宿迁中学2011-2012高二第一次调研测试数学试卷(含答案)

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2023-2024学年江苏省宿迁高二下学期入学检测数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年江苏省宿迁高二下册入学检测数学模拟试题一、单选题1．已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【正确答案】D【详解】∵由条件知过A (1,1)，B (1，－3)两点的直线的斜率不存在，而AB ⊥CD ，∴kCD ＝0，即23mn -+＝0，得m ＝2，n ≠－3，∴点(m ，n )有无数个．2．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A 、B 距离之比是常数λ(0,1)λλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点A 、B 的距离为3，动点M 满足||2||MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为.A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【正确答案】D【分析】以A 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，首先确定圆的方程，然后确定其面积即可.【详解】以A 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则()3,0.B 设(),M x y ，2=，化简整理得，228120x y x +-+=，即22(4)4x y -+=，则圆的面积为4π．故选D ．本题考查轨迹方程求解、圆的面积的求解等知识，属于中等题．3．设P 是椭圆C ：(22216x y a a +=>上任意一点，F 为C 的右焦点，PF ，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．2C ．2D ．3【正确答案】A【分析】依据题意得到a c -=222b a c =-得到a c +=.【详解】由题意可得a c -=()())2226b a c a c a c a c =-=+-=+=，所以a c +=a =c12e =.故选:A .4．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在x 轴上，C的面积为，且短轴长为则C 的标准方程为（）A ．22112x y +=B ．22143x y +=C ．22134x y +=D ．221163x y +=【正确答案】B【分析】根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及短轴长为,a b 的值，进而由焦点在x 轴上可得C 的标准方程.【详解】由题意可得2ab b ⎧⎪⎨⎪=⎩解得2a =，b =因为椭圆C 的焦点在x 轴上，所以C 的标准方程为22143x y+=.故选：B.本题考查了数学文化，椭圆的几何性质及标准方程求法，属于基础题.5．已知数列{}n a 为等差数列，则下列数列一定为等比数列的是（）A ．{}2na B ．{}lg n a C ．{}2n a D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【正确答案】A【分析】根据等比数列的定义判断．【详解】设{}n a 的公差是d ，即1n n a a d +-=，显然20na ≠，且112222n n n n a a a d a ++-==是常数，{2}n a 是等比数列，若n a 中一个为1，则lg 0n a =，则{lg }n a 不是等比数列，只要0d ≠，2{}n a ，1n a 都不可能是等比数列，如n a n =，22n a n =，11n a n=．故选：A ．6．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1，3，6，10，…构成数列{}n a ，记n a 为该数列的第n 项，则63a =（）A ．2016B ．4032C ．2020D ．4040【正确答案】A【分析】通过观察法可得11(N )n n a a n n *+-=+∈，再利用累加法求出通项公式即可计算63a 的值.【详解】依题意，212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，于是有11(N )n n a a n n *+-=+∈，则当2n ≥时，121321(1)()()()1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++= ，而11a =满足上式，因此，(1)2n n n a +=，所以63636420162a ⨯==.故选：A.7．已知()f x '是函数()f x 的导函数，若0()4f x '=，则000(2)()lim x f x x f x x∆→-∆-=∆（）A ．2-B ．2C ．8-D ．8【正确答案】C【分析】根据已知条件，结合导数的定义，即可求解【详解】()()()()()()000000000222limlim 2lim 1222x x x f x x f x f x f x x f x f x xx x x∆→∆→∆→-∆---∆--∆=--∆∆⋅∆()028f x '=-=-故选：C 8．函数()21f x x =在点1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与坐标轴围成的图形面积是（）A ．12B ．9C ．34D ．92【正确答案】D【分析】先利用()f x 的导函数求出切线的斜率，即可求出解析式，即可求出截距，最后求出面积.【详解】由题，()32f x x '=-，1162f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，所以切线为11624y x ⎛⎫-⋅-= ⎝-⎪⎭，整理得1612y x -+=，易得切线的截距为34和12，围成的图形为直角三角形，故所求面积为13912242⨯⨯=，故选：D 二、多选题9．下列说法中不正确的是（）A ．直线y kx b =+与y 轴交于一点()0,B b ，其中截距b OB =B ．过点()1,2P ，且斜率为4的直线方程为241-=-y x C ．在x 轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是1x y a b+=D ．方程()()()()211211x x y y y y x x --=--表示过点()111,P x y ，()222,P x y 的直线【正确答案】ABC【分析】对A ，由截距可以为负判断；对B ，直线不包括点()1,2P ；对C ，直线不包括截距为0的情况；对D ，方程为两点式方程的变形.【详解】对A ，截距可以为负，A 错；对B ，该方程不包括点()1,2P ，B 错；对C ，截距为0时，不能表示成1x ya b+=，C 错；对D ，()()()()211211x x y y y y x x --=--为两点式方程的变形，D 对.故选：ABC10．已知椭圆221259x y +=的右焦点是双曲线22219x y a -=的右顶点，点P 是双曲线第一象限上一点，则下列结论正确的是（）A ．16a =B ．双曲线的渐近线方程为34y x=±C ．椭圆的左顶点是双曲线的左焦点D ．若椭圆的左、右焦点分别为1F 、2F ，则直线1PF ，2PF 的斜率之积为定值【正确答案】BCD【分析】利用椭圆与双曲线的定义逐一判断即可.【详解】A ：由椭圆221259x y +=，得a 2=25，b 2=9，c 2=a 2-b 2=16，∴椭圆221259x y +=的右焦点即双曲线22219x y a -=的右顶点为（4，0），∴a 2=16，a =4．A 不正确；B ：双曲线的渐近线为34=±=±b y x x a ．B 正确；C ：由上述得椭圆的左顶点是（-5，0），双曲线的左焦点是（-5，0），C 正确；D ：椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，恰为双曲线的左、右顶点，设点(),P x y ,∴()()()()122222910016944161616PF PF x y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭⋅====-+--为定值，D 正确．故选：BCD ．11．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在实数d ，使得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，则下列结论正确的是（）A ．符合题意的数列{}n a 有无数多个B ．符合题意的实数d 有无数多个C ．符合题意的数列{}n a 仅有一个D ．符合题意的实数d 仅有一个【正确答案】AD【分析】设从数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭抽出的无限多项按原来的先后次序构成数列{}n b ，分别在0d =，0d >，0d <时探究数列{}n b 是否为等差数列，由此判断各选项的对错.【详解】设抽出的无限多项按原来的先后次序构成等差数列{}n b ，①若0d =：此时只需{}n a 为任意非零常数列即可；②若0d >：则{}n a 中只存在有限负数项，即存在*1N ∈ ，当1n N >时，0n a >，则当1n N >时，{}n b中均为正项，而另一方面，由上可知{}n b 中公差0d '<，因此存在*2N ∈ ，当2n N >时，{}n b 中均为负项，取{}12max ,n N N =，可知此时矛盾，故0d >舍去；③若0d <：同②可知需舍去.综上，符合题意的数列{}n a 为任意非零常数列，0d =，故选：AD.12．下列求导运算不正确的是（）A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()555log x x x '=D ．()2cos 2sin x x x x'=-【正确答案】ACD【分析】利用基本初等函数的导数公式和运算法则求解.【详解】2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错误；2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确；()55ln 5xx'=，故C 错误；()22cos 2cos sin xx x x x x '=-，故D 错误．故选：ACD 三、填空题13．若直线l ：(y k x =+与直线30x y +-=的交点位于第二象限，则直线l 倾斜角的取值范围是__________．【正确答案】3(,)34ππ【分析】在平面直角坐标系中画出直线30x y +-=，动态变化直线l ：(y k x =后可得倾斜角的范围．【详解】如图，直线30x y +-=与坐标轴的交点为(3,0)A ，(0,3)B ，倾斜角为3π4，直线l ：(y k x =过定点()0C ，直线BC 的斜率为BC k ==，所以直线BC 的倾斜角为π3，因为直线l ：(y k x =+与直线30x y +-=的交点位于第二象限，所以直线l 倾斜角的取值范围是π3π(,)34．故π3π(,)34．14．已知(,)M m n 为圆224440C x y x y +--+=：__________2##2(,)m n 与点(1,1)-之间的距离，可转化为圆C 上的点M 到点(1,1)-的距离．【详解】圆224440C x y x y +--+=：即22(2)(2)4x y -+-=，故圆心(2,2)C ，半径为2r =，C 上的点M 到点(1,1)-的距离，22=，2.15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424a =，696a =，且90a >，则满足不等式93n S >成立的最小正整数n 为________.【正确答案】6由424a =，696a =，且90a >，得0q >，求出公比q ，进而求出{}n a 通项公式和前n 项和n S ，然后解93n S >不等式，即可得结论【详解】设数列{}n a 的公比为q ，由424a =，696a =，得2644a q a ==，所以2q =或2q =-，又因为90a >，所以2q =，从而3411242243a a a =⇒⨯=⇒=，所以()()113211n n n a q S q -==⨯--.令()93329312325n nn S n >⇒⨯>⇒>⇒>-，又因为*n ∈N ，所以min 6n =.故答案为:6本题考查等比数列通项公式和前n 项和n S 基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题.16．若1a >，不等式()12ln 0x a xe x a x x --+-->在()1,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是__________.【正确答案】(1,2)e +【分析】首先设函数()()0xf x e x x =->，转化为()()1ln ln a f x x f x -+>，利用单调性得()ln 1ln x x a x +>-，参变分离后2ln x a x >-，转化为求函数()()1ln x x x xϕ=>的最小值，从而求得a 的取值范围.【详解】设()()0x f x e x x =->，则()1xf x e '=-，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，由已知得()1ln 1ln x a xe x x x a x --->--，因为ln e e x x x x +=，()11ln ln a a x x--=，11ln a a x x e --=，所以()()1ln ln a f x x f x -+>，()()ln 1t x x x x =+>，()'110t x x=+>，所以()t x 在()1,+∞上单调递增，()()11t x t >=，由()f x 在()1,+∞单调递增，得到()ln 1ln x x a x +>-，所以()2ln x a x >-，因为ln ln1x >，所以2ln x a x >-，令()()1ln x x x xϕ=>，则()2ln 1ln x x xϕ-'=，令()0x ϕ'>，得>x e ，所以()x ϕ在(),e +∞上单调递增，在()1,e 上单调递减，所以()()min x e e ϕϕ==，所以2a e -<，所以12a e <<+.故()1,2e +本题考查利用导数研究不等式恒成立，参数问题，本题的关键是利用指对变形，通过构造函数()()0x f x e x x =->，不等式转化为()()1ln ln a f x x f x -+>，利用函数的单调性，解抽象不等式后，后面的问题迎刃而解.四、解答题17．（1）已知直线1l 的方程为240x y +-=，若直线2l 在x 轴上的截距为32，且12l l ⊥，求直线2l 的方程；（2）已知()2,1P -，若直线l 过点P ，且原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程.【正确答案】（1）2x -y -3=0（2）x +y -1=0或x +7y +5=0【分析】（1）根据两直线垂直关系，求出2l 的斜率，代入点斜式方程；（2）讨论直线l 的斜率是否存在，分别设出直线方程，若斜率存在，根据距离求出斜率.【详解】（1）由已知得，直线1l 的斜率为12-，所以直线2l 的斜率为2.又直线经过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线2l 的点斜式方程为：322y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即2x -y -3=0.（2）当直线l 斜率不存在时，l 方程为：x =2.原点到l 的距离为2，与已知矛盾，舍去；所以，直线l 斜率存在，设为k ，则直线的点斜式方程为：y +1=k (x -2)，可化为kx -y -2k -1=0.又原点到直线l 的距离为22=，解得k =-1或17k =-.代入直线方程整理可得，直线l 的方程为x +y -1=0或x +7y +5=0.18．在平面直角坐标系中，圆M 是以A ，(3,B 两点为直径的圆，且圆N 与圆M 关于直线y x =对称.(1)求圆N 的标准方程；(2)设(0,1)C ，(0,4)D ，过点C 作直线1l ，交圆N 于P 、Q 两点，P 、Q 不在y 轴上.（i ）过点C 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆N 于E 、F 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；（ii ）设直线OP ，DQ 相交于点G ，试讨论点G 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【正确答案】(1)22(2)4x y +-=(2)（i ）7；（ii ）是，=2y -【分析】（1）先求出圆M 的方程，再根据对称性求出圆N 的方程即可得解；（2）（i ）设出直线1l 、2l 的方程，利用几何方法求出弦长||PQ 和||EF ，再求出面积，然后根据基本不等式求出最大值可得结果；（ii ）联立直线1l 与圆N 的方程，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得到12x x +和12x x .联立直线OP 和DQ 的方程求出交点G 的横坐标，代入直线OP 的方程，利用12x x +和12x x 变形可得交点G 的纵坐标为定值，从而可得结果.【详解】（1）由题意得：圆M 的半径为||22AB =，圆心M 即AB 的中点为(2,0)，圆M 的方程为：22(2)4x y -+=，因为圆N 与圆M 关于直线y x =对称，所以圆N 的圆心(0,2)N ，半径为2，所以圆N 的标准方程为：22(2)4x y +-=；（2）依题意可知，直线1l 的斜率存在，设直线1l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，则圆心(0,2)N 到直线1l 的距离1d ==所以||PQ =，（i ）若0k =，则直线2l 斜率不存在，则||PQ =||4EF =，则1||||2S EF PQ =⋅=若0k ≠，则直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=，则圆心(0,2)N 到直线2l的距离2d =所以||EF ==则1||||2S EF PQ =⋅====7≤，当且仅当221k k=即1k =±时取等号，综上所述，因为7=>S 的最大值为7；（ii ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立()22241x y y kx ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得22(1)230k x kx +--=，22412(1)0k k ∆=++>恒成立，则12221k x x k +=+，12231x x k -=+，直线OP 的方程为1111111(y kx y x x k x x x x +===+，直线DQ 的方程为2244y y x x -=+222334(4kx x k x x x -=+=-+，联立12134y k x x y k x x ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得121243x x x x x =+，因为12221k x x k +=+，12231x x k -=+，所以2121222131k x x k x x k ++=-+23k =-，所以12123()2x x k x x +=-，则1211214()3x x y k x x x =+⋅=+()1212413kx x x x ++12212443kx x x x x +=+122126()43x x x x x -++=+1212623x x x x --=+2=-，所以12124(,2)3x x G x x -+，所以点G 在定直线=2y -上.19．在平面直角坐标系中xOy ，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>12⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点P ，Q 为椭圆上异于A ，B 的两动点，记直线AP 的斜率为1k ，直线QB 的斜率为2k ，已知127k k =．求证：直线PQ 恒过x 轴上一定点.【正确答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由题意列方程组求解；（2）设PQ 直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线PQ 的斜率是否为0.【详解】（1）由题意可得2222223114c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得222413c a b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）依题意，点(2,0),(2,0)A B -，设()()1122,,,P x y Q x y ，因为若直线PQ 的斜率为0，则点P ，Q 关于y 轴对称，必有AP BQ k k =-，不合题意．所以直线PQ 斜率必不为0，设其方程为(2)x ty n n =+≠±，与椭圆C 联立2214x y x ty n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得：()2224240t y nty n +++-=，所以()()2222Δ44440t n t n =-+->，且12221222,44.4tn y y t n y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪-⎩因为点()11,P x y 是椭圆上一点，即221114x y +=，则21211122111111422444AP BP x y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---，所以174AP BQ BPk k k =-=，即281BP BQ k k ⋅=-因为()()()()()1212122212121212282828282222(2)(2)BP BQ y y y y y y k k x x ty n ty n t y y t n y y n ⋅===--+-+-+-++-()()()2222222222228428(2)28(2)714414(2)24(2)2(2)42(2)(2)44n n n n t n n t n t n t n n t t n n n t t -++++=====----+-+-+--+-++，所以32n =-，此时()()222Δ1644470t n t =+-=+>，故直线PQ ：32x ty =+恒过x 轴上一定点3,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．20．在①36S =，515S =；②公差为1，且248,,a a a 成等比数列；③11a =，235616a a a a +++=，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足___________(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令[]lg n n c a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，求122022c c c ++⋅⋅⋅+.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】(1)n a n=(2)4959【分析】（1）选①，设等差数列{}n a 中，公差为d ，进而得1133651015a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程得11a d ==，再求通项公式即可；选②，由题知2284a a a =，进而解得11a =，再求通项公式即可；选③，由题知141216a d +=，即41216d +=，解得1d =，再求通项公式即可；（2）由题知[]lg n c n =，再结合[]1lg10c ==，[]10lg101c ==，[]100lg1002c ==，[]1000lg10003c ==求解即可.【详解】（1）解：选①设等差数列{}n a 中，公差为d ，因为36S =，515S =，所以1133651015a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a d ==，所以()11n a a n d n =+-=，选②因为等差数列{}n a 中，公差为1，且248,,a a a 成等比数列，所以2284a a a =，即()()()2111173a a a ++=+，解得11a =所以()11n a a n d n =+-=.选③因为等差数列{}n a 中，11a =，235616a a a a +++=，所以141216a d +=，即41216d +=，解得1d =所以()11n a a n d n=+-=（2）解：由（1）知[][]lg lg n n c a n ==，因为[]1lg10c ==，[]10lg101c ==，[]100lg1002c ==，[]1000lg10003c ==，所以当19n ≤≤时，0n c =，当1099n ≤≤时，1n c =，当100999n ≤≤时，2n c =，当10002022n ≤≤时，3n c =，所以()12202209019002202299934959c c c ++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯+-⨯=21．已知函数()e x f x x x=+，()ln g x x a x =+（a ∈R ）．(1)讨论函数()g x 的单调性；(2)证明：当2e 0,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()f x g x >在()0,∞+上恒成立．【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导数判断单调性；（2）当01x <≤时，可证不等式成立，当1x >时，可转化为证明22ln 0x e x x-->成立，构造函数()22e ln x G x x x-=-，利用导数证明其单调性与最值情况，进而可得证.【详解】（1）由()ln g x x a x =+，()1a x a g x x x+'=+=，（0x >），当0a ≥时，()0g x '>恒成立，函数()g x 在()0,∞+上单调递增；当a<0时，令()0g x '=，解得x a =-，0x a <<-时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，x a >-时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，即函数()g x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增；（2）要证()()f x g x >，即证e ln xax x >，2e 0,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦①当01x <≤时，e 1x >，ln 0ax x ≤，该不等式成立；②当1x >时，ln 0x x >，结合2e 0,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，得210ln e ln 2ax x x x <<，即问题转化为证明：21e e ln 2x x x >（1x >），即证22ln 0x e x x-->（1x >），令()22e ln x G x x x -=-，()()222e 1x x x G x x ---='，令()()22e 1x h x x x -=--，则()22e 1x h x x -'=-，()()222e 0x h x x -''=+>在()1,+∞上恒成立，即()22e 1x h x x -'=-在()1,+∞上单调递增，又()2110eh '=-<，()230'=>h ，所以存在()01,2x ∈，使得()00h x '=，即02021x x e -=，02012e x x -=所以()h x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()110h =-<，()()020000012e 110x h x x x x x -=--=--<，()20h =，所以当()1,2x ∈时，()0G x '<，当()2,x ∈+∞时，()0G x '>，即函数()G x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()21ln 20G x G ≥=->，所以问题得证，综上所述，当2e 0,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()f x g x >在()0,∞+上恒成立.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22．已知()x f x e ex =-+（e 为自然对数的底数）（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）设21()ln 2g x x x ax =++，若对任意1(0,2]x ∈，总存在2(0,2]x ∈．使得()()12g x f x <，求实数a 的取值范围．【正确答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）1,ln 212⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭【分析】（Ⅰ）求出函数导数，判断出单调性，即可求出最值；（Ⅱ）问题转化为()()12max g x f x <，即()0g x <在(]0,2恒成立，分离参数可得ln 12x a x x ->+，构造函数()(]ln 1,0,22x h x x x x =+∈，利用导数求出函数的最大值即可.【详解】（Ⅰ） ()x f x e ex =-+，()x f x e e '∴=-+，令()0f x ¢>，解得1x <；令()0f x '<，解得1x >，()f x \在(),0∞-单调递增，在()1,+∞单调递减，()()max 10f x f ∴==；（Ⅱ）对任意1(0,2]x ∈，总存在2(0,2]x ∈．使得()()12g x f x <等价于()()12max g x f x <，由（Ⅰ）()()2max 10f x f ==，则问题转化为()0g x <在(]0,2恒成立，化得21ln ln 122x x x a x x x +->=+，令()(]ln 1,0,22x h x x x x =+∈，则()21ln 12x h x x -'=+，当(]0,2x ∈时，1ln 0x ->，得()0h x '>，()h x ∴在(]0,2单调递增，()()max 12ln 212h x h ∴==+，则1ln 212a ->+，即1ln 212a <--，故a 的取值范围为1,ln 212⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将问题转化为()()12max g x f x <，即()0g x <在(]0,2恒成立.。

江苏省盐城中学2011-2012学年度高二第一学期期末考试试题(数学)

7 8 994 4 6 4 7 3江苏省盐城中学2011-2012学年度高二第一学期期末考试试题（数学）一、填空题：（每题5分，共计70分）1. 若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则=+b a ______▲_____2. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4、12、8. 若用分层抽样的方法抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 ▲ . 3. 曲线C ：x x x f 2sin )(+=在0x =处的切线斜率为 ___▲____ 4. 右图是2009年举行的某次民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ▲ .5. 椭圆1422=+y x 的长轴长等于 ▲ . 6. 一只袋中装有大小相同的4只小球，其中2只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球，则恰好是1只白球1只黑球的概率是 ▲ .7. 在平面上,若两个正方形的边长比为1：2,则它们的面积比为1：4；类似地，在空间，若两个正方体的棱长比为1：2，则它们的体积比为 ▲ .8. 已知抛物线24y x =上一点P (3，y )，则点P 到抛物线焦点的距离为 ▲ . 9.设长度为3的线段AB 的中点为C ，若在线段AB 上随机选取一点P ，则线段PC 的长满足1≤PC 的概率是 ▲ .10.函数1)(--=x e x f x 的单调递减区间为 ▲ . 11.已知数列}{n a 中，nnn a a a a +==+1,111，则由321,,a a a 归纳出=n a ▲ .12. 若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于 ▲ .13. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，两焦点为21,F F ，过2F 作x 轴的垂线交双曲线于B A ,两点，且1ABF ∆内切圆的半径为a ，则此双曲线的离心率为 ▲ .14. 若存在实常数k 和b ，使函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 恒有：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知2(),()2ln h x x x e x ϕ==，则可推知(),()h x x ϕ的“隔离直线”方程为 ▲ .二、解答题：（共80分）（1）如果降水量在[)800,1200中，被认为是雨水适宜，有利于农作物生长，求该地区雨水适宜的概率；（2）如果降水量不小于1200mm 就可能发生洪涝灾害，这时需要采取防洪措施，求需要采取防洪措施的概率。

江苏省宿豫中学2012—高二9月月考数学无答案.pdf

宿豫中学2012-2013学年度第一学期高二数学试卷（试卷满分：160分考试时间：120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1.命题“，”的否定是是实数，若，则的逆否命题是． 4．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号的产品有16件，那么此样本的容量n＝． 5．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2010年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为人． 6．如果执行的程序框图（如图所示），那么输出的．．某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示). ，则“函数在R上是减函数”，是“函数在R上是增函数”的条件.（在“充分不必要条件”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分有不必要”中选一个填写） 9．从一批产品中取出三件产品，设{三件产品全不是次品}， {三件产品全是次品}，{三件产品不全是次品}，则下列结论正确的是． ①A与互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与；B与C在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形,边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为如果5个数的为7，那么，，，，这5个数的是．．，使得不等式，则实数的取值范围是． 13．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数k的取值范围是． 14．已知直线与函数和函数 x的图象分别交于M，N两点，若MN＝.为此某网站于2010年1月18日至24日，在全国范围内进行了持续一周的在线调查，随机抽取其中200名大中小学生的调查情况，就每天的睡眠时间分组整理如下表所示：（1）估计每天睡眠时间小于8小时的学生所占的百分比约是多少；（2）该网站利用如图所示的算法流程图，对样本数据作进一步统计分析，求输出的的值，并说明的统计意义. 序号()每天睡眠时间（小时）组中值()频数频率 ()1[4，5)4.580.102[5，6)5.5520.203[6，7)6.5600.304[7，8)7.5560.255[8，9)8.5200.106[9，10)9.540.05 17．设的内角所对的边分别为且. （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的周长的取值范围. 18．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题，求实数的取值集合；设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求的取值范围经过两点，且圆心在直线上，直线的方程为. （1）求圆的方程；（2）证明：直线与圆恒相交；（3）求直线被圆截得的最短弦长． 20．已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=，，. (Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式； (Ⅱ)记，求高二数学第4页共4页开始？是否输出结束 20 30 40 50 60 70 80 90 100 酒精含量频率组距（mg/100ml） 0.015 0.01 0.005 0.02 （第5题）（第6题）否是输入mi,fi 开始输出 S 结束（第18题）。

宿迁市2011-2012高二数学答案

宿迁市2011 — 2012学年度第一学期高二年级期末调研测试数学答案所以命题P 和命题q 必为一真一假. ....................... 10分1 当命题P 为真，q 为假时，解得 m2 ；................. 12分2当命题P 为假，q 为真时，解得m ,1所以实数m 的取值范围为丄，2 • ..................................................... 14分2又因为cosC, C7 所以 sinC.1 cos 2CcosB cos nA Ccos A Ccos A cosC sin A sinC13 4.3 3-3 114 7 14 72因为B0, n ，所以B150° ........ .......................................... 6分定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15解：因为方程2x2y1表示双曲线，1 2mm 2所以（1 2m)(m12) 0 ,解得 m2 或 m 1 ； (2) (4).............. 分2又因为方程xmx 1 0有两个不相等的实数根，、解答题：本大题共6小题,15— 17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分.请在答题卡指所以 m 24 0 ,解得m 2或m 2 ； ................ 8分因为命题"p 或q ”为真命题，“ p 且q ”为假命题，、填空题：本大题共14小题，每小题 5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上21. x R , x 1 2x ； 2• 2; 3•(1) ; 4. 14; 5.4; 6.4； 7.3n 或［3n ；9 • ¥ ；10 •扌；1112. 500; 13.1 ; 14 • 6036.16 ( I)解：在△ABC 中，因为cos A匹A 140, n ,所以sin A■-1 cos 2 A3 3 140, n ,(n)设Q(x, y)，由题意知,a 2,1 y 1, a 1.因为BQ 对称轴y 1 a 2 1 2 x 2 (y 1)2 = a2十1 ,即a 2时，2(y2 2 2 21) =(1 a )y 2y 1 a10分(BQS ax4(1 a 4) 4_ a 4 a 2 1 '24(1 a )1800 y (x 10)( 20) a [1800 x 1800 = 3600a a(x 10)( 20)x900=1600a 20a(x )，x180010)m ，长度为( 20)m .x1800 (x 10)( 20)] 2ax 函数定义域为(10,90). 注：若定义域写错扣 1分• (n)因为 x 9002.90060, 10 x 90。

宿迁市2006—2007学年度第一学期期终调研测试高二数学模拟试卷(文科) (2)

实用文档宿迁市2006—2007学年度第一学期期终调研测试高二数学模拟试卷（文科）（2）（本试卷：满分160分）（2007/01/）一、选择题：（本大题共１0小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，仅有朱一项是符合题目要求的.）1、已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1-a n +1=0，(n ∈N)，则此数列的通项a n 等于 ( * )A ．n 2+1B ．n+1C ．1-nD ．3-n2、三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为 ( * )A ．b-a=c-bB ．b 2=acC ．a=b=cD ．a=b=c ≠0 3、若a 、b 为实数, 且a +b=2, 则3a+3b的最小值为（ * ）A ．18B ．6C ．23D ．2434、已知ABC ∆中，a=5, b = 3 , C = 1200 ,则sinA 的值为（ * ）A 、1435B 、1435-C 、1433D 、1433-5. 目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有（ * ）A 3,12min max ==z z ；B ,12max =z z 无最小值；C z z ,3min =无最大值D z 既无最大值，也无最小值6.命题“若b a >，则c b c a +>+”的逆否命题为（）A ．若b a <，则c b c a +<+.B ．若b a ≤，则c b c a +≤+.C ．若c b c a +<+，则b a <.D ．若c b c a +≤+，则b a ≤.7．设F 1、F 2是双曲线1422=-ay a x 的两个焦点，点P 在双曲线上，∠F 1PF 2=90°若△F 1PF 的面积为1，则a 的值是（）A 、1B 、25C 、2D 、58．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f(x)的图象可能为9．如果椭圆1258122=+y x 上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2, N 是1MF 的中点,O 是坐标原点,则ON 的长为（） A. 2 B. 4 C. 8 D. 23x yOx yOx y OxyO DA ．B ．D ．x y O实用文档10.抛物线()20y ax a =>与直线()0y kx b k =+≠有两个公共点，其横坐标分别是12,x x ；而直线y kx b =+与x 轴焦点的横坐标是3x ，则123,,x x x 之间的关系是A 312x x x =+B 31211x x x =+ C 131223x x x x x x =+ D 121323x x x x x x =+二、填空题（本大共6小题，每小题5分，共30分）11. 焦点在直线34120x y --=上,抛物线的标准方程是 _______________ .12、曲线3()2f x x x =+-在0P 处的切线平行于直线41y x =-,则0P 点的坐标为 13.从椭圆短轴的一个端点看长轴两个端点的视角为︒120,那么此椭圆的离心率为 14.不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 15.已知函数3221()3f x x a x ax b =+++，当1x =-时函数()f x 的极值为712-，则(2)f = ．16.函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是．三．解答题（本大题共6题，计80分，请写出相应的解答过程）17、在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=--,判断ABC ∆的形状。

江苏省宿迁中学等比数列练习题(有答案)

一、等比数列选择题1．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（）A ．102B ．203C ．204D ．2052．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（） A ．8B ．8±C ．8-D ．13．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（） A ．12B ．18C ．24D ．324．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记{}n a 的前n 项积为nT，则下列选项错误的是（） A ．01q <<B ．61a >C ．121T >D ．131T >5．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（）A ．312或112B ．312C ．15D ．66．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（） A ．503B ．507C ．1007D ．20077．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（） A ．6B ．16C ．32D ．648．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项9．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（）.A ．710S =B ．723S =C ．7623S =D ．71273S =10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213a a =，且数列{}13n S a -也为等比数列，则n a 的表达式为（）A ．12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．123n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭11．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（）A ．16B ．16-C ．20D ．16或16-12．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=（）A ．3B ．505C ．1010D ．202013．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（）A ．3B ．12C ．24D ．4814．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*2n n S a n n N =+∈，则3a=（）A ．7-B ．3-C ．3D ．715．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，10.2b =，111233n n n a b a ++=+，11344n n n b a b +=+，则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为（） A ．5B ．7C ．9D ．1116．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为（） A ．6B ．7C ．8D ．917．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若425S S =，则等比数列{}n a 的公比为（）A ．2B ．1或2C ．-2或2D ．-2或1或218．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（） A ．312或112B ．312 C ．15D ．619．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（） A ．50B ．60C ．70D ．8020．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题21．题目文件丢失！22．在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0C ．若32nn a =-+，则数列{}n a 是等差比数列D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 23．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列24．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（） A ．3q = B ．数列{}2n S +是等比数列 C ．5121S =D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥25．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（） A ．01q << B ．791a a ⋅> C ．n S 的最大值为9SD ．n T 的最大值为7T26．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍27．设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是（）A ．S 2019<S 2020B ．2019202010a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值28．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（）A ．数列{}n S n +为等比数列B ．数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-C ．数列{}1n a +为等比数列D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---29．已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（）A ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．{}n a 为递增数列C ．{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=30．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1na n nb a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（）A ．nB ．nqC ．()121n n n q nq nq q q ++---D ．()21121n n n q nq nq q q ++++---31．已知数列{}n a 满足11a =，()*123nn na a n N a +=∈+，则下列结论正确的有（）A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=-- 32．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a >，87101a a -<-.则下列结论正确的是（） A ．01q <<B ．791a a <C ．n T 的最大值为7TD ．n S 的最大值为7S33．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（） A ．8B ．9C ．10D ．1134．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（） A ．数列2{}n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则1r =-35．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。

江苏省宿迁市2016-2017学年高二下学期期末考试数学试卷-含答案

宿迁市2016~2017学年度第二学期期末考试高二数学试卷（考试时间120分钟，试卷满分160分)参考公式：343V R 球;1()ni i i E X x p ，其中0,1,2,,i p in ≥，11nii p ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知复数z 满足2i z（i 是虚数单位），则||z 的值为▲ ．2．已知点A 的极坐标为(2,)6，则点A 的直角坐标为▲ ．3．若直线l 的参数方程为4,12x t yt（t 为参数），则直线l 在y 轴上的截距是▲ ．4．已知向量2,3,2,4,,3x a b ，若a b ，则实数x 的值是▲ ．5．甲、乙、丙三人独立地翻译一密码，若每人译出此密码的概率均为34，则该密码被译出的概率为▲　．6．设矩阵02 1a M的一个特征值为2，则实数a 的值为▲ ．7．若3名学生报名参加数学、物理、化学、计算机四科兴趣小组，每人选报一科，则不同的报名方法有▲ 种．8．设423401234(31)x a a x a xa xa x ，则01234a a a a a 的值为▲ ．9．在极坐标系下，点P 是曲线1C ：4cos上的动点，点Q 是直线2:sin 3C 上的动点，则线段PQ 长的最小值是▲ ．10．已知6()a xx展开式中的常数项为60，则正实数a 的值为▲ ．11．在四面体OABC 中，已知点,M N 分别在棱,OA BC 上，且11,32OM OA BN BC ，MN xOA yOB zOC ，则xyz 的值为▲ ．12．两位同学参加一项比赛，通过综合分析，两人获得一等奖的概率分别为1,(01)3p p ，且他们是否获得一等奖相互独立．若这两位同学中恰有一位获得一等奖的概率为712，则p 的值为▲ ．O ABC（第11题）N M13．已知函数1()1x f x x，数列}{n a 满足112a ，对于任意*N n 都满足2()nn a f a ，且0na ．若108a a ，则20162017+a a 的值为▲ ．14．祖暅原理：两个等髙的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理可以求旋转体的体积．如：设半圆方程为2220,0xyry r≥，半圆与x 轴正半轴交于点A ，作直线x r ，yr 交于点P ，连接OP （O 为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕y 轴旋转所得半球的体积与△OAP 绕y轴旋转一周形成的几何体的体积相等．类比这个方法，可得半椭圆22221y x ab(0,0)a by ≥绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知复数1i ()z a a R ，212i z ，其中i 是虚数单位，且21z z 为纯虚数．（1）求复数1z ；（2）若复数21(2)z b(b ∈R )在复平面内对应的点在第四象限,求b 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知矩阵M 的逆矩阵110201M．（1）求矩阵M ；（2）已知曲线22:1C xy，在矩阵M 对应的变换作用下得到曲线1C ，求曲线1C 的方程．17．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD 中，PA 平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，BADA ，BC AD∥且1,3PAABBCAD，点E 为PD 的中点．（1）求CE 与AB 所成角的余弦值；（2）求二面角CPD A 的余弦值．18．（本小题满分16分）某商场为刺激消费，让消费达到一定数额的消费者参加抽奖活动．抽奖方案是：顾客从一个装有2个红球，3个黑球，5个白球的袋子里一次取出3只球，且规定抽到一个红球得3分，抽到一个黑球得2分，抽到一个白球得1分，按照抽奖得分总和设置不同的奖项．记某位顾客抽奖一次得分总和为．（1）求该顾客获得最高分的概率；（2）求的分布列和数学期望．PABCDE(第17题)19．（本小题满分16分）已知函数12()(1)(1)(1)(1)i n f x a x a x a x a x ，其中1i n ≤≤，*,i nN ．（1）若1,10i a n ，求()f x 展开式中含3x 项的系数；（2）若,8ia i n；求()f x 展开式中含2x 项的系数；（3）当i 为奇数时，1ia ，当i 为偶数时，1ia ，n 为正偶数．求证：当42x时，22()(1)nf x x 为正整数．20．（本小题满分16分）如图，由若干个数组成的n 行三角形数阵，第一行有1个数，第二行有2个数，依此类推，第i 行有i 个数．除最后一行外，各行中每个数都等于它下方两个数之和，如：324243a a a ．记第i 行的第j 个数为a ij （1j i n ≤≤≤，*,,i j nN ）．（1）若n =4，当最后一行从左向右组成首项为1，公差为2的等差数列时，求a 11；（2）若第n 行从左向右组成首项为1，公比为2的等比数列，求a 11（用含有n 的式子表示）；（3）是否存在等差数列{n}，使得222224213242113n n n nn n x Cx Cx Cx Cx CC？若存在，则求出该等差数列的通项公式；若不存在，则说明理由．数学参考答案及评分细则一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．5； 2．(3,1)； 3．7； 4．23； 5．6364； 6．2； 7．64或34； 8．16； 9．1； 10．2； 11．23； 12．34；13．122；14．223ab .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(1)12i (i)(12i)(2)(21)i 12i(12i)(12i)5z a a a a z ，……………………3分因为21z z 为纯虚数，所以20,5210,a a 所以2a.……………………7分(2)221(2)(i)z b+b 212i bb ，……………………9分由已知21020bb，，……………………11分解得1b ，所以b 的取值范围为(1,).……………………14分a 43a 44a 33a 41a 42a 31a 32a 21a 22a 11第1行第2行第4行第3行……第n 行a n1a n2a n(n-1)a nna n3…（第20题）16．（1）设矩阵a b c d M，则11002011a b cd，即10212a b c d，……………………2分故120021a b c d，解得2,0,0,1ab c d ，………………………………4分所以矩阵2001M.…………………………………6分（2）设,P x y 是曲线C 上任一点，在矩阵M 对应的变换下，在曲线1C 上的对应的点为'','P x y ，则'20201'x x x y yy ，………………10分即'2,',x x y y ∴1'2'x x yy ，………………12分代入曲线C 得22''14x y ，所以曲线1C 的方程为2214xy.………………………14分17.解：（1）以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz ，如图所示，则0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,3,0,0,0,1A B C D P ，………………2分则0,3,1,1,0,0PD AB，设,,E x y z ，则,,1PE x y z ，由12PEPD 得310,,22E ，……4分所以111,,22CE，则62CE ，P ABCDE(第17题)zx yx又因为1AB ，1AB CE，………………………6分所以6cos ,3AB CE AB CEAB CE，故CE 与AB 所成角的余弦值为63.………………………8分(2) 1,2,0CD，设平面PCD 的一个法向量为,,n x y z ,由00n PD n CD得3020y z xy，令1y 得2,3x z ，所以2,1,3n,………………………10分由条件知AB平面PAD ，所以平面PAD 的一个法向量为1,0,0AB，则1,14,2ABnAB n ，………………………12分所以14cos ,7AB n AB nAB n，所以二面角C PD A 的余弦值为147. ………………………14分18解：（1）该顾客抽奖一次，当抽到2个红球1个黑球时，得分总和最高为8分，…2分得分为8分的概率为2123310(8)C C P X C3112040，……………4分（2）由题意知,袋子中共有10个球,(3)P X 3531010120C C，(4)P X 123531030120C C C，(5)P X 1221253533101035120C C C C CC，(6)P X 1113235333101031120C C C C CC，(7)P X 2112252333101011120C C C C CC，2123310(8)C C P X C3120……………13分（=3，4，8时算对一种得1分，=5,6,7时算对一种得2分）所以的数学期望10303531113()345678120120120120120120E X 61251 5.112010 (15)分答：（1）该顾客获得高分的概率是14；（2）的数学期望为5.1. …16分19解：(1) 若1,10ia n ，10()(1)f x x 展开式的第r+1项为110r rrT C x ，∴3x 系数为3101098120321C；……………………4分(2)若,8ia i n，则()(1)(12)(13)...(18)f x x x x x ，方法1：在8个括号中任选两个，展开式中2x 项的系数为所有任选的两个括号中项的系数之积的和，即1213141823242878=1(2+3+…+8)+2(3+4+…+8)+3(4+5+…+8)+ …+7×83566901041059056546.…10分方法2：展开式中2x 项的系数为：121314182324287822222(1238)(1238)5462.(3)由题意()(1)(1)(1)(1)(1)f x x x x x x 22(1)(1)nn x x 22(1)nx ，……12分设()F x =22()(1)n f x x ，即()F x 2222(1)(1)nnx x ，当42x 时，()F x =22(12)(12)nn01220122222222222222(2)(2)(2)(2)(2)(2)nnnnn n nnn n nn CCC C C CC C 022242222222[(2)]2(22)n n n n n C C C C C +，…………………15分024222,,,n n nC C C 为正整数，∴()F x =22(12)(12)n n为正整数，即22()(1)nf x x 为正整数.………………16分20解：(1)方法1：当n =4时，414243441,3,5,7a a a a ,则3132334,8,12a a a ，212212,20a a ，所以1132a ；……………3分方法2：当n=4时，11212231323341424344233a a a a a a a a a a =133357=32.(2)11212231323341424344233a a a a a a a a a a =01234451452453454455C a C a C a C a C a =…=01211112131n n n n n n n n nnCa Ca Ca C a……………6分=0122111111222n n nn n n C C CC=11(12)3n n . ……………9分(3)假设存在等差数列{n }.令n =1,得241241,1x C C x ；令n =2,得224221352,2x C x CC x ；猜想1111nd,x (n )n .……………11分证明如下：即证22222423413(1)(2)2nn n nCn C n C CCC（方法一）：（用数学归纳法证明）①当n=1时，左边=22C =1,右边=44C =1.左边=右边. ……………11分②假设当n=时，等式成立，即22222423413(1)(2)2kk k kCk Ck CC CC，那么当n=+1时，2222223412(1)(1)2k k kCkC k C CC，=22222222223412312(1)(2)2()kkk kkC k C kC C C C C C C ………13分=432434322334k k k k k k CCC CC C，即当n=+1时，等式也成立，综合①②等式成立.所以存在等差数列{n }，即n =n 使得222224213242113n n n nn n x Cx Cx Cx Cx CC. ……………16分(方法二)：左边=22222222341(1)(1)(2)2nn C n C n C n C C C=23222223341(1)(1)(2)2nn C n C n C nC CC=232222441(1)(2)2nn C n C n C CC=23322224441(2)(2)2nn CCn CnCC C=233222451(2)2nnC C nC C C =…=23332452n C C C C ……………13分=43334452n CCCC =433552n CCC=433662n C C C=43n C=右边.所以存在等差数列{n }，即n =n 使得222224213242113n n n nn n x C x Cx Cx Cx CC.……16分。

江苏省宿迁市四校2011-2012学年高二数学5月联考试题理

宿迁市四校2011-2012学年高二5月联考数学（理）试题一.填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1.命题“x R ∀∈， sin x x ≥”的否定是．2.若复数z 满足()12z i i +=，i 是虚数单位，则z = .3.设抛物线方程为2y x =，则它的焦点坐标为 .4.从3名男生和2名女生中选出2名代表，代表中必须有女生，则不同的选法有．（用数字作答）5.函数3()2f x x ax =+-在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 .6. 已知向量)5,3,2(-=与向量),,4(y x b -=平行，则=+y x ．7. 已知2()2'(1)f x x xf =+，则'(0)f = .8. 若“42>x ”是“x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 . 9. 已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R （定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为21tan 2R α，则按图二作出的矩形面积的最大值为 .10. 若方程22121x y m m -=-表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为 .11. 已知三次函数()y f x =的导函数()f x '的图像如图所示，且满足()()12,24f f ==-，则使得()f x m =有三个实数根的m的范围是 .12. 袋中有3只白球和a 只黑球，从中先后取出2只，全是白球的概率是71，则____=a . 13. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为)2(1≥n n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如212111+=，613121+=，1214131+=…，则第9行第3个数（从左往右数）为__________.14.有一位同学写了这样一个不等式：)(1122R x cc cx c x ∈+≥+++，他发现，当1,2,3c =时，不等式对一切实数x 都成立，由此他作出如下猜测： ①当1≥c 时，不等式对一切R x ∈都成立； ②只存在有限个自然数c ，对R x ∈不等式都成立； ③当0>c 时，不等式对一切R x ∈都成立．则正确猜测的序号是 .二.解答题（本大题共6小题，共90分）15. 某市公租房的房源位于C B A ,,三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4位申请人中： (1)恰有2人申请A 片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．16. 已知二项式82)2(x +，求：（1）二项展开式第3项的二项式系数；（2）二项展开式第8项的系数；（3）系数最大的项．17.已知数列}{n a 前n 项和为n S ,满足12+=+n a S n n , (1) 写出321,,a a a ，并推测n a 的表达式； (2) 用数学归纳法证明所得的结论.18. 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，已知4=AB ，2,31==AA AD ，F E ,分别是棱BC AB ,上的点，且1==FB EB ．（1）求异面直线1EC 与1FD 所成角的余弦值；（2）试在面1111D C B A 上确定一点G ，使⊥DG 平面EF D 1．19. 已知椭圆E :2221(1)x y a a+=>的上顶点为M （0，1），两条过M 点动弦MA 、MB 满足MA MB ⊥.（1）当坐标原点到椭圆E 的准线距离最短时，求此时椭圆E 的方程；（2）若实数a =2，动直线AB 是否经过一个定点？如果经过，求出该定点的坐标；否则，说明理由.20. 已知()ln y f x x x ==．（1）求函数)(x f y =的图像在x e =处的切线方程；（2）设实数0>a ，求函数()()f x F x a=在[]a a 2,上的最大值. （3）证明对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e ex x x>-成立．宿迁市普通中学5月份四校联考高二年级数学试卷（理）答案所以431792x T =，641792x T =． …………………14分 17.解： (1) 1a ＝23, 2a ＝47, 3a ＝815, 猜测 =n a 2－n 21…………………4分 (2) ①由（1）已得当n ＝1时，命题成立； …………………5分②假设n ＝k 时,命题成立，即 a k ＝2－k 21, …………………7分当n ＝k ＋1时, a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1, 且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3, …………………10分∴2a k ＋1＝2＋2－k 21, a k ＋1＝2－121+k ,即当n ＝k ＋1时,命题成立. …………………13分根据①②得n ∈N + , a n ＝2－n 21都成立 …………………14分（2）由0=∙MB MA 知MA MB ⊥，从而直线MA 与坐标轴不垂直，故可设直线MA 的方程为1y kx =+，直线MB 的方程为11y x k =-+将1y kx =+代入椭圆C 的方程，整理得08522=+kx x k解得0x =或2418kkx +-=，故点A 的坐标为)4141,418(222k k k k +-+- 同理，点B 的坐标为)44,48(222k k k k +-+ ……………… 7分直线l 的斜率为 k k kk k k k k k k 51418484141442222222-=+--++--+- ……………… 12分由(2)可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1e x =时取得.设2()((0,))e e x x m x x =-∈+∞，则1()ex x m'x -=，易得[]max 1()(1)e m x m ==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e exx x>-成立． ……………16分。

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江苏省宿迁中学2011~2012学年度高二（上）第一次调研测试数学试题（满分：160分时间：120分钟命题：彭清峰审校：李志中）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．.． 1. 等比数列{a n }中，a 4＝32，a 7＝4，则a 11等于 ▲ .2. 已知锐角△ABC 的面积为3，BC ＝4，CA ＝1，则角C 的大小等于 ▲ .3. 已知{a n }为等差数列，a 4＝16，S 3＝30，则公差d 等于 ▲ .4. 若不等式102ax x ->-的解集是(-1,2)，则a 的值是 ▲ . 5. 点P(2,-1)和点Q(-3,2)在直线x -y+m=0的两侧，则m 的取值范围是 ▲ . 6. 已知集合{}{}22280,0A x x x B x x ax b ≤=-->=++，若A B R ?,{}4A Bx x ≤5?<，则a b +的值为 ▲ .7. 在正项等比数列{a n }中，a n ＋1>a n ，a 3·a 7＝6，a 4＋a 6＝5，则a 6a 8等于 ▲ .8. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝3，S 6＝18，则S 9等于 ▲ .9. 设变量x ，y 满足约束条件102300x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，目标函数z kx y =+仅在点(1,1)处取得最大值，则k的取值范围是 ▲ .10. 如图，在100 m 高的山顶A 处，测得山下一塔顶C 与塔底D 的俯角分别是30°，60°，则塔高为 ▲ m. 11. 若函数21y ax ax =-+的值域是[0,)+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ . 12. 如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第20行从左向右的第6个数为 ▲ ．13. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11>0，S 12<0，则数列29129222,,,a a a 中最大项是第 ▲ 项.14. 等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件：0<a 1<1，a 50a 51－1＞0，a 50－1a 51－1＜0.给出下列结论： ①0＜q ＜1； ②0<a 50＜1；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … … … …30o60oABCD第10题图③T 50的值是T n 中最小的；④使T n >1成立的最小自然数n 等于100. 其中正确的结论是 ▲ .二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本题14分）在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2+a 4=5，又a 2与a 4的等比中项为2. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若公比q>1，设b n =2log 2a n +3，记12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++ ，求T n .16. （本题14分）已知函数f (x)=x 2+x -a 2-a ，（1）解关于x 的不等式f (x)>0；（2）若方程f (x)=0的一个根比-1小，另一个根比1大，求a 的取值范围.17.（本题14分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.(1)若a cosC-b= a cosB-c，判断△ABC的形状；(2) 若cosA是关于x的方程4x2+3x-1=0的根，当c＝3,2sin C＝sin B时，求b及a的长．18.（本题16分）如图，A,B是海面上两个观测点，B位于A正南方向且与A相距20(3＋3)海里.现位于A点南偏东45°，B点北偏东30°的C点有一艘轮船发出求救信号，位于B点北偏西30°且与B点相距203海里的D点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/时，该救援船应该沿什么方向航行，到达C点需要多长时间？AB CD北第18题图19. （本题16分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足mS n +2= S n+1，且a 1=2，a 2=1，等差数列{b n }满足b 1=a 2，b 2a 4=1，（1）求m 的值和数列{a n }的通项公式；（2）若数列{c n }满足c n =14a nb n ，前n 项和为T n ，证明：T n <4.20. （本题16分）已知数列{a n }中，*112(2,)n n a n n a -=-≥∈N ，157a =，（1）若数列{b n }满足*1()1n n b n a =∈-N ，求证：数列{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式，并求数列的最大项和最小项；（3）若整数m ，n 满足：1≤m ≤4<n ，问：是否存在整数k ，使得a m <2k -1<a n 对于满足条件的m ,n 恒成立？若存在，求出整数k ；若不存在，说明理由.江苏省宿迁中学2011~2012学年度高二第一次调研测试数学试题答案及评分参考：一、填空题1. 1/4;2. 60o3. 34. -15. (-3,5)6. -137. 2/38. 45 9. k>2 10. 200/3 11. a ≥4 12. 196 13. 6 14.②③④ 二、解答题15. 解：（1） ∵a 2与a 4的等比中项为2，∴a 3=2 ……………………2分∵a 2+a 4=5 ∴2q 2-5q+2=0∴q=1/2或q=2 ……………………4分∴a n =24-n 或a n =2n-2; ……………………7分（2）公比q>1，则a n =2n-2;∴b n =2n-1 ……………………10分∵111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+ ……………………12分 ∴1223341111111(1)22121n n n nT b b b b b b b b n n +=++++=-=++ …………14分16. 解：（1）由f(x)>0得，(x-a)(x+a+1)>0 ……………………1分当a>-a-1,即12a >-时，不等式的解集为（-∞,-a-1）∪（a,+∞）当a<-a-1,即12a <-时，不等式的解集为（-∞,a ）∪（-a-1,+∞）当a=-a-1,即12a =-时，不等式的解集为（-∞,12-）∪（12-,+∞）…………………7分（2）函数f(x)=x 2+x-a 2-a 的图象是开口向上， ∵方程f(x)=0的一个根比-1小，另一个根比1大，∴f(-1)<0，且f(1)<0， …………………11分∴22001121220a a a a a a a a a a ⎧--<><-⎧⎪⇒⇒><-⎨⎨><---<⎪⎩⎩或或或则a 的取值范围（-∞,-2）∪（1,+∞） …………………14分17：解：（1）由正弦定理得sinAcosC-sinB=sinAcosB-sinC,sinAcosC- sinAcosC-cosAsinC= sinAcosB- sinAcosB- cosAsinB …………3分 cosAsinC-cosA=0∴cosA=0或sinC=sinB …………………5分∵A,B,C∈（0，π），∴A=π/2,或C=B;∴△ABC是直角三角形或等腰三角形。

…………………8分(2) ∵cosA是关于x的方程4x2+3x-1=0的根，解方程得x=1/4，x=-1（舍去）…………………10分∴cosA=1/4，∵c＝3,2sin C＝sin B∴b=2c=6 …………………12分∵a2=b2+c2-2bccosA=36∴a=6 …………………14分18.解：由题意，在△ABC中，AB=20(3＋3)，∠BAC=45o，∠ABC=30o，则∠BCA=105o，…………………2分由正弦定理得，BC=220(33)sin452403sin105624AB+︒==︒+…………………6分在△DBC中，∠DBC=60o，BD=203由余弦定理得DC2=3600∴DC=60 …………………9分则t=60/20=3小时…………………11分又∵DC2+DB2=BC2∴∠BDC=90O,又B在D的南偏东30o，则DC的方向是北偏东600，……………14分答：该救援船应沿着北偏东600方向航行，到达C点需要3小时.……………16分19.解：（1）当n=1时，有2m+2=3,则12m=；……………2分当n≥2时，12S n+2= S n+1，12S n-1+2= S n，∴12a n=a n+1，……………5分上式对n=1也成立，……………6分∴数列{a n }是以2为首项，12为公比的等比数列； ∴212n n a -=……………8分（2）∵等差数列{b n }满足b 1=a 2=1，b 2=4，则公差d=3,∴b n =1+3(n-1)=3n-2， ……………10分 ∴c n =1(32)2n n -， ……………12分 ∴231111147(32)2222n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯234111111147(32)22222n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯ 相减得 23411111111111113333(32)22222221311(1)(32)2222612(32)223422n n n n n n n n T n n n n +-++++=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=+---⨯=---⨯+=-∴3442n nn T +=-<4. ……………16分20.解：（1）∵1111111111111121n n n n n n n n na b b a a a a a a ++-=-=-=-=------- ∴数列{b n }是等差数列； ……………3分（2）∵数列{b n }是等差数列,b 1=72-，公差d=1,∴b n =92n -……………5分 ∵*1()1n n b n a =∈-N ∴727221929292n n n a n n n --===+---……………8分根据函数2()129f x x =+-单调性可知：当0<x<4.5时函数f(x)为减函数，且值域为（-∞，7/9）; 当x>4.5时函数f(x)为减函数，且值域为（1，+∞）； ……………11分则当1≤n ≤4时，数列{a n }单调递减，且41517n a a a -=≤≤=；当n ≥5时，数列{a n }单调递减，且513n a a <≤= 故*21()29n a n N n =+∈-，最大项为a 5=3，最小项为a 4=-1. ……………13分（3）由（2）知，52117k <-≤解得617k <≤ 所以，存在整数k=1满足条件. ……………16分。