第五节 椭圆
2021版新高考数学：椭圆及其性质含答案
第1课时椭圆及其性质(对应学生用书第152页)考点1椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆(2)F1，F2是椭圆x29＋y27＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为()A．7B．74 C．72D．752(1)A(2)C[(1)由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值).又|MO|＞|FO|，∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选A.(2)由题意得a＝3，b＝7，c＝2，∴|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6.∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.已知F 1，F 2是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．3 [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎨⎧r1＋r2＝2a ，r 21＋r 2＝4c 2，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 2)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.]考点2 椭圆的标准方程定义法∴其焦点在y 轴上， 且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0). ∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2， 故a 2－b 2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴（－5）2a2＋（3）2b2＝1，则5a2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.]3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．x 2＋32y 2＝1 [不妨设点A 在第一象限，如图所示． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2，0＜b ＜1，c ＞0).又∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴由AF 1＝3F 1B 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，－b23， 代入x 2＋y2b2＝1 得25c29＋b49b2＝1. 又c 2＝1－b 2， ∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.](1)已知椭圆上两点，常设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为2b2a.考点3椭圆的几何性质椭圆的长轴、短轴、焦距方法一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(1)(20xx·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14(2)椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 [(1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c ).∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D.A.125 B ．340 C ．18 D ．35B [如图，F 为月球的球心，月球半径为：12×3 476＝1738，依题意，|AF |＝100＋1 738＝1 838，|BF |＝400＋1 738＝2138.∴2a ＝1 838＋2 138，即 a ＝1 988，∴a ＋c ＝2 138, c ＝2 138－1 988＝150，故椭圆的离心率为：e ＝c a ＝1501 988≈340，选B.]2．已知F 1，F 2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，55 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B [∵F 1，F 2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，∴0<e <1，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝c2，x2a2＋y2b2＝1，本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点可以迅速求出此种情形下的椭圆离心率，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x (y )的有界性解模的思路．[教师备选例题]1．(2019·深圳模拟)设椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A ．36B ．13C ．12D ．33D [法一：(直接法)如图，在Rt △PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2c cos 30°＝43c 3，|PF 2|＝2c ·tan 30°＝23c 3.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即43c 3＋23c 3＝2a ，可得3c ＝a .∴e ＝c a ＝33.法二：(特殊值法)在Rt △PF 2F 1中 ，令|PF 2|＝1，∵∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝3.∴e ＝2c 2a ＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝33.故选D.] 2.如图，焦点在x 轴上的椭圆x24＋y2b2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA→的最大值为________．4 [由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x24＋y23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0).所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3.因为F (－1，0)，A (2，0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.则当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.]3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22 [因为|PT |＝|PF2|2－（b －c ）2(b >c )， 而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为（a －c ）2－（b －c ）2.依题意，有（a －c ）2－（b －c ）2≥32(a －c )，。
椭圆 解析几何-高中数学课件-第5节
第八章 平面解析几何INNOVATIVE DESIGN第5节 椭 圆考试要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升知识诊断基础夯实Z H I S H I Z H E N D U A N J I C H U H A N G S H I知识诊断 基础夯实11.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做______.这两个定点叫做椭圆的______，两焦点间的距离叫做椭圆的______，焦距的一半称为半焦距.(2)其数学表达式：集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数：①若________，则集合P 为椭圆；②若________，则集合P 为线段；③若________，则集合P 为空集.知识梳理椭圆焦点焦距a ＞c a ＝c a ＜c2.椭圆的标准方程和几何性质2a2b2c(0，1)a2－b2[常用结论]诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)××√√解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.2.(选修一P 115习题3.1T6改编)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线D.圆解析 连接QA (图略).由已知得|QA |＝|QP |，所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |＜|OP |，根据椭圆的定义知，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.A又2a＝2(2b)，即a＝2b，则有a2－b2＝3b2＝c2＝3，解得a2＝4，b2＝1，K A O D I A N T U P O T I X I N G P O U X I考点突破 题型剖析2考点一 椭圆的定义及应用C(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169,C2：(x＋4)2＋y2＝9,动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________________.解析 设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.C得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.(2)若△ABC的两个顶点为A(－3，0)，B(3，0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为_______________________.解析 由题知点C到A，B两点的距离之和为10，故C的轨迹为以A(－3，0)，B(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.又A，B，C三点不能共线，考点二 椭圆的标准方程例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；解 若焦点在x轴上，∵椭圆过点A(3，0)，∵2a＝3×2b，∴b＝1，若焦点在y轴上，∵椭圆过点A(3，0)，又2a＝3×2b，∴a＝9，解 设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求椭圆方程的方法：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.BCD解析 依题意，当A为上顶点，F为右焦点时，B为左顶点，则|AF|＝a＝3，a＋c＝5，∴c＝2，又a2＝b2＋c2，b2＝5，当A为右顶点，F为右焦点，B为左顶点时，|BF|＝a＋c＝5，|AF|＝a－c＝3，当B为上顶点，F为右焦点，A为右顶点时，|BF|＝a＝5，|AF|＝a－c＝3，考点三 椭圆的简单几何性质角度1 离心率A易知|AF1|＝|F1F2|＝2c，在△AF1F2中，又|AF2|＝2a－|AF1|＝2a－2c，解析 ∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，角度2 与椭圆几何性质有关的最值、范围问题C解析 若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，D解析 设左焦点F0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.解析 由题知圆E的圆心为E(1，0)，半径为1.∵直线MN与圆E相切于点N，∴NE⊥MN，且|NE|＝1.设M(x0，y0)，FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升31.已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝6.若动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( )A.直线B.线段C.圆D.椭圆解析 动点M 到F 1，F 2两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点F 1，F 2的距离,则动点M 的轨迹是以F 1，F 2为端点的线段.B 【A级 基础巩固】DBB所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，C由题可知a＝2，即A(－2，0).又|NA|＝1，∠NAB＝60°，CCD△PF1F2的周长为2a＋2c＝4＋2＝6，故B不正确；在△PF1F2中，当P点移动到椭圆C的短轴端点处时，∠F1PF2最大，∴∠F1PF2＝60°＜90°，故C正确；∵a－c≤|PF1|≤a＋c，∴1≤|PF1|≤3，故D正确.。
第五节 椭圆-高考状元之路
第五节 椭 圆预习设计 基础备考知识梳理 1．椭圆的概念平面内与两定点21F F 、的距离的和等于常数（ ||21F F ）的点的轨迹叫椭圆，这两定点叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做集合,2||,2||||}{2121c F F a MF MF M P ==+=其中>a ,0,0>c 且a ，c 为常数）． (1)若 ,则集合P 为椭圆； (2)若 ,则集合P 为线段； (3若 ,则集合P 为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质典题热身1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( )32.A 6.B 34.C 12.D答案：C2.如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ))1,0.(A )2,1.(B )2,0.(C ⋅ )1,0.(⋅D答案：A3．椭圆1422=+y m x 的焦距等于2，则m 的值为 ( ) 35.或A 8.B 5.c 16.D答案：A4．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为,54则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为( ) 9.A 1.B 91.或C D ．以上都不对答案：C5．（2011．．郑州模拟）如图，A 、B 、C 分别为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的顶点与焦点，若,90 =∠ABC则该椭圆的离心率为( )251.+-A 221.-B 12.-C 22.D 答案：A课堂设计 方法备考题型一 椭圆的定义及其应用【例1】一动圆与已知圆1)3(:221=++y x O 外切，与圆:2O 81)3(22=+-y x 内切，试求动圆圆心的轨迹方程．题型二 求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是（-12，O ），(12，O)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于26； (2)焦点在坐标轴上，且经过点)2,3(-A 和);1,32(-B (3)焦距是2，且过点).0,5(-p题型三 椭圆的几何性质及其应用【例3】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A.B ，从此椭圆上一点M(在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点.//,1OM AB F (1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任意一点，21F F 、分别是左、右焦点，求21QF F ∠的取值范围，题型四 直线与椭圆的位置关系【例4】在直角坐标系xOy 中，点P 到两点)3,0()3,0(、-的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1+=kx y 与C 交于A 、B 两点． (1)写出C 的方程； (2)若,⊥求k 的值，技法巧点(1)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点，②对称轴是否为坐标轴，运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a 、b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为122=+ny mx),,0,0(n m n m =/>>由题目所给条件求出m 、n 即可．(2)椭圆的焦点三角形问题：①椭圆上一点P 与两焦点21F F 、构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、,2||||21a PF PF =+得到a 、c 的关系．设 ,21θ=∠PF F 则当点P 为短轴端点时，θ最大，②对21PF F ∆的处理方法⎪⎩⎪⎨⎧⇔面积公式余弦定理定义式的平方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+==+∆)(2tan sin ||||21cos ||||2||||4)2(|)||(|22121222122221为短半轴长b b PF PF s PF PF PF PF c a PF PF θθθ(3)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为,C a +最小距离为.c a -(4)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合222c a b -=就可求得).10(<<e e失误防范1．求椭圆的标准方程时，必须优先考虑焦点位置，当焦点位置不确定时，要进行分类讨论，以防丢解．2．注意椭圆的范围，在设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上点的坐标为P(x ，y)时，则,||a x ≤这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．随堂反馈1．(2011．课标全国卷)椭圆18.1622=+y x 的离心率为 ( ) 31.A 21.B 33.c 22.D答案：D2．(2011．吉林质检)设21F F 、分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是P F 1的中点， ,3||=OM 则P 点到椭圆左焦点距离为( ) 4.A 3.B 2.c 5.D答案：A3．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点)0,4(-A 和),0,4(C 顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则 =+BCA sin sin sin答案：454．已知P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，21.F F 是焦点，若,6021 =∠PF F 则21F PF ∆的面积为 答案：x33645．在△ABC 中，⋅-==187cos .B BC AB 若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率=e 答案：83高效作业 技能备考一、选择题1．（2011．浙江台州调研）已知点),0,3(M 椭圆1422=+y x 与直线)3(+=x k y 交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( )4.A 8.B 12.C 16.D 答案：B2．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ．若,2=则椭圆的离心率是 ( )23.A 22.B 31.C 21.D 答案：D3．（2011．滨州模拟）若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为 ( )1.A2.B 2.C 22.D答案：D4．(2011．广东茂名模拟)已知21,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )23.A 22.B 12.-C 2.D 答案：C5．(2011．浙江温州模拟)设椭圆).0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e ，右焦点),0,(c F 方程02=-+c bx ax 的两个实数根分别为,,21x x 则点),(21x x P （ ）A ．必在圆122=+y x 外B ．必在圆122=+y x 上C ．必在圆122=+y x 内D ．与122=+y x的位置关系与e 有关 答案：A6．(2011．辽宁沈阳二中模拟)过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C于另一个点B,且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若,2131<<k 则椭圆离心率的取值范围是( ))49,41(⋅A )1,32(⋅B )32,21(⋅c )21,0(⋅D答案：C二、填空题7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为,23且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为答案：193622=+y x8．椭圆1292=+rx 的焦点为,,21F F 点P 在椭圆上．若=||1PF ,4则=||2PF 21;PF F ∠的大小为 答案：21209．如图，在平面直角坐标系xOy 中，2121,,,B B A A 为椭圆122=+by a x )0(>>b a 的四个顶点，F 为其右焦点，直线21B A 与直线F B 1相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 答案：572-三、解答题10．(2011．北京高考)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x G 的离心率为,36右焦点为).0,22(斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为).2,3(-P (1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．11．(2011．天津高考)设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为⋅21F F 、点),(b a P 满足.||||212F F PF =(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线2PF 与椭圆相交于A ，B 两点，若直线2PF 与圆16)3()1(22=-++y x 相交于M ，N 两点，且|,|85||AM MN =求椭圆的方程．12．(2011．上海高考)已知椭圆1:222=+y mx C （常数),1>m P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2，O)．(1)若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)若,3=m 求∣PA ∣的最大值与最小值； (3)若|PA ∣的最小值为∣MA ∣，求m 的取值范围．。
第五节 椭圆
圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,则a=8,c=4,∴b2
=48,故所求的轨迹方程为 x2 + y2 =1. 64 48
(3)由题意得a=3,b= 7 ,c= 2 , ∴|F1F2|=2 2 ,|AF1|+|AF2|=6.
典例2 (1)已知椭圆 ax22 + by22 =1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆
心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为 ( )
A.(-3,0) B.(-4,0) C.(-10,0) D.(-5,0)
(2)(2016课标全国Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: ax22 + by22 =1
ka
OE的中点为N,则N 0, k2a
,由于B,M,N三点共线,所以(a c) ,所以 1 = a c ,即a=3c,所以e= 1 .故选A.
c a
2 ac
3
方法技巧 求椭圆离心率的常用方法: (1)直接求出a,c,利用定义求解; (2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然 后转化为关于离心率e的一元二次方程求解; (3)通过特殊值或特殊位置求出离心率.
∵|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos 45°=|AF1|2-4|AF1|+8,
∴(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8.
∴|AF1|= 72 .
∴ S
第八章第五节椭圆共50页文档
顶点
(0，±b)
顶点 (±b,0)
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
| F1F2|＝ 2c (c2＝ a2－b2 )
条件
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
离心率
e＝ c ∈ (0,1) ，其中c＝ a
a2－b2
通径
过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为
2b2 . a
[究 疑 点] 1．在椭圆的定义中若|F1F2|＝2a或|F1F2|>2a，动点的轨
4．椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，若直线 x＝ac2与
x 轴的交点为 A.在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂
直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0，
2 2]
B．(0，12]
C．[ 2－1,1)
D．[12，1)
解析：依题意|FA|＝|FP|. ∵|FA|＝ac2－c， |FP|≤a＋c， ∴ac2－c≤a＋c，即 a2≤ac＋2c2， ∴2e2＋e－1≥0，(2e－1)(e＋1)≥0. 又 0<e<1，∴12≤e<1.
|PF1|＋|PF2|＝a(a＞0)，则动点P的轨迹是 ( )
A．椭圆
B．线段
C．椭圆或线段或不存在
D．不存在
解析：当a＜6时，轨迹不存在；当a＝6时，轨迹为
线段；当a＞6时，轨迹为椭圆．
答案：C
2．已知 F1、F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点， uuur uuur
标准方程 xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
范围 对称性
|x|≤a；|y|≤b
曲线关于 x轴 y轴、原点 对称
第五节 椭 圆 (一)PPT文档共23页
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆
高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆第五节椭圆[备考方向要明了][归纳知识整合]1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．[探究] 1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a|F1F2|，则动点的轨迹如何？提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．2．椭圆的标准方程和几何性质高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆[探究] 2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e ＝ca 越接近1，a 与c 就越接近，从而b ＝a 2－c 2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．[自测牛刀小试]1．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：选D ∵a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝8，∴e ＝c a ＝2 2.2．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆解析：选A 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A.14B.12 C ．2 D ．4解析：选A 由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，且a ＝2b ，则1m ＝4，得m ＝14. 4．若椭圆x 216＋y 2m 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( ) A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：选C 把点(－2，3)的坐标代入椭圆方程得m 2＝4，所以c 2＝16－4＝12，所以c ＝23，故焦距为2c ＝4 3.5．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，则|PF 2|＝6.故|PF 1|＝2×5－6＝4. 答案：4[例1] (1)已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 是周长是( )A ．23B ．6C ．4 3D ．12 (2)(2012山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) 高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 [自主解答] (1)根据椭圆定义，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4 3.(2)由离心率为32得，a 2＝4b 2，排除选项B ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A 、C 、D ，知选项D 正确．[答案] (1)C (2)D―――――――――――――――――――用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)或x 2b 2＋y 2a2＝1(a b 0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 或m 、n 的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx 2＋ny 2＝1(m 0，n 0).1．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)，根据椭圆定义2a ＝12，即a ＝6，又c a ＝32，得c ＝33，故b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 答案：x 236＋y 29＝1 2．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a b 0)的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)根据椭圆定义和△PF 1F 2是一个面积等于9的直角三角形，高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆有????? |PF 1|＋|PF 2|＝2a ，①|PF 1||PF 2|＝18，②|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2. ③①式两端平方并把②、③两式代入可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，故b ＝3.答案：3[例2] (2012安徽高考)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．[自主解答] (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. (2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ????85c ，－335c . 所以|AB |＝1＋3????85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1||AB |sin ∠F 1AB ＝12a 165c 32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a . 由S △AF 1B ＝12a 85a 32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆―――――――――――――――――――椭圆离心率的求法求椭圆的离心率(或范围)时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式(或不等式)，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围．3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A.3－12 B.5－12 C.1＋54D.3＋14 解析：选B 根据已知a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12. 4．椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a 5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆右焦点为F ′，由图及椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB过右焦点F ′时等号成立，此时4a ＝12，则a ＝3，故椭圆方程为x 29＋y 25＝1, 所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23. 答案：23[例3] 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得????? (2＋c )2＋1＝10，c a ＝12，解得????? c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由????? y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，①则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，????? x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点M ????－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km 3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，????? x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝39612－m 2.设点P 到直线AB 距离为d ，则d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13.高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |d ＝36(m －4)2(12－m 2). 其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，2 3 ]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值．故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值．综上，所求直线l 方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆――――――――――――――――――― 直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法5．(2013洛阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为22，短轴的一个端点为M (0,1)，直线l ：y ＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A ，B . (1)若|AB |＝4269，求k 的值；(2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .解：(1)∵由题意知c a ＝22，b ＝1. 由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. 由??? y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0. Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×???－169＝16k 2＋6490恒成立．设A (x 1，y 1)，B (x 2，x 2)，则x 1＋x 2＝4k 3(2k 2＋1)，x 1x 2＝－169(2k 2＋1)，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1＋k 2)(9k 2＋4)3(2k 2＋1)＝4269，化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0，解得k ＝±1.(2)证明：∵MA ＝(x 1，y 1－1)，MB ＝(x 2，y 2－1)，∴MAMB ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆＝－16(1＋k 2)9(2k 2＋1)－16k 29(2k 2＋1)＋169＝0.∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .1个规律――椭圆焦点位置与x 2、y 2系数之间的关系给出椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1时，椭圆的焦点在x 轴上?m n 0；椭圆的焦点在y 轴上?0m n .1种思想――数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2种方法――求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．3种技巧――与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0e 1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.答题模板――直线与圆锥曲线的位置关系[典例] (2012北京高考满分14分)已知曲线C ：(5－m )x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )．高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y ＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：方程的曲线是焦点在x 轴上的椭圆*****DD→椭圆的标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求m 的范围D→需建立关于m 的不等式．3．建联系，找解题突破口由椭圆的标准方程D→DDDDDD→确定a 2，b 2a 2＝85－m ，b 2＝8m －2*****→建立关于m 的不等式5－m ＞0，m －2＞0，85－m ＞8m －2解不等式组,得m 的取值范围．第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：m ＝4；曲线C 与y 轴交于A ，B 与直线y ＝kx ＋4交于M ，N ；直线y ＝1与直线BM 交于G *****DDDD→把m ＝4代入曲线C 的方程并令x ＝0，得A 、B 的坐标曲线C 的方程x 2＋2y 2＝8，A (0,2)，B (0，－2)．2．审结论，明确解题方向观察所证结论：证明A ，G ，N 三点共线*****→利用斜率转化证明k AN ＝k AG . 3．建联系，找解题突破口联立方程y ＝kx ＋4与x 2＋2y 2＝8，消元DDDDDD→利用根与系数的关系确定M ，N 的坐标满足的条件*****DD→写出BM 的方程并令y ＝1写出G 的坐标*****DDD→写出k AN ，k AG 的表达式证明k AN －k AG ＝0. [准确规范答题](1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当????? 5－m ＞0，m －2＞0，85－m ＞8m －2，?(3分) 解得72＜m ＜5，所以m 的取值范围是????72，5.?(4分) (2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．?(5分)高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆由?????y ＝kx ＋4，x 2＋2y 2＝8，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0.?(6分) 因为直线与曲线C 交于不同的两点，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×24＞0，即k 2＞32.?(7分)设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4，x 1＋x 2＝－16k 1＋2k 2，x 1x 2＝24 1＋2k 2.?(8分) 直线BM 的方程为y ＋2＝y 1＋2x 1x ，点G 的坐标为????3x 1y 1＋2，1.?(9分)因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN ＝y 2－2x 2，k AG ＝－y 1＋23x 1，?(11分) 所以k AN －k AG ＝y 2－2x 2＋y 1＋23x 1＝kx 2＋2x 2＋kx 1＋63x 1＝43k ＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝43k ＋2×1＋2k 2241＋2k 2＝0. 即k AN ＝k AG .?(13分)故A ，G ，N 三点共线．?(14分)[答题模板速成]解直线与圆锥曲线位置关系的一般步骤：?高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2012上海高考)对于常数m ，n ，“mn 0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为当m 0，n 0时，方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线不是椭圆，但当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时，m 0，n 0，mn 0.2．已知椭圆：x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4C ．4或8D ．以上均不对解析：选C 由?????10－m 0，m －20，得2m 10，由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.3．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 3解析：选D 依题意得|AC |＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝|AB |＝4，长轴长2a ＝|AC |＋高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆|BC |＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2－c 2＝216－4＝4 3.4．(2013汕尾模拟)已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.5．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．相离D ．无法确定解析：选A 如图，设线段是PF 1，O 1是线段PF 1的中点，连接O 1O ，PF 2，其中O 是椭圆的中心，F 2是椭圆的另一个焦点，则在△PF 1F 2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是|OO 1|＝12|PF 2|＝12(2a －|PF 1|)＝a －12|PF 1|＝R －r . 6．(2012新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12B.23C.34D.45解析：选C 根据题意直线PF 2的倾斜角是π3，所以32a －c ＝12|PF 2|＝12|F 1F 2|＝12×2c ，解得e ＝34. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2恒有公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________．解析：由题意知，以半焦距c 为半径的圆与椭圆有公共点，故b ≤c ，所以b 2≤c 2，即a 2≤2c 2，高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆所以22≤c a .又c a 1，所以22≤e 1. 答案：????22，1 8．(2012江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a b 0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1||BF 1|，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，得e ＝c a ＝55 . 答案：559．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为32 .过右焦点F 且斜率为k (k 0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点．若AF ＝3FB ，则k ＝________.解析：根据已知c a ＝32，可得a 2＝43c 2，则b 2＝13c 2，故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2＝0.设直线的方程为x ＝my ＋c ，代入椭圆方程得(3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据AF ＝3FB ，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，由此得－y 1＝3y 2，根据韦达定理y 1＋y 2＝－2cm m 2＋4，y 1y 2＝－c 23(m 2＋4)，把－y 1＝3y 2代入得，y 2＝cm m 2＋4，－3y 22＝－c 23(m 2＋4)，故9m 2＝m 2＋4，故m 2＝12，从而k 2＝2，k ＝±2. 又k 0，故k ＝2.答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为F 1，F 2，且|PF 1|＝453，|PF 2|＝253. 由椭圆定义知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝5.由|PF 1||PF 2|知，|PF 2|垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt △PF 2F 1中，sin ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12. 可求出∠PF 1F 2＝π6，2c ＝|PF 1|cos π6＝253，高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆从而b 2＝a 2－c 2＝103. 所以所求椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1. 11．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由????? y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4. 因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2. 此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |d ＝92. 12．(2012重庆高考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c 2. 结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12|B 1B 2||OA |＝|OB 2||OA |＝c 2b ＝b 2. 由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16m 2＋5，又2B P＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)，所以2B P 2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得2B P 2B Q ＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.1．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF 1PF 2＝0，则e 21＋e 22(e 1e 2)2的值为________．解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c ，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22.又∵PF 1PF 2＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即2a 21＋2a 22＝4c 2.∴???a 1c 2＋????a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，即e 21＋e 22(e 1e 2)2＝2. 答案：22．已知F 1，F 2为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0b 10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1||PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．解析：(1)由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝20，则|PF 1||PF 2|≤????|PF 1|＋|PF 2|22＝100，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立，故(|PF 1||PF 2|)max ＝100.(2)因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝6433，所以|PF 1||PF 2|＝2563.① 又?????|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2＝400，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以3|PF 1||PF 2|＝400－4c 2.②由①②得c ＝6，则b ＝a 2－c 2＝8. 3．已知平面内曲线C 上的动点到定点(2，0)和定直线x ＝22的比等于22. (1)求该曲线C 的方程；。
第五节椭圆课件高三数学一轮复习
（） A. ＋ y 2＝1
B. ＝1
C. ＝1
D. ＝1
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A. F 1， F 2的坐标分别为（－2，0），（2，0） B. 椭圆的离心率为 C. ｜ PF 1｜的最小值为1 D. 当 P 是椭圆的短轴端点时，∠ F 1 PF 2取到最大值
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第五节 了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用.
2. 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程 及简单几何性质.
3. 通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想. 4. 了解椭圆的简单应用.
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2. 焦点三角形：椭圆上的点 P （ x 0， y 0）与两焦点 F 1， F 2构成的△ PF 1 F 2叫做焦点三角形，如图所示，设∠ F 1 PF 2＝θ.
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（4）焦点三角形的周长为2（ a ＋ c ）.
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1. 已知 F 1（－1，0）， F 2（1，0）是椭圆 C 的焦点，过 F 2且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A ， B 两点，且｜ AB ｜＝3，则 C 的方程为
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PART 1
知识 体系构建
必备知识 系统梳理 基础重落实
课前自修
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A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
解析： 由椭圆的定义｜ PF 1｜＋｜ PF 2｜＝2 a ＝10，所以｜ PF 2｜＝7.
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第五节
椭圆
热点命题· 悟通 考点一 1．解析：∵|PF1|＋|PF2|＝14， 又|PF1|∶|PF2|＝4∶3， ∴|PF1|＝8，|PF2|＝6. ∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2. 1 1 ∴S△PF1F2＝ |PF1|· |PF2|＝ ×8×6＝24. 2 2 答案：C
数学
第五节
y0 1 因为 x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0， ＝ ， x0 2 所以 a2＝2b2.又由题意知，M 的右焦点为 ( 3，0)，故 a2－b2＝3.因此 a2＝6，b2＝3. x2 y2 所以 M 的方程为 ＋ ＝1. 6 3
数学
第五节
椭圆
y－ 3＝0， x＋ (2)由x2 y2 ＋ ＝1， 6 3
数学
2 2 2 2 2
c 2 1 c ， a ＜ ，0＜ ＜ a 2
2 2 ，故 e∈0， . 2 2
第五节
椭圆
2．解析：设 P 到两个焦点的距离分别为 2k，k，根据椭 圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知．椭圆 上的点到两个焦点距离之差的最大值为 2c， 即 k≤2c， 1 1 ∴2a≤6c，即 e≥ .又∵0＜e＜1，∴ ≤e＜1. 3 3 答案：D
数学
第五节
椭圆
考点三
[典例]
c 3 解：(1)设 F(－c,0)，由a＝ ，知 a＝ 3c.过 3
点 F 且与 x 轴垂直的直线的方程为 x＝－c，代入椭圆方程有 －c2 y2 6b 2 6b 4 3 ＋ 2＝1，解得 y＝± ，于是 ＝ ，解得 b＝ 2， a2 b 3 3 3 又 a2－c2＝b2，从而 a＝ 3，c＝1， x2 y2 所以椭圆的方程为 ＋ ＝1. 3 2
数学
第五节
椭圆
[一题多变] 解：作图分析可知以线段 F1F2 为直径的圆在椭圆的内部，所以 c＜ b，从而 c ＜b ，即 c ＜a －c [针对训练] 1．解析：若 a2＝9，b2＝4＋k，则 c＝ 5－k， 5－k 4 c 4 19 由a＝ ，即 ＝ ，得 k＝－ ； 5 3 5 25 若 a2＝4＋k，b2＝9，则 c＝ k－5， k－5 4 c 4 由a＝ ，即 ＝ ，解得 k＝21. 5 4＋k 5 答案：C
第五节
椭圆
第五节 备考基础· 查清 1． (1)和 a a |F1F2| (3)焦点 (0,0) (－b,0) 2.－a (－a,0) (b,0)
椭圆
a
－b
b
－b
b
－
x 轴、y 轴 (0，a)
(a,0) 2a 2b
(0，－b) 2c c a
(0，b) (0,1)
(0，－a) a2－b2
数学
第五节Biblioteka 椭圆数学第五节椭圆
因为 A(－ 3，0)，B( 3，0)
CB ＝(x1＋ 3，y1)· 所以 AC · ( 3－x2，－y2)＋ DB ＋ AD ·
(x2＋ 3，y2)· ( 3－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2 (x1 ＋ 1)(x2 ＋ 1) ＝ 6 － (2 ＋ 2k2)x1x2 － 2k2(x1 ＋ x2) － 2k2 ＝ 6 ＋ 2k2＋12 . 2＋3k2 2k2＋12 由已知得 6＋ ＝8，解得 k＝± 2. 2＋3k2
数学
第五节
椭圆
(2)设点 C(x1，y1)，D(x2，y2)，由 F(－1,0)得直线 CD 的方程为 y＝kx＋1， 2 2 y＝k(x＋1)， 由方程组x y 消去 y， 整理得(2＋3k2)x2 ＋ ＝1， 3 2 ＋6k2x＋3k2－6＝0. 3k2－6 6k2 由根与系数的关系可得 x1＋x2＝－ 2，x1x2＝ 2. 2＋3k 2＋3k
数学
第五节
椭圆
考点二
[典例] 解析：直线 y＝ 3(x＋c)过点 F1，且倾斜角
为 60° ，所以∠MF1F2＝60° ，从而∠MF2F1＝30° ，所以 MF1 ⊥MF2. 在 Rt△MF1F2 中，|MF1|＝c，|MF2|＝ 3c， 2c 2c 所以该椭圆的离心率 e＝ ＝ ＝ 3－1. 2a c＋ 3c 答案： 3－1
椭圆
x2 y2 2．解析：设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)．由点 P(2, 3) a b 4 3 在椭圆上知 2＋ 2＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1| a b c 1 ＋|PF2|＝2|F1F2|，即 2a＝2· 2c， ＝ ，又 c2＝a2－b2，联立得 a2 a 2 ＝8，b2＝6. 答案：A 3． 解析： 设圆 M 的半径为 r， 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16， ∴M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，故所求 x2 y2 的轨迹方程为 ＋ ＝1. 64 48 答案：D
[试一试] 解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题 意知当焦点在 x 轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求椭圆的 x2 2 标准方程为 ＋y ＝1.当焦点在 y 轴上时，b＝2，c＝1， 5
2 2 y x ∴a2＝5，所求椭圆标准方程为 ＋ ＝1.故选 C. 5 4
答案：C
数学
第五节
椭圆
[练一练] 1．解析：在双曲线中 m2＋n2＝c2， c 2 2 2 又 2n ＝2m ＋c ，解得 m＝ ， 2 c 1 又 c ＝am，故椭圆的离心率 e＝a＝ . 2 答案：D
2
a－c＝ 3， a＝2 3， 2．解析：由题意知c 1 解得 ＝ ， c＝ 3. a 2 x2 y2 y2 x2 ∴椭圆方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1. 12 9 12 9 x2 y2 y2 x2 答案： ＋ ＝1 或 ＋ ＝1 12 9 12 9
数学
第五节
椭圆
[针对训练] x2 y2 x2 1 1 2 解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则 2＋ 2＝1， 2＋ a b a
2 y － y b x2＋x1 y2－y1 y2 2 1 2 ＝1， ＝－1，由此可得 2 ＝－ ＝1. b2 x2－x1 a y2＋y1 x2－x1