【同步教学参考】2013-2014学年高中苏教版 数学选修4-2 综合检测3
苏教版数学选修4-2：第2章 章末综合检测2
章末综合检测(二)1.当k >0时，你能猜想⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k 表示的变换吗？并对你的猜想作出证明. 【解】 猜想⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k 表示的变换是将平面图形作沿y 轴方向伸长(k >1)或压缩(0<k <1)或恒等(k ＝1)变换，证明如下：对于平面上任意一点P (x ，y )，在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k 的作用下，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ， 横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍.2.若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应的变换作用下得到点为B (1，0)，求α的值.【导学号：30650022】【解】 由题意知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos α－sin αsin α cos α⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2222＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， 所以⎩⎪⎨⎪⎧22cos α－22sin α＝1，22sin α＋22cos α＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝22，sin α＝－22，从而可知，α＝2k π－π4，(k ∈Z ).3.已知直线l 与直线3x ＋5y ＋6＝0平行，且过点(5，6)，求矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 15将直线l 变成了什么图形？并写出方程.【解】 由已知得直线l 的方程为3x ＋5y －45＝0，设P (x ，y )为l 上的任意一点，点P 在矩阵对应的变换下对应点P ′(x ′，y ′).则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 15y ， ∴⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝15y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝5y ′.代入3x ＋5y －45＝0， 得3x ′＋25y ′－45＝0，∴直线l 变换成直线3x ＋25y －45＝0.4.求直线y ＝2x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1确定的变换作用下得到的图形的表达式. 【解】 设点(x ，y )为直线y ＝2x 上的任意一点，其在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1确定的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋3y y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋3y ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－3y ′，y ＝y ′，将其代入y ＝2x ，并整理得2x ′－7y ′＝0，所以直线y ＝2x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1确定的变换作用下得到的图形的表达式是2x －7y ＝0. 5.切变变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1把直线x ＋y ＝1变成什么几何图形？ 【解】 设P (x ，y )在该变换下的象为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1y ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1，y ′＝y ，所以切变变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1把直线x。
(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.3.2 利用组合解应用题课后知能检测 苏教版选修2-
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.3.2 利用组合解应用题课后知能检测苏教版选修2-3一、填空题1．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是________(用数字作答)．【解析】C35＝10(种)．【答案】102．(2013·宿迁高二检测)若从4台A型电视机和5台B型电视机中任选3台，要求A，B两种型号的电视机都要选，则不同的选法有________种(用数字作答)．【解析】C14C25＋C24C15＝70(种)．【答案】703．(2013·广州高二检测)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有________种．【解析】C310－C36＝100(种)．【答案】1004．(2013·海安高二检测)南非世界杯足球赛第一阶段是小组赛，采用小组内单循环比赛形式(即组内任何两队之间比赛1场)已知参赛的32支球队平均分成8个小组，则小组赛总共要进行________场比赛．【解析】8C24＝8×6＝48(场)．【答案】485．(2013·常州高二检测)把4名男乒乓球选手和4名女乒乓球选手同时平均分成两组进行混合双打表演赛，不同的比赛分配方法有________种(混合双打是1男1女对1男1女，用数字作答)【解析】每组两男两女有C24C24＝36种分法，每组4人各有两种配对方法，故分配方法有36×2＝72(种)．【答案】726．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有________种(用数字作答)．【解析】从6个面中任选3个面，有C36＝20种选法，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上3个面相邻的特殊情形，共8种，故符合条件的选法共有20－8＝12种．【答案】127．某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况有________种(用数字作答)．【解析】法一分2类：第1类甲企业有1人发言，有C12C24＝12种情况．第2类甲企业没有人发言，有C34＝4种情况．由分类计数原理得，可能情况的种数为12＋4＝16.法二只有“甲企业2人都发言”不满足题意，则由间接法得可能情况的种数为C36－C22C14＝20－4＝16.【答案】168．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为________．【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括3类：第1类与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选2个位置，使对应数字相同，其他2个不同，有C24＝6个信息符合．第2类与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选1个位置，使对应数字相同，其他3个不同，有C14＝4个信息符合．第3类与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，即4个对应位置上的数字都不同，有C04＝1个信息符合．由分类计数原理知，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6＋4＋1＝11.【答案】11二、解答题9．有两组平行线，第一组平行线有5条，第二组平行线有6条，第一组平行线与第二组平行线相交，问这两组平行线能构成多少个平行四边形？【解】每一个平行四边形有两组对边平行，即两组对边平行的一个组合对应于一个平行四边形，而两组对边平行的组合数为C25C26＝150.因此能构成150个平行四边形．10．(2013·海门中学高二检测)从5名女同学和4名男同学中选出4人组成数学学习小组，按下列要求，各有多少种不同选法？(1)男、女同学各2名；(2)男、女同学分别至少有1名；(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．【解】(1)C25·C24＝60，男、女同学各2名有60种．(2)C15·C34＋C25·C24＋C35·C14＝120，男、女同学分别至少有1名有120种．(3)120－(C24＋C14·C13＋C23)＝99，在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出有99种．11．(2013·唐山高二检测)现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？【解】可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C24C23；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C34C13；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C34C23，所以一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)方法.。
(教师用书)高中数学 坐标系综合检测 苏教版选修4-4
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 坐标系综合检测 苏教版选修4-4(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．极坐标为M (8，－9π5)，N (8，11π5)，P (－8，4π5)，Q (－8，6π5)的四点中，与点A (8，π5)表示同一点的有________个．【答案】 32．已知点P 的直角坐标为(－3，3)，其极坐标为________． 【答案】 (23，2π3) 3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sin θ化成直角坐标方程为________． 【答案】 x 2＋(y ＋2)2＝44．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A 、B ，则AB ＝________. 【解析】 平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋(y ＋2)2＝4和直线x ＝1，作图易知AB ＝2 3.【答案】 2 3 5．极坐标方程ρ＝162－cos θ表示的曲线是______．【答案】 椭圆6．以(1，π)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________． 【答案】 ρ＝－2cos θ7．(2013·北京高考)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】 极坐标系中点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 18．已知点M 的柱坐标为(2π3，2π3，2π3)，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝33π，z ＝2π3，由⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝22π3，cos φ＝22，即⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，φ＝π4.所以点M 的直角坐标为(－π3，3π3，2π3)，球坐标为(22π3，π4，2π3)．【答案】 (－π3，33π，23π) (223π，π4，23π)9．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos θ和ρcos θ＝2的位置关系是________． 【答案】 相切10．极坐标方程sin θ＝－32表示的曲线是______． 【答案】 两条直线11．(2013·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3.【答案】 2 312．(2012·湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 【答案】2213．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，则曲线C 的方程为________．【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y代入2x ′2＋8y ′2＝1，得：2·(5x )2＋8·(3y )2＝1，即50x 2＋72y 2＝1. 【答案】 50x 2＋72y 2＝114．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为________．【解析】 将ρ＝2cos θ化为ρ2＝2ρcos θ，即有x 2＋y 2－2x ＝0，亦即(x －1)2＋y 2＝1.将ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0化为x －2y ＋7＝0， 故圆心到直线的距离d ＝|1＋7|12＋ －22＝855. 【答案】855二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)在极坐标系中，点M 坐标是(2，π3)，曲线C 的方程为ρ＝22sin(θ＋π4)；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． 【解】 (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点，∴直线l 的极坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )．ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0. (2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点， ∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，∴AB ＝3＋2.16．(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1. 化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14.该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆．17．(本小题满分13分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O ，作两垂直的弦OA 、OB ，求△AOB 的面积的最小值．【解】 取O 为极点，Ox 轴为极轴，建立极坐标系，将抛物线方程化成极坐标方程，有ρ2sin 2θ＝2p ρcos θ，设点B 的极坐标为(ρ1，θ)，因为OA ⊥OB ，所以A 的极坐标为(ρ2，π2＋θ)．所以ρ1＝2p cos θsin 2θ，ρ2＝2p cos π2＋θsin 2π2＋θ. 所以S △AOB ＝12OA ·OB＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2p cos θsin 2θ·2p cos π2＋θ sin 2π2＋θ＝2p 2|sin θcos θ|＝4p 2|sin 2θ|≥4p 2， 当θ＝π4时取到等号，因此△AOB 的面积的最小值为4p 2.18．(本小题满分13分)过曲线ρ＝21－3cos θ的右焦点作一倾斜角为60°的直线l ，求l 被曲线截得的弦长．【解】 设直线与曲线的两个交点分别为A ，B . 设A (ρ1，θ)，则B (ρ2，π＋θ)．弦长AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|21－3cos θ＋21－3cos π＋θ |＝|21－3cos θ＋21＋3cos θ|＝|41－9cos 2θ| ＝|41－9cos 260°|＝165.。
(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2 几种常见的平面变换综合检测 苏教版选修4-2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2 几种常见的平面变换综合检测 苏教版选修4-21．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程．【解】 设P (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 0y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝2x 0，y ′0＝y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0.又∵点P 在椭圆上，代入得 4x ′204＋y ′20＝1， 即x 2＋y 2＝1.∴曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1. 2．若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应的变换作用下得到点为B (1,0)，求α的值．【解】 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2222＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， 所以⎩⎪⎨⎪⎧22cos α－22sin α＝1，22sin α＋22cos α＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝22，sin α＝－22，从而可知，α＝2k π－π4，(k ∈Z )．3．已知直线l 与直线3x ＋5y ＋6＝0平行，且过点(5,6)，求矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 15将直线l 变成了什么图形？并写出方程．【解】 由已知得直线l 的方程为3x ＋5y －45＝0，设P (x ，y )为l 上的任意一点，点P 在矩阵对应的变换下对应点P ′(x ′，y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 15y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝15y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝5y ′.代入3x ＋5y －45＝0，得3x ′＋25y ′－45＝0，∴直线l 变换成直线3x ＋25y －45＝0. 4．求直线y ＝2x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1301确定的变换作用下得到的图形的表达式．【解】 设点(x ，y )为直线y ＝2x 上的任意一点，其在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤130 1确定的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋3y y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋3y ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－3y ′，y ＝y ′，将其代入y ＝2x ，并整理得2x ′－7y ′＝0，所以直线y ＝2x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1301确定的变换作用下得到的图形的表达式是2x －7y ＝0.5．切变变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101把直线x ＋y ＝1变成什么几何图形？【解】 设P (x ，y )在该变换下的象为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1y ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1，y ′＝y ，所以切变变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101把直线x ＋y＝1变成与y 轴平行的直线x ＝1.6．若曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b1的作用下变换成曲线x 2－2y 2＝1，求a 、b 的值．【解】 设(x ，y )为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上的任意一点，其在矩阵M 的作用下变换成点(x ′，y ′)，则(x ′，y ′)在曲线x 2－2y 2＝1上，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ay bx ＋y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋ay ，y ′＝bx ＋y ，将其代入x 2－2y 2＝1，并整理，得(1－2b 2)x 2＋(2a －4b )·xy ＋(a 2－2)y2＝1，比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧1－2b 2＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0.7．点(2,2x )在旋转变换矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12m 32 n 的作用下得到点(y,4)，求x ，y ，m ，n .【解】 因为矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 m 32 n 是旋转变换矩阵，所以m ＝－32，n ＝12. 由题意知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤22x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 4， 所以⎩⎨⎧1－3x ＝y ，3＋x ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝4－3，y ＝4－4 3 .8．二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)，(－2,1)均变为点(1,1)． (1)求矩阵M ；(2)直线l ：2x ＋3y ＋1＝0在变换T 作用下得到什么图形？说明理由．【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则由题设得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，c －d ＝1，－2a ＋b ＝1，－2c ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3，c ＝－2，d ＝－3.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3－2 －3.(2)设P (x ，y )是l ：2x ＋3y ＋1＝0上任一点P ′(x ′，y ′)是对应的点，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3－2 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x －3y －2x －3y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2x －3y ，y ′＝－2x －3y ，即2x ＋3y ＝－x ′＝－y ′.又2x ＋3y ＋1＝0，所以x ′＝y ′＝1. 故在l 在变换T 作用下变为点(1,1)．9．求直线y ＝－2x ＋1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程． 【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－222222. 设直线y ＝－2x ＋1上任意一点为(x 0，y 0)，其在旋转变换作用下得到点(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝22x 0－y 0，y ′0＝22x 0＋y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝22x ′0＋y ′0，y 0＝－22x ′0－y ′0.因为点(x 0，y 0)在直线y ＝－2x ＋1上，所以2x 0＋y 0－1＝0，所以2×22(x ′0＋y ′0)－22(x ′0－y ′0)－1＝0，整理得22x ′0＋322y ′0－1＝0. 所以直线y ＝－2x ＋1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线的方程是22x ＋322y －1＝0.10．如图所示的是一个含有60°角的菱形ABCD ，要使只变换其四个顶点中的两个顶点后，菱形变为正方形，求此变换对应的变换矩阵M .该变换矩阵惟一吗？若不惟一，写出所有满足条件的变换矩阵．【解】 由题设知AC ∶BD ＝3∶1.若只变换A ，C 两个顶点，则应把A ，C 两个顶点的横坐标压缩为原来的33，纵坐标不变，于是变换矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33 0 0 1；若只变换B ，D 两个顶点，则应把B ，D 两个顶点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，于是变换矩阵为M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3.所以满足条件的变换矩阵M 为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33 0 0 1或⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3.。
【同步教学参考】2013-2014学年高中苏教版 数学选修4-2 综合检测5
综合检测(五)1．求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 5 6的特征值和特征向量． 【解】 矩阵M 的特征多项式 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 0－5 λ－6＝(λ＋1)(λ－6)． 令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝－1，λ2＝6.将λ1＝－1代入方程组⎩⎨⎧ (λ＋1)x ＋0·y ＝0，－5x ＋(λ－6)y ＝0，易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤7－5为属于λ1＝－1的一个特征向量．将λ2＝6代入方程组⎩⎨⎧(λ＋1)x ＋0·y ＝0，－5x ＋(λ－6)y ＝0，易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤01为属于λ2＝6的一个特征向量．综上所述，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 56的特征值为λ1＝－1，λ2＝6，属于λ1＝－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤7－5，属于λ2＝6的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.2．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．【解】 矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4 因为λ1＝3为方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1 由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1， 设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则由⎩⎨⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0得x ＝－y令x ＝1，则y ＝－1.所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24.(1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象； (2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵M 的特征向量吗？为什么？【解】 (1)因为2α＋3β＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2，所以M (2α＋3β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8－18，所以向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 8－18. (2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量．理由如下：Mγ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3－7，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3－7与向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不共线，所以向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量．4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14，设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，试计算A 5β的值．【解】 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0， 解得λ1＝2，λ2＝3. 当λ1＝2时，得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时， 得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，由β＝m α1＋n α2， 得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7m ＋n ＝4， 得m ＝3，n ＝1， ∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.5．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)(1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 【解】 (1)∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3， ∴a ＝－4.(2)∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－4 1， ∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝λ2－2λ－3. 令f (λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3，对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎨⎧－2x ＋y ＝04x －2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1y ＝2， 因此α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量．对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝04x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1y ＝－2， 因此α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．∴矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3，属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.6．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33cd ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．【解】 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以c ＋d ＝6，① 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，所以3c －2d ＝－2. ②联立①②可得⎩⎨⎧c ＋d ＝6，3c －2d ＝－2，解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －12－13 12.7．已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°.(1)求矩阵A 及A 的逆矩阵B ； (2)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3324，求M 的特征值和特征向量； (3)若α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤81在矩阵B 的作用下变换为β，求M 50β.(结果用指数式表示)【解】 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 2－10； B ＝A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0.(2)设M 的特征值为λ， 则由条件得⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －3 －2 λ－4＝0， 即(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6＝0. 解得λ1＝1，λ2＝6. 当λ1＝1时， 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得M 属于1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2；当λ2＝6时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3324⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得M 属于6的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(3)由Bα＝β，得β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4， 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4＝m α1＋n α2＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3m ＋n －2m ＋n ， 则由⎩⎨⎧3m ＋n ＝－1，－2m ＋n ＝4.解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝2.所以β＝－α1＋2α2. 所以M 50β＝M 50(－α1＋2α2) ＝－M 50α1＋2M 50α2 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＋2×650×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×650－32×650＋2. 8．已知二阶矩阵M 的一个特征值λ＝8及与其对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系；(3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 【解】 (1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎨⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4， 故⎩⎨⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组可解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244. (2)由(1)知矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16.令f (λ)＝0，解得矩阵M 的另一个特征值λ＝2.设矩阵M 的属于特征值2的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Mα2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的作用下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程并化简得x ′－y ′＋2＝0，即直线l ′的方程为x －y ＋2＝0.9．给定矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－1323，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2及向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.(1)求证M 和N 互为逆矩阵；(2)求证α1和α2都是矩阵M 的特征向量．【证明】 (1)因为MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－1323⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－13 23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以M 和N 互为逆矩阵． (2)向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11在矩阵M 的作用下，其象与其共线，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－1323⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1313＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1在矩阵M 的作用下，其象与其共线，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－1323⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，所以α1和α2都是M 的特征向量． 10．给定矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 56 1及向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 9. (1)求矩阵M 的特征值及与其对应的特征向量α1，α2； (2)确定实数a ，b ，使向量α可以表示为α＝a α1＋b α2； (3)利用(2)中的表达式计算M 3α，M n α； (4)从(3)中的运算结果，你能发现什么？【解】 (1)矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －5－6 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－30＝(λ－7)(λ＋4)．令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝－4，λ2＝7.易求得属于特征值λ1＝－4的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6，属于特征值λ2＝7的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)由(1)可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 9＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，解得a ＝1，b ＝3，所以α＝α1＋3α2.(3)M 3α＝M 3(α1＋3α2)＝M 3α1＋3M 3α2＝ (－4)3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋3×73×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤43×5＋3×73－43×6＋3×73. M n α＝M n (α1＋3α2) ＝M n α1＋3M n α2＝(－4)n ×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋3×7n ×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－1)n ＋1×4n ×5＋3×7n(－4)n ×6＋3×7n. (4)在M n α的结果中，随着n 的增加，特征向量α1对结果的影响越来越小．。
【同步教学参考】2013-2014学年高中苏教版 数学选修4-2 课时作业6
1．已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转π4，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．【解】 这个变换的逆变换是作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转π4变换，其矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos (－π4) －sin (－π4)sin (－π4) cos (－π4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 －22－22－22. 2．求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1的逆矩阵． 【解】 法一 待定矩阵法：设矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ z w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，所以⎩⎨⎧z ＝1，w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1，w ＝0，故所求逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0. 法二 A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111中，0×1－1×1＝－1≠0，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1－1－1－1－1 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0. 3．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵． 【证明】 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 1， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， 所以B 是A 的逆矩阵． 4．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵． 【解】 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12， 所以MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12. 设矩阵MN 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 2b c 2 d 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，c 2＝0，d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝0，d ＝2.故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 5．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)．(1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，请说明理由．【解】 (1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎨⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 21－1 2. (2)变换矩阵A 是可逆的． 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ， 则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， 得⎩⎨⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25.6．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1. 若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1. 【解】 设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2， 则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 1， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以x 1＋2x 2＝1,3x 1＋x 2＝0，y 1＋2y 2＝0,3y 1＋y 2＝1，即x 1＝－15，y 1＝25，x 2＝35，y 2＝－15， 故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－15 25 35 －15.7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .【解】 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.因为AX ＝B ，所以A －1(AX )＝A －1B .又因为(A －1A )X ＝A －1(AX )，所以(A －1A )X ＝A －1B ，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. 教师备选8．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎨⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎨⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，从而M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12. (2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：2x ′－y ′＝4，所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.。
(教师用书)2013-2014学年高中数学 模块学习评价 苏教版选修4-2
模块学习评价1．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2011，求矩阵M 的特征值与特征向量．【解】 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 0 －1 λ－1＝λ2－3λ＋2，令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2， 将λ1＝1代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－2·x ＋0·y ＝0，－x ＋λ－1y ＝0，解得x ＝0，所以矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01；同理，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.2．已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A ′B ′C ′D ′，其中A (1,1)，B (－1,1)，C (－1，－1)，A ′(3，－3)，B ′(1,1)，D ′(－1，－1)．(1)求出矩阵M ；(2)确定点D 及点C ′的坐标．【解】 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－3， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝－3，－a ＋b ＝1，－c ＋d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝－2，d ＝－1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－2 －1.(2)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 3，得C ′(－3,3)．由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－23 23 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得D (1，－1)．3．设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 0b 1(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.①求实数a ，b 的值； ②求A 2的逆矩阵．【解】 ①设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．由⎝⎛⎭⎪⎫x ′y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a0b 1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.因为a >1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.②由①知，A ＝⎝⎛⎭⎪⎫1 011，A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 011 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 01 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1021.所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎝⎛⎭⎪⎫10－21. 4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. 【解】 ∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1， ∴A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 243设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A 2α＝β⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2y 4x ＋3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝14x ＋3y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2∴a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.5．曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1的作用下变换为曲线x 2－2y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)求M 的逆矩阵M －1.【解】 (1)设P (x ，y )为曲线x 2－2y 2＝1上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋ay ′，y ＝bx ′＋y ′.代入得(x ′＋ay ′)2－2(bx ′＋y ′)2＝1，即得(1－2b 2)x ′2＋(2a －4b )x ′y ′＋(a 2－2)y ′2＝1， 及方程x 2＋4xy ＋2y 2＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1－2b 2＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2.解得a ＝2，b ＝0. (2)因为M 的行列式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1201＝1≠0，M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11 －2101 11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1. 6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 52 3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 116，求M 3α的值．【解】 矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 －2－52 λ－3＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝λ2－2λ－8＝(λ＋2)(λ－4)．令f (λ)＝0，解得λ1＝4，λ2＝－2.从而求得属于特征值λ1＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤25， 属于λ2＝－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1. 令α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 116＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1，则m ＝3312，n ＝2712，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 116＝3312×⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＋2712×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1，所以M 3α＝43×3312×⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＋(－2)3×2712×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤388862.7．利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3.【解】 方程组可写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 14 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23， 系数行列式为3×2－4×1＝2，方程组有唯一解． 利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 14 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －12－2 32 因此原方程组的解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －12－2 32⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12；y ＝12.8．密码学是关于信息编码和解码的理论，其中经常用到矩阵知识，首先建立如下对应关系：A B C … Y Z↨ ↨ ↨ ↨ ↨ 1 2 3 … 25 26取矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321.(1)将Good 进行编码；(2)将93,36,60,21恢复成原来的信息． 【解】 (1)Good 的编码为7,15,15,4. (2)∵det(A )＝5×1－3×2＝－1，∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5，把接收到的密码按顺序分成两组并写成列向量，可得A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤9336＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9336 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤15 6，A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 315. ∴密码恢复成编码15,6,3,15， 即得到原来的信息OFCO .9．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31. (1)求M 的特征值和特征向量； (2)计算M 4β，M 10β，M 100β；(3)从第(2)小题的计算中，你发现了什么？ 【解】 (1)矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －1 0 λ－2＝(λ－1)(λ－2)．令f (λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.∴属于λ1＝1的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，属于λ2＝2的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)令β＝m α1＋n α2，则有m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，∴m ＝2，n ＝1，即β＝2α1＋α2.∴M 4β＝M 4(2α1＋α2)＝2M 4α1＋M 4α2＝2λ41α1＋λ42α2＝2×14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋24×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1816，同理可得M 10β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210＋2 210，M 100β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100＋2 2100.(3)当n →＋∞时，可近似认为M n β＝M n (2α1＋α2)≈M n α2＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n2n . 10．自然界生物种群的成长受到多种因素的影响，如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等．因此，它们和周边环境是一种既相生，又相克的生存关系．但是如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾．现假设两个互相影响的种群X ，Y 随时间段变化的数量分别为{a n }，{b n }，并有关系式⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝3a n ＋b n ，b n ＋1＝2a n ＋2b n ，其中a 1＝1，b 1＝7，试分析10个时段后，这两个种群的数量变化趋势．【解】 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x i y i ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤312 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x i －1y i －1，令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 122，则f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －1 －2 λ－2＝(λ－1)(λ－4)．令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，对应的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，则α＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋(－2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，则M 10α＝3×410×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋(－2)×110×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×410－23×410＋4≈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×4103×410. 照此发展下去，两个种群的数量趋于均衡．。
高中数学苏教版选修2-3：阶段质量检测(四) 模块综合检测
高中数学苏教版选修2-3：阶段质量检测（四）模块综合检测缘份让你看到我在这里阶段质量检测(四) 模块综合检测 [考试时间：120分钟试卷总分：160分]题号得分一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把正确答案填在题中横线上) 1．由数字0,1,4,5,7组成的没有重复数字的三位奇数的个数为________．2．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实验6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)．1?n3．使?3x＋(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为________．xx??4．数列a1，a2，…，a7中，恰好有5个a,2个b(a≠b)，则不相同的数列共有________个．5．一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率为________．1?6?x－6．(天津高考)的二项展开式中的常数项为________．x??7．掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B，则P(B|A)＝________，P(A|B)＝________.8．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程：∧一 15 16 17 二 18 19 20 总分 y＝0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．9.一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率1都是，且是互相独立的，则灯亮的概率是________．210．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是________．11．俗语中常说，三个臭皮匠胜过诸葛亮，若三个臭皮匠能解决某问题的概率分别为60%、50%、45%.诸葛亮解决问题的概率为85%.若三个臭皮匠中有一人能解决问题即为解决，则三个臭皮匠解决此问题的概率为________．缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里12．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是________．13．从装有3个黑球和3个白球(大小、形状相同)的盒子中随机摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数，则P(X≥2)的值为________．b22ax2＋?6的展开式中x3项的系数为20，14．(山东高考)若?则a＋b的最小值为________． x??二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)2?10?x－15．(本小题满分14分)已知二项式的展开式中，x??(1)求展开式中含x4项的系数；(2)如果第3k项和第k＋2项的二项式系数相等，试求k的值．16．(本小题满分14分)已知男人中有5%患色盲，女人中有 0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里17.(本小题满分16分)在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设x，y，z分别表示甲、乙、丙3个盒中的球数．(1)求x，y，z依次成公差大于0的等差数列的概率； (2)记X＝x＋y，求随机变量X 的概率分布列和数学期望．18．(本小题满分16分)(新课标全国卷Ⅱ)某地区2021年至2021年农村居民家庭纯收入y(单位：千元)的数据如下表：缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里年份年份代号t 人均纯收入y 2021 1 2.9 2021 2 3.3 2021 3 3.6 2021 4 4.4 2021 5 4.8 2021 6 5.2 2021 7 5.9 (1)求y关于t的线性回归方程； (2)利用(1)中的回归方程，分析2021年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．i＝1? ?ti－t??yi－y?，a＝yi＝1n附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b＝? ?ti－t?2n－bt19.(本小题满分16分)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；(2)根据以上数据完成下列2×2的列联表：主食蔬菜 50岁以下 50岁以上合计(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析．缘份让你看到我在这里主食肉类合计缘份让你看到我在这里20．(本小题满分16分)(全国大纲卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．答案111．解析：第一步排个位有C3种排法；第二步排首位有C3种排法；第三步排中间位置有1C3种排法，共有排法C1C1C13・3・3＝27种，所以有不同的三位奇数27个．答案：272．解析：第一步，A程序有C12种不同安排方法，第二步，将B和C看成一个程序与其2他3个程序有A44种不同安排方法，第三步，安排B和C的顺序，有A2种不同的方法，根据42分步计数原理，则不同的安排方法共有C12A4A2＝96种．答案：9655n－r?1?rrn－r3．解析：由二项式定理得，Tr＋1＝Cr(3x)＝C3xn－r，令n－r＝0，当rnn22?xx?＝2时，n＝5，此时n最小．答案：524．解析：7个位置中选2个位置放入2个b，其余5个位置放入5个a，共有C7＝21缘份让你看到我在这里感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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综合检测(三)
1．计算：
(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －23 12； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cos φ －sin φsin φ cos φ. 【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －23 12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1×0＋2×3 1×(－2)＋2×123×0＋4×3 3×(－2)＋4×12 ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤6 －112 －4. (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cos φ －sin φsin φ cos φ＝ ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cos θcos φ－sin θsin φ －cos θsin φ－sin θcos φsin θcos φ＋cos θsin φ －sin θsin φ＋cos θcos φ ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cos (θ＋φ) －sin (θ＋φ)sin (θ＋φ) cos (θ＋φ). 2．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，计算AB ，并从变换的角度解释． 【解】 AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12 －12－3232 －32＋12. AB 所对应的变换为复合变换，即由旋转变换和切变变换连续变换得到的．
3．已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222
22，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，且MN ＝A ，求二阶矩阵N . 【解】 设N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222
22⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22(a －c ) 22(b －d )22(a ＋c ) 22(b ＋d )＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00 1， ∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 22(a －c )＝1，22(b －d )＝0，
22(a ＋c )＝0，22(b ＋d )＝1，
解得⎩⎪⎪
⎨⎪⎪⎧ a ＝22，b ＝22，
c ＝－22，
d ＝22.
∴N ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤ 22 22－22 22. 4．设E 为二阶单位矩阵，试证明对于任意二阶矩阵M ，ME ＝EM ＝M .
【证明】 设M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a b c d ，a ，b ，c ，d 均为实数，则
ME ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c
d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝M ， EM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a b c d ＝M . 所以等式得证．
5．已知A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α，试求A 2，A 3，并据此猜想A n (n ∈N *)． 【解】 因为A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α， 所以A 2
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α＝ ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ cos αcos α－sin αsin α cos αsin α＋sin αcos α－cos αsin α－sin αcos α －sin αsin α＋cos αcos α ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α， A 3
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ cos 3α sin 3α－sin 3α cos 3α， 所以据此猜想A n
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos nα sin nα－sin nα cos nα. 6．根据如图所示的变换，你能将其分解为已知的一些变换吗？
【解】 (1)先施以矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1 0 0 －1对应的关于原点的中心反射变换，再往以矩阵⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12 00 1对应的伸压变换得到． (2)先施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00
1对应的伸压变换，再施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的伸压变换得到．
7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 －20 1. (1)计算AB ，BA ；
(2)设M ＝AB ，N ＝BA ，若矩阵M ，N 分别把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l 1，l 2，求直线l 1，l 2的方程．
【解】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 －20 1 ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 2×1＋1×0 2×(－2)＋1×1－1×1＋2×0 －1×(－2)＋2×1 ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 2 －3－1 4， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 2 1－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1×2＋(－2)×(－1) 1×1＋(－2)×2 0×2＋1×(－1) 0×1＋1×2 ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 4 －3－1 2. (2)任取直线l 上一点P (x ，y )经矩阵M 变换后为点P ′(x ′，y ′)，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 2x －3y －x ＋4y ， ∴⎩⎨⎧ x ′＝2x －3y y ′＝－x ＋4y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝45x ′＋35y ′y ＝15x ′＋25y ′，
把上式代入x ＋y ＋2＝0得：
45x ′＋35y ′＋15x ′＋25y ′＋2＝0，
即x ′＋y ′＋2＝0，
∴直线l 1的方程为x ＋y ＋2＝0，
同理可求l 2的方程为3x ＋7y ＋10＝0.
8．在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标分别为A (0,0)，B (1,1)，C (0,2)，
求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0 11
0，N ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0 －11 0. 【解】 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 0－2， 可知A ，B ，C 三点在矩阵MN 作用下变换所得到的点分别是A ′(0,0)，B ′(1，－1)，C ′(0，－2)．计算得△A ′B ′C ′的面积为1.
所以△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积为1.
9．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b
1，N ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤c 20 d ， 且MN ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 2 0－2 0. (1)求实数a ，b ，c ，d 的值；
(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象． 【解】 由题设得⎩⎨⎧ c ＋0＝22＋ad ＝0bc ＋0＝－22b ＋d ＝0
，解得：⎩⎨⎧ a ＝－1b ＝－1c ＝2d ＝2. (2)设直线y ＝3x 上的任意点(x ，y )，在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象是点(x ′，y ′)，
由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ x －y －x ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x 2x 得y ′＝－x ′，即点(x ′，y ′)必在直线y ＝－x 上．由(x ，y )的任意性可知，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为y ＝－x .
10．假设我们收集到苹果和香蕉在两个不同商店的价格，每个男性与女性分别对这两种水果的日需求量以及两个不同公司中男性与女性人员数量，并用矩阵表示如下：
价格 日需求量
A ＝苹果香蕉⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1.5A 店 1.2
B 店2.8 3.0，B ＝男女⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1苹果 2香蕉
3 2， 人员数量
C ＝公司甲公司乙⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤200男 50女80 120. 利用A ，B ，C ，按下列要求求出矩阵乘积：
(1)计算乘积BA ，并说明该乘积矩阵表示的是什么量表；
(2)哪两个矩阵的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量？并计算出这个量表．
【解】 (1)BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.5 1.22.8 3.0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7.1 7.210.1 9.6. 由于7.1＝1×1.5＋2×2.8，表示男性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费7.1元；10.1＝3×1.5＋2×2.8，表示女性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费10.1元．故BA 表示男、女在A ，B 两店每日需消费的金额，用量表表示如下：
(2)C 与B 的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量：
CB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 5080 120⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 23
2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤350 500440 400，
故量表为。