′(x)不变符号，ℎ′(1)=0，ℎ′(12)<0可以判断ℎ′(x)≤0，ℎ′(x)≤ℎ′(1)，∴ m(x)为增函数，m′(x)≥0，从而可得2−a≥0，所以a≤2。