自主招生数学习题选编不等关系

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数学人教B必修5自主训练：31不等关系与不等式含解析

自主广场我夯基我达标1.已知a ＜0,-1＜b ＜0,下列不等式成立的是( )A.a ＞ab ＞ab 2B.ab 2＞ab ＞aC.ab ＞a ＞ab 2D.ab ＞ab 2＞a思路解析:由于-1＜b ＜0,所以0＜b 2＜1⇒a ＜ab 2＜0,且ab ＞0,易得ab ＞ab 2＞a.本题也可以根据a,b 的范围取特殊值来比较,比如令a=-1,b=21-. 答案:D2.“a ＞0,b ＞0”是“ab ＞0”的…( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件思路解析:由“a ＞0,b ＞0”可推出“ab ＞0”,反之,不一定成立,选A.答案:A3.如果log a 3＞log b 3,且a+b=1,那么( )A.0＜a ＜b ＜1B.0＜b ＜a ＜1C.1＜a ＜bD.1＜b ＜a思路解析:∵a+b=1,a 、b ∈R ,∴0＜a ＜1,0＜b ＜1.∵log a 3＞log b 3,∴ba lg 3lg lg 3lg >. ∴lga ＜lgb.∴0＜a ＜b ＜1.答案:A4.若a=22ln ,b=33ln ,c=55ln ,则( ) A.a ＜b ＜c B.c ＜b ＜aC.c ＜a ＜bD.b ＜a ＜c思路解析:易知a,b,c 都是正值,a b =2ln 33ln 2=log 89＞1,所以b ＞a;5ln 22ln 5=c a =log 2532＞1,所以a ＞c.所以b ＞a ＞c.答案:C5.若f(x)=3x 2-x+1,g(x)=2x 2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系为_____________.思路解析:f(x)-g(x)=3x 2-x+1-(2x 2+x-1)=x 2-2x+2=(x-1)2+1,显然大于0,所以f(x)＞g(x).答案:f(x)＞g(x)6.日常生活中,在一杯糖水中,再加入糖,则这杯糖水变甜了,请根据这一事实提炼出一个不等式.解:设有糖水b 克,其中含糖a 克,再加入m 克糖,则原来的糖水的浓度为ba ×100%,加入m 克糖后, 糖水的浓度变为mb m a ++×100%. 由事实可知糖水变甜,浓度增大,故b a ×100%＜mb m a ++×100%, 答:当0＜a ＜b,m ＞0时,有b a ＜mb m a ++. 7.若a ＞b ＞0,c ＜d ＜0,e ＜0,求证:d b e c a e ->-. 思路分析:本题可以直接使用不等式的性质进行证明,首先根据c ＜d ＜0,得-c ＞-d ＞0,所以a-c ＞b-d ＞0,再由倒数的性质和e ＜0即可得到结论,也可以直接作差进行比较.证明:⎭⎬⎫>>>->-⇒<<000d a d c d c d b e c a e c a e d b e e c a d b d b c a ->-⇒-<-⇒⎪⎭⎪⎬⎫<>->-⇒>->-⇒00110. 8.在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1=b 1＞0,a 3=b 3＞0,且a 1≠a 3,试比较a 2与b 2的大小. 思路分析:根据等比与等差的性质,求出a 2、b 2,再利用作差法比较.解:设{a n }的公比为q,{b n }的公差为d,则a 3=a 1q 2,b 3=b 1+2d=a 1+2d.∵a 3=b 3,∴a 1q 2=a 1+2d,即2d=a 1(q 2-1).∵a 1≠a 3=a 1q 2,∴q 2≠1.∴q≠±1.∵a 2-b 2=a 1q-(a 1+d)=a 1q-a 121-a 1(q 2-1)=21-a 1(q-1)2＜0, ∴a 2＜b 2.我综合我发展9.如果a ＜0,b ＞0,那么,下列不等式中正确的是( ) A.ba 11< B.b a <- C.a 2＜b 2 D.|a|＞|b| 思路解析:如果a ＜0,b ＞0,那么a 1＜0,b 1＞0,∴b a 11<,选A.其余三个选项可以举反例排除. 答案:A10.若a 、b 、c ∈R ,a ＞b,则下列不等式成立的是( ) A.ba 11< B.a 2＞b 2 C.1122+>+c b c a D.a|c|＞b|c| 思路解析:应用间接排除法.取a=1,b=-1,排除A.取a=0,b=-1,排除B;取c=0,排除D.故应该选C.显然112+c ＞0,对不等式a ＞b 的两边同时乘以112+c ,得1122+>+c b c a 成立. 答案:C11.已知a ＞b ＞0,试比较2222b a b a +-与ba b a +-的大小.思路分析:本题用作差法及作商法都可比较大小.解法一:作差法:,0))(()(2))(()]())[((22222222222>++-=+++-+-=+--+-b a b a b a ab b a b a b a b a b a b a b a b a b a ∴b a b a ba b a +->+-2222. 解法二:作商法:,121)(222222222>++=++=+-+-ba ab b a b a ba b a b a b a ∴b a b a ba b a +->+-2222. 12.如果用记号min{p,q}表示p,q 中的较小者,max{p,q}表示p,q 中的较大者.设f(x)=min{x 2-2x+6,x 2+6x+5},g(x)=max{x 2-x+2,x},试比较f(x)和g(x)的大小.思路分析:首先根据两个定义写出f(x)和g(x)的函数表达式,由于其中含有未知量x,可能要对x 的范围进行讨论,然后再作差比较大小.解:由于x 2-2x+6-(x 2+6x+5)=-8x+1,由此可知,当x ＜81时,x 2-2x+6＞x 2+6x+5. 当x≥81时,x 2-2x+6≤x 2+6x+5. 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<++=.81,62,81,56)(22x x x x x x x f 而x 2-x+2-x=x 2-2x+2=(x-1)2+1＞0,所以x 2-x+2＞x.所以g(x)=x 2-x+2.(1)当x ＜81时,f(x)-g(x)=x 2+6x+5-(x 2-x+2)=7x+3, 所以当x=73-时,f(x)=g(x). 当x ＜73-时,f(x)-g(x)＜0,f(x)＜g(x). 当73-＜x ＜81时,f(x)-g(x)＞0,f(x)＞g(x). (2)当x≥81时,f(x)-g(x)=x 2-2x+6-(x 2-x+2)=-x+4, 所以当x=4时,f(x)=g(x).当x ＞4时,f(x)-g(x)＜0,f(x)＜g(x). 当81≤x ＜4时,f(x)-g(x)＞0,f(x)＞g(x). 13.已知a ＞0,b ＞0,且m,n ∈N +,求证:a m+n +b m+n ≥a m b n +a n b m .思路分析:根据所求证的式子的特点,适合比差,也有利于分解因式,最后讨论因式的符号. 证明:(a m+n +b m+n )-(a m b n +a n b m )=a m (a n -b n )+b m (b n -a n )=(a n -b n )(a m -b m ).(1)当a ＞b ＞0时,a n ＞b n ,a m ＞b m .所以(a n -b n )(a m -b m )＞0.所以a m+n +b m+n ≥a m b n +a n b m .(2)同理可证,当b ＞a ＞0时,a m+n +b m+n ≥a m b n +a n b m .(3)当a=b 时,a m+n +b m+n =a m b n +a n b m .综上所述,可知原式得证.。

必修5不等关系(含答案)

不等式考纲链接1.不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3．二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．4．基本不等式：ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题不等关系与不等式[考点梳理]1．两个实数大小的比较(1)a＞b⇔a－b________；(2)a＝b⇔a－b________；(3)a＜b⇔a－b________.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔__________；(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；※(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d；(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________；※(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒ac＞bd；※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒1a＜1b；(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．※注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．自查自纠：1．＞0＝0＜02．(1)b<a(2)a>c(3)>(4)ac>bc ac<bc(5)a＋c>b＋d(7)ac>bd(10)a n>b n(n∈N且n≥2)(11)n a >n b (n ∈N 且n ≥2) [基础自测])已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3 解：根据指数函数的性质得x ＞y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．故选D.已知a ＞0，b ＞0，则a a b b 与a b b a 的大小关系为( )A ．a a b b ≥a b b aB ．a a b b ＜a b b aC ．a a b b ≤a b b aD ．与a ，b 的大小有关解：不妨设a ≥b ＞0，则a b ≥1，a －b ≥0.a a b b a b b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ≥1，即a a b b ≥a b b a .同理当b ＞a ＞0时，亦有a a b b ≥a b b a .故选A.已知a ＝27，b ＝6＋22，则a ，b 的大小关系是a b.解：由于a ＝27，b ＝6＋22，平方作差得a 2－b 2＝28－14－83＝14－83＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫74－3＞0，从而a ＞b.故填＞.若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d－c )＞b (d －c )中成立的是________(填序号)．解：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd ＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④正确．故填②③④.[典例解析]类型一建立不等关系设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1得1≤t <2，由[t 2]＝2得2≤t 2<3，由[t 4]＝4得4≤t 4<5，所以2≤t 2<5，由[t 3]＝3得3≤t 3<4，所以6≤t 5<45，由[t 5]＝5得5≤t 5<6，与6≤t 5<45矛盾，故正整数n 的最大值是4.故选B.小结：解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．本例[x ]表示不超过x 的最大整数，故由[x ]＝k ，可得k ≤x <k ＋1，再由多个不等式结合不等式的性质找到正整数n 的最大值．用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的1k (k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，试从中提炼出一个不等式组．(钉帽厚度不计) 解：假设钉长为1，第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是47；第二次受击后，该次铁钉进入木板部分的长度为47k ，此时进入木板部分的铁钉的总长度为47＋47k ，有47＋47k＜1；第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为47k 2，此时应有47＋47k ＋47k 2，有47＋47k ＋47k2≥1. 所以可从中提炼出一个不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧47＋47k ＜1，47＋47k ＋47k 2≥1.类型二不等式的性质已知下列三个不等式①ab ＞0；②c a ＞d b ；③bc >ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？解：(1)对②变形c a ＞d b ⇔bc －ad ab ＞0，由ab ＞0，bc ＞ad 得②成立，∴①③⇒②.(2)若ab ＞0，bc －ad ab ＞0，则bc ＞ad ，∴①②⇒③.(3)若bc ＞ad ，bc －ad ab ＞0，则ab ＞0，∴②③⇒①.综上所述可组成3个正确命题．小结：运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac 与bc 的大小关系应注意从c ＞0，c ＝0，c ＜0三个方面讨论．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解：由c ＜d ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式性质，得－a d ＞－b c ＞0，所以a d ＜b c .故选D.类型三不等式性质的应用(1)若1<α<3，－4<β<2，则α2－β的取值范围是________．解：由1＜α＜3得12＜α2＜32，由－4＜β＜2得－2＜－β＜4，所以α2－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112. 小结：①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由12＜α2＜32和－4＜β＜2两式相减来得到α2－β的范围．②此类题目用线性规划也可解． (2)已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是________．解：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.∴－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1. ∴－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132. 小结：由于a ＋b ，a －b 的范围已知，所以要求2a ＋3b 的取值范围，只需将2a ＋3b 用已知量a ＋b ，a －b 表示出来，可设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，用待定系数法求出x ，y ，再利用同向不等式的可加性求解． (1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．解：∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，－π2＜－β＜π2，而α＜β，∴－π＜α－β＜0，∴2α－β＝(α－β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.(2)设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围为________．解法一：由已知⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4.①②，f (－2)＝4a －2b. 设4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )(m ，n 为待定系数)，即4a －2b ＝(m ＋n )a －(m －n )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.由①×3＋②×1得5≤4a －2b ≤10，即5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝f （－1），a ＋b ＝f （1）得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （1）＋f （－1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)，后面同解法一．故填[5，10]．类型四比较大小实数b ＞a ＞0，实数m ＞0，比较a ＋mb ＋m 与a b 的大小，则a ＋m b ＋m________a b . 解法一：(作差比较)：a ＋mb ＋m －a b ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）b （b ＋m ）＝m （b －a ）b （b ＋m ）， ∵b ＞a ＞0，m ＞0，∴m （b －a ）b （b ＋m ）＞0，∴a ＋m b ＋m ＞a b. 解法二(作商比较)：∵b ＞a ＞0，m ＞0，∴bm ＞am ⇒ab ＋bm ＞ab ＋am ＞0，∴ab ＋bm ab ＋am ＞1，即a ＋m b ＋m ·b a ＞1⇒a ＋m b ＋m＞a b .故填＞.小结：本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质．作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较c n 与a n ＋b n 的大小，则a n＋b n ________c n .解：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a n ，b n ，c n >0，而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n .∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0<a c <1，02时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，∴a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <a 2＋b 2c2＝1，∴a n ＋b n <c n .故填＜.[归纳小结]1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．[课后作业]1．．已知a ，b 为正数，a ≠b ，n 为正整数，则a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1的正负情况为 ( )A ．恒为正B ．恒为负C ．与n 的奇偶性有关D ．与a ，b 的大小有关解：a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1＝a n (b －a )＋b n (a －b )＝－(a －b )(a n －b n )，因为(a －b )与(a n －b n )同号，所以a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1<0恒成立．故选B.2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋c ≥b －cB ．(a －b )c 2≥0C ．ac >bc D.c 2a －b>0 解：A 项：当c <0时，不等式a ＋c b ⇒a －b >0，c 2≥0，故(a －b )c 2≥0；C 项：当c ＝0时，ac ＝bc ；D 项：当c ＝0时，c 2a －b＝0.故选B. 3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解：由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，消去c 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，5a －b ＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，于是0＜c －6≤3，即6＜c ≤9.故选C.4．如果0＜m ＜b ＜a ，则( )A ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －mB ．cos b a ＜cos b －m a －m ＜cos b ＋m a ＋mC ．cos b －m a －m ＜cos b a ＜cos b ＋m a ＋mD ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b －m a －m＜cos b a 解：作商比较：b ＋m a ＋m ÷b a ＝ab ＋am ab ＋bm ＞1，所以1＞b ＋m a ＋m ＞b a ＞0，同理，0＜b －m a －m ＜b a ＜1，∴1＞b ＋m a ＋m＞b a ＞b －m a －m ＞0.而y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －m(也可取特殊值判断)．故选A.5．设a ＝lg e ，b ＝(lg e )2，c ＝lg e ，则a ，b ，c 的大小关系为________．解：∵e ＜10，∴lg e ＜lg 10＝12，∴(lg e )2＜12·lg e ＝lg e ，即b ＜c.又∵e ＜e ，∴lg e ＜lg e ，即c ＜a.故填b ＜c ＜a.6．定义a *b ＝⎩⎨⎧a ，a ＜b ，b ，a ≥b.已知a ＝30.3，b ＝0.33，c ＝log 30.3，则(a *b )*c ＝________．(结果用a ，b ，c 表示)解：∵log 30.3<0<0.33<1<30.3，∴c <b <a ，∴(a *b )*c ＝b *c ＝c.故填c.7．设实数a ，b ，c 满足：①b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，②c －b ＝4－4a ＋a 2.试确定a ，b ，c 的大小关系．解：∵c －b ＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，又2b ＝2＋2a 2，∴b ＝1＋a 2，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，∴b ＞a ，从而c ≥b ＞a. 8．某企业去年年底给全部的800名员工共发放1 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．则y ＝1 000＋30x 800＋ax(a ∈N *，1≤x ≤10)．假设会超过1.5万元，则当a ＝10时有1 000＋30x800＋10x ＞1.5，解得x ＞403＞10. 所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过1.5万元．(2)设1≤x 1＜x 2≤10，y ＝f (x )＝1 000＋30x800＋ax ，则f (x 2)－f (x 1)＝1 000＋30x 2800＋ax 2－1 000＋30x 1800＋ax 1＝（30×800－1 000a ）（x 2－x 1）（800＋ax 2）（800＋ax 1）＞0，所以30×800－1 000a ＞0，得a ＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ，求c a 的取值范围．解：∵a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，∴a >－(a ＋c )>c ，且3a ＞a ＋b ＋c ＝0＞3c ，则a >0，c <0，∴1>－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞c a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a ＜－1，c a ＞－2，解得－2＜c a ＜－12. 故c a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12. 设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b ；②a c log a ()b －c .其中所有正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解：①∵a >b >1，∴0<1a <1b <1，又c <0，∴c a >c b ，①正确；②由于a >b >1，可设f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当x ＝c ＜0时，根据指数函数的性质，得a c <b c ，②正确；③∵a ＞b ＞1，c ＜0，即a －c ＞b －c ＞1，∴log a (a －c )＞log a (b －c )，又由对数函数的性质知log b (a －c )＞log a (a －c )，∴log b (a －c )＞log a (b －c )，③正确．故选D.。

2023年温州中学自主招生数学试题含答案

2023年温州中学自主招生数学试题2０23．4一试一、选择题:本大题共8题，每题4分,共３2分．在每题给出旳旳四个选项中,只有一项是符合题目规定旳．1.已知b a >，则下列结论对旳旳是 ( ) Ａ． 22b a > B. 33a b > C.b a 11< D. 1>ba２.用黑白两种颜色旳正六边形地面砖拼成若干个图案,规律如下图所示,则第２010个图案中，白色地面砖旳块数是A ．80４２ﻩB ．803８ﻩﻩC ．4０24 ﻩﻩＤ．6033３.有关x 旳整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中,若a b +是偶数,c 是奇数,则（ )Ａ.方程没有整数根 B ．方程有两个相等旳整数根 C ．方程有两个不相等旳整数根 D ．不能鉴定方程整数根旳状况 4．如图所示,一种33⨯旳方格中，每一行，每一列,及每一对角线上旳三个数之和都相等,则x 旳值是( )Ａ.6 B.7 Ｃ.8 D.95.若10010321⨯+⨯+=a a a x ，10010654⨯+⨯+=a a a y 且736=+y x ,其中正整数7９ x6i a 满足71≤≤i a ,)6,5,4,3,2,1(=i ,则在坐标平面上),(y x 表达不一样旳点旳个数为（ )ﻩﻩＡ.60ﻩ B.９0ﻩ Ｃ．11０ﻩ Ｄ.1206．气象台预报：“本市明天降水概率是８０%”,但据经验,气象台预报旳精确率仅为８0%，则在此经验下，本市明天降水旳概率为( )A.８4％Ｂ.８0% C.６8% D.６4％ 7.设nnM 1723⨯+=，其中n 为正整数，则下列结论对旳旳是（ ) A ．有且仅有一种n ,使得M 为完全平方数Ｂ.存在多于一种旳有限个n ,使得M 为完全平方数 C.存在无数个n ,使得M 为完全平方数 D.不存在n ，使得M 为完全平方数８.已知点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上移动，4AB =，则认为AB 直径旳圆．周．所扫过旳区域面积为( ）Ａ.π4 Ｂ． π8 C. 42+π D ． 46+π 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分. 9．若有关x 旳方程51122m x x ++=--无解,则______m =10.在Ｒt △ABC 中，C 为直角顶点，过点C 作ＡB 旳垂线，垂足为Ｄ,若A Ｃ、B Ｃ为方程0262=+-x x 旳两根，则AD ·BD 旳值等于１1．我们规定[]x 表达不超过x 旳最大整数，如:[ 2.1]3-=-，[3]3-=-，[2.2]2=。

数学自主招生试题答案

数学自主招生试题答案一、选择题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且该点为函数的唯一极值点。

若a>0，求b与c的关系。

答案：根据题意，函数f(x)在x=1处取得极小值，因此一阶导数f'(x)在x=1处为0。

首先求导数f'(x) = 2ax + b。

将x=1代入得f'(1) =2a + b = 0。

又因为x=1是唯一极值点，根据二次函数的性质，其判别式Δ = b^2 - 4ac必须小于0。

将f'(1) = 0代入得Δ = (2a)^2- 4a*c = 4a^2 - 4ac < 0。

由于a>0，可以化简得ac < 0，即b与c的关系为c < 0。

2. 已知一个等差数列的前三项分别为a-2，a，a+2，求该数列的前n项和公式。

答案：设等差数列的首项为a1，公差为d。

根据题意，有a1 = a - 2，a2 = a，a3 = a + 2。

由于是等差数列，有a2 = a1 + d，a3 = a2 + d。

将已知条件代入得a = a1 + d，a + 2 = a1 + 2d。

解这个方程组得a1 = a - d，d = 2。

所以首项a1 = a - 2，公差d = 2。

根据等差数列前n项和公式Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，代入a1和d的值，得到Sn = n/2 * (2(a - 2) + (n-1)*2) = n/2 * (2a - 4 + 2n - 2) = n/2 * (2a + 2n - 6)。

二、填空题1. 一个圆的半径为r，求该圆的面积与周长。

答案：圆的面积公式为A = πr^2，周长公式为C = 2πr。

所以该圆的面积为πr^2，周长为2πr。

2. 已知一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，请判断该三角形的形状。

答案：根据勾股定理，如果一个三角形的三边长满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是一个直角三角形。

2022年全国各地自招数学好题汇编之专题04 不等式及不等式组(word版含答案)

专题04 不等式及不等式组一．选择题（共12小题）1．（2021•武进区校级自主招生）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2021•浦东新区校级自主招生）有一个解集为﹣2＜x＜2，它可能是下面哪个不等式组的解集？（a，b均为实数）（）A．B．C．D．3．（2021•江岸区校级自主招生）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（）A．80cm B．75cm C．70cm D．65cm 4．（2020•和平区校级自主招生）已知关于x的不等式组的负整数解只有一个，则实数a的取值范围为（）A．B．C．1D．1 5．（2020•原阳县校级自主招生）不等式≥0的解集是（）A．[1，2]B．[1，2]∪[3，+∞）C．[1，2]∪（3，+∞）D．（3，+∞）6．（2020•赫山区校级自主招生）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜5B．a≤5C．a＞5D．a≥5 7．（2017•涪城区校级自主招生）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（）倍．A．2B．2.5C．3D．4 8．（2018•武昌区校级自主招生）关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．a＝﹣1C．a≥﹣1D．a≤﹣1 9．（2018•即墨区自主招生）[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.1]＝2，[﹣0.5]＝﹣1，则下列说法正确的是（）A．[2x]＝2[x]B．[﹣x]＝﹣[x]C．[x+y]≤[x]+[y]D．设函数y＝x﹣[x]，则0≤y＜1 10．（2018•台儿庄区校级自主招生）若关于x的不等式组的所有整数解的和是10，则m的取值范围是（）A．4＜m＜5B．4＜m≤5C．4≤m＜5D．4≤m≤5 11．（2017•温江区校级自主招生）对于任意的﹣1≤x≤1，ax+2a﹣3＞0恒成立，则a的取值范围为（）A．a＞1或a＝0B．a＞3C．a＞3或a＝0D．1＜a＜3 12．（2017•市北区校级自主招生）满足不等式组的x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3二．填空题（共7小题）13．（2021•渝中区校级自主招生）万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一．以“重庆第一泡•万盛茶飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶、茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开幕，活动持续两周，活动举办方为游客准备了三款2021年的新茶．清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗．第一批采茶的茶叶中清明香的数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的2倍，云雾毛尖的数量（盒）是另外两种茶叶的数量之和．由于品质优良宣传力度大，网上的预定量暴增，举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶．其中清明香增加的数量占总增加数量的，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等．若清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为500元、420元、380元．清明香的售价为每盒640元，活动中将清明香的供游客免费品尝．活动结束时两批茶叶全部卖完，总利润率为16%，且云雾毛尖的销售单价不高于另外两种茶叶销售单价之和的，则滴翠剑茗的单价最低为元．14．（2020•谷城县校级自主招生）已知x＜0，则2+3x+的最大值等于．15．（2020•九龙坡区自主招生）某商场分别组装了甲、乙两种坚果营养袋，它们都由a、b、c三种坚果组成，甲种坚果营养袋每袋装有100克a坚果，300克b坚果，100克c坚果；乙种坚果营养袋每袋装有200克a坚果，100克b坚果，200克c坚果，甲、乙两种坚果营养袋每袋成本价均为袋中a、b、c三种坚果的成本价之和．已知b种坚果每100克的成本价为1元，乙种坚果营养袋每袋售价为5元，成本利润率为25%，甲种坚果营养袋每袋的成本利润率为，则这两种坚果营养袋的销售利润率为时，该商场销售甲、乙两种坚果营养袋的数量之比是．（已知：成本利润率＝利润÷成本；销售利润率＝利润÷售价）16．（2021•宝山区校级自主招生）关于x的方程mx﹣1＝|2x﹣4|有解，则m的取值范围是．17．（2021•巴南区自主招生）某公司对A村、B村、C村进行了合作办企的投资，其投资总额是对C村投资额的倍．随着国家对乡村振兴的高度重视，该公司调整了投资计划，在原投资总额的基础上再增加一部分投资，并按3：3：8的比例分别对A村、B村、C村增加投资．该公司调整投资计划后，若该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的，则该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为．18．（2021•江岸区校级自主招生）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是．19．（2020•和平区校级自主招生）和都是方程ax﹣y＝b的解，则a+b＝．三．解答题（共3小题）20．（2020•沙坪坝区自主招生）阅读下列材料：材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为（a，b），如（12，18）＝6；（7，9）＝1．材料二：求7x+3y＝11的一组整数解，主要分为三个步骤：第一步，用x表示y，得y＝；第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1＝3（4﹣3x）+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x＝2；第三步，将x＝2代入y＝，得y＝﹣1．∴是原方程的一组整数解．材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c均为整数）有整数解，则它的所有整数解为（t为整数）．利用以上材料，解决下列问题：（1）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99的一组整数解；（2）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99有几组正整数解．21．（2020•浙江自主招生）求使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|＝c恰好有两个解的所有实数c的范围．22．（2021•黄州区校级自主招生）（1）解方程组：（2）解不等式：专题04 不等式及不等式组参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2021•武进区校级自主招生）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，∵，∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；若三个整数解为0，1，2，则；解得．故选：B．2．（2021•浦东新区校级自主招生）有一个解集为﹣2＜x＜2，它可能是下面哪个不等式组的解集？（a，b均为实数）（）A．B．C．D．【解答】解：∵﹣2＜x＜2，∴x＞﹣2且x＜2，∴﹣x＜1且x＜1，即解集为﹣2＜x＜2的不等式组是，而只有D的形式和的形式相同，∴只有D解集有可能为﹣2＜x＜2．故选：D．3．（2021•江岸区校级自主招生）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（）A．80cm B．75cm C．70cm D．65cm【解答】解：设长方体木块长xcm、宽ycm，桌子的高为acm，由题意得：，两式相加得：2a＝150，解得：a＝75，故选：B．4．（2020•和平区校级自主招生）已知关于x的不等式组的负整数解只有一个，则实数a的取值范围为（）A．B．C．1D．1【解答】解：解不等式2x≥3（x﹣2）+5，得：x≤1，∵不等式组的负整数解只有1个，∴﹣2≤2a﹣3＜﹣1，解得≤a＜1，故选：A．5．（2020•原阳县校级自主招生）不等式≥0的解集是（）A．[1，2]B．[1，2]∪[3，+∞）C．[1，2]∪（3，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：由题意得，≥0，则或，解得x＞3或1≤x≤2，所以不等式的解集是x＞3或1≤x≤2．故选：C．6．（2020•赫山区校级自主招生）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜5B．a≤5C．a＞5D．a≥5【解答】解：，由①得x＜a﹣1，由②得x≥4，∵不等式组有解，∴解集应是4≤x＜a﹣1，则a﹣1＞4，即a＞5，实数a的取值范围是a＞5．故选：C．7．（2017•涪城区校级自主招生）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（）倍．A．2B．2.5C．3D．4【解答】解：设普通火车速度为vm/min，城际快车速度为nvm/min，已知普通火车从绵阳至成都历时大约2h＝120min，由v＝可得两地距离：s＝v×120，普通火车与城际快车两列对开，途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，即：s普+s城＝s，所以：v×80+nv×20＝s，所以：v×80+nv×20＝v×120，解得：n＝2．故选：A．8．（2018•武昌区校级自主招生）关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．a＝﹣1C．a≥﹣1D．a≤﹣1【解答】解：，由不等式①，得x＜﹣2，由不等式②，得x≥a﹣1，∵关于x的不等式组无解，∴a﹣1≥﹣2，解得a≥﹣1，故选：C．9．（2018•即墨区自主招生）[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.1]＝2，[﹣0.5]＝﹣1，则下列说法正确的是（）A．[2x]＝2[x]B．[﹣x]＝﹣[x]C．[x+y]≤[x]+[y]D．设函数y＝x﹣[x]，则0≤y＜1【解答】解：A、设x＝﹣1.4，[2x]＝[﹣2.8]＝﹣3，2[x]＝﹣4，所以A选项错误；B、设x＝﹣1.8，则[﹣x]＝1，﹣[x]＝2，即[﹣x]≠﹣[x]，所以B选项错误；C、设x＝y＝1.8，对A，[x+y]＝[3.6]＝3，[x]+[y]＝1+1＝2，所以C选项错误．D、设函数y＝x﹣[x]，则0≤y＜1，故D选项正确．故选：D．10．（2018•台儿庄区校级自主招生）若关于x的不等式组的所有整数解的和是10，则m的取值范围是（）A．4＜m＜5B．4＜m≤5C．4≤m＜5D．4≤m≤5【解答】解：解不等式3﹣2x≤1，得：x≥1，解不等式x﹣m＜0，得：x＜m，则不等式组的解集为1≤x＜m，∵不等式组的整数解的和为10，∴不等式组的整数解为1、2、3、4，则4＜m≤5，故选：B．11．（2017•温江区校级自主招生）对于任意的﹣1≤x≤1，ax+2a﹣3＞0恒成立，则a的取值范围为（）A．a＞1或a＝0B．a＞3C．a＞3或a＝0D．1＜a＜3【解答】解：由ax+2a﹣3＞0得，ax＞3﹣2a，当a＞0时，不等式的解集为x＞，对于任意的﹣1≤x≤1，ax+2a﹣3＞0恒成立，∴＜﹣1，解得，a＞3；当a＝0时，不等式无解，舍去；当a＜0时，不等式的解集为x＜，∵对于任意的﹣1≤x≤1，ax+2a﹣3＞0恒成立，∴＞1，解得，a＞1（与a＜0矛盾，舍去）；综上，a＞3．故选：B．12．（2017•市北区校级自主招生）满足不等式组的x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3【解答】解：解不等式|x|＜3得﹣3＜x＜3，解不等式x+1＞0，得x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x＜3，故选：C．二．填空题（共7小题）13．（2021•渝中区校级自主招生）万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一．以“重庆第一泡•万盛茶飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶、茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开幕，活动持续两周，活动举办方为游客准备了三款2021年的新茶．清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗．第一批采茶的茶叶中清明香的数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的2倍，云雾毛尖的数量（盒）是另外两种茶叶的数量之和．由于品质优良宣传力度大，网上的预定量暴增，举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶．其中清明香增加的数量占总增加数量的，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等．若清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为500元、420元、380元．清明香的售价为每盒640元，活动中将清明香的供游客免费品尝．活动结束时两批茶叶全部卖完，总利润率为16%，且云雾毛尖的销售单价不高于另外两种茶叶销售单价之和的，则滴翠剑茗的单价最低为460元．【解答】解：∵第一批采茶的茶叶中清明香的数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的2倍，云雾毛尖的数量（盒）是另外两种茶叶的数量之和，∴第一批采制的茶叶中清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量（盒）之比为2：3：1，∵第二批采制后清明香增加的数量占总增加数量的，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等，即云雾毛尖、滴翠剑茗的数量各占，∴增加后清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量（盒）之比为：：＝8：5：5，设总共有a盒茶叶，∴成本为×500a+×420a+×380a＝a（元），销售额应为×（1+16%）a＝a（元），清明香的销售额为640××（1﹣）a＝a（元），另外两种茶的销售总额为a﹣a＝a（元），设滴翠剑茗最低价为x元，则云雾毛尖最高价为（640+x）元，因此可建立方程xa+×（640+x）•a＝a，解得x＝460，因此滴翠剑茗单价最低为460元，故答案为：460．14．（2020•谷城县校级自主招生）已知x＜0，则2+3x+的最大值等于2﹣4．【解答】解：∵x＜0，∴3x+≤﹣2＝﹣4，∴2+3x+≤2﹣4，当且仅当3x＝时等号成立，取得最小值2﹣4．故答案为：2﹣4．15．（2020•九龙坡区自主招生）某商场分别组装了甲、乙两种坚果营养袋，它们都由a、b、c三种坚果组成，甲种坚果营养袋每袋装有100克a坚果，300克b坚果，100克c坚果；乙种坚果营养袋每袋装有200克a坚果，100克b坚果，200克c坚果，甲、乙两种坚果营养袋每袋成本价均为袋中a、b、c三种坚果的成本价之和．已知b种坚果每100克的成本价为1元，乙种坚果营养袋每袋售价为5元，成本利润率为25%，甲种坚果营养袋每袋的成本利润率为，则这两种坚果营养袋的销售利润率为时，该商场销售甲、乙两种坚果营养袋的数量之比是4：9．（已知：成本利润率＝利润÷成本；销售利润率＝利润÷售价）【解答】解：设a种坚果每100克的成本价为x元，c种坚果每100克的成本价为y元，由于乙种坚果营养袋每袋的成本利润率为25%，则5﹣（2x+1+2y）＝25%（2x+1+2y），∴x+y＝，则甲种坚果营养袋每袋的成本价为x+3+y＝元，乙种坚果营养袋每袋成本价为2x+2y+1＝4元，甲种坚果营养袋每袋售价为（1+）×＝6元，设商场销售甲种坚果m袋、乙种坚果n袋，由于两种坚果营养袋的销售利润率为，则，∴9m＝4n，∴m：n＝4：9，即商场销售甲、乙两种坚果营养袋的数量之比是4：9，故答案为：4：9．16．（2021•宝山区校级自主招生）关于x的方程mx﹣1＝|2x﹣4|有解，则m的取值范围是m≥或m＜﹣2．【解答】解：当x⩾2时，mx﹣1＝2x﹣4，∴（m﹣2）x＝﹣3，∴，∴2﹣m＞0且，∴，当x＜2时，mx﹣1＝4﹣2x，∴（m+2）x＝5，，∴，解得m＜﹣2 或，综上所述或m＜﹣2，故答案为或m＜﹣2．17．（2021•巴南区自主招生）某公司对A村、B村、C村进行了合作办企的投资，其投资总额是对C村投资额的倍．随着国家对乡村振兴的高度重视，该公司调整了投资计划，在原投资总额的基础上再增加一部分投资，并按3：3：8的比例分别对A村、B村、C村增加投资．该公司调整投资计划后，若该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的，则该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为9：40．【解答】解：设公司对A村、B村、C村进行增加投资的数额分别为3x，3x，8x，则增加投资的的总额为14x，设公司原来向C村投资数额为2c，向A村投资的数额为a，向B村投资的数额为b，∵新投资总额是对C村投资额的倍，∴a+b+2c＝×2c，∴a+b＝5c．∴该公司对三个村的投资总额为a+b+2c＝7c．∵该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的，∴．化简，得：．∴该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为：＝＝．故答案为：9：40．18．（2021•江岸区校级自主招生）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是3≤a＜4．【解答】解：解不等式x+a≥0得：x≥﹣a，解不等式1﹣2x＞x﹣2得：x＜1，∴﹣a≤x＜1．∵此不等式组恰有四个整数解，∴这4个整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，∴﹣4＜﹣a≤﹣3，∴3≤a＜4，故答案为：3≤a＜4．19．（2020•和平区校级自主招生）和都是方程ax﹣y＝b的解，则a+b＝7．【解答】解：将方程的解代入方程得：，解得：，∴a+b＝3+4＝7，故答案为：7．三．解答题（共3小题）20．（2020•沙坪坝区自主招生）阅读下列材料：材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为（a，b），如（12，18）＝6；（7，9）＝1．材料二：求7x+3y＝11的一组整数解，主要分为三个步骤：第一步，用x表示y，得y＝；第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1＝3（4﹣3x）+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x＝2；第三步，将x＝2代入y＝，得y＝﹣1．∴是原方程的一组整数解．材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c均为整数）有整数解，则它的所有整数解为（t为整数）．利用以上材料，解决下列问题：（1）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99的一组整数解；（2）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99有几组正整数解．【解答】解：（1）∵（15，20）＝5，（4，8）＝4，∴原方程变形为：5x+4y＝99，∴x＝，∴99﹣4y是5的倍数，∴当y＝1时，x＝19，∴是原方程的解；（2）∵5x+4y＝99有整数解，∴，，，，，∴原方程有5组正整数解．21．（2020•浙江自主招生）求使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|＝c恰好有两个解的所有实数c的范围．【解答】解：①当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6＝c，解得：由＜1，∴c＞3②当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6＝c，解得：c＝3，有无数多解；③当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6＝c，解得：，得：1＜c⩽3④当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6＝c，解得：由，得：c⩾1故当c＞3时，原方程恰有两解：当1＜c＜3时，原方程恰有两解：故答案为：c＞3或1＜c＜322．（2021•黄州区校级自主招生）（1）解方程组：（2）解不等式：【解答】解：（1），①×2﹣②得﹣x＝﹣2，解得x＝2，把x＝2代入①得y＝﹣1，元方程组的解是；（2）去分母得：2x＞12﹣3（x﹣1），去括号得：2x＞12﹣3x+3，移项，合并同类项得：5x＞15，系数化为1得：x＞3．。

自主招生不等式(附答案)

第一部分奠基篇不等关系一、要点考点1. ⑴平均数不等式（平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数）：（a、b为正数，当a = b时取等号）⑵含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：①②（只需，时取等号）；（时取等号）⑶绝对值不等式：⑷柯西不等式：设则等号成立当且仅当.（约定时，）例如：.⑸常用不等式的放缩法：①②2. 常用不等式的解法举例（x为正数）：①②类似于③二、技能方法● 配方● 比较● 观察● 等价转化● 函数单调性● 基本不等式● 放缩● 构造● 数学归纳法三、典型例题例1、（复旦2008选拔）已知一个三角形的面积为，且它的外接圆半径为1，设分别是该三角形的三边长，令，，则和的关系是（）A． B.C． D. 无法确定解析：答案：例2、（浙大2008自招）已知，试问是否存在正数，使得对于任意正数可使为三边构成三角形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.解析：例3、（复旦2003保送）,,,…,是各不相同的正自然数，，求证：．证明：例4、（复旦2004保送）求证：．证明：不等关系——不等关系（1）【课后作业】1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)(3) (4)中是下凸函数的有A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.4.（南开大学2008）有3个实根，证明：.不等关系——不等关系（1）【课后作业】1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)(3) (4)中是下凸函数的有A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)答案：D提示：不等关系，表示了函数图像的形态——下凸，即在函数图像上任取两个点，它们的连线段在函数图像上方．2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则答案：C.说明：证明不等关系问题时，常常使用反证法，而反证法和四种命题是息息相关的，所以要掌握一定的命题知识，只要这样才能灵活解决数学问题．3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.提示：再利用基本不等式可得．答案：36.4.（南开大学2008）有3个实根，证明：. 证明：设三根为，则由韦达定理得，即从上式可知，必是三负或两正一负．用不等式的基本性质可排除两正一负的情形．于是，转化为正数后用基本不等式．。

高中数学3-1不等关系与不等式习题新人教A版必修5

3.1不等关系与不等式一、选择题：本题共8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【题文】已知a b >，c d >，那么一定正确的是（）A ．ad bc >B ．ac bd >C ．a c b d ->-D ．a d b c ->-2．【题文】设201612016a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120162016b =，1lg 2016c =，则c b a ,,的大小关系为（） A ．c a b <B. M N ≥C. M N <D. M N ≤5．【题文】如果01a <<，那么下列不等式中正确的是（）A ．(1)log (1)0a a -+>C ．32(1)(1)a a ->+D ．1(1)1a a +->6．【题文】设,a b ∈R ，若0a b ->，则下列不等式中正确的是 ( )A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +> 7．【题文】设 1a b >>，0c <，给出下列三个结论：①c c a b>；②c c a b >； ③()()log >log b a a c b c --．其中所有正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．38．【题文】已知,,a b c ∈R ，则下列推证中错误的是（）A ．22a b ac bc >⇒≥B ．,0a b c a b c c><⇒< C ．3311,0a b ab a b >>⇒< D ．2211,0a b ab a b >>⇒<二、填空题：本题共3小题.9．【题文】132-，123，2log 5三个数中最大的数是． 10．【题文】若13,12,a b ≤≤-≤≤则2a b -的取值范围为______．11．【题文】若2,a b c ==，则a 、b 、c 的大小顺序是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.12．【题文】已知：m n >，a b <，求证：m a n b ->-.13．【题文】设110,1ab a >->，比较a +1的大小. 14．【题文】已知,a b ∈R ，b a x -=3，a b a y -=2，试比较x 与y 的大小．3.1不等关系与不等式参考答案及解析1. 【答案】D【解析】由同向不等式的加法性质可知由a b >，c d >，可得,a c b d a d b c +>+∴->-．考点：不等式性质.【题型】选择题【难度】较易2. 【答案】D 【解析】()201612016110,1,20161,lg 0,.20162016a b c c a b ⎛⎫=∈=>=<∴<< ⎪⎝⎭考点：比较大小.【题型】选择题【难度】较易3. 【答案】B 【解析】因为0a b <<，所以可令2,1a b =-=，可排除A 、C 、D ，故选B.考点：不等式的性质.【题型】选择题【难度】较易4. 【答案】B【解析】()()()()22222211324223M N a a a a a a a a a -=---+-=-----=-()22110a a +=-≥恒成立，所以M N ≥．故B 正确．考点：作差法比较大小．【题型】选择题【难度】一般5. 【答案】A【解析】因为01,a <<所以011,a <-<所以(1)x y a =-在R 上单调递减，所以A.本题也可以用特殊值法，如：令12a =来解决. 考点：比较大小.【题型】选择题【难度】一般6. 【答案】D 【解析】由0a b ->得a b >，0,,0.a b a b a b ∴>≥∴>±∴+>考点：不等式性质.【题型】选择题【难度】一般7. 【答案】C【解析】①∵1a b >>，0c <，∴(0c c c b a a b ab --=>），故c c a b>，正确； ②∵0c <，∴c y x =在()0,+∞上是减函数，而0a b >>，所以c c a b <，错误；③当1a b >>时，有()()()log >log >log b b a a c b c b c ---，正确．故选C ．考点：比较大小．【题型】选择题【难度】一般8. 【答案】D【解析】对于A ： 20c ≥，则22ac bc ≥，故A 正确；对于B ：0a b a b c c c--=> ，当0c <时，有a b <，故B 正确；对于C ：∵33a b >，0ab >，∴不等式两边同乘以()3ab 的倒数，得到3311b a >，即11a b<，故C 正确；对于D ：∵22a b >，0ab >，∴不等式两边同乘以()2ab 的倒数，得到2211b a >，不一定有11a b<，故D 错误．故选D ．考点：不等关系与不等式．【题型】选择题【难度】较难9. 【答案】2log 5 【解析】11322221,12,log 5log 42-<<<>=，所以最大的数为2log 5．考点：指数、对数式大小判定．【题型】填空题【难度】一般10．【题文】若13,12,a b ≤≤-≤≤则2a b -的取值范围为______．【答案】[]0,7【解析】13,12,226,21,a b a b ≤≤-≤≤∴≤≤-≤-≤利用同向不等式可以相加，得到2a b -的取值范围为[]0,7．考点：不等式的性质.【题型】填空题【难度】一般10. 【答案】[]0,7【解析】13,12,226,21,a b a b ≤≤-≤≤∴≤≤-≤-≤利用同向不等式可以相加，得到2a b -的取值范围为[]0,7．考点：不等式的性质.【题型】填空题【难度】一般11. 【答案】a b c >>【解析】a ==，2bc ===，因为20+>，>>，故a b c >>. 考点：不等关系与不等式.【题型】填空题【难度】一般12. 【答案】证明略【解析】证法一：由m n >知0m n ->，由a b <知0b a ->.∴()()()()0m a n b m n b a m a n b ---=-+->⇒->-.证法二：∵a b <，∴a b ->-，又∵m n >，∴()()m a n b +->+-，即m a n b ->-.考点：不等式的性质.【题型】解答题【难度】较易13. 【答案】ba ->+111 【解析】由,10111,0<<⇒>->b a b a2211111ab a b ab b a b b ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴-==--，又110,10,1ab b b a>->->，22∴-⇒> 考点：平方法作差比较大小.【题型】解答题【难度】一般14. 【答案】详见解析【解析】()()()32221x y a b a b a a a b a b a b a -=--+=-+-=-+，当b a >时，0>-y x ，所以y x >；当b a =时，0=-y x ，所以y x =；当b a <时，0<-y x ，所以y x <．考点：作差法比较大小.【题型】解答题【难度】一般。

2024年高考数学真题分类汇编02：不等式与不等关系

不等式与不等关系一、单选题1．（2024·全国1卷）已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <2．（2024·全国1卷）已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ì---<=í++³î，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A ．(,0]-¥B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+¥3．（2024·全国2卷）已知命题p ：x "ÎR ，|1|1x +>；命题q ：0x $>，3x x =，则（）A ．p 和q 都是真命题B ．p Ø和q 都是真命题C ．p 和q Ø都是真命题D ．p Ø和q Ø都是真命题4．（2024·全国2卷）设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ³，则22a b +的最小值为（）A ．18B ．14C ．12D ．15．（2024·全国甲卷文）若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î，则5z x y =-的最小值为（）A ．5B ．12C ．2-D ．72-6．（2024·北京）已知集合{|41}M x x =-<£，{|13}N x x =-<<，则M N È=（）A ．{}43x x -<C ．若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D ．若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；8．（2024·北京）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（）A ．12122log 22y y x x ++>B ．12122log 22y y x x ++<C ．12212log 2y y x x +>+D ．12212log 2y y x x +<+9．（2024·天津）若0.30.34.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a>>二、填空题10．（2024·上海）已知,x ÎR 则不等式2230x x --<的解集为．三、解答题11．（2024·全国甲卷文）已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a £时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．12．（2024·全国甲卷理）已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．(1)当2a =-时，求()f x 的极值；(2)当0x ³时，()0f x ³恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1．B【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【解析】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.2．B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【解析】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ³时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -ì-³ï´-íï-£+î，解得10a -££，即a 的范围是[1,0]-.故选：B.3．B【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【解析】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p Ø是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q Ø是假命题，综上，p Ø和q 都是真命题.故选：B.4．C【分析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ¥-+，分类讨论a -与,1b b --的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【解析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ¥-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-£-a b ，当(),1x b b Î--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b Î--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b Î--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ¥Î-+时，可知()0,ln 0x a x b +³+³，此时()0f x ³；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a Î--时，可知()0,ln 0x a x b ++，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a æö+=++=++³ç÷èø，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ¥-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b Î--时，()ln 0x b +<，故0x a +£，所以10b a -+£；()1,x b ¥Î-+时，()ln 0x b +>，故0x a +³，所以10b a -+³；故10b a -+=，则()2222211112222a b a a a æö+=++=++³ç÷èø，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.5．D【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=ìí+-=î，解得321x y ì=ïíï=î，即3,12A æöç÷èø，则min 375122z =-´=-.故选：D.6．A【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【解析】由题意得()4,3M N È=-，故选：A.7．C【分析】根据题意分析可得12.1112.22e e S S n n --ì=ïíï=î，讨论S 与1的大小关系，结合指数函数单调性分析判断.【解析】由题意可得11221 2.1ln 1 2.2ln S d n S d n -ì==ïïí-ï==ïî，解得12.1112.22e e S S n n --ì=ïíï=î，若1S >，则112.1 2.2S S -->，可得112.1 2.2e e S S -->，即12n n >；若1S =，则1102.1 2.2S S --==，可得121n n ==；若1S <，则112.1 2.2S S --<，可得112.1 2.2e e S S --<，即12n n <；结合选项可知C 正确，ABD 错误；故选：C.8．A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【解析】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB：可得121222222x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x +++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=Î，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误；对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-Î--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误，故选：A.9．B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【解析】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+¥上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B10．{}|13x x -<<【分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集.【解析】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =，故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<，故答案为：{}|13x x -<<.11．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【解析】（1）()f x 定义域为(0,)+¥，11()ax f x a x x¢-=-=当0a £时，1()0ax f x x-¢=<，故()f x 在(0,)+¥上单调递减；当0a >时，1,x a ¥æöÎ+ç÷èø时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当10,x a æöÎç÷èø时，()0f x ¢<，()f x 单调递减.综上所述，当0a £时，()f x 在(0,)+¥上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ¥æö+ç÷èø上单调递增，在10,a æöç÷èø上单调递减.（2）2a £，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-³-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x -¢=-+，再令()()h x g x ¢=，则121()e x h x x-¢=-，显然()h x ¢在(1,)+¥上递增，则0()(1)e 10h x h ¢¢>=-=，即()()g x h x =¢在(1,)+¥上递增，故0()(1)e 210g x g ¢¢>=-+=，即()g x 在(1,)+¥上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证12．(1)极小值为0，无极大值.(2)12a £-【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a £-、102a -<<、0a ³分类讨论后可得参数的取值范围.【解析】（1）当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x+¢=++-=+-+++，因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,¥-+上为增函数，故()f x ¢在()1,¥-+上为增函数，而(0)0f ¢=，故当10x -<<时，()0f x ¢<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值.（2）()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+¢+-=-+->++，设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++¢+，当12a £-时，()0s x ¢>，故()s x 在()0,¥+上为增函数，故()()00s x s >=，即()0f x ¢>，所以()f x 在[)0,¥+上为增函数，故()()00f x f ³=.当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x ¢<，故()s x 在210,a a +æö-ç÷èø上为减函数，故在210,a a +æö-ç÷èø上()()0s x s <，即在210,a a +æö-ç÷èø上()0f x ¢<即()f x 为减函数，故在210,a a +æö-ç÷èø上()()00f x f <=，不合题意，舍.当0a ³，此时()0s x ¢<在()0,¥+上恒成立，同理可得在()0,¥+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍；综上，12a £-.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.。

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自主招生数学习题选编不等关系
1、用长度为12的篱笆围成长方形，一边靠墙，则所围成面积S 的最大值是_______________．答案：18
2、设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ⊂，则k 的最小值为．
答案：2
3、若不等式2054x ax ≤++≤只有唯一实数解，则a =_______________.
提示：“2054x ax ≤++≤只有唯一实解”等价于“254y x ax y =++=与相切”。

答案：2±
4、实数,a b 满足1=，则
22a b +=_______________.
提示：令cos ,cos (,[0,])a b αβαβπ==∈，则
cos |sin |cos |sin |αββα=+cos sin cos sin sin()1αββααβ=+=+= 所以22k παβπ+=+
，所以2222cos cos 1a b αβ+=+=。

答案：1
5、设有正数a 与b ，满足a b <，若实数1x ,1y ,2x ,2y ，其中1x ，1y 与a ，b 的算术平均数相同，2x ，
2y 与a ，b 22的取值范围是_________________．答案：(0,]8a b ab
+ 6、非零实数,,x y z 满足2221x y z ++=，则222
111x y z ++的最小值是________. 提示：“1”代换，222111x y z ++=222222222
222
x y z x y z x z y x y z ++++++++=。

答案：9
7、设,,0x y z >满足12xyz y z ++=，则422log log log x y z ++的最大值是（）
A.3
B.4
C.5
D.6
提示：因为221264xyz y z xy z ++=≥≤，
所以2242244log log log log ()log 643x y z xy z ++=≤=。

答案：A
8、若实数x 满足对任意正数0a >，均有21x a <+，则x 的取值范围是（）
A.（-1，1）
B.[-1,1]
C.(
D.不能确定
答案：B
9、已知221,()2a f x a x ax c ≥=-++，求证对于任意[0,1]x ∈，使()1f x ≤成立的充要条件是34
c ≤. 提示：利用二次不等式()0f x ≤在[,]p q 上恒成立的充要条件. 10、不等式22222log 0364
x kx k x x ++<++对于任意R x ∈都成立，求k 的取值范围．
2k << 11、（清华2009自招）已知,,0x y z >，,,a b c 是,,x y z 的一个排列. 求证：3a b c x y z
++≥. 提示：因为,,a b c 是,,x y z 的一个排列，所以xyz abc =，可用基本不等式求解。

提示：基本不等式.
12、比较24log 25与25log 26的大小并说明理由．提示：2225252525252524log 26log 26log 24log (2624)log 26log 24()()log 2522
+⨯=<= 22
222525log (251)log 25()()122
-=<=，且2525log 260,log 240>>。

答案：2425log 25log 26>
13、求证：对于任何实数a 与b ，三个数：|a +b |,|a -b |,|1-a |中至少有一个不小于12．提示：反证法.（等价于证明其“逆否命题”）
14、（交大2000保送）
证明不等式：3
412≤，[0,]2
x π
∈．
15、（浙大2008自招）已知0,0a b >>，
求证：1112
a b
a b a nb
+++
<+++.。