初中数学九年级上册第二十二章《一元二次方程》复习学案
人教版九年级数学上册《一元二次方程(复习课)》教学设计
环节
内 容（或 知 识 点）
时间
纵轴
师 生 活 动
设计意图
创设情景引课
知
识
梳
理
这节课我们系统的复习一元二次方程的概念，解法及一元二次方程根的判别式及根与系数的关系。
知识清单
知识结构
（1）
（2）
（3）
1
4
师：口述提出问题引入新课.
生：认真倾听后，带着问题进入新课的学习和探究.
师： 布置任务：让学生在组内交流自主学习情况，并组织学生展示收获，提出困惑。 检查学生存在问题，并给予指导.
生：在组内交流学习，并展示收获提出困惑.同时积极参与对其他小组收获给予补充，困惑给予解答。
师:进一步明确本节课复习的知识结构，展示结构图
激发学生的学习兴趣和探究的欲望.
培养学生的自主学习能力,主动学习的意识,、合作交流的意识及互帮学习的热情，勇于质疑的精神。
教学
环节
内容（或知识点）
时间
纵轴
师 生 活 动
难点：一元二次方程的解法及其简单的应用
设计意图
典
型
例
题
检
测
训
练
小结归纳
布置作业
例1
例2
例3
例4
一、针对训练
二、矫正训练
通过今天的学习，你学会了哪些知识？还有哪些困惑？
练习册21页1—7题
6
20
10
3
师：组织学生先独立完成后
组内再合作探究，并让各小组提出存在的问题。
生：组内合作探究，展示结果，或对某些问题质疑，对其他小组的展示给予补充或提出质疑。
组织学生组独立完成， 1—5题找代表说答案，并简要说明理由。师给予必要的补充。6题找各小组不同层次学生展示过程。师生共同评价，最后对不同题型解法进行总结。7题小组内交流结果，师生评价。
【九年级】新课标人教版初中数学九年级上册第二十二章一元二次方程复习学案
【关键字】九年级新课标人教版初中数学九年级上册第二十二章《一元二次方程》复习学案一、 知识回顾１、在方程:①x1+x 2=0② 2x 2－5xy+y 2=0 ③ x 2=16 ④7x 2－2=0中，一元二次方程的是（） A ①② B ②③ C ③④ D ①③<知识提要1>：判断一个方程是不是一元二次方程，必须把方程化为一般形式后，看是否满足：（１）＿＿＿＿＿＿＿（２）＿＿＿＿＿＿＿（３）＿＿＿＿＿＿＿＿２、关于方程ｘ的一元二次方程（ａ－１）x 2＋ｘ＋ａ2－１＝０的一个根是０，则ａ为（） Ａ１ Ｂ－１ Ｃ１或－１ Ｄ21 ＜知识提要２＞：一元二次方程的一般形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿３、下列方程中没有实数根的是（）Ａx 2－ｘ－１＝０Ｂx 2－６ｘ＋５＝０Ｃx 2－２3ｘ＋３＝０Ｄ２x 2＋ｘ＝－１＜知识提要３＞判断一元二次方程有无实数根，必须先把方程整理成一般形式后，确定ａ、ｂ、ｃ的值，计算出ｂ2－４ａｃ的值。
当ｂ2－４ａｃ＞０时，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿当ｂ2－４ａｃ＝０时，＿＿＿＿＿＿＿＿＿当ｂ2－４ａｃ＜０时，＿＿＿＿＿＿＿＿＿，反之也成立。
４、用适当的方法解下列方程：（１）x 2－４ｘ－３＝０ （２）（x －３）2＋２ｘ（ｘ＋３）＝０（３）２x 2＋３ｘ＝２ （４）３（x －２）2＝２７＜知识提要４＞一元二次方程的解法有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿二、 综合运用１、（长沙中考）关于ｘ的一元二次方程ｍx 2－（３ｍ－１）ｘ＋２ｍ－１＝０，其根的判别式的值为１，求ｍ的值及该方程的根。
２、（威海中考）若关于ｘ的一元二次方程x 2＋（ｋ＋３）ｘ＋ｋ＝０的一个根是－２，求ｋ及方程的另一个根。
三、 矫正补偿１、方程ｍx 2＋３ｘ－４＝５x 2是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的取值范围是＿＿＿＿ ２、已知关于ｘ的一元二次方程ａx 2－６ｘ＋９＝０有两个实数根，则ａ的取值范围是＿＿ ３、（潍坊中考）关于ｘ的一元二次方程x 2－ｍｘ＋（ｍ－２）＝０的根的情况是（ ） Ａ有两个不相等的实数根 Ｂ有两个相等的实数根 Ｃ无实数根 Ｄ无法确定４、（江苏中考）解一元二次方程（２ｘ－１）2＝（３－ｘ）2四、完善整合谈谈本节课你有哪些收获？此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
第二十二章一元二次方程复习教案(人教新课标九年级上)
第二十二章一元二次方程李卫军我的说课题目是第二十二章一元二次方程下面我就四个方面阐述本章内容：一、教材分析1、教材的地位和作用一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。
初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。
我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。
比如在物理学中，变速运动、能量守恒等问题，都需要通过列、解一元二次方程来解决。
而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。
解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。
2、学生学情任何一个教学过程都是以传授知识、培养能力和激发兴趣为目的的。
这就要求我们教师必须从学生的认知结构和心理特征出发。
分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。
当他们在解决实际问题时，发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的问题。
而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方公式、二次根式，这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。
3、教学目标根据大纲的要求、本节教材的内容和学生的心理特征及已有的知识经验，本章内容的三维目标主要体现在：知识与技能：了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．过程与方法：（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合整式中的有关概念介绍一元二次方程的概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习《整式》这一章中的因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．情感、态度与价值观：经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．4、教学重点与难点教学重点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
人教版九年级数学上第二十二章22.1一元二次方程复习教案
九年级数学（上）学案23. 一元二次方程复习备课人：姓名：___________教师寄语：成功属于每天都努力学习的人！【学习目标】：1．了解一元二次方程的有关概念。
2．能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
3．会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
4．掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
5．通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。
【学习重、难点】：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
【知识点整理】：1．方程中只含有未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________( )其中二次项系数是、一次项系数是常数项。
例如：一元二次方程7x－3=2x2化成一般形式是________________其中二次项系数是、一次项系数是常数项是。
2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________________ （2）（3）（4）求根公式法，求根公式是_____________________3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式是，当时，它有两个不相等的实数根；当时，它有两个相等的实数根；当时，它没有实数根。
例如：不解方程，判断下列方程根的情况：(1) x(5x+21)=20 (2) x2+9=6x (3)x2 —3x = —54．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0）的两个根分别为x 1，x 2 则x 1 +x 2= ；x 1 ·x 2= ____________例如：方程2x 2+3x —2=0的两个根分别为x 1，x 2 则x 1+x 2= ；x 1 ·x 2= _________ 【典型例题】：例1：已知关于x 的一元二次方程（m －2）x 2＋3x ＋m 2－4=0有一个解是0，求m 的值.例2：解下列方程:(1)2 x 2＋x －6＝0； (2) x 2＋4x ＝2；(3)5x 2－4x －12＝0； (4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x.（5）（x ＋1）（x －1）＝x 22（6）（2x ＋1）2＝2（2x ＋1）.例3：已知关于x 的一元二次方程（m —1）x 2 —（2m+1）x+m=0,当m 取何值时：（1）它没有实数根。
九年级数学上册 22 一元二次方程复习教案 新人教版-新人教版初中九年级上册数学教案
教学重点
判定一个数是否是方程的根；
教学难点
由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
教具准备
教
学
过
程
主要教学过程
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
教学重点
运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
教学难点
通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
解：去括号，得：
x2+2x+1+x2-4=1
移项，合并得：2x2+2x-4=0
其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．
【随堂练习】
教材P 练习1、2
【应用拓展】
【归纳小结】
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0） 和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
【课后练习】
教后反思：
课题
§22.1 一元二次方程（二）
课型
人教版九年级数学上册《一元二次方程的复习》教学设计
《一元二次方程的复习》教学设计复习目标：掌握一元二次方程的概念，会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，根的判别式、根与系数的关系的应用、以及用一元二次方程的知识解决实际问题。
教学重点、难点：1. 一元二次方程的概念、解一元二次方程、根的判别式、根与系数的关系的应用、解应用题。
2.一元二次方程的综合应用。
教学过程：复习回顾一（概念）1.－元二次方程的定义：只含有_______个未知数，并且未知数的最高次数是_______的_______式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是________（a__0），其中a x2叫做_______项，a是_______，bx叫做_______，b是_______，c叫做_______项．自我尝试1、判断下列方程是不是一元二次方程1、(x－1)２＝４2、x2－2x=83、x2+1＝１x4、x２＝y+１5、x３－２x２＝１6、ax2 + bx + c＝１2、将3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式为_______复习回顾二（解法）一元二次方程的解法包括_______ _______ ______________1.直接开平方法：（1）x2=81 （2）(x−1)2-49=02.配方法：（1）x2+6 x+4=0 （2）2x2−6 x−3=03.公式法：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△＝________．(1)当△>0时，方程有两个_______的实数根．(2)当△＝0时，方程有两个_______的实数根．(3)当△<0时，方程没有实数根．(4)已知关于x的一元二次方程（k-5）x2-4 x -1=0有两个实数根，那么k满足的条件为_____(5)求根公式：方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b2－4ac_______0时，x＝________．(6)用公式法解方程： 5x+2=3x24.因式分解法因式分解法包括_______ ________ _________用适当的方法解下列方程：(1)x(2x+5)=4x+10(2) (2x－1)2=4(x+3)2(3) x²-4x+3=0复习回顾三（根与系数的关系）若方程ax²+bx+c=0（a 0）的根为x1x2,则x1+x2= x1.x2=练习1、已知a. b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，则代数式（a+b）.(a+b+2)+ab= ________2、已知方程:5x2+kx-6=0的一个根是2,则k=_____,它的另一个根是______.3、方程2x²-mx-m²=0有一个根为–1,则m= ，另一个根为 .补偿提高训练选择适当的方法解下列方程（1）(2x+1)2=64（2）(5x-4)2 -(4-5x)=0（3）x2-4x-10=0（4）3x2-4x-5=0达标检测，归纳总结1.关于x的方程k x2+4x-1=0有实数根则k的取值为_____A k≥ -4B k≥-4且k≠0C K>-4D K≤-42.关于x的方程x2+mx-n=0的两根为-2和-1，则m=_____,n=_____3.用合适的方法解方程(1) (x−1)2=16 (3) x2+10x+25=0(2) (3x−4)2=9x-12 (4) x2+10x+16=0。
人教版九年级数学上册《一元二次方程》复习教案
2.3 《一元二次方程》复习教案教学目标：1.了解一元二次方程的概念，并会用直接配开平方法、因式分解法、公式法和配方法解一元二次方程；2.了解一元二次方程根的判别式，并会用其判断根的情况；3.了解根与系数的关系，能解决与根有关的代数式求值题；4.会列一元二次方程解实际问题.教学重点与难点：重点：熟练用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程. 难点：会用根的判别式，根与系数的关系解决有关根的问题. 教法与学法指导：本节课主要采用题组复习，在教学过程中我先由“构建知识框架——巩固知识点——典题尝练互查反馈——例题及精析——应用提高——反思提高”的方式完成本节课的教学，学生通过自主学习，小组合作，展开互动性学习，让学生体会到学习数学的成就感．、在整个专题复习过程中，要充分学生的自主性，让学生积极主动参与复习的全过程，特别是让学生参与知识梳理、板演批发挥改、错误剖析、规范整理、总结归纳等环节，只有这样才能使学生有效地掌握所学习的知识和方法.课前准备:教师准备：导学案、多媒体课件．学生准备：尝试完成导学案、阅读课本九（上）第二章．教学过程：一、激趣导入，预习展示【师】知识在于积累，能力在于训练，这节课我们一起来重点回顾一元二次方程的概念、解法和应用，查缺补漏，以求厚积薄发.希望人人达标过关！大家有没有信心？【生】有（学生充满信心！）【设计意图】本环节主旨在于激起学生学习的积极性，语言中有对章节复习的重要性的渗透，有复习重点的渗透，有树立学生信心的目标，从学生昂扬的斗志和铿锵的回答中可以看到学生的积极性和学习的欲望已经被调动起来，实现了导入的目的．【师】(鼓励性的语气)很好！课前要求同学们做了自主复习，大家在知识和能力方面都有哪些方面的收获，请大家独自回忆后小组合作交流，形成小组的研讨成果.【生】积极的小组内交流收获，共同构建知识结构网络.一元二次方程是初中数学学习的重要内容,是通过数学建模(方程模型)解决实际问题的重要手段．考查涉及一元二次方程的定义、解法以及运用一元二次方程解决实际问题,并根据课标的补充规划,对一元二次方程根的判别式,一元二次方程根与系数的关系进行了适当补充；考查一元二次方程与函数、几何综合运用也是本章的热点考题．考试类型小到填空与选择,中到简答,大到综合与压轴．新课标降低了计算上的难度，但增加了开放性、增强了灵活性，能够较好地考查同学们在基本知识、基本技能和基本解题思路方面的掌握情况.【设计意图】通过课前导学案学生先独自回忆了本专题知识，课上再和小组交流，让学生重新回顾本章内容，整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系，教师选取有代表性的知识结构网络进行全班展示，其他同学对照自己的总结查缺补漏.【师】请各组同学们展示：什么是一元二次方程？一元二次方程都有哪些解法？常用来解决哪些问题？一元二次方程根的判别式与方程根的关系？根与系数的关系公式有哪些？请你先想一想然后代表小组说一说.【生】各数学小组学生主动起立，结合上面的知识框架图依次．．回顾知识点．（生生互动、师生互动，纠错完善，让学生适当举例说明，加强对知识的理解）【设计意图】以问题串的方式再次总结本专题的内容，在学生充分思考、交流的基础上，引导学生扎实掌握本专题基本知识，真正做课本知识面面俱到．为后面的题组训练打好基础，以帮助学生更好的掌握本章知识．建议：回顾一元二次方程的解法时，老师应引导学生结合具体例子阐述各解法特征，使学生感悟一元二次方程解法的灵活性．二、典题尝练，互查反馈A组：（必做题）1．（2012，贵州安顺）已知1是关于x 的一元二次方程()2110m x x -++=的一个根，则m 的值是（ ）A 、1B 、﹣1C 、0D 、无法确定2．一元二次方程22xx =的根是（ ） A 、2x = B 、0x = C 、10x =, 22x = D 、10x =．22x =-3．（2012，荆门）用配方法解关于x 的一元二次方程2230x x --=，配方后的方程可以是（ ）A 、()214x -= B 、()214x += C 、()2116x -= D 、()2116x +=4．（2012，常德）若一元二次方程220x x m ++=有实数解，则m 的取值范围是（ ）A 、-1m ≤ B 、1m ≤ C 、4m ≤D 、12m ≤ 5． (2012，烟台)下列一元二次方程两实数根和为4-的是（ ）A 、2240x x +-=B 、2440x x -+=C 、24100x x ++=D 、2450x x +-=6．（2012，娄底）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（）A、2x256(1)289-=-=B、2289(1)256xC、289(12)256-= D、x-=x256(12)289（学生先独立完成再小组交流，做错的题小组内帮助分析原因并纠错.老师巡视必要时给与指导．）【设计意图】A题组主要是帮助学生复习回忆一元二次方程的解，一元二次方程的解法、应用，以及根的判别式和根与系数的关系公式.这些都是基础知识和基本技能的再现，所以，处理的方式都是让学生自行完成，并学生总结归纳知识点和方法，其中第1题考查学生对定义的掌握情况，第2、3题考查一元二次方程的解法，第4题是根的判别式求解字母的取值范围，第5题是根与系数的关系公式训练，第6题是一元二次方程在实际中的应用，这是经典增长率问题．处理时，第3、4题让学生板书，其余题目口述考查的知识点以及解题思路和方法．B组：（选做题）3．（2012，安徽）解方程：2221x x x-=+．（各小组代表，黑板板演.小组间批阅、错误剖析.教师鼓励评价各组表现情况.）【设计意图】设置本环节的目的就是检查学生对基础知识的掌握情况，要求独立限时完成.这样的设计，不是简单的让学生重复概念及其做法，而是通过题组检查的形式以题代知识点．【实际效果】本环节设计A、B组形式，使不同层次的同学都得到发展，增强学生的学习积极性.实际上学生对于一元二次方程的定义掌握的很好，能注意二次项系数不为零的条件限制，但对于含字母的根的判别式逆用题目学生解决不熟练.解方程方法选择不够灵活.通过这几道题，让学生关注了本专题的常考题型，了解自己复习的不足和努力方向，对于下面的学习也作了部分铺垫．三、范例导航、方法总结【师】（微笑着）通过上面题组的研究，同学们能不能总结一下本节的考题类型呀？下面请同学们以小组为单位进行总结归纳.【生】小组合作探究后交流整理.并展示小组的成果．【设计意图】设计本环节目的是让学生自行研讨考题类型，以备学生有的放矢的进行复习和练习，以寻求应对策略，增强学习的针对性.【师】同学们表现都很棒！下面我们通过几个例题深入复习一元二次方程.(2009，日照）若n（n≠0）是关于x的方程220x mx n++=的根，则m n+的值为（）A、1B、2C、1-D、2-【点拨与解】【师】谁来介绍一下这题所考查的知识及做题思路.生1：本题考查了利用一元二次方程的解求代数式值的知识.生2：因为n是方程220++=，即n mn n++=的根，所以220x mx n()20++=，可得0n n mn=或20+=-，因此选择D.m nn m++=，所以2【反思回味】若已知方程的根，求其他字母的对应值，关键是将这个方程的根带入原方程，进而求得字母的值.【跟踪练习】1.（2011，滨州）若x=2是关于x的方程2250--+=的x x a一个根，则a的值为 .2.（2012，贵州安顺）已知1是关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A、1B、﹣1C、0D、无法确定【参考答案】1.2.B二次方程根的意义.由简单知识展开复习，激发了全体学生投入复习的热情，从而保证后续复习的开展.【师】很好！本节的重点是选择恰当方法正确解出一元二次方程，请大家完成例2.请在下式的横线处填入一个整式：26__0-+=，使它分别x x最适合用直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法来解答.【点拨与解】【师】经过一元二次方程解法的探究，大家已经明确了一个一元二次方程的简便解法应根据所给方程的特点所决定的．你能快速的完成上题吗？请小组间竞赛完成（一组填值，一组解答）．【生】（思考并尝试解决，2分钟后各小组同学分组交流.）各小组的每一名组员都要分担一项任务．【师】点评得分，鼓励学生学习的积极性.请大家总结用公式法和配方法的关键点.（学生独立思考，大约半分钟后有学生举手作答．）生1：用公式法．．．的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式.生2：用配方法．．．的关键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方.【师】同学们总结的很好！【设计意图】一元二次方程的解法是本章的重点，通过设置开方型题目，让学生进一步熟悉根据方程特征采用适当的解法，让学生进一步体会各解法之间的联系及熟练地根据方程的特征选择适当解法．【跟踪练习】解方程：1．（2012，浙江温州）225-=．x x2．（2012，湖南永州）()2390x--=．3．（2012，菏泽）(1)(1)2(3)8+-++=．x x x【反思回味】1．形如()2-=的方程可以用直接开平方法求解．x k h2．千万记住：①方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个根丢失了，要利用因式分解法求解；②当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的时候可以用配方法求解；③当我们不能利用上边的方法求解的时候就可以用公式法求解，公式法是万能的．公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先．．考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再．考虑．．公式法（适当也可考虑配方法）【实际效果】各小组的同学积极参与，数学成绩优秀的同学负责直接开平方法，因式分解法，数学成绩一般的同学负责配方法，公式法.经过这一轮的训练学生更加熟悉了一元二次方程的解法，能深刻把握各种解法的步骤和注意事项【师】在一元二次方程的四种解法中，公式法及配方法是万能方法，直接开平方法和分解因式法是特殊方法，我们要选择恰当的方法解一元二次方程.有时我们不解方程也能判定方程根的情况，请大家思考下面的例题.已知关于x的方程()2-+++=，当m为何值时，m x mx m1230．（在横线上试补充有关根的情况，然后完成计算．）生1：有两个相等的实数根；生2：有两个不相等的实数根；生3：有实数根；生4：无实数根；生5：只有一个实数根；生6：有两个实数根.【师】将题目分到各组完成、展示.学生：先独立思考解答，然后交流并派代表板演，做好展示准备.【设计意图】设计开放性题目,学生在参与题目的设计中，复习根的判别式与一元二次方程的关系，同时将方程的根全面扩充至一元一次方程，正因如此也锻炼了学生分类的数学思想，从而增强了学生思维的严谨性.【跟踪练习】1．（2012，湖南岳阳）若关于x 的一元二次方程22(1)10kx k x k +++-=有两个实数根，则k 的取值范围是 ．2．（2012，四川广安改编）已知关于x 的方程．．2(1)210a xx --+=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A 、2a ＞ B 、2a ＜ C 、21a a ≠＜且D 、2a -＜3．（2012，东营）方程()2111+=04k x k x ---有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A 、1k ≥B 、1k ≤C 、1k >D 、1k <【参考答案】1、13k ≥，且k ≠0. 2、B. 3、D. 【反思回味】利用根的判别式解决问题，方程要先化为一般形式再求判别式，同时注意在这里二次项系数．．．．．k 不能为零．．．．；要注意运用分类的数学思想考虑全面；注意读题的重要性．．．．．．. 【师】一元二次方程的根与系数有关系也是中考一重要考点，请大家完成例4巩固这一知识点.（1）设1x 、2x 是方程0242=+-x x 的两根，则①1211x x +＝ ；② 2212x x +＝ ；③12(2)(2)x x ++＝ .（2）（2012，枣庄）已知关于x 的方程260x x m +-=的一个根为2，则这个方程的另一个根是 ．（3）（2012，莱芜）已知m 、n是方程210x++=的两根，则代数式的值为（ ） A 、9 B 、3± C 、3D 、5【点拨与解】【生】（1）题由三位同学自发板书，（2）题小组竞赛，几个学生分别回答不同的解题方法，渗透一题多解的思想.（3）题小组活动、探讨，交流激烈，气氛活跃.（留给学生足够的时间探索）【师】此题考查一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值.想一想如何把223m n mn ++转化含m n +和m n ⋅的代数式？【生】∵m 、n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，∴m ＋n=-mn=1..故选C.【师】 这位同学回答得非常棒!(此时老师和同学不约而同的响起掌声……）【设计意图】这三个题是根与系数关系的三个典型的应用．（1）题是利用根与系数的关系求有关根的代数式，三个小题代表了三个类型，遇到分母就通分，遇到括号就展开，遇到平方就用完全平方式；（2）题可以将根代入再求解，也可以利用根与系数的关系，体现了一题多解的思路；（3）题是利用根与系数的关系，求代数式的值，此类题要注意转化思想的训练。
人教版九年级数学上第二十二章22.1一元二次方程复习学案
一元二次方程复习学案一、知识链接1、一元二次方程的概念。
从哪几个方面考虑？【跟踪练习】下列方程中是一元二次方程的是（ ） A ．2x ＋1＝0 B ．y 2＋x ＝1 C ．x 2＋1＝0 D ． 2、一元二次方程的一般形式：【跟踪练习】把方程（2x+6）2=-7化成一元二次方程的一般形式为_____________，其中二次项系数为_____________，一次项系数为_____________，常数项为_____________.3、一元二次方程的根的意义【跟踪练习】（1）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．（2）一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是 ．（3）一元二次方程ax 2+bx+c=0有一根-2,则b ca 4+的值为 ．4、一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法【跟踪练习】解方程(1) 3x 2－1＝4x （用公式法）； (2)－5x ＋1＝-4x 2（用配方法）；5、根的判别式： 当b 2-4ac ＞0时，方程有 实数根．当b 2-4ac=0时， 方程有 实数根．当b 2-4ac ＜0时，方程 实数根．【跟踪练习】（1）关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个实数根, 则k 的取值范围是__________．（2）若方程022=+-cx x 有两个相等的实数根，则c = ．二、当堂检测1、下面是李刚同学在测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）A ．若x 2=4，则x=2B ．方程x(2x-1)=2x-1的解11=+x x为x=1C ．方程x 2+2x+2=0实数根为0个D ．方程x 2-2x-1=0有两个相等的实数根2、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ）A ．14B ．12C ．12或14D ．以上都不对3．下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x 12=-+②01x 2=+③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤021x x 2432=-- ⑥0x 22x 32=-+ 4、.若分式12322-+-x x x 的值为0，则x 的值是________________. 5、已知：m 是方程0322=--x x 的一个根，则代数式=-22m m ．6、某种品牌的手机经过四．五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是 ．7、解方程8、 已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．拓展提高:试说明：不论k 为何值，关于x 的方程x 2―(2k+1)x+4(k -0.5)=0 总有实数根．)1(332+=+x x。
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人教版初中数学九年级上册第二十二章《一元二次方程》复
习学案
一、 知识回顾
１、在方程:①x
1+x 2=0② 2x 2－5xy+y 2=0 ③ x 2=16 ④7x 2－2=0中，一元二次方程的是（） A ①② B ②③C ③④ D ①③
<知识提要1>：判断一个方程是不是一元二次方程，必须把方程化为一般形式后，看是否满足：（１）＿＿＿＿＿＿＿（２）＿＿＿＿＿＿＿（３）＿＿＿＿＿＿＿＿
２、关于方程ｘ的一元二次方程（ａ－１）x 2＋ｘ＋ａ2－１＝０的一个根是０，则ａ为（） Ａ１Ｂ－１Ｃ１或－１Ｄ2
1 ＜知识提要２＞：一元二次方程的一般形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
３、下列方程中没有实数根的是（）
Ａx 2－ｘ－１＝０Ｂx 2－６ｘ＋５＝０Ｃx 2－２ｘ＋３＝０Ｄ２x 2＋ｘ＝－１
＜知识提要３＞判断一元二次方程有无实数根，必须先把方程整理成一般形式后，确定ａ、ｂ、ｃ的值，计算出ｂ2－４ａｃ的值。
当ｂ2－４ａｃ＞０时，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿当ｂ2－４ａｃ＝０时，＿＿＿＿＿＿＿＿＿当ｂ2－４ａｃ＜０时，＿＿＿＿＿＿＿＿＿，反之也成立。
４、用适当的方法解下列方程：
（１）x 2－４ｘ－３＝０ （２）（x －３）2＋２ｘ（ｘ＋３）＝０
（３）２x 2＋３ｘ＝２ （４）３（x －２）2＝２７
＜知识提要４＞一元二次方程的解法有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
二、综合运用
１、（长沙中考）关于ｘ的一元二次方程ｍx2－（３ｍ－１）ｘ＋２ｍ－１＝０，其根的判别式的值为１，求ｍ的值及该方程的根。
２、（威海中考）若关于ｘ的一元二次方程x2＋（ｋ＋３）ｘ＋ｋ＝０的一个根是－２，求ｋ及方程的另一个根。
三、矫正补偿
１、方程ｍx2＋３ｘ－４＝５x2是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的取值范围是＿＿＿＿２、已知关于ｘ的一元二次方程ａx2－６ｘ＋９＝０有两个实数根，则ａ的取值范围是＿＿３、（潍坊中考）关于ｘ的一元二次方程x2－ｍｘ＋（ｍ－２）＝０的根的情况是（）Ａ有两个不相等的实数根Ｂ有两个相等的实数根Ｃ无实数根Ｄ无法确定
４、（江苏中考）解一元二次方程（２ｘ－１）2＝（３－ｘ）2
四、完善整合
谈谈本节课你有哪些收获？。