第四章 周期信号的频域分析 4-2
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信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
4-2周期信号通过线性系统
H ( jω) = H ( jω) e jϕ(ω)
H ( jω ) = Y ( jω ) : F ( jω )
ϕ (ω ) :
系统幅频特性：响应与激励信号幅度比 系统相频特性：响应与激励信号相位差
二、计算
稳定系统
∫ 1) H( jω) = ∞ h(t)e− jωtdt −∞
2) H ( jω ) = Y ( jω ) F ( jω )
U2( jω) =U( jω)H( jω)
= [πδ(ω) + 1 ]• jω jω jω + 2
=1 jω + 2
∴ u2 (t) = e−2tU (t)
4.4 频域系统函数（频率特性）
一、定义
f (t) ⇒ F( jω)
h(t) ⇒ H( jω)
f (t)
y (t )
y(t) = f (t)*h(t)
第四章 连续系统频域分析
4-2 周期信号通过线性系统
对于周期信号f(t)=f(t+nT) ，当其满足狄氏条件时，可展成：
∞
∑ ∑ f (t ) = A0 + ∞ An cos( nΩ t + ϕ n ) =
F n e jn Ω t
n =1
n = −∞
一、基本信号 ：
f (t) = e jωt
y f (t) = h (t) * f (t)
H ( jn Ω ) = H ( jn Ω ) e jϕ ( nΩ )
（2）方法二：傅立叶变换（频域分析法）
∞
F ( jω ) = 2π ∑ Fnδ (ω − nΩ) n = −∞ ∞
Y ( jω ) = H ( jω ) F ( jω ) = 2π ∑ Fnδ (ω − nΩ ) H ( jω ) n = −∞ ∞ = 2π ∑ H ( jnΩ ) Fnδ (ω − nΩ ) n = −∞
第四章 周期信号的频域分析
c n = c n e − jϕ n 令： &
∞ 1 ∞ jnω t & & ∴ f (t ) = ∑ cn e = ∑ Fn e jnω t 2 n = −∞ n = −∞
& = 1 c 称为复傅里叶系数。 &n Fn 2
表明任意周期信号可以表示成 e jnω t 的线性组合， & 加权因子为 Fn 。
a− k e
− jkω0t
…
+ ak e
jkω0t
k 次谐波
例4－1：已知连续时间信号 f (t ) = 1 + cos ω0t + 2sin ( 3ω0t ) 求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak ∞ 1 f (t ) = ∑ ak e jkω t 解： ak = ∫ f (t )e − jkω0t dt
不满足狄里赫利条件的周期信号
f (t )
狄里赫利条件 1 信号 f (t) 在任意一 个周期 T 内绝对可积
−2
f (t ) =
1 , 0 < t ≤1 t2
不满足条件 1
1
−1
0
1
2
t
2 信号 f (t) 在任意一
f (t )
个周期 T 内，只有有 限个极大和极小值点
3 信号 f (t) 在任意一
0
T1 T / 2
T
t
−T
−T1
0
T1
T
N =5
t
取 N =1, 5, 21, 81,用有限项傅氏级 数逼近连续时间周期脉冲信号 f (t)
ˆ f (t )
吉布斯（Gibbs）现象
信号的跳变点附近出现纹波 随项数增加，波纹峰值大小不 变，但被挤向信号的间断点处 信号连续点处傅氏级数收敛于信 号本身 信号跳变点处，傅氏级数收敛于 该处左极限和右极限的平均值
周期信号的频域分析
周期信号的频域分析周期信号是指在一定时间间隔内，信号的波形和幅度重复的一种信号。
频域分析是指将一个信号从时域（时间域）转换到频域（频率域），以便更好地理解信号的频率特性和频谱分布。
f(t) = a0 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0为直流分量，an和bn分别为傅里叶级数的系数，ω0 =2π/T为基础角频率。
要进行频域分析，首先需要计算出信号的傅里叶系数an和bn。
计算步骤如下：1.计算直流分量a0，即信号f(t)在一个周期内的平均值。
2. 计算余弦项的系数an，使用公式：an = (2/T) * ∫(f(t)*cos(nω0t)dt)其中，∫表示对t从0到T的积分。
3. 计算正弦项的系数bn，使用公式：bn = (2/T) * ∫(f(t)*sin(nω0t)dt)同样，∫表示对t从0到T的积分。
计算出所有的an和bn之后，可以得到信号f(t)的频谱分布。
频谱是指信号在频率域上的幅度分布，可以用幅度谱和相位谱来表示。
1. 幅度谱表示信号各个频率分量的幅度大小。
幅度谱可以通过计算an和bn的幅度来得到，即幅度谱A(f) = sqrt(an^2 + bn^2)。
2. 相位谱表示信号各个频率分量的相位差。
相位谱可以通过计算an 和bn的相位差来得到，即相位谱ϕ(f) = atan(bn/an)。
通过这些计算，我们可以获得信号在频域上的频谱分布，进一步分析信号的频率特性。
频域分析的应用十分广泛。
在通信系统中，频域分析可以用于分析信号的频率偏移、频率响应等问题，为系统的调试和优化提供依据。
在音频和视频信号处理中，频域分析可以用于音频信号的均衡和滤波，视频信号的去噪和增强等。
此外，频域分析还在图像处理、生物医学信号处理等领域得到广泛应用。
总之，周期信号的频域分析是一种将信号从时域转换到频域的方法，可以帮助我们更好地理解信号的频率特性和频谱分布。
通过计算傅里叶系数，可以得到信号的幅度谱和相位谱，从而分析信号在频域上的特性。
第四章_周期信号频域分析
C n 1 T0
T0 t0
t0
* f (t )e j n 0 t dt C n
1 T0
T0 t0
t0
f (t )e -j n 0 t dt
* Cn C n .
注: (4.7)指出“当信号f(t)为实函数时， f (t)的Fourier系数是共轭偶对 称”。 1 利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。 -j n 0 t j n 0 t j n 0 t f (t ) C0 Cn e Cn e C0 (Cn e Cn e j n 0 t ) (4.10)
f (t ) bn sin(n0t )
n 1
图4-5 奇对称信号
注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。
12
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号 周期为T0的信号f(t), 若具有关系 f (t ) f (t T0 / 2) ，则称为半波 重叠信号。例如，图4-6。
Cn 1 T0 1 T0
T0 / 2
T0 / 2 T0 / 2
f (t )e jn0t dt
1 T0
T0 / 2
T0 / 2
[ f (t ) cos(n0t ) jf (t ) sin(n0t )]dt
T0 / 2
f (t ) cos(n0t )dt.
Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，
周期信号f(t)的Fourier 级数和系数计算公式为：
f (t )
n
C e
n
j n 0 t
,
(4.5)
T0 t0
t0
* f (t )e j n 0 t dt C n
1 T0
T0 t0
t0
f (t )e -j n 0 t dt
* Cn C n .
注: (4.7)指出“当信号f(t)为实函数时， f (t)的Fourier系数是共轭偶对 称”。 1 利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。 -j n 0 t j n 0 t j n 0 t f (t ) C0 Cn e Cn e C0 (Cn e Cn e j n 0 t ) (4.10)
f (t ) bn sin(n0t )
n 1
图4-5 奇对称信号
注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。
12
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号 周期为T0的信号f(t), 若具有关系 f (t ) f (t T0 / 2) ，则称为半波 重叠信号。例如，图4-6。
Cn 1 T0 1 T0
T0 / 2
T0 / 2 T0 / 2
f (t )e jn0t dt
1 T0
T0 / 2
T0 / 2
[ f (t ) cos(n0t ) jf (t ) sin(n0t )]dt
T0 / 2
f (t ) cos(n0t )dt.
Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，
周期信号f(t)的Fourier 级数和系数计算公式为：
f (t )
n
C e
n
j n 0 t
,
(4.5)
第4章 连续信号的频域分析
4. 周期的影响
信号周期T越大，W0 2 / T
就越小，则谱线越密。反之，T越小，W0越大，谱线则越疏。
▲
■
第7页
4.2 连续非周期信号的频域分析
4.2.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
周期信号通过傅里叶级数可以用正弦型或复指数型信号来表示。由（4.1.2）式可
知，周期矩形脉冲信号离散频谱函数为：
X (nW) 2A
第4章 连续信号的频域分析
前面章节讨论了信号的时域分析，本章将研究信号 的频域（包括s域）分析及其应用。
■
第1页
4.1 连续周期信号的频域分析
• 连续周期信号的频谱是指连续周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。
• 4.1.1 频谱的概念
•
对周期信号的时域分析表明，一个周期信号只要满足狄里赫利条件，就可以利用正弦型信号或
4.1.2 典型连续周期信号的傅里叶级数
1．连续周期矩形方波信号
如图4-1-1所示的周期矩形方波信号，设脉冲宽度为，脉冲幅度为A，重复周期为T， 主周期为T0。将展成指数形式的傅里叶级数：
其中：
W 2f 2 , f 1
T
T
可见周期矩形脉冲信号x(t)的频谱图
是采样函数Sa。
x(t)
- /2
A /2
例4-2-1计算三角波信号的频谱
如图4-2-1所示的三角波，用数值方法和符号运算近似计算出该三角波信号的频谱。
解：（1）用数值积分近似计算三角波信号频谱
-T
0 T0
（4.1.2）
X (nW)
x(t)
X (nW)e jnWt
n
X
(nW)
1 T
T /2 T / 2
4.2周期信号的频谱
2A ( n 1, 3, 5,) n 90o ( n 1,3,5,) n o ( n 1, 3, 5,) 90 Fn
信号与系统
周期矩形脉冲信号的频谱
对于周期矩形脉冲，在一个周期内为
A t t
4.2-5
f (t )
0
2 2
4A (n 1,3,5,...) nπ
矩形波：
图1
n 90o (n 1,3,5,...)
谱 线
相位值 振幅 图2 角频率
信号与系统
4.2
周期信号的频谱
4.2-3
4.2.1 周期信号频谱的特点
频谱特点：
•
离散性：每根谱线代表一个谐波分量， 称为离散谱线。 谐波性：基波1的整数倍频率 收敛性：高次谐波幅度渐小，当谐波次 数无限增多时，谐波分量的振幅趋于无 穷小。
4.2 周期信号的频谱
信号与系统
4.2-1
4.2.1 周期信号频谱的特点
将周期信号分解为傅里叶级数(简称傅氏级数)，为在频域 中认识信号特征提供了重要的手段。由于在时域内给出的 不同信号，不易简明地比较它们各自的特征，而当周期信 号分解为傅氏级数后，得到的是直流分量和无穷多正弦分 量的和，从而可在频域内方便地予以比较。为了直观地反 映周期信号中各频率分量的分布情形，可将其各频率分量 的振幅和相位随频率变化的关系用图形表示出来，这就是 信号的“频谱图”。频谱图包括振幅频谱和相位频谱。前 者表示谐波分量的振幅An随频率变化的关系；后者表示谐 波分量的相位φn 随频率变化的关系。习惯上常将振幅频谱 简称为频谱。
奇谐函数
偶谐函数
注：指交流分量
信号与系统
第四章周期信号频域分析
第四章周期信号频域分析信号分析是现代通信、电子、控制等领域中非常重要的一个方向。
在信号分析中，频域分析是一种非常常用和有效的手段。
本章将介绍周期信号的频域分析方法。
周期信号是指在时间轴上按照一定规律重复出现的信号。
周期信号可以表示为周期函数的形式，即y(t+T)=y(t)，其中T为信号的周期。
在频域分析中，我们希望能够将周期信号分解为一系列的频率组成的谐波分量，从而得到信号在不同频率上的能量分布情况。
常用的周期信号频域分析方法有傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析两种。
傅里叶级数分析是将一个周期信号表示为一系列谐波分量的和的形式。
假设一个周期信号f(t)的周期为T，可以将其分解为如下的傅里叶级数形式：f(t) = a0 + Σ(an * cos(n * ω0 * t) + bn * sin(n * ω0 * t))其中，a0表示信号的直流分量，an和bn分别表示信号在频率为n * ω0的正弦函数和余弦函数上的系数，n为谐波次数。
离散傅里叶变换分析是将一个有限长的离散时间信号表示为一系列复数形式的谐波分量的和，常用的离散傅里叶变换分析方法是快速傅里叶变换（FFT）。
假设一个有N个采样点的离散时间信号为x(n)，其离散傅里叶变换为X(k)，则有：X(k)=Σ(x(n)*e^(-j*2π*k*n/N))其中，k表示谐波次数，n为采样点的序号，N为采样点的总数。
傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析都可以用于分析周期信号的频域特性。
通过这些方法，我们可以得到周期信号在不同频率上的谐波分量的能量大小，从而了解信号的频谱特性。
在实际应用中，频域分析常用于信号处理、滤波、频率识别、通信系统设计等各个领域。
比如，在通信系统中，我们可以通过频域分析方法来实现信号的调制解调、滤波、信道均衡等操作。
在音频处理中，我们可以通过频域分析来进行音频变调、音频合成等操作。
总结起来，周期信号的频域分析可以帮助我们了解信号在不同频率上的分布情况，从而实现信号处理、频率识别等功能。
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Cn
A / T 0
2π
2π
0
0 2π / T0
n 0
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
1) 离散性 周期信号的频谱是由间隔为0 的谱线组成的。 信号周期T0越大，0就越小，则谱线越密。 反之，T0越小，0越大，谱线则越疏。 2) 谐波性 频谱中的谱线只出现在角频率是0 的整数倍上。
-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5
2
-0 .2 -2
-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5
2
三、周期信号的频谱及其特点
4) 信号的有效带宽 0~2 / 这段频率范围称为周 2π B 期矩形脉冲信号的有效频带宽度, 越大，其B越小；反之，越小，其B 越大。 信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 物理意义：若信号丢失有效带宽以外的谐波成分， 不会对信号产生明显影响。 说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须 “匹配”。
四、周期信号的功率谱
帕舍瓦尔(Parseval)功率守恒定理
1 P T0
T0 2 T 0 2
f (t )dt
2
n
C
2
n
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号 所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和 。 周期信号的功率频谱： |Cn|2 随n0 分布情况称 为周期信号的功率频谱，简称功率谱。
Cn
2
A
1 2 nπ Sa ( ) 25 5
Fn
1 25
8
2
T
2
2
T
t
Cn 0.2Sa(nπ / 5)
40 π
40 π
n 0
分析问题使用的数学工具为傅里叶级数 最重要概念：频谱函数 要点
1. 频谱的定义、物理意义 2. 频谱的特点 3. 频谱的性质，应用性质分析复杂信号的频谱 4. 功率谱的概念及在工程中的应用
例3
f (t ) 2e j20t 3e j0t 4 3e j0t 2e j20t
求f (t)的功率。
1 T /2 2 2 解： 1) P T /2 f (t )dt n Cn T
C0 4
C1 3 C2 2
P 22 32 42 32 22 42
W
l 0
N 1
kl N
0 N
N N [k ]
~
一、DFS的定义
DFS的物理含义
1)周期为N的任意序列可分解为基本序列 e
X ( e j ) 2)任意序列在
2π ; m m N
j 2 πkm N
的和
0,1 N 1 的抽样值,
~ 可通过对 xN [k ] 做DFS获得
2 n=—4
F02
2 | Fn | 2 0.1806
n=1
4
P 0.1806 1 90% P 0.200
例4 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2/)内
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
f (t )
周期信号的功率谱
第四章 周期信号的频域分析
连续周期信号的Fourier级数 连续Fourier级数基本性质 连续周期信号的频谱分析 离散周期信号的频域分析
离散Fourier级数（DFS）
DFS的定义 常用离散周期序列的频谱分析 周期单位脉冲序列d N[k] 正弦型序列 周期矩形波序列 DFS的性质
一、DFS的定义
2)
f (t ) 4 6 cos 0 t 4 cos 20 t
1 2 1 2 P 4 6 4 42 2 2
2
例4 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /)内
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
二、常用离散周期序列的频谱分析
1. 周期单位脉冲序列N[k]
N 1 ~ mk X [m] DFS N [k ]} N [k ]WN { k 0
~ 1 RN [m]
二、常用离散周期序列的频谱分析
2. 正弦型序列
周期序列 f[k] = cos(k/6) 的频谱 1 j2πk / 12 1 j2πk / 12 1 k 6W12 6W12 k f [k ] e e 12 2 2 6 m 1 6 m 1,11 F[m] F [ m] 0 5 m 6, m 1 0 2 m 10, m 0
e
j2w0t
0.5e
j 460 j2w0t
e
j1250
e
j3w0t
2e
j1250 j3w0t
e
0.9e
j 750
e
j4w0t
0.9e
j 750 j4w0t
e
n
1250 750 460 280
40 30 20 0 0 0 30 20 40
吉伯斯（Gibbs）现象
用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且 为跳变值的9% 。
吉伯斯现象产生原因
时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得 在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。
吉伯斯（Gibbs）现象
1 .2 1 .2 1 1
0 .8
0 .8
N=5
0 .6
0 .6
0 .4
0 .4
N=15
0 .2
0 .2
0
0
-0 .2 -2
1 .2
-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5
2
-0 .2 -2
1 .2
-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5
2
1
1
0 .8
0 .8
N=50
0 .6
0 .6
N=500
0 .4
0 .4
0 .2
0 .2
0
0
-0 .2 -2
由欧拉公式可得，
f (t ) 2.5 (e 2(e 2(e 2.5 (e
j( t 280 )
e e
j( t 280 )
) 0.5(e ) 0.5(e ) 0.9(e
j(2 t 460 )
e e
j(2 t 460 )
) ) )
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
3) 幅度衰减特性
当周期信号的幅度频谱随着谐波n0增大时，幅度 频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。 幅度频谱衰减速度与信号的特性（连续性）有关 f(t)不连续时， Cn按1/n的速度衰减 f’(t)不连续时， Cn按1/n2的速度衰减 f (k-1)(t)不连续时， Cn按1/nk+1的速度衰减
j 750
e
j4w0t
0.9e
j 750 j4w0t
e
2.5
|Cn|
2
0.9 0.5
1
1 0.5 0 20
0.9
40 3 0 20 0
0
30 40
f(t)的幅度频谱
2.5 e 2e
j 280
e
jw0t
e
j 280 jw0t
e
0.5e
j 460
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
f (t )
A
T
2
平均功率为
4
1 T /2 2 P T / 2 f (t )dt 0.2 T 包含在有效带宽(0 ~ 2 /)内的各谐波平均功率为 P | Fn | 1
f (t )
A
T
2
2
T
t
解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为 n0 A Cn Sa( ) T 2 将A=1，T=1/4， = 1/20，0= 2/T = 8 代入上式
Cn 0.2Sa(n0 / 40) 0.2Sa(nπ / 5)
例4 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2/)内
j(3 t 550 )
e
j(3 t 550 )
) 0.9(e
j(4 t 750 )
e
j(4 t 750 )
)
j( t 280 )
j( t 280 )
j(2 t 460 ) j(4 t 750 )
j(2 t 460 ) j(4 t 750 )
第四章 周期信号的频域分析
连续周期信号的Fourier级数 连续Fourier级数基本性质 连续周期信号的频谱分析 离散周期信号的频域分析
三、周期信号的频谱及其特点
1. 频谱的概念
周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
fT (t )
n=
Cn e jn0t
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 Cn是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波 的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
三、周期信号的频谱及其特点
2. 频谱的表示
由于 Cn复数，可以用其模和相角表示为：
Cn Cn e
幅度频谱
jn
相位频谱
n ( , ]
幅度频谱-- |Cn |随w=nw0变化的图形 相位频谱-- φn 随w=nw0变化的图形