2013高考数学(理科)小题限时训练7
2013届高考理科数学复习演练套题(含答案)
2013届高考理科数学复习演练套题(含答案)(时间：40分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．不等式|2x－1|＜3的解集为________．解析①当2x－1≥0，即x≥12时，不等式变为2x－1＜3，得x＜2，∴12≤x ＜2.②当2x－1＜0即x＜12时，不等式变为－(2x－1)＜3即x＞－1，∴－1＜x＜12，综上不等式解集为{x|－1＜x＜2}．答案(－1,2)2．已知x＞0，则函数y＝x(1－x2)的最大值为________．解析∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)•12.∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤122x2＋1－x2＋1－x233＝427.当且仅当2x2＝1－x2，即x＝33时取等号．∴y≤239.∴y的最大值为239.答案2393．(2011•江西卷)对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________．解析法一(零点分段法)由题意可知，x≤－10，－x－10＋x－2≥8或－10＜x＜2，x＋10＋x－2≥8或x≥2，x＋10－x＋2≥8，解得x≥0，故原不等式的解集为{x|x≥0}．法二(几何意义法)如图，在数轴上令点A、B的坐标分别为－10，2，在x轴上任取一点P，其坐标设为x，则|PA|＝|x＋10|，|PB|＝|x－2|，观察数轴可知，要使|PA|－|PB|≥8，则只需x≥0.故原不等式的解集为{x|x≥0}．答案{x|x≥0}4．(2011•陕西)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a 的取值范围是________．解析由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3.所以只需a≤3即可．答案(－∞，3]5．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析当a＜0时，显然成立；当a＞0时，∵|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，∴a＋4a≤4.∴a＝2..综上可知a的取值范围是(－∞，0)∪{2}．答案(－∞，0)∪{2}6．设x，y，z∈R，若x2＋y2＋z2＝4，则x－2y＋2z的最小值为________时，(x，y，z)＝________.解析∵(x－2y＋2z)2≤(x2＋y2＋z2)12＋(－2)2＋22]＝4×9＝36，∴x－2y ＋2z最小值为－6，此时x1＝y－2＝z2.又∵x2＋y2＋z2＝4，∴x＝－23，y＝43，z＝－43.答案－6－23，43，－437．若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．解析∵a≥xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3对任意x＞0恒成立，设u＝x＋1x＋3，∴只需a≥1u恒成立即可．∵x＞0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．由u≥5，知0＜1u≤15，∴a≥15.答案15，＋∞8．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h：命题乙：|a－1|＜h 且|b－1|＜h，则甲是乙的________条件．解析|a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．答案必要不充分二、解答题(共20分)9．(10分)已知关于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a＞0)．(1)当a＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥2.由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离之和大于等于2.∴x≥52或x≤12.∴不等式的解集为xx≤12或x≥52.注也可用零点分段法求解．(2)∵|ax－2|＋|ax－a|≥|a－2|，∴原不等式的解集为R等价于|a－2|≥2，∴a≥4或a≤0，又a＞0，∴a≥4.10．(10分)对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－2b|≥|a|(|x －1|＋|x－2|)恒成立，试求实数x的取值范围．解原不等式等价于|a＋b|＋|a－2b||a|≥|x－1|＋|x－2|，设ba＝t，则原不等式变为|t＋1|＋|2t－1|≥|x－1|＋|x－2|对任意t恒成立．因为|t＋1|＋|2t－1|＝3t，t≥12，－t＋2，－1＜t＜12，－3t，t≤－1，在t＝12时取到最小值为32.所以有32≥|x－1|＋|x－2|＝2x－3，x≥2，1，1＜x＜2，3－2x，x≤1，解得x∈34，94.。
2013年高考数学(全国卷)理科及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ + +…+（B ）1++ +…+（C ）1+ + +…+（D ）1++ +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是x ≥1, x+y ≤3, y ≥a(x-3). {（A）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年高考数学理知识与能力测试题
OF
即有
DF
EF
，又根据相交弦定理 DF· EF＝ BF· AF
PF
可推出 BF OB 2 ，从而 PF PB 1
PF AP 6
PF
3
∴ PF＝ 3
ab
ab
（ 2） ∵ PF QF，
∴c a2
c
1 ∴ a b,e 2
a2
cc
c
c
(3) 略。
三、 15．解： (1) 依题知，
得 f (x) m? n
3 sin x cos x cos2 x
2 )
3
当t
13 ln 时， 0
et
2 ， P2 P1 0 ， P2
P1 ；
2
3
当 t 1 ln 3 时， e t 2 ， P2 P1 0 ， P2 P1 ；
2
3
当t
13 ln 时， e
t
2 ， P2 P1 0 ， P2
P1 ；
2
3
13
故当 t
ln 时，飞机 A 安全；
2
当t
13 ln 时，飞机 A 与飞机 B 一样安全；
2
2
设 m (x1, y1 , z1 ) 是平面 C ' EF 的一个法向量，则
2
A． 1
B． 1
3
3
C．
1
1
D．
2
6
2
6
11
-2
2
4
6
8
10
12
O 2 -1
x
3 -2
3
-3
-4
6．某工厂生产产品， 用传送带将产品放入下一工序， 质检人员每隔 t 分钟在传进带上某一固定位置取一件检验， 这种抽样方法是
2013高考数学(理科)小题限时训练2
2013高考数学（理科）小题限时训练二15小题共75分，时量：45分钟，考试时间：2012年8月23日第6节 姓名一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1、设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）A ． 1B ．3C ．4D ．8 2、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ） A ．R x x y ∈-=,3 B ．R x x y ∈=,sinC ．R x x y ∈=,D ．R x x y ∈=,)21(3、函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是 （ ）A ．),31(+∞-B ．)31,(--∞C ．)31,31(-D ．)1,31(-4、已知函数⎩⎨⎧>≤=+.0,log ,0,3)(21x x x x f x 若()30>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）A ．80>xB ．00<x 或80>x ．C ．800<<x ．D ．00<x 或800<<x ．5、,1xy x =-已知函数则下列四个命题中错误的是 （ ） A ．该函数图象关于点（1，1）对称； B ．该函数的图象关于直线2y x =-对称； C ．该函数在定义域内单调递减；D ．将该函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数xy 1=的图象重合 6、函数(1)||xxa y a x =>的图像大致形状是 （ ）7、若方程m m x x 无实数解，则实数+=-21的取值范围是 （ ）AB CD[](1)1(1)))A B C D -∞---∞-+∞+∞ 、，、、，8、函数)6(log )(ax x f a -=在]2,0[上为减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）)1,0(（B ）)3,1(（C ）)3,0(（D ）),3[+∞二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．9、若方程0422=+-mx x 的两根满足一根大于2，一根小于1，则m 的取值范围是10、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________．11、函数()lg 3f x x x =+-的零点的个数是____________． 12、设定义在R 上的函数)(x f 同时满足以下条件：①0)()(=-+x f x f ；②)2()(+=x f x f ；③当10<≤x 时，12)(-=x x f 。
2013年高考数学(理科)模拟卷
2017学年第一学期浙江“七彩阳光”联盟期中联考高三年级数学学科 参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.答案B 。
解：1a bi i +=-+Q ， 21a b ∴+=。
3.答案A 。
解析：若222log loglog ()a b a b +≥+，则ab a b ≥+。
又0,0a b >>， 则有ab a b ≥+≥4ab ≥，故充分性成立；若4,1a b ==，满足4ab ≥，但22log log 2a b +=，22log ()log 52a b +=>， 即222log log log ()a b a b +≥+不成立，故必要性不成立，故选A.4.答案D.解：所取3个球中没有红球的概率是34137435C p C ==，所取3个球中恰有1个红球的概率是12342371835C C p C ==，则所取3个球中至多有1个红球的概率是122235p p p =+=。
5.答案C ．解8511820,0a a a a =+>∴>Q ，则115158151502a a S a +=⨯=>。
又7869780,0a a a a a a +=+<∴<-<，则113137131302a a S a +=⨯=<。
而1141469147()02a a S a a +=⨯=+<，则满足0n S <的正整数n 的最大值是14。
6答案A. 解析：222()2a b a b a b a b a ba b ++-=+++-+-r r r r r r r r r r r r Q g222222a a b b a a b b =+++-+r r r r r r r r g g444sin()αβ=+=+-。
02παβ<-<Q ，24()8a b a b ∴<++-<r r r r，2a b a b ∴<++-<r r r r7.答案C.解法1：设点A 在第一象限，由222b y x a x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩和0x >，得x a y b =⎧⎨=⎩，即得(,)A a b 。
2013年全国高考理科数学试题(带答案)：三角函数
2013年全国高考理科数学试题（带答案）三角函数一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称(C)()f x 的最大值为2(D)()f x 既奇函数,又是周期函数 【答案】C2．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数cos sin y x x x =+的图象大致为【答案】D3 ．（2013年高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π【答案】A4．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43C.43-D.34-【答案】C5 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 【答案】B6．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =【答案】C7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-【答案】B8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56π【答案】A9 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( ) (A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =【答案】B10．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））04cos50tan 40-= ( )21 【答案】C11．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A.12π B.6π C.4π D.3π 【答案】D12．（2013年高考湖北卷（理））将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.12πB.6π C.3π D.56π【答案】B 二、填空题13．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________.【答案】314．（2013年高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______【答案】. 15．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________16．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数2sin y x =的最小正周期是_____________【答案】2π17．（2013年高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.【答案】18．（2013年高考上海卷（理））若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=【答案】2sin()3x y +=. 19．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)【答案】1arccos3C π=- 20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________.【答案】21．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.【答案】π22．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、,若5 8 60a b B ===，，,则b=_______【答案】723．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.【答案】π3224．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________.【答案】25．（2013年高考江西卷（理））函数2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为_________.【答案】π26．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是_______________【答案】5 三、解答题27．（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.【答案】解:(I)因为a =3,b =2,∠B =2∠A . 所以在△AB C 中,由正弦定理得3sin sin 2A A=.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos 3A =.(II)由(I)知cos A =,所以s i n A ==.又因为∠B=2∠A,所以21c o s 2c o s 13B A =-=.所以sin B ==.在△ABC 中,sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=. 所以sin 5sin a Cc A==.28．（2013年高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】解:(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x .最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π.(Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f . 所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.29．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且222a b c +=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos cos A B A B ααα++==求tan α的值. 【答案】由题意得30．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】31．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值【答案】32．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;(1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.【答案】(1)因为0ω>,根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =,()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈,即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π,故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=. 33．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B(II)若sin sin A C =,求C . 【答案】34．（2013年高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.【答案】解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin sin b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC方向上的投影为cos 2BA B =35．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+,又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =.(Ⅱ)在△ABC中,sin B ==,由正弦定理得sin sin a B A b ==,因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==因此sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=.36．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.【答案】解: (Ⅰ)2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x122=⇒=⇒ωπωπ.所以1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f (Ⅱ) ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x 所以.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y =37．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像.(1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点.【答案】解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π,0ω>,得2ω=又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π,(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=,得2πϕ=,所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =(Ⅱ)当(,)64x ππ∈时,1sin 2x <<10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<,()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ,即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 (Ⅲ)依题意,()sin cos 2F x a x x =+,令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-,()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-,(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令()0h x '=,得2x π=或32x π= 当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时,()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时,()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点,在(,2)ππ内有2个交点; 当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内无交点; 当11a -<<时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点,由周期性,20133671=⨯,所以67121342n =⨯= 综上,当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点38．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,παβ<<<0. (1)若||2a b -=,求证:a b ⊥;(2)设(0,1)c =,若a b c +=,求βα,的值.【答案】解:(1)∵2||=- ∴2||2=- 即()22222=+-=-,又∵1sin cos ||2222=+==αα,1sin cos ||2222=+==ββ∴222=-∴0=∴⊥(2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβα ∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα61,65==39．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 40．（2013年高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()5f α=求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.【答案】解: (I)533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f . 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且(II)21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ41．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C . (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】解:(1)∵1312cos =A ,53cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ,54sin =C∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π 根据sinB sinC AC AB =得m C ACAB 1040sin sinB== (2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d ∴)507037(20022+-=t t d∵13010400≤≤t 即80≤≤t ∴3735=t 时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由正弦定理sinBsinA ACBC =得50013565631260sin sinB ===A AC BC (m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min /m ,则350710500≤-v ∴3507105003≤-≤-v ∴14625431250≤≤v ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250范围内 法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D ,设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k , AB =52k ,由AC =63k =1260m, 知:AB =52k =1040m.(2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM =130x ,AN =50(x +2),CBA由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2 AM ·AN cos A =7400 x 2-14000 x +10000, 其中0≤x ≤8,当x =3537 (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由(1)知:BC =500m,甲到C 用时:126050 =1265(min).若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265 +3=1415 (min),在BC 上用时:865 (min) .此时乙的速度最小,且为:500÷865 =125043m/min.若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265 -3=1115 (min),在BC 上用时:565 (min) .此时乙的速度最大,且为:500÷565 =62514 m/min.故乙步行的速度应控制在[125043 ,62514]范围内.42．（2013年高考湖北卷（理））在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos 23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒(II)1sin 2S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a =,()222228sin a R A == 25sin sin 47bc B C R ∴==43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））△ABC 在内角,,A B C的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.CBADMN【答案】44．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA[【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o 60,∴∠PBA=30o ,在△PBA 中,由余弦定理得2PA =o 1132cos3042+-=74;(Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得,o sin sin(30)αα=-,化简得4sin αα=, ∴tan αtan PBA ∠. 45．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴正半轴上,点n P 在x 轴上,其横坐标为n x ,且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列,记1n n n P AP θ+∠=,n N *∈. (1)若31arctan3θ=,求点A 的坐标; (2)若点A的坐标为(0,求n θ的最大值及相应n 的值.[解](1) (2)【答案】[解](1)设(0 )A t ，,根据题意,12n n x -=.由31arctan 3θ=,知31tan 3θ=,而3443343223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t tθ--=∠-∠===+⋅++⋅, 所以241323t t =+,解得4t =或8t =. 故点A 的坐标为(0 4)，或(0 8)，. (2)由题意,点n P 的坐标为1(20)n -，,1tan n n OAP -∠=. 111212tan tan()1n n n n n n n OAP OAP θ--+-=∠-∠===.n+≥,所以tan nθ≤=当且仅当2nn=,即4n =时等号成立. 易知0 tan 2n y x πθ<<=，在(0 )2π，上为增函数,因此,当4n =时,n θ最大,其最大值为arctan4. 46．（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即有sin sin cos 0A B A B =因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3B π=.(2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-.因为11,cos 2a c B +==,有22113()24b a =-+. 又01a <<,于是有2114b ≤<,即有112b ≤<.。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何Word版含答案
2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013 年高考新课标1（理））如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高8cm,将一个球放在容器口, 再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度, 则球的体积为（）A．50033cm B．86633cm C．137233cm D．204833cm【答案】 A2 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设m,n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面, 下列命题中正确的是（）A．若, m , n , 则m n B．若// , m , n , 则m // nC．若m n , m , n , 则D．若m , m // n, n // , 则【答案】 D3 ．（2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案) ）若两个球的表面积之比为1: 4, 则这两个球的体积之比为（）A．1: 2 B．1: 4 C．1: 8 D．1:16【答案】 C4 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知正四棱柱A BCD ABC D 中AA1 2AB , 则CD 与平面BDC1 所成角的正弦值等于（）1 1 1 1A．23B．33C．23D．13【答案】 A5 ．（2013 年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．16 8 B．8 8 C．16 16 D．8 16【答案】 A6 ．（2013 年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示, 该几何体从上到下由四个简单几何体组成, 其体积分别记为V1 , V2 , V3 , V4 , 上面两个简单几何体均为旋转体, 下面两个简单几何体均为多面体, 则有（）A．V1 V2 V4 V3 B．V1 V3 V2 V4 C．V2 V1 V3【答案】 C7 ．（2013 年高考湖南卷（理））已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可．能．．等于（）A．1 B． 2 C．2-12D．2+12【答案】 C8 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））某四棱台的三视图如图所示, 则该四棱台的体积是122正视图侧视图11第5 题图俯视图（）14 16A．4 B．3 C．3 D．6【答案】 B9 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知m,n为异面直线, m 平面, n 平面. 直线l 满足l m,l n,l ,l , 则（）A．// , 且l // B．, 且lC．与相交, 且交线垂直于l D．与相交, 且交线平行于l【答案】 D10．（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱9ABC A B C1 1 1的侧棱与底面垂直, 体积为4, 底面是边长为 3 的正三角形. 若P 为底面A1B1C1的中心, 则PA 与平面ABC 所成角的大小为（）5A．12 B．3 C．4 D．6【答案】 B11．（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题5 图所示,则该几何体的体积为（）A．5603B．5803C．200 D．240【答案】 C12．（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知三棱柱ABC A B C的 6 个顶点都在球O 的球面上, 若1 1 1AB 3，AC 4 , AB AC , AA1 12, 则球O 的半径为（）A．3172B．210 C．132D．310【答案】 C13．（2013 年高考江西卷（理））如图, 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上, 且AB CD , 正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为m,n , 那么m n（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】 A14．（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),,(画0,该0,四0)面体三视图中的正视图时, 以zOx平面为投影面, 则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【答案】 A15．（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在下列命题中, 不是公．理．的是（）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】 A16．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在空间中, 过点A 作平面的垂线, 垂足为B , 记B f ( A). 设, 是两个不同的平面, 对空间任意一点P , Q1 f [ f ( P)], Q2 f [ f ( P)] , 恒有PQ1 PQ2 , 则（）A．平面与平面垂直B．平面与平面所成的( 锐) 二面角为045C．平面与平面平行D．平面与平面所成的( 锐) 二面角为060【答案】 A17．（2013 年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的直观图可以是【答案】 D二、填空题18．（2013 年高考上海卷（理））在xOy 平面上, 将两个半圆弧 2 2( x 1) y 1(x 1) 和2 2(x 3) y 1(x 3)、两条直线y 1 和y 1围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分. 记 D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为, 过(0, y )(| y | 1) 作的水平截面, 所得截面面积为 24 1 y 8 , 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体, 得出的体积值为__________【答案】 22 16 .19．（2013 年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___ _____.3 2111【答案】320．（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知圆O和圆K 是球O 的大圆和小圆, 其公共弦长等于球O 的半径,3OK , 且圆O与圆K 所2在的平面所成的一个二面角为60 , 则球O的表面积等于______.【答案】1621．（2013 年高考北京卷（理））如图, 在棱长为 2 的正方体ABCD- A1B1C1D1 中, E为BC的中点, 点P在线段D1E上, 点P到直线CC1 的距离的最小值为__________.D 1 C 1A1D PB1CEAB2 5 【答案】522．（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））如图, 在三棱柱 A B C ABC1 中, D，E，F 分别是AB，AC，AA1 的中点, 设三棱1 1锥 F ADE 的体积为V , 三棱柱A1B1C1 ABC 的体积为V2 , 则1V1 :V____________.2CBAFCEA D【答案】1: 24B23．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））若某几何体的三视图( 单位:cm) 如图所示, 则此几何体的体积等于________ 2cm .4332正视图侧视图3俯视图（第12 题图）【答案】2424．（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图, 正方体ABCD ABC D 的棱长为1,P 为BC的中点,Q 为线段CC1 上的动点, 过点A,P,Q 的平1 1 1 1面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).①当01 1 3CQ 时,S 为四边形; ②当CQ 时,S 为等腰梯形; ③当CQ 时,S 与2 2 41C D 的交点R满足 1 1C R ; ④当1 13 34CQ 1时,S 为六边形; ⑤当CQ 1时,S 的面积6为. 2【答案】①②③⑤25．（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是____________.【答案】16 1626．（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知某一多面体内接于一个简单组合体, 如果该组合体的正视图. 测试图. 俯视图均如图所示, 且图中的四边形是边长为 2 的正方形, 则该球的表面积是_______________【答案】1227．（2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案) ）在如图所示的正方体A BCD ABC D 中,1 1 1 1异面直线A1B 与B1C 所成角的大小为_______D1 C1A1B1D CA B【答案】3WORD文档三、解答题28．（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I) 求证: 平面PAC 平面PBC；(II) 若AB 2，AC 1，PA 1，求证：二面角 C PB A的余弦值.【答案】WORD文档29．（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图, 四棱锥P ABCD 中, PA 底面ABCD , BC CD 2, AC 4, ACB ACD , F 为PC 的中3 点, AF PB .(1) 求PA 的长; (2) 求二面角 B AF D 的正弦值.【答案】1．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,圆锥顶点为p.底面圆心为o, 其母线与底面所成的角为22.5 °. AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦, 轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.( Ⅰ) 证明: 平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; ( Ⅱ) 求cos COD .【答案】解: ( Ⅰ) 设面面直线且面面PAB PCD m, AB/ /CD CD PCD AB/ / PCDAB / /直线m AB 面ABCD 直线m // 面ABCD .所以, 面PAB与面PCD的公共交线平行底面ABCD .( Ⅱ)PO设底面半径为.r,线段CD的中点为F，则OPF 60 .由题知tan 22.5r, tan 60 OFPOtan 60 tan 22.5OFrcosCOD2, tan 4512 t antan22 .5222.5.cos COD 2 2 COD cos CODcos 1 tan 22.5 2 -1,2 2 1[ 3( 2 - 1,)] 2 3(3 2 2 )cos COD 17- 12 2.所以cos COD 17 -12 2 . 法二:1．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图, 在四面体A BCD 中, AD 平面BCD , BC CD, AD 2, BD 2 2 . M 是AD 的中点, P是BM 的中点, 点Q 在线段AC 上, 且AQ 3QC .(1) 证明: PQ // 平面BCD ;(2) 若二面角 C BM D 的大小为060 , 求BDC 的大小.AMPQDBC（第20 题图）【答案】解: 证明( Ⅰ) 方法一: 如图6, 取MD 的中点 F , 且M 是AD 中点, 所以AF 3 FD . 因为P 是BM 中点, 所以PF / /BD ; 又因为( Ⅰ)AQ 3QC 且AF 3FD , 所以QF / / BD , 所以面PQF / / 面BDC , 且PQ 面BDC , 所以PQ / / 面BDC ;方法二: 如图7 所示, 取BD 中点O , 且P 是BM 中点, 所以1PO/ / MD ; 取CD 的三等2分点H , 使DH 3CH , 且AQ 3QC , 所以/ / 1 / / 1QH AD MD , 所以4 2P O// Q H P /Q/ ,O且H OH BCD , 所以PQ / / 面BDC ;( Ⅱ) 如图8 所示, 由已知得到面ADB 面BDC , 过C 作CG BD 于G , 所以CG BMD , 过G 作GH BM 于H , 连接CH , 所以CHG 就是C BM D 的二面角; 由已知得到BM 8 1 3, 设BDC , 所以CD CG CBcos ,sin CD 2 2 cos ,CG 2 2 cos sin , BC 2 2 sin , BD CD BD,在RT BCG 中, BCG sin BG BG 2 2 sin2BC, 所以在RT BHG中,HG22 2 sin21 2 2 sinHG , 所以在RT CHG 中3 3tan CHG tan60 3 CGHG2 2 cos sin22 2 sin3tan 3 (0,90 ) 60 BDC 60 ;2．（2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案) ）如图, 在正三棱锥ABC A1B1C1 中, AA1 6 ,异面直线B C 与1 AA 所成角的大小为1 6, 求该三棱柱的体积.A1 C1B1A CB【答案】[ 解] 因为C C1 AA1 .所以B CC 为异面直线BC1 与AA1 . 所成的角, 即BC1C =1 6 .在Rt BC C 中,13BC CC tan BC C 6 2 3 ,1 13从而32S BC 3 3 , ABC4因此该三棱柱的体积为V S ABC AA1 3 3 6 18 3 .3．（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分14 分.如图, 在三棱锥S ABC 中, 平面SAB 平面SBC , AB BC , AS AB , 过A 作AF SB , 垂足为 F , 点E，G 分别是棱SA，SC 的中点.求证:(1) 平面EFG // 平面ABC ; (2) BC SA.SE GFCAB【答案】证明:(1) ∵AS AB , AF SB∴F分别是SB的中点∵E.F 分别是SA.SB的中点∴EF∥AB又∵EF 平面ABC, AB 平面ABC∴EF∥平面ABC同理:FG∥平面ABC又∵EF FG=F, EF.FG 平面ABC∴平面EFG // 平面ABC(2) ∵平面SAB 平面SBC平面SAB 平面SBC =BCAF 平面SABAF⊥SB∴AF⊥平面SBC 又∵BC 平面SBC∴AF⊥BC又∵AB BC , AB AF=A, AB.AF 平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA 平面SAB∴BC⊥SA4．（2013 年高考上海卷（理））如图, 在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A 1A=1, 证明直线BC1 平行于平面DA1C,并求直线BC1 到平面D1AC的距离.D CABA1D1B1C1【答案】因为ABCD-A1B1C1D1 为长方体, 故AB// C1D1, AB C1D1 ,故ABC1D1 为平行四边形, 故B C1 // AD1, 显然 B 不在平面 D1AC上, 于是直线BC1 平行于平面DA1C;直线BC1 到平面D1AC的距离即为点 B 到平面D1AC的距离设为h考虑三棱锥ABCD1 的体积, 以ABC为底面, 可得V1 1 1( 1 2) 13 2 3而ADC 中, AC D1C5, AD1 2 , 故1 SAD C1321 3 12 2所以, V h h , 即直线BC .1 到平面D1AC的距离为3 2 3 3 35．（2013 年高考湖北卷（理））如图, AB 是圆O 的直径, 点C 是圆O 上异于A,B 的点, 直线PC 平面ABC , E , F 分别是PA, PC 的中点.(I) 记平面BEF 与平面ABC 的交线为l , 试判断直线l 与平面PAC 的位置关系, 并加以证明;(II) 设(I) 中的直线l 与圆O 的另一个交点为 D , 且点Q 满足 1DQ CP . 记直线PQ2 与平面ABC 所成的角为, 异面直线PQ 与EF 所成的角为, 二面角 E l C 的大小为, 求证: sin sin sin .第19 题图【答案】解:(I) EF AC , AC 平面ABC , EF 平面ABC EF 平面ABC又EF 平面BEFEF ll 平面PAC(II) 连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.( 这一题用几何方法较快, 向量的方法很麻烦, 特别是用向量不能方便的表示角的正弦. 个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)WORD文档6．（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））如图1, 在等腰直角三角形ABC 中, A 90 , BC 6, D,E分别是AC, AB 上的点, CD BE 2, O 为BC 的中点. 将ADE 沿DE 折起, 得到如图 2 所示的四棱锥 A BCDE , 其中A O 3 .( Ⅰ) 证明: A O 平面BCDE ; ( Ⅱ) 求二面角 A CD B 的平面角的余弦值.CO.BAD ECO BA DE 图1 图2【答案】( Ⅰ) 在图 1 中, 易得O C 3, AC 3 2, AD 2 2ACO BDEH连结OD ,OE , 在OCD 中, 由余弦定理可得2 2 2 cos45 5 ODOC CD OC CD由翻折不变性可知 A D 2 2 ,所以 2 2 2A O OD A D , 所以A O OD ,理可证 A O OE , 又OD OE O , 所以 A O 平面BCDE . ( Ⅱ) 传统法: 过O作OH CD 交CD 的延长线于H , 连结A H , 因为A O 平面BCDE , 所以 A H CD ,所以 A HO 为二面角 A CD B 的平面角.结合图 1 可知, H 为AC 中点, 故3 2OH , 从而22 2 30A H OH OA2cos A HO 所以O HA H155, 所以二面角 A CD B 的平面角的余弦值为15z5A.向量法: 以O 点为原点, 建立空间直角坐标系O xyz如图所示,则A 0,0, 3 , C 0, 3,0 , D 1, 2,0 所以CA 0,3, 3 , DA 1,2, 3 CDxO向量法图EBy设n x, y,z 为平面A CD 的法向量, 则n CA n DA 0, 即3y 3z 0x 2y3z 0, 解得y xz 3x, 令x 1, 得n 1, 1, 3由( Ⅰ) 知, OA 0,0, 3 为平面CDB 的一个法向量,所以cos n, O An OAn OA3 1553 5, 即二面角 A CD B 的平面角的余弦15 值为. 57．（2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD- A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB// DC, AB⊥AD, AD= CD= 1, AA1 = AB= 2, E 为棱AA1 的中点.( Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;( Ⅱ) 求二面角B1- CE- C1 的正弦值.( Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1 所成角的正弦值为的长.26, 求线段AM【答案】8．（2013 年高考新课标1（理））如图, 三棱柱ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1, ∠BA A1=60° .( Ⅰ) 证明AB⊥A1C;( Ⅱ) 若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】 ( Ⅰ) 取 AB 中点 E,连结 CE, A B , 1A E ,1∵AB=AA 1 , BAA 1 =60 , ∴ BAA 1是正三角形 , ∴ A E ⊥AB, ∵CA=CB,∴CE ⊥AB,∵C EA 1E =E, ∴AB ⊥面CEA 1 ,1∴AB ⊥ A C ;1( Ⅱ) 由( Ⅰ) 知 EC ⊥AB, EA 1 ⊥AB,又∵面 ABC ⊥面 A BB A , 面 ABC ∩面 ABB 1A 1 =AB, ∴EC ⊥面ABB 1 A 1 ,∴EC ⊥EA 1,1 1∴EA,EC, E A 两两相互垂直 , 以 E 为坐标原点 , EA 的方向为 x 轴正方向 ,| EA | 为单位1长度, 建立如图所示空间直角坐标系 O xyz ,有 题 设 知A(1,0,0),A (0,3 ,0),C(0,0, 3 ),B(-1,0,0),则1BC =(1,0, 3 ), BB 1 = AA 1 =(-1,0, 3 ), A 1C =(0,- 3 , 3 ),设 n =(x, y, z) 是平面 CBB C 的法向量 , 1 1则nn B C BB 10 0, 即 x 3z 0 x 3y 0, 可取 n =(3,1,-1),∴cos n , A C =1n | n ||A C 1 A 1C |10 5,∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为1059．（2013 年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD- A1B1C1D1 的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,AB AA1 2 .( Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;( Ⅱ) 求平面OCB1 与平面BB1 D1D的夹角的大小.D1C1A1B1DCOAB【答案】解:( Ⅰ) A1O 面ABCD,且BD 面ABCD, A O BD ; 又因为, 在正1方形AB CD 中, AC BD；且A1O AC A,所以BD 面A1 AC且A1C 面A1AC，故A1C BD .在正方形AB CD中,AO = 1 . RT A1OA中，A O 1.在1设.B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，所以A1C E1O又BD BB1 D1D,E1O BB1 D1D . BD E1O O面面，且，所以由以上三点得A1C 面BB1 D1D .( 证毕)( Ⅱ) 建立直角坐标系统, 使用向量解题.以O为原点, 以OC为X 轴正方向, 以OB为Y轴正方向. 则B（0,1, 0）,C (1，0，0), A1(0，0，1), B1(1,1,1) A1C (1, 0, 1) .由( Ⅰ) 知, 平面BB 1 A C OB OC （）1D1D的一个法向量n (1,0, 1), (1,1,1) ,1,0, 0 .1 1设平面OCB1 的法向量为D1C1 ,则0, 0，n2 n OB n OC2 1 2A1B1解得其中一个法向量为n2 ( 0,1, -1).DCOcos | cos| n n | 1 11 2n ,n| .1 12| n | | n | 2 21 2A B所以, 平面OCB1 与平面BB1D1D的夹角为310 ．（2013 年高考江西卷（理））如图, 四棱锥P A B C中, PA 平面ABCD, E为BD的中点, G为PD的中点，3DAB DCB ,EA EB AB 1，PA , 连接CE 并延长交AD 于F .2(1) 求证: AD 平面CFG ;(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.【答案】解:(1) 在ABD 中, 因为E 是BD 的中点, 所以EA EB ED AB 1,故,BAD ABE AEB ,2 3因为DAB DCB , 所以EAB ECB ,从而有FED FEA ,故E F AD, AF FD , 又因为PG GD,所以FG ∥PA .又PA 平面ABCD ,所以GF AD,故AD 平面CFG .(3) 以点 A 为坐标原点建立如图所示的坐标系, 则3 3A(0,0,0), B(1,0,0), C( , ,0), D (0, 3,0) ,2 2(4)3P (0,0, ) , 故21 3 3 3 3 3 3 BC ( ，，0), CP ( ，, ), C D ( , ,0)2 2 2 2 2 2 21 3y12 2设平面BCP 的法向量n (1, y , z ),则1 1 1,3 3 3y z1 12 2 2解得y1z12333 , 即 3 2n (1, , ).13 3设平面DCP 的法向量n2 (1, y2 ,z2 ) , 则3 3y22 23 3 3y z2 22 2 2y, 解得 2z223,即n2 (1, 3,2) . 从而平面 B C P与平面 D C P的夹角的余弦值为cos n n1 2n n1 243169824.11 ．（2013 年高考四川卷（理））如图, 在三棱柱A BC A B C中, 侧棱1 1 AA 底面1ABC , A B AC 2AA , BAC 120 , D,D1分别是线段BC, B1C1 的中点, P 是线1段AD 的中点.( Ⅰ) 在平面ABC 内, 试作出过点P 与平面A BC 平行的直线l , 说明理由, 并证明直线1l 平面ADD1A1;( Ⅱ) 设( Ⅰ) 中的直线l 交AB 于点M , 交AC 于点N , 求二面角 A A M N 的余弦1值.CDA PBC1D1A1B1【答案】解: 如图, 在平面ABC 内, 过点P 做直线l // BC , 因为l 在平面ABC 外,1BC 在平面A BC 内, 由直线与平面平行的判定定理可知, l // 平面A1BC .1由已知, AB AC , D 是BC 的中点, 所以, BC AD , 则直线l AD .因为AA1 平面ABC , 所以AA1 直线l . 又因为AD, AA1 在平面ADD1A1 内, 且AD与A A 相交, 所以直线平面ADD1A11解法一:连接A1P , 过A 作AE A1P于E , 过E 作EF A1M 于F , 连接AF .由知, MN 平面AEA, 所以平面AEA1 平面A1MN .1所以AE 平面AMN , 则A1M AE.1所以A M平面AEF , 则A1M AF .1故AFE 为二面角 A AM N 的平面角( 设为).1设A A1 1 , 则由 A B 2A 1 C , A BAC A 120 , 有BAD 60 , AB 2, AD 1 .又P 为AD 的中点, 所以M 为AB 的中点, 且1AP , AM 1 ,2在5Rt AAP 中, A1P ; 在Rt A1AM 中,12A1M 2 .AA AP从而,1AEA P11 5,AFAA AM 1A M11 2, 所以 sinAE AF 2 5. 所以222 15 cos 1 sin155.故二面角 AA 1M N 的余弦值为155解法二 :设A A 1 1. 如图 , 过 A 1 作 A 1E 平行于B 1C 1 , 以 A 1 为坐标原点 , 分别以 A 1E,A 1D 1 , AA 1 的 方向为 x 轴, y 轴, z轴的正方向 , 建立空间直角坐标系Oxyz ( 点O 与点A 重合).1则 A 1 0,0,0 , A 0,0,1 .因为 P 为 AD 的中点 , 所以 M , N 分别为 AB, AC 的中点 , 故3 13 1 M, ,1 ,N , ,1 , 2 22 2所以3 1A M, A 1A0,0,1 , NM 3,0,0 ., ,112 2设平面 A AM 的一个法向量为n 1 x 1,y 1,z 1 , 则1nA M 11n A A,11,n A M0,11即故有n A A0,113 1x , y,z, ,1 0,1 1 12 2x , y,z0,0,1 0,1 1 13 1x y z从而 1 1 12 20,z122.6取x1 1, 则y1 3 , 所以n1 1, 3,0 .设平面A MN 的一个法向量为n2 x2 , y2,z2 , 则1n A M 2 1n NM2 ,,即n A M2 1n NM20,0,故有3 1x , y , z , ,1 0,2 2 22 2x , y ,z3,0,0 0,2 2 2从而3 1x y z2 2 22 20,3x 0.2取y2 2, 则z2 1, 所以n2 0,2, 1 . 设二面角A A1M N 的平面角为, 又为锐角,则cos n n1 2n n1 21, 3,0 0,2, 1 152 5 5.故二面角A A1M N 的余弦值为15 512．（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10 分.如图, 在直三棱柱A B C ABC中, AB AC , AB AC 2 , AA1 4 , 点D 是1 1 1BC 的中点(1) 求异面直线A1B 与C1D 所成角的余弦值(2) 求平面A DC 与ABA1 所成二面角的正弦值.1【答案】 本题主要考察异面直线 . 二面角 . 空间向量等基础知识以及基本运算 , 考察运用空间向量解决问题的能力 .解:(1) 以 A B, AC, AA 为为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz ,1则 A(0,0,0) B (2,0,0) , C ( 0,2,0) ,A (0,0,4) , D (1,1,0) , C 1 (0,2,4)1∴ A 1B (2,0, 4) , A 1 B (1, 1, 4) ∴cos A B, 1C D1A B 1A 1BCD1C D118 20 183 10 10∴异面直线 A 1 B 与C 1D 所成角的余弦值为3 10 10(2)AC (0,2,0)是平面ABA 的的一个法向量1设平面 ADC 1 的法向量为m (x, y, z) , ∵ AD (1,1,0), AC 1(0,2,4)由 mAD, m AC1∴x2y y 4z 0 0取 z 1, 得 y2, x 2 , ∴平面ADC 的法向量为 m (2, 2 ,1)1设平面 ADC 1 与A BA 1 所成二面角为∴cos cosAC m 4 2AC, m , 得2 3 3AC msin53∴平面ADC 与ABA1 所成二面角的正弦值为15 313．（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））如图, 四棱锥P ABCD 中, ABC BAD 90 ，BC 2 AD, PAB与PAD 都是等边三角形.(I) 证明: PB CD ; (II) 求二面角 A PD C 的大小.【答案】14．（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））如图所示, 在三棱锥P ABQ 中, PB 平面ABQ , BA BP BQ , D,C, E, F 分别是A Q,B ,Q A,P的中B点P, AQ 2BD , PD 与EQ 交于点G , PC 与FQ 交于点H ,连接GH .( Ⅰ) 求证: AB GH ; ( Ⅱ) 求二面角 D GH E 的余弦值.【答案】解:( Ⅰ) 证明: 因为D,C,E, F分别是AQ, BQ, AP, BP 的中点,所以EF ∥AB , DC ∥AB , 所以EF ∥DC ,又EF 平面PCD , DC 平面PCD ,所以EF ∥平面PCD ,又EF 平面EFQ , 平面EFQ 平面PCD GH ,所以EF ∥GH ,又EF ∥AB ,所以AB ∥GH .( Ⅱ) 解法一: 在△ABQ 中, AQ 2BD , AD DQ ,所以ABQ=90 , 即A B BQ , 因为PB 平面ABQ , 所以AB PB ,又BP BQ B, 所以AB 平面PBQ , 由( Ⅰ) 知AB ∥GH ,所以GH 平面PBQ , 又FH 平面PBQ , 所以GH FH , 同理可得GH HC , 所以FHC 为二面角 D GH E 的平面角, 设BA BQ BP 2 , 连接PC ,在Rt △FBC 中, 由勾股定理得, FC 2 ,在Rt △PBC 中, 由勾股定理得, PC 5 ,又H 为△PBQ 的重心, 所以1 5 HC PC3 3FH5 3同理,在△FHC 中, 由余弦定理得cos FHC5 5249 95 529,4即二面角 D GH E 的余弦值为5.解法二: 在△ABQ 中, AQ 2BD , AD DQ ,所以ABQ 90 , 又PB 平面ABQ , 所以BA, BQ, BP 两两垂直,以B 为坐标原点, 分别以BA, BQ, BP 所在直线为x 轴, y 轴, z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 设BA BQ BP 2 , 则E (1,0,1) , F (0,0,1) , Q (0,2,0) , D (1,1,0) , C (0,1,0) P (0,0, 2) ,, 所以EQ ( 1 , 2 ,, FQ (0,2, 1) , DP ( 1,1,2) , CP (0, 1,2) ,设平面EFQ 的一个法向量为m(x , y ,z)1 1 1,由m EQ 0, m FQ 0 ,x 2y z 01 1 1得2y z 01 1取y1 1, 得m (0,1,2) .设平面PDC 的一个法向量为n (x2 , y2 ,z2) 由n DP 0, n CP 0 ,x y 2z 02 2 2得y2z 0 2 2取z2 1, 得n (0,2,1). 所以cos m, nm nm n454因为二面角 D GH E 为钝角, 所以二面角 D GH E 的余弦值为5. 15．（2013 年高考湖南卷（理））如图5, 在直棱柱ABCD A1B1C1D 中，AD / /BC , BAD 90 ,AC BD, BC 1, AD AA1 3.1(I) 证明: A C B D ; (II) 求直线1 B C与平面ACD 所成角的正弦值.1 1 1【答案】解: ( Ⅰ) ABCD A1B1C1D1是直棱柱BB1 面ABCD,且BD 面ABCD BB1 AC又.AC BD,且BD BB1 B, AC 面BDB1。
2013年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0] 12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】B3：分层抽样方法．【专题】21：阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．8【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B nC n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，又由题意，b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos ＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C1的极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，。
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:()(0,1)x q f x a a a =>≠2012高考数学（理科）小题限时训练七
15小题共75分，时量：45分钟，考试时间：2012年9月12日第6节 姓名 一、选择题（每题5分共40分）
1．集合A={－1，0，1}，B={A x x y y ∈=,cos }，则A B=（ ） A. {0}
B ． {1}
C ．{0，1}
D ．{－1，0，1}
2．已知:p 不等式2
1x a +≤的解集为φ，是减函数，则p 是
q 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要
3．直线
4022
2=+=++y x y x 截圆所得劣弧所对圆心角为 （ ）
A ．6π
B ．3π
C ．2π
D ．32π
4．已知角a 的余弦线是单位长度的有向线段，那么角a 的终边在
（ ）
A ．x 轴上
B ．y 轴上
C ．直线y=x 上
D ．直线y=-x 上
5．若实数,x y 满足
2222111,2x y x y
+=+则有 （ ）
A
．最大值3+B
．最小值3+
C ．最大值6
D ．最小值6
6．复数i
i
+1在复平面中所对应的点到原点的距离为 ( ) A ．
2
1
B ．1
C ．22
D ．2
7． 设非常值函数() ()f x x R ∈是一个偶函数，它的函数图像()y f x =
关于直线2
x =对称，则该函数是 （ ）
A. 非周期函数
B.
周期为
2
的周期函数 C.
D. 周期为2的周期函数 8．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下： 当n 为偶数时，!!(2)(4)642n n n n =--∙∙
（4）
（3）（2）
（1
）
当n 为奇数时，
!!(2)(4)531n n n n =--∙∙
现有四个命题：①(2011!!)(2010!!)2011!=， ②2010!!21005!=∙， ③2010!!个位数为0， ④2011!!个位数为5 其中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题（每题5分共35分）
9．若将右面的展开图恢复成正方体，则ABC ∠的度数为
10．若()(12)(13)(,,1,1)m
n
f x x x m n N m n +=+++∈>>的展开 式中x 的系数为13，则展开式中2
x 的系数是 。
11．在区间[]π,0上随机取一个数x ，x sin 的值介于0到2
1
之间的概率为
12．设圆1O 与圆2O 的半径分别为3和2，124O O =，,A B 为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB 的长度是________．
13．在R 上定义运算(1)x y x y ⊗=-,若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 均成立,则a 的
取值范围是__________
14．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如右（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）。
15．下表给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数 为()
*,,ij a i j i j N ≥∈，则ij a =
一、选择题
BBDA BCCC
二、填空题
9．60° 10． 31 11．
3
1
12．4153 13． 23
21<<-a
14． （2）（3） 15． 2
1
+j i。