统计6-1

33.45
x 32.735
自 方差来源 由 度 配方作用 131.169 3 (A) 离差平 方和
均方 和
F值
临界值 FA0.05=3.49 FA0.01=5.95 FB0.05=3.26 FB0.01=5.41
显著 性 **
43.723 FA=20.197
加工组作 用(B)
试验误差 总和
14.3375 4
若
F F (k 1, kn k ) ，则拒绝原假设H 0 ；
若 F F (k 1, kn k ) ，则接受原假设H 0 。
（6） 一般把上述计算结果写成如下的方差分析表：
离差平 方和
方差来源 组间 （因素）
自由度
均方和
SA k 1
F值
临界值 显著性
SA
SE
k 1
MS A
k
n



2
2 Xi j X i X i X X i X
k n i




2
X i j X i
i 1 j 1 k
X
2 i 1 j 1 n k i 1 j 1 i j
X

2
n X i X
i 1

X
2
Xi
品种 田块号
1 2 3 4
1
2
3
4
5
67 67 55 42
98 96 91 66
60 69 50 35
79 64 81 70
90 70 79 88
问水稻品种对产量是否有显著影响？
在例1中，试验的指标是水稻产量，影响产量的因素是 水稻品种，不同的5个品种就是因素所处的5个水平， 这就是单因素试验问题。 例2 某车间加工生产同一种材料，有5个加工组，现在 每个加工组都采用4种不同的配方进行试验，得到材料 强度试验数据如下：
x j
1 T j n
x1
x 2 x m
1 x T mn
我们假设：X i j 是相互独立的，且 X i
j
~ N (
2 , ) i j
(i 1,2,, n; j 1,2,, m )
（1）提出原假设： H 和备择假设： (2) 构造统计量 定义4 称统计量
0
: ij ;
ST SA SB SE MST , MS A , MSB , MS E fT fA fB fE
都是
②
2 的无偏估计。
SA

2
~ ( fA) ,
2
SB

2
~ ( f B ),
2
SE

2
~ 2 ( kn k )
且相互独立。
③
FA
SA 2 fA
SE 2 fE
3.584
FB=1.656
25.9785 12 171.485 19
2.165
显 著 性 **
15 144.74
三、双因素方差分析 设影响试验指标的因素有A和B两个，因素A有n个水平 A1， A2，…, An，因素B有m个水平B1，B2，…, Bm，在 每个水平组合（ A i ， B k ）下做一次试验，则共独立作
n×m次试验，试验数据如下表：
B
A A1 A2 … An
n
B1
2
（4）在H 0 成立时，有
2 E S ( n 1 ) ; ① E ST (mn 1) ; A
E S B (m 1) 2 ; E S E (m 1)(n 1) 2 .
记 f T mn 1, f A n 1, f B m 1, f E (m 1)(n 1) 即
加工组
配方
1
2
3
4
5
1 2 3 4
32.3 33.2 30.8 29.5
34.0 33.6 34.4 26.2
34.7 36.8 32.3 28.5
36.0 34.3 35.8 28.5
35.5 36.1 32.8 29.4
问: (1)不同加工组的工艺水平对材料强度有无显著影响？ （2）同一加工组的不同配方对材料强度有无显著影响？ 从以上两例可看出，试验指标的数据参差不齐，这种差异 是由以下两方面的原因造成的； （1）试验条件的不同。如种子优劣，材料配方等。 （2）偶然因素（或称随机因素）。 我们把试验条件（因素水平）不同造成的误差称为条件误 差；把偶然因素造成的误差称为试验误差（又称随机误 差）。方差分析的思想就是把条件误差与试验误差比较， 当条件误差比试验误差大得多时，就认为该因素的水平变 化对试验指标有显著的影响。
MS A ~ F( fA, fE ) MS E
FB
SB 2 fB
SE 2 fE
MS B ~ F( fB , fE ) MS E
FB
的值,
按③式分别计算 FA ,
并分别与 FA ( f A , f E ) ,
FB ( f B , f E )比较。
（5）作出判断 若 FA FA ( f A , f E ) 则认为因素A的不同水平之间有显著差异 ； 若 FA FA ( f A , f E )
H0 : 1 2 k
至少有一对 i j
1 k n X Xi j 样本总平均 nk i 1 j 1 1 n X i X i j , i 1,2,, k 第 i 组的样本平均 n j 1
(2) 构造统计量
定义1
称统计量
ST X i j X
i 1 j 1
k
n


2
为总离差平方和。
定义2
称统计量
S E X i j X i
i 1 j 1
k
n


2
为组内离差平方和。 表示了试验误差的大小。
定义3
称统计量
k n i 1 j 1
S A X i X
为组间离差平方和。


2
n X i X
i 1
F
组内 （误差）
kn k MS E S E kn 1
MS A MSE
F
kn k
总和
ST
注： 实际计算各平方和时可利用下面的公式：
T S T x , kn i j 1
2 ij
k
n
2
1 k 2 T2 S A Ti , n i 1 kn
k 1 S E x i2 j Ti 2 S T S A . n i 1 i j 1 k n
其中，Ti
x ij , i 1,2,k; T x ij .
j 1 i 1 j 1
n
k
n
例1的方差分析表：
方差来源
组间 组内 总和 离差平方 自 和 由 度 3537.68 2171.08 5708.76 4 19 均方和
F值
884.42 6.11
临界值
F0.05=3.06 F0.01=4.89
二、单因素方差分析
设因素A有k个水平A1， A2，…, Ak， 在每个水平下 独立重复做n次试验（此时称为等重复试验，实际上也可
作不等重复试验，例如，在第Ai个水 平上作n i 次试验），
每次试验的结果都是一个随机变量。同一水平下n次试验 的可能结果可视为同一总体的样本。我们记第Ai水 平的
总体为X i ，记在Ai水 平下的第j个试验结果为
B2
…
Bm
Ti x i j
j 1
m
X 11 x 12 X 21 x 22 … X n1 x n2
… x1m … x2m
T1 T2 Tn
m n
x1 x2 xn
… xnm
T j x i j T1
i 1
T2 Tm T x i j
j 1 i 1

2
SA SE
这是因为：
X
k n i 1 j 1 k
i j
Xi Xi X


Xi X
i 1

X
n j 1
i j
Xi 0
（4）在H 0 成立时，有 ①
EST (kn 1)
2 2
ES A (k 1)
2
ES E (kn k ) ST SA SE 即 MS T , MS A , MS E kn 1 k 1 kn k
4 36.0 34.3 35.8 28.5 134.6
5 35.5 36.1 32.8 29.4 133.8
Ti .
172.5 174 166.1 142.1
xi.
34.5 34.8 33.22 28.42
T. j
125.8 128.2
T =654.7
x.j
31.45 32.05
33.075
33.65
2 都是 的无偏估计。
②

SA
2
~ (k 1) ,
2

SE
2
~ 2 (kn k )
且 S A 与 S E 相互独立。
SA 2 ( k 1 ) F
③
SE 2 ( kn k )
MS A ~ F ( k 1, kn k ) MS E
（5）作出判断。
对给定的显著性水平α（通常α =0.05，或α F (k 1, kn k ) =0.01），查F分布表得上α分位点 按③式计算F的值, 并与 F (k 1, kn k ) 比较。
k