新课标高考数学总复习课时训练10.5古典概型(2)(含答案详析)

第十章 算法、统计与概率第5课时 古典概型(2)
1. 某小组有三名女生两名男生，现从这个小组中任意选出一名当组长，则其中一名女
生小丽当选为组长的概率是________．
答案：15
解析：共有事件5个，小丽当选为组长的事件有1个，即概率P ＝15
. 2. 从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是________．
答案：23
解析：基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共有3个，甲被选中的事件有(甲，
乙)，(甲，丙)，共2个，故P ＝23
. 3. 已知一个袋中装有5个大小相同的黑球和红球，从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25
，则从中任意摸出2个球，得到都是黑球的概率为________. 答案：110
解析：袋中装有黑球2个，从袋中5个球任意摸出2个球，共有10种，两次取出的球
都是黑球的事件有1种，故P ＝110
. 4. 设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为________．
答案：23
解析：由方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝a 2－8>0，故a ＝3，4，5，
6.根据古典概型的概率计算公式有P ＝46＝23
. 5. (2013·大港中学调研)若从集合{－1，1，2，3}中随机取出一个数m ，放回后再随机取
出一个数n ，则使方程x 2m 2＋y 2
n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率为________． 答案：516
解析：由于m 有4种取法，且对m 的每一种取法，n 都有4种取法，所以基本事件总
数为4×4＝16，其中使方程x 2m 2＋y 2
n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的(m ，n)有(3，2)，(3，1)，(3，－1)，(2，1)，(2，－1)共5种，故所求的概率为516
. 6. 甲盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1、2的2张卡片．若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．
答案：12
解析：数字之和为奇数的有(1，2)，(2，1)，(3，2)，(4，1)，共4种情形，而从两个盒
子中各抽取一张卡片共有8种情况，所以所求概率为12.
7. 在集合{x|x ＝n π6
，n ＝1，2，3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cosx ＝12
的概率是________. 答案：15
解析：集合{x|x ＝n π6
，n ＝1，2，3，…，10}中共有10个元素，而当n ＝2和n ＝10时，cosx ＝12，故满足条件cosx ＝12的基本事件个数为2，故所取元素恰好满足方程cosx ＝12
的概率P ＝210＝15
. 8. (2013·银川质检)将一枚骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n ，则函数y ＝23
mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是________．
答案：56
解析：由题可知，函数y ＝23
mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y′＝2mx 2－n ≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m ≥n ，则不满足条件的(m ，n)有(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，
6)，(2，5)，(2，6)共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y ＝23
mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为3036＝56
. 9. (2013·江西)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X.若X>0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．
(1) 写出数量积X 的所有可能取值；
(2) 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
解：(1) x 的所有可能取值为－2，－1，0，1.
(2) 数量积为－2的只有OA 2·OA 5一种；数量积为－1的有OA 1·OA 5，OA 1·OA 6，OA 2·OA 4，OA 2·OA 6，OA 3·OA 4，OA 3·OA 5六种；数量积为0的有OA 1·OA 3，OA 1·OA 4，OA 3·OA 6，OA 4·OA 6四种；数量积为1的有OA 1·OA 2，OA 2·OA 3，OA 4·OA 5，OA 5·OA 6四种；故所有可能的情况共有15种．
所以小波去下棋的概率为P 1＝715；因为去唱歌的概率为P 2＝415
，所以小波不去唱歌的概率P ＝1－P 2＝1－415＝1115
. 10. 将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1，2，3，4)同时抛掷1次，规定 “正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ”．设复数为z ＝a ＋bi.
(1) 若集合A ＝{z|z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；
(2) 求事件“复数在复平面内对应的点(a ，b)满足a 2＋(b －6)2≤9”的概率．
解：(1) A ＝{6i ，7i ，8i ，9i}．
(2) 满足条件的基本事件空间中基本事件的个数为24.
设满足“复数在复平面内对应的点(a ，b)满足a 2＋(b －6)2≤9”的事件为B.
当a ＝0时，b ＝6，7，8，9满足a 2＋(b －6)2≤9；
当a ＝1时，b ＝6，7，8满足a 2＋(b －6)2≤9；
当a ＝2时，b ＝6，7，8满足a 2＋(b －6)2≤9；
当a ＝3时，b ＝6满足a 2＋(b －6)2≤9.
即B ：{(0，6)，(0，7)，(0，8)，(0，9)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，6)，(2，7)，(2，
8)，(3，6)}，共计11个，所以P(B)＝1124
. 11. 甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1) 设(i ，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；
(2) 若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？
(3) 甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．
解：(1) 甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示)为(2，3)、(2，4)、(2，4′)、(3，
2)、(3，4)、(3，4′)、(4，2)、(4，3)、(4，4′)、(4′，2)、(4′，3)、(4′，4)，共12种不同情况．
(2) 甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′.因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为23
. (3) 由甲抽到的牌比乙大的有(3，2)、(4，2)、(4，3)(4′，2)、(4′，3)共5种，即甲胜的
概率P 1＝512，乙获胜的概率P 2＝712.又512<712
，则此游戏不公平．。