非线性经典著作分形与混沌共80页文档
上帝的指纹——分形与混沌
上帝的指纹——分形与混沌来源：王东明科学网博客云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。
——分形几何学之父Benoit Mandelbrot话说在一个世纪以前，数学领域相继出现了一些数学鬼怪，其整体或局部特征难以用传统的欧式几何语言加以表述。
著名的数学鬼怪包括处处不稠密而完备的Cantor集，每段长度都无限而围成有限面积的Koch曲线，面积为零而周长无限的Sierpinski三角形。
Koch 曲线Sierpinski 三角形这些数学鬼怪曾缠绕数学家多年，直到20世纪后半叶，才被美籍法国数学家Benoit Mandelbrot创立的分形几何学彻底制服。
分形几何学是新兴的科学分支混沌理论的数学基础。
1967年Mandelbrot在美国《科学》杂志上发表了题为“英国的海岸线到底有多长”的划时代论文，该文标志着分形萌芽的出现。
在这篇文章中Mandelbrot证明了在一定意义上任何海岸线都是无限长的，因为海湾和半岛会显露出越来越小的子海湾和子半岛，他将这种部分与整体的某种相似称为自相似性，它是一种特殊的跨越不同尺度的对称性，意味着图案之中递归地套着图案。
事实上，具有自相似性的现象广泛存在于自然界中，这些现象包括连绵起伏的山川，自由漂浮的云彩，江河入海形成的三角洲以及花菜、树冠、大脑皮层等等。
Mandelbrot将具有自相似性的现象抽象为分形，从而建立了有关斑痕、麻点、破碎、缠绕、扭曲的几何学。
这种几何学的维数可以不是整数，譬如Koch曲线的维数约为1.26，而Sierpinski三角形的维数则接近1.585。
分形植物（在生成分枝形状和叶片图案时遵循简单的递归法则）分形闪电（经历的路径是逐步形成的）Mandelbrot研究了一个简单的非线性迭代公式xn 1=xn2 c，式中xn 1和xn都是复变量，而c是复参数。
Mandelbrot发现，对某些参数值c，迭代会在复平面上的某几点之间循环反复；而对另一些参数值c，迭代结果却毫无规则可言。
非线性动力学混沌和分形
非线性动力学混沌和分形非线性动力学是研究非线性系统行为的学科，其中混沌和分形是两个重要的概念。
本文将从混沌和分形的定义、产生原因以及在自然界和科学领域的应用等方面，探讨非线性动力学中的混沌和分形现象。
一、混沌的定义和产生原因混沌是指在非线性系统中表现出的随机、不可预测的行为。
它与线性系统中稳定、可预测的行为形成对比。
混沌的产生是由于非线性系统的敏感依赖性和非周期性。
非线性系统中存在着参数的微小变化对系统行为的剧烈改变的敏感依赖性。
也就是说，微小的输入扰动会在系统中产生指数级的放大效应，导致系统行为出现不可预测的、随机的演化轨迹。
非周期性是混沌的另一个重要特征。
与周期行为不同，混沌系统的演化轨迹不会重复，而是具有无限多的轨迹。
这种非周期性导致了混沌系统的随机性和不可预测性。
二、分形的定义和产生原因分形是指具有自相似性质的几何结构。
这种自相似性是指无论在何种尺度上观察，都能看到相似的图形形态。
分形在数学上可以通过重复迭代、自身放缩等方式来构造。
分形的产生原因与非线性动力学中的迭代过程密切相关。
在迭代过程中，每一次迭代都会根据某种规则对前一次结果进行变换或修改。
这种迭代的特性导致了分形的自相似性质。
三、混沌和分形在自然界中的应用混沌和分形不仅存在于数学和物理领域，也广泛存在于自然界中的各种系统中。
1. 混沌天气模型气象系统是典型的非线性系统，其中存在着许多复杂的变量相互作用。
应用混沌理论来模拟天气系统，可以更好地理解和预测天气变化。
例如，洛伦茨模型是一个典型的混沌系统，通过该模型可以模拟大气环流的混沌行为。
2. 分形地貌自然界中的许多地貌形状具有分形的特征。
例如，河流的分岔结构、山脉的起伏形态都展现了自相似的分形结构。
分形地貌的研究有助于了解地壳运动和地表形态的演化机制。
3. 植物生长模型植物生长是一个既复杂又多变的过程，涉及到生理、环境和遗传等多个因素的交互作用。
应用非线性动力学的方法，可以通过建立植物生长模型，研究植物生长的混沌行为以及其对环境的响应。
分形与混沌
分形与混沌我今天和大家分享的话题是，分形与混沌。
我在大概一、两个月前，突然发现和石总同时都对这个话题感兴趣，后来石总说，做一个沙龙吧。
其实我挺诚惶诚恐的，因为这个话题太深了，我并不是那么专业，和用哲学忽悠大家不一样啊！但我还是认真准备了一下，来和大家分享，因为我觉得内容真的太有意思了，对我们认识世界，认识市场都有帮助。
我希望以后我们群友聊到相关的话题能有更多默契，相互启发，相互推动。
这也是石总所希望的。
言归正传，我现在开始今天的主题分享。
说到今天分享的主题，跳入脑海的两个词组就是混沌物理和分形几何，接着有朋友很谨慎的问，是否有必要浪费流量和时间来看，以及让我评估一下能听懂的可能性。
我想这也是群主让我，而不是他自己，来做这个主题分享的初衷，如果我都能看懂和说明白，那大家都是毫无压力的。
[呲牙]我们生活的这个世界简单而复杂，我们面对的市场似乎总有什么规律在眼前闪现，而当你伸出手时，却无法抓个确切。
我们在经验中学习，在逻辑中预测，当我们回头看时，一切都那么清晰井然，而当我们向前看时，未来仿佛陷入迷雾。
从中找到方法，绝对的方法论，从这个市场中追寻至高的道，这可能么？这不可能么？我们可以一起来看一看，透过混沌与分形的世界，我们是否能看到一个Whole New World。
一、分形——从分形龙开始看似深奥的理论通常有着非常简单的起点。
如何构造一条分形龙，有下面几个简单的不行的步骤：1、拿出一根纸条；2、将它对折后展开，这是一根纸条变成了两个部分；3、每一部分还按照前面的方法对折，这时，它变成了四折；4、将每一折还是按第2条的方法对折后打开，你能想象这个图么？如果不能，请看图：你看，简单吧，让我们把这个对折的次数重复无限次，分型龙就现身了！最右下角一副即是。
你看，多么简单的方法，我们得到了一条龙。
这个方法是什么呢，不断的重复同一个简单的步骤。
这个时候大家就会问了，分型龙有什么特别之处呢，他的特别之处在于，你有没有发现，他的每一个部分都和整体呈现出一种相似性，好像他在模仿自己一样。
非线性、混沌与分形
3 (1) ＝0 到 ＝ 4
每个参量对应一个 值， 为不动点或周期1的范围
3 5 ( 2) 4 4 3 ＝ 处发生第一次分岔 4
数据在上、下两点之间来回跳动 抛物线映射的分岔图
(3)1.25 1.3681
在=1.25 处发生第二次 倍周期分岔 诞生稳定的周期4轨道 周期4轨道的稳定范围 比周期2窄，只到1.3681
xn1 1 x
2 n
(0,2), xn [1,1]
xn1 f ( xn )
x f (x )
* *
不动点(周期为1的点)： 周期为3的点：
f ( x) 2x 1.5x 0.5
3
x 0, 0.5, 1
周期为7的点附近会出现一个周期为1000008356的点。
• 简单的系统可以表现出复杂行为； • 复杂的系统可以表现出简单行为； • 复杂性的规律又呈现出某种普适性----它与构成系 统的部件细节完全无关。
• 作业 思考题：7-2
抛物线映射的分岔图
(4) 1.4011551890 9205
根本没有周期， 达到了混沌态！ 从 0 到 ＝ 倍周期分岔序列， 其周期为 1 2 4 8 16
2n
周期倍增
抛物线映射的分岔图
3.自相似结构
取出分岔图的一小部分加以 放大，它包含相同的结构。 从 =1.75 到 =1.8 的上、 中、下三支任取一支，适 当改变比例，都可以得到 同整个分岔相似的图形。
• 令人惊奇的结果：
来回摆动若干次以后，m 的行为变得“随机”起来，再也 无法预测它的位置、速度及回归时间。
• 1961年，气象学家 Lorentz 通过研究预报气候， 提出“蝴蝶效应”；
非线性动力学中的混沌与分形现象研究
非线性动力学中的混沌与分形现象研究第一章概述随着科学技术的发展，人们对自然现象的认知逐渐深入。
非线性动力学，作为一种研究具有高度机质性和复杂性的非线性系统的学科，日益引起人们的关注。
其中，混沌和分形现象被认为是非线性动力学中最具有代表性的现象。
本文将对非线性动力学中的混沌与分形现象进行分析与研究。
第二章非线性动力学与混沌现象2.1 非线性动力学的概念在物理、力学、化学、生物学等领域中，非线性动力学是研究高度复杂的非线性系统的学科。
非线性动力学中的系统包括两个或更多的元素，这些元素和它们之间的关系通常不能用简单的线性方程来描述。
2.2 混沌现象的概念混沌是非线性动力学中的一个重要现象，是指在长期演化过程中，系统的行为表现出极为敏感的依赖性，即初始条件的微小变化可能引起系统最终状态的显著差异。
混沌现象一般表现为不规则的动态行为，看似毫无规律可循，但实际上却具有规律性和确定性。
2.3 混沌现象的特征混沌现象通常表现为以下几个方面的特征：（1）敏感依赖性：微小的初始条件变化会导致系统最终演化出截然不同的结果。
（2）确定性：尽管混沌现象本身表现为随机不规律的行为，但它的演化过程是可确定的。
（3）分数维度：混沌现象的空间分布具有非整数的分数维度。
（4）拓扑混沌：混沌现象对拓扑空间的延拓和逼近具有深刻的影响。
第三章非线性动力学与分形现象3.1 分形的概念分形是指对于一个非整数维的几何形态，它的局部部分看起来类似于整体。
分形具有自相似性、无限性、分数维数等特征。
3.2 分形现象的出现非线性动力学中的分形现象通常是混沌过程中的一个重要特征，它是同时具有几何结构、动力学过程和统计特性的非线性系统所呈现出来的自组织现象，在脑电图、地震、金融市场等领域都有广泛的应用。
3.3 分形特征的应用分形特征的研究在许多领域中都具有重要的应用价值，如：（1）图像处理和计算机视觉（2）信号处理和音频处理（3）金融市场预测（4）地震监测和灾害预测（5）人脑和生物系统的研究等。
给中学生的纯科普——分形与混沌
给中学生的纯科普——分形与混沌下面我们开始分别介绍分形与混沌。
分形是具有以非整数维形式充填空间的形态特征，通常被定义为一个粗糙或零碎的，Mandelbrot于1973年首次提出了分维和分形的思想。
分形是一个数学术语，也是一套以分形特征为研究主题的数学理论。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科，是研究一类现象特征的新的数学分科，相对于其几何形态，它与微分方程与动力系统理论的联系更为显著。
分形的自相似特征可以是统计自相似，构成分形也不限于几何形式，时间过程也可以，故而与随机过程中的鞅论关系密切。
上图可以看到西兰花一小簇是整个花簇的一个分支，而在不同尺度下它们具有自相似的外形。
故较小的分支通过放大适当的比例后可以得到一个与整体几乎完全一致的花簇，因此可以说西兰花簇是一个分形的实例。
分形一般有以下特质：在任意小的尺度上都能有精细的结构；太不规则以至难以用传统欧氏几何的语言描述；自相似Hausdorff维数会大于拓扑维数；且有著简单的递归定义。
（1）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（2）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（3）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（4）一般，分形集的分形维数严格大于它相应的拓扑维数。
（5）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
Koch曲线是一种外形像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线，它是分形曲线中的一种，其Hausdorff维数是ln4/ln3，具体画法如下: （1）任意画一个正三角形，并把每一边三等分；（2）取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；（3）重复上述两步，画出更小的三角形。
（4）一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做Koch曲线。
混沌（chaos）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。
非线性微分方程的分岔和混沌现象
非线性微分方程的分岔和混沌现象非线性微分方程是自然科学中经典的研究对象之一。
在广泛的自然现象和实验研究时，非线性微分方程都是用来描述这些现象的数学工具。
但是，非线性微分方程的动力学特性非常复杂，包括分岔、混沌等现象。
这些现象对于科学家而言是非常重要而且有很多有趣的数学理论成果与实际应用。
在本文中，我们将探讨非线性微分方程的分岔和混沌现象的一些基本概念与数学理论。
一、非线性微分方程的分岔现象分岔现象是指一个系统中的某些参数发生变化时，该系统的稳定性质发生变化。
特别是当这些参数逐渐变化到一定的“临界点”时，系统的稳定性质突然发生改变，这种现象叫做分岔。
通常，这个临界点称为临界参数值。
分岔现象是非线性微分方程的一个根本动力学现象，在自然科学中有着广泛的应用。
1. 常见的分岔类型非线性微分方程的分岔有许多类型，其中比较常见的有：鞍点分岔、极小极大分岔、超过阈值分岔、分支分岔等。
鞍点分岔是指由一个稳定的状态发生分裂从而出现两个不同状态的现象。
这种分岔是由一个简单稳定节点与一个鞍点相遇时产生的。
极小极大分岔是指当参数发生微小的变化时，极小值点和极大值点突然出现的现象。
超过阈值分岔是指当参数超过某些阈值时，系统从一个极限环突变到一个新的解的现象。
分支分岔是指在参数空间中出现分支条件，这通常在响应系统行为的外部变量出现周期性变化时会发生。
2. 分岔的重要性分岔现象对于非线性微分方程而言是非常重要的，因为它可以揭示系统的稳定性和动力学性质。
而且，正是由于分岔现象才使得非线性微分方程在自然科学领域中有着广泛的应用。
例如，在物理领域中，分岔现象可以帮助我们研究光学、空气动力学、气象学等领域中的不同系统。
在生物学领域中，分岔现象可以帮助我们研究細胞過程中的周期性行为、神经行为、化學反應等。
在经济学领域中，分岔现象可以帮助我们理解市場泡沫、动态平衡等问题。
二、非线性微分方程的混沌现象混沌现象是指某些动力学系统（如非线性微分方程）的随时间演化的状态具有无限的、不可预测的细节。
分形与混沌
可能有人感到，只有欧几里得几何的正 规形状才能应用在科学中，然而上述新的形 式却从不同的透视角度向我们提供了认识自 然的观点。分形是一个新的数学领域--有时 也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而 混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树 枝、生姜根、海岸线等自然现象，而且在天 文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛 应用。
曼德勃罗集是人类有史以来做出的最奇异,最瑰 丽的几何图形.这个点集均出自公式:Zn+1=Z2n+C,这 是一个迭代公式,式中的变量都是复数.这是一个大 千世界,从他出发可以产生无穷无尽美丽图案,他是 曼德勃罗教授在二十世纪七十年代发现的.
你看上图中,有的地方象日冕,有的地方象 燃烧的火焰,只要你计算的点足够多,不管你 把图案放大多少倍,都能显示出更加复杂的 局部.这些局部既与整体不同,又有某种相似 的地方,好像着梦幻般的图案具有无穷无尽 的细节和自相似性.曼德勃罗教授称此为"魔 鬼的聚合物".为此,曼德勃罗在1988年获得 了"科学为艺术大奖".请看如下的图形产生过 程,其中后一个图均是前一个图的某一局部 放大:
上图中的风景图片又是说明分形的另一很 好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生 成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独 特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物 的模型。
除了自相似性以外，分行具有的另一 个普遍特征是具有无限的细致性。上面的 动画所演示的是对Mandelbrot集的放大， 只要选对位置进行放大，就会发现：无论 放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会 减少。但是，注意观察上图，我们会发现： 每次放大的图形却并不和原来的图形完全 相似。这告诉我们：其实，分形并不要求 具有完全的自相似特性。
不管你信不信，上面的这张月球表面的照片 也是用分形技术生成的。如果你把图片放大观看， 也可以看到更加细致的东西。因为，分形能够保 持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么 放大，最终，还是可以看见清晰的细节。