2019高考数学(理科)小题专项限时训练8套(含答案)

二、小题专项，限时突破

限时标准练(一)

(时间：40分钟 满分：80分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．设集合M ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝4n ，n ∈Z }，则( )

A ．M

P

B ．P M

C ．N ∩P ≠?

D ．M ∩N ≠?

[解析] M 为偶数集，N 为奇数集，因此P M .

[答案] B

2．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.2

2 C. 2 D ．2

[解析] z ＝2i

1＋i ＝2i (1－i )

(1＋i )(1－i )

＝2i ＋2

2＝i ＋1，则|z |＝

12＋12＝

2.

[答案] C

3．在等比数列{a n }中，a 3－3a 2＝2，且5a 4为12a 3和2a 5的等差中项，则{a n }的公比等于( )

A ．3

B ．2或3

C ．2

D ．6 [解析]

由题意可得?

??

a 1q 2－3a 1q ＝2，

2(5a 1q 3)＝12a 1q 2＋2a 1q 4

，解得a 1＝－1，

q ＝2.∴{a n }的公比等于2.

[答案] C

4．已知x ，y 满足约束条件????

?

x －2y ＋5≤0，x ＋3≥0，

y ≤2，则z ＝x ＋2y 的最

大值是( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

[解析] 已知约束条件可行域如图，z ＝x ＋2y 经过B (－1,2)时有最大值，∴z max ＝－1＋2×2＝3.

[答案] D

5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，上顶点为B ，若直线y ＝c

b x 与FB 平行，则椭圆C 的离心率为( )

A.12

B.22

C.32

D.63

[解析] 由题意，得b c ＝c b ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝2

2. [答案] B

6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )

A ．12种

B ．18种

C ．24种 D

．36种

[解析] 只能是一个人完成2项工作，剩下2人各完成一项工

作．由此把4项工作分成3份再全排得C 2

4·A 33＝36种．

[答案] D

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A ．30＋4π

B ．30＋3π

C ．30＋9π

4

D ．30＋2π

[解析] 由三视图，知该几何体是一长方体与圆柱的组合体，∴表面积S ＝(3×3＋3×1＋3×1)×2＋2π×1

2×2＝30＋2π.

[答案] D

8．定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (x ＋1)＝f (x －1)，且当－1

A.14 B ．－14 C ．－15 D.15 [解析] ∵f (x ＋1)＝f (x －1)，

∴函数f (x )为周期为2的周期函数， 又∵log 232>log 220>log 216， ∴4

∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ? ?

???log 254

＝－f ? ?

?

??－log 254，

又∵x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x －1， ∴f ? ????－log 254＝－15，故f (log 220)＝15. [答案] D

9．下面程序框图是为了求出满足3n －2n >1000的最小偶数n ，那么在

和

两个空白框中，可以分别填入( )

A ．A >1000？和n ＝n ＋1

B ．A >1000？和n ＝n ＋2

C ．A ≤1000？和n ＝n ＋1

D ．A ≤1000？和n ＝n ＋2

[解析] 由题意选择3n －2n >1000，则判定框内填A ≤1000？，因为n 为偶数，且n 初始值为0，“”中n 依次加2可保证其为

偶数，所以“矩形框内”应填n ＝n ＋2.

[答案] D

10．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间? ??

??0，2π3上单调递增，且f ? ????2π3>f ? ??

??

5π6，则ω的一个可能值是( ) A.12 B.35 C.34 D.32

[解析] 由函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间? ??

??0，2π3上单调递增，得2π

3

≤π2ω?ω≤34.由f ? ????2π3>f ? ??

??5π6，得5π6>π2ω，ω>35，所以35<ω≤3

4.

[答案] C

11．已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2

c 的最小值为( )

A.92

B.9

4 C ．1 D ．9

[解析] 动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，∴a ＋bm ＋c －2＝0.又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，∴

(4－1)2

＋m 2

＝3，解得m ＝0.∴a ＋c ＝2.则12a ＋2c ＝1

2(a ＋c )? ??

??12a ＋2c ＝12

? ????52＋c 2a ＋2a c ≥12? ????5

2＋2c 2a ·2a c ＝9

4

，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．

∴12a ＋2c 的最小值为94. [答案] B

12．已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －2)2恒成立，则k 的最大值为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

[解析] 先画f (x )＝x ＋x ln x 的简图，设y ＝k (x －2)与f (x )＝x ＋x ln x 相切于M (m ，f (m ))(m >2)，所以f ′(m )＝f (m )

m －2，即2＋ln m ＝m ＋m ln m m －2

，

化为m －4－2ln m ＝0，设g (m )＝m －4－2ln m .

因为g (e 2)＝e 2－8<0，g (e 3)＝e 3－10>0，

所以e 2

[答案] B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)

13．若(1＋x 2

)?

?

???x ＋a x 6展开式中x 4的系数是72，则实数a 为________(用数字填写答案)．

[解析] 依题设，展开式中x 4

的系数，即为? ?

?

??x ＋a x 6展开式中含x 4与含x 2的系数和．

因此C 16a ＋C 26a 2

＝72，

则(a －2)(5a ＋12)＝0，

解之得a ＝2或a ＝－12

5. [答案] 2或－12

5

14．已知点A (m,0)，点P 是双曲线C ：x 24－y 2

＝1右支上任意一点，若|P A |的最小值为3，则m ＝________.

[解析] 设P (x ，y )(x ≥2)，则|P A |2

＝(x －m )2

＋y 2

＝54? ??

??x －45m 2＋15m

2

－1，当m >0时，x ＝4

5m ，|P A |的最小值为 15m 2

－1＝3，∴m ＝55；

当m <0时，2－m ＝3，∴m ＝－1.

[答案] －1或5 5

15．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9,10,11,1

，那么这组数据的方差s 2可能的最大值是________．

[解析] 设这组数据的最后2个分别是：10＋x ，y ， 则9＋10＋11＋(10＋x )＋y ＝50，得x ＋y ＝10，故y ＝10－x . 将s 2＝15[1＋0＋1＋x 2＋(－x )2]＝25＋2

5x 2， 显然x 最大取9时，s 2最大是32.8. [答案] 32.8

16．已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形．若P A ＝26，则△OAB 的面积为________．

[解析] 如图，由题意可知△P AC ，△PBC ，△PDC 均为直角三角形，

取PC 的中点O ，则O 到P ，A ，B ，C ，D 的距离相等，所以点O 为过P ，A ，B ，C ，D 的球的球心，由已知可得OA ＝OB ＝23，

所以△AOB 是正三角形，

所以S ＝12×23×23×3

2＝3 3. [答案] 3 3

限时标准练(二)

(时间：40分钟 满分：80分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )

A ．{1，－3}

B ．{1,0}

C ．{1,3}

D ．{1,5}

[解析] 1是方程x 2－4x ＋m ＝0的解，x ＝1代入方程得m ＝3，∴x 2－4x ＋3＝0的解为x ＝1或x ＝3，∴B ＝{1,3}．

[答案] C

2．设i 是虚数单位，复数a ＋i 1＋i 为纯虚数，则实数a 的值为( )

A ．－1

B ．1

C ．－2

D ．2

[解析] 由题意得，a ＋i 1＋i ＝(a ＋i )(1－i )

(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i 2＝a ＋1

2＋1－a 2i ，因为复数a ＋i

1＋i 为纯虚数，所以?????

a ＋1

2＝0，1－a

2≠0，

解得a ＝－1.

[答案] A

3．设命题p ：?x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1

x 0

>3；命题q ：?x ∈(2，＋

∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的是( )

A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧q D．(綈p)∨q

[解析]命题p：?x0∈(0，＋∞)，x0＋1

x0>3是真命题，例如取x0＝4，命题q：?x∈(2，＋∞)，x2>2x是假命题(取x＝4时，x2＝2x)，綈q为真命题．

因此p∧(綈q)为真命题．

[答案] A

4．在某项检测中，测量结果服从正态分布N(2,1)，若P(X<1)＝P(X>1＋λ)，则λ＝()

A．0 B．2 C．3 D．5

[解析]依题意，正态曲线关于x＝2对称，又P(X<1)＝P(X>1＋λ)，因此1＋λ＝3，∴λ＝2.

[答案] B

5．函数y＝x2sin x＋2x cos x在区间[－π，π]上的图象大致为()

[解析] y ＝x 2sin x ＋2x cos x 在x ∈[－π，π]上是奇函数，图象关于原点对称，排除D.

又y ′＝(x 2＋2)cos x ，

当x ∈[0，π]时，令y ′＝0，得x ＝π

2. 当x ∈?

?

?

??0，π2时，y ′>0；

当x ∈?

??

??

π2，π时，y ′<0，

因此函数在x ＝π

2时取得极大值，只有A 满足． [答案] A

6．设a ，b ∈{x ||x |＋|x ＋1|>1}，且ab ＝1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．2 2

[解析] 由|x |＋|x ＋1|>1，得x >0或x <－1，又ab ＝1，且a ，b ∈{x |x >0或x <－1}．

∴a ，b 大于0，且ab ＝1.

则a ＋2b ＝1b ＋2b ≥22，当且仅当b ＝2

2时取等号，故a ＋2b 的最小值为2 2.

[答案] D

7．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有P n P n ＋1→

＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )

A ．n ?

?

?

??n －43

B ．n ?

?

?

??n －34

C ．n ? ??

??43－n

D ．n ? ??

??34－n

[解析] 因为P n P n ＋1→＝OP n ＋1→－OP n →

＝(n ＋1，a n ＋1)－(n ，a n )＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，所以a n ＋1－a n ＝2.

所以{a n }是公差为2的等差数列． 由a 1＋2a 2＝3，得a 1＝－1

3， 所以S n ＝－n 3＋1

2n (n －1)×2＝n ? ????n －43. [答案] A

8.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，则过C ，M ，D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分的面积是( )

A.23

B.43

C.52

D.83

[解析] 由题意，建立如图所示的坐标系，则D (2,1)，设抛物线方程为y 2

＝2px ，代入D 点坐标，可得p ＝1

4.∴y ＝

x 2，∴S ＝2?

?0

2x

2

d x ＝2·2

3x

3

2 |20＝83

.

[答案]

D

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.9＋36π

B.6＋36π

C.3＋36π

D.12＋36π

[解析] 由三视图可得，直观图为圆锥的12与圆柱的3

4组合体，由图中数据可得几何体的体积为12·13·π·12

·3＋34π·12·

2＝9＋36π. [答案] A

10．已知单位圆有一条长为2的弦AB ，动点P 在圆内，则使得AP →·AB →≥2的概率为( )

A.π－24π

B.π－2π

C.3π－24π

D.2

π

[解析] 建立如图所示的直角坐标系，由题意，取A (1,0)，B (0,1)，

设P (x ，y )，则(x －1，y )·(－1,1)≥2，∴x －y ＋1≤0，

满足x －y ＋1≤0的点与圆围成的面积S ＝π4－1

2×1×1＝π－24. 又单位圆的面积S 圆＝π×12＝π， ∴所求的概率P ＝S

S 圆

＝π－2

4π.

[答案] A

11．函数f (x )＝2sinωx ＋2cosωx (ω>0)，若?x ∈R ，使f (x ＋4)＝f (x )＋4，则当ω取最小值时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)的值为( )

A ．4

B ．2

C ．0

D ．－2

2

[解析] f (x )＝2? ??

??22sin ωx ＋22cos ωx ＝ 2sin ? ?

???ωx ＋π4，f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2.

又?x ∈R ，使f (x ＋4)＝f (x )＋4， ∴?x 0∈R ，使f (x 0)＝－2，f (x 0＋4)＝2.

则x ＝x 0与x ＝x 0＋4是函数f (x )图象的两条对称轴． 若ω取最小值，则T ＝2(x 0＋4－x 0)＝8，

从而f (x )＝2sin ? ????π

4x ＋π4，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)＝0.

[答案] C

12．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x

2

n 2－y 2＝1(n >0)

的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )

A ．m >n 且e 1e 2>1

B ．m >n 且e 1e 2<1

C ．m 1

D ．m

[解析] 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m >0，n >0，故m >n .

又∵e 21·e 2

2＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n

2

＝1＋1n 4

＋2n

2

>1，

∴e 1·e 2>1. [答案] A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)

13．已知函数f (x )＝???

15－x

，x ≤0，

log 4x ，x >0，

则f [f (－3)]＝________.

[解析] 由题意知f (－3)＝1

5－(－3)

＝18，f [f (－3)]＝f ? ????18＝log 41

8＝

－3

2.

[答案] －3

2

14．当a ＝2，b ＝6时，执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________．

[解析] 依据程序框图，初始值a ＝2，b ＝6，S ＝0，T ＝12. 循环执行一次：S ＝12，a ＝3，b ＝5，T ＝15. 循环执行两次：S ＝15，a ＝4，b ＝4，T ＝16.

循环执行三次：S ＝16，a ＝5，b ＝3，T ＝15，此时满足S >T ，输出S ＝16.

[答案] 16

15．点M 是双曲线x 2－y

24＝1渐近线上一点，若以M 为圆心的

圆与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则圆M 的半径的最小值等于________．

[解析] 不妨设点M 是渐近线2x －y ＝0上一点． ∵圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，

∴圆心C (2,0)，半径R ＝1.

若圆M 的半径最小，则圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x －y ＝0垂直．

因此圆M 的半径的最小值r min ＝|MC |min －R . 由于|MC |min ＝

|4－0|

22＋(－1)2＝455，故r min ＝455－1.

[答案]

455－1

16．若函数f (x )的表达式为f (x )＝ax ＋b

cx ＋d (c ≠0)，则函数f (x )的图象

的对称中心为? ????

－d c ，a c .现已知函数f (x )＝2－2x 2x －1

，数列{a n }的通项公式为a n ＝f ?

??

??

n 2017(n ∈N *)，则此数列前2017项的和为________．

[解析] ∵函数f (x )＝ax ＋b cx ＋d (c ≠0)的图象的对称中心为? ????

－d c ，a c ，

∴函数f (x )＝2－2x 2x －1的对称中心为? ????

12，－1，即有f (x )＋f (1－x )＝－

2.

则数列前2017项的和为S 2017＝f ? ????12017＋f ? ????22017＋…＋f ? ????20162017＋f (1)，则S 2017＝f ? ????20162017＋f ? ????20152017＋…＋f ? ??

??

12017＋f (1)， 相加可得2S 2017＝??????f ? ????12017＋f ? ????20162017＋????

??

f ? ????22017＋f ? ????20152017＋…＋