第1讲 中点模型(经典难题)
中点四大模型-【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型(解析版)
中点四大模型解题策略模型1倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形模型分析如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE =AD ，易证：△ADC ≌△EDB (SAS )如图2，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE =FD ,易证：△FDB ≌△EDC (SAS )模型2已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”.模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”.图1AABCD EB CD倍长中线ABCDEF ABCDF 倍长类中线构造全等图2ABCDABCD连接中线模型3已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理模型分析：在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE ∥BC ，且DE =12BC 来解题，中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题.模型4已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线模型分析：在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =12BC ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形；△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用。
A BCD A BC D E 取另一边中点构造中位线ABCDABCD构造直角三角形斜边上的中线经典例题【例1】(2022·江苏·南通市通州区育才中学八年级阶段练习)已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC= BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)如图1，求证：AD=CE；(2)如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．【答案】(1)见解析(2)△DOE等腰直角三角形，理由见解析【分析】(1)根据垂直的定义及直角三角形中两个锐角互余得出∠EBC=∠DCA，再由全等三角形的判定和性质即可证明；(2)连接OC，根据等腰直角三角形的性质及斜边上的中线的性质得出AO=BO=CO，∠CAB=∠CBA=45°，CO⊥AB，再由全等三角形的判定得出△DCO≌△EBO(SAS)，△ADO≌△CEO，最后结合图形证明即可．【详解】(1)证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中，∠E=∠D，∠EBC=∠DCA，BC=AC，∴△CEB≌△ADC(AAS)，∴AD=CE．(2)△DOE等腰直角三角形，理由如下：连接OC，如图所示：∵AC=BC，∠ACB=90°，点O是AB中点，∴AO=BO=CO，∠CAB=∠CBA=45°，CO⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=∠ADC=∠BEC=90°，∵∠BOC+∠BEC+∠ECO+∠EBO=360°，∴∠EBO +∠ECO =180°，且∠DCO +∠ECO =180°，∴∠DCO =∠EBO ，且DC =BE ，CO =BO ，∴△DCO ≌△EBO (SAS )，∴EO =DO ，∠EOB =∠DOC ，同理可证：△ADO ≌△CEO ，∴∠AOD =∠COE ，∠AOD +∠DOC =90°，∴∠DOC +∠COE =90°，∴∠DOE =90°，且DO =OE ，∴△DOE 是等腰直角三角形．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．【例2】(2022·重庆市合川中学九年级阶段练习)在△ABC 中，∠ABC =45°，D 为BC 上一动点．(1)如图1，当∠ADC =75°时，若AB =3+3，求AD 的长；(2)如图2，当AC =AD 时，点P 为AB 的中点，且AB =2CD ，求证：AC =PC ；(3)如图3，在(2)的条件下，将△BCP 绕点P 旋转180°，得到△AC P ，连接DC ，直接写出CC 'C 'D的值．【答案】(1)AD =23(2)见解析(3)102【分析】(1)过点D 作DH ⊥AB 于点H ．由三角形外角的性质易求∠DAH =30°．根据题意可求∠DBH =∠BDH =45°，即得出BH =DH ．设BH =DH =x ，则AD =2x ，根据勾股定理可求出AH =AD 2-DH 2=3x ．从而可列出关于x 的方程，解出x ，即可求出AD 的长；(2)连接DP ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ．易得出AQ =BQ ，根据勾股定理可得出AB =2AQ =2BQ ．结合题意又可得出CD =AQ =BQ ．设CD =AQ =BQ =2a ．根据等腰三角形的性质可得CQ =DQ =12CD =a =BD ，即点D 为BQ 中点．结合题意利用三角形中位线定理可得PD ∥AQ ，PD =12AQ =a ，从而可证PD ⊥BC ，最后根据勾股定理可求出PC =5a =AC ；(3)在(2)的基础上，过点C 作C T ⊥BC 交CB 的延长线于点T ，由旋转的性质可知AC =BC =3a，∠AC P=∠PCB，即易证四边形AC TQ是矩形，得出TQ=AC =3a，C T=AQ=2a，进而可求出BT=TQ-BQ=a，DT=TQ-DQ=2a=C T，CT=TQ+CQ=4a，最后根据勾股定理求出C C和C D的长，作比即可．【详解】(1)如图，过点D作DH⊥AB于点H．∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，∠ABC=45°，∠ADC=75°，∴∠BAD=30°，即∠DAH=30°．∵DH⊥AB，∴∠DBH=∠BDH=45°，∴BH=DH．设BH=DH=x，则AD=2x，∴AH=AD2-DH2=3x．∴AB=AH+BH=x+3x=3+3，解得：x=3，∴AD=23；(2)如图，连接DP，过点A作AQ⊥BC于点Q．∵∠ABC=45°，∴∠BAQ=∠ABC=45°，∴AQ=BQ，∴AB=2AQ=2BQ．∵AB=2CD，∴CD=AQ=BQ．设CD=AQ=BQ=2a．∵AD=AC，AQ⊥CD，∴CQ=DQ=12CD=a=BD，即点D为BQ中点．∵点P为AB的中点，即AP=BP，∴PD∥AQ，PD=12AQ=a，∴PD⊥BC，∴PC=PD2+CD2=a2+4a2=5a，AC=AQ2+CQ2=4a2+a2=5a，∴PC=AC；(3)如图，在(2)的基础上，过点C 作C T⊥BC交CB的延长线于点T，由旋转的性质可知AC =BC=3a，∠AC P=∠PCB，∴AC ∥CT ．∵C T ⊥BC ，AQ ⊥BC ，∴四边形AC TQ 是矩形，∴TQ =AC =3a ，C T =AQ =2a ，∴BT =TQ -BQ =3a -2a =a ，DT =TQ -DQ =3a -a =2a =C T ，CT =TQ +CQ =3a +a =4a ，∴C D =2DT =22a ，C C =C T 2+CT 2=2a2+(4a )2=25a ，∴C C C D =25a 22a=102．【点睛】本题考查三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，矩形的判定和性质等知识，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解题关键．【例3】(2022·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室一模)如图，Rt △ABC 的中，∠BAC =90°，AB =4cm ，AC =3cm ，点G 是边AB 上一动点，以AG 为直径的⊙O 交CG 于点D ，E 是边AC 的中点，连接DE ．(1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)填空：①当AG =___________cm 时，⊙O 与直线BC 相切；②当点G 在边AB 上移动时，△CDE 面积的最大值是___________cm 2【答案】(1)见解析(2)①3，②98【分析】(1)证明DE 是圆的切线，即连接OD ，再由直径AG 和中点E 想到连接AD 、OE ，则可知DE =AE ，最后证明ΔODE ≌ΔOAE 即可求证；(2)①由⊙O 与BC 相切，故结合ΔABC 的面积等于ΔAOC 的面积与ΔBOC 的面积之和即可求解；②结合(1)中分析可知CE =12AC =32，再结合三角形的面积公式，即可分析求解．【详解】(1)连接OE ，OD ，AD ∵AG 是⊙O 的直径，∴∠ADG =∠ADC =90°，即ΔADC 是直角三角形．∵E 是斜边AC 的中点，∴DE =AE ．在ΔODE 和ΔOAE 中，OD =OADE =AEOE =OE∴△ODE ≌△OAE SSS ∴∠ODE =∠BAC =90°．∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 与⊙O 相切．(2)①设⊙O 与BC 相切与点F ，⊙O 的半径为r 连接OC 则OF =OA =r =12AG ∵AB =4，AC =3，∠BAC =90°∴BC =32+42=5，S ΔAOC =12×AC ×OA =12×3×r =32r ，S ΔABC =12×AB ×AC =12×4×3=6∵⊙O 与BC 相切与点F ∴S ΔBOC =12×BC ×OF =12×5×r =52r ∵S ΔABC =S ΔAOC +S ΔBOC ∴6=32r +52r ，即r =32∴AG =2r =32×2=3故答案是：3．②由(1)可知DE =CE =12AC =32，设CE 边上的高为h ，则S ΔCDE =12×CE ×h =34h ∴当h 取最大值时，S ΔCDE 的值最大结合题意可知，当h =DE =32时最大，即DE ⊥AC 时，∴S ΔCDE 的最大值为34h =34×32=98故答案是：98．【点睛】本题主要考查圆的性质、切线的证明、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、面积最值问题、线段长度问题等知识点，属于综合几何证明题，具有一定难度．解题的关键是熟练掌握圆和直角三角形的相关性质，并根据题意画出辅助线，即线段OD ，AD ．【例4】(2021·广西·南宁二中八年级期中)在平面直角坐标系中有一等腰三角形ABC ，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上．(1)如图1，点C 在第一象限，若∠BAC =90°，A 、B 两点的坐标分别是A (0,4)，B (-2,0)，求C 点的坐标；(2)如图2，点C 在x 正半轴上，点E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，若∠AEF =∠ACB =2∠OAE ．求证：BF =CE ；(3)如图3，点C 与点O 重合时点E 在第三象限，BE ⊥AE ，连接OE ，求∠BEO 的度数．【答案】(1)C 4，2 ；(2)见解析；(3)135°．【分析】(1)过点C 作CM ⊥OA ，垂足为M ，则∠AMC =90°，求出∠ABO =∠CAM ，证明△ABO ≌△CAM AAS ，得出MC =AO =4，AM =BO =2，则可得出答案；(2)证明∠BEF =∠EAC ，∠FAE =∠AFE ，可得AE =EF ，利用AAS 证明△AEC ≌△EFB ，则可得出BF =CE ；(3)过点O 作OG ⊥AE 于点G ，OH ⊥BE 交BE 的延长线于点H ，AE 与OB 交于点M ，证明△AOG ≌△BOH AAS ，由全等三角形的性质得出OG =OH ，证明EO 平分∠AEH ，求出∠OEH =∠AEO =45°，则可得出答案．【详解】(1)解：如图1中，过点C 作CM ⊥OA ，垂足为M ，则∠AMC =90°，∵∠BAC =∠AOB =90°，∴∠BAO +∠CAM =90°，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠ABO =∠CAM ，∵△ABC 是等腰三角形，∠BAC =90°，∴AB =CA ，在△ABO 和△CAM 中，∠ABO =∠CAM ∠AOB =∠CMA AB =CA，∴△ABO ≌△CAM AAS ，∴MC =AO ，AM =BO ，∵A (0,4)，B (-2,0)，∴AO =4，BO =2，∴MC =4，AM =2，∴MO =AO -AM =2，∴C 4，2 ；(2)证明：设∠OAE =α，则∠AEF =∠ACB =2α，∵∠AEF +∠BEF +∠AEC =180°，∠ACB +∠EAC +∠AEC =180°，∴∠BEF =∠EAC ，由图2可知，等腰三角形ABC 中，AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∵OA ⊥BC ，∴∠BAO =∠CAO ，∵∠FAE =∠FAO +∠OAE =∠OAC +α=α+∠EAC +α=2α+∠EAC ，∠AFE =∠FBE +∠BEF =2α+∠BEF ，∴∠FAE =∠AFE ，∴AE =EF ，∴△AEC ≌△EFB AAS ，∴BF =CE ；(3)解：∵点C 与点O 重合，∠AOB =90°，∴OA =OB ，如图3，过点O 作OG ⊥AE 于点G ，OH ⊥BE 交BE 的延长线于点H ，AE 与OB 交于点M ，∵BE ⊥AE ，∴∠AEB =90°，∵∠AOB =90°，∠AMO =∠BME，∴∠MAO=∠OBH，又∵∠AGO=∠BHO=90°，OA=OB，∴△AOG≌△BOH AAS，∴OG=OH，又∵OG⊥AE，OH⊥BE，∴EO平分∠AEH，∴∠OEH=∠AEO=45°，∴∠BEO=∠AEB+∠AEO=90°+45°=135°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，坐标与图形的性质等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．培优训练一、解答题1.(2021·湖北武汉·九年级阶段练习)△ABC中，BC=4，AC=6，∠ACB=m°，将△ABC绕点A顺时针旋转n°得到△AEF，E与B是对应点，如图1．(1)延长BC、EF，交于点K，求证：∠BKE=n°；(2)当m=150，n=60时，求四边形CEFA的面积；(3)如图3．当n=150时，取BE的中点P和CF的中点Q，直接写出PQ2的值．【答案】(1)见解析；(2)12+93；(3)8-43【分析】(1)根据旋转的性质可得∠AEF=∠B，利用三角形的外角性质可得∠BKE=∠KPA-∠AEF，从而得到∠BKE=∠BAE=n°；(2)连CF，作FH⊥AC于H，根据条件得到ΔACF是等边三角形，则∠EFC=90°，从而根据S四边形CEFA=SΔCEF+SΔACF计算即可；(3)取CE中点G，连接PG，QG，构造△GPQ为等腰三角形，并结合中位线定理以及旋转的性质求解∠PGQ=30°，再作CN⊥FA于N点，结合旋转的性质求解出sin15°=6-24，最后在△GPQ中运用“三线合一”的性质求解出PQ的长度得出结论．【详解】(1)设CK、AE交于点P，∵ΔAEF是ΔABC旋转所得，∴ΔAEF≅ΔABC，∴∠AEF=∠B，∵∠BKE=∠KPA-∠AEF，∠BAE=∠KPA-∠B，∴∠BKE=∠BAE=n°；(2)连CF，作FH⊥AC于H，∵ΔAEF≅ΔABC，∴EF=BC=4，AF=AC=6，∠AFE=∠ACB=150°，∴ΔACF是等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠EFC=∠AFE-∠AFC=150°-60°=90°，∴SΔCEF=12CF⋅EF=12×6×4=12，∵AH=12AC=3，FH=AF2-AH2=36-9=33，∴SΔACF=12AC⋅FH=12×6×33=93，=SΔCEF+SΔACF=12+93；∴S四边形CEFA(3)如图，取CE中点G，连接PG，QG，则PG，QG为△BCE和△FCE的中位线，∴PG=12BC=2，QG=12EF=2，△GPQ为等腰三角形，根据中位线定理可得：∠BCE=∠PGE，∠CEF=∠CGQ，∴∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=∠BCE+∠CEF-180°，又∵∠BCE+∠CEF=∠BCE+∠CEA+∠AEF=∠BCE+∠CEA+∠ABC，∴在四边形ABCE中，∠BCE+∠CEA+∠ABC=360°-∠BAE=360°-150°=210°，∴∠BCE+∠CEF=210°，∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=210°-180°=30°，作CN⊥FA于N点，根据旋转可知，∠CAF=150°，AC=AF=6，∠AFC=15°，∴∠CAN=30°，在Rt△CAN中，AC=6，∠CAN=30°，∴CN=3，AN=33，∴NF=AN+AF=6+33由勾股定理得：FC=CN2+NF2=36+32，∴sin∠CFN=CNCF=336+32=6-24，即：sin15°=6-2 4，此时，作GM⊥PQ，则根据“三线合一”知GM平分∠PGQ，∠MGQ=15°，PM=QM，∴MQ=GQ·sin15°=2×6-24=6-2 2，∴PQ=2MQ=6-2，∴PQ2=6-22=8-43．【点睛】本题考查图形旋转的综合问题，包括全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，以及运用三角函数解直角三角形等，熟练根据题意灵活构造辅助线是解题关键．2.(2022·四川·石室中学八年级期中)已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：(1)如图1，若点P在线段AB上，且AC=6+2，PA=2，求PB的长度；(2)在(1)的条件下，猜想PA、PB、PQ三者之间的数量关系并证明；(3)如图2，若点P在AB的延长线上，求证：PA2+PB2=PQ2．【答案】(1)23(2)PA2+PB2=PQ2，证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB，由PB=AB-PA可求得PB；(2)过C作CD⊥AB于点D，则△ADC是等腰直角三角形，则可求得AD=CD=12AB=1+3，进而得出PD的长，在Rt△PCD中利用勾股定理可求得PC的长，进而求出PQ的长即可得到结论；(3)过C作CD⊥AB于点D，把PA2和PB2都用PC和CD表示出来，在Rt△PCD中，由勾股定理得到PC和PD、CD的关系，从而可证得结论；【详解】(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC=6+2，∴AB=AC2+BC2=6+22=23+2，2+6+2∵PA=2，∴PB=AB-PA=23+2-2=23，(2)解：PA2+PB2=PQ2，证明如下：如图1，过C作CD⊥AB于点D，则△ADC是等腰直角三角形，∴AD=CD=12AB=1+3，∴PD=AD-PA=3-1，在Rt△PCD中，PC=CD2+PD2=3+12=22，2-3-1∵△PCQ是等腰直角三角形，∠PCQ=90°，∴PC=QC=22，∴PQ=PC2+QC2=4，∵PA2=4,PQ2=16，PB2=12，∴PA2+PB2=PQ2；(3)证明：如图2，过C作CD⊥AB于点D，∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，∵PA2=AD+PD2=CD2+2CD⋅PD+PD2，2=CD+PDPB2=PD-BD2=CD2-2CD⋅PD+PD2，2=PD-CD∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2CD2+PD2，在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，∴PA2+PB2=2PC2，∵△PCQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，∴PQ2=PC2+CQ2=2PC2，∴PA2+PB2=PQ2．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．3.(2022·广东·惠州市惠阳区朝晖学校九年级阶段练习)阅读理解：如图，等腰直角△ABC中，∠ABC =90∘，AB=BC，点A，B分别在坐标轴上．(1)如图①，过点C作CG⊥y轴于点G，若点C的横坐标为5，求点B的坐标．(2)如图②，将△ABC摆放至x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD⊥x轴于点D，求CDAM的值．(3)如图③，若点A坐标为(-4,0)，分别以OB，AB为直角边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF与等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于点P．当B点在y轴正半轴上移动时，PB的长度是否会发生改变？若改变，请说明理由，若不改变，请直接写出PB的长度．【答案】(1)(0，5)(2)12(3)2【分析】(1)过点C作CG⊥y轴于点G，根据余角的性质，得出∠ABO=∠BCG，证明△ABO≌△BCG，得出BO=CG=5，即可得出答案；(2)分别延长AB，CD相交于点H，根据“AAS”证明△ABM≌△CBH，得出AM=CH，根据等腰三角形的性质，得出CD=DH，即可得出答案；(3)作EG⊥y轴于G，证明△BAO≌△EBG，得到BG=AO=4，EG=OB，证明△EGP≌△FBP，得到PB=PG，得到答案．【详解】(1)解：∵∠ABC=90∘，CG⊥y轴，∴∠1+∠ABO=90∘，∠1+∠BCG=90∘，∴∠ABO=∠BCG(同角的余角相等)，∵∠ABC=90∘，CG⊥y轴，∠ABO=∠BCG，AB=BC，∴△ABO≌△BCG(两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等)，∴BO=CG(全等三角形的对应边相等)，∵C点的横坐标为5，∴CG=5，∵CG=5，BO=CG，B点在y轴上，∴B点的坐标是0,5．(2)解：分别延长AB，CD相交于点H，如图所示：∵∠ABC=90∘，CH⊥x轴，∴∠1+∠A MB=90∘，∠3+∠CMD=90∘，∠CBH=90∘，∵∠A MB=∠CMD，∴∠1=∠3(等角的余角相等)，∵∠ABC=∠CBH=90∘，∠1=∠3，AB=BC，∴△ABM≌△CBH(两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等)，∴AM=CH(全等三角形的对应边相等)，∵AD平分∠BAC，CH⊥x轴，∴∠1=∠2，∠ADH=∠ADC=90°，∵AD=AD，∴△ADH≅△ADC，∴DH=DC，∴AM=CH=2CD，∴CD AM=1 2．(3)解：PB的长度不变，作EG⊥y轴于G，如图所示：∵点A的坐标为-4,0，∴OA=4，∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBG=90°，∴∠BAO=∠EBG，在△BAO 和△EBG 中∠AOB =∠BGE∠BAO =∠EBG AB =BE，∴△BAO ≌△EBG AAS ，∴BG =AO =4，EG =OB ，∵OB =BF ，∴BF =EG ，在△EGP 和△FBP 中∠EPG =∠FPB∠EGP =∠FBP EG =FB，∴△EGP ≌△FBP AAS ，∴PB =PG ，∴PB =12BG =2．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4.(2022·河北·八年级期中)如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，∠ABC =∠ACB =45°，AH 是△ABC 的高，BC =10cm ，射线CM ⊥BC ，动点D 从点C 开始沿射线CB 的方向以每秒2厘米的速度运动，动点E 也同时从点C 开始在射线CM 上以每秒1厘米的速度运动，连接AD 、AE ，设运动时间为t t >0 s ．(1)请直接写出CD 、CE 的长度(用含有t 的式子表示)：CD =______cm ，CE =______cm ；(2)当点D 到点H 的距离为2cm 时，求t 的值；(3)请直接写出当t =103s 时，△ABD 与△ACE 是否全等？【答案】(1)2t ，t (2)32s 或72s (3)全等，理由见解析【分析】(1)直接根据路程=速度×时间可得结论；(2)分当点D 位于点H 右边时；当点D 位于点H 左边时，两种情况进行讨论即可；(3)分别求出BD ,CD 的长度，然后根据“SAS ”证明全等即可．【详解】(1)解：根据题意可得CD =2t cm ，CE =t cm ，故答案为：2t ，t ；(2)解：∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵AH是△ABC的高，BC=10cm，∴BH=CH=5，当点D位于点H右边时，CD=CH-HD=5-2=2t，解得：t=3 2；当点D位于点H左边时，CD=CH+DH=5+2=7=2t，解得：t=7 2，综上所示：当点D到点H的距离为2cm时，t的值为32s或72s；(3)解：△ABD与△ACE全等，理由如下：当t=103s时，CD=2t=2×103=203cm，CE=t=103cm，∴BD=BC-CD=10-203=103cm，∴BD=CE，∵CM⊥BC，∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=45°，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠ACEBD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，一元一次方程的应用，等腰直角三角形的性质，灵活运用相关知识点列方程求解是关键．5.(2022·江苏徐州·八年级期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且DE⊥DF，垂足为D．(1)如图1，当DE⊥AC时，DE、DF的大小关系是______；(2)如图2，将∠EDF绕点D点旋转，(1)中的关系还成立吗？请说明理由；(3)如图3，连接EF，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)DE=DF(2)成立，理由见解析(3)EF2=AE2+BF2，证明见解析【分析】(1)连接CD，由DE⊥AC，得∠DEC=90°=∠ACB=∠EDF，可得DF⊥BC，而AC= BC，D为AB中点，知CD是∠ACB的平分线，即得DE=DF；(2)过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，同(1)可得DM=DN，由∠DMC=∠DNC=∠ACB= 90°，可得∠MDN=90°=∠EDF，从而∠MDE=∠NDF，可证△DME≌△DNF(AAS)，故DE= DF；(3)过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，由(2)知△DME≌△DNF，可得ME=NF，DE=DF，DM=DN，即可得EF2=2DE2，而AC=AB，∠ACB=90°，有∠A=∠B=45°，从而AM=DM= DN=BN，设ME=NF=x，则AM=AE-x=DM，BN=BF+x=DN，由AM=BN，得AE-x=BF+x，x=AE-BF2，即ME=AE-BF2，DM=AE-x=AE+BF2，又DE2=DM2+ME2，即可得EF2=2DE2=AE2+BF2．【详解】(1)解：DE=DF，理由如下：连接CD，如图：∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°=∠ACB=∠EDF，∴∠DFC=90°，即DF⊥BC，∵AC=BC，D为AB中点，∴CD是∠ACB的平分线，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE=DF(角平分线上的点到两边的距离相等)；故答案为：DE=DF；(2)将∠EDF 绕点D 点旋转，(1)中的关系还成立，理由如下：过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，如图：同(1)可得DM =DN ，∵∠DMC =∠DNC =∠ACB =90°，∴∠MDN =90°=∠EDF ，∴∠MDN -∠EDN =∠EDF -∠EDN ，即∠MDE =∠NDF ，∵∠DME =90°=∠DNF ，∴△DME ≌△DNF (AAS )，∴DE =DF ；(3)EF 2=AE 2+BF 2，证明如下：过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，如图：由(2)知△DME ≌△DNF ，∴ME =NF ，DE =DF ，DM =DN ，∵∠EDF =90°，∴DE 2+DF 2=EF 2，∴EF 2=2DE 2，∵AC =AB ，∠ACB =90°，∴∠A =∠B =45°，∵DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，∴AM =DM =DN =BN ，设ME =NF =x ，则AM =AE -x =DM ，BN =BF +x =DN ，∵AM =BN ，∴AE -x =BF +x ，∴x =AE -BF 2，即ME =AE -BF 2，∴DM =AE -x =AE +BF 2，∵DE 2=DM 2+ME 2=AE +BF 2 2+AE -BF 2 2=AE 2+BF 22，∴EF 2=2DE 2=AE 2+BF 2．【点睛】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．6.(2022·湖北·武汉市黄陂区教学研究室八年级期中)如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB =AC ，AD =AE ．(1)如图1，求证：BD =CE ；(2)如图2，当AD =CD 时，过点C 作CM ⊥AD 于点M ，如果DM =2，求CD -BD 的值．【答案】(1)见解析(2)4【分析】(1)过A 作AH ⊥BC 于点H ，根据三线合一可得：BH =CH ，DH=EH ，即可证明；(2)过A 作AH ⊥BC 于点H ，易证△AHD ≌△CMD ，可得MD =DH ，即可求解．【详解】(1)证明：如图过A 作AH ⊥BC 于点H ，∵AB =AC ，AH ⊥BC ，∴BH =CH ，∵AD =AE ，∴DH =EH ，∴BD =CE ；(2)解：过A 作AH ⊥BC 于点H ，在△AHD 和△CMD 中，∠CDM =∠ADH∠CMD =∠AHD =90°CD =AD∴△AHD ≌△CMD AAS ，∴DH =MD ，∴CD -BD =CH +DH -BH -DH =2DH =2MD =4．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．7.(2022·浙江·杭州市大关中学九年级期中)如图，在△ABC 中，AB =AC ,∠A =30°,AB =10，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，连接DE ，过点B 作BP 平行于DE ，交⊙O 于点P ，连接CP ,OP ．(1)求证：点D 为BC的中点；(2)求AP 的长度．【答案】(1)见解析(2)5π2【分析】(1)连接AD ，可得AD ⊥BC ，再由等腰三角形的性质，即可求证；(2)由等腰三角形的性质，可得∠ABC =75°，再根据四边形ABDE 为⊙O的内接四边形，可得∠EDC =∠BAC =30°，然后根据BP ∥DE ，可得∠PBC =∠EDC =30°，从而得到∠OBP =∠ABC -∠PBC =45°，然后根据圆周角定理可得∠AOP =90°，再根据弧长公式计算，即可求解．【详解】(1)证明：如图，连接AD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，即AD ⊥BC ，∵AB =AC ，∴BD =CD ，即点D 为BC 的中点；(2)解：∵∠BAC =30°，AB =AC ，∴∠ABC =12×180°-30° =75°，∵四边形ABDE 为⊙O 的内接四边形，∴∠EDB +∠BAC =180°，∵∠EDB +∠EDC =180°，∴∠EDC =∠BAC =30°，∵BP ∥DE ，∴∠PBC =∠EDC =30°，∴∠OBP =∠ABC -∠PBC =45°，∵OB =OP ，∴△OBP 为等腰直角三角形，∴∠BOP =90°，∴∠AOP =90°，∵AB =10，∴半径OA =5，∴AP 的长度为90π×5180=5π2．【点睛】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握弧长公式，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．8.(2022·湖北黄石·九年级期中)如图，△ABC 中，AB =AC ，AH ⊥BC 于H ，BD ⊥AC 于D ，AH ，BD 相交于点O ，以O 为圆心、OD 为半径的⊙O 交BC 于点E 、F ，已知AD =6，BD =8．(1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)求⊙O 的半径；(3)求弦EF 的长．【答案】(1)见解析；(2)3；(3)4．【分析】(1)过点O 作OM ⊥AB 于点M ，利用角平分线的性质得到OM=OD ，即可；(2)利用勾股定理求得AC =AB =10，从而得到CD =4，再由勾股定理求得BC =45，则BH =CH =25，再由勾股定理得到AH =45，由△AOD ∽△ABH 得到AD AH=OD BH ，即可求解；(3)连接OE ，求得OH ，利用勾股定理得到EH ，即可求解．【详解】(1)证明：过点O 作OM ⊥AB 于点M ，如图∵AH ⊥BC ，AB =AC∴AH 平分∠BAC又∵OM ⊥AB ，OD ⊥AC∴OM =OD∴AB 是⊙O 的切线；(2)解：由勾股定理可得，AB =AD 2+BD 2=10，AC =10，则CD =4，由勾股定理可得：BC =BD 2+CD 2=45，由题意可得：AH 为中线，∴BH =CH =25由勾股定理可得：AH =AB 2-BH 2=45由(1)可得∠BAH =∠OAD ，又∵∠ADB =∠AHB =90°∴△AOD ∽△ABH ，∴AD AH =OD BH ，即645=OD 25解得：OD =3，即半径为3．(3)连接OE ，如下图：由题意可得：OE =3，OH ⊥EF∴EH =HF在Rt △AOD 中，由勾股定理可得：AO =OD 2+AD 2=35∴OH =AH -AO =5，在Rt△OEH中，由勾股定理可得：EH=OE2-OH2=2∴EF=2EH=4【点睛】此题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．9.(2022·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习)按要求作图．(1)如图(1)，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AC=BC,AE是△ABC的中线．①在AD取一点F使得EF∥CD；(仅使用无刻度的直尺画图)．②画出△ABC的高CH．(仅使用无刻度的直尺画图)．(2)如图(2)，四边形ABCD是平行四边形，在线段CD找一点E，使得BE平分∠AEC．(仅使用圆规画图)【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析【分析】(1)①连接BD交AC于O点，则OB=OD，则OE为△BCD的中位线，可得OE∥CD，延长EO交AD于F，则EF满足条件；②设BD交AE于P点，则P点为△ABC的三条中线的交点，然后延长CP交AB于H，CH为AB边上的中线，再由AC=BC，根据等腰三角形的性质得到CH⊥AB；(2)以A点为圆心，AB为半径画弧交DC于E点，则AE=AB，可得∠AEB=∠ABE，再根据CD∥AB，可知∠ABE=∠CEB，从而得到∠CEB=∠AEB，即可．【详解】(1)解：①如图1，连接BD交AC于O点，并延长EO交AD于F，F点即为所作；理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∵AE是△ABC的中线．∴OE为△BCD的中位线，∴OE∥CD，即EF∥CD；②如图1，设BD交AE于P点，延长CP交AB于H，CH即为所作；理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AC=BC,AE是△ABC的中线．∴P点为△ABC的三条中线的交点，∴CH为AB边上的中线，∴CH⊥AB，即CH是△ABC的高；(2)解：如图2，以A点为圆心，AB为半径画弧交DC于E点，则线段BE为所作．理由：根据作法得：AE=AB，∴∠AEB=∠ABE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠CEB，∴∠CEB=∠AEB，即BE平分∠AEC．【点睛】本题考查了作图--复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质以及平行线的性质．10.(2022·湖南长沙·九年级期中)如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O，与AB边相交于点D，与BC边相交于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)求证：点E是CD的中点；(3)若⊙O的直径为18，BC=12，求AD的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)AD的长为14．【分析】(1)连接OE，利用等腰三角形的性质，证明OE∥AB即可证明；(2)利用圆周角定理以及等腰三角形三线合一的性质即可证明；(3)连接AE、CD，利用直径所对的圆周角是直角、等腰三角形三线合一以及证明△ABE∽△CBD，即可解答．【详解】(1)证明：连接OE，∵EF⊥AB，∴∠EFD=∠EFB=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OC=OE，∴∠C=∠OEC，∴∠OEC =∠B ，∴OE ∥AB ，∴∠OEF =∠EFB =90°，∵OE 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线；(2)证明：如图，连接AE ，∵AC 是直径，∴AE ⊥BC ，∵AB =AC ，∴∠BAE =∠CAE ，∴DE =CE ，∴点E 是CD 的中点；(3)解：连接AE 、CD ，∵AC 是⊙O 的直径，AB =AC ，BC =12，∴∠CDB =∠AEC =∠AEB =90°，BE =CE =6，∵∠B =∠B ，∴△ABE ∽△CBD ，∴AB CB=BE BD ，即1812=6BD ，解得：BD =4，∴AD =AB -BD =18-4=14，故AD 的长为14．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．11.(2022·广东·广州市白云区白云实验学校八年级期中)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ．(1)如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；(2)点M是AC边上一个动点(不与点D重合)，以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG 交射线DE于点G．请画出完整图形，探究MD，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．【答案】(1)见详解(2)画图见详解，当分M点在线段AD上时，AD+MD=DG；当M点在线段DC上时，AD-MD= DG．【分析】(1)根据含30°角的直角三角形的性质可得∠ABC=60°，BC=12AB，根据BD是△ABC的角平分线，可得∠ABD=∠CBD=30°，即有可得△ABD是等腰三角形，结合DE⊥AB和DE是△ABD的中线，可得AE=BE=12AB，问题随之得解；(2)分M点在线段AD上和M点在线段DC上两种情况来补全图形：当分M点在线段AD上时，延长BD至N点，使得MD=ND，连接MN，先证明△MND是等边三角形，再证明△MNB≌△MDG ASA，即可得解；当M点在线段DC上时，延长GD至H，使得DH=MD，连接HM，BD与MG交于点Q，先证明△MDH是等边三角形，再证明△HMG≌△D MB AAS，即可得解．【详解】(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，BC=12AB，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ABD=∠A，∴AD=BD，∴△ABD是等腰三角形，∵DE⊥AB，∴DE是△ABD的中线，∴AE=BE=12AB，∵BC=12AB，∴BC=BE，∵∠ABC=60°，∴△EBC是等边三角形；(2)补全图形如下：(分M点在线段AD上和M点在线段DC上两种情况)当分M点在线段AD上时，延长BD至N点，使得MD=ND，连接MN，如图，在(1)中求得：∠ABD=∠CBD=30°=∠A，∵∠DEA=∠DEB=90°，∴∠EDA=∠EDB=60°，∵∠BMG=60°，∴∠EDA=∠EDB=60°=∠BMG，∴∠NDM=180°-∠EDB-∠EDA=60°，∵MD=ND，∴△MND是等边三角形，∴MD=ND=MN，∠NMD=60°=∠N，∴∠N MB=∠NMD+∠D MB=∠G MB+∠D MB=∠GMD，∵∠ADE=60°=∠N，MD=MN，∴△MNB≌△MDG ASA，∴NB=DG，∴DB+ND=DG，根据(1)可知AE=BE=12AB，DE⊥AB，∴DG是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵MD=ND，∴AD+MD=DG；当M点在线段DC上时，延长GD至H，使得DH=MD，连接HM，BD与MG交于点Q，如图，∵∠EDA=∠EDB=60°=∠BMG，∴∠HDM=∠EDA=60°，∠MDB=180°-∠EDA-∠EDB= 60°，∵DH=MD，∴△MDH是等边三角形，∴DM=HM，∠H=60°，∵∠EDB=60°=∠BMG，∠DQG=∠BQM，∴∠DGQ=∠QBM，∵∠H=∠MDB，DM=HM，∴△HMG≌△D MB AAS，∴HG=BD，∵HD=MD，AD=BD，∴AD=BD=HG=HD+DG=MD+DG，∴AD-MD=DG；综上：当分M点在线段AD上时，AD+MD=DG；当M点在线段DC上时，AD-MD=DG．【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知正确作出辅助线是解题关键．12.(2022·福建·上杭县教师进修学校八年级期中)数学活动课上老师出示如下问题，供同学们探究讨论：如图，在△DEF中，DE=DF，点B在EF边上，且∠EBD=60°，C是线段BD上的一个动点(不与点B重合，且BC≠BE)，在线段BE上截取BA=BC，连接AC．试探究线段AE,BF,CD之间的数量关系．小敏与同桌小聪经过深入的思考讨论后，进行了如下探究：特殊入手，探索结论：(1)①如图，若点C与点D重合，即线段CD=0，观察此时线段AE,BF之间的数量关系是AE=BF，即有：AE=BF+CD，请你说明AE=BF的理由；特例启发，猜测结论：②若点C不与点D重合，猜测线段AE,BF,CD之间的数量关系是___________，并给予证明；完成上面的问题后，老师继续提出下列问题，请同学们探究讨论：深入探究，拓展结论：(2)在上面的问题中，若把“点C是线段BD上的一个动点”改为“点C是射线BD上的一个动点，其它条件都不变．”，则当点C在线段BD的延长线上时，请你用等式表示线段AE,BF,CD之间的数量关系(自行画图探究，直接写出结果，不需要证明)．【答案】(1)①见解析，②AE=BF+CD，见解析(2)当BC<BE时，数量关系是：BF=AE+CD，当BC>BE时，数量关系是：CD=AE+BF，见解析【分析】(1)①过D作DG⊥EF于G，利用等腰和等边三角形的性质，即可得证；②在BE上截取BG =BD，连接DG，利用等腰和等边三角形的性质，即可得证；(2)分BC<BE和BC>BE两种情况分类讨论，求解即可．【详解】(1)证明：①∵BA=BC，∠EBD=60°，∴△ABC是等边三角形过D作DG⊥EF于G，则有：EG=FG；AG=BG∴EG-AG=FG-BG，∴AE=BF；②数量关系为：AE=BF+CD，证明如下：在BE上截取BG=BD，连接DG，∵BA=BC∴BG-BA=BD-BC，∴AG=CD∵∠EBD=60°，BG=BD，∴△GB D是等边三角形∴由①的结论可得：EG=BF∴AE=EG+AG=BF+CD。
初中几何：“中点问题”七大模型
初中几何：“中点问题”七大模型
很多同学遇到几何题就头疼，很大的原因是没有掌握一些解题模型，也就是套路。
今天就给大家梳理下几何中的中点问题怎么解，这七大模型一定要记好哦！
模型一多个中点出现或平行＋中点（中点在平行线上）时，常考虑或构造三角形中位线
练一练
答案：
模型二直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半”
练一练
答案：
模型三等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
练一练
答案：
模型四遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质
练一练
答案：
模型五中线等分三角形面积
练一练
答案：
模型六圆中弦（或弧）的中点，考虑垂径定理及圆周角定理
练一练答案：
模型七遇到三角形一边上的中点（中线或与中点有关的线段），考虑倍长中线法构造全等三角形
练一练
答案：。
中点模型
15
（3）AG⊥DG，DG=AG×tan(α/2) 证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
16
∵四边形CDEF是菱形， ∴DE=DC，DE∥CF， ∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE， ∵G是BE的中点，∴BG=EG， ∴△BGH≌△EGD（AAS）， ∴BH=ED，HG=DG， ∴BH=DC， ∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α， ∴∠ABC=90°﹣α/2，∠ACD=90°﹣α/2， ∴∠ABC=∠ACD， ∴△ABH≌△ACD（SAS）， ∴∠BAH=∠CAD，AH=AD， ∴∠BAC=∠HAD=α； ∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=α/2， ∴tan∠DAG=tan(α/2)， ∴DG=AGtan（α/2）．
3
模型三 如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC 的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性 质可得，DE//BC且DE=1/2BC.
4
模型四：连接直角顶点，构造斜中定理
5
模型运用
6
例1、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，点E 是BC边的中点.连接AE，DE.求∠AED的度数.
19
小试身手 如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的 中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG. （1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所示，则线段EG和CG有怎样的 数量和位置关系？请直接写出你的猜想. （2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所示，则线段EG和CG又有怎样 的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明. （3）将△BEF绕点B旋转一个任意角度α，如图4所示，则线段EG和CG有怎样 的数量和位置关系？请直接写出结论.
初中几何“中点问题”七大模型
初中几何“中点问题”七大模型
模型一多个中点出现或平行＋中点（中点在平行线上）时，常考虑或构造三角形中位线
练一练
答案：
模型二直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半”
练一练
答案：
模型三等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
练一练
答案：
模型四遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质
练一练
答案：
模型五中线等分三角形面积
练一练
答案：
模型六圆中弦（或弧）的中点，考虑垂径定理及圆周角定理
练一练
答案：
模型七遇到三角形一边上的中点（中线或与中点有关的线段），考虑倍长中线法构造全等三角形
练一练
答案：。
中点模型1---倍长中线(辉哥秘籍)
E
F
B
C
【例9】 如图所示，在 ABC 中，AB AC ，延长 AB 到 D ，使 BD AB ，E 为 AB 的中点， 连接 CE 、 CD ，求证 CD 2EC ．
板块三、求证中点
【例10】已知 ACB ，B ACB ，D ，E 分别是 AB 及 AC 延长线上的一点，且 BD CE ， 连接 DE 交底 BC 于 G ，求证 GD GE ．
BA E
C
D
【例3】 如图，在△ACB 和△AED 中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°,点 E 在 AC 上， 连结 BD，取 BD 的中点 F，连结 FE、CF，求证：CF 与 EF 的关系
A
A
A
E
D
D
F
C
B
图1
E
F C
图2
D
B
C
【例4】 如图，正方形 CGEF 的边 CG 与正方形 ABCD 的边 BC 在同一直线上（CG＞BC），连 结 AE,取线段 AE 的中点 M．探究：线段 MD、MF 的关系，并加以证 明.
A
F E
B
D
C
【例7】 如图所示，已知 ABC 中，AD 平分 BAC ，E 、F 分别在 BD 、AD 上．DE CD ， EF AC ．求证： EF ∥ AB
A
F
BE
D
C
【例8】 已知 AM 为 ABC 的中线， AMB ， AMC 的平分线分别交 AB 于 E 、交 AC 于
F ．求证： BE CF EF ．
A
D
B
G
C
E
【例11】已知△ABC 中，过 AB 边和 BC 边在三角形外分别作正方形 ABEF 和正方形 BCPQ， 连接 EQ，过 B 点作 BM⊥EQ，延长 MB 与 AC 交于 D 点，求证：D 是 AC 中点．
提分微课(01)中点问题
2
A. π
4
2
B. π
2
)
C.1
图W1-10
D.2
[答案] C
[解析]连接 OM,CM,OC.
1
∵OQ⊥OP,且 M 是 PQ 的中点,∴OM= PQ.
2
1
∵△ABC 是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,∴CM= PQ,∴OM=CM,
2
∴△OCM 是等腰三角形,∴M 在 OC 的垂直平分线上.
∵AD 是△ABC 的中线,BC=2BD=2 13.
在 Rt△AEG 中,AE= 2 + 2 = 22 + 12 = 5,
∵DF 是△BCE 的中位线,GE 是△ADF 的中位线,∴AE=EF=CF= 5,∴AC=3 5.
类型三 直角三角形斜边中点
构造
斜边上的中线
9.[2018·南充]如图 W1-9,在 Rt△ABC 中,
1
1
2
2
∵BE 是∠ABC 的平分线,BE⊥AD,∴AG=GD= AD= ×4=2,AB=BD,
1
1
∴GE 是△ADF 的中位线,∴GE=2DF=2×2=1,
∵BE=4,∴BG=BE-GE=4-1=3,
在 Rt△ABG 中,AB= 2 + 2 = 22 + 32 = 13,∴BD=AB= 13,
19
2
[解析]连接 DE,∵D,E 分别为 AB,BC 的中点,∴DE∥AC,2DE=AC=4,EC=2,
∵EF⊥AC,∴DE⊥EF.∴△DEG 为直角三角形,
在 Rt△EFC 中,EC=2,∠C=60°,∴EF= 3.
3
∵G 为 EF 的中点,∴EG= .
中点模型的构造
AF中点，连接DM和EM.探究线段DM与EM的位置关系，并求
DM 的值. E（M 1）如图，当点B、C、H在一条直线上时，线段DM与EM的
位置关系是 ， DM = ；
EM
解题思路：延长DM与EF交于点N
证明△ADM≌△FNM
又 ∵∠DEN＝90° DM＝NM
DM=MN, AD=NF EDN是等腰三角形 M是DN的中点
B
D
C
EAF AEF AEF BED
G BED
BE BG
G
AC BE
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例题讲解
例1 如图所示，已知在∆ABC中，AD是BC边上的中
线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，
AF=EF，求证:AC=BE
证法二：
A
延长ED至点G，使DG=DE,连接CG
点D是BC的中点
F E
常见的联想路径
1、已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：
（1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三
角形（八字全等）
A
A E
B
D
CB
D
C
F E
(2)三角形中位线定理 2、已知直角三角形斜边上中点，可以考虑构造斜边中线。
3、已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”
4、有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含 中点，例如直角三角形中斜边中点，等腰三角形底边上的中点， 当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加。
DM 1 EM
EM⊥DN
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谢谢您的观看！
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例题讲解
例1 如图所示，已知在∆ABC中，AD是BC边上的中
初中数学中点模型
初中数学中点模型
在初中数学中，中点模型是一种重要的几何概念。
在平面几何中，中点指的是一条线段的正中间点，并且这个点将该线段分成了两个相等的部分。
中点模型是指将一个平面图形通过连接其中点而得到的一个新
的图形。
通过中点模型可以更好地理解平面图形的对称性、相似性和等分性等性质。
例如，在一个三角形ABC中，连接AB、BC、CA的中点，我们就可以得到一个新的三角形DEF。
通过观察可以发现，三角形DEF和三角形ABC具有相同的形状，但是大小不同。
这是因为三角形DEF是三角形ABC的中点模型，它将三角形ABC等分为四个相等的小三角形，而这四个小三角形又能组成一个大小为三角形ABC四分之一的大三
角形。
除了在平面几何中使用中点模型外，在立体几何中也可以使用中点模型来构建新的几何体。
例如，通过连接一个正方体的中心点和每个顶点，我们可以得到一个新的八面体。
总之，中点模型是一个可以帮助我们更好地理解和分析平面图形和立体几何体的有用工具。
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基础知识回顾
1. 倍长中线 已知任意三角形一边上的中点，可以连出过中点的线段并加倍延长， 从而达到构造全等三角形的目的，如图 B 倍长中线法构造全等三角形，可以得到一组平行且相等的边， 从而可知，倍长中线的本质是“构造平行四边形”
D A
D A
M
C
B
M E
C
几何辅助线秘诀拔高班·第1讲·学生版
E
F
B
【例2】 如图，点 D 、 E 三等分 △ ABC 的 BC 边．求证： AB AC AD AE ．
A
D
C
B
D
E
C
2
几何辅助线秘诀拔高班·第1讲·学生版
【例3】 分别以 △ ABC 的边 AB ，AC 为边，向三角形的外侧作正方形 ABDE 和正方形 ACFG ， M 为 BC 中点，求证： EG 2 AM ．
A
A M C B
A 30
B
D
C
B
A
C
D
E
B 图
C
A O M N
B
版块一：倍长中线
典题精练
【例1】 ⑴ 如下图，已知在 △ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE AC ，延长 BE 交 AC 于 F ．求证： AF EF ． ⑵ 已知 △ ABC 中， AB 12 ， AC 30 ，求 BC 边上的中线 AD 的范围． A
A G F
D B
H E C
【例8】 如图 1 所示， P 是 △ ABC 内的一点， PAC PBC ，过点 P 分别作 PM AC 于点 M ， PL BC 于点 L ， D 为线段 AB 的中点，求证： DM DL .
C
L M P
A
图1 D
B
4
几何辅助线秘诀拔高班·第1讲·学生版
1
2. 特殊三角形 ⑴ 等腰三角形“三线合一” ⑵ 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ⑶ 直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半 3. 中位线 如图， △ ABC 中， D、E 分别为 AB、AC 中点， 则线段 DE 叫做 △ ABC 的中位线． 1 易证 DE ∥ BC 且 DE BC ． 2 4. 中心对称图形 如图， O 分别为 AN 、BM 中点， 则 △ ABO≌△MNO ． 易知 △ ABO 和 △MNO 关于点 O 中心对称．
A
C
E
M
D
B
几何辅助线秘诀拔高班·第1讲·学生版
3
版块三：中位线
【例6】 已知ᇞABC 中，AB=AC，D 点为 BC 延长线上一点，且 DC=BC，E 是 AB 延长线上的一点， 且 BE=2AB．求证：DE=2AD．
A
典题精练
B
C
D
E
【例7】 如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分别为 BC、AD 中点，BA 交 EF 延长线于 G，CD 交 EF 于 H． 求证：∠BGE=∠CHE
E G D A F B M C
版块二：直角三角形斜边上的中线
典题精练
【例4】 如图， 在 △ ABC 中，BE 、CF 分别为边 AC 、AB 上的高，D 为 BC 的中点，DM EF 于 M ． A 求证： FM EM ．M FEBD
C
【例5】 已知： △ABD 和△ACE 都是直角三角形， 且∠ABD=∠ACE=90°， 连接 DE， 设 M 为 DE 中点， 连接 CM、BM. 求证：CM=BM
1
中点模型
知识点睛
很多几何题会给出“×是线段××的中点”这样的条件，那么看到“中点”我们应该想到什么呢？“中点” 有哪些作用呢？ 比如，由于中线与中点联系是非常紧密的，很容易联想到倍长中线是处理中线问题的常用手段； 另外，由于直角三角形斜边中线是斜边一半，所以也会作直角三角形斜边中线这条常用辅助线； 由于中位线的特殊性，所以三角形以及梯形的中位线也与中点是息息相关的； 更进一步地，中点还与中心对称图形有着不可分割的关系。 基于以上的一些联想，将中点问题归纳总结如下： 倍长中线 中线 斜边中线 三线合一 已知中点 中位线 一中点，作平行 中点 两中点，直接连 等腰三角形底边中点 隐含中点 直角三角形斜边中点 中心对称图形对应点连线的交点