高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数优化训练苏教版必修1
高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.3对数函数的概念及基本性质课堂导学案苏教
3.2.3 对数函数的概念及基本性质课堂导学三点剖析一、对数函数的图象和性质【例 1】 利用对数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)log π,log e;22(2)log 0.3,log 0.04.1 1 24解析：(1)函数 y=log x 在(0,+∞)上是增函数，而π>e>0,∴ log π>log e.222(2)log 0.04=1log 0.04 1 421 2log1=12log 0.04=log 0.2.1 1 422又因为函数 y=log x 在(0,+∞)上为减函数，12∴log 0.3<log 0.2,即 log 0.3<1 1 1log 0.04.1 2224温馨提示先把不同底数化为相同底数，再利用函数单调性比较大小是比较对数值大小的基本方法. 二、a>1或 0<a<1时，对数函数的不同性质 【例 2】 求函数 y= 1 log (x a )a(a>0且 a ≠1)的定义域.思路分析：先由被开方数是非负数建立不等式，由于不等式中含有字母参数，再根据对数的性 质对字母参数进行分类讨论.解析：由 1-log a (x+a)≥0,得 log a (x+a)≤1.当 a>1时，0<x+a ≤a, ∴-a<x ≤0.当 0<a<1时，x+a ≥a, ∴x ≥0.综上，当 a>1时，函数的定义域为(-a,0). 当 0<a<1时，函数的定义域为［0,+∞).温馨提示对于对数函数问题，底数中含字母参数都必须进行分类讨论.三、对数函数的单调性和单调区间的求法【例3】求函数y=log2(x2-x-6)的单调区间.解析：令u=x2-x-6,则y=log2u.∵y=log2u为u的增函数，∴当u为x的增函数时，y为x的增函数;当u为x的减函数时，y为x的减函数.由x2-x-6>0,得x<-2或x>3.借助于二次函数图象可知：当x∈(-∞,-2)时，u是x的减函数;1当x∈(3,+∞)时，u是x的增函数.所以，原函数的单调减区间是(-∞,-2),单调增区间是(3,+∞).温馨提示(1)研究函数的单调性，首先必须考虑它的定义域；(2)对数函数的单调性，当底数是字母时，必须分底数大于1和底数大于0且小于1这两种情况进行讨论；(3)对于复合函数的单调性，必须考虑u=g(x)与y=f(u)的单调性，从而得出y=f［g(x)］的单调性；(4)判断函数的增减性，或者求函数的单调区间，一般都可借助函数图象求解.各个击破类题演练 1比较下列各组数中两个值的大小.（1）log23.4,log28.5;(2)log a5.1,log a5.9(a>0,a≠1).解析：(1)对数函数y=log2x,因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4<log28.5;(2)当a>1时，函数y=log a x在（0,+∞）上是增函数，于是log a5.1<log a5.9;当0<a<1时，函数y=log a x在(0,+∞)上是减函数，于是log a5.1>log a5.9.变式提升 1比较下列两个值的大小：（lgm）1.9,(lgm)2.1(m>1).解析：若1>lgm>0,即1<m<10时，y=(lgm)x在R上是减函数，∴(lgm)1.9>(lgm)2.1.若lgm=1，即m=10时，（lgm）1.9=(lgm)2.1.若lgm>1，即m>10时，y=(lgm)x在R上是增函数，∴（lgm）1.9<(lgm)2.1.类题演练 21x1x已知f(x)=log a求f(x)的定义域；(a>0,且a≠1).11解析：由对数函数定义知xx>0,∴-1<x<1,∴f(x)的定义域为（-1，1）.变式提升 212e x, (2006山东高考文，2)设f（x）=log(x231)xx22.则f(f(2))的值为（）A.0B.1C.2D.3 解析：∵f(2)=log3(22-1)=log33=1,∴f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.故选C.答案：C类题演练 3求函数y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间.解析：先求函数的定义域，由2x2-5x-3=(2x+1)(x-3)>0,得x<- 12,或x>3.令u=2x2-5x-3,y=log0.1u.2由于u=2(x- 54)2-618,可得u=2x2-5x-3(x<-12或x>3)的递增区间为（3，+∞）,从而可得y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间为（3，+∞）.变式提升 3求函数y=log(3+2x-x2)的单调区间和值域.12解析：由3+2x-x2>0解得函数y=log(3+2x-x2)的定义域是-1<x<3.12设u=3+2x-x2(-1<x<3),当-1<x1<x2≤1时，u1<u2,从而log u1>log u2,即y1>y2,故函数y=1122log(3+2x-x2)在区间（-1，1）上单调递减；同理可得，函数在区间（1，3）上是单调递增.12函数u=3+2x-x2(-1<x<3)的值域是（0，4），故函数y=log(3+2x-x2)的值域是y≥log1122 4,即y≥-2.3。
高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数名师导航学案苏教版必修1
3.2.1 对数名师导航知识梳理一、对数与对数运算 1.对数的定义一般地，如果a x=N(a>0,a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中a 叫做对数的__________，N 叫做对数的__________.对数恒等式为________________________________________. 2.对数的运算法则指数的运算法则： 对数的运算法则：（1）a m ·a n =a m+n;→ （1）______________;（2）n m aa =a m ·a -n =a m-n;→ （2）______________;（3）(a m )n=a mn;→ （3）_______________. 二、对数运算法则的证明 (学会证明方法)1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_______________； log a (MN)=log a M+log a N. 设log a M=p,log a N=q,则a p =M,a q=N,∴MN=a p ·a q =a p+q.∴log a (MN)=p+q=log a M+log a N.2.两个正数的商的对数等于被除数的对数___________除数的对数；log a N M =log a M-log a N.∵N M =q p aa =a p-q,∴log aNM=p-q=log a M-log a N. 3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数____________幂指数；log a (N n)=n ·log a N. 根据对数恒等式:Na a log =N,∴N n=(aalog N)n=Nn a alog •.∴log a (N n)=n ·log a N.4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数______________根指数. log anN n1=·log a N.∵n N =n N 1,∴由法则3得log a n N =log a nN 1=n1·log a N. 三、对数的性质1.__________和__________没有对数.因为a ＞0，所以不论b 是什么数，都有a b ＞0，即不论b 是什么数，N=a b永远是正数，这说明在相应的对数式 b=log a N 中真数N 永远是正数，换句话说负数和零没有对数. 2.1的对数是__________.因为a 0=1(a ＞0，且a ≠1)，所以根据对数的定义可得log a 1=0. 3.底数的对数等于__________.因为a 1=a ，根据对数的定义知log a a=1. 四、一组重要的对数公式——换底公式 1.log a b=abc c log log ,即有log c a ·log a b=log c b;2.log b a=ba log 1，即有log a b ·log b a=1；3.nmb a log =mnlog a b. 疑难突破如何将给出的对数式换成指定底数的对数？《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.对数换底公式：log b N=bNa a log log (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，N ＞0)，推论：log a b=a b log 1，mn b a nm =log log a b.更特别地有log a a n=n.问题探究问题1 对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a ≠1，N ＞0呢？探究思路：对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a ＞0且a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.从定义不难发现无论是指数式a b=N ，还是对数式log a N=b 都反映的是a 、b 、N 三数之间的关系. 在对数符号log a N 中，若a ＜0，则N 为某些值时，log a N 不存在，如log (-2)8不存在. 若a=0，则N 不为0时，log a N 不存在；N 为0时，log a N 可以为任何正数，不唯一.若a=1，则N 不为1时，log a N 不存在；N 为1时，log a N 可以为任何实数，不唯一.因此规定a ＞0且a ≠1.因为log a N=b ⇔a b=N ，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N ＞0. 问题2 对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？ 探究思路：对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)log a 1=0(1的对数是0)； (2)log a a=1(底数的对数是1)； (3)aalog N=N(对数恒等式)；(4)log a N=aNb b log log (b ＞0且b ≠1)(换底公式)；(5)log a M+log a N=log a MN ； (6)log a M-log a N=log a NM ； (7)nlog a N=log a N n； (8)mn log a N=log a m N n. 以上各式均有条件a ＞0且a ≠1.问题3 初学对数运算性质，容易犯下面的错误：log a (M ±N)=log a M ±log a N ，log a (M ×N)=log a M ×log a N ，log aN M =NM a a log log ，log a N n =(log a N)n.应该如何解决呢？探究思路：首先应把握对数运算的本质特征，运算性质是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算，是降级运算；其次，对数记号log a N 整体上才有意义，不能误把对数符号当作表示数的字母进行运算. 典题精讲例1 (1)将下列指数式写成对数式： ①210=1 024；②10-3=10001； ③0.33=0.027；④e 0=1.(2)将下列对数式写成指数式： ①log 0.46.25=-2；②lg2=0.301 0； ③log 310=2.095 9；④ln23.14=x.思路解析 应用指数式与对数式的等价关系求解. 答案:(1)①log 21 024=10；②lg 10001=-3；③log 0.30.027=3；④ln1=0. (2)①0.4-2=6.25；②100.301 0=2；③32.095 9=10；④e x=23.14.例2 计算：log 2487+log 212-21log 242.思路解析 这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=21(log 27-log 248)+log 23+2log 22-21(log 27+log 22+log 23) =21log 27-21log 23-21log 216+21log 23+2-21log 27-21=-21. 解法二：原式=log 2(347×12×671⨯)=-21. 例3 求下列各式的值： (1)3log 3128-；(2)7lg20×(21)lg0.7； (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)； (4)lg(5353-++).思路解析 (1)由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式aalog N=N 化简计算.(2)通过取对数，先算出对数值，再求值.(3)运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解. (4)运用对数运算法则巧去根号. 解答:(1)2722222)2(827log 27log 13log 31)3log 31(33log 3122222=====----. (2)设x=7lg20×(21)lg0.7，则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg(21)=(lg2+1)×lg7+(lg7-1)×(-lg2)=lg7+lg2=lg14， ∴x=14，即7lg20×(21)lg0.7=14. (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)=log 2［(1+2)2-(3)2］=log 222=log 2232=23. (4)lg(5353-++)=21lg(5353-++)2=21lg(3+5+3-5+259-)=21lg10=21. 例4 已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么a 1-b1等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析 本题有两种解题方法.解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得ba 111000-=0112.02.11=1 000.∴a 1-b1=1. 解法二：用对数解.由题意，得a ×lg11.2=3，b ×lg0.011 2=3， ∴a 1-b 1=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 答案:A例5 方程lg(4x +2)=lg2x+lg3的解是_____________.思路解析 把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有求知数的方程，解之即可.解:把两边化成同底的对数式为lg(4x +2)=lg(2x×3)，比较真数，得方程4x +2=2x×3，利用换元法，解得2x =1或2x=2. 所以x=0或x=1. 答案:x 1=0，x 2=1 知识导学 1.对数的概念在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即log a N=b a b=N. 2.换底公式一般地，我们称log a N=aNb b log log 为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式，这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一，是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时，一方面要证明它和它的几个推论；另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底，不要盲目地换底，以简化我们的解题过程. 3.常用对数与自然对数的概念有了对数的概念后，要求log 0.840.5的值，我们需要引入两个常用的对数：常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数；自然对数是指以e(e=2.718 28…，是一个无理数)为底的对数.有了常用对数和自然对数再利用对数的运算性质，我们就可以求log 0.840.5的值了. 4.对数恒等式 对数恒等式：Na alog =N.它的证明也很简单，只要紧扣对数式的定义即可证明. ∵a b=N ， ∴b=log a N. ∴a b=Na alog =N ，即Na a log =N.如5log 33=5、6log 44=6等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.疑难导析对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子. 问题导思指数式与对数式之间可以相互转化，它们之间可以理解为就像加法与减法一样的关系.后面我们会学习反函数，指数式与对数式之间的转化可以通过反函数进行. 这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记： 积的对数变为加， 商的对数变为减，幂的乘方取对数， 要把指数提到前. 典题导考绿色通道 指数式与对数式之间的换算，就是利用log a N=b ⇔a b=N. 典题变式已知log a 2=m ，log a 3=n ，则a 2m-n=____________. 解答：∵log a 2=m ，log a 3=n ， ∴a m =2，a n=3.∴a 2m-n=3432)(222===nm n m a a a a . 绿色通道 解决求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值. 典题变式计算2log 525+3log 264-8log 71的值为( )A.14B.8C.22D.27 答案:C绿色通道 有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用.如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式aalog N=N 把任何正数N 化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题. 典题变式1.lg5lg8 000+(lg 32)2+lg0.06-lg6=______________.解答:原式=lg5(3+3lg2)+3lg 22+lg 606.0=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg 22-2=3-2=1. 2.计算2lg5+32lg8+lg5·lg20+lg 22的值. 解答:原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg 22 =lg 25+2lg2·lg5+lg 22+2(lg5+lg2)=(lg5+lg2)2+2(lg5+lg2) =lg 210+2lg10 =1+2=3.绿色通道 因为指数与对数存在着互逆的运算关系，因而反映在具体问题中就一定从指数式、对数式两条思路分别运用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.这就是对立统一的原则在具体思路上的指导和体现. 典题变式 已知a=lg(1+71)，b=lg(1+491)，试用a 、b 的式子表示lg1.4.答案:lg1.4=71(a-4b+1). 黑色陷阱 如果误以为原方程lg(4x+2)=lg2x+lg3可化为lg4x+lg2=lg2x+lg3，将导致解题错误.这也说明数学思维的严密性，如果百密一疏，则后悔莫及! 典题变式已知函数f(x)=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f(91)］的值是( )A.9B.91C.-9D.-91答案:B。
高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数自主训练苏教版必修1
对数自主广场我夯基 我达标)5log 211(22+值为( ) A.2+5 B.25 C.2+25 D.1+25 思路解析:考察对数式运算法那么.原式=5222)52(log )5log 1(22==+.应选B.答案:B2.以下各式中成立是( )a x 2=2log aa |xy|=log a |x|+log a |y|a 3＞log aa yx =log a x-log a y 思路解析:用对数运算法那么解决问题.A 、D 错误在于不能保证真数为正，C 错误在于a 值不定.选B.答案:B3.f(x 5)=lgx ，那么f(2)等于( ) 32 C.lg 321 D.51lg2 思路解析:令x 5=t ，那么x=5t =51t .∴f(t)=lg 51t =51lgt.∴f(2)=51lg2. 答案:D4.设x 、y 为非零实数，a>0且a ≠1，那么以下各式中不一定成立个数是( )①log a x 2=2log a x ②log a 3>log a 2 ③log a |x ·y|=log a |x|·log a |y| ④log a x 2=2log a |x|A.1B.2 C思路解析:①②③不一定成立，④一定成立.答案:C5.设集合A={x|x 2-1＞0}，B={x|log 2x ＞0}，那么A ∩B 等于( )A.{x|x>1}B.{x|x>0}C.{x|x<-1}D.{x|x ＜-1或x ＞1}思路解析:该题考察集合表示及解不等式.可以先分别求出集合A 、B 中所列不等式解集，然后再在数轴上求它们交集.答案:A6.假设函数f(x)(x>0)满足f(yx )=f(x)-f(y)，f(9)=8，那么f(3)等于( ) A.2 B.-2 C思路解析:∵f(3)=f(39)=f(9)-f(3)，∴f(3)=21f(9)=4. 答案:D7.以下四个命题中，真命题是( )23=lg9a M+N=b ，那么M+N=a b2M+log 3N=log 2N+log 3M ，那么M=N思路解析:解答此题关键是熟练掌握对数概念及对数运算有关性质.将选项中提供答案一一与相关对数运算性质相对照，不难得出应选D.答案:D黑色陷阱：错选A 或B 或C.主要问题是对函数运算性质不清，在对数运算性质中，与A 类似一个正确等式是lg2+lg3=lg6；B 中lg 23表示(lg3)2，它与lg32=lg9不是同一个意义；C中log a M+N 表示(log a M)+N ，它与log a (M+N)不是同一意义；D 中等式可化为log 2M-log 2N=log 3M-log 3N ，即log 2N M =log 3NM ，所以M=N. 8.函数f(x)=log a (a>0且a ≠1)，f(2)=3，那么f(-2)值为________________.思路解析:∵f(-x)=log a =-log a =-f(x),∴函数为奇函数.∴f(-2)=-f(2)=-3.答案:-39.求以下各式值:(1)设log b x-log b y=a ，那么log b 5x 3-log b 5y 3=___________________.(2)设log a (x+y)=3，log a x=1，那么log a y=_____________________. (3)|91|log 33=_________________.思路解析:利用对数性质.解答:(1)∵log b x-log b y=a ,∴log b (yx )=a. ∴log b 5x 3-log b 5y 3=log b 3355y x =log b (y x )3=3log b (y x )=3a. (2)∵log a (x+y)=3, ∴3a=x+y. 又log a x=1,∴x=a.∴y=3a-a ，从而log a y=log a (3a -a). (3)|3log 2||3|log |91|log 3233333-==-=32=9.10.求以下各式中x ： (1)54log x=-21； (2)log x 5=23；(3)log (x-1)(x 2-8x+7)=1.思路解析:根据式中未知数位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进展计算. 解答:(1)原式转化为=x ，所以x=25. 〔2〕原式转化为23x =5，所以x=325.〔3〕由对数性质得解得x=8.11.lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg 45.思路解析:解此题关键是设法将45常用对数分解为2、3常用对数代入计算.解答: lg 45=21lg45=21lg 290 =21(lg9+lg10-lg2) =21(2lg3+1-lg2) =lg3+21-21lg2 =0.477 1+0.5-0.150 5=0.826 6.我综合 我开展12.(1)3a =2,用a 表示log 34-log 36；(2)log 32=a,3b =5,，用a 、b 表示log 330.解答: 〔1〕∵3a =2，∴a=log 32.∴log 34-log 36=log 332=log 32-1=a-1. 〔2〕∵3b =5，∴b=log 35.又∵log 32=a ，∴log 330=21log 3(2×3×5)=21(log 32+log 33+log 35)=21(a+b+1). 我创新 我超越13.2005年3月28日在印度尼西亚苏门答腊岛附近发生里氏8.2级地震，日本气象厅测得为里氏8.5级.科学家常以里氏震级为度量地震强度.假设设N 为地震时所散发出来相对能量程度，那么里氏震级m 可以定义为m=lgN ，试比拟8.2级和8.5级地震相对能量程度. 解答:1和N 2，由题意得因此lgN 2-lgN 1=0.3，即lg 12N N =0.3，∴12N N =10≈2. 因此，8.5级地震相对能量程度约为8.2级地震相对能量程度2倍.。
高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题及解析
高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题（满分：150分；考试时间：100分钟）一、选择题（本大题共10小题. 每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的） 1．指数函数y=a x 的图像经过点（2，16）则a 的值是 （ ）A ．41 B ．21C ．2D ．4 2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果 （ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．在区间),0(+∞上不是增函数的是 ( )A.2x y =B.x y log 2=C.xy 2= D.122++=x x y 4．式子82log 9log 3的值为 ( ) A .23 B .32C .2D .3 5．已知0ab >，下面四个等式中：①lg()lg lg ab a b =+； ②lg lg lg a a b b=-；③b ab a lg )lg(212= ；④1lg()log 10ab ab =．其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知2log 0.3a =，0.32b =，0.20.3c =，则c b a ,,三者的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．a b c >> 7．已知函数)(x f y =的反函数)21(log )(211-=-x x f，则方程1)(=x f 的解集是（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{4} 8．图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =， l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ）A. 0<a <b <1<d<cB. 0<b<a <1<c<dC. 0<d<c<1<a<bD. 0<c<d <1<a<b9．函数y= | lg （x-1）| 的图象是 （ ）xyOy=log a xy=log x y=log c x y=log d x110．给出幂函数①f (x )=x ；②f (x )=x 2；③f (x )=x 3；④f (x )=；⑤f (x )=1x ．其中满意条件f 12()2x x + ＞12()()2f x f x + (x 1＞x 2＞0)的函数的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（.每小题5分，共20分） 11．函数21()log (2)f x x =-的定义域是 ．12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .13．函数)x 2x (log y 221-=的单调递减区间是_________________．14．关于函数21()lg (0,R)||x f x x x x +=≠∈有下列命题：①函数()y f x =的图象关于y 轴对称；②在区 间(,0)-∞上，函数()y f x =是减函数；③函数()y f x =的最小值为lg 2；④在区间(1,)+∞上，函 数()y f x =是增函数．其中正确命题序号为_______________． 三、解答题（6小题，共80分）15．（本小题满分12分）4160.250321648200549-+---）（）（）16． （本小题满分12分）设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨>⎩，求满意()f x =41的x 的值．C17．（本小题满分14分）已知()2xf x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．18．（本小题满分14分）若0≤x ≤2，求函数y=523421+⨯--x x 的最大值和最小值．19．（本小题满分14分）光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为x 块玻璃后强度为y .（1）写出y 关于x 的函数关系式；（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下? ( lg30.4771)≈20．（本小题满分14分）已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数.（1）求b 的值；（2）推断函数()f x 的单调性；（3）若对随意的R t ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题参考答案及解析一、选择题1．D 解析：由a 2=16且a ＞0得a =42．C 解析：原式a ab ba9990653121612132-=-=-=-+-+3．C 解析：依据反比例函数的性质4．A 解析：因log 89=22232log 32log 3log 23=，故原式=23 5．B 解析：ab ＞0，故a 、b 同号；当a 、b 同小于0时，①②不成立；当ab =1时，④不成立，故只有③对。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对
第2课时 对数的运算性质1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．1．对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么： 指数的运算法则⇒对数的运算法则 ①a m ·a n ＝a m ＋n⇒log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②a m a n ＝a m ·a －n ＝a m －n ⇒log a MN ＝log a M －log a N ； ③(a m )n ＝a mn ⇒log a (N n)＝n ·log a N.积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前． 【做一做1－1】计算：(1)log 26－log 23＝________；(2)log 53＋log 513＝__________.答案：(1)1 (2)0【做一做1－2】若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值是__________． 解析：由等式得(x －2y )2＝xy ， 从而(x －y )(x －4y )＝0， 因为x ＞2y ，所以x ＝4y . 答案：4 2．换底公式 (1)log a b ＝log log c c ba，即有log c a ·log a b ＝log c b (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)； (2)log b a ＝1log a b，即有log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)； (3)log m na b ＝log a nb m(a ＞0，a ≠1，b ＞0)．换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【做一做2】已知lg N ＝a ，用a 的代数式表示： (1)log 100N ＝__________；(2)＝__________. 答案：(1)12a (2)2a运用对数的运算性质应注意哪些问题？ 剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：log n (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N 等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．题型一 有关对数式的混合运算 【例1】求下列各式的值：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.分析：利用对数运算性质和“lg 2＋lg 5＝1”解答． 解：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝log 535×5014＋12122log 2＝log 553－1＝2. (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg 22＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋1＝3.(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝12. 反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg 2＋lg 5＝1”来解题．题型二 有关对数式的恒等证明【例2】已知4a 2＋9b 2＝4ab (a ＞0)，证明lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b 2.分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg 2a ＋3b4＝lg ab ，因此只要利用条件证出真数相等即可．证明：由4a 2＋9b 2＝4ab ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝ab ， 因为a ＞0，所以b ＞0，两边取以10为底的对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝lg(ab )， 即2lg 2a ＋3b 4＝lg(ab )，lg 2a ＋3b 4＝12lg(ab )，所以lg 2a ＋3b 4＝12(lg a ＋lg b )．因此lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b2，所以原等式成立．反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b ＞0.题型三 对数换底公式的应用【例3】已知log 23＝a,3b＝7，则log 1256＝__________(用a ，b 表示)．解析：方法一：∵log 23＝a ，∴2a＝3.又3b ＝7，∴7＝(2a )b ＝2ab.故56＝8×7＝23＋ab.又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2， 从而33+22256=(2)=12ab ab a aa ++++.故log 1256＝32123log 12=2ab a aba ++++. 方法二：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a. 又3b＝7，∴log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2.方法三：∵log 23＝lg 3lg 2＝a ，∴lg 3＝a lg 2.又3b＝7，∴lg 7＝b lg 3.∴lg 7＝ab lg 2.从而log 1256＝lg 56lg 12＝3lg 2＋lg 72lg 2＋lg 3＝3lg 2＋ab lg 22lg 2＋a lg 2＝3＋ab2＋a.答案：3＋ab 2＋a反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型四 有关对数的应用题【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14C.14C 的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的14C ，可以通过与大气的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的14C 含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的14C 按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5 730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的14C 含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量p ；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中14C 的残留量为x .由于死亡机体中原有的14C 按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的14C 含量p 有如下关系：由于大约经过5 730年，死亡生物体的14C 含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730.于是x ＝5 73012＝1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭.(2)由573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭可得125730log t p =.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，即p ＝0.767. 所以125730log 0.767 2 193t =≈.故马王堆汉墓约是2 193年前的遗址．反思：生物体死亡后，机体中原有的14C 每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半衰期”得到这一比率．已知衰减比率，求若干年后机体内14C 的含量属于指数函数模型；反之，已知衰减比率和若干年后机体内14C 的含量，求衰减的年数应属于对数知识．1设lg a ＝1.02，则0.010.01的值为__________(用a 表示)．解析：设0.010.01＝x ，则lg x ＝lg 0.010.01＝0.01lg 0.01＝－0.02， ∴lg a ＋lg x ＝lg ax ＝－0.02＋1.02＝1.∴ax ＝10，x ＝10a.答案：10a2若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 0.18等于__________． 解析：lg 0.18＝lg 18－2＝2lg 3＋lg 2－2＝a ＋2b －2. 答案：a ＋2b －23已知＝1－aa，则log 23＝__________.解析：由条件得log 23＝a 1－a ，所以log 23＝2a 1－a.答案：2a1－a4计算：log 2748＋log 212－12log 242. 解：原式＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12.5设x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z，求证：1z －1x ＝12y.证明：设3x ＝4y ＝6z＝k ，且x ，y ，z 为正数， 所以k ＞1.那么x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，所以1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y .所以1z －1x ＝12y.。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 第1课时 对数函数的概念、图象与性质学业分
2018版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2.2 第1课时对数函数的概念、图象与性质学业分层测评苏教版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2.2 第1课时对数函数的概念、图象与性质学业分层测评苏教版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.2。
2 第1课时对数函数的概念、图象与性质(建议用时:45分钟）［学业达标]一、填空题1．已知对数函数f (x）的图象过点（8，－3），则f （22)＝________.【答案】－错误!2．函数f (x)＝错误!＋lg (3x＋1）的定义域为________．【解析】由题知错误!⇒－错误!〈x〈1。
【答案】错误!3．已知函数f （x）＝错误!则f 错误!＝________。
【解析】 f 错误!＝f 错误!＝f （－3）＝错误!－3＝8。
【答案】84．函数f (x）＝log错误!（2x＋1）的单调减区间是________．【解析】∵y＝log 12u单调递减，u＝2x＋1单调递增,∴在定义域上，f (x）单调递减，故减区间为2x＋1〉0,∴x>－1 2。
【答案】错误!5．函数y＝x＋a与y＝log a x的示意图在同一坐标系中正确的是下列图象中的________．（填序号）【解析】由y＝x＋a的斜率为1，排除③，①②中直线在y轴上截距大于1,但①中y＝log a x的图象反映a〈1，排除①，④中对数底a〉1,但截距a〈1矛盾．【答案】②6．函数f (x）＝log a（2x＋1）＋2（a>0且a≠1）必过定点________．【解析】令错误!得错误!即f (x）必过定点（0,2）．【答案】(0,2)7．设a＝log3 6，b＝log5 10，c＝log7 14，则a，b,c的大小关系是________.【解析】a＝log3 6＝log3 2＋1，b＝log5 10＝log5 2＋1，c＝log7 14＝log7 2＋1，∵log3 2〉log5 2〉log7 2，∴a>b>c.【答案】a>b>c8．设函数f (x）＝log2x的反函数为y＝g(x），且g(a)＝错误!，则a＝________.【解析】g(x)是f (x）＝log2x的反函数，∴g（x）＝2x，∴g（a）＝2a＝错误!,∴a＝－2.【答案】－2二、解答题9．求下列函数的定义域：(1）f （x）＝lg （x－2）＋错误!；(2)f (x）＝log（x＋1）（16－4x）．【解】(1）由题知错误!⇒x>2且x≠3，故f (x）的定义域为｛x|x〉2且x≠3}．（2)由题知错误!⇒－1<x<4且x≠0,故f （x)的定义域为{x|－1〈x<4且x≠0}．10．比较下列各组数的大小：（1）log0。
高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数32对数函数322对数函数名师导航学.docx
3. 2.2对数函数名师导航知识梳理1.对数函数的定义函数__________ （a>0且aHl）叫做对数函数;它是指数函数y=a x（a>0且aHl）的反函数对数函数y=log a x（a>0且a#l）的定义域为__________ ,值域为___________ •2.对数函数的图象由于对数函数y=logax与指数函数y二a*互为反函数，所以y二log“x的图象与y二『的图象关于直线对称.因此，我们只要画岀和y二分的图象关于y二x对称的曲线，就可以得到y=log；,x 的图象，然后根据图象特征得岀对数函数的性质.a>l0<a<l图象儿X=11； J=Iog fl x(o>l)儿x-\11V\；(L0)0/(1，0) X1111 7=log tf x(0<a< 1)iia>l0<a<l性质①定义域：（0, +8）②值域:R③图象过定点（1,0）④在（0, +8）上是增函数④在（0, +8）上是减函数疑难突破怎样把对数函数与指数函数联系起来研究?答：对数函数的反函数是指数函数，所以要利用指数函数的性质来研究对数函数•应该让学生注意到：（1）这两种函数都要求底数a>0,且a^l；对数函数的定义域为（0, +8）,结合图彖看，对数函数在y轴左侧没有图彖，即负数与0没有对数，也就是真数必须大于0. 这些知识可以用来求含有对数函数的定义域.⑵通过将对数函数与指数函数的图象进行对比，可以发现：当a>l或0<aVl时，对数函数与指数函数的单调性是一致的（即在区间（0, +8）上同时为增函数，或者同吋为减函数）. 对数函数的图象都经过点（1, 0）,这与性质logal=0«a°= 1是分不开的.（3）既然对数函数y=logax与指数两数y二诊互为反函数，那么它们的图象关于直线y=x对称. 于是通过对a分情况讨论（约定不同的取值范围），再结合函数y二log2X, y二log〕x的图象来2揭示对数函数的性质，应该是一件水到渠成的事.（4）指数函数与对数函数可以对比如下：名称 指数函数 对数函数一般形式 y=a x (a>0, aHl) y=logaX (a>0, aHl)定义域 (_oo +oo) (0, +8)值域(0, +8) (―oo, +oo)当a>l 时,当a>l 时,> 1,x > 0,> 0,X > 1,X a 二 < =1,x = 0, 10g a X <=0,X = 1,函数值变< hx < 0.<0, X < 1.化情况当0<a 〈l 时，当0<a<l 时，< 1,x > 0[<0,X > 1X a v =1,x = 01 OgaX v =0,X = 1> 1,x < 0>0,X < 1名称指数函数对数函数当a>l 时,『是增函数; 当a>l 时,log a x 是增函数； 半则1土当时，a 51是减函数当0<a<l 时,log a x 是减函数图象 y :p x 的图象与y=log"X 的图象关于直线y=x 对称问题探究问题 为什么在定义对数函数y=log ；.x 时要规定a>0且aHl?探究思路：因为对数函数与指数函数互为反函数，因此要根据互为反函数的两个函数的图象 关于直线y 二x 对称的关系，它们的定义域与值域正好交换，它们的对应法则是互逆的这些特 征我们已理解指数函数中a >0且sHl,所以对数函数y=log“x 中也必须a>0且1.典题精讲例1下图是对数函数y=log u x 当底数a 的值分别取丄时所对应的图象，则3 5 10相应于C], G, Ca, C.I 的8的值依次是（）1(/ 5思路解析 因为底数3大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且4越大，图象就 越靠近X 轴；底数a 大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a 越小, 图象就越靠近x 轴. 答案:A 例2比较大小：(1) logo.2?和 logo.29; (2) log 35 和 log&5； (3) (lgm)1-9和(lgm)“ (m>l) ； (4) logss 和 lg4. 思路解析(1) logo.27和logo.29可看作是函数y=10go.2X 当x=7和x=9时对应的两函数值，[tl"，扌1 103 10 5y=lOg0.2X 在(0, +8)上单调递减,得log(>.27>10go.29.(2)考察函数y=logaX底数a>l的底数变化规律，函数y=log：｛x (x> 1)的图象在函数y=log6x (x >1)的上方,故Iog35>loge5.⑶把lgm看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm>l 即m>10,则(lgm)x在R 上单调递增,故(lgm)1,9< (lgm)21.若0<lgm<l 即1 <m< 10,则(lgm)%在R 上单调递减,故(lgm) L9> (lgm)21.若lgm二1 即m=10, M (lgm) L9=(lgm)21.(4)因为底数8、10均大于1,且10>8,所以Iog85>lg5>lg4,即Iog85>lg4.解答：(1) logo. 27> logo. 29；(2)log35>log65；(3)m>10 时，(lgm)1,9< (1 gm)21, m=10 时，lgm二1, (lgm)L9=(lgm)21, l<m<10 时，(lgm)19 > (lgm)21； (4) Iogs5>lg4.例3己知函数y=lg(Vx2+l-x),求其定义域，并判断其奇偶性、单调性.思路解析注意到jF+1+x二—,即有lg(7X2+1-X) =-lg(7x2 + l +x),V +1 —兀从而f (-X)=lg (厶2+1+x) =-lg ( JF+1-X)=-f (x),可知英为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究(0, +8)上的单调性. 解：由题意W+i-x>0,解得xeR,即定义域为R.又f (-X)=lg [ J(-X)2 + 1 - (一X)] =lg ( J兀2 + 1 +x) =lg ----- =lg ( A/X2 + 1 -X)_--lg ( Vx2 + 1 -x) =-f (x) , /.y=lg ( J兀2 + 1 -x)是奇函数.任取Xi、X2W (0, +°°)且Xi<X2,贝I」Jxj + ] < + 1 亠J%/ + 1 +Xi< Jxj +1 +x2 => / ' ------- > / 、" ----------- ,J兀]2 + 1 + x, Qx?' +1 +X2即有A：+1 -X 1>+ ] -X2>0,lg( Jx； + ] _X1)>]g ( JX?' + 1 -X2),即f(X1)>f(X2)成立.・・.f (x)在(0, +8)上为减函数.又f(X)是定义在R上的奇函数，故f(X)在(-8, 0)上也为减函数.例4作!II下列函数的图象：(l)y=| log4x|-l； (2)y=log1 |x+l |.3思路解析(l)y=|logjx—l的图象可以看成由y二logix的图象经过变换而得到：将函数y=log.；x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去，得到y二|logix|的图象，再将y= | log-ix I的图象向下平移1个单位,横坐标不变,就得到T y=|log4x|-l的图象.思路解析(2)y二log| |x+l|的图象可以看成由y= log, x的图彖经过变换而得到：将函数3 3y=lo gl x的图象作出右边部分关于y轴的对称图象，即得到函数y二log】|x|的图象，再将3 3所得图象向左平移一个单位，就得到所求的函数y=lo gl|x+l|的图象.3答案:函数(1)的图象作法如图①一③所示.函数(2)的图象作法如图④一⑥所示.例5 设aHO,对于函数f (x)=log3(ax2-x+a),(1)若xGR,求实数a的取值范围;(2)若f(x)eR,求实数a的取值范围.思路解析f(x)的定义域是R,等价于ax2-x+a>0对一切实数都成立，而f(x)的值域为R, 等价于其真数ax2-x+a能取遍大于0的所有实数值，(1)与(2)虽只有一字之差，但结果却大不相同.解答：(l)f(x)的定义域为R,则ax2-x+a>0对一切实数x恒成立，其等价条件是仏>0, 1 9解得a>-.[A =1-4672 <0. 2⑵f(x)的值域为R,则真数ax2-x+a能取遍大于0的所有实数，其等价条件是[a. > 0, 1. 解得0<aW —・[△ = 1-4/ no, 2知识导学1.对数函数的图象作对数函数的图象一般有两种方法：一是描点法，即通过列表、描点、连线的方法作出对数函数的图象;二是通过观察它和指数函数图象之I'可的关系，并利用它们之间的关系作图.2.应用对数函数性质比较大小比较大小是对数函数性质应用的常见题型.当底数相同时，可利用对数函数的性质比较; 当底数和指数不同时，要借助于中间量进行比较•比较两个对数式的大小，底相同时，可利用对数性质进行比较•不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.3.图象平移图象平移在教材中是通过例题引出的，并由这个特殊的例子得出了一般结论：一般地, 当a>0时,将y=log2x的图象向左平移a个单位长度便得到了函数y=log2(x+a)的图象;当a>0时，将函数y二log2X的图象向右平移a个单位长度便可得到函数y=log2(x-a)的图彖.4.反函数的图象和性质对数函数y=logax(a>0且aHl)与指数函数y=a(a>0且a^l)互为反函数，这两个函数的图象关于直线y二x对称.疑难导析1.对数函数的概念由于指数函数尸『在定义域「8, +<-)上是单调函数，所以它存在反函数.我们把指数函数y=a x(a>0, aHl)的反函数称为对数函数，并记y=log a x(a>0, aH 1)・因为指数函数y二a*的定义域为(-8, +8),值域为(0, +8),所以对数函数y=log；1x的定义域为(0, +8),值域为(-8, +OO).2.对数函数的图象与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图象对称于直线尸x.据此即可以画出对数函数的图象，并推知它的性质.利用函数的单调性可进行对数大小的比较.比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.问题导思充分体会互为反函数的两个函数之I'可的关系.典题导考绿色通道rh对数函数的图象间的相对位置关系判断底数a的相互关系，应根据对数函数图彖与底数间的变化规律来处理•在指数函数y二『川，底数a越接近1,相应的图象就越接近直线尸1,对数函数与指数函数是一对反函数，其图象是关于直线尸x对称的，直线y=l关于直线y二x的对称直线是x=l,所以我们有结论：对数函数y=lo gi.x,底数a越接近1,其图象就越接近直线x二1.典题变式函数f(x) = |log2x|的图象是()答案:A绿色通道两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数，把要比较的两数作为此函数的函数值，然后利用函数的单调性等来比较两数的人小，一般采用的方法有：⑴直接法：由函数的单调性直接作答；(2)作差法:把两数作差变形，然后判断其大于、等于、小于零来确定；(3) 作商法:若两数同号，把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1來确定；(4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较；(5)媒介法:选取适当的“媒介”数，分别与要比较的两数比较大小，从而间接地求得两数的大小.典题变式若log a2<log b2<0,则a、b满足的关系是( )A.l<a<bB. l<b<aC. 0<a<b<lD. 0<b<a<l答案:D绿色通道研究函数的性质一定得先考虑定义域，在研究函数单调性时，注意奇偶性对函数单调性的影响，即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.典题变式r 4- A己知函数f(X)二log.乂工(a>l 且b>0).x-b⑴求f (x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性.x +方> °解：⑴由< x-b >'解得x<-b或x>b.x-b ^0,函数f (x)的定义域为(-8, -b) U (b, +8).(2)由于f (~X)=10ga(—)=10ga (—~ )=10g;<( % + ) *=-] O g a ( % + ) =~f(X),-x-b x + b x-b x-b・・・f(x)为奇函数.绿色通道画函数图象是研究函数变化规律的重要手段.画函数图象通常有两种方法：列表法和变换法.变换法有如下几种：平移变换：y=f(x+a)，将y二f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移个单位而得到; y=f (x) +a,将y=f (x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移| a|个单位而得到.翻折变换：y二|f(x)|,将y二f(x)的图象在x轴下方部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变；y=f (Ix|),它是一个偶函数，xMO时图象与y=f (x)的图象完全一样;当xWO 时，其图象与x$0时的图彖关于y轴对称.对称变换：y=~f (x),它的图象与函数y=f (x)的图象关于x轴对称；y二f(-x),它的图象与y=f (x)的图象关于y 轴对称；y=-f(-x),它的图象与y=f (x)的图象关于原点成中心对 称.伸缩变换：尸f(ax)(a>0),将y=f(x)图象上各点的横坐标压缩3>1)或伸长(0<a VI)到原來的。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对
3.2.2 对数函数自主广场我夯基 我达标1.如下图，当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y=a -x 与y=log a x 的图象是( )思路解析：首先把y=a -x 化为y=(a 1)x ， ∵a ＞1，∴0＜a 1＜1.因此y=(a1)x ，即y=a -x 的图象是下降的，y=log a x 的图象是上升的. 答案:A2.y=21log (x 2-3x+2)的递增区间是( )A.(-∞，1)B.(2，+∞)C.(-∞，23)D.(23，+∞)思路解析：首先考虑对数函数的定义域，再利用对数函数的性质.答案:A3.已知函数f(x)=lg(x 2-3x+2)的定义域为F ，函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为G ，那么( ) A.G F B.G=F C.F ⊆G D.F∩G=∅ 思路解析：F={x|x 2-3x+2>0}={x|x>2或x<1}，G={x|x>2}.∴G F.答案:A4.已知函数f(x)=log 2(x 2-ax+3a)在［2，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.（-∞，4）B.（-4，4]C.（-∞，-4）∪［2，+∞)D.［-4，4)思路解析:解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数. 令u （x ）=x 2-ax+3a ，其对称轴x=2a .由题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-=.22,0324)2(a a a u 解得-4<a≤4. 答案:B5.若定义在(-1，0)上的函数f(x)=log 2a(x+1)满足f(x)>0，则a 的取值范围是( )A.(0,21)B.(0,21]C.(21,+∞) D.(0,+∞) 思路解析：本题考查对数函数的基本性质.当x ∈(-1，0)时，有x+1∈(0，1)，此时要满足f(x)>0，只要0<2a<1即可.由此解得0<a<21. 答案:A6.函数y=lg 11-x 的图象大致是( )思路解析：本题通法有两种：①图象是由点构成的，点点构成函数的图象，所以可取特殊点(2，0)，(1011，1).②利用函数解析式判断函数的性质，函数的定义域为(1，+∞)，在定义域上函数为减函数.答案:A7.若函数f(x)=log a x(0<a<1)在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( ) A.42 B.22 C.41 D.21 思路解析：本题关键是利用f(x)的单调性确定f(x)在［a ，2a ］上的最大值与最小值. f(x)=log a x(0<a<1)在(0，+∞)上是减函数，当x ∈［a ，2a ］时，f(x)max =f(a)=1，f(x)min =f(2a)=log a 2a.根据题意，3log a 2a=1，即log a 2a=31，所以log a 2+1=31，即log a 2=-32.故由32-a =2得a=232-=42. 答案:A我综合 我发展8.log a32<1，则a 的取值范围是____________. 思路解析：当a>1时，log a 32<1=log a a.∴a>32.又a>1，∴a>1. 当0<a<1时，log a 32<log a a.∴a<32.又0<a<1，∴0<a<32. 答案:(0，32)∪(1，+∞) 9.函数y=log a (x-2)+1(a ＞0且a ≠1)恒过定点______________.思路解析：若x-2=1，则不论a 为何值，只要a ＞0且a ≠1，都有y=1.答案:(3，1)10.函数f(x)=log (a-1)x 是减函数，则a 的取值范围是____________.思路解析：考查对数函数的概念、性质.注意到a-1既受a-1＞0且a-1≠1的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a 的不等式求a.由题意知0＜a-1＜1，∴1＜a ＜2.答案:1＜a ＜211.已知f(x)=log a xx -+11(a>0且a ≠1). (1)求函数的定义域；(2)讨论函数的单调性；(3)求使f(x)>0的x 的取值范围.思路解析:注意对数函数的底和真数的制约条件以及底的取值范围对单调性的影响. 解答:(1)由xx -+11>0得-1<x<1. ∴函数的定义域为(-1,1).(2)对任意-1<x 1<x 2<1,)1)(1()(2111121212211x x x x x x x x ---=-+--+<0，∴22111111x x x x -+<-+. 当a>1时，log a 1111x x -+<log a 2211x x -+，即f(x 1)<f(x 2)； 当0<a<1时，log a 1111x x -+>log a 2211x x -+，即f(x 1)>f(x 2). ∴当a>1时，f(x)为(-1，1)上的增函数；当0<a<1时，f(x)为(-1，1)上的减函数.(3)log axx -+11>0=log a 1. 当a>1时，x x -+11>1，即x x -+11-1=x x -12>0. ∴2x(x-1)<0.∴0<x<1.当0<a<1时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>-+.111,011xx x x 解得-1<x<0.∴当a>1时，f(x)>0的解为(0，1)；当0<a<1时，f(x)>0的解为(-1，0).12.已知f(x)=1+log x 3，g(x)=2log x 2，试比较f(x)与g(x)的大小.思路解析：要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较，作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小.因为本题中的f(x)与g(x)的正负不确定，所以采取作差比较法.解答:f(x)和g(x)的定义域都是(0，1)∪(1，+∞).f(x)-g(x)=1+log x 3-2log x 2=1+log x 3-log x 4=log x43x. (1)当0＜x ＜1时，若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＞0，即0＜x ＜1时，f(x)＞g(x).(2)当x ＞1时，若43x ＞1，即x ＞34，此时log x 43x ＞0，即x ＞34时，f(x)＞g(x)； 若43x=1，即x=34，此时log x 43x=0，即x=34时，f(x)=g(x)；若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＜0，即1＜x ＜34时，f(x)＜g(x).综上所述，当x ∈(0，1)∪(34，+∞)时，f(x)＞g(x)；当x=34时，f(x)=g(x)；当x ∈(1，34)时，f(x)＜g(x).我创新 我超越13.已知f(x)=lg(a x -b x )(a>1>b>0).(1)求y=f(x)的定义域；(2)在函数图象上是否存在不同两点，使过两点的直线平行于x 轴?思路解析：(2)的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题.解答:(1)由a x -b x >0，得(b a)x >1=(b a)0. ∵b a>1，∴x>0.∴函数的定义域为(0，+∞).(2)先证明f(x)是增函数.对于任意x 1>x 2>0，∵a>1>b>0，∴1x a >2x a ，1x b <2x b .∴1x a -1x b >2x a -2x b .∴lg(1x a -1x b )>lg(2x a -2x b ).∴f(x 1)>f(x 2).∴f(x)在(0，+∞)上为增函数.假设y=f(x)上存在不同的两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，使直线AB 平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1=y 2，这与f(x)是增函数矛盾.∴y=f(x)的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x 轴.14.已知非零常数x 、y 、z ，满足2x =3y =6z ，求证：zy x 111=+. 思路解析：考查转化的思想方法，指、对式的转化.可以先求出x 、y 、z ，然后由左边推证出右边.证法一：设2x =3y =6z =k ，则x=log 2k ，y=log 3k ，z=log 6k. ∴k k y x 32log 1log 111+=+=log k 2+log k 3=log k 6=zk 1log 16=. 证法二：由2x =3y =6z ，有2x =6z ，3y =6z .∴x=log 26z =zlog 26，y=log 36z =zlog 36. ∴z z z y x 16log 16log 11132=+=+(log 62+log 63)=z 1log 66=z1. 15.求函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x)的值域. 思路解析：求函数值域，必须先求定义域，求对数函数的定义域转化为解不等式组.解答:f(x)的定义域为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->->-+.0,01,011x p x x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧>->->+.0,01,01x p x x ∴⎩⎨⎧<>.,1p x x ∵函数定义域不能是空集，∴p ＞1，定义域为(1，p).而x ∈(1，p)时，f(x)=log 2(x+1)(p-x)=log 2［-x 2+(p-1)x+p ］=log 2［-(x-21-p )2+(21+p )2］. (1)当0＜21-p ≤1，即1＜p ≤3时，0＜(x+1)(p-x)＜2(p-1). ∴f(x)的值域为(-∞，log 22(p-1)).(2)当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时，0＜(x+1)(p-x)≤(21+p )2. ∴函数f(x)的值域为(-∞，2log 2(p+1)-2］.。
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3.2.1 对数5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.（1）将下列指数式写成对数式： ①210=1 024；②10-3=10001；③0.33=0.027；④e 0=1. （2）将下列对数式写成指数式：①log 0.46.25=-2；②lg2=0.301 0；③log 310=2.095 9；④ln23.14=x.思路解析:应用指数式与对数式的等价关系log aN ＝b ⇔a b＝N 求解. 解:（1）①log 21 024＝10； ②lg10001＝-3； ③log 0.30.027＝3； ④ln1＝0.（2）①0.4-2＝6.25；②100.301 0＝2；③32.095 9＝10；④e x＝23.14. 2.计算：log 2487+log 212-21log 242.思路解析:这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一:原式=21（log 27-log 248）+log 23+2log 22-21（log 27+log 22+log 23）=21log 27-21log 23-21log 216+21log 23+2-21log 27-21=-21. 解法二:原式=log 2(347×12×671⨯)=-21.3.求下列各式的值： （1）3log 3128-；（2）7lg20×（21）lg0.7；（3）log 2（1+32+）+log 2（1+32-）； （4）lg 5353-++；（5）（lg2）3+（lg5）3+3lg2×lg5. 思路解析:（1）3log 3128-首先是个指数式，其中底数是8，指数为31-log 23，因为23=8，由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式Na alog =N 化简计算.（2）通过取对数，先算出对数值，再求值.（3）运用对数运算法则log a M+log a N=log a MN 化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解.（4）运用对数运算法则log a N n=n×log a N 巧去根号.（5）利用lg2与lg5之间的特殊关系lg2+lg5=lg10=1求解.解：（1）.2722222)2(827log 27log 13log 31)3log 31(33log 3122222=====---- （2）设x=7lg20×（21）lg0.7， 则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg 21=（lg2+1）×lg7+（lg7-1）×（-lg2） =lg7+lg2=lg14， ∴x=14，即7lg20×（21）lg0.7=14. （3）log 2（1+2+3）+log 2（1+2-3）=log 2［（1+2）2-（3）2］=log 222=log 2232=23. （4）lg （5353-++）=21lg （5353-++）2=21lg （3+5+3-5+259-） =21lg10=21. （5）方法一：运用立方公式.（lg2）3+（lg5）3+3lg2×lg5=（lg2+lg5）（lg 22+lg 25-lg2lg5）+3lg2lg5=lg 22+lg 25+3lg2lg5-lg2lg5=（lg2+lg5）2=1. 方法二：利用lg2+lg5=1，用lg5的表达式表示lg2.（lg2）3+（lg5）3+3lg2×lg5=（1-lg5）3+lg 35+3（1-lg5）lg5=1-3lg5+3lg 25-lg 35+lg 35+3lg5-3lg 25=1. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.下列四个命题中，真命题是( )A.lg2lg3=lg5B.lg 23=lg9C.若log a M+N=b ，则M+N=a bD.若log 2M+log 3N=log 2N+log 3M ，则M=N思路解析:解答本题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质.将选项中提供的答案一一与相关的对数运算性质相对照，不难得出应选D. 答案:D2.设集合A={x|x 2-1＞0}，B={x|log 2x>0}，则A∩B 等于( )A.{x|x>1}B.{x|x>0}C.{x|x<-1}D.{x|x<-1或x>1} 思路解析:该题考查集合的表示及解不等式.可以先分别求出集合A 、B 中所列不等式的解集，然后再在数轴上求它们的交集. 答案:A3.已知函数f （x ）=,0,0,3,log 3≤>⎩⎨⎧x x x x 则f ［f （91）］的值是( ) A.9 B. 91 C.-9 D.- 91 思路解析:f （91）=log 391=-2，f （-2）=3-2=91. 答案:B4.求下列各式中的x ： （1）54log x ＝-21；（2）log x 5＝23；（3）log （x-1）（x 2-8x ＋7）＝1. 思路解析:根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.解：（1）原式转化为（21)54-=x ，所以x=25.（2）原式转化为23x =5，所以x=325.（3）由对数性质得⎪⎩⎪⎨⎧>+-≠->--=+-,078,11,01,17822x x x x x x x 解得x=8.5.已知lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg 45的值.思路解析：解本题的关键是设法将45的常用对数分解为2、3的常用对数代入计算. 解：lg 45=21lg45=21lg 290 =21(lg9+lg10-lg2) =21(2lg3+1-lg2) =lg3+21-21lg2=0.477 1+0.5-0.150 5 =0.826 6.6.已知a ＝lg （1＋71），b ＝lg （1＋491），试用a 、b 的式子表示lg1.4. 思路解析：求以a 、b 表示的lg1.4的式子，实际上是寻找lg 78、lg 4950和lg1.4之间的关系，所以应将三个对数的真数尽量化整并化小（一般把底化成常用对数），便于寻找关系.解：a=lg （1+71）=lg 78=3lg2-lg7, ① b=lg （1+491）=lg 4950=lg 2100 -lg72=2-lg2-2lg7. ②由①②得lg2=71（2a-b+2），lg7=71（-a-3b+6），∴lg1.4=lg 1014=lg2+lg7-1=71（a-4b+1）. 快乐时光刀法中国、日本、俄罗斯三国武士比赛，只见俄罗斯的武士拔出刀一挥，把裁判放出的苍蝇拦腰砍为两段，裁判给了他80分.这时日本的武士上来，拔刀后，裁判给了他90分，他把苍蝇的翅膀砍下来了！轮到中国的武士了，只见他拿了两把菜刀一挥，裁判给了他100分，另两个不服就问裁判，裁判把苍蝇捡起来要他们看，说人家中国武士给苍蝇割了个双眼皮！ 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.计算2log 525+3log 264-8log 71的值为( )A.14B.8C.22D.27 思路解析:原式=2×2+3×6-8×0=22. 答案:C2.下列各式中成立的是( )A.log a x 2=2log a x B.log a |xy|=log a |x|+log a |y| C.log a 3＞log a 2 D.log ayx=log a x-log a y 思路解析:用对数的运算法则解决问题.A 、D 的错误在于不能保证真数为正，C 的错误在于a 值不定.选B. 答案:B3.设x 、y 为非零实数，a>0且a≠1，则下列各式中不一定成立的个数是( )①log a x 2=2log a x ②log a 3>log a 2 ③log a |x·y|=log a |x|·log a |y| ④log a x 2=2log a |x| A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析:①②③不一定成立，④一定成立. 答案:C4.若log a 2<log b 2<0，则( )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1解法一：赋值法.取a=21，b=41， 则log a 2=-1，log b 2=-21.解法二：由换底公式可得0log 1log 122<<ba ，∴log 2b<log 2a<0. ∴0<b<a<1.解法三：利用函数图象（如图）.答案：B5.已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么ba 11-等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析：本题有两种解题方法. 方法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得ba 111000-=0112.02.11=1 000.∴ba 11-=1. 方法二：用对数解.由题意，得a×lg11.2=3，b×lg0.011 2=3， ∴b a 11-=31（lg11.2-lg0.011 2）=1. 答案：A6.lg5lg8 000+（lg 32）2+lg0.06-lg6=___________.思路解析:本题考查对数的运算性质. 原式=lg5（3+3lg2）+3lg 22+lg606.0 =3（1-lg2）（1+lg2）+3lg 22-2 =3-2=1. 答案:17.已知log a 2=m ，log a 3=n ，则a 2m-n=___________.思路解析:首先把对数式化为指数式，再进行指数运算. ∵log a 2=m ，log a 3=n ， ∴a m =2，a n=3.∴a 2m-n=3432)(222===nm n m a a a a . 答案:348.计算2lg5+32lg8+lg5·lg20+lg 22的值. 思路解析:考查对数式的化简运算.解:原式=2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+lg 22 =lg 25+2lg2·lg5+lg 22+2（lg5+lg2）=（lg5+lg2）2+2（lg5+lg2） =lg 210+2lg10=1+2=3.9.已知log a x=log a c+b ，求x.思路解析：由于x 是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式. 解法一：由对数定义可知x=ca alog +b=ca alog ·a b =c·a b.解法二：由已知移项可得log a x-log a c=b ，即log a cx=b. 由对数定义知cx =a b， ∴x=c·a b.解法三：∵b=log a a b，∴log a x=log a c+log a a b =log a c·a b.∴x=c·a b.10.（1）已知3a=2，用a 表示log 34-log 36； （2）已知log 32=a ，3b=5，用a 、b 表示log 330. 解: （1）∵3a=2，∴a=log 32. ∴log 34-log 36=log 332=log 32-1=a-1. （2）∵3b=5，∴b=log 35. 又∵log 32=a ，∴log 330=21log 3(2×3×5) = 21 (log 32+log 33+log 35)= 21(a+b+1).。