高考数学小题综合限时练(2)
2018届高考数学理科二轮总复习高考小题限时练 2 含解
高考小题限时练21．(2017·江苏运河中学质检)设集合M ＝{2,0，x }，集合N ＝{0,1}，若N ⊆M ，则x ＝________. 答案 1解析 ∵集合M ＝{2,0，x }，N ＝{0,1}，∴若N ⊆M ，则集合N 中元素均在集合M 中，∴x ＝1.2．已知集合M ＝{x |x 2－2x <0}，N ＝{x |x <a }，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 [2，＋∞)解析 M ＝{x |x 2－2x <0}＝(0,2)， 因为M ⊆N ，所以a ≥2.3．(2017·江苏如东、丰县中学联考)函数f (x )＝log 2x 在点A (1,0)处切线的斜率为________． 答案1ln 2解析 ∵f ′(x )＝1x ln 2，∴k ＝f ′(1)＝1ln 2.4．从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为________． 答案 13解析 从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个，所取2个数的和能被3整除的基本事件有(1,2)，(1,5)，(2,4)，(3,6)，(4,5)，共5个．∴所取2个数的和能被3整除的概率为515＝13.5．已知Ω1是集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{(x ，y )|y ≤|x |}所表示的区域，向区域Ω1内随机地投一个点，则该点落在Ω2内的概率为________． 答案 34解析 区域Ω1是半径为1的圆面，其中在区域Ω2内的部分是34个圆面，故所求的概率是34.6．如图是一个算法流程图，则输出S 的值是________．答案 1 326解析 初始值S ＝4，k ＝2；第一次循环，S ＝4>8×2＋5＝21不成立．S ＝42－5＝11，k ＝2＋1＝3；第二次循环，S ＝11>8×3＋5＝29不成立，S ＝113－5＝1 326，k ＝3＋1＝4；第三次循环，S ＝1 326>8×4＋5＝37成立，此时结束循环．故输出S 的值是1 326. 7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为________．答案 6解析 由约束条件作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小．又知点A 的坐标为(3,0)，∴z min ＝2×3＋5×0＝6.8．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是__________． 答案 [3，＋∞)解析 依题意可知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，与抛物线方程联立消去y ，得x 2±bax ＋2＝0.∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝b 2a 2－8≥0，求得b 2≥8a 2，∴c ＝a 2＋b 2≥3a ，∴e ＝ca≥3.9．已知角α，β满足tan αtan β＝－4，cos(α＋β)＝13，则cos(α－β)＝________.答案 －15解析 方法一 设cos(α－β)＝x ，即 cos αcos β＋sin αsin β＝x .①又cos(α＋β)＝13，即cos αcos β－sin αsin β＝13.②由①②得cos αcos β＝16＋x 2，sin αsin β＝x 2－16，所以tan αtan β＝x 2－16x 2＋16＝－4，解得x ＝－15.方法二 由tan αtan β＝－4，得 sin αsin β＝－4cos αcos β，①由cos(α＋β)＝13，得cos αcos β－sin αsin β＝13.②由①②得cos αcos β＝115，sin αsin β＝－415，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－15.10．已知函数f (x )＝x 2－4x 的图象上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1<x 2，若曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则3x 1－2x 2的最大值是________． 答案 2－ 6解析 由题意得f ′(x )＝2x －4，因为曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直， 所以x 1≠2，x 2≠2，(2x 1－4)·(2x 2－4)＝－1. 又x 1<x 2，所以2x 1－4<0,2x 2－4>0，x 1＝－14x 2－8＋2，则3x 1－2x 2＝3×⎝⎛⎭⎪⎫－14x 2－8＋2－2x 2＝－2x 2－34x 2－8＋6＝－⎣⎡⎦⎤12(4x 2－8)＋34x 2－8＋2≤－212(4x 2－8)·34x 2－8＋2＝2－6， 当且仅当12(4x 2－8)＝34x 2－8时，上式取等号，因此3x 1－2x 2的最大值为2－ 6.11．已知公差为2的等差数列{a n }及公比为2的等比数列{b n }满足a 1＋b 1>0，a 2＋b 2<0，则a 3＋b 3的取值范围是________．答案 (－∞，－2)解析 ∵a 1＋b 1>0，a 2＋b 2＝a 1＋2＋2b 1<0， ∴0<a 1＋b 1<－2－b 1，b 1<－2，b 2＝2b 1<－4.∴a 3＋b 3＝a 2＋2＋2b 2＝a 2＋b 2＋2＋b 2<0＋2－4＝－2， 则a 3＋b 3的取值范围是(－∞，－2)．12．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，P 为边CD 上的一个动点(含端点C ，D )，则AP →·BP →的取值范围是________． 答案 [0,1]解析 方法一 由题意得当点P 与点D 或点C 重合时，AP →·BP →取得最大值，且最大值为AD →·BD →＝|AD →|·|BD →|·cos 〈AD →，BD →〉＝1×5×15＝1；当P 在DC 的中点时，AP →·BP →取得最小值，且最小值为AP →·BP →＝|AP →|·|BP →|·cos 90°＝0.故AP →·BP →的取值范围为[0,1]． 方法二 以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．A (0,0)，B (2,0)，设P (x,1)，x ∈[0,2]．AP →·BP →＝x (x －2)＋1＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2∈[0,1]．13．已知在三角形ABC 中，AC ⊥AB ，AB ＝3，AC ＝4.若点P 在三角形ABC 的内切圆上运动，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值为________． 答案 －2解析 因为AC ⊥AB ，所以以A 为坐标原点，AB ，AC 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (3,0)，C (0,4)．由题意可知三角形ABC 的内切圆的圆心为(1,1)，半径为1. 因为点P 在三角形的内切圆上运动， 所以可设P (1＋cos θ，1＋sin θ)(0≤θ<2π)．所以P A →·(PB →＋PC →)＝(－1－cos θ)·(1－2cos θ)＋(－1－sin θ)(2－2sin θ)＝－1＋cos θ＋2cos 2θ－2＋2sin 2θ＝－1＋cos θ≥－1－1＝－2，当且仅当cos θ＝－1，即P (0,1)时，P A →·(PB →＋PC →)取到最小值，且最小值为－2.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x e ax，x <0，x e x ，x ≥0的图象过点⎝⎛⎭⎫－1，1e (其中e 为自然对数的底数)，若关于x 的方程[f (x )]2－mf (x )＋1＝0(m ∈R )有四个不同的实数根，则实数m 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫e 2＋1e ，＋∞解析 由题意可得a ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x e x，x <0，x e x ，x ≥0.当x ≥0时，f ′(x )＝e x ＋x e x >0恒成立，所以f (x )在区间[0，＋∞)上为增函数；当x <0，f ′(x )＝－e x －x e x ＝－e x (x ＋1)，由f ′(x )＝0，得x ＝－1，当x ＝(－∞，－1)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x e x，x <0，x e x ，x ≥0在(－∞，0)上有一个极大值f (－1)＝1e ，结合函数图象(图略)，得要使方程[f (x )]2－mf (x )＋1＝0(m ∈R )有四个不同的实数根， 令f (x )＝t ，则方程t 2－mt ＋1＝0有两个不相等的实根，且一个根在⎝⎛⎭⎫0，1e 内，一个根在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞内．令g (t )＝t 2－mt ＋1，因为g (0)＝1>0， 则只需g ⎝⎛⎭⎫1e <0，即⎝⎛⎭⎫1e 2－m ×1e＋1<0， 解得m >e 2＋1e ，所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e 2＋1e ，＋∞.。
高考数学小题专项训练20套(有答案)
2 3x 2 , (x 2) 2 3.设函数 f (x ) x 4 x 2 在 x=2 处连续,则 a= a (x 2)
(
)
1 1 D. 4 3 1 2 3 2n 1 2n 4. l i m（ ） 的值为 n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 A. –1 B.0 C. D.1 2 5.函数 f 是 （x） si n2 （x ） si n2 （x ）
0 0
） （B）[300，600] （C）[600，900] （D）[300，900]
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（8）若 f (sin x ) 2 cos 2 x ，则 f (cos x ) ＝（ （A）2－sin2x （B）2＋sin2x
） （D）2＋cos2x
（C）2－cos2x
（9）直角坐标 xOy 平面上，平行直线 x＝n（n＝0，1，2，……，5）与平行直线 y＝n（n ＝0，1，2，……，5）组成的图形中，矩形共有（ ） （A）25 个 （B）36 个 （C）100 个 （D）225 个 （10）已知直线 l：x―y―1＝0，l1：2x―y―2＝0.若直线 l2 与 l1 关于 l 对称，则 l2 的方程是 （ ） （A）x―2y＋1＝0 （B）x―2y―1＝0 （C）x＋y―1＝0 （D）x＋2y―1＝0 二. 填空题： （ 11 ） 已 知 向 量 集 合
3 ； （13）0.7； 2
1 ； 4
（15）3.
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高考选择题和填空题专项训练（2）
一、选择题： 1．复数 (
1 i 10 ) 的值是 （ 1 i
）A．－1
B．1
C．－32
D．32
2．tan15°+cot15°的值是（
高考数学专题04：临考强化2021年数学(理)小题综合限时提分专练(解析版)
专题04：临考强化理科数学小题综合限时提分专练〔解析版〕一、单项选择题1．集合{}2560M x x x =--<，{}ln 0N x x =>，那么M N =〔 〕A ．{}01x x << B ．{}16x x << C ．{}13x x << D ．{}23x x <<【答案】B 【分析】求出集合M 、N ，利用交集的定义可求得集合M N ⋂. 【详解】集合{}{}256016M x x x x x =--<=-<<，{}{}ln 01N x x x x =>=>， 因此，{}16M N x x ⋂=<<. 应选：B.2．设i 为虚数单位，复数(12)1i z i +=-，那么z 的共轭复数z 在复平面中对应的点在〔 〕 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【分析】根据复数的除法运算求出z ，根据共轭复数的概念求出z ，再根据复数的几何意义可得结果. 【详解】1(1)(12)131312(12)(12)1455i i i i z i i i i -----====--+-++， 所以z =1355i -+，∴z 对应点为13(,)55-，在第二象限．应选：B3．“石头､剪刀､布"，又称“猜丁壳〞，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本､朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断开展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风行世界游戏规那么是：“石头"胜"剪刀〞､“剪刀〞胜“布〞､“布〞胜“石头〞，假设所出的拳相同，那么为和局.小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头､剪刀､布〞游戏比赛，那么小华经过三局获胜的概率为〔〕A．19B．29C．427D．727【答案】C【分析】由题设知小华经过三局获胜的根本领件为前两局一胜一不胜，第三局获胜，概率乘法公式求概率即可.【详解】由题设知：小华经过三局获胜的根本领件为前两局一胜一不胜，第三局获胜，∴小华经过三局获胜的概率为121214 33327C⋅⋅⋅=. 应选：C.4．函数2cos()e xx xf x-=的图象大致为〔〕A．B．C．D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性和()00f>确定正确选项. 【详解】由2cos()()xx xf x f xe---=≠知，()f x的图象不关于y轴对称，排除选项A，C．()010f=>，排除选项D．应选：B5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，假设输入2x =，2n =，依次输入a 的值为1，2，3，那么输出的s =〔 〕A ．10B ．11C ．16D ．17【答案】B 【分析】根据循环结构，令1,2,3a =依次进入循环系统，计算输出结果. 【详解】解：∵ 输入的2x =，2n =，当输入的a 为1时，1S =，1k =，不满足退出循环的条件； 当再次输入的a 为2时，4S =，2k =，不满足退出循环的条件； 当输入的a 为3时，11S =，3k =，满足退出循环的条件； 故输出的S 值为11． 应选：B6．中国古代制定乐律的生成方法是最早见于?管子·地员篇?的三分损益法，三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一.根据某一特定的弦，去其13，即三分损一，可得出该弦音的上方五度音；将该弦增长13，即三分益一，可得出该弦音的下方四度音.中国古代的五声音阶：宫､徵(zhǐ)，商､羽､角(jué)，就是按三分损一和三分益一的顺序交替，连续使用产生的.假设五音中的“宫〞的律数为81，请根据上述律数演算法推算出“羽〞的律数为〔 〕 A ．72 B ．48C ．54D ．64【答案】B 【分析】按三分损一和三分益一的顺序交替进行计算可得结果 【详解】依题意，将“宫〞的律数81三分损一可得“徵〞的律数为181(1)543⨯-=，将“徵〞的律数54三分益一可得“商〞的律数为154(1)723⨯+=，将“商〞的律数72三分损一可得“羽〞的律数为172(1)483⨯-=.应选：B7．假设log 2x y =-，那么x y +的最小值是〔 〕A ．B ．3C D ．3【答案】A 【分析】应用指对数互化得20yx，而222x x x y x -+=++，根据三元根本不等式求最小值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由log 2x y =-，得20yx且(0,1)(1,)x ∈+∞，∴222x x x y x -+=++≥，当且仅当22x x -=，即x =.应选：A8．设定义在R 的函数()f x ，其图象关于直线1x =对称，且当1≥x 时，()ln 1f x x =-，那么13f ⎛⎫⎪⎝⎭，23f ⎛⎫⎪⎝⎭，32f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系为〔 〕 A ．123332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．312233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B 【分析】根据函数的对称性，函数的单调性进行求解即可. 【详解】当1x e ≤≤时，()ln 11ln f x x x =-=-，此时函数单调递减，而函数图象关于直线1x =对称，因此函数在[]2,1e -上单调递增，而13()=()22f f ，又因为11221323e -<<<<，所以112()()()323f f f <<，所以132()()()323f f f <<，应选：B9．函数()sin cos f x x a x ωω=+(0a >，0>ω)，假设函数()f x 的最小正周期2T π<且在6x π=处取得最大值2，那么ω的最小值为〔 〕 A ．5 B ．7C ．11D ．13【答案】D 【分析】由函数式的最大值2结合函数的特点求出a 值，再把函数式化成2sin 3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由取最大值的条件结合周期范围得解. 【详解】()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+，所以()f x ，即2=，又0a >，所以a =()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.又()f x 在6x π=处取得最大值2，所以2sin 2663f πππω⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2632k k Z πππωπ+=+∈，即()112k k Z ω=+∈，又函数()f x 的最小正周期2T π<，所以22ππω<，又0>ω，所以1ω>，所以ω的最小值为13.应选：D【点睛】涉及解决sin cos a x b x)x ϕ+是关键.10．设曲线()1*n y xn +=∈N 在()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ，那么220192010120102010log log log x x x ++⋅⋅⋅+的值为〔 〕A ．2010log 2009-B ．1-C ．2010log 20091-D ．1【答案】B 【分析】利用导数求出切线方程，可求得n x 的表达式，再利用对数的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】 对函数()1*n y xn +=∈N 求导得()1ny n x'=+，切线斜率为1k n =+，所以，曲线()1*n y xn +=∈N 在()1,1处的切线方程为()()111y n x -=+-，即()y n 1x n =+-，由题意可得()10n n x n +-=，可得1n nx n =+，那么()2010201020102010log log log log 11n nx n n n ==-++， 因此，220192010120102010log log log x x x ++⋅⋅⋅+201020102010201020102010log 12log 2log 3log 2009log 20101log =-+-++-=-.应选：B. 【点睛】结论点睛：常见的裂项公式：〔1〕()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；〔2〕()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；〔3〕()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；〔4(1k=. 11．设F 1，F 2为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，点P 是双曲线C 上一点，假设右焦点2(2,0)F ，124PF PF a +=，且一条渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，那么12PF F △的最小内角的余弦值为〔 〕A ．B C D 【答案】C 【分析】由渐近线与圆22(2)1x y -+=相切求得b ，从而求得a ，由1PF 与2PF 的关系求出它们的值，进而判断12PF F △的最小内角，再结合余弦定理即可求解． 【详解】在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，2c =，且0bx ay -=是一条双曲线的渐近线．又0bx ay -=与圆22(2)1x y -+=相切，∴圆心〔2，0〕到直线0bx ay -=的距离1d =，1=，即|2|1b c =，1b =，从而a =124PF PF a +==不妨设点P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知，122PF PF a -==，1224∴==F F c ，13PF a ==，2PF a ==12PF F △的最小内角为12PF F ∠，由余弦定理可得，2222121121122cos PF F F PF F F PF PF F =+-∠，12cos PF F ∴∠=应选：C 【点睛】关键点点睛：由渐近线与圆22(2)1x y -+=相切求得b ，进而求得1PF 与2PF 是关键点．12．函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有f (x +2)=f (x )，且当11x -<时.3,(),x x x Z f x e x Z ⎧∉=⎨∈⎩，函数log ,0()1,0a x x g x x x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩，假设关于x 的方程()()f x g x =在[1,)-+∞恰有5个互异的实数解，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．(]7,9B ．(]11,7,997⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]11,9,11119⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭D ．()(]1111,,9,1010,111110109⎡⎫⎛⎫⋃⋃⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【答案】D 【分析】方程()()f x g x =在[1,)-+∞恰有5个互异的实数解可转化为函数()f x 与()g x 的图象有5个交点，利用图象数形结合，建立不等式求解即可. 【详解】 因为f (x +2)=f (x )， 所以()f x 的周期2T =，作出3,(),x x x Z f x e x Z ⎧∉=⎨∈⎩与log ,0()1,0a x x g x x x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩的图象如下，当0x <时，()f x 与()g x 无交点， 故5个交点同在y 轴的右侧，由图象可知，()y f x =与()y g x =在(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9)这些区间中共有5个交点，故()y g x =会在(9,10)或(10,11]内与1y =相交需满足log 91log 101a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩或log 91log 111a a ⎧<⎪⎨≥⎪⎩解得11091110110a a a a ⎧><<⎪⎪⎨⎪<<<<⎪⎩或或或19091111111a a a a ⎧><<⎪⎪⎨⎪<≤≤<⎪⎩或或，即111110a ≤<或11109a <<或910a <<或1011a <≤，综上可知()(]1111,,9,1010,111110109a ⎡⎫⎛∈⎫⋃⋃⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭， 应选：D 【点睛】关键点点睛：根据方程的根的个数，转化为图象交点的个数，利用数形结合的思想，根据交点个数建立不等式，是解决此题的关键所在，属于较难题目.二、填空题13．假设x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩， ，那么z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，那么z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯=. 故答案为：7.【点晴】此题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．262()x x+的展开式中常数项是__________〔用数字作答〕．【答案】240 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项. 【详解】622xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项：()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=. 故答案为：240. 【点睛】此题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()n a b +的展开通项公式1C r n r r r n T a b -+=，考查了分析能力和计算能力，属于根底题.15．圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】23π 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如下图， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于223122AM -=1222222S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，那么： ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()1332222r =⨯++⨯= 解得：22r ，其体积：3423V r π==. 2. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出适宜的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16．数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，那么1a =______________.【答案】7【分析】对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a 方程，求解即可得出结论.【详解】2(1)31n n n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++ 135********()()a a a a a a a a =+++++++ 111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++11(102)(140)(5172941)a a ++++++++118392928484540a a =++=+=，17a ∴=.故答案为：7.【点睛】此题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.。
高考数学二轮复习客观题满分限时练2理
限时练2(时间:45分钟,满分:80分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022北京,1)已知全集U={x|3<x<3},集合A={x|2<x≤1},则∁U A=()A.(2,1]B.(3,2)∪[1,3)C.[2,1)D.(3,2]∪(1,3)2.(2023全国甲,理2)若复数(a+i)(1a i)=2,则a=()A.1B.0C.1D.23.(2023全国甲,理6)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为()A.0.8B.0.6C.0.5D.0.44.(2023四川泸州三模)执行下图所示的程序框图,若输入N的值为8,则输出S的值为()A. B. C.0 D.5.(2023江西南昌二模)已知函数f(x)=2sin x,命题p:∃x1,x2∈(0,π),使得f(x1)+f(x2)=2,命题q:∀x1,x2∈(),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则下列命题中为真命题的是()A.p∨qB.p∧qC.p∧( q)D.( p)∧( q)6.(2023河南郑州三模)若向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,则向量b与向量ab的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°7.(2023安徽黄山二模)先后掷两次骰子,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A=“x+y为奇数”,事件B=“x,y满足x+y<6”,则概率P(B|A)=()A. B. C. D.8.(2023山东泰安一模)若的二项展开式中x6的系数是16,则实数a的值是()A.2B.1C.1D.29.(2023河南郑州一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知角C=,b sin(+A)a sin(+B)=c,则角B=()A. B. C. D.10.在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=BC=2,CC1=2,则异面直线AC1与A1B1所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°11.(2023河北张家口一模)已知实数a,b,c满足log a2=e,b=,ln c=,则()A.log c a>log a bB.a c1>b a1C.log a c<log b cD.c a>b c12.已知F1,F2分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在第二象限内,且满足|F1P|=a,()·=0,线段F1P与双曲线C交于点Q,若|F1P|=3|F1Q|,则C的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2023宁夏银川一中一模改编)已知函数f(x)=对任意x1,x2∈R,且x1≠x2,都有>0成立,则a的取值范围是.14.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2sin A sin C=1+2cos A cos C,a+c=3sin B,则b的最小值为.15.(2022浙江,17)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则+…+的取值范围是.16.(2023河北邯郸二模)已知O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为B,线段BF的中垂线交C于M,N两点,交y轴于点P,=2,△BMN的周长为16,则椭圆的标准方程为.限时练21.D解析∵U={x|3<x<3},∴∁U A=(3,2]∪(1,3),故选D.2.C解析由(a+i)(1a i)=2,可得a+i a2i+a=2,即2a+(1a2)i=2,所以解得a=1.故选C.3.A解析从该校的学生中任取一名学生,记A表示事件:“取到的学生爱好滑冰”,B表示事件:“取到的学生爱好滑雪”.由题设知P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(A∪B)=0.7.由P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB),得P(AB)=P(A)+P(B)P(A∪B)=0.6+0.50.7=0.4.所求的概率为P(A|B)==0.8.4.C解析程序运行可得S=sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin+1++01+0=0.故选C.5.A解析命题p:当0<x<π时,0<sin x≤1,所以1<2sin x≤2,即1<f(x)≤2,则∀x1,x2∈(0,π),f(x1)+f(x2)>2,故命题p为假命题;命题q:当<x<时,由复合函数的单调性得f(x)=2sin x在()上是增函数,所以当<x1<x2<时,f(x1)<f(x2),故命题q为真命题.则命题p∨q为真,故A正确;命题p∧q为假,故B错误;命题p∧( q)为假,故C错误;命题( p)∧( q)为假,故D错误.故选A. 6.D解析由题意|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=|a|2=|b|2,所以2a·b=|a|2,所以|ab|=|a|.b(ab)=|b||ab|cos<b,ab>=|a|2cos<b,ab>,又b(ab)=b·ab2=|a|2|a|2=|a|2,所以|a|2cos<b,ab>=|a|2,cos<b,ab>=,又0°≤<b,ab>≤180°,所以<b,ab>=150°.故选D.7.B解析用(x,y)表示先后掷两次骰子分别得到的点数,基本事件的个数为6×6=36.记事件C=“x+y为奇数,且x+y<6”,所以事件A包含的基本事件的个数为3×3×2=18,事件C包含的基本事件个数为(1,2),(1,4),(2,3),(2,1),(4,1),(3,2),共6个,根据古典概率公式知,P(A)=,P(C)=P(AB)=,P(B|A)=故选B.8.D解析(x)8的二项展开式的通项公式为T r+1=x8r·()r=(a)r x82r,0≤r≤8,r∈N*.令82r=6,得到r=1.由x6的系数是16,得到(a)1=16,解得a=2.故选D.9.C解析由题意及正弦定理,得sin B·sin(+A)sin A sin(+B)=sin C,整理得(sin B cos A sin A cos B)=,即sin(BA)=1.因为A,B∈(0,),所以BA∈(),所以BA=又B+A=,所以B=故选C.10.C解析由题画图(图略),连接AC1,BC1,又AB∥A1B1,则∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角或其补角.∵AB⊥BC,且三棱柱为直三棱柱,∴AB⊥CC1,BC∩CC1=C,∴AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥BC1,又AB=BC=2,CC1=2,∴BC1==2,∴tan∠BAC1=,∴∠BAC1=60°.故选C.11.D解析由log a2=e,得a e=2,∴a=又b=,函数y=2x在R上是增函数,∴a<b<20=1.由ln c=>0,得c>1,∴c>1>b>a>0,∴y=log c x在(0,+∞)上是增函数,y=log a x在(0,+∞)上是减函数,故log c a<log c1=0,log a b>log a1=0,∴log c a<log a b,A错;由c1>0,得a c1<1.∵a1<0,∴b a1>1,故a c1<b a1,B错;∵log a c=,log b c=,且log c a<log c b<0,,即log a c>log b c,C错;∵c a>c0=1,b c<b0=1,故c a>b c,D对.故选D.12.C解析取线段F1P的中点E,连接F2E,因为()=0,所以F2E⊥F1P,所以△F1F2P是等腰三角形,且|F2P|=|F1F2|=2c,在Rt△F1EF2中,cos∠F2F1E=,连接F2Q,又|F1Q|=,点Q在双曲线C上,由|F2Q||F1Q|=2a,则|F2Q|=,在△F1QF2中,cos∠F2F1Q=,整理得12c2=17a2,所以离心率e=故选C.13.(1,2]解析因为对任意x1≠x2,都有>0成立,所以f(x)在定义域内是增函数,所以解得1<a≤2,即a的取值范围是(1,2].14解析因为2sin A sin C=1+2cos A cos C,整理可得cos(A+C)=因为A+B+C=π,所以cos B=又因为0<B<π,所以B=由余弦定理可得b2=a2+c2ac=(a+c)23ac,又因为a+c=3sin B=,所以b2=3ac3()2=,当且仅当a=c=时等号成立,所以b的最小值为15.[12+2,16]解析如图,以圆心为原点,A3A7所在直线为x轴,A1A5所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A1(0,1),A2(),A3(1,0),A4(,),A5(0,1),A6(,),A7(1,0),A8().设P(x,y),则+…+=8(x2+y2)+8.因为cos22.5°≤|OP|≤1,所以x2+y2≤1,故所求取值范围为[12+2,16].16=1解析设椭圆的半焦距为c.如图,由=2,得点P在线段BO上,且|BP|=b,|PO|=b.连接PF,由点P在线段BF的中垂线上,得|BP|=|PF|.在Rt△POF中,由勾股定理得|OP|2+|OF|2=|PF|2,所以(b)2+c2=(b)2,整理得b2=3c2,所以a2c2=3c2,即a2=4c2,所以a=2c.在Rt△BOF中,cos∠BFO=,所以∠BFO=设直线MN交x轴于点F',交BF于点H,在Rt△HFF'中,有|FF'|==a=2c,所以F'为椭圆C的左焦点.又|MB|=|MF|,|NB|=|NF|,所以△BMN的周长等于△FMN的周长.又△FMN的周长为4a,所以4a=16,解得a=4,所以c=2,b2=a2c2=12.故答案为=1.。
高一数学1.1.1集合的含义与表示1限时练2
集合的含义与表示（第2课时）一．知识巩固（一）选择题（共9题，每题5分，共45分） 1.(李东峰) 下列集合的表示方法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R}B ．不等式x －1<4的解集为{x <5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R 2.(李东峰) 给出下列说法:①在直角坐标平面内,第一、三象限内的点组成的集合为{(x,y )|xy >0}; ②所有奇数组成的集合为{x|x =2n +1}; ③集合{(x,y )|y =1-x }与{x|y =1-x }是同一集合. 其中正确的有( ) A.1个 B.2个C.3个D.0个3.(李东峰) .集合{x ∈N +|2x -1<9}的另一种表示方法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}4.(李东峰) 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}5.(李东峰) 下列各组集合，表示相等集合的是( )①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}； ②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}； ③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}． A ．① B ．②C ．③D ．以上都不对6．下列四个集合中，是空集的是( )A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+-7.(李东峰)已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8.(李东峰) 方程x 2–1=0的解集可表示为 ( )A ．{x =1或x =–1}B ．{x 2–1=0}C ．1，–1D ．{1，–1}9.(李东峰)对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是 ( )A ．{x |x 是小于18的正奇数}B ．{x |x =4k +1，k ∈Z ，且k <5}C ．{x |x =4t –3，t ∈N ，且t ≤5}D ．{x |x =4s –3，s ∈N *，且s ≤5}二．能力提升（一）选择题（共4题，每题5分，共20分） 10. (李东峰)已知M ＝{x |x －1<2}，那么( )A ．2∈M ，－2∈MB ．2∈M ，－2∉MC ．2∉M ，－2∉MD ．2∉M ，－2∈M11.(李东峰) 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．212.(李东峰) 下列命题中正确的是( )A ．集合{x |x 2＝1，x ∈R}中有两个元素 B ．集合{0}中没有元素 C.13∈{x |x <23}D ．{1,2}与{2,1}是不同的集合13.(李东峰)集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈B B ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B （二）填空题（共6题，共35分）14.（杨素娟）用列举法表示集合A={y|y=x 2-1,-2≤x ≤2,且x ∈Z}是________ ． 15.（杨素娟）集合{x ∈N |2x －5＜0}中所有元素的和为________．16.（杨素娟）若A={2,3,4},B={x|x=n-m，m，n∈A,m≠n},则集合B中的元素个数为________.17.（杨素娟）设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.18.（杨素娟）若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．19.（杨素娟）已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为________20．由||||(,)a ba b Ra b+∈所确定的实数集合是 .（三）解答题（15分）21.(李东峰)用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．(3)所有能被3整除的数的集合；(4)方程(x－1)(x－2)＝0的解集；(5)不等式2x－1>5的解集．三．拓展延伸（22题10分，23题10分，24题15分）22．已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和等于3,求实数a的值,并用列举法表示集合M.23.（杨素娟）已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值的集合.24．若集合A＝221y kx xy⎧⎫⎧=--⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭（x,y）| 有且只有一个元素，试求出实数k的值，并用列举法表示集合A.班级：小组：组号：姓名：__________ 一、选择题二、填空题14、15、16、17、18、19、20、。
高三数学限时练习题
高三数学限时练习题本文是一份高三数学限时练习题集，旨在帮助学生加强对数学知识的掌握和应用能力。
请同学们根据题目要求认真思考并完成每一道题目，以检验自己在数学方面的能力。
第一题：已知函数 f(x) = 2x^2 + bx + c，其中 b，c 为常数。
若该函数在 x = -2 处有极值，并且在 x = -1 处取得最小值 -5，则求函数 f(x) 的解析式。
第二题：给定一准直光线 AO 与反射线 BC，如图所示。
已知入射角α=60°，折射角β=30°，弯折角δ=105°。
求反射角θ。
（插入图示）第三题：已知集合 A = {x | x^2 - 5x + 6 ≤ 0}，集合 B = {x | 2x - 1 > 0}，求 A∩ B 的解集。
第四题：某市的人口数量随年份变化，已知2015 年的人口数量为100 万人，且每年增长率恒定。
设 x 为年份，y 为该年份的人口数量（单位：万人）。
试求人口数量 y 关于年份 x 的增长函数 f(x) 的解析式，函数图像的横坐标为年份 x（2015 ≤ x ≤ 2020），纵坐标为人口数量y（单位：万人）。
第五题：已知集合 U = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}，集合A = {x | 2x + 1 ≠ 0}，集合 B = {x | -x^2 + 4x ≠ 0}，求集合 A ∪ B 的解集。
第六题：某公司计划购买一批电脑，设公司购买的电脑总价为 x 元（单位：万元），购买数量为 N 台。
电脑的单价为 4000 元/台。
已知公司预算为 100 万元，且购买数量 N 为整数。
求购买数量 N 的取值范围，使得购买电脑的总价 x 不超过预算。
题目描述如上，请同学们认真思考，通过合理的数学计算和推理，逐题解答。
希望这份限时练习题能够为同学们的数学学习提供一定的帮助。
如果遇到任何难题，可以向老师或同学请教，共同进步。
加油！（文章共计193字）。
高考数学二轮复习习题 小题综合限时练(二) Word版含答案
(限时：分钟)一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) .已知集合＝{－－≤}，＝{(－)＞}，则∩＝( ).(，) .(，].(－，－) .[－，－)解析∵－－≤，∴－≤≤，∴＝[－，].又∵(－)＞，∴－－＞，∴＜－或＞，∴＝(－∞，－)∪(，＋∞).∴∩＝(，].故选.答案.若复数满足(－)＝，则的虚部为( ).－.－解析依题意得＝＝＝＋，因此复数的虚部为.故选.答案.在等比数列{}中，若、是方程－＋＝的两根，则的值是( ).±.－.±解析由题意可知＝，＝，或＝，＝.当＝，＝时，设公比为，则＝＝，∴＝，∴＝＝；同理可求当＝，＝时，＝.答案.将函数()＝的图象向右平移φ个单位长度后得到函数()的图象，若对于满足()－()＝的，，有－＝，则φ＝( )解析由题意知，()＝(－φ)，－≤()≤，又－≤()≤，若，满足()－()＝，则，分别是函数()，()的最值点，不妨设()＝－，()＝，则＝＋π(∈)，＝＋π(∈)，－＝(，∈)，又－＝，＜φ＜，所以－φ＝，得φ＝，故选.答案.如图，多面体－的底面为正方形，＝＝，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )解析注意，在平面上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除，选项，观察，选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则，的投影为虚线，故选.答案.已知直线＋＋－＝(＞)经过圆＋－－＝的圆心，则＋的最小值是( )解析依题意得，圆心坐标是(，)，于是有＋＝，＋＝(＋)＝＋＋≥＋＝，当且仅当即＝＝时取等号，因此＋的最小值是.故选.答案.已知四面体－的四个顶点都在球的球面上，若⊥平面，⊥，且＝，＝＝，则球的表面积为( )π ππ π解析依题意记题中的球的半径是，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是、、，于是有()＝＋＋＝，π＝π，∴球的表面积为π.。
专题02：临考强化新高考数学小题综合限时提分专练(解析版)
专题02：考强化新高考数学小题综合提分专练（解析版）一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,4M =，{}2,5,6N =，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}1B ．{}1,4C ．5,6D ．{}1,2,4,5,6【答案】C 【分析】根据集合的补集和交集运算的概念可求得结果. 【详解】由韦恩图可知，阴影部分所表示的集合是(){}{}{}3,5,62,5,65,6UM N ⋂=⋂=.故选：C.2．已知复数z 满足1212i iz i i--⋅=++，则z =（ ） A ．3455-i B ．4355i -C ．3455i +D ．4355i +【答案】D 【分析】根据复数运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，复数()()()()()()()()11221234,1112225i i i i i i ii i i i i i i -------==-==++-++-， 因为1212i i z i i--⋅=++，即34()55z i i ⋅-=-，所以4355z i =+.故选：D.3．已知0a >，且1a ≠．若1b a >，则（ ） A ． ab b >B ． ab b <C ．a b >D ．a b <【答案】A 【分析】对a 分成01a <<和1a >两种情况进行分类讨论，由此确定正确选项. 【详解】依题意0a >，且1a ≠，1b a >当01a <<时，0b <，(),10,a b ab b b a ab b >-=->>，由此排除BD 选项. 当1a >时，()0,10,b ab b b a ab b >-=->>，,a b 可能相同，如22,21a b ==>，由此排除C 选项. 故选：A4．向量a ，b 满足||4a =，()0b a b ⋅-=．若a b λ-的最小值为()2λ∈R ，则a b ⋅=（ ） A ．0 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C 【分析】由已知得2a b b ⋅=，然后把a b λ-平方转化为数量积的运算，利用二次函数知识得最小值，从而求得a b ⋅． 【详解】()20b a b a b b ⋅-=⋅-=，所以2a b b ⋅=，222222162()a b a a b b a b a b λλλλλ-=-⋅+=-⋅+⋅，由题意264()4()464a b a b ⋅-⋅=，解得8a b ⋅=．故选：C ．5．函数sin ()()x f x e x ππ=-≤≤的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】求出函数的导数，根据导数求出函数的单调性，即可判断. 【详解】 函数sin ()()xf x ex ππ=-≤≤，sin ()cos x f x e x '=，,2x ππ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭和,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，只有D 符合.故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．将函数()cos f x x =图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12，再向左平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 是（ ） A ．周期为4π的奇函数 B ．周期为4π的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为π的偶函数【答案】C 【分析】首先根据图象变换求函数()g x 的解析式，再判断函数的性质. 【详解】将函数()cos f x x =图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12，可得cos 2y x =的图象， 再向左平移4π个单位，得到函数()cos 2sin 22g x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭的图象，故()g x 是周期为π的奇函数. 故选：C .7．高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布()50,100N ；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布()60,16N ，若住同一地方的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（ ） A ．①、② B ．②、①C ．①、①D ．②、②【答案】B 【分析】分别比较甲、乙走线路①、②的概率大小，由此可得出结论. 【详解】对于甲，若有70分钟可走，走第一条线路赶到的概率为()()705070210P X -⎛⎫≤=Φ=Φ ⎪⎝⎭，走第二条线路赶到的概率为()()706070 2.54P X -⎛⎫≤=Φ=Φ⎪⎝⎭，()()2 2.5Φ<Φ，所以甲应走线路②；对于乙，若有64分钟可走，走第一条线路的概率为()()645064 1.410P X -⎛⎫≤=Φ=Φ ⎪⎝⎭，走第二条线路赶到的概率为()()64606414P X -⎛⎫≤=Φ=Φ⎪⎝⎭， ()()1.41Φ>Φ，所以乙应走线路①.故选：B.【点睛】 结论点睛：若()2,XN μσ，作变换X Y μσ-=，则()0,1YN ，()P X ξμξσ-⎛⎫≤=Φ ⎪⎝⎭.8．已知函数21()ln 12f x x x =-+，若()0f x kx ->恰有3个正整数解，则k 的取值范围为（ ） A ．ln 27ln 37,2436⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．ln 27ln 37,2436⎛⎫--⎪⎝⎭ C ．ln 27ln 37,2436⎛⎤--⎥⎝⎦ D ．ln 27ln 37,2436⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【分析】不等式有解问题转化为相应两个函数图象交点问题，根据数形结合思想，通过运算进行求解即可. 【详解】解：由题意，()0f x kx ->恰有3个正整数解，转换为ln y x =的图象与2112y x kx =-+的图象交点问题， 作出ln y x =和2112y x kx =-+的图象，如图：要使21ln 12x x kx >-+恰有3个正整数解， 则需满足：9ln 313k2ln 474k⎧>-+⎪⎨⎪<+⎩， 解得：ln 27ln 372436k -<<-， 故选：B ． 【点睛】方法点睛：不等式解和方程根的问题往往转化为函数图象交点问题，利用数形结合思想进行求解.二、多选题9．新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容（ ） A ．可能是家常菜青椒土豆丝 B ．可能是川菜干烧大虾 C ．可能是烹制西式点心 D ．可能是烹制中式面食【答案】BD 【分析】根据合情推理，分别假设小华选择的烹饪选修课，判断甲、乙、丙的说法即可得出选项. 【详解】若小华选择的是家常菜青椒土豆丝，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足条件，排除；若小华选择的是川菜干烧大虾，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足条件； 若小华选择的是烹制西式点心，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足条件，排除； 若小华选择的是烹制中式面食，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足条件． 故小华选择的可能是川菜干烧大虾或者烹制中式面食， 所以选：BD ． 10．已知复数121z i=-+（i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）． A ．1z 对应的点在第三象限B ．1z 的虚部为1-C ．414z =D ．满足1z z =的复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上 【答案】AB 【分析】根据复数的运算法则，化简得到11z i =--，根据复数的坐标表示，可判定A 正确，根据复数的概念，可判定B 正确；根据复数的运算，可判定C 不正确；根据复数的几何意义，可判定D 不正确. 【详解】 由题意，复数()()()12121111i z i i i i --===---+-+--， 所以复数1z 在复平面内对应的点(1,1)--位于第三象限，所以A 正确； 由11z i =--，可得复数的虚部为1-，所以B 正确；由()()()2422411124z i i i ⎡⎤=--=--==-⎣⎦，所以C 不正确；由1z ==所以满足1z z =的复数z D 不正确. 故选：AB.11．已知0a >，0b >，21a b +=，则（ ）A ．2215a b +≥B ．113a b+≥+ C ．22a b +> D ．22log log 3a b +≤-【答案】ABD 【分析】利用12a b =-将22a b +化为关于b 的二次函数形式，结合b 的范围可求得A 正确；由()11112a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可知B 正确； 由11a b b +=-<可知C 错误；利用基本不等式可求得18ab ≤，结合对数函数单调性可求得D 正确. 【详解】 对于A ，0a >，0b >，21a b +=，120a b ∴=->，解得：102b <<， ()2222212541a b b b b b ∴+=-+=-+，∴当25b =时，()2min 4815411555b b -+=-+=，2215a b ∴+≥，A 正确；对于B ，()111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当2b aa b=，即a =时取等号，B 正确； 对于C ，0b >，21a b +=，11a b b ∴+=-<，22a b +∴<，C 错误；对于D ，21a b +=≥（当且仅当2a b =时取等号），18ab ∴≤，22221log log log log 38a b ab ∴+=≤=-，D 正确.故选：ABD. 【点睛】易错点睛：本题重点考查了利用基本不等式和函数单调性求最值的问题；利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等. （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12．在四面体ABCD 中，ABC 是边长为2的正三角形.60ADB ∠=︒，二面角D AB C --的大小为60︒，则下列说法正确的是（ ）A ．AB CD ⊥B ．四面体ABCD 的体积V 的最大值为C ．棱CDD ．四面体ABCD 的体积最大时，四面体ABCD 的外接球的表面积为529π 【答案】BCD 【分析】若AB CD ⊥，取AB 的中点为点E ，可证明DE AB ⊥，得ABD 是正三角形，与已知条件不符，判断A ；四面体ABCD 的体积V 最大，即D 到平面ABC 距离最大，而二面角D AB C --不变，因此D 到AB 距离最大，D 在以AB 为弦的圆弧上，因此ABD △为正三角形，由此可求得四面体体积，判断B ，可得此时CD 最小，求出CD长度判断C ，作,ABC ABD 外心作所在面的垂线得球心，求出球半径可得球表面积，从而判断D ． 【详解】由题意可知，对于选项A ，若AB CD ⊥，可取AB 的中点为点E ，由ABC 是正三角形，可得CE AB ⊥，CDCE C =，,CD CE ⊂平面CDE ，由AB ⊥平面CDE ，而DE ⊂平面CDE ，则DE AB ⊥，则ABD 是正三角形，已知中ABD 不一定是正三角形，所以选项A 错误；对于选项B ，60ADB ∠=︒，D 点在以AB 为弦的圆弧上，点D 对,A B 的张角为60︒，D 到AB 的距离最大值为3（此时ABD △为正三角形），四面体ABCD 的体积13ABC V S DF =⋅△（DF 为三棱锥D ABC -的高），高DF 最大时，D 到边AB 的距离最大（因为二面角D AB C --固定不变），ABD △为正三角形，DEC ∠为二面角D AB C --的平面角，大小为60︒，此时33sin 602DF =⨯︒=，体积达到最大值，且113333322ABC V S DF =⋅≤⋅⋅=△，所以选项B 正确； 由选项B 可知，同样由对称性．当高DF 最大时(或ABD △为正三角形时)，此时CD 最小，333cos 602CF =-⨯︒=，22min 33322CD ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项C 正确；对于选项D ，ABD △和ABC 都是正三角形，M 是ABD △外心，可过点M 作MT ⊥平面ABD ，F 是ABC 外心，过F 作FT ⊥平面ABC ，FT 与MT 交于点T ，则T 为D ABC -外接球球心，易知延长,DM CF 交于点E 为AB 中点，60MEF ∠=︒（二面角D AB C --的平面角）， 由上面所作线面垂直得,TF CE TM DE ⊥⊥，223333DM CF ==⨯=， 所以TM TF =，所以1302MET FET DEC ∠=∠=∠=︒， 132EF CF ==，331tan 30333TF EF =︒=⨯=， 所以222212313339R TC ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，则外接球的表面积为25249R ππ=，所以选项D 正确．故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间直线平面间垂直关系，考查四面体的体积与球的表面积，解题关键是确定四面体体积最大时，ABD △为正三角形，在此条件下求得四面体体积，线段长，外接球半径得球表面积．三、填空题13．若2sin15a =︒，4cos15b =︒，a 与b 的夹角为30°，则a b ⋅=___________. 3【分析】利用数量积定义及二倍角公式，即可得到结果.【详解】 ∵2sin15a =︒，4cos15b =︒，a 与b 的夹角为30°，∴8sin15cos15cos304sin 30cos302sin 60a b ⋅=︒︒︒=︒︒=︒=14．设8(21)x -280128a a x a x a x =++++，则128a a a +++=___________．【答案】0【分析】先令0x =计算出0a 的值，再令1x =计算出0128a a a a ++++的值，由此可计算出128a a a +++的值.【详解】 令0x =，所以()8011a -==，令1x =，所以2818011a a a a +++=+=，所以128110a a a +++=-=，故答案为：0.【点睛】 方法点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种处理二项展开式相关问题的比较常用的方法.对形如()()()2,,,nn ax b ax bx c a b c R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和、系数的绝对值之和等，可通过令0,1x =±求得相关式子的值，然后求解出结果. 15．设F 为抛物线2y x =的焦点，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则3AF BF +的最小值为__________．1 【分析】直线AB 方程与抛物线方程联立，根据抛物线的定义，结合一元二次方程根与系数关系、基本不等式进行求解即可. 【详解】解：由抛物线的方程可得焦点1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可知，显然直线AB 存在斜率，设直线AB 的方程为：14y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立214y k x y x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，整理可得：2222110216k k x k x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 12116x x =， 由抛物线的性质可得114AF x =+，214BF x =+，所以1231113x x AF BF =++≥=++，故答案为：12+． 【点睛】 关键点睛：利用抛物线的定义，结合基本不等式是解题的关键.16．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确有______.（将所有正确的序号填在横线上）①()f x 的图象关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称 ②()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点④()f x 的值域为[]1,2-【答案】②③【分析】利用特殊值法可判断①；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断②；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断③④.【详解】对于①，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，故①错误；对于②，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故②正确；对于③④，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=-- ()cos x x f x -=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由②可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min 1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，且函数()f x 的值域为⎡-⎣，故③正确，④错误.故答案为：②③.【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）。
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专题分层训练(二十五) 小题综合限时练(2)(时间：45分钟)一、选择题(每小题5分，共60分)1．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( )A．所有奇数的立方都不是奇数B．不存在一个奇数，它的立方是偶数C．存在一个奇数，它的立方是偶数D．不存在一个奇数，它的立方是奇数解析全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方是偶数”．答案 C2．已知集合M＝{1,2，z i}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )A．－2i B．2iC．－4i D．4i解析由M∩N＝{4}，知4∈M，故z i＝4，故z＝4i＝4ii2＝－4i.答案 C3．若直线(a ＋1)x ＋2y ＝0与直线x －ay ＝1互相垂直，则实数a 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析 由(a ＋1)×1＋2×(－a )＝0，得a ＝1.答案 C4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 mx 2＋ny 2＝1可以变形为x 21m＋y 21n＝1，m >n >0⇔0<1m <1n.答案 C5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x －sin 2x B ．y ＝lg|x | C ．y ＝e x －e －x2D ．y ＝x 3解析 由偶函数排除C 、D ，再由在区间(1,2)内是增函数排除A.答案 B6．阅读程序框图(如图)，如果输出的函数值在区间[1,3]上，那么输入的实数x 的取值范围是( )A ．{x ∈R |0≤x ≤log 23}B ．{x ∈R |－2≤x ≤2}C ．{x ∈R |0≤x ≤log 23，或x ＝2}D ．{x ∈R |－2≤x ≤log 23，或x ＝2} 解析 依题意及框图可得，⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <21≤2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧|x |≥2，1≤x ＋1≤3，解得0≤x ≤log 23或x ＝2. 答案 C7．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )解析 根据已知得T ＝2πω＝π，∴ω＝2.由不等式2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．答案 D8．设数集S ＝{a ，b ，c ，d }满足下列两个条件：(1)∀x ，y ∈S ，xy ∈S ；(2)∀x ，y ，z ∈S ，且x ≠y ，则xz ≠yz .现给出如下论断：①a ，b ，c ，d 中必有一个为0；②a ，b ，c ，d 中必有一个为1；③若x ∈S 且xy ＝1，则y ∈S ；④存在互不相等的x ，y ，z ∈S ，使得x 2＝y ，y 2＝z .其中正确论断的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 取满足题设条件的集合S ＝{1，－1，i ，－i}，即可迅速判断②③④是正确的论断．答案 C9．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是( )解析 由三视图可知此几何体为一个底朝上的圆锥，向容器中匀速注水，说明单位时间内注入水的体积相等．设为V 0，由锥体的体积公式可知V ＝13πr 2h ，又r ＝h tan θ(其中θ为圆锥轴截面两母线夹角的一半)， ∴V ＝13πh 3tan 2θ＝tV 0，即h ＝kt 13(k 为常数)，故选B.答案 B10．若直角坐标平面内的两个不同点M ，N 满足条件： ①M ，N 都在函数y ＝f (x )的图象上；②M ，N 关于原点对称，则称点对[M ，N ]为函数y ＝f (x )的一对“友好点对”．(注：点对[M ，N ]与[N ，M ]为同一“友好点对”)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)，此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对解析由题意，当x>0时，将f(x)＝log3x的图象关于原点对称后可知g(x)＝－log3(－x)(x<0)的图象与x<0时f(x)＝－x2－4x存在两个交点，故“友好点对”的数量为2.答案 C11．定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y＝lg(10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数a，b，c给出如下结论：①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)．其中正确结论的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析因为(a*b)*c＝[lg(10a＋10b)]*c＝lg(10lg(10a＋10b)＋10c)＝lg(10a＋10b＋10c)，a*(b*c)＝a*[lg(10b＋10c)]＝lg(10a＋10lg(10b＋10c))＝lg(10a＋10b＋10c)，∴(a*b)*c＝a*(b*c)，即①对；∵a*b＝lg(10a＋10b)，b*a＝lg(10b＋10a)，∴a*b＝b*a，∴②对；(a*b)＋c＝lg(10a＋10b)＋c＝lg[(10a＋10b)×10c]＝lg(10a＋c＋10b＋c)＝(a ＋c )*(b ＋c )，即③对． 答案 D12．已知函数f (x )＝2x －1(x ∈R )．规定：给定一个实数x 0，赋值x 1＝f (x 0)，若x 1≤257，则继续赋值x 2＝f (x 1)；若x 2≤257，则继续赋值x 3＝f (x 2)；……以此类推．若x n －1≤257，则x n ＝f (x n －1)，否则停止赋值．已知赋值k (k ∈N *)次后该过程停止，则x 0的取值范围是( )A ．(27－k ＋1,28－k ＋1]B ．(28－k ＋1,29－k ＋1]C ．(29－k ＋1,210－k ＋1]D ．(28－k,29－k ]解析 依题意得x n ＝2x n －1－1， 则x n －1＝2(x n －1－1)， 于是x n －1＝2n (x 0－1)， 即x n ＝2n (x 0－1)＋1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x k －1≤257，x k >257，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1(x 0－1)＋1≤257，2k(x 0－1)＋1>257，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1(x 0－1)≤28，2k (x 0－1)>28，由此解得28－k ＋1<x 0≤29－k ＋1， 即x 0的取值范围是(28－k ＋1,29－k ＋1]． 答案 B二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为________．解析 由题意知c ＝5，又离心率等于ca＝5，所以a ＝5，b 2＝20，从而双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案x 25－y 220＝1 14．若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________． 解析 设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e.答案 －e15．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动．Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．解析 令Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，12sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x ， 即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －π6，∴y ＝f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，易知y ＝f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1216．设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x ＋k ∈D ，且f (x ＋k )>f (x )恒成立，那么称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝|x －a |－2a ，若f (x )为R 上的“2013型增函数”，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意得，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3a (x ≥a )，－x －a (x <a ).当a ≥0时，函数f (x )的图象如图(1)所示，考虑极大值f (－a )＝2a ， 令x －3a ＝2a ，得x ＝5a ， ∴只需满足5a －(－a )＝6a <2013， 即0≤a ＜6712；当a <0时，函数f (x )的图象如图(2)所示， 且f (x )为增函数， ∵x ＋2013>x ，∴满足f (x ＋2013)>f (x )． 综上可知，a <6712.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，6712。